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Identidades trigonométricas wikipedia, lookup

Teorema de los senos wikipedia, lookup

Teorema del coseno wikipedia, lookup

Transcript
INSTITUTO SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS
CUADERNILLO DE
MATEMÁTICA
6º Economía y Gestión y Ciencias Sociales
Año 2015
Profesoras
María José Bermejo
Romina Dato
Estefanía Velcic
-1-
FUNCIONES
Concepto: Una función definida de un conjunto A (llamado dominio) en un conjunto B (llamado codominio) es
toda relación, vínculo o nexo entre ambos tal que se cumplan las siguientes condiciones:
1. Condición de existencia: Todo elemento x del dominio tiene un elemento que le corresponde
en el codominio.
2. Condición de unicidad: La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.
Cuando se define una función debe explicitarse cuál es el conjunto de partida o dominio A, el conjunto de
llegada o codominio B, y la regla o fórmula que los vincula
Se simboliza:
y  f x  .
f : A  B / y  f x 
Se lee: la función f se define de A en B tal que y es la imagen de
x
a través de f
Decimos entonces que:
Dominio: son todos los elementos del conjunto A
Codominio: son todos los elementos del conjunto B
Imagen: son todos los elementos del conjunto B que intervienen en la relación entre A y B
Nota: el conjunto imagen de una función está incluido en el codominio de la misma. Pueden o no ser conjuntos
iguales.
Para indicar que un elemento genérico
x  A tiene por imagen un elemento genérico y  B
se denota
y  f x  y se lee: “y es la imagen de x” ,luego resulta que “x es la preimagen de y”
“ x es la variable independiente” e y “es la variable dependiente”
Los elementos de la función suelen indicarse de manera general como pares ordenados
primera componente pertenece al dominio y la segunda al codominio.
-2-
 x; y  donde la
ALGUNOS CONCEPTOS PARA EL ÁNALISIS DE FUNCIONES
Ceros o raíces de una función
Son los puntos donde se anula el valor de la función y representan, en caso de existir, las intersecciones del
gráfico con el eje x.
" a " es cero de f  f a  0
Para determinar el conjunto de ceros ( C ) de la función se resuelve la ecuación
0
f x   0
Relación entre multiplicidad de la raíz y el gráfico de la función
Multiplicidad par: es cuando la raíz se repite un número par de veces, en este caso el gráfico de la función
tiene intersección con el eje x (lo toca) pero no lo atraviesa.
Multiplicidad impar: es cuando la raíz se repite un número impar de veces, el gráfico de la función atraviesa
el eje x.
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento
Intervalo de crecimiento de una función es un subconjunto del dominio para el cual a mayores valores de la
variable independiente les corresponden mayores valores de la variable dependiente (a medida que aumentan
los valores de x aumentan los de y)
Intervalo de decrecimiento de una función es un subconjunto del dominio para el cual a mayores valores de
la variable independiente les corresponden menores valores de la variable dependiente (a medida que
aumentan los valores de x disminuyen los de y)
Conjuntos de positividad y negatividad
El conjunto de positividad
C  de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son números

positivos.
El conjunto de negatividad
C  de una función es el subconjunto del dominio cuyas imágenes son números

negativos.
-3-
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Si una función repite sus valores a intervalos iguales es periódica. Las funciones seno y coseno son periódicas
de período
2
ya que
sen x  sen x  2  y cos x  cos x  2 
Función seno
Podemos construir la gráfica a partir de la circunferencia trigonométrica en el intervalo
Si ampliamos su dominio se puede ver que es periódica de período
En el intervalo
C0 
 0; 2 
 0; 2 
2
tiene :
Máximo :
Mínimo :
-4-
Im f 
Función coseno
En el intervalo
C0 
 0; 2 
tiene :
Máximo :
Mínimo :
VARIACIONES DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
f x  A  sen B  x  C   D
AMPLITUD
Función
A
Conjunto imagen
f x   sen x
1
 1; 1 
f1 x   2sen x
2
 2 ; 2 
f 2 x   sen x
1
 1; 1 
1
2
 1 1
 2 ; 2 
f 3 x  
1
sen x
2
-5-
Im f 
Referencias:
2
f x   sen x
f1 x   2sen x
1
f 2 x   sen x
0
f 3 x  
1
sen x
2
-1
PERÍODO
-2
B
Período: T  2 
f x   sen x
1
2
f1 x   sen 2 x 
2

1 
f 2  x   sen  x 
2 
1
2
4
Función
B
Referencias:
f x   sen x
1
f1 x   sen 2 x 
1 
f 2  x   sen  x 
2 
-1
-6-
ÁNGULO DE FASE
C
B
Ángulo de fase
f x   sen x
0
0 (no se desplaza)


f1 x   sen  x  
4


4
 hacia la derecha
4

 hacia la izquierda
4
Función


f 2  x   sen  x  
4


4
Referencias:
1
f x   sen x
0


f1 x   sen  x  
4

-1


f 2  x   sen  x  
4

-7-
DESPLAZAMIENTO RESPECTO AL EJE DE ORDENADAS (EJE Y)
Función
D
Desplazamiento
f x   sen x
0
0 (no se desplaza)
f1 x   sen x  1
1
1 unidad hacia arriba
f 2 x   sen x  2
2
2 unidades hacia abajo
Referencias:
f x   sen x
1
f1 x  sen x  1
0
f2 x  sen x  2
-1
-2
-8-
EJERCITACIÓN DE TRIGONOMÉTRÍA
1) Completar la siguiente tabla
Grados
360º
sexagesimales
Radianes
2
Giros
1
450º
135º
5

4
120º
5

6
1

6
3
2
2
5
2) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda
a) 15º 24  924
b) 132,5º  132º5
c)
5
  225º
4
d)
1
  10º
18
e)

3
 30º
f)

8
 22º30
3) Calcular los valores exactos de las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º, utilizando la información
que se da en las figuras
a)
b)
C
C


ABC isósceles
ABC
AB  1
AB  2
sen 45º  ____
A º  ____
cos 45
sen 60º  ____
B
tg 45º  ____
A
cos 60º  ____
A
sen 30º  ____
B
cos 30º  ____
tg 60º  ____
A
B
-9-
equilátero
tg 30º  ____
B
4) Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. A partir de f ( x)  senx , la función:
a)
f ( x)  senx  4 , está desplazada 4 unidades con respecto al eje x.
b)
f ( x)  senx  4  , está desplazada 4  unidades hacia la derecha.
c)
f ( x)  sen4 x    , tiene por ángulo de fase a  .
d)
f ( x)  senx  2  , está desplazada 2  unidades hacia la derecha.
e)
f ( x)  sen2 x  2 , está desplazada  unidades hacia la izquierda.
5) Completar el siguiente cuadro.
Función
a)
f1 ( x)  2 sen3x   
b)
f 2 ( x) 
c)
f 3 ( x)   sen4 x     2
d)
f 4 ( x)  4 sen2 x  3
e)
1

1
f 5 ( x)   cos x  
2
4
2
f)
f 6 ( x)  2  cos    x 
Amplitud
3


cos x  
2
5

- 10 -
Período
Ángulo de fase
6)
Dadas las siguientes funciones.
f1 ( x)  2 cos2 x 
f 2 x  
1


cos x  
2
3

1 
f 4  x   2sen x 
2 
f 5 x  
1


sen 2 x  
2
3

1 
f 3  x   2sen x 
2 
1


f 6  sen x  
2
3

Indicar cuál es el gráfico que se corresponde con cada una de las fórmulas que las definen.
7) Graficar, a partir de f ( x)  senx , cada una de las siguientes funciones en el intervalo ( 
a)
f1 ( x)  senx  2
b)
f 2 ( x)   senx  1
c)


f 3 ( x)  sen 2 x  
2

- 11 -
d)
3 

f 4 ( x)  2 sen x 

4 

e)
f 5 ( x) 
1
4 
sen x 
2
3 

2
; 2 ) .
8)
Indicar los intervalos de positividad y negatividad, conjunto de ceros, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de las siguientes funciones.
f)
f ( x)  sen x

x   2 ; 0
g)
h)
9)
f ( x)  tg x

f ( x)  cos x

x   2 ; 0
x  0 ; 2 
Indicar los desplazamientos de las siguientes funciones con respecto a f ( x)  senx .
i) f ( x)  sen x     1
9

j) f ( x)  2 sen 2 x     4
2

k) f ( x)  sen 2 x     1
9

l) f ( x)  2 sen x     4
4

- 12 -
ECUACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1) Completar la siguiente tabla con los valores exactos cuando sea posible
̂

4

6
0

3
2
3

2
5
6

7
6
4
3
3
2
5
3
11
6
sen ̂
cos ̂
Tg ̂
cotg ̂
sec ̂
cosec ̂
2) Calcular el valor de las demás funciones trigonométricas, sin calcular el valor de
que se da en cada caso.
a ) senˆ 
1
2


b) tgˆ   3

c) cos ec ˆ  
26

5
 ˆ  
2
3
  ˆ  2
2
1
2
3
e) cos ˆ 
2
tgˆ  0
f ) cot gˆ  1
3) Deducir, a partir de tgx 
a) tg    
d ) cos 2 ˆ 
̂ , utilizando la información

ˆ  III cuadrante

3
  ˆ  2
2

cos ecˆ  0
sen x , las siguientes relaciones:
cos x
b) tg     
c) tg     
d ) tg 2    
4) Reducir las siguientes expresiones como únicas funciones


a) sen   x   cos   x 
2

b)
sen   x 
cos x 
- 13 -
c)
tg 2   x 
tg   x 


e) tg    
2

5) Simplificar las siguientes expresiones




a ) cos x   sen  x   sen   x   cos  x 
2

2

c)


b) sen 3   x   cos 3   x 
2

sen  x   2 sen  x 
4 cos  x   cos2  x 
d)
cos  x   cos  x 


2tg  x 
2

6) Verificar las siguientes identidades
a ) sen  x   cos  x   tgx  sen 2   x 




b) tg   x   cot g   x   sen  x   cos  x   0
2

2

c)
sen 2   x   cos 2   x 
 1  cos 2 x
1  sen 2   x 




d ) sec  x   cos  x  
2

2

1


sec 2   x 
2

e) sen  x   2 sen  x  
2

1
2

2
cos ec   x 
2

cos  x   cot g   x 
1
cos ec  x 
7) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para x  0 ; 2 
a) cos x  1
c)
2 cos x  1
b) tgx  1
d ) 3 tg x  3  0
e) sec x  2
f ) 2  cot g x 
1
2
8) Algunas de las siguientes ecuaciones no tienen solución. Indicar cuáles son y explicar por qué.
a) sen x  0,7
c) tg x  1000000
b) cos x  1,5
d ) sec x 
1
2
e) cos ecx  50
f ) cot g x  2
- 14 -
9) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para x  0 ; 2 
a ) 2 cos 2 x  3 cos x  1  0
b) sen 2 x  7 sen x  0
c)
3
3 cos 2 x  cos x  0
2
7
sen x  2
2
e) cos x  sen 2 x  cos x
d ) sen 2 x 
f ) 2 sen 2 x  sen x  1  0
10) Verificar las siguientes identidades trigonométricas
a) tg2x + 1 = sec2x
b) senx . cotgx . secx = 1
c) cosx + cosx . tg2x = secx
d) (senx – cosx) . (cosecx + secx) = tgx – cotgx
e) sec2x – 3 = tg2x – 2
f) cosecx + cotgx = cosecx . cotgx
senx + tgx
g) 1 – cosec2x = – cotg2x
h) (1 – sen2x) . sec2x = 1
i)
secx . cosecx = tgx + cotgx
j)
cosx . cotgx + senx + cosx + senx . tgx = secx + cosecx
k) (1 – senx)2 – (1 + senx)2 = – 4senx
l)
1 – (cos2x – sen2x) = 2 senx cosx
Tgx
m) cotgx +tgx = secx
cosecx
n) tg2x . cosec2x = sec2x
- 15 -
g ) cos 2 x  sen 2 x  3 cos x  1  0
h) 2 tg x  sen x  3
o) (cosx + senx)2 – (cosx – senx)2 = 4 cosx senx
p) 2 tgx = 2 senx cosx
sec2x
q) 1 + tgx = senx + cosx
secx
- 16 -
LÍMITES
LÍMITE FINITO
Vamos a estudiar en que condiciones los valores de una función se aproximan a un número real determinado
cuando los puntos del dominio se acercan a un punto a, que puede o no pertenecer al dominio.
Sea
f : R  3   R / f ( x)  2x  1
Completar la tabla y graficar:
x
f(x)= 2x-1
2,5
2,8
2,9
2,99
2,999
3
-----------
3,001
3,01
3,1
3,2
3,5
En conclusión, x = 3 no posee imagen, pero podemos tomar valores cada vez más próximos a tres, por izquierda y
por derecha, y f(x) se hace tan próximo a 5 como querramos y simbólicamente se escribe
- 17 -
lim 2 x 1  __
x 3
DEFINICIÓN INFORMAL DE LÍMITE FINITO
El límite de una función f cuando x tiende a un número a es el valor l al que se acerca la función f cuando x toma
valores próximos al valor a.
Simbólicamente se escribe:
lim f ( x)  L
xa
ÁLGEBRA DE LÍMITES
i.
lim  f x   k   lim f x   k
x a
vi. lim  f x 
x a
n
x a
ii. lim  f1 x   f 2 x   lim f1 x   lim f 2 x 
vii. lim
iii . lim k  f x   k  lim f x 
viii. lim  f x 
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
iv. lim  f1 x   f 2 x   lim f1 x   lim f 2 x 
v.
x a
x a
x a
x a
x a
lim  f1 x  : f 2 x   lim f1 x  : lim f 2 x 
x a
si f 2 x   0
EJERCICIO 1: Calcular los siguientes límites:


a) lim 2 x 2  5 x  1 
x 2
b) lim cos2 x  
x 0
x 9

x  2
x
d ) lim 3b 
c)
lim
x 0
- 18 -
n
  lim f x 
 x a

n
f  x   n lim f x 
x a
f2 x 
lim f 2  x 
x a
  lim f x 
 x a

LÍMITES LATERALES
LÍMITE POR DERECHA: es aquel que calculamos para valores próximos al punto
escribe
lim f x 
a
x a 
LÍMITE POR IZQUIERDA: es aquel que calculamos para valores próximos al punto
escribe
Graficar
solo por la derecha y se
lim f x 
a
solo por la izquierda y se
x a 
f ( x)  x
Para poder calcular
lim x debemos utilizar límites laterales (a derecha y a
x 0
izquierda)
lim x 
x 0
lim
x 0
x 



x 
  lim
x 0


- 19 -
Graficar
f ( x) 
x
x
Otra vez es necesario utilizar límites laterales
lim
x 0
lim 
x 0
x
x
x
x









lim
x 0
x
x

NOTA: Si una función admite el mismo número como límite por la derecha y por la izquierda de un punto
entonces dicha función tiene límite finito en el punto
a . En el caso de ser diferentes no existe el límite.
lim f x   ld

1) Si ld  li 
lim f x   _______
2) Si ld  li 
_______ lim f x 
x a 
lim f x   li
x a 
x a
x a
- 20 -
a,
EJERCICIO 2: Graficar y completar
2

 x  8 si x  2
f ( x)   x 2

si x  2
e
lim f  x  
x 2
lim f  x  
x 2


f x  
  _____ lim
x 2


- 21 -
EJERCICIO 3: Dadas las siguientes funciones, calcular, si existe, el límite en el punto indicado.
 1
a) f x   
2 x
si x  1
x 2
b) f ( x )  
2 x
si x  2
si x  1
si x  2
lim f x 
x1
lim f x 
x 2
22
EJERCICIO 4: Observar el gráfico y completar:
a)
f  3 
b)
f 2 
c)
f  2 
d)
f 7  
lim f x  
lim f x  
x 3
x 3
lim f x  
lim f x  
x 2
x 2
lim f x  
lim f x  
x  2
x 2
x 7 
x 7 
lim f x  
lim f x  
lim f x  
x  3
lim f x  
x 2
lim f x  
x  2
lim f x  
x 7
NO EXISTENCIA DE LÍMITE FINITO
Puede suceder, como hemos visto, que ocurra cuando los límites laterales no coincidan o porque el límite
sea infinito
23
LÍMITE INFINITO
Puede ocurrir que cuando x se aproxima al punto
a
los valores de la función superan, en valor absoluto,
a cualquier número prefijado.
Sea
f : R   0   R / f ( x) 
1
x
Completar la tabla y graficar:
x
f(x)
- 0,1
- 0,01
- 0,001
0
-------------
0,001
0,01
0,1
Se puede observar que a medida que x toma valores próximos a cero,
f (x )
toma, en valor absoluto,
valores cada vez más grandes.
Se dice entonces que
lim f ( x)   , entendiéndose por ello no que infinito sea un número sino que la
x 0
función en valor absoluto toma valores tan grandes como se quiera.
24
ALGUNOS CASOS PARTICULARES
a) f x  
1
x  22
b) f x   log x
1

x  2  x  2 2
lim log x 
lim
x0
EJEMPLOS: Calcular los siguientes límites
a) lim
x 2
3

x2
b) lim
x 1
1

x  12
c) lim
x 2
25
4

x 4
2
d)
lim
x 0
1

x2
CÁLCULO DE LÍMITES
a)
lim 2 x  1 
b)
lim 4 x  33x  5 
c)
lim 2 x3 
x

x 0 4
4
f ) lim

x 0 x
x4
g ) lim 2

x 4 x  16
e)
x 2
x 2
x 3
d)
lim
x 3
5

x2  4
h)
lim
lim x  2 
log3 9
x 2
i)
j)
lim sen x 
x 
lim 5 
x 2
25  x 2 
k ) lim
x 3

i)
lim
x 4
x4

x 2  16
En el ejemplo i) la función numerador y la función denominador tienen límite igual a cero. En este caso
se dice que se produjo una indeterminación.
LÍMITES INDETERMINADOS
Existen siete tipos de indeterminación
0 
,
,    , 0   , 1 ,  0 y 0 0
0 
Para poder resolver un límite indeterminado, debemos salvar la indeterminación, para ello es necesario
aplicar algún procedimiento algebraico que permita simplificar el problema que la provoca.
26
INDETERMINACIÓN
0
0
1. COCIENTE DE POLINOMIOS
En este caso debemos factorizar los polinomios del numerador y del denominador para poder
simplificar .
a) lim
x 4
x4

x 2  16
5x 2  2 x
b) lim

x 0
x
x3  1

x 1 x  1
c) lim
x 3  6 x 2  11x  6
d ) lim

x1
x2  x
27
e) lim
x2

x  4x  4
f ) lim
x2  2x  1

x3  4 x 2  5x  2
x 2
x1
2
2. COCIENTE DE EXPRESIONES IRRACIONALES
En este caso debemos racionalizar el numerador, el denominador o ambos para poder salvar la
indeterminación y así resolver el límite.
a ) lim
x 2
b) lim
x 0
x 2

x2
x
1  x2 1

28
x 2  5x  6

x 3
x 3
c) lim
d ) lim
x1
x 1

2x  2
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE
VARIABLE INFINITA
Hasta ahora hemos considerado límites finitos e infinitos para
sucede para
x  .
x a
donde
Se pueden presentar dos casos generales:
I ) lim f x   l
II ) lim f x   
x 
x 
29
a
es finito. Veamos que
EJEMPLOS
a) f x  
1
x
lim f  x  
x
lim f  x  
x
b) f x   x3
lim f  x  


f x  
  xlim



x
lim f  x  
x
30


f x  
  xlim



c) f x   ln x
d ) f x   e x
lim f x  
lim f  x  
x
x
x0
x
lim f x  
lim f  x  
31


f x  
  xlim



INDETERMINACIÓN


COCIENTE DE POLINOMIOS
Para resolver este tipo de indeterminación, se deben dividir todos los términos de la expresión por la
variable elevada al mayor exponente que aparezca en la función, luego simplificar y por último
reemplazar para poder resolver el límite.
2x2  x
a) lim 2

x  3 x  3
4x  6

x  3 x  6 x  8
b) lim
2
2 x 3  3x  7

x 
4 x 2  8x
c) lim
32
OBSERVACIONES:
Caso especial de límite:
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS (Indeterminación “0/0”)
Aceptaremos sin demostración que:
y los denominaremos límites trigonométricos fundamentales. Estos tres resultados se emplean en el
cálculo de otros límites que involucran expresiones trigonométricas. Es importante resaltar que en
ambos límites x tiende a 0.
Para resolver límites de este tipo se deben realizar manipulaciones algebraicas, conocer identidades
trigonométricas básicas y utilizar los límites fundamentales anteriormente dados.
33
LÍMITES Y ASÍNTOTAS
1) Dado el siguiente gráfico de f(x), calcular si es posible lo indicado en cada ítem, si no es
justificar.
a)
f  6 
b)
f 0 
c)
f 5 
d)
f 7  
e)
f 10 
lim
x  6
f x  
lim
x  6
lim f x  
f x  
lim f x  
x  6
lim f x  
lim f x  
x 0
x 0
x 0
x 5 
x 5 
x 5
x 7 
x 7 
x 7
x 10 
x 10 
x 10
lim f x  
lim f x  
lim f x  
lim f x  
lim f x  
lim f x  
lim f x  
lim f x  
2) A partir de los siguientes gráficos determinar, si existe,
34
lim f x  
lim f  x  y lim f  x 
x  
posible,
x  
3) Dados los siguientes gráficos calcular los límites que se indican en cada caso:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
lim f x  
x 2 
lim f x  
x0
lim f x  
x 0
lim f x  
x  3
lim f x  
lim f x  
x 
lim f x  
x 
lim f x  
lim f x  
x0
x 0
lim f x  
lim f x  
x 3 
x  
lim f x  
x 5
x 5
x 2 
x 2 
lim f x  
lim f x  
x 2 
lim f x  
x 
lim f x  
4) Calcular el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades:
ax  5
a) lim
2
x 5 x  3
x2  a2
b) lim
5
x a
xa
35
lim f x  
x 
5) Determinar cuál es la respuesta correcta en cada caso.
a) lim
x 1
b) lim
 2 x 3  8 x 2  2 x  12
5 x 2  15x  20

2 x 3  8 x 2  2 x  12
x   8 x 3  5 x 2  15x  20
i)

12
12
ii)
5
25
i)
iii) 
1
3
ii) 
4
5
24
25
iv) 
8
25
iii) No existe
v) No se puede calcular
iv) No se puede calcular
6) Calcular los siguientes límites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
8 x  3x 2  1
x 
x2  2
2x  1
l) lim 2
x  x  3 x  5
2

b  x  b 2
m) lim
x 0
x
2  h 3  8
n) lim
h 0
h
x 3  2 x 2  3x
x 0
x3  4x
x 3  6 x 2  12 x  8
lim
x  2
x 2  3x  2
x3  x2  x 1
lim
x 1
x2  x  2
2x 2  x  1
lim 2
x 1 x  x  2
x 2
lim
x4 x  4
x 3
lim 2
x 3 x  3
x 1
lim
x 1 x  1
1 x  1 x
lim
x 0
x
k) lim
lim
o)
p)
5 x  5
x 0
x
5
x 1
j) lim
x 1 x  1
i)
lim
36
lim
9 x  x 3  x 2  6 x 5  18
x   8x 3  7 x 4  x  9 x 2  3
lim
x 
ax  12  2
5x 2
DERIVADAS Y RECTA TANGENTE Y NORMAL
f  x  si:
Ejercicio 1: Calcular
1)
f x   6
2)
f x   7 x
3)
f  x   x10
4)
f x  
5)
f x   3
6)
f x  
1
x
3
1
2 x  5x 4
 x 3
1
x
7) f  x   x  2 3 x 

5 x 5
8)


f  x   10 x 4  8 x 3  5 x 2  2 x
10)
f x  
12)
14)
f  x   3 8 x 3  2 x  2
15)
f  x   ln 5 x 6  2 x
16)
f  x   ln 3 x 3  2 x
17)
f  x   10 x
18)
f  x   83 x
19)
f  x   e ln  5 x
20)
f  x   5 x ln x
21)
f  x   sen x 3
22)
f x   sen e x  3 x 4
23)
f x   cos ln x  3 x 2
24)
f x   tg 4 x 5  sen x
25)
f  x   sen 5 x

6
6

2 x
2
6x

f x   5 x 3  8 x 2
9)
11)

f x   2 x 2  x 3
1
x4

13)
f x  
f x  
10 x 3  2 x
8x  7 x
5
3x



3
5
8x 2  5x



5

60 x 3  2 x 4
10 x 2  8
37

f  x   tg 6 x
27)
f x   sen x 3
28)
f x   3x 2  sen x
29)
f  x   ln tg 3 x
30)
f x   3 cos x

a)


32) f x  sensenx
7

Ejercicio 2: Calcular

31) f x   x 3  5x  e 2 x
26)

5
 
33) f x   cos 2 5 x 2

f x, f x y f x para las funciones
f ( x)  sen2x
b)
c)
f ( x)  x  e  x
f ( x)  ln x 4
Ejercicio 3: Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal al gráfico de cada una de las
siguientes funciones en el punto de abscisa indicada:
a)
f ( x)  x 2  5 x  3
x3
x4
b)
f ( x) 
c)
f ( x)  6 x  2
d)
f ( x)  3x 2 
en a = 1
e)
f ( x)  3  x   e 2 x
f)
f ( x) 
g)
f ( x)  ln x 2  2 x  2
en a = 0
en a = – 1
en a = 8
1
x
x3  2x  1
x2  2
en a = –1
en a = –1


en a = –1
38
Ejercicio 4: Indicar para cada función, los puntos del gráfico donde la tangente es horizontal.
a)
f ( x)  x 2  3 x  2
b)
f ( x) 
x
9 x
Ejercicio 5: Indicar en que puntos del gráfico la tangente tiene pendiente:
a)
9 para la función
f ( x)  x 3  9 x 2  36 x
b)
2 para la función
f ( x) 
c)
2 para la función
f ( x)  ln 25 x 2  4
x3 7 2
 x  14 x  7
3 2


Ejercicio 6: Determinar en que puntos la tangente al gráfico de f forma con el eje positivo de abscisas
un ángulo de:
a)
b)
c)
45º si
60º si
x4
f ( x) 
 7 x  17
4
f ( x)  x 3 
135º si
1
x
f ( x)  3x 3  5x 2  17
39
Ejercicio 7: Hallar el punto P tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de
f ( x)  2 x 3  3x 2  9 x  8 en el punto P es t ( x)  3x  12
Ejercicio 8: Hallar todos los puntos del gráfico de la función
f ( x)  x 3  2 x  6 para los cuales la
recta tangente es paralela a la recta y  x  7 . Escribir las ecuaciones de las rectas en
dichos puntos.
Ejercicio 9: Determinar a, b  R tal que la recta y  8 x  6 sea tangente al gráfico de
f ( x)  x 3  ax  b en el punto de abscisa x0  1
40
ASÍNTOTAS. FUNCIÓN RACIONAL. CONTINUIDAD
1) Hallar el dominio y las ecuaciones de las asíntotas lineales a los gráficos de las siguientes funciones
(no se pide graficar)
2)
a)
f ( x) 
x2  2x  3
x3  2 x 2  x  2
e)
f ( x) 
x2
x  x 2  6x
b)
x3  x 2  4 x  4
f ( x) 
x2  x  6
f)
f ( x) 
x 2  2x
x 3  3x 2  4
c)
x2  x  6
f ( x)  2
x  6x  9
g)
f ( x) 
2x2  4x
x2  4
d)
x3  x 2  2 x
f ( x) 
x 2  3x
h)
f ( x) 
2 x 3  3x 2
x2  4
Dadas las siguientes funciones se pide para cada una de ellas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a)
b)
Dominio
Factorizar y simplificar de ser posible
Intersecciones con ambos ejes
Ecuaciones de las asíntotas
Representación gráfica
Conjuntos imagen, de positividad, negatividad y ceros.
f : A  R / f ( x) 
2
x 3
2
f)
d)
e)
f : A  R / f ( x) 
x5
x  25
x 2  3x
f : A  R / f ( x) 
x3
g)
c)
3
f : A  R / f ( x) 
f : A  R / f ( x) 
f : A  R / f ( x) 
f : A  R / f ( x) 
2
x3  x 2  2x
x 2  3x
1
x  22
h)
f : A  R / f ( x) 
i)
f : A  R / f ( x) 
2x  5
4x  1
x2 1
x2  2x  1
x 2  16
x4
x3  x 2  x  1
x 1
41
j)
f : A  R / f ( x) 
x
x x
3) Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. Cuando
corresponda, clasificar el tipo de discontinuidad.
3
a)
f ( x) 
x 2  100
x  10
b)
f ( x) 
x 2  25
x5
c)
f ( x) 
3
x2
d)
f ( x) 
x2
x 2  5x  6
1
x
en x  10
en x  5
en x  2
en x  2 y en x  3
e)
f ( x) 
en x  0 y en x  1
f)
f ( x) 
g)
x 3  x 2  16 x  16
x 3  16 x
x  1 , x  4 , x  4 y x  0
x2  x  2
x2  x  6
en x  1, x  2 y x  3
f ( x) 
42
ESTUDIO DE FUNCIONES
1) Estudiar el crecimiento de la función
f x   x 3  3x  2 en a  2 y a  0
2) Dadas las siguientes funciones se pide hallar máximos y mínimos locales y los intervalos de
crecimiento y
de decrecimiento
a) f x   x 3  3x  2
f ) f x   x 3  3 x 2  9 x  14
b) f x   4 x 3  6 x 2  72 x
g ) f x   x 3  x
c) f x   3x 4  4 x 3  12 x 2  1
h) f  x   x 2  2 x  8
d ) f x   3x 4  4 x 3  12 x 2  3
i) f x  
e) f  x   
x2 1
x
3
x 1
2
3) Marcar la o las opciones correctas: Si f ( x)  x3  3x 2  1
a) Tiene un máximo local en  2; f  2  y un mínimo local en  0; f  0 
b) Tiene un máximo local en  0; f  0  y un mínimo local en  2; f  2 
c) No tiene extremos
4) ¿Cuáles son los valores de a y b si f x   ax 2  bx tiene un máximo relativo en x  2 y
f 2  6 ?
5) ¿Cuál es el valor de a para que f  x   x 3 
a  1
x
tenga un extremo en x  2 ?
6) Hallar el dominio de las siguientes funciones, indicar si tiene puntos de inflexión, cuáles son y
estudiar los intervalos de concavidad:
a)
f x   1  x 3
b)
f x  
x
x 1
43
7) Realizar el estudio completo de las siguientes funciones:
a) f x   x 3  3x
d ) f x   
b) f  x   x 3  3 x  4
e) f  x  
c) f x    x 3  3x 2  2
3
x 1
2
1 3
x  3x 2  5 x  3
3
f ) f x   x 3  3x 2
44
INTEGRALES INDEFINIDAS
Ejercicio 1: Calcular las siguientes integrales inmediatas:
a)
 5 dx 
l)
  3x  sen x  cos x  dx 
b)
x
 2 x 7  dx 
m)
 2x
c)
x

n)

d)
  2  x  dx 
o)
 
e)
e
p)
  x  3  x
f)
  cos t  3 dt 
q)
4
g)

r)
x
s)
  3 sen z  cos z  dz 
t)

u)
 m
h)
i)
j)
k)
4
dx

3
t
dt 
5x dx 
3
2x dx 
  2e
z
x
2 x dx 
y
3
 z  dz 
3
 3 x  6  dx 
a x3 dx 
5
 1

 e x  2 cos x  dx 
x

x
2
 4  dx 
dx 
1
dx 
6


x  1 x  x  1 dx 
2
 2m  5  : m 2 dm 
y dy 
45
Ejercicio 2: resolver utilizando el método de sustitución.
a)
b)
dx
 2x  5


x
4
5  2x2
dx 
c)
 sen x  cos x dx 
d)
 2x  e
e)
 sec  2ax  dx 
3
x2  2
dx 
2
Ejercicio 3: resolver utilizando el método de integración por partes
a)
b)
c)
d)
 x sen x dx 
e

3
x
e)
 ln 2x dx 
f)
e
g)
 x sec
cos x dx 
x
sen x dx 
x ln x dx 
2
x dx 
 x ln x dx 
Ejercicio 4: resolver las siguientes integrales:
46
a)
 x  cos x dx 
b)
 1  2 cos x dx 
c)

d)
 cos  ln x  dx 
e)
 sen x  cos x dx 
f)
 cos  ln x   x dx 
sen x
1 x
dx 
x
5
1
1
sen x  x 4
g)
 5cos x  x
h)
 x  cos 5 x dx 
i)
e
j)
sen x
 e
x3
5
dx 
cos x dx 

 2 x2 dx 
47
EJERCICIOS EXTRAS
Funciones Trigonométricas – Identidades y Ecuaciones
1) Reconstruyan la fórmula de cada una de las siguientes funciones, hallando los valores de A, B C Y D,
según corresponda en cada caso.
a) F(x)= A cos (Bx)
b) F(x)= A sen (Bx)
c) F(x)= A sen (Bx – C)
d) F(x)= A cos (Bx)
+D
48
2) Grafiquen, a partir de f(x)= sen x, cada una de las siguientes funciones en el intervalo [0; 2π]. Indicar
los intervalos de positividad y negatividad, conjunto de ceros, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
a) F1(x)= sen (2x – π)
c) F3(x)= 3sen (2x + π)
b) F2(x)= sen(2x - π) + 1
d) F4(x)= -sen (2x) – 1
3) Grafiquen, a partir de f(x)= cos x, cada una de las siguientes funciones en el intervalo [0; 2π]. Indicar
los intervalos de positividad y negatividad, conjunto de ceros, los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
a) F1(x)= cos(x + )
c) F3(x)= 2 cos (2x) - 1
b) F2(x)= 2 cos(x + )
d) F4(x)= 2 cos (2x - ) – 1
4) Verificar las siguientes identidades trigonométricas:
a)
b)
c)
d)
e)
5)
Encontrar los valores de
entre
y
que verifiquen las siguientes ecuaciones. Utilizar identidades
en caso de que sea necesario.
a)
g)
b)
h)
c)
i)
d)
j)
e)
k)
f)
49
Límites
1. Calcular el valor de los siguientes límites finitos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2. Verificar los siguientes límites:
a)
c)
b)
d)
e)
3. Demostrar los siguientes límites:
a)
b)
c)
d)
4. Calcular los siguientes límites infinitos:
a)
b)
c)
d)
50
Derivadas
1. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2. Calcular la derivada de las siguientes funciones compuestas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3. En la curva
hallar los puntos en los que la tangente es paralela a la recta
4. Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de abscisa
a)
5. Sea
.
.
b)
. Hallar el punto P del gráfico f en el que
es la ecuación de la recta
tangente.
6. Hallar los puntos en los que la pendiente de la recta tangente al gráfico de
es igual a 2.
51
Función racional
1. Determinar el dominio y tipo de discontinuidades de las gráficas de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
2. Para las siguientes funciones, se pide: Dominio, imagen, intersecciones con los ejes, intervalos de positividad
y negatividad, ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales y el gráfico de f.
a)
b)
c)
d)
3. Elegir entre las funciones siguientes cuál es la que corresponde a cada uno de los gráficos:
52
Estudio de funciones
1. Hallar los intervalos de los valores de x donde la curva:
a) crece
b) decrece
c) es cóncava hacia arriba
d) es cóncava hacia abajo
e) máximo local
f) mínimo local
Graficar en todos los casos
53
Integrales
1. Calcular las siguientes integrales:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
54