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4.
9FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS
PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
PERIODO ACADEMICO: I-2011
NOMBRE:
GRADO:
No:
FECHA:
𝑛
𝜇 = 𝐸(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅𝑖 𝑃𝑖 =
𝑖=1
(1)
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIA.
Para una población de 4 estudiantes en los cuales se les evaluó un
examen de estadística, con calificación del [1; 10] y resultados 𝑁 =
{1,3,5,7}, se desea determinar:
1. Media aritmética de la Población.
∑4𝑖=1 𝑋𝑖 1 + ⃛3 + 5 + 7 16
𝑋̅ =
=
=
=4
4
4
4
2. Desviación estándar de la población.
∑4𝑖=1(𝑋𝑖 −𝑋̅ )2
𝑆=√
𝑁
(1−4)2 +(3−4)2 +(5−4)2 +(7−4)2
=√
4
=√
Si calculamos la esperanza matemática, equivaldría a la media
aritmética de la media muestral:
9+1+1+9
4
20
√ = √5 = 2.2360
4
1
2
3
4
3
2
1
+ (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7)
16
16
16
16
16
16
16
1
4
9 16 15 12 7
64
+
+
+
+
+
+
=
=4
16 16 16 16 16 16 16 16
Determine la varianza por medio de:
5.
𝑛
𝑖=1
1
2
3
4
3
2
1
16
16
16
16
16
16
16
1
8 27 64 75 72 49
262
40
+
+
+
+
+
+
− 16 =
− 16 =
16 16 16 16 16 16 16
16
16
Si la Desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
40
5 √5
𝜎𝑋̅ = √𝑉(𝑥̅ ) = √ = √ =
16
2 √2
2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1
1
1
3
3
3
3
5
5
5
5
7
7
7
7
D.M
S
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
-3
-2
-1
0
-2
-1
0
1
-1
0
1
2
0
1
2
3
9
4
1
0
4
1
0
1
1
0
1
4
0
1
4
9
SIN SUSTITUCION: No se pueden sustituir los elementos de la muestra
No
2
̅
∑16
𝑖=1|𝑋𝑖 −𝜇|
16
=√
9+4+1+⋯+1+4+9
16
40
=√
16
Media frecue
5
√5
2
√2
=√ =
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
5
4
5
3
6
6
2
7
7
1
16
Prob
FRECUECNIAS
DE.
3
2
-2
4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1
3
3
3
5
5
5
7
7
5
7
1
5
7
1
3
7
1
3
3
4
2
4
5
3
4
6
4
5
-1
0
-2
0
1
-1
0
2
0
1
1
0
4
0
1
1
0
4
0
1
12
7
5
6
2
1.
2.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
3
2
1
4
48
20
4
1,667
1,291
La media aritmética de cada una de las muestras es:
̅ 2 + 3 + 4 + ⋯ + 4 + 5 + 6 48
∑12
𝑖=1 𝑋𝑖
𝜇=
=
=
=4
12
12
12
Que se observa entre la media aritmética de la población y la
media muestral?
𝑋̅ = 𝜇
La Desviación estándar de la muestra es:
𝜎𝑥̅ = √
2
̅
∑12
𝑖=1|𝑋𝑖 −𝜇|
12
=√
4+1+0+⋯+0+1+4
12
20
= √12 =
5 √5
=√ =
3 √3
Que se puede concluir?
𝑁−𝑛
2
̅
∑16
𝑖=1|𝑋𝑖 −𝜇|
𝜎𝑥̅ = √ 𝑁−1 √
3.
16
4−2
5
2
5
10
= √4−1 √2 = √3 √2 = √ 6
Si realizamos una tabla de frecuencias de las medias aritméticas
de las muestras:
No
Media
frecue
1
2
2
2
3
2
3
4
4
4
5
2
5
6
2
12
5
0
MUESTRA
1⁄
16
2⁄
16
3⁄
16
4⁄
16
3⁄
16
2⁄
16
1⁄
16
16⁄
16
HISTOGRAMA
frecue
D.M
1
Desviación ESTANDAR
Podemos observar que la Desviación Estándar de la muestra es
igual a la Desviación Estándar de la población dividida por la raíz
de los elementos de la muestra.
𝑆
𝜎
𝜎𝑥̅ =
=
𝑛
√
√𝑛
Si realizamos una tabla de frecuencias de las medias aritméticas
de las muestras:
No
MEDIA
1
MEDIA MUESTRAL
4
2,5
La media aritmética de cada una de las muestras es:
̅ 1 + 2 + 3 + ⋯ . +5 + 6 + 7 64
∑16
𝑖=1 𝑋𝑖
𝜇=
=
=
=4
16
16
16
Se observa que la media aritmética de la población y la muestra
son iguales.
𝑋̅ = 𝜇
La Desviación estándar de la muestra es:
𝜎𝑥̅ = √
3.
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
1
3
5
7
MEDIA
FRECUENCIA
1.
MUESTRA
𝑖=1
12 ( ) + 22 ( ) + 32 ( ) + 42 ( ) + 52 ( ) + 62 ( ) + 72 ( ) − (4)2
CON SUSTITUCION.
No
𝑛
𝑉(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅ 2 𝑃𝑖 − ∑ 𝐸(𝑋) 2 =
Prob
2⁄
12
2⁄
12
4⁄
12
2⁄
12
2⁄
12
12⁄
12
HISTOGRAMA
5
0
Media
1
2
3
4
5
2
2
4
2
2
4.
Si calculamos la esperanza matemática, equivaldría a la media
aritmética de la media muestral:
𝑛
𝜇 = 𝐸(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅𝑖 𝑃𝑖 =
𝑖=1
(2)
5.
2
2
4
2
2
+ (3) + (4) + (5) + (6)
12
12
12
12
12
4
6 16 10 12 48
+
+
+
+
=
=4
12 12 12 12 12 12
Determine la varianza por medio de:
𝑛
𝑛
𝑉(𝑋̅) = ∑ 𝑋̅ 2 𝑃𝑖 − ∑ 𝐸(𝑋) 2 =
𝑖=1
𝑖=1
2
2
4
2
2
22 ( ) + 32 ( ) + 42 ( ) + 52 ( ) + 62 ( ) − (4)2
12
12
16
16
16
4 18 64 50 72
208
20
+
+
+
+
− 16 =
− 16 =
12 12 12 12 12
12
12
Si la Desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
20
5 √5
𝜎𝑋̅ = √𝑉(𝑥̅ ) = √ = √ =
12
3 √3
EJERCICIO: En una Universidad del estado se ha realizado una
investigación diagnostica sobre el área de Matemática Fundamental
1, del total de 400 estudiantes, para ello se tomo una muestra de 36
estudiantes de Ingeniería Mecánica, la cual arrojo los siguientes
resultados:
El promedio de la calificación de todos los estudiantes de la
Universidad fue de 6.8 y una desviación típica poblacional de 2.25.
Los datos del problema:
Media Población = 𝑋̅𝑝 = 6.8 Media de la Muestra 𝜇 = 6.8
Desviación Típica Poblacional 𝜎𝑝 = 2.25
Población N = 400 Muestra n = 36
Hallar los estudiantes con nota inferior a 6.0
𝑃(𝑋̅𝑖 < 6.0) = 𝑃(𝒁 < −2. 𝟏𝟑) = 0.0166 ≡ 1.66%
1. Hallamos la desviación típica de la muestra
𝜎𝑝 2.25 2.25
𝜎𝑥̅ =
=
=
= 0.375
6
√𝑛 √36
2. Hallamos las unidades estandarizadas para 𝑋̅𝑖 = 6.0.
𝑋̅𝑖 − 𝜇 6.0 − 6.8 −0.8
𝑍=
=
=
= −2.13
𝜎𝑥̅
0.375
0.375
3. Hallamos el valor correspondiente de Z=-2.13 en la tabla, que es
una A=0.0166, equivalente a un 1.66%.
4. La grafica de la campana de Gauss
A=0.0166
-4
5.3
-3
5.675
-2
-1
6.05 6.425
0
6.8
1
2
3
7.175 7.55 7.925
4 Unidades Z
8.3 Promedios
5.
Determinamos el número de estudiantes que cumplen la
condición de estar con nota inferior a 6.0
Nº = NxP = (400)(0.0166) = 6.64 aproximamos a 7
6. CONCLUSIÓN.
1. La probabilidad de escoger una estudiante con nota inferior
a 6.8 es de 0.0166 o el equivalente al 1.66%.
2. Los estudiantes que tienen nota inferior a 6 solamente son
7 del total de la población de la Universidad en la carrera de
Ingeniería Mecánica.
EJERCICIO: Hallar el número de estudiantes de Ingeniería mecánica,
que tienen nota superior a 8.5, en el área de Matemática.
𝑃(𝑋̅𝑖 > 8.0) = 𝑃(𝒁 < 3.2) = 1 − 0.99931 ≡ 0.00069
1. Hallamos las unidades estandarizadas para 𝑋̅𝑖 = 8.0.
𝑋̅𝑖 − 𝜇 8.0 − 6.8
1.2
𝑍=
=
=
= 3.2
𝜎𝑥̅
0.375
0.375
2. Hallamos el valor correspondiente de Z=3.2 en la tabla, que es
una A=0.99931.
3. La grafica de la campana de Gauss
A=0.99931
-4
5.3
4.
-3
5.675
-2
-1
6.05 6.425
0
6.8
1
2
3
7.175 7.55 7.925
4 Unidades Z
8.3 Promedios
Los valores por los cuales nos está preguntando el problema son
los del área derecha sombreada con fucsia y la tabla nos entrega
los del lado izquierdo. Por lo tanto al total le debemos restar el
área encontrada.
5. Nº = NxP = (400)(0.00069) = 0.276 aproximamos a 0
6. CONCLUSIÓN.
1. La probabilidad de escoger una estudiante con nota
superior a 8.0 es de 0.00069 o el equivalente al 0.069%.
2. Los estudiantes que tienen nota superior a 8.0 en el área de
matemática son 0.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA.
En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números
entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con
una determinada probabilidad de acierto.
Es el intervalo comprendido entre dos valores, en el cual podemos
decir que se encuentran nuestros datos o nuestras medias.
Recuerde que para hallar el intervalo de confianza se deben
encontrar los límites de este.
𝛼 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜
1 − 𝛼 = 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎
Si el intervalo de confianza lo tomamos por 90%, entonces tenemos
que:
1 − 𝛼 = 90% lo que indica que 𝛼 = 10%.
EJERCICIO. Para los estudiantes de la Universidad, en ingeniería
mecánica, se desea hallar un intervalo de confianza del 90%.
1. Los datos: 𝛼 = 10%
2. Hallamos las colas del enunciado.
100% − 90% 10%
𝐶𝑜𝑙𝑎𝑠 =
=
= 5%
2
2
Esto equivale a una área de A = 0.05, en cada extremo.
3. Realizamos la campana de Gauss.
A=0.99931
A=0.05
A=0.05
5%
90%
INTERVALO DE CONFIANZA
5%
Unidades Z
𝑍1
𝑍2
Promedios
𝑋̅1
𝑋̅2
4. Determinamos los valores de Z para cada extremo, así:
𝑋̅ −𝜇
1. Como 𝑍𝑖 = 𝑖 , entonces 𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑥̅
𝜎𝑥̅
Como 𝑍1 esta para el lado izquierdo y el Área es 5% = 0.05,
lo hallamos en la tabla, el valor que le corresponde a 𝑍1 .
𝑍1 = −1.64 Entonces
𝑋̅1 = 𝜇 ± 𝑍1 𝜎𝑥̅
= 6.8 + (-1.64)(0.375)
= 6.8 – 0.615 = 6,185
3. Como Z2 esta para el lado derecho y el Área es 95% = 0.95,
lo hallamos en la tabla, el valor que le corresponde a Z2 .
Z2 = +1.64 Entonces
𝑋̅2 = 𝜇 ± 𝑍2 𝜎𝑥̅
= 6.8 + (+1.64)(0.375)
= 6.8 + 0.615 = 7,145
4. El intervalo de confianza que estamos hallando es:
6,185 < 𝜇 < 7,415
5. CONCLUSIÓN: Con un 90% de confianza podemos asegurar que
nuestro promedio de notas de 6.8 se encuentra en dicho
intervalo.
El intervalo de confianza del 90% de confianza podemos decir
que nuestros promedios de notas, del área de matemática
fundamental, se encuentran entre los valores de 6,185 y 7,145.
[6,185 ; 7,145]
ELEMENTOS DE UNA MUESTRA.
Si consideramos que el error estándar con el cual vamos a trabajar es
𝜎
𝑒 = 𝑍𝜎𝑥̅ = 𝑍 ( )
√𝑛
Los elementos de la muestras se encuentran despejando n y tenemos
2.
√𝑛 =
𝑍𝜎
𝑒
de aquí se deduce que 𝑛 = (
𝑍𝜎 2
𝑒
)
EJERCICIO. Si trabajáramos con un error de ± 0.75 de las notas en el
área de matemática para los estudiantes de Ingeniería Mecánica,
sabiendo que la desviación estándar de todas las notas fue de 2.25 y
con un intervalo de confianza del 90%, Cual debe ser el tamaño de la
muestra a escoger?
1. Hallamos las colas, para poder determinar los valores de Z.
100% − 90% 10%
𝐶𝑜𝑙𝑎𝑠 =
=
= 5%
2
2
A = 0.05 y en la tabla 𝑍 = ±1.64.
2. Como el error es de ± 0.75, 𝜎 = 2.25, el valor de n será:
𝑍𝜎 2
1.64𝑥2.25 2
𝑛= ( ) =(
) = 29.88 ≡ 30
𝑒
0.75
Lic. Simeón Cedano Rojas
TALLER DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA. DEDUCCION