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¿QUE ES UN PROBLEMA?
La mayoría de los ejercicios que se presentan en los libros de texto no son verdaderos problemas, sino sugerencias
para ejercitar técnicas y herramientas que se han presentado en el capítulo correspondiente. Un verdadero problema
es una situación que se presenta, en la cual se sabe más o menos (o con toda claridad) a DONDE se debe llegar pero
no se sabe COMO llegar. La principal dificultad consiste en aclarar la situación y dar con algún camino adecuado (una
estrategia) que nos lleve a la meta. A veces no se sabe si la herramienta adecuada para la situación planteada está en
la colección de técnicas que dominamos, o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente
potente para resolver el problema. Esta es, precisamente, la circunstancia del investigador, en matemática y en
cualquier otro campo y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida
cotidiana.
UNA ESTRATEGIA DE PENSAMIENTO: COMENZAR CON UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL
A veces nos encontramos con problemas que resultan difíciles por su tamaño, por presentar demasiados elementos
que lo hacen complicado y oscuro.
En estos casos puede ser útil proponer un problema semejante, lo más sencillo posible y resolverlo. De esta manera se
consigue que aparezcan más transparentes principios de solución que quedan confusos en medio de la complejidad
del problema inicial.
EXPERIMENTAR, OBSERVAR, BUSCAR PAUTAS, REGULARIDADES. HACER CONJETURAS. TRATAR
DE DEMOSTRARLAS
En matemática, las buenas ideas surgen muy a menudo a través de "experimentos". Los experimentos son de diverso
tipo. Unas veces se trata de ensayar en casos particulares la aparición de una cierta propiedad. Otras se tratan de
mirar ciertas figuras, cambiándolas, introduciendo elementos auxiliares, a fin de enlazar diversas situaciones y de
establecer conexiones que sospechamos que existen entre los objetos que manipulamos. Con el experimento y la
observación surge una "conjetura". Se sigue experimentando con nuevos casos poniendo a prueba tal conjetura. Si
esta resiste varias pruebas va adquiriendo más fuerza. Luego vendrá la tarea de dar con la razón por la cual la
conjetura se verifica siempre, con la "demostración" de la conjetura.
DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA
Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra encontrar una representación visual
adecuada de los elementos que en él intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de
palabras, números o solamente símbolos.
ELEGIR UN LENGUAJE ADECUADO, UNA NOTACION ADECUADA
Muchas veces, el resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo de pensamiento que se aplique
sea el adecuado o no al problema. Por eso, antes de empezar a trabajar conviene pensar si será bueno utilizar un
lenguaje geométrico o bien un simple diagrama, o tal vez convenga utilizar un lenguaje algebraico o analítico, o
incluso, venga bien una modelización con papel, cartón, etc.
PENSAR EN EL PROBLEMA RESUELTO
Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña consiste en colocarse arriba con un
helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles.
En la resolución de problemas este procedimiento es barato, fácil y de uso constante.
GLOSARIO
< 1 > En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es un ángulo llano o 180º.
a
c
a + b + c = 180º
b
< 2 > Dados dos recta paralelas cortadas por una transversal:
b
d
c
a
e
a = b por ser opuestos por el vértice.
e = a por ser correspondientes entre paralelas cortadas por una transversal.
e = b y d = c por ser alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.
a + c = 180, b + c = 180 y d + e = 180 por ser un ángulo llano o suplementario.
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< 3 > Múltiplos y divisores.
Un número dícese múltiplo de otro cuando lo contiene a éste en una cantidad exacta de veces.
Un número dícese divisor de otro cuando es contenido por éste en una cantidad exacta de veces.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si, y sólo si, la cifra de sus decenas y de sus unidades son ceros o
componen un múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades es 0 o 5.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si, y sólo si,
 La cifra de las unidades más 3 veces la de las decenas, más 2 veces la de las centenas, menos la de las
unidades de mil, menos 3 veces la de las decenas de mil, menos 2 veces la de las centenas de mil, más las
unidades de millón, y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir que, dado el número
......jihgfedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 3b + 3c) – (d + 3e + 2f) + (g + 3h + 2i) – (j + .........) +
.............
 El número formado por las tres cifras de la derecha, menos el número formado por las 3 que le siguen a su
izquierda, más el número que firman las 3 que le siguen y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es
decir, dado el número .....jifedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 10b + 10 2c) – (d + 10e + 102f) + (g +
10h + 102i) – (j + ................) + ......................... resulta un múltiplo de 7.Esta última versión, que parece más
sencilla, no es muy práctica para números pequeños.
Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si, y sólo si, el número formado por las tres últimas cifras de la
derecha es un múltiplo de 8.
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si, y sólo si, la cifra de las unidades es cero.
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si, y sólo sí, la suma de las cifras deL lugar impar, menos la suma de
las cifras deL lugar par es múltiplo de 11(se cuenta de derecha a izquierda).
 Toda cifra seguida de un número par de ceros es igual a un múltiplo de 11, más la misma cifra.
 Toda cifra seguida de un número impar de ceros es igual a un múltiplo de 11, menos la misma cifra.
Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si, y sólo sí, la cifra de sus centenas y de sus unidades son ceros o
componen un múltiplo de 25.
Divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125 si, y sólo sí, la cifra del número formado por las tres cifras de la
derecha es un múltiplo de 125.
< 4 >Cualquier proposición que pueda expresarse como una igualdad es una ecuación. Una ecuación es una igualdad
que tiene uno o más elementos desconocidos llamados incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los elementos que hacen que la igualdad sea verdadera.
¿CÓMO DESPEJAR LOS ELEMENTOS DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS?
2+3=52=5–3y3=5–2
( A ) EN UNA ADICIÓN, CADA SUMANDO ES IGUAL A LA SUMA MENOS EL OTRO SUMANDO.
6–4=26=2+4
( B ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL MINUENDO ES IGUAL A LA RESTA MAS EL SUSTRAENDO.
6–4=24=6–2
( c ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL SUSTRAENDO ES IGUAL AL MINUENDO MENOS LA RESTA.
2.3=62=6:3Y3=6:2
( D ) EN UN PRODUCTO, CADA FACTOR ES IGUAL AL PRODUCTO DIVIDIDO EL OTRO FACTOR.
8:2=48=4.2
( E ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVIDENDO ES IGUAL AL COCIENTE MULTIPLICADO POR EL DIVISOR.
8:2=42=8:4
( F ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVISOR ES IGUAL AL DIVIDENDO DIVIDIDO EL COCIENTE.
< 5 > La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es 1 + 2 + 3 + .... + n = n.(n + 1)
2
< 6 > Si al hallar la cantidad de divisores de un número entero lo descomponemos en sus factores primos y luego lo
escribimos como potencia y quede de la siguiente forma: n = a x.by.cz ; entonces la cantidad de divisores que tiene n es
del producto de los exponentes luego de sumarle 1 a cada uno de ellos, o sea
(x +1).(y + 1).(z + 1) = cant. de divisores de n.
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< 7 > En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes.
a+b
c
b
a+c
a
c+b
< 8 > DIVISOR COMUN MAYOR. Si a, b son enteros no nulos, entonces existe y es único d tal que:
 D es mayor que cero.
 D divide a a y d divide a b.
 c divide a a y c divide b entonces c divide a d.
A d llamamos divisor común mayor y anotamos (a;b). Para su cálculo ensayamos la división de a (ab) por b (b0). Si el
resto es 0, entonces (a;b) = b; si no lo es, dividimos b por ese resto y repetimos el procedimiento de dividir los
sucesivos divisores por los sucesivos restos. El mcd es el último resto no nulo (algoritmo de Euclides).
< 9 > MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO. Si a,b son números enteros no nulos, entonces existe y es único m tal que:
 m es mayor que 0.
 a divide a m y b divide a m
 si k es entero y k es mayor que 0 y k es múltiplo de y b, entonces m es menor o igual que k.
A m llamamos múltiplo común mínimo y anotamos a;b. Si a o b es cero, definimos a;b = 0.
< 10 > MEDIATRIZ. Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales . En un triángulo las mediatrices de los
lados se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita.
< 11 > MEDIANA. La mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las
medianas de los lados se intersectan en un punto llamado BARICENTRO (también llamado centro de gravedad).
La longitud de la mediana trazada en el lado A es: MA =  2.(B2 + C2) – A2
2
<12 > ALTURA. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto y es perpendicular a él.
Las alturas de un triángulo se intersectan en un punto llamado ORTOCENTRO.
< 13 > BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos partes iguales. En un triángulo, las
bisectrices se intersectan en un punto, INCENTRO que es el centro de la circunferencia inscrita. La longitud de la
bisectriz del ángulo opuesto al lado A es: L  = BC.(B + C)2 – A2 ]
B+C
El baricentro está alineado con el ortocentro, y el circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo.
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< 14 > TEOREMA DE PITÁGORAS. Para un triángulo rectángulo existe una relación muy conocida entre sus lados: es el
Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la hipotenusa (A) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (B y C)”. La
hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y los catetos son los lados restantes. La fórmula es la siguiente:
A2 = B2 + C2
B
A
C DE PITAGORAS:
< 15 > RECIPROCA DEL TEOREMA
Si en un triángulo de lados de longitud a, b y c que verifican A²= B²+ C² entonces el triángulo es rectángulo con catetos
de longitudes b y c e hipotenusa de longitud a.
< 16 > SUPERFICIE. La superficie del triángulo puede calcularse de diversas maneras según los datos que se dispongan:
* Fórmula básica: S = B x h
B: base; h : altura
2
* Fórmula de Herón: S = p.(p – A).(p – B).(p – C) ; p = A + B + C
2
Teniendo como dato adicional de la circunferencia circunscripta: S = A . B . C ;
R es el radio de la circunferencia.
4.R
< 17 > Si en un triángulo la base se mantiene constante y su altura se divide en “ n “ partes iguales su superficie
también queda dividida en “ n “ partes; y si su base se divide en “ n “ partes iguales y su altura queda se mantiene
constante su superficie queda dividida en “ n “ partes iguales.
< 18 > CUADRADO.
 Sus lados y ángulos son congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a L2
< 19 > RECTÁNGULO.
 Dos pares de lados opuestos congruentes.
 Todos sus ángulos congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 20 > ROMBO.
 Todos sus lados congruentes.
 Dos pares de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales son distintas y se cortan en sus puntos medios formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 21 > ROMBOIDE.
 Dos pares de lados consecutivos congruentes.
 Un par de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales se cortan formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 22 > PARALELOGRAMO.
 Dos pares de lados paralelos congruentes.
 Sus ángulos opuestos son congruentes, y sus ángulos consecutivos son suplementarios. (miden 180º).
 Las diagonales no son congruentes y no se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 23 > TRAPECIO.
 Un par de lados paralelos no congruentes y un par de lados no paralelos.
 Dos pares de ángulos consecutivos suplementarios.
 Sus diagonales no son congruentes.
 La superficie es igual a (B + b) . h
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2
< 24 > POLÍGONOS EN GENERAL.
* Números de diagonales: Sea un polígono de n lados, el número N de diagonales está dado por la fórmula:
N = n.(n – 3)
2
* Suma de los ángulos Interiores: La suma de los ángulos interiores está dada por la fórmula:
 i = 180º.(n – 2)
* Superficie: La superficie se puede calcular dividiendo al polígono en n triángulos como se muestra en el ejemplo:
* Polígonos regulares: Las fórmulas para calcular superficies son generales únicamente para polígonos regulares.
Dichos polígonos tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos congruentes. Consideramos ahora un polígono
regular de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, si queremos realizar el mismo procedimiento que en el
ejemplo anterior podemos tomar el centro de la circunferencia para poder trazar los triángulos.
< 25 > CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto
llamado centro. Círculo es la región encerrada por la circunferencia. Si R es el radio de la misma, la longitud de la curva
(llamada también perímetro) es C = 2..R; y el área del círculo es S = .R2.
< 26 > ACUTÁNGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos agudos.
< 27 > ÁNGULO ADYACENTE. El que resulta cuando una de las semirrectas que lo delimitan es común para dos
ángulos. Por ejemplo  y 
a
O
b
β
c
< 28 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo
recto
< 29 > ANGULO CENTRAL. El formado por el origen O de una circunferencia y dos radios r 1 r2
< 30 > ANGULO COMPLEMENTARIO. El que, sumado a otro, es igual a un ángulo recto.  +  = 90º
< 31 > ANGULO OBTUSO. El mayor que un recto.
< 32 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 33 > ANGULO SUPLEMENTARIO. El que sumado a otro da 180º.  +  = 180º
< 34 > CIRCUNCENTRO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de otra figura geométrica.
< 35 > Un cuadrilátero es un paralelogramo cuando tiene alguna de las siguientes propiedades:
a) Ambos pares de lados opuestos son paralelos (definición)
b) Ambos pares de lados opuestos son iguales.
c) Ambos pares de ángulos son iguales
d) Las diagonales se bisecan.
e) Un par de lados opuestos son iguales y paralelos.
< 36 > ACUTANGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos agudos.(menos de 90º)
< 37 > ADYACENTE. Significa próximo o al lado.
< 38 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto.
< 39 > ANGULO DE DEPRESIÓN. Formado por la línea recta que va desde el punto de observación al objeto por debajo
de la horizontal y esa horizontal.
< 40> ANGULO OBTUSO. El mayor que un ángulo recto.
< 41 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 42 > APOTEMA. Es el radio de la circunferencia inscrita en un polígono regular.
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< 43 > CATETO. Cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo que no es el opuesto al ángulo recto.
< 44 > CENTRO DE SIMETRÍA. Punto fijo situado a igual distancia de dos puntos simétricos.
< 45 > CIRCULO. Porción de un plano limitado por una circunferencia. Área de esa porción.
< 46 > CIRCULO CIRCUNSCRITO. Es el que pasa por todos los vértices de un polígono.
< 47 > CIRCULO INSCRITO. Aquél en el que los lados de un polígono son sus tangentes.
< 48 > CIRCUNCENTRO. Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.
< 49 > CIRCUNSCRITO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de otra figura.
< 50 > CONCAVO. Curvado como la superficie interna de una esfera.
< 51 > CONGRUENCIA. Es la propiedad por la que dos figuras pueden considerarse exactamente similares.
< 52 > CONJUNTO DISJUNTO. Son los conjuntos que no tienen elementos comunes.
< 53 > CONSTANTE. Es una cantidad fija que permanece igual a lo largo de todas las operaciones de un cálculo
matemático.
< 54 > CUADRILÁTERO. Figura plana limitada por 4 líneas rectas.
< 55 > DIAGONAL. Es la línea recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
< 56 > DIÁMETRO. Línea recta que pasa por el centro de un círculo y lo divide en dos partes iguales.
< 57 > DIGITO. Numero de una sola cifra.
< 58 > ECUACIÓN DIOFÁNTICA. Es una ecuación algebraica que tiene coeficientes enteros y cuya solución también
debe ser un número entero.
< 59 > EQUIDISTANTE. Todo punto situado a la misma distancia que otro.
< 60 > EQUILÁTERA. Toda figura que tiene sus lados de la misma longitud.
< 61 > INSCRITO. Cualquier figura geométrica trazada en el interior de otra.
< 62 > OBLÍCUO. Se dice de toda línea no perpendicular
< 63 > PARALELEPÍPEDO. Cuerpo de seis caras que son paralelogramos iguales y paralelos dos a dos.
< 64 > POLÍGONO REGULAR. Polígono que tiene iguales los lados y los ángulos.
< 65 > RADIO. Cualquier recta que va del centro a la circunferencia de un círculo.
< 66 > ROMBO. Figura geométrica limitada por cuatro rectas iguales y con los ángulos opuestos iguales pero no
rectos.
< 67 > ROMBOIDE. Figura geométrica limitada por cuatro rectas no iguales y con los ángulos no iguales.
< 68 > TRAPECIO. Cuadrilátero con dos lados paralelos.
< 69 > TRAPECIO ISÓSCELES. El que tiene iguales los ángulos adyacentes a una base.
< 70 > TRAPECIO RECTÁNGULO. El que tiene un ángulo recto.
< 71 > TRIÁNGULO ACUTÁNGULO. Triángulo con todos sus ángulos agudos.
< 72 > TRIÁNGULO ESCALENO. Triángulo que no tiene dos lados y dos ángulos iguales.
< 73 > TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
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V CERTAMEN 1996
1. El triángulo CDE y el rectángulo ABCE tienen igual altura. El área del polígono ABCDE es 72 cm2.
D
Sí AB = 9,6 cm. ¿Cuál es la longitud de la altura del triángulo?
E
C
B
A
2. Mariano compra un diario todos los días y una revista deportiva todos los domingos; paga por el total a fin de mes.
En un mes de 30 días en el que hubo cuatro domingos pagó $71. El diario cuesta $1,50 de lunes a sábado y $2,50 los
domingos. Sobre el precio de venta, el dueño del quiosco tiene una ganancia del 20% por los diarios y del 30% por las
revistas. ¿Cuánto ganó ese mes con las compras de Mariano?
3. ¿Cuántos cuadriláteros (polígonos de 4 lados) hay en la figura?
VI CERTAMEN 1997
1. Lucía fue a la feria del libro. Pagó $5 de entrada. Compró varios libros y un diccionario. Los libros costaban $84; al
agregar el diccionario, el total superaba los $100.
Por compras superiores a $100 se hace un descuento del 15% y, además, se devuelve el importe de la entrada. Lucía
pagó con un billete de $100 y uno de $20. Le devolvieron $14,50.
¿Cuál era el precio de venta del diccionario?
2. El rectángulo ABCD está formado por tres cuadrados de 1m2 de área.
E es punto medio de BC
F es punto medio de AD
¿Cuál es el área de la figura rayada?
3. Marcela olvidó las cuatro cifras del código de su tarjeta.
Recuerda que su código no tiene cifras repetidas, que las tres primeras cifras están, en algún orden en su número de
documento y que la cuarta cifra no está en su número de documento.
El número de documento de Marcela es 27127887.
¿Cuántos son los posibles números del código de la tarjeta de Marcela?
VII CERTAMEN 1998
1. Un fabricante de jabones vende cada paquete a $57,60.
Un paquete contiene una docena de cajas y cada caja contiene 4 jabones.
Si un comprador pide más de 100 paquetes, el fabricante hace un descuento del 5% sobre el total.
Ayer recibió un pedido de 6000 jabones. ¿Cuánto deberá pagar el comprador por este pedido?
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C
B
2. ABCD es un trapecio isósceles.
BCEF es un cuadrado de 36m2 de área.
Si el área del trapecio es el triple del
área de BCEF,
A
F
E
¿Cuánto mide el segmento AD?
3. Con los dígitos 1 - 2 - 3 - 4 y 5 se arman números de 4 cifras que son múltiplos de 3 y de 5.
Si se pueden repetir cifras, ¿cuántos números se pueden formar?
Explica por qué.
D
VIII CERTAMEN 1999
1. El Sr. Pérez compró un departamento por $54.000. Pagó el 40% al contado y el resto en 80 cuotas iguales. Por la
suma financiada se le hizo un recargo del 75%. ¿Cuántas cuotas tenía pagas el Sr. Pérez el día en que su deuda era de
$11.340?
2.
Si se reemplaza cada
por un dígito, ¿cuántos números de siete cifras que sean múltiplos de
9 se pueden obtener? Explica por qué.
3. El rectángulo ABCD tiene 128 cm2 de á
AB = 2 AD
AE = EB
DC = 4 FC
¿Cuál es el área del cuadrilátero AECF?
D
A
F
E
C
B
IX CERTAMEN 2000
1. El Sr. Pérez compró 4 juguetes: un avión, un bote, un coche y una grúa para regalar a sus tres nietos: Pedro, Tomás
y Martín. El Sr. Pérez quiere repartir los 4 juguetes y no quiere que Nina{un nieto se quede sin juguetes. ¿De cuántas
maneras distintas puede regalarlos?
2. Don José, el ferretero, por cada 40 tornillos que compra encuentra 4 defectuosos y los devuelve. Por cada 100
tornillos que vende regala 5. Si vendió 1200 tornillos y no le quedó ninguno, ¿cuántos tornillos había comprado Don
José?
3. En la figura BC = 2 AB; el ABE es un triángulo isósceles de 72 cm2 de área y BCDE es un rectángulo. Calcula el área
del cuadrilátero ABDE.
X CERTAMEN 2001
1. Con los dígitos 0–1–2–8 , se arman números de cuatro cifras, repetidas o no, que son divisibles por 4.
¿Cuántos de estos números se pueden armar?
2. ABCG es un rectángulo de 72 cm de perímetro.
HE es la altura del triángulo DEF.
AB = 3BC , FD = AB y HE = 2BC
¿Cuál es el área de la figura de vértices ABCDEFG?
3. Un local que hace fotocopias cobra, por cada una:
$ 0,10 si se piden menos de 100 fotocopias;
$ 0,07 si se piden entre 100 y 199 fotocopias y
$ 0,05 si se piden 200 fotocopias o más.
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Esta mañana, entraron 4 clientes que pagaron, en total $ 45.
El primero pidió 65 fotocopias, el segundo pidió el doble que el primero y el tercero pidió el doble que el segundo.
¿Cuántas fotocopias hizo el cuarto cliente?
XI CERTAMEN 2002
1. En la confitería, los sándwiches cuestan $ 54 el ciento. Un kilo de bombones más un kilo de masas cuestan como 50
sándwiches. Un kilo de bombones cuesta como un kilo y cuarto de masas.
Susana fue a la confitería con un número entero de pesos.
Después de comprar 75 sándwiches, lo que le quedó le alcanzaba para comprar 1 kilo de bombones pero no le
alcanzaba para comprar 1 kilo y medio de masas.
¿Cuánto dinero llevaba Susana? Da todas las respuestas posibles.
2. En el pentágono ABCDE se trazan las diagonales AD y CE
que se cortan perpendicularmente en el punto O, de modo
que: EO = 9 cm; DO = 12 cm; ABCO es un cuadrado y el
triángulo CDE tiene 150 cm2 de área.
¿Cuál es el área del pentágono ABCDE?
3. Pepito tiene 7 alambres de longitud 1 y 7 alambres de longitud 2.
Usando todos o algunos de estos alambres, arma y desarma rectángulos que no son cuadrados.
¿Cuántos rectángulos de distinto tamaño puede armar? Indica la longitud de sus lados.
XII CERTAMEN 2003
1. La Sra. García guarda las monedas de 25 centavos en un frasco verde y las monedas de 10 centavos
en un frasco rojo. El último día del año, en el frasco verde había $250 y en el frasco rojo $ 40.
Ese día decidió regalarle a Juan 3 de cada 100 monedas de 25 centavos y 5 de cada 100 monedas de 10 centavos.
¿Cuántos pesos le regaló a Juan?
2. El rectángulo AEFG tiene 180 cm de perímetro.
AB = BC = CD = DE = EF
El área del triángulo BHD es 2/9 del área
del triángulo BEF.
¿Cuál es el área del triángulo FHG?
3. Juan escribe una lista de todos los números de 3 cifras distintas que puede formar con los dígitos 2 - 3 - 4 - 7.
Pablo escribe una lista de todos los números de 2 cifras distintas que puede formar con los dígitos 2 - 3 - 4 - 7. Aldo
elige un par de números: uno de la lista de Juan, uno de la lista de Pablo y lo suma.
¿De cuántas maneras puede elegir Aldo el par de números para que la suma sea múltiplo de 5?
XIII CERTAMEN 2004
1. Una hormiguita recorre cada hora una distancia igual a 2/3 de lo recorrido la hora anterior.
Si en tres horas recorrió 76 cm, ¿cuántos cm recorrió durante la primera hora?
2. En la figura:
ABCD es un trapecio de base mayor de 12 cm,
FBCG es un cuadrado de 25 cm2 de área, E es punto medio de AB y 3CD = 2AB.
¿
Cuál es el área del cuadrilátero EFGD?
D
G
C
3. En un tablero formado por 2 filas de 3 casillas cada una ,A
F
B
E
Juan quiere colocar 2 fichas cuadradas y 2 fichas circulares, de modo que en cada
casilla no haya más de 1 ficha.
¿De cuántas maneras puede hacerlo?
Profesores: Carlos Dellagnolo y Rey Zarza
[email protected] ; [email protected] y [email protected]
Secretaría Regional de OMA
TERCER NIVEL
INTERESCOLAR
Provincia de Formosa
XIV CERTAMEN 2005
1. En un monedero hay solamente monedas de 25 y de 50 centavos. El número de monedas de 25 centavos es el
triple del número de monedas de 50 centavos. Si se gastan 8 monedas de cada clase, ahora, la cantidad de monedas
de 50 centavos es la quinta parte de la cantidad de monedas de 25 centavos. ¿Cuánto dinero había inicialmente en el
monedero?
2. De una hoja rectangular se cortan tres pedazos como indica la figura. A es un cuadrado de 144 cm2 área. B es un
cuadrado de 81 cm2 área. C es un triángulo rectángulo de 102 cm2 área. ¿Cuál es el área del pedazo que sobra?
3. Juan tiene un rompecabezas de 1200 piezas cuadradas de 1 cm de lado. Utilizando todas las piezas arma un
rectángulo. ¿Cuántos rectángulos distintos puede armar? Indica las longitudes de sus lados.
¿Cuáles de estos rectángulos se pueden partir en cuadrados de 2 cm de lado?
XV CERTAMEN 2006
1. En el club el 40 % de los socios son varones. Entre los varones, el 35 % son mayores de 25 años.
Hay 224 socios varones mayores de 25 años.
¿Cuántas mujeres son socias del club?
2. En un rectángulo ABCD se marcaron M punto medio del lado AB y N punto medio del lado BC.
Si MB = 2 BN, el triángulo MBN tiene 36 cm2 de área, ¿cuál es el área del polígono AMNCD?
3. Delfina tiene que elegir sus horarios para las clases de natación. Quiere ir dos veces por semana, nunca dos días
seguidos, un día a la mañana y otro a la tarde, una hora cada vez.
Hay clases de natación de lunes a sábado a las 9, a las 10 y a las 11 y por la tarde, de lunes a viernes, a las 17 y a las
18. ¿De cuántas maneras distintas puede Delfina armar sus horarios de la semana?
1. La ciudad Oeste tiene 35 000 habitantes.
XVI CERTAMEN 2007
De cada 100 habitantes, 24 tienen estudios universitarios completos.
De la población que tiene estudios universitarios completos, las dos quintas partes son mujeres.
¿Cuántas mujeres tienen estudios universitarios completos en ciudad Oeste?
2. El cuadrado ABCD tiene 96 cm de perímetro.
MB = 2AM
QA = 3 DQ
N y P son puntos medios de los lados.
¿Cuál es el área de AMNPQ?
3. En el certamen interescolar hay 3 niveles.
En total participaron 1972 chicos.
Cada escuela envía hasta 5 representantes por nivel.
¿Cuál es el menor número de escuelas que puede haber participado en ese interescolar?
Explica por qué.
XVII CERTAMEN 2008
1. Los 4/7 de los pasajeros de un tren turístico son extranjeros.
Hay 72 pasajeros argentinos. Los extranjeros ocupan las 3/8 partes de los asientos del tren.
¿Cuántos asientos tiene el tren?
2. En una pared rectangular de 12 m de ancho se coloca
un portón cuadrado, dejando 3 m a la izquierda y
el doble a la derecha. La superficie de pared que
queda alrededor del portón es 39 m2.
¿Cuál es la altura de la pared?
Profesores: Carlos Dellagnolo y Rey Zarza
[email protected] ; [email protected] y [email protected]
Secretaría Regional de OMA
TERCER NIVEL
INTERESCOLAR
Provincia de Formosa
3. En el quiosco venden paquetes de caramelos de distintas clases. Los de fruta cuestan $2 cada uno, los de chocolate
$4 y los de miel $3. Ana quiere comprar de las tres clases y quiere gastar $ 30.
¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar?
Indica todas las posibilidades.
XVIII CERTAMEN 2009
1. En la librería, cada cuaderno cuesta $6 y cada lápiz, $ 2.
Por una promoción, descuentan la sexta parte del total del gasto.
Susana compró 2 docenas de lápices y algunos cuadernos y pagó $ 180.
¿Cuántos cuadernos había comprado?
2. En el rectángulo ABCD de 80 cm 2 de área, se marcan: E punto medio de CD y F en AB de modo que AF = 3 FB.
¿Cuál es el área del triángulo FBE?
3. Vale escribe un número de tres cifras.
Después intercambia la cifra de las centenas con la cifra de las unidades y escribe este nuevo número.
Si suma los dos números que escribió obtiene un número de tres cifras iguales.
¿Cuál fue el primer número que escribió Vale? Da todas las posibilidades.
XIX CERTAMEN 2010
1. En básquet se pueden anotar 3 puntos (triple), 2 puntos (doble) o 1 punto (tiro libre) cada vez que se encesta en el
aro.
En un partido, un equipo obtuvo 86 puntos y habían encestado 40 veces.
Si se sabe que obtuvo 12 triples, ¿cuántos dobles y cuántos tiros libres encestaron?
D
C
j
P
T
2. El cuadrado ABCD tiene 168 cm de perímetro.
En cada vértice se recortó un cuadradito de 7 cm de lado.
¿Cuál es el área del rectángulo STPM?
M
A
3. Se quieren distribuir 25 caramelos iguales en tres frascos: uno rojo, uno azul y uno verde,
de modo que el frasco azul tenga por lo menos 2 caramelos más que el rojo y
el frasco verde tenga más del doble de los caramelos que tiene el azul.
¿De cuántas maneras se puede hacer? Indica cuáles son.
Profesores: Carlos Dellagnolo y Rey Zarza
[email protected] ; [email protected] y [email protected]
S
B