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Transcript
Liceo José Toribio Medina
Departamento de Matemática
Resumen Contenidos Primer Semestre 8° Básico Matemática
Números Enteros:
Adición de números enteros


Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores y se conserva el signo
común.
Ejemplo:
a) 3 + 5 = 8
b) (−3) + (−5) = −8 ⟶ En este ejemplo vale recordar que (−3) + (−5) = −3 − 5
Si los números enteros tienen distinto signo, se restan los valores y se conserva el signo del
número mayor.
Ejemplo:
a) −3 + 5 = 2
b) 3 + (−5) = −2 ⟶ Recordemos que 3 + (−5) = 3 − 5
Multiplicación de números enteros

Para multiplicar números enteros debemos considerar la regla de los signos.
+ 𝑝𝑜𝑟 + +
− 𝑝𝑜𝑟 − +
+ 𝑝𝑜𝑟 − −
− 𝑝𝑜𝑟 + −
Recordemos que estas reglas también son válidas para la división de números enteros.
Ejemplo:
a) 2 ∙ 5 = 10
b) 10 ∶ 5 = 2
(−2)
(−5)
c)
∙
= 10
d) (−10): (−5) = 2
e) 2 ∙ (−5) = −10
f) 10: (−5) = −2
g) (−2) ∙ 5 = −10
h) (−10): 5 = −2
Orden de las operaciones
Para poder operar o resolver un ejercicio que contenga varias operaciones, es necesario
recordar el orden en que estas deben ser resueltas.
1.
2.
3.
4.
Primero resolvemos lo que está al interior de un paréntesis.
En segundo lugar, se deben resolver las potencias.
En tercer lugar, debemos resolver la multiplicación y división, de izquierda a derecha.
Finalmente, se debe resolver la adición y sustracción, de izquierda a derecha.
Números Racionales
Un número racional es todo aquel que puede ser representado como una fracción. Posee
dos partes, una se denomina numerador y la otra denominador, donde el denominador es siempre
distinto de cero. Recuerden, no es posible dividir por cero.
𝑎
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑏 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑏
Liceo José Toribio Medina
Departamento de Matemática
Adición y sustracción de números racionales

Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
𝑎 𝑐 𝑎+𝑐
+ =
𝑏 𝑏
𝑏
Ejemplo:
a)
5
7
1
7
+ =
5+1
7
=
6
7
𝑎 𝑐 𝑎−𝑐
− =
𝑏 𝑏
𝑏
Ejemplo:
b)

5
7
1
−7=
5−1
7
4
=7
Con distinto denominador
Existen varios métodos para poder resolver adición y sustracción con distinto denominador.
En primer lugar, podemos ocupar el método de mínimo común múltiplo o podemos utilizar
el método de multiplicación cruzada.
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑+𝑏∙𝑐
+ =
𝑏 𝑑
𝑏∙𝑑
Ejemplo:
a)
5
4
1
6
+ =
5∙6+4∙1
4∙6
=
30+4
24
=
34
24
⟶simplificando por 2 el resultado obtenemos
17
12
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑−𝑏∙𝑐
− =
𝑏 𝑑
𝑏∙𝑑
Ejemplo:
b)
5
4
1
−6 =
5∙6−4∙1
4∙6
=
30−4
24
26
13
= 24 ⟶simplificando por 2 el resultado obtenemos 12
Multiplicación de números racionales
Para poder multiplicar dos fracciones, debemos multiplicar numerador con numerador y
denominador con denominador.
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐
∙ =
𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑
Ejemplo:
a)
5 1
∙
4 6
5∙1
5
= 4∙6 = 24
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División de números racionales
En este caso, debemos multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador
de la segunda y el denominador de la primera con el numerador de la segunda.
𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑
: =
𝑏 𝑑 𝑏∙𝑐
Ejemplo:
b)
5 1
:
7 6
5∙6
= 7∙1 =
30
7
Operaciones con números racionales
Para operar con números racionales se deben seguir las mismas reglas de los signos y el
orden de las operaciones que en los números enteros.
Números decimales
Un número decimal se puede expresar mediante una fracción. Todo número decimal consta
de dos partes:


Parte entera: corresponde a las cifras que están a la izquierda de la coma.
Parte decimal: corresponde a las cifras que están a la derecha de la coma.
Ejemplo:
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 ⟶ 3,25 ⟵ 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
Tipos de números decimales

Decimal finito: Es aquel en que su parte decimal tiene fin.
Ejemplo:
a) 7,46
b) −12,768
Para convertir un número decimal finito a fracción, debemos escribir en el numerador el
valor sin la coma y en el denominador un uno acompañado de tantos ceros como cifras
decimales haya.
Ejemplo:
125
a) 1,25 ⟶ 100
b) 47,365 ⟶

47365
1000
Decimal periódico: Es aquel en que su parte decimal se repite infinitamente. La parte que
se repite se suele representar con una barra sobre los números, esto se denomina parte
periódica.
Ejemplo:
a) 4,7777777 … ⟶ 4, 7̅
̅̅̅
b) 12,363636 … ⟶ 12, ̅36
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Para convertir este número a fracción, debemos anotar en el numerador el número sin coma
menos la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como números periódicos
haya.
Ejemplo:
52−5
47
= 9
9
176−1
175
⟶ 99 = 99
a) 5, 2̅ ⟶
̅̅̅̅
b) 1, 76

Decimal semiperiódico: Es aquel que posee una parte decimal no periódica y otra periódica.
Ejemplo:
a) 6,71111111 … ⟶ 6,71̅
̅̅̅̅
b) 14,456565656 … ⟶ 14,456
Para transformar este número a fracción, debemos escribir en el numerador el número sin
coma y se le debe restar toda la parte no periódica. En el denominador se anotan tantos
nueves como cifras periódicas haya, seguidas de tantos ceros como números decimales no
periódicos se presenten.
Ejemplo:
357−35
322
a) 3,57̅ ⟶ 90 = 90
1136−113
1023
b) 11,36̅ ⟶
= 90
90
Potencias de base entera
Las potencias son multiplicaciones repetidas de un mismo número. Posee dos partes, la
base, que es el número que se multiplicará, y el exponente, que es la cantidad de veces que se repite
la multiplicación.
5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 56 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 5 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑦 6 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒.
Propiedades de las potencias
Multiplicación de potencias de igual base
Debemos mantener la base y sumar los exponentes.
𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐
Ejemplo:
a) 43 ∙ 45 = 43+5 = 48
b) 52 ∙ 53 = 52+3 = 55
Propiedades
I.
II.
Todo número elevado a cero siempre es uno. Cero elevado a cero no está definido.
Todo número elevado a uno es siempre el mismo número.
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Multiplicación de potencias de igual exponente
Debemos mantener el exponente y multiplicar las bases.
𝑎𝑏 ∙ 𝑐 𝑏 = (𝑎 ∙ 𝑐)𝑏
Ejemplo:
a) 23 ∙ 63 = (2 ∙ 6)3 = 123
b) 52 ∙ 42 = (5 ∙ 4)2 = 202
División de potencias de igual base
Se debe mantener la base y restar los exponentes.
𝑎𝑏 : 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏−𝑐
Ejemplo:
a) 34 : 32 = 34−2 = 32
b) 76 : 73 = 76−3 = 73
División de potencias de igual exponente
Se debe dividir las bases y mantener los exponentes.
𝑎𝑏 : 𝑐 𝑏 = (𝑎: 𝑐)𝑏
Ejemplo:
a) 154 : 34 = (15: 3)4 = 54
b) 275 : 95 = (27: 9)5 = 35
Observaciones:
En caso de tener igual base e igual exponente se debe escoger una de las dos propiedades, tanto de
la multiplicación como de la división.
Adición y sustracción de potencias
Para poder sumar o restar potencias debemos calcular el valor de cada una de las potencias
y luego operar con los resultados, ya sea sumando o restando.
Ejemplo:
a) 52 + 33 = 25 + 27 = 52
b) 25 − 42 = 32 − 16 = 16
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Raíces Cuadradas Exactas
Concepto: la raíz cuadrada de un número puede interpretarse como el valor del lado de un cuadrado,
tal que al multiplicar el valor del lado por sí mismo nos entrega el área de dicha figura.
Área:
4 𝑐𝑚2
2 𝑐𝑚
2 𝑐𝑚
En este caso, podemos observar que el área de un cuadrado de lado
2 𝑐𝑚 es 4 𝑐𝑚2 . Recuerden que el área de un cuadrado es lado
multiplicado por lado.
La raíz cuadrada de un número se representa con el siguiente símbolo: √𝑎 y lo que hacemos
es preguntarnos qué número multiplicado por sí mismo nos da el valor que está dentro de la raíz.
En el caso del ejemplo del cuadrado anterior tenemos que la raíz de cuatro (√4) es igual a 2, pues
2 ∙ 2 es igual a 4.
Las raíces cuadradas exactas corresponden a valores que se calculan a partir de lo que se
denomina cuadrados perfectos. Los cuadrados perfectos son números que se obtienen a partir de
la multiplicación de un mismo número, por ejemplo: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, pues:
1=1∙1
4=2∙2
9=3∙3
16 = 4 ∙ 4
25 = 5 ∙ 5
Raíces cuadradas inexactas
Las raíces cuadradas inexactas corresponden a raíces que no nos dan un valor entero, por
ejemplo:
√3 ≈ 1,73
Para poder calcular el valor de las raíces inexactas consideraremos el siguiente método.
Calculemos √5
1. Primero debemos ubicar el número que está dentro de la raíz entre dos cuadrados
perfectos. Si hacemos la lista de cuadrados perfectos observamos que:
1, 4, 9, 16
El número 5 se encuentra entre 4 y 9, por lo que diremos que:
√4 < √5 < √9
2. Ahora, debemos calcular el valor de las raíces entre las que se encuentra la raíz de cinco.
Recordemos que √4 = 2 y √9 = 3, entonces:
2 < √5 < 3
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3. Ahora que ya sabemos entre que valores se encuentra la raíz de cinco debemos probar con
números que se encuentran entre 2 y 3. Para esto, consideraremos un solo decimal y
debemos observar que valor se acerca más.
Por ejemplo, probemos con 2,3. Para verificar si este valor es cercano a 5, multiplicamos 2,3
por sí mismo:
2,3 ∙ 2,3 = 5,29
Este valor es bastante cercano, pero es mayor. Revisemos un número más pequeño, por
ejemplo: 2,2
2,2 ∙ 2,2 = 4,84
En ambos casos los números son bastantes cercanos, para verificar cuál será el valor más
adecuado restaremos cada uno de ellos con el 5.
5,29 − 5 = 0,29 𝑦 5 − 4,84 = 0,16
Para poder escoger uno de los dos valores, nos fijaremos en el que al restar nos da el valor
más pequeño. Por lo que en este caso el valor será 2,2, es decir:
√5 ≈ 2,2
Adición y sustracción de raíces
Para poder sumar o restar raíces debemos calcular el valor de cada raíz y luego operar según
corresponda.
Ejemplo:
a) √49 + √25 = 7 + 5 = 12
b) √64 − √16 = 8 − 4 = 4
c) √4 + √100 − √9 = 2 + 10 − 3 = 12 − 3 = 9
Porcentajes
Los porcentajes corresponden a una fracción de una cantidad total. El porcentaje se suele
representar mediante el símbolo %. Todo porcentaje se puede expresar mediante una fracción,
donde el numerador corresponde a la cifra del porcentaje y el denominador será el número 100.
𝑎
𝑎% =
100
Ejemplos:
5
1
a) 5% = 100 ⟶ 𝑆𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 5 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 20
76
19
b) 76% = 100 ⟶ 𝑆𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 4 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 25
Porcentaje de una cantidad
Para poder calcular el porcentaje de una cantidad lo que hacemos es multiplicar la cantidad
por la fracción equivalente a dicho porcentaje o multiplicamos la cantidad por el porcentaje y luego
dividimos en 100.
Ejemplo:
a) El 15% de 1000 ⟶ 1000 ∙
20
15
100
b) El 20% de 800 ⟶ 800 ∙ 100 =
1000∙15
15000
=
= 150
100
100
800∙20
16000
= 100 = 160
100
=
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Obtener una cantidad a partir de un porcentaje
Si conocemos un porcentaje y a lo que equivale este de una cantidad, podemos conocer el
valor original. Para esto, multiplicamos el valor dado por cien y lo dividimos en el valor del
porcentaje.
Ejemplo:
a) Si el 80% de una cantidad es 1000, ¿cuál es la cantidad original?
1000 ∙ 100 100000
=
= 1250
80
80
Por lo tanto, la cantidad original o el cien por ciento equivale a 1250.
b) Un objeto se vende a 1500, lo que equivale al 25% del valor total, ¿cuál era el valor inicial
del objeto?
1500 ∙ 100 150000
=
= 6000
25
25
Variaciones Porcentuales
Las variaciones porcentuales corresponden a cuando un producto aumenta o disminuye su
valor según un porcentaje dado.
Ejemplo:
a) A un artículo cuyo valor es de $2000 se le hace un descuento del 10%. ¿Cuál es el valor final?
Primero calculamos a cuanto equivale el 10% de 2000, por lo que nos queda:
2000 ∙ 10 20000
=
= 200
100
100
Como es un descuento, significa que a los 2000 original se le debe restar el valor obtenido,
por lo tanto:
2000 − 200 = 1800
Finalmente, el valor del artículo queda en 1800.
b) En un banco se deposita $50000 y luego de un tiempo este dinero se incrementa en 15%.
¿Cuánto dinero tenemos finalmente?
Calculamos el 15% de 50000, entonces:
50000 ∙ 15 750000
=
= 7500
100
100
Por lo tanto, como el dinero se incrementa entonces tenemos que sumar los valores.
50000 + 7500 = 57500
El valor final es de $57500.
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Ejercicios de Preparación Prueba de Nivel 8° Básico
Números Enteros
1) Ordenar, en sentido creciente, los siguientes números:
a) 8, −6, −5, 3, −2
b) 4, −4, 0 , 7, −12
c) −4, 6, −2, 1, −5
d) 6, −5, −10, 12, −7
2) Resolver las siguientes operaciones:
a) 3 ∙ 2 + 3 ∙ (−5) =
b) (7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
c) 6 − 7 − (−8) + 4 − 2 =
d) (−2) ∙ 12 + (−2) ∙ (−6) =
e) 8 ∙ 5 + 8 =
f) 6 + {4 − [(17 − (4 ∙ 4)] + 3} − 5 =
g) (3 − 8) + [5 − (−2)] =
h) 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
i) (8 ∙ 7 + 5 ∙ (−8)): (−4) =
j) 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] =
k) 8 − 8: 8 + (−8) =
l) 6 − 3 ∙ 8 − 24: 3 =
m) 16 − 21 + 18 − 8 =
3) Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea:
a) Bajamos al sótano 3
b) Nació en el año 234 antes de Cristo
c) El avión vuela a 2455 metros de altura
d) El termómetro marcaba 5°𝐶 bajo cero
4) Problemas de planteamiento
a) Una persona nació en el año 17 antes de Cristo y se casó en el año 5 después de
Cristo. ¿A qué edad se casó?
b) Por la mañana un termómetro marcaba 9° bajo cero. La temperatura baja 12°C a
lo largo de la mañana. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro?
c) El ascensor de un edificio está en el sótano 1 y sube 5 pisos hasta que se para. ¿A
qué planta ha llegado?
Números racionales
5) Escribe el signo > 𝑜 < donde corresponda.
a)
b)
c)
3
7
2
5
3
9
3
9
6
5
3
4
d)
e)
f)
2
3
5
7
4
3
3
5
6
8
5
4
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6) Ordena de menos a mayor
5 2 5 7
, , ,
12 15 4 5
7) Resuelve las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
2
9
1
4
7
6
7
3
5
+ 18 =
e)
+ 20 =
f)
− =
g)
− =
h)
7
1
2
4
5
7 1
∙ =
3 3
20 7
: =
3 2
1 11
∙ =
2 9
7 3
: =
2 4
8) Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
11
2 4
− ): =
8
3
9
1
7
− ( − (−2))
2
3
a) (
b)
c)
d)
5
6
3
5
9 5 1
∙ : =
7 2 2
4
2
3
(− ) : ( − )
3
11
11
1
1
4
+ (− ) + =
6
4
3
e) −3: ( − ) =
=
9
3
6
: ( + (− 7)) =
4 5
8
11
− +1+ =
3
2
f)
g)
h)
=
9) Escribe las siguientes fracciones como números decimales:
a)
b)
c)
467
=
100
79
=
1000
14
=
9
10) Convierte cada número decimal a fracción:
a) 28,709 =
b) 0,32 =
̅̅̅̅ =
c) 7, 53
d)
e)
f)
237
=
99
328
=
90
1114
=
900
d) 72, 1̅ =
̅̅̅̅ =
e) 1,025
f) 4,63̅ =
Potencias de base entera
11) Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de las potencias:
28
e) 67 : 66 =
a) 27 =
f) 27 : 27 =
b) 79 ∙ 29 =
g) 54 ∙ 53 =
c) 95 ∙ 97 =
54
h) 53 =
d) 33 ∙ 23 =
12) Escribe en forma de una sola potencia:
a) 33 ∙ 34 ∙ 3 =
b) 57 : 53 =
c) 54 ∙ 24 ∙ 34 =
d) 25 ∙ 24 ∙ 2 =
e) 27 : 26 =
f) 40 =
13) Resuelve los ejercicios combinados:
a) 62 − 43 + 52 =
b) 73 : 7 + 28 : 25 − 42 ∙ 4 =
c) 25 − 32 + 70 − 23 =
d) 25 + 44 : 24 − 33 =
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Raíces cuadradas
14) Calcule las siguientes raíces exactas:
a) √9 =
b) √16 =
c) √1 =
d) √64 =
e) √144 =
f) √81 =
15) Calcule utilizando un decimal las siguientes raíces:
a) √15 =
b) √7 =
c) √11 =
d) √21 =
e) √17 =
f) √6 =
Porcentajes y Variaciones porcentuales
16) Calcule el porcentaje pedido.
a) 44% de 3375
b) 27% de 2700
c) 18% de 3850
d) 59% de 3500
e) 6% de 1500
f)
g)
h)
i)
j)
17) Calcula la cantidad original
a) ¿56 es el 32% de qué
cantidad?
b) ¿9021 es el 93% de qué
cantidad?
c) ¿5963 es el 67% de qué
cantidad?
d) ¿1241 es el 17% de qué
cantidad?
e) ¿7449 es el 78% de qué
cantidad?
f) ¿2964 es el 52% de qué
cantidad?
30% de 5610
47% de 8900
93% de 1800
27% de 1300
93% 𝑑𝑒 1800
18) Resuelve los siguientes ejercicios de planteo
a) El prensado de 1500 kg de aceituna produjo 36% de su peso en aceite. Calcula la
cantidad de aceite.
b) Si hoy han faltado a clases por enfermedad el 20% de los 30 estudiantes, ¿cuántos
estudiantes han asistido? ¿cuántos han faltado?
c) En una población de 7000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años. Averigua el
número de personas mayores de esa edad.
d) Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de piezas defectuosas. Si hoy se
han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina?
e) ¿Cuánto me costará un abrigo de $50000 si tiene una rebaja del 20%?
f) A un trabajador que ganaba $300.000 mensuales le van a aumentar el sueldo en
5%. ¿Cuál será su nuevo sueldo?
g) El precio de un kilo de pan ha subido 10%. Si un kilo costaba $1000, ¿cuál es el
nuevo valor?
h) En una tienda todo está rebajado 15% y he comprado un pantalón en $20.000.
¿Cuál era el precio original?
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