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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CIRCUITOS ELECTRICOS II.
Ahora resolvamos un ejercicio en el tiempo y luego usando el método fasorial.
Ejercicio: Halle la respuesta forzada de 𝑣(𝑡) en el circuito de la figura. Sea f = 60 Hz
Solución a): Resolviendo en el dominio del tiempo.
𝑖𝑅 (𝑡) =
LCK:
𝑣𝑅 (𝑡)
𝐶𝑑𝑣𝐶 (𝑡)
; 𝑖𝑐 (𝑡) =
𝑅
𝑑𝑡
2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) − 𝑖𝑅 (𝑡) − 𝑖𝑐 (𝑡) = 0
𝐶𝑑𝑣(𝑡) 𝑣(𝑡)
+
= 2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑅
𝑣𝑓 (𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝑣𝑅 (𝑡) = 𝑣𝐶 (𝑡) = 𝑣(𝑡)
Se asume la respuesta forzada como:
Reemplazando:
𝜔𝐶𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) − 𝜔𝐶𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) +
𝐴
𝐵
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + cos(𝜔𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑅
𝑅
Igualando términos semejantes:
𝜔𝐶𝐴 +
𝐵
=0
𝑅
−𝜔𝐶𝐵 +
𝐴
=2
𝑅
Resolviendo: 𝐴 = 2.88 𝑦 𝐵 = −3.84
La respuesta forzada es : 𝑣𝑓 (𝑡) = 2.88𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) − 3.84𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡).
Se lleva a la forma 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚 sen(𝜔𝑡 + 𝜃).
𝑣𝑓 (𝑡) = √2.882 + 3.842 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃),
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜃 = atan (−
3.84
) = −53,13
2.88
Usando la igualdad: 𝑣𝑓 (𝑡) = 4.88 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + (−53,13)) = 4.88𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 53.13) [𝑉]
Solución b): Resolviendo en el dominio fasorial. (Independizando del tiempo e ir al dominio
fasorial)
Primero se pasa el circuito al dominio fasorial:
Donde:
𝑋𝐶 =
1
1
1
=
=
= 3Ω
𝜔𝐶 2𝜋𝑓𝐶 2𝜋 ∗ 60 ∗ 884.2𝑥10−6
Se puede resolver aplicando método de voltajes de nodo, como se uso en circuito de
corriente continua.
Solución:
Relaciones:
LCK:
𝑽 = 𝑽𝒂 = 𝑽𝑹 = 𝑅𝑰𝑹 ;
𝑽 = 𝑽𝒂 = 𝑽𝑪 = −𝑗𝑋𝐶 𝑰𝑪 ;
Despejo 𝑽:
𝑰𝑹 + 𝑰𝑪 = 𝑰𝑺
1
1
𝑽
𝑽 (𝑅 + −𝑗3) = 𝑰𝑺 = 𝒁
𝒆𝒒
𝑽 = 𝑰𝑺 ∗ 𝒁𝒆𝒒 = 2∠00 ∗ 2.4∠ − 53.130 = 4.8∠ − 53.130
Regresando al dominio del tiempo con la referencia que se tomo
𝑣(𝑡) = 4.88𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 53.13) [𝑉]
CONCEPTO DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJA
Elementos de circuito en el dominio fasorial.
El término impedancia se puede definir como la relación fasorial entre el voltaje sobre la
corriente.
𝒁=
𝑽
[𝑂ℎ𝑚𝑖𝑜𝑠 = Ω]
𝑰
La parte real de la impedancia corresponde a la Resistencia. R dada en Ohmios.
La parte imaginaria de la impedancia corresponde a la Reactancia X dada en Ohmios.
𝒁=
𝑽 𝑉∠𝜃𝑣
=
= 𝑅 ± 𝑗𝑋 = 𝑍∠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖 ) = 𝑍∠𝜃𝑍 = 𝑍𝑐𝑜𝑠𝜃𝑍 + 𝑗𝑍𝑠𝑒𝑛𝜃𝑍
𝑰
𝐼∠𝜃𝑖
El término admitancia se puede definir como la relación fasorial entre la corriente y el
voltaje.
𝒀=
𝑰
[𝑆𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠 = 𝑆]
𝑽
La parte real de la admitancia corresponde a la conductancia G dada en siemens.
La parte imaginaria de la admitancia corresponde a la susceptancia B dada en siemens
𝒀=
𝑰
𝐼∠𝜃𝑖
=
= 𝐺 ± 𝑗𝐵 = 𝑌∠(𝜃𝑖 − 𝜃𝑣 ) = 𝑌∠𝜃𝑌 = 𝑌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑌 + 𝑗𝑌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑌
𝑽 𝑉∠𝜃𝑣
Por tanto:
𝒁=
1
𝒀
Tenga en cuenta que:
1
1
1
1
𝑅 ≠ 𝐺 , si existe 𝐵. Y 𝐺 ≠ 𝑅 , si existe 𝑋.
𝑋 ≠ 𝐵 , si existe 𝐺. Y 𝐵 ≠ 𝑋 , si existe 𝑅.
Ejemplo: Si 𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋, determine G y B en función de R y X.
Desarrrollo:
Sea
𝑌=
1
1
𝑅 + 𝑗𝑋
𝑅
𝑋
=
∗(
)= 2
+
𝑗
(
)
𝒁 𝑅 + 𝑗𝑋 𝑅 − 𝑗𝑋
𝑅 + 𝑋2
𝑅2 + 𝑋 2
Siendo
𝐺= (
𝑅
𝑋
)
,
𝐵
=
(
)
𝑅2 + 𝑋 2
𝑅2 + 𝑋 2
DEFINICIÓN EN LOS ELEMENTOS DE CIRCUITO.
Para el inductor
𝑣𝐿 (𝑡) =
𝒁𝑳 =
Para el capacitor
𝐿𝑑𝑖𝐿 (𝑡)
− − − −→ 𝑽𝑳 = 𝑗𝜔𝐿𝑰𝑳
𝑑𝑡
𝑽𝑳
= 𝑗𝜔𝐿 = 𝑗𝑋𝐿
𝑰𝑳
𝒁𝑪 =
Donde 𝑋𝐿 : 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 [Ω]
𝒀𝑳 =
𝑣𝑐 (𝑡) =
1
1
∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 − − − −→ 𝑽𝑪 =
𝑰
𝐶
𝐶𝑠 𝑪
𝑽𝑪
1
1
=
= −𝑗 ( ) = −𝑗𝑋𝐶
𝑰𝑪 𝑗𝜔𝐶
𝜔𝐶
Donde 𝑋𝐶 : 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 [Ω]
𝑰𝑳
1
1
=(
) = −𝑗 ( ) = −𝑗𝐵𝐿
𝑽𝑳
𝑗𝜔𝐿
𝜔𝐿
Donde 𝑋𝐿 : 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 [Ω]
𝒀𝑪 =
𝑰𝑪
= 𝑗𝜔𝐶 = 𝑗𝐵𝐶
𝑽𝑪
Donde 𝑋𝐶 : 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 [Ω]
𝒁𝑳 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐿 [Ω]: Impedancia Inductiva
𝒁𝑪 = 𝑅 − 𝑗𝑋𝐶 [Ω]: Impedancia capacitiva
𝒀𝑳 = 𝐺 − 𝑗𝐵𝐿 [S]: Admitancia Inductiva
𝒀𝑪 = 𝐺 + 𝑗𝐵𝐶 [S]: Admitancia capacitiva
𝐺: 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 [𝑆]
𝐺: 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 [𝑆]
𝐵𝐿 : 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 [𝑆]
𝐵𝐶 : 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 [𝑆]
Para la resistencia
𝑣𝑅 (𝑡) = 𝑅𝑖𝑅 (𝑡) − − − −→ 𝑽𝑹 = 𝑅𝑰𝑳
𝒁𝑹 =
𝑽𝑳
=𝑅
𝑰𝑳
DIPOLOS SERIE Y PARALELO
Un dipolo es una representación de un elemento o un circuito con dos terminales. Cuando
no poseen ninguna fuente de energía son pasivos, de lo contrario activos.
Un dipolo puede representar un resistor, un inductor, un capacitor o un equivalente.
En el caso fasorial un dipolo pasivo pueden ser representado por su valor de impedancia o
de admitancia.
Dipolo equivalente serie
Dipolo equivalente paralelo
En su valor de impedancia.
En su valor de impedancia.
𝐙𝐞𝐪−𝐒 = Z1 + Z2 + ⋯ Zi + ⋯ Zn
En su valor de admitancia
𝐘𝐞𝐪−𝐒 =
1
1
1
1
1
Y1 + Y2 + ⋯ Yi + ⋯ Yn
𝐙𝐞𝐪−𝐏 =
1
1
1
1
1
Z1 + Z2 + ⋯ Zi + ⋯ Zn
En su valor de admitancia
𝐘𝐞𝐪−𝐏 = Y1 + Y2 + ⋯ Yi + ⋯ Yn
1
Ejemplo 01: Halle la impedancia equivalente en la entrada del circuito. Sea 𝑓 = 𝜋 𝐻𝑧.
𝒁𝟏 = 8 + 𝑗𝜔𝐿 = 8 + 𝑗2 ∗ 0.2
= 8 + 𝑗0.4
1
𝒁𝟐 = 3 − 𝑗 ( ) = 3 − 𝑗50
𝜔𝐶
Ejemplo 02: Determine vo (t) en el circuito de la figura.
XC =
1
= 25
ωC
XL = jωL = 20
Zeq = j100 Ω
Usando el concepto de divisor de tensión.
𝑽𝒐 =
(2∠ − 15) ∗ 𝒁𝒆𝒒
60 + 𝒁𝒆𝒒
= 17.15∠15.96; −→ 𝑣𝑜 (𝑡) = 17.15 cos(4𝑡 + 15.96) [𝑉]
Ejemplo 03: Si la fuente de alimentación tiene una frecuencia de 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
a) Si la impedancia vista por la fuente es 𝑍𝑒𝑞 = 15∠30° Ω
i)
Hallar el valor de R y L, para el circuito de la figura 1
ii)
Hallar el valor de R y L, para el circuito de la figura 2
iii)
Hallar el valor de R y L, para el circuito de la figura 5 si C = 10mF.
iv)
Hallar el valor de R y L, para el circuito de la figura 6 si C = 10mF.
Figura 1.
Figura 3.
Figura 2.
Figura 4.
Figura 6.
Figura 5.
Desarrollo:
𝒁𝑒𝑞 = 15∠30° = 15𝑐𝑜𝑠30 + 15𝑠𝑒𝑛30𝑗 = 13 + 7.5𝑗 Ω
𝒀𝑒𝑞 =
1
1
=
= 0.06667∠ − 30° = 57.73 − 33.33𝑗 𝑚S
𝑍𝑒𝑞 15∠30°
ai) Como están en paralelo, analizamos con 𝒀𝑒𝑞
𝑅=
1
1
=
= 17.32 Ω
𝐺 0.05773
𝑋=
1
1
=
= 30 Ω
𝐵 0.03333
𝐿=
𝑋 30
=
=3𝐻
𝜔 10
aii) Como están en serie, analizamos con 𝒁𝑒𝑞
𝑅 = 13 Ω
𝑋 = 7.5 Ω
𝐿=
7.5 7.5
=
= 750𝑚𝐻
𝜔
10
aiii) Como están en paralelo, analizamos con 𝒀𝑒𝑞
𝑅=
1
1
=
= 17.32 Ω
𝐺 0.05773
𝐵𝑒𝑞 = 𝐵𝑐 − 𝐵𝐿 = 0.03333 𝑆
Si 𝐵𝑐 = 𝜔𝐶 = 10 ∗ 1𝐸 − 3 = 10𝑚𝑆
𝐵𝐿 = 𝐵𝑐 − 𝐵𝑒𝑞 = 0.100 − 0.03333 = 0.06667 𝑆
𝐿=
1
1
=
= 1.5𝐻
𝜔𝐵𝐿 10 ∗ 0.06667
Ejercicio propuesto 01:
a) Si la impedancia vista por la fuente es 𝑍𝑒𝑞 = 15∠ − 30° Ω
i)
Hallar el valor de R y C, para el circuito de la figura 5 si L = 5mH.
b) Si la admitancia vista por la fuente es 𝑌𝑒𝑞 = 5∠30° S
ii)
Hallar el valor de R y L, para el circuito de la figura 6 si C = 1mF.
c) Si la admitancia vista por la fuente es 𝑌𝑒𝑞 = 5∠ − 30° S
iii)
Hallar el valor de R y C, para el circuito de la figura 2