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“Probabilidad. Experimento aleatorio, espaciomuestral, variable aleatoria. Probabilidad
condicional. Sucesos mutuamente excluyentes e independientes. Variable aleatoria.
Esperanza y varianza de una variable aleatoria. Distribución de probabilidad.”
Conceptos iniciales:
Las teorías matemáticas, sobre todo las relacionadas con fenómeno naturales, a los
que se trata de entender para luego poder predecir, se construyen siempre a partir de
conceptos intuitivos, suficientemente claros para que puedan ser aplicados en las primeras
etapa de la teoría, pero no suficientemente rigurosos para que queden a salvo de objeciones
cuando la misma alcanza cierto grado de desarrollo. Se hace necesario, entonces, revisar los
fundamentos, precisar las definiciones y dar, si es posible, una construcción axiomática.
Sin embargo, para comenzar a estudiar una teoría, no siempre el camino axiomático es
el más recomendable. Los axiomas son elaborados por quienes conocen muy bien la teoría, y
su verdadero sentido se comprende con facilidad cuando se está familiarizado con el tema.
Es mejor empezar por definiciones tal vez no muy exactas y con ejemplos simples, pero
substanciales, para poder comprender luego el verdadero sentido de los axiomas, y para que
los mismos aparezcan de manera natural como expresión sintética y firme de conocimientos
ya adquiridos.
Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos estos dos valores, que describe
la posibilidad de ocurrencia de un evento.
Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.
·
Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene siempre el mismo resultado.
·
Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas condiciones se obtienen distintos resultados.
Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de un experimento.
Evento: Es una colección de uno o más resultados de un experimento.
Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección de uno o más resultados de un experimento.
·
E1=Sacar un 5 al tirar un dado
·
E2=Sacar un número par al tirar un dado.
·
E3=Sacar un número menor que 7 al tirar un dado=EVENTO CIERTO
·
E4=Sacar un número mayor que 6 al tirar un dado=EVENTO IMPOSIBLE
Sucesos mutuamente excluyentes:
·
Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos impide
la ocurrencia del otro.
·
P(A
B)=P(AyB)=P(AB)=0
Sucesos colectivamente exhaustivos
·
Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos cuando al menos
uno de ellos deba ocurrir siempre que se realiza el experimento.
·
Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma de las probabilidades de todos los
sucesos deberá ser igual a 1.
Espacio muestral:
experimento.
Es el conjunto de todos los posibles
Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de Listas
Conjunto de posibles resultados al tirar un dado={1;2;3;4;5;6}
Diagramas de árbol
Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas
resultados de un
Tablas rejilla
Conjuntos (Diagramas de Venn)
Se pretende representar a las mujeres, a los
universitarios pero es necesario tener en cuenta que
existen mujeres universitarias.
Tablas de doble entrada Cuando se tienen
dos o más variables con dos o más categorías
cada una, por ejemplo hombres y mujeres, Ingenieros Agrónomos y Licenciados en Economía
y Administración Agraria.
Recordemos
cuales son
los
totales
marginales y
el gran total.
Definiciones de probabilidad:
Definición de probabilidad clásica
Se basa en que todos los resultados son igualmente probables o equiprobables.
· Mutuamente excluyentes
Colectivamente exhaustivos
Regla de Laplace:
Ejemplo: Sea el experimento de tirar dos monedas a la vez
•El espacio muestral será S = {CC, CS, SC, SS}
•Consideremos el evento de que salga una sola cara.
•Probabilidad de una sola cara = {CS, SC}/{CC, CS, SC, SS}= 2/4 = ½ = 0,5
Probabilidad frecuencial.
Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de ocurrencia de un evento
se determina por observación del número de veces que eventos similares
ocurrieron en el pasado.
(Frecuencia relativa)
Ejemplo: Sea el experimento de estudiar una droga que cura cierta enfermedad en vacunos
enfermos. Se aplicó a 1000 vacunos y se curaron 700.
•El espacio muestral será S = {curado; no curado}
•Consideremos el evento de que el vacuno se cure.
•Probabilidad de curado = 700/1000=0,7
Probabilidad subjetiva:
Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo, ni posibilidad de efectuar
repetidamente el experimento, se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen saber y
entender estimará la probabilidad.
Ejemplos:
•Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato
•Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón
•Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una compañía se incremente en
dos años.
Axiomas de probabilidad
Independientemente de que definición de probabilidad utilicemos, siempre se
deberán cumplir
los siguientes tres axiomas.
Axiomas:
•Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número mayor o igual
a cero
P (A)≥0
•Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.
P(S)=1
•Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes luego la probabilidad de la
unión entre ambos está dada por la siguiente fórmula.
P(A∪B)=P(A)+P(B)
Consecuencias de los axiomas de probabilidad:
1.- 𝑃(∅) = 0
2.- Si 𝐴̅= Suceso complementario de A, es decir, 𝐴̅ = 𝑆 − 𝐴 , 𝑠𝑒𝑟á , 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴)
3.- Si , 𝐴1 ∁ 𝐴2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝐴1 ) ≤ 𝑃(𝐴2 )
4.- Para todo A, se cumple que: 𝑃(𝐴) ≤ 1
Regla general de la suma de probabilidades:
Si A y B son dos sucesos no mutuamente
excluyentes, la probabilidad de la unión
entre ambos está dada por la relación:
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)
Ejemplo:
Independencia:
Dos eventos A y B son independientes cuando se cumple que la la probabilidad
conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵)
Probabilidad condicional
Es la probabilidad de ocurrencia de un evento en particular, dado que otro evento
ha ocurrido. La probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ha
ocurrido se escribe P(A/B)
Regla general del producto:
Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta de que ambos sucedan se
calcula según la siguiente formula:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴/𝐵)
Si los evento A y B son independientes , la probabilidad conjnta de que ambos
sucedan , se calcula según la siguiente fórmula:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴)
Problemas a resolver:
Dos candidatos a los consejos de administración A y B , compiten por el control
de una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y
o,3 respectivamente. Si gana A , la probabilidad de intrioducir un nuevo producto
es 0,8 y si gana B , la correspondiente probabilidad es 0,4.
Demuestre que antes de las elecciones, la probabilidad de que sea introducido un
nuevo producto es 0,68.
Sugerencia , recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta.
Considerar todo el espacio muestral.
Problemas a resolver:
El 34% de los árboles de un bosque tienen más de 15 años. El 54% son de la variedad A. De
los de la variedad A, el 7% tiene más de 15 años. Si se elige un árbol al azar,
¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 15 años y sea de la variedad A?
¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 15 años, sea de la variedad A?
Sugerencia: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta.
Considerar la tabla de contingencia:
Problema a resolver:
El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una
enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en
20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal
infectado se recupera. ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido la
vacuna preventiva?
Sugerencias: recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta.
Regla del producto.
Variable aleatoria
Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral, se
denomina variable aleatoria a la función que asigna a cada elemento del
espacio muestral un número real.
𝑋: 𝑆 → 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑋(𝑆) = 𝑥
Ejemplo: si se define la variable aleatoria, X= número de caras obtenidas al
arrojar dos monedas:
¿Qué valores puede tomar X?
X(SS)=0
X(CS)=X(SC)=1
X(CC)=2
Se denomina recorrido Rx al conjunto de valores que puede tomar la variable.
Variable aleatoria discreta:
Una variable aleatoria es discreta
cuando toma un número contable de valores. Entonces entre dos valores
consecutivos de una variable aleatoria discreta no hay ningún número que
pertenezca al recorrido de la variable Rx={𝑥1 , 𝑥2 ,
valor de la variable aleatoria.
𝑥𝑛 } , donde cada 𝑥𝑖 es un
En general, estos valores no serán igualmente probables, sino que cada X
tendrá asignada una probabilidad.
Luego, para caracterizar una variable aleatoria es necesario conocer su
recorrido y la probabilidad de cada elemento del recorrido.
Ejemplo. Retomando el ejemplo de X= “cantidad de caras al lanzar al aire dos
monedas”.
P(X=0)= P(SS)= ¼
P(X=1) = P(SC;CS)=1/2
P(X=2) = P(CC)=1/4
Propiedades
1) P(𝑋𝑖 ) ≥ 𝑜 , ⍱ 𝑥𝑖
2) ∑𝑥𝑖 ∈𝑅𝑖 𝑃(𝑥𝑖 ) = 1
Variable aleatoria continua:
Una variable es continua en un intervalo, cuando puede tomar cualquier valor
perteneciente al intervalo.
En general definiremos variables aleatorias continuas cuando las
experiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo, temperatura,
etc.
En este caso se define (en lugar de la función de distribución), una
función de densidad de probabilidad que tiene las siguientes propiedades:
1) 𝑓(𝑥) ≥ 𝑜 , ⍱𝑥 ∈ 𝑅
+∞
2) ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
𝑏
3) 𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Esperanza de una variable aleatoria:
La esperanza es un parámetro de la distribución. Es una medida de tendencia
central.
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 𝑝(𝑥𝑖 ) , 𝑆𝑖 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎
𝑥𝑖 ∈𝑅𝑥
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎
La esperanza E(x) no es un resultado que esperaríamos cuando X se
observa solo una vez.
Pero si observáramos un gran número de observaciones independiente
de X , el promedio de esos resultados estará cerca de E(x).
Ejemplo:
En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o
sufrir una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0.6.
Demuestre que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.
Primero se define la variable aleatoria
X: Utilidad de la operación comercial.
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 𝑝(𝑥𝑖 )
𝑥𝑖 ∈𝑅𝑥
Ex)= 1000 x0.6 +(-500)x0.4
E(x)= 400
Propiedades de la esperanza:
Sean X e Y variables aleatorias y C una constante perteneciente a los
números reales R.
1) E(C)=C
2) E(X+C)E(X) +C
3) E(CX)=CE(X)
4) E(X*Y)=E(X)+E(Y)
5) E(X-Y)=E(X)-E(Y)
6) Si X e Y son independientes: E(XY)=E(X) x E(Y)
Varianza de una variable aleatoria:
La varianza de un parámetro de la distribución. Es una medida de la
dispersión de los valores de X , alrededor de E(X):
Var(X)= 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2
Var(X)= 𝜎 2 = 𝐸(𝑋 2 − [𝐸(𝑋)]2 )
Propiedades de la varianza:
Sean X e Y variables aleatorias y C una constante perteneciente a los reales:
1) V(C) = 0
2) V(X+C)= V(X)
3) V(CX)=𝐶 2 𝑉(𝑋)
4) Si X e Y son independientes V(X+Y) = V(X) + V(Y)
5) Si X e Y son independientes V(X-Y) = V(X) +V(Y)
Teorema de Bayes:
P(𝐴1 ⁄𝐵) =
𝑃(𝐴1 )𝑥 𝑃(𝐵⁄𝐴1 )
𝑃(𝐴1 )𝑥 𝑃(𝐵⁄𝐴1 )+𝑃(𝐴2 )𝑥𝑃(𝐵⁄𝐴2 )
Ejemplos de aplicación del teorema de Bayes.
Ejemplo 1:_ En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los
niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un
pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
1.1.- Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
1.2.- Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de Bayes, es importante identificar los sucesos
que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos
serán los sucesos condicionados.
1.1.- En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean
menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24
meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de Bayes, hay que partir
por reconocer si esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los
sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante
menor de 24 meses será:
EJEMPLO 2
Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan
correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se
sabe además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales,
15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar,
determine:
2.1-.Determine la probabilidad de que sea de género masculino
2.1.- Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado
una cirugía de implantes mamarios.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales
Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas
Suceso H: pacientes de género masculino
a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad
total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:
b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el
valor de la probabilidad será:
EJEMPLO 3
Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a
cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos
tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado
de una ecografía y observa que tiene un error.
3.1.- Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso P: seleccionar el primer aparato
Suceso S: seleccionar el segundo aparato
Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con error
Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen
errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir
al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que
los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:
Repasando conceptos de conteo:
Permutaciones: Algunos arreglos de “r” objetos seleccionados
posibles de ellos:
𝑃(𝑛, 𝑟) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
de “n”
Nota: El orden de los arreglos, no es importante en las permutaciones.
Combinaciones: El número de formas de elegir “r” objetos de un grupo de “n”
objetos de un grupo de “n” objetos sin considerar el orden está dado por:
𝐶𝑟𝑛 =
𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!