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Interpolación polinómica wikipedia, lookup

Interpolación polinómica de Lagrange wikipedia, lookup

Interpolación polinómica de Newton wikipedia, lookup

Interpolación trigonométrica wikipedia, lookup

Fenómeno de Runge wikipedia, lookup

Transcript
Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan
diferentes coordenadas x):
(x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ),....,(x n , y n ).
Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos
n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase
por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación.
Vamos a ver una forma de la solución que es el llamado polinomio de
interpolación de Lagrange. (Lagrange publicó s u fórmula en 1795 pero ya
había sido publicada en 1779 por Waring y redescubierta por Euler en
1783).
La fórmula general para el polinomio de interpolación de Lagrange es
Donde usamos polinomios básicos de Lagrange:
Expandiendo el producto para verlo mejor:
Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad:
Entonces es muy fácil comprobar que estos polinomios pasan por todos los
n+1 puntos dados (es decir, es un polinomio de interpolación):
El grado del polinomio de interpolación de Lagrange es igual o menor que n.
Es el menor grado posible. El polinomio encontrado es único. Hay otras
maneras de calcular este polinomio (con sus ventajas e inconvenientes). La
forma de Lagrange es sencilla y se comprueba con facilidad q ue es un
polinomio de interpol ación y su grado. Pero para conocer los coeficientes
del polinomio hay que simplificar los términos. Otra característica de esta
forma de encontrar el polinomio es que si añadimos o quitamos puntos hay
que recalcularlo otra vez.
Vamos a ver algunos ejemplos. El más sencillo es una recta. Dados dos
puntos (x 0 , y 0 ) y (x 1 , y 1 ) hay exactamente una recta que pasa por esos dos
puntos:
Dados tres puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ), con coordenadas x
diferentes, o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio
de segundo grado (una parábola) que pasa por esos tres puntos. En
cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por
esos tres puntos.
Si tenemos 4 puntos, podemos encontrar un polinomio de grado 3 (o
quizás una parábola o una línea recta en algunos casos) que pasa por
esos 4 puntos:
Un función polinómica de grado 4 pasa a través de 5 puntos:
Usaremos los polinomios de interpolación de Lagrange para construir
aplicaciones interacti vas relacionadas con funciones polinómicas,
sus derivadas e integrales.
Las funciones polinómicas con coeficientes reales o complejos de grado n
tienen siempre n raíces (reales o complejas)(Teorema fundamental del
Álgebra):
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