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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y
MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE FISICA
PRIMERA EVALUACION DE FISICA C
JULIO 2 DEL 2014
1. Dos varillas de una longitud L= 0.60m se cargan uniformemente con una densidad de
carga 1  2C / m y 2  2C / m , tienen una distancia entre ellas d  0.20m como
se indica en la figura. Calcule la fuerza sobre una carga puntual  q  0.1C colocada en
el punto P situado en la mitad de la distancia d entre las varillas. (8 puntos)
dF  k
q dx
d


 L   x
2


L
F  qk  
2
0
dx
d


 L   x
2


2
L




1
1
L
 1

F  qk  

 qk 
  qk  

d
d / 2( L  d / 2)
d / 2 L  d / 2
L  x

2
0
FTotal  2 F  qk 
4L
d ( L  d / 2)
FTotal  0.1x106 x9 109  2 106
4(0.60)
Newtons  0.0309 Newtons
0.20(0.70)
2. Un anillo circular de espesor muy delgado de radio interior a y radio exterior 2a, está
hecho de material dieléctrico y tiene una carga uniformemente distribuida  sobre
su superficie.
a) Encuentre una expresión para calcular el potencial eléctrico en un punto p ubicado a una
distancia z medida a lo largo del eje del disco como se indica en la figura. Considere cero
el potencial en el infinito. (5 puntos)
B
r
3a
dr’
a
Q
A
r’
2a
e
Primero calculamos el potencial en un punto a una distancia z sobre el eje del disco:
Integrando y evaluando entre r=a y r=2a:
V  2 k ( z 2  4a 2  z 2  a 2 )
b) Un electrón se aproxima moviéndose a lo largo del eje del anillo y pasa por el centro A
con una rapidez vA. Se observa que el electrón llega al reposo en el punto B a una
distancia 3a del centro y retorna. Determine la rapidez con que pasa el electrón por el
centro del anillo. Desprecie los efectos gravitacionales. (4 puntos).
Utilicemos el resultado anterior para determinar el potencial en los puntos A y B.
V  2 k ( z 2  4a 2  z 2  a 2 )
Evaluemos el potencial en los puntos z  0 y z  3a
V (0)  2 k a
V (3a)  2 k a( 13  10)
Aplicando el principio de la conservación de la energía y tomando en cuenta que
la velocidad en B es cero se tiene:
3. Dos resistores están hechos de un alambre de resistividad ρ sección transversal A. El
primer resistor, R1, está hecho de un solo alambre de longitud L. El segundo resistor, R2,
está hecho conectando dos alambres paralelos de longitud 4L unidos lado por lado como
se muestra abajo. ¿Cuál es la relación entre R1 y R2? (3 puntos)
L
R1
A 1

R2  4 L 2
2A

4. Tenemos un capacitor hecho de cascarones esféricos conductores concéntricos y muy
delgados, de radios interior 𝑎 y exterior 𝑏, el espacio entre las placas se llena de un
material con resistividad 𝜌.
a)
Deduzca una expresión para la resistencia entre las placas esféricas del capacitor. Exprese
su respuesta en función de 𝜌, 𝑎, y 𝑏. (5 puntos)
𝑑𝑅 = 𝜌
𝑅=
𝜌
𝑑𝑟
𝐴
=𝜌
𝑎−𝑏
( )
4𝜋 𝑎𝑏
𝑑𝑟
4𝜋𝑟 2
𝑅=
𝜌
𝑏
𝜌
1 𝑏
𝜌
1
1
∫ 𝑟 −2 𝑑𝑟 = 4𝜋 (− 𝑟 ) =4𝜋 (𝑎 − 𝑏)
4𝜋 𝑎
𝑎
b)
Suponga que una diferencia de potencial 𝑉𝑎𝑏 , se aplica entre las placas del capacitor.
Deduzca una expresión para la densidad de corriente en función del radio, J(r), en
términos de la diferencia de potencial 𝑉𝑎𝑏 y la geometría del capacitor. (3 puntos)
𝑉𝑎𝑏 = 𝐼𝑅
𝐽=
𝐼
𝐴
=
𝐼=
𝑉𝑎𝑏
𝑅
=
𝑉𝑎𝑏
𝜌 𝑎−𝑏
(
)
4𝜋 𝑎𝑏
4𝜋𝑎𝑏𝑉𝑎𝑏
𝜌(𝑎−𝑏)
4𝜋𝑟 2
=
𝐽=
4𝜋𝑎𝑏𝑉𝑎𝑏
𝜌(𝑎−𝑏)
𝑎𝑏𝑉𝑎𝑏
𝜌(𝑏−𝑎)𝑟 2
5. Una esfera dieléctrica de radio R tiene carga positiva distribuida uniformemente a través
de su volumen. La densidad de carga volumétrica es ρ.
¿Cuál es el flujo a través de una esfera Gaussiana de radio R/2 totalmente contenida dentro de la
esfera cargada eléctricamente, como se muestra por las líneas punteadas en la figura de abajo?
(3 puntos)
4 r 3
3

Q
4  R   R 3
3
 

  
o
o
3 o  2 
6 o
6. La figura muestra un generador de rayos X. El dispositivo consiste de dos placas
metálicas paralelas de área muy grande separadas una distancia de 10 cm. La placa de la
izquierda ("cátodo") es conectado a Tierra, mientras que la placa de la derecha (ánodo) es
conectado a un potencial de +11 kV. Los electrones son producidos desde el reposo en la
placa que hace de cátodo y se aceleran a través de la diferencia de potencial y golpean el
ánodo generando rayos X.
a) Calcule la rapidez final v que adquieren los electrones de masa m = 9.1 × 10-31 kg y carga
|q| = 1.6 × 10-19 C, al impactar el ánodo. (3 puntos)
Vq  K  K o
Vq 
mv 2
2qV
 v
2
m
2(1.6 x1019 )(11x103 )
v
 6.21x107 m / s
31
9.1x10
b) Cuando el generador de rayos X está funcionando, la densidad de carga superficial del
cátodo y del ánodo son iguales en magnitud y opuestas en signo. ¿Cuál es la magnitud
de σ? (3 puntos)
𝜎𝑑
𝑉𝜀
11×103 𝜀
𝑉 = 𝐸𝑑 𝑉 = 𝜀 ; 𝜎 = 𝑑0 = 0.1 0 = 11 × 104 𝜀0 𝐶⁄𝑚2
0
7. Una carga puntual Q está ubicada en el centro de un cascarón esférico conductor de radio
interior a1 y radio exterior a2. El cascarón conductor tiene carga neta cero. Rodeando el
conductor se encuentra un cascarón dieléctrico de espesor muy delgado con radio a3 y
carga uniformemente distribuida. La carga neta del cascarón no- conductor es QNC.
a) Calcule la componente radial del campo eléctrico resultante a una distancia radial de 15
cm medidos desde el centro de simetría. (3 puntos)
Qneta   o  E dA
tomamos una sup erficie Gaussiana de radio r  15 cm
Q  QNC   o E (4 r 2 ), r  15cm
E
1 Q  QNC
9  6  18 

9
x
10
106  4.8 x106 N / C

2
2 
4 o
r
 0.15 
Radialmente hacia afuera
b) Calcule la componente radial del campo eléctrico resultante a una distancia radial de 6
cm medidos desde el centro de simetría.
(3 puntos)
Qneta   o  E dA
tomamos una sup erficie Gaussiana de radio r  6 cm
Q   o E (4 r 2 ), r  6cm
E
1
Q
4 o r 2
 6  c)
el6potencial
E  9 x109 
10 6 Calcule
15 x10
N / C eléctrico
2 
0.06
del
cascarón
esférico
conductor,


Radialmente hacia adentro
considere cero el potencial en el infinito. (5 puntos)
a3
a2

a3
Vconductor    Edr   Edr
1 1
(Q  QNC )
 KQ   
a3
 a2 a3 
9 x109 ( 6  18)10 6
1 
 1

 9 x109 (6 x10 6 ) 


0.09
 0.04 0.09 
Vconductor  K
Vconductor
Vconductor  1.2 x106 V  0.75 x106 V  0.45MV
8. Considere dos capacitores hechos de cascarones esféricos como se muestra abajo. Los
dos capacitores son iguales en todas sus formas excepto que el capacitor C2 tiene dos
veces la carga en sus placas que el capacitor C1. Compare la capacitancia de C1 y C2.
Explique su respuesta. (3 puntos)
C1=C2
La capacitancia sólo es función de
la geometría del capacitor.
9. Cuatro capacitores, una batería y un interruptor son ensamblados en el circuito mostrado
abajo. Inicialmente, el interruptor se pone en la posición A y C4 está descargado.
a) Encuentre la energía total U, almacenada en los capacitores. (3 puntos)
Cequivalente 
C1C2
 C3
C1  C2
Cequivalente 
3x6
 4  6C
3 6
1
U total  CequivV 2  3 x102 J
2
b) Escriba la relación entre las cargas Q1, Q2 y Q3, las cargas que finalmente adquieren los
capacitores C1, C2 y C3, respectivamente. (ejemplo: Q2  2Q1 2/3 Q3 ), (3 puntos)
Q1  Q2 
Q3
2
c) Encuentre Q4, la carga sobre C4 cuando el interruptor es puesto en la posición B.
(3 puntos)
Sea Q3 la carga que finalmente adquiere C3. En paralelo con la fuente.
Q3 = CV = 400 C.
Sean q3 y q4 las cargas que se reparten los capacitores C3 y C4. Al pasar el interruptor a la
posición B.
q3  q4  400 C
q3 q4

C3 C4
C 
q3  q4  3 
 C4 
C 
q4  3   q4  400 C  q4  222.2 C
 C4 