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LEYES DE KEPLER
“En ese tiempo, nadie sospechaba ni remotamente
que la aceleración centrípeta de la Luna y la aceleración de
la gravedad de una manzana que cae sobre la superficie
de la Tierra tienen un origen común” (Fowles, pág 221)
INTRODUCCIÓN.
Este escrito contiene una deducción de las Leyes de Kepler basada principalmente en los
argumentos presentados en los libros: “Ecuaciones Diferenciales. Con aplicaciones y notas
Históricas” de George Simmons y “Analytical Mechanics” de Fowles & Cassiday. Contiene
además una serie de resultados sobre las cónicas que enriquecen la comprensión de aquellos
argumentos.
Se comienza con un comentario en el que siguiendo la línea de pensamiento del Fowles se
observa algo que a simple vista pudiera parecer contradictorio. Newton se apoya en la Tercera
Ley de Kepler para probar que la aceleración con la que la Luna “cae” hacia la tierra, es
inversamente proporcional al cuadrado de su distancia a la Tierra (al centro de la Tierra, más
precisamente). Lo “curioso” es que Newton está tratando de deducir su Ley de Gravitación
Universal, con la que posteriormente probará las Leyes de Kepler. La veracidad de estas leyes
es admitida empíricamente, los pronósticos sobre el movimiento celeste se cumplen. Otra cosa
es la genialidad de construir una teoría en las que estas leyes son meramente una
consecuencia lógica.
El escrito continúa exponiendo la forma en que se deducen las Leyes de Kepler de acuerdo a
los autores mencionados. Se agrega a éstas, una Ley que llamamos Ley 0: La órbita que
describe un planteta alrededor del Sol está sobre un plano; este resultado es tan importante
para mí, que decidí incluirla como una más de las Leyes de Kepler.
Terminamos el escrito con una discusión sobre las curvas cónicas en la que se destacan
algunos resultados importantes que son muy mencionados en la literatura común de Geometría
Analítica pero poco o nada explicados.
I)
Comentarios iniciales
Gravitación: una ley del inverso del cuadrado.
a) La aceleración de la Luna hacia la tierra: 𝑎 =
𝑣2
𝑟
Movimiento circular uniforme alrededor de la tierra: si 𝜔 es la velocidad angular,
entonces 𝜔𝑟 es la (magnitud de) velocidad lineal y 𝜔2 𝑟 es la (magnitud de)
aceleración:
(𝜔𝑟)2
𝑣2
𝑎 = 𝜔2 𝑟 =
=
𝑟
𝑟
b) Newton usa la Tercera ley de Kepler: El cuadrado del período orbital Τ 2 es
proporcional al cubo de la distancia del centro a la órbita 𝑟 3 .
𝑎=
𝑣2
𝑟
pero 𝑣 =
2𝜋𝑟
,
Τ
o sea 𝑣 2 =
4𝜋2 𝑟 2
Τ2
=
4𝜋2 𝑟 2
𝑘𝑟 3
𝑎=
II)
𝐶
= 𝑟 , entonces:
𝐶
𝑟2
Las Leyes de Kepler
0) El movimiento de los planetas es sobre un plano.
El sol ejece una fuerza de atracción sobre los planetas. Llamemos a esta fuerza central 𝑭;
denotemos con 𝒓 al vector de posición de un planeta con relación al sol, que es tomado como
el origen (el centro del sol, en realidad). El movimiento del planeta es descrito por 𝒓 = 𝒓(𝑡).
Si 𝑷 = 𝑚𝒗 es la cantidad de movimiento (o moméntum), el momento angular (para una
partícula o planeta) se define como 𝑳 = 𝒓 × 𝑷. Veremos que esta ley 0, es consecuencia de
una propiedad más general que se tiene en el caso de una fuerza central: la conservación del
momento angular. En cada tiempo 𝑡 los vectores 𝒓 y 𝑷 forman un plano (de hecho instantáneo)
al cual 𝑳 es perpendicular; si 𝑳 se mantiene constante (en magnitud y dirección) todo el tiempo
entonces 𝒓 y 𝑷 estarán siempre en el mismo plano y por tanto la trayectoria del planeta
también.
Para probar que 𝑳 se mantiene constante veremos que su derivada es cero.
𝑑𝑳
𝑑𝑡
𝑑
𝑑
𝑑𝒓
𝑑
= 𝑑𝑡 (𝒓 × 𝑷) = 𝑑𝑡 (𝒓 × 𝑚𝒗) = 𝑑𝑡 × 𝑚𝒗 + 𝒓 × 𝑑𝑡 (𝑚𝒗)
Ahora,
𝑑𝒓
×
𝑑𝑡
𝑚𝒗 = 𝒗 × 𝑚𝒗 = 𝑚(𝒗 × 𝒗) = 0
𝑑
𝒓 × 𝑑𝑡 (𝑚𝒗) = 𝒓 × 𝑭 = 0
Esto último porque 𝒓 y 𝑭 son colineales (van en la misma dirección)
Por tanto el momento angular 𝑳 se preserva para fuerzas centrales y los planetas se mueven
alrededor del sol sobre un plano. Se puede entonces utilizar un sistema de coordenadas para
un plano relacionado con el movimiento de un planeta, y uno muy adecuado en este caso,
resulta ser el de las coordenadas polares, en el cual elegimos el centro del sol como el origen.
Que el momento angular se conserve explica también la siguiente ley de Kepler (la segunda)
1)
La línea que conecta al planeta con el Sol, barre áreas iguales en
tiempos iguales.
Calculemos la magnitud del momento angular:
𝑑𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝐿 = |𝑳| = |𝒓 × 𝑷| = 𝑚|𝒓 × 𝒗| = 𝑚 |𝑟𝑒̂𝑟 × ( 𝑑𝑡 𝑒̂𝑟 + 𝑟 𝑑𝑡 𝑒̂𝜃 )| = 𝑚 |𝑟 2 𝑑𝑡 (𝑒̂𝑟 × 𝑒̂𝜃 )| = 𝑚𝑟 2 𝑑𝑡
Entonces
𝑑𝜃
𝐿 = 𝑚𝑟 2 𝑑𝑡 = 𝑐𝑡𝑒.
Calculemos ahora un diferencial de “área barrida” por el vector 𝒓 cuando el tiempo se
incrementa un 𝑑𝑡.
1
𝑑𝐴 = 𝑟 2 𝑑𝜃
2
𝒓 + 𝒅𝒓
𝒓
Se tiene entonces que
𝑑𝐴
𝑑𝑡
1
𝑑𝜃
𝐿
= 2 𝑟 2 𝑑𝑡 = 2𝑚 = 𝑐𝑡𝑒
Por tanto la “Derivada areal” es constante y entonces el Área barrida es lineal con repecto al
tiempo; de ahí la segunda ley de Kepler.
2) La órbita de cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus
focos.
Por la segunda ley del movimiento de Newton: 𝑭 = 𝑚𝒂; pero ya sabemos que
𝑑2 𝑟
𝑑𝜃 2
𝑑2 𝜃
𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑎(𝑡) = (𝑑𝑡 2 − 𝑟 ( 𝑑𝑡 ) ) 𝑒̂𝑟 + (𝑟 𝑑𝑡 2 + 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ) 𝑒̂𝜃 (notas sobre velocidad y aceleración en polares
de este seminario)
Entonces
𝑑2 𝑟
𝑑𝜃 2
𝑑2 𝜃
𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑭 = 𝑚 ( 2 − 𝑟 ( ) ) 𝑒̂𝑟 + 𝑚 (𝑟 2 + 2
) 𝑒̂
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜃
𝑑2 𝑟
𝑑𝑡 2
Si escribimos 𝐹𝑟 = 𝑚 (
𝑑𝜃 2
𝑑𝑡
−𝑟( ) ) y
𝐹𝜃 = 𝑚 (𝑟
𝑑2𝜃
𝑑𝑡 2
+2
𝑑𝑟 𝑑𝜃
)
𝑑𝑡 𝑑𝑡
se debe tener, por un lado que
𝑑2 𝜃
𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝐹𝜃 = 0 ya que 𝑭 es una fuerza central (de hecho se debe tener 𝑟 𝑑𝑡 2 + 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 0, si se
𝑑2 𝜃
𝑑𝑟 𝑑𝜃
𝑑
𝑑𝜃
multiplica todo por 𝑟, se tiene 𝑟 2 𝑑𝑡 2 + 2𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 0; o sea 𝑑𝑡 (𝑟 2 𝑑𝑡 ) = 0; que equivale a decir
𝑑𝜃
1
que 𝑟 2 𝑑𝑡 = ℎ es constante. Si recordamos que el diferencial del área barrida es 𝑑𝐴 = 2 𝑟 2 𝑑𝜃, la
última expresión dice que la derivada areal es constante,
𝑑𝐴
𝑑𝑡
1
𝑑𝜃
1
= 2 𝑟 2 𝑑𝑡 = 2 ℎ (cte), obteniendo así
otra forma de llegar a la ley descrita en el punto anterior)
Por otro lado, la ley de gravitación de Newton permite decir que
𝐹𝑟 = 𝑚 (
𝑑2 𝑟
𝑑𝜃 2
𝑀𝑚
−
𝑟
(
) ) = −𝐺 2
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑟
Entonces la trayectoria del planeta debe ser tal que se cumpla:
𝑑2 𝑟
𝑑𝑡 2
𝑑𝜃 2
𝑘
− 𝑟 ( 𝑑𝑡 ) = − 𝑟2 donde 𝑘 = 𝐺𝑀
La idea es obtener la forma de la trayectoria tratando de expresarla con una ecuación del estilo
𝑟 = 𝑓(𝜃). Para hacer esto, primero vemos que la ecuación diferencial puede dejarse en
términos de las variables 𝑟 y 𝑡 sustituyendo
𝑑𝜃
𝑑𝑡
ℎ
𝑑𝜃
= 𝑟2 obtenida de la expresión 𝑟 2 𝑑𝑡 = ℎ
(renglones atrás). O sea, se tiene ahora:
𝑑 2 𝑟 ℎ2
𝑘
− 3=− 2
2
𝑑𝑡
𝑟
𝑟
1
𝑟
Ahora se hace un cambio de variable: 𝑧 = y se pone
𝑑2 𝑟
𝑑𝑡 2
en términos de
𝑑2 𝑧
𝑑𝜃2
así:
𝑑𝑟
𝑑 1
1 𝑑𝑧
1 𝑑𝑧 𝑑𝜃
1 𝑑𝑧 ℎ
𝑑𝑧
= ( )=− 2
=− 2
=− 2
= −ℎ
2
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑧
𝑧 𝑑𝑡
𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑧 𝑑𝜃 𝑟
𝑑𝜃
𝑑2 𝑟
𝑑 𝑑𝑧
𝑑 𝑑𝑧 𝑑𝜃
𝑑2 𝑧 ℎ
𝑑2 𝑧
2 2
=
−ℎ
(
)
=
−ℎ
(
)
=
−ℎ
=
−ℎ
𝑧
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡 𝑑𝜃
𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡
𝑑𝜃 2 𝑟 2
𝑑𝜃 2
Volviendo a la ecuación:
𝑑 2 𝑟 ℎ2
𝑘
− 3=− 2
2
𝑑𝑡
𝑟
𝑟
Y haciendo los cambios anunciados se tiene:
−ℎ2 𝑧 2
𝑑2 𝑧
− ℎ2 𝑧 3 = −𝑘𝑧 2
𝑑𝜃 2
De donde:
𝑑2 𝑧
𝑘
+𝑧 = 2
2
𝑑𝜃
ℎ
Cuya solución es
𝑘
𝑧 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 + ℎ2
(1)
Si elegimos el eje polar de tal modo que r sea mínimo cuando θ = 0 , o sea que en esa
dirección z ha de ser máximo, luego:
𝑑𝑧
𝑑𝜃
=0 y
𝑑2 𝑧
𝑑𝜃2
<0
1
Esas condiciones implican que A = 0 y B > 0 . Al sustituir z por r , la ecuación 1 se convierte
en:
ℎ2⁄
1
𝑘
𝑟=
=
𝑘
ℎ2
+ 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 1 + (𝐵 ) 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑘
ℎ2
Y si ponemos 𝑒 = 𝐵
ℎ2
𝑘
, la ecuación de la órbita se convierte en:
ℎ2⁄
𝑘
𝑟=
1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃
Donde e es una constante positiva.
En los apuntes anexos, veremos que esta forma de ecuación es la de una cónica con
excentricidad e y que de las posibilidades del tipo de cónica que puede ser, se descartan el
círculo (porque e > 0), la parábola y la hipérbola (por simple inspección); por tanto, la forma de
la trayectoria de los planetas es una elipse con el Sol en uno de sus focos.
3) El cuadrado del período sideral de un planeta es proporcional al cubo
del semieje mayor de la órbita del planeta.
Consideremos ahora la elipse sobre la que se mueve un planeta.
Se muestra en el anexo que en el caso de la elipse, la excentricidad es e = c/a; de la figura se
tiene que c 2 = a2 − b2 , de aquí se desprende que
𝑏 2 = 𝑎2 (1 − 𝑒 2 )
Notemos que a es el semieje mayor (que se conoce como la distancia media, en astronomía), y
corresponde a la semisuma del valor máximo de r (la distancia al Sol, y dada por la fórmula del
punto anterior) y el mínimo del mismo, es decir:
2
2
1 ℎ ⁄𝑘 ℎ ⁄𝑘
ℎ2
ℎ2 𝑎2
𝑎= (
+
)=
=
2 1+𝑒 1−𝑒
𝑘(1 − 𝑒 2 )
𝑘𝑏 2
De ahí que:
𝑏2 =
ℎ2 𝑎
𝑘
(1)
De la la ley de áreas barridas iguales en tiempos iguales:
1 2 𝑑𝜃 1
𝑟
= ℎ
2 𝑑𝑡 2
Se tiene que:
𝐴 = ℎΤ/2
Donde A es área de la elipse y Τ es el período sideral (tiempo en que tarda el planeta en dar
una vuelta al Sol). Pero A = πab (el área de la elipse). De donde:
2𝜋𝑎𝑏
=Τ
ℎ
Si se eleva al cuadrado:
4𝜋 2 𝑎2 𝑏2
Τ2 =
ℎ2
Usando (1), se tiene finalmente:
4𝜋 2 3
2
Τ =(
)𝑎
𝑘
Si recordamos que k = GM (donde M es la masa del Sol), se tiene que esta ley es válida para
todos los planetas.
ANEXO
A) De círculos y rectas a esferas y conos
Un resultado clave: Tomemos una circunferencia y un punto fuera de ella 𝑃. Tracemos
las dos líneas que parten de este punto y que son tangentes a la circunferencia.
𝐴
𝑃
𝐵
Entonces PA = PB
Si la figura anterior se rota con respecto a la línea que pasa por P y por el centro del
círculo, se generan un cono y una esfera
𝑃
La esfera hace tangencia con el cono en la circunferencia señalada.
B) Las Cónicas. Cortes de Conos, focos y directrices.
𝐹
𝑄
C) Probaremos que para cada punto 𝑃 de la cónica, el cociente entre 𝑃𝐹 (la distancia del
punto al foco) y 𝑃𝐷 (la distancia entre el punto y la directriz, es constante. De hecho a
𝑃𝐹
ese cociente 𝑃𝐷 se le llama la excentricidad (de la cónica).
𝐹
𝑄
𝐷
Observe que 𝑃𝐹 = 𝑃𝑄 porque ambos son segmentos de rectas que son tangentes a la
𝑃𝑄
esfera y parten del mismo punto. Basta probar que 𝑃𝐷 es constante.
Para cada punto de la cónica hay dos tríangulos rectángulos que son equivalentes a los
dos correspondientes de cualquier otro punto:
𝐹
𝑄
𝐷
𝐺
Me refiero a los triángulos 𝑃𝐺𝑄 (donde el ángulo recto está en 𝐺 y se forma con la
perpendicular al plano horizontal y la línea radial del círculo de tangencia; el ángulo en
𝑄, es el que hace la generatriz del cono que pasa por 𝑃 con el plano horizontal) y al
triángulo 𝑃𝐺𝐷.
Tomemos otro punto 𝑃´ de la cónica con sus respectivos triángulos.
𝐹
𝑃´
𝑄
𝐺
𝑄´
𝐷´
𝐺´
𝐷
Los ángulos en 𝐷 y 𝐷´ son iguales al ángulo que hace el plano cuyo corte con el cono
forma la cónica, con el plano horizontal donde está la circunferencia de la esfera
tangente al cono. Los ángulos 𝑄 y 𝑄´ son iguales al que hace la generatriz con el plano
horizontal.
Se tiene entonces que los triángulos 𝑃𝐺𝑄 y 𝑃𝐺𝐷 son respectivamente equivalentes a
𝑃´𝐺´𝑄´ y 𝑃´𝐺´𝐷´
De aquí se deduce que
𝑃´𝑄´
𝑃𝑄
𝑃𝑄 𝑃𝐺
𝑃´𝑄´
=
= 𝑃´𝐺´ =
𝑃𝐷
𝑃´𝐷´
𝑃𝐷
𝑃´𝐷´
𝑃𝐺
𝑃´𝐺´
Por lo que el número que se obtiene al dividir la distancia de cualquier punto de la
cónica al foco entre la distancia a la directriz es constante. Ese número es, como ya lo
habíamos dicho, la excentricidad.
D) Los distintos tipos de cónicas y la excentricidad.
En particular tomemos el punto 𝑃 = 𝑉 de la cónica más “bajo”, el vértice. Una vista de
perfil del cono, plano de corte, plano horizontal y esfera es la siguiente:
𝐹
𝑃
𝑄
𝑃𝐹
𝐷
𝑃𝑄
Entonces la excentricidad (𝑒 = 𝑃𝐷 = 𝑃𝐷 ) queda determinada por el tríangulo 𝑃𝑄𝐷 y
cumple con 0 < 𝑒 < 1, 𝑒 = 1 ó 𝑒 > 1 según que el ángulo en 𝐷 sea respectivamente
menor, igual o mayor que el ángulo en 𝑄.
Si observamos que el ángulo 𝑄 es el mismo que 𝑄´, es fácil apreciar que cuando 0 <
𝑒 < 1, el plano atravezará por completo el cono y entonces se tendrá una elipse.
𝐹
𝑃
𝑄´
𝑄
𝐷
Si el ángulo 𝐷 = 𝑄 = 𝑄´ entonces 𝑒 = 1, se tiene que la cónica es una parábola.
𝐹
𝑃
𝑄´
𝐷
𝑄
Si el ángulo 𝐷 > 𝑄 = 𝑄´ entonces 𝑒 > 1, se tiene que la cónica es una hipérbola.
𝐹
𝑃
𝑄´
𝐷
𝑄
En el caso extremo cuando el plano de corte es paralelo al horizontal (y tangente a la esfera),
se dice que 𝑒 = 0 y la cónica es una circunferencia con el foco en el centro de ella.
E) La ecuación general de una cónica.
Instalamos un sistema de coordenadas polares en el plano de la cónica, tomando como
el polo el foco y la dirección de este al vértice, como el eje de referencia y avanzando en
contra de las manecillas del reloj:
𝜃
𝑉
𝑟
Se sabe que 𝑃𝐷 = 𝑒, pero 𝑃𝐷 = 𝐹𝐷 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃. Entonces:
𝑟
=𝑒
𝐹𝐷 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
Despejando 𝑟 se obtiene:
𝑟=
𝑒(𝐹𝐷)
1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃
Este es precisamente el tipo de ecuación que se obtuvo de la Segunda Ley de Kepler para
probar que los planetas describen una elipse:
ℎ2⁄
𝑘
𝑟=
1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃
F) La excentricidad en la elipse.
Volvamos al caso de la Elipse
D
𝑐
𝑎
Se afirmó en ese caso que 𝑒 = ; lo probaremos en este punto.
Se observa que 𝑎 es el la magnitud del semieje mayor (haciendo uso de la propiedad de las
elipses de que la suma de las distancias de cualquier punto de ella a los focos es constante; la
suma de estas distancias para el extremo 𝐴 es la longitud del eje mayor, y este debe ser 2𝑎 ,
que es la suma que le corresponde al punto 𝐶)
Si consideramos el punto 𝐴, entonces la excentricidad 𝑒, que debe ser constante, es:
𝐴𝐹2
𝑒=
𝐴𝐷
Donde 𝐴𝐷 es la distancia de 𝐴 a la directriz. Así,
𝑎+𝑐
𝑐
1+𝑎
𝐴𝐹2
𝑎+𝑐
𝑎
𝑒=
=
=
=
𝐴𝐷 𝑎 + 𝐶𝐷 𝑎 + 𝐶𝐷 1 + 𝐶𝐷
𝑎
𝑎
𝐶𝐷
𝑎
1
= 𝑒, considerando la excentricidad en el punto 𝐶. Se tiene entonces que
𝑐
1+𝑎
𝑒=
1
1+𝑒
Despejando se llega a que
𝑐
=𝑒
𝑎
Observamos que