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Transcript
INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAN CLEMENTE
PREPARADOR DE CLASES
Docente
IVÁN DARIO DORIA FERNÁNDEZ
Área
MATEMÁTICAS-TRIGONOMETRÍA
Grado
10°
Tierralta-Córdoba
2016
INSTITUCIÓN EDUCATIVA “SAN CLEMENTE”
Reconocimiento oficial No. 000300 de mayo 7 de 2003.
NID. 223807001981 - NIT.812007524 - Núcleo Educativo No. 35.
Email ee_22380700198101 @hotmail.com
San Clemente Km. 14 – Vía Urrá. – Tierralta- Córdoba
AREA: MATEMÁTICAS
GRADO: 10°
UNIDAD N° 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
FECHA INICIAL: 18 de enero
FECHA DE CULMINACIÓN: 18 de marzo
TIEMPO PROBABLE: 36 horas
TIEMPO REAL: 36 horas
TEMAS: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a
otro, Semejanza de triángulos, Razones trigonométricas para ángulos especiales (30º, 45º y 60º),
Solución de triángulos rectángulos, Conceptos básicos población, muestra, variables, tipos de
variables, tablas de frecuencia.
ACTIVIDADES EN EL AULA, ÁREA MATEMÁTICAS
GRADO: 10°
CLASE No. 0
FECHA:
TEMA: Presentación.
UNIDAD Nº: 1
ACTIVIDADES
1. Saludo y presentación por parte del docente.
2. Hacer un listado provisional y presentación de los estudiantes.
3. Evaluación: Actividades en clase, salidas al tablero, tareas en casa, talleres, trabajos,
evaluaciones tipo prueba saber.
4. Espacio para preguntas por parte de los estudiantes.
CLASE No. 1
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro.
ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,
racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar
apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Comprende el concepto de ángulo y los construye.
Clasifica ángulos de acuerdo a su posición, sentido y medida.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos. Observación del salón de clases e identificación de
ángulos presentes en el aula basados en sus conocimientos previos del concepto de ángulo.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente. Ejercicios sobre medidas de ángulos, dibujar ángulos
positivos y negativos. Dibujar ángulos según las clasificaciones dadas.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre ángulos y
sistemas de medidas de ángulos.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Clase 1.ppt
CLASE No. 2
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro.
ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,
racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar
apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Realiza conversiones de unidades de medición de
ángulos en el sistema sexagesimal y angular y viceversa.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos. Realización de ejercicios sobre conversión de un
sistema a otro.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente. Ejercicios sobre conversión del sistema sexagesimal al
sistema centesimal y radial; conversión del sistema centesimal al sistema sexagesimal y
radial; y conversión del sistema radial al sistema sexagesimal y centesimal.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre ángulos y
sistemas de medidas de ángulos.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Clase 2.ppt
..\..\Archivos para
angular.pptx
clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Sistemas
de
medición
CLASE No. 3
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro.
ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y
funciones trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Determina las razones trigonométricas para ángulos
especiales.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos. Identificación de los lados de un triángulo rectángulo y
posterior planteamiento de los posibles cocientes que se pueden realizar con sus 3 lados.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente. Realización de ejercicios para identificar las razones
trigonométricas definidas en un triángulo rectángulo.
ACTIVIDADES
trigonométricas.
COMPLEMENTARIAS:
Estudiar
todo
lo
visto
razones
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Clase 3.ppt
CLASE No. 4
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Relaciones trigonométrica para ángulos especiales (30º, 45º y 60º), Solución de triángulos
rectángulos
ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y
funciones trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Determina las razones trigonométricas para ángulos
especiales.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia. Charla sobre el aseo del salón y fomentos de indisciplina.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre razones
trigonométricas.
CONTENIDOS TEORICOS:
Razones trigonométricas.
El cociente entre la medida de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo, es
una razón trigonométrica. De acuerdo con los lados que estén en relación, se define la razón
trigonométrica. Para el caso del ángulo 𝛼, en la figura, se tiene:
𝑎
𝑎
1. La razón , cateto opuesto sobre hipotenusa recibe el nombre de seno de 𝛼, 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑐 .
𝑐
𝑏
2. La razón
𝑐
, cateto adyacente sobre hipotenusa recibe el nombre de coseno de 𝛼,
𝑏
𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝑐 .
𝑎
3. La razón , cateto opuesto sobre cateto adyacente recibe el nombre de tangente de 𝛼,
𝑡𝑎𝑛(𝛼) =
𝑏
𝑎
.
𝑏
𝑏
4. La razón , cateto adyacente sobre cateto opuesto recibe el nombre de cotangente de 𝛼,
𝑐𝑜𝑡(𝛼) =
𝑎
𝑏
.
𝑎
5. La razón
𝑐
𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑏.
6. La razón
𝑐
𝑐
𝑏
𝑐
𝑎
, hipotenusa sobre cateto adyacente recibe el nombre de secante de 𝛼,
, hipotenusa sobre cateto opuesto recibe el nombre de cosecante de 𝛼,
𝑐𝑠𝑐(𝛼) = 𝑎.
Forma nemotécnica.
𝒔𝒆𝒏(𝜶) =
𝒄.𝒐
𝒄𝒐𝒕(𝜶) =
𝒄.𝒂
𝒉
𝒄𝒐𝒔(𝜶) =
𝒄.𝒂
𝒔𝒆𝒄(𝜶) =
𝒉
𝒉
𝒕𝒂𝒏(𝜶) =
𝒄𝒔𝒄(𝜶) =
𝒄.𝒐
𝒄.𝒂
𝒉
𝒄.𝒐
𝒄.𝒂
𝒄.𝒐
Ejemplo: Determinar las razones trigonométricas de los ángulos 𝛼 y 𝛽, del siguiente
triángulo:
Donde 𝑎 = 3, 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = 5.
CLASE No. 5
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Propiedades de las razones trigonométricas. Razones trigonométricas para los
ángulos de 30°, 45° y 60°.
ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Comprende que son las razones trigonométricas.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, explicación por
medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejo una actividad a los estudiantes para que
afianzaran los conocimientos.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS: Propiedades de las razones trigonométricas.
Propiedad 1. Los valores del seno y coseno de un ángulo agudo se encuentran siempre
entre 0 y 1. Simbólicamente:
0 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝛽 ≤ 1
0 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ≤ 1
Propiedad 2. La tangente de un ángulo es el cociente entre su seno y su coseno.
Simbólicamente:
𝑠𝑒𝑛𝛽
tan 𝛽 =
cos 𝛽
Ejemplo: determinar el seno, coseno y tangente con respecto al ángulo𝛼, del siguiente
triángulo:
Donde 𝑎 = 8, 𝑏 = 6 𝑦 𝑐 = 10.
Razones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°.
Se hizo la explicación de la tabla, mostrándole al estudiante de manera analítica de donde
sale cada valor correspondiente en la tabla.
CLASE No. 6
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Manejo de la calculadora para hallar el valor de las razones trigonométricas
ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Maneja de manera adecuada la calculadora para
resolver problemas relacionados con las razones trigonométricas.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: Manual de la calculadora.
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Calculadora.pdf
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, se explicara a los estudiantes el manejo de la calculadora
para utilizar las teclas sin, cos y tan para hallar los valores de las razones trigonométricas
para un ángulo cualquiera.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se realizó una actividad con los estudiantes, consistente
en emplear los comandos aprendidos para la solución de operaciones planteadas que
involucran el uso de razones trigonométricas.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Practicar con la calculadora en la casa.
CONTENIDOS TEORICOS: Puedes hallar las razones trigonométricas con una
calculadora científica mediante las teclas: sen, cos y tan.
Para ello, tenemos que indicar la función que se va a trabajar y luego indica el valor del
ángulo:
Sin 20 = 0,342020143
Asegúrate de que la calculadora está en modo de grados sexagesimales. Para ello, verifícalo
tecleando sen 90 = 1, si el resultado no es 1, debes cambiar el modo.
Dependiendo de la calculadora se hace de un modo diferente, pero en todas debe aparecer
una “D” en la parte superior de la pantalla.
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Calculadora.pdf
CLASE No. 7
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro.
ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,
racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar
apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Utiliza procedimientos prácticos para solucionar
triángulos rectángulos.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos. Observación del entorno del aula de clases y del
colegio con el fin de identificar en que situaciones se podría plantear la utilización de las
razones trigonométricas para resolver un problema cotidiano.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente. Ejercicios sobre aplicación de las razones trigonométricas a
problemas planteados en el libro de texto.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre razones
trigonométricas y solución de problemas utilizando razones trigonométricas.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Problemas.ppt
CLASE No. 8
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Ángulos, Clasificación, Sistemas de medida de ángulos, Conversión de un sistema a otro.
ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,
racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar
apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Explica y dibuja ángulos positivos y negativos.
Convierte ángulos del sistema sexagesimal al centesimal y viceversa.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente. Explicación sobre la clasificación de los triángulos según la
medida de sus ángulos. Identificación de un triángulo rectángulo y posterior explicación del
teorema de Pitágoras. Luego comprobación numérica que el teorema se cumple para todo
triángulo rectángulo.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre teorema de
Pitágoras.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DIAPOSITIVAS\Teorema de Pitágoras y
aplicaciones.ppt
CLASE No. 9
FECHA:
UNIDAD Nº: 1 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Conceptos básicos población, muestra, variables, tipos de variables, tabulación de datos,
tablas de frecuencia.
ESTANDAR: Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información
como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y
estadígrafos
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Reconoce la población, la muestra y el tipo de variable
en un caso dado.
Organiza datos en una tabla de frecuencia
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA:
http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica3/poblacin_y_muestra.html
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto sobre variables y tablas
de frecuencia.
CONTENIDOS TEORICOS:
Estadística: Es una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una
población, altura de un equipo de baloncesto, temperatura de los meses de verano, etc.) y
trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. Es una de las
ciencias que permite conocer, o al menos entender, la realidad en la que nos
desenvolvemos. A través de la estadística podemos obtener información de gran valor que
nos ayudará en la toma de decisiones en cualquier ámbito de nuestra vida. El análisis de la
información pasada para tomar la decisión más correcta, de cara al futuro, es el objeto de la
estadística.
Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades y entre
los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno (pueden ser hogares, número de
tornillos producidos por una fábrica en un año, lanzamientos de una moneda, etc.).
Llamamos población estadística o universo al conjunto de referencia sobre el cual van a
recaer las observaciones.
Muestra: es el subconjunto de la población que es estudiado y a partir de la cual se sacan
conclusiones sobre las características de la población. La muestra debe ser representativa,
en el sentido de que las conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población.
Variable: Es aquel dato o característica que puede tomar diferentes valores en
determinadas circunstancias.
Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas:
 Variables cualitativas (o categóricas): aquellas que no aparecen en forma
numérica, sino como categorías o atributos (sexo, profesión, color de ojos).
 Variables cuantitativas: las que pueden expresarse numéricamente (temperatura,
salario, número de goles en un partido).
Las variables cuantitativas se dividen en:
 Discretas: Aquellas que toman valores aislados (números naturales), y que no
pueden tomar ningún valor intermedio entre dos consecutivos fijados. Por ejemplo;
nº de goles marcados, nº de hijos, nº de discos comprados, nº de pulsaciones,...
 Continuas: Aquellas que toman infinitos valores (números reales) en un intervalo
dado, de forma que pueden tomar cualquier valor intermedio, al menos
teóricamente, en su rango de variación. Por ejemplo; talla, peso, presión sanguínea,
temperatura,…
Frecuencia: Número de veces en que se repite un dato. Distinguimos dos clases de
frecuencias:
 Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta de una variable estadística es el
número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable.
 Frecuencia absoluta acumulada: La frecuencia acumulada es la suma de
las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor
considerado.
 Frecuencia relativa: La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el
tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el
tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder
comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que
es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra.
 Frecuencia relativa acumulada: La frecuencia relativa acumulada es
el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y
el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
Tabulación de datos: al comienzo de un trabajo de análisis de datos se cuenta con un gran
volumen de información en bruto. Una de las primeras tareas es organizar esa información
y tabularla. El propósito de la tabulación es resumir la información para sacar conclusiones
de una forma práctica y organizada.
Tablas de frecuencia.
Como su nombre lo indica la tabla de frecuencias, es una tabla en la cual se organizan los
valores de una determinada variable por medio de sus frecuencias absoluta y relativa.
Ejemplos:
1. Las notas de un examen de matemáticas de 30 alumnos de una clase son las
siguientes:
5, 3, 4, 1, 2, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7, 1, 5, 1, 5, 9, 9, 8, 6, 8, 8, 8, 9, 5, 7.
a) Ordenar los datos y calcular las frecuencias absolutas y relativas de cada nota.
2. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes
temperaturas máximas:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29,
30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29. Realiza una tabla de frecuencias.
3. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto
colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:
Nº de
caries
𝒇𝒊
𝒉𝒊
0
25 0.25
1
20
0.2
2
x
z
3
15 0.15
4
y
0.05
Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.
4. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:
xi
𝒇𝒊
1
4
2
4
3
7
5
5
6
8
0.16
0.14
28
38
7
𝒉𝒊
0.08
16
4
7
𝑭𝒊
45
UNIDAD N° 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FECHA INICIAL: 28 de marzo
FECHA DE CULMINACIÓN: 10 de junio
TIEMPO PROBABLE: 36 horas
TIEMPO REAL: 36 horas
TEMAS: Definición de las funciones trigonométricas, valores de las funciones
trigonométricas para ángulos especiales (30º, 45º, 60º, 0, , /2, 2 /2, 2), reducción de
ángulos al primer cuadrante, gráficas de las funciones trigonométricas, aplicaciones,
teorema del seno y coseno, análisis de tablas de datos, gráficos estadísticos.
CLASE No. 10
FECHA: 28 de marzo
UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Funciones Trigonométricas.
ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Comprende y analiza las diferencias entre las funciones
y razones trigonométricas.
Gráfica y analiza cada una de las funciones trigonométricas.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Funciones Trigonométricas.pdf
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\functrigonometricas.pdf
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Los estudiantes como parte de un trabajo de consulta realizaron la gráfica de cada una de
las funcione trigonométricas en hojas milimetradas y posteriormente en clase se hizo la
correspondiente explicación de las características de cada función.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Funciones Trigonométricas.pdf
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\functrigonometricas.pdf
CLASE No. 11
FECHA:
UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Reducción de ángulos al primer cuadrante
ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Reduce correctamente ángulos al primer cuadrante
Aplica los teoremas del Seno y Coseno en la solución de triángulos oblicuángulos.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: Internet
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con posterior
explicación y ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar el tema visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS:
CLASE No. 12
FECHA:
UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Teoremas del seno y del coseno
ESTANDAR: Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones
y funciones trigonométricas.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Aplica los teoremas del Seno y Coseno en la solución de triángulos oblicuángulos.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: Internet
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con posterior
explicación y ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo relacionado con teorema del
seno y del coseno.
CONTENIDOS TEORICOS:
Teoremas del seno y del coseno.
Teorema del seno.
Para cualquier triángulo se cumple que la medida de los lados es directamente proporcional
al valor del seno de los ángulos opuestos, así:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
Ejemplo: Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo
60°, ∢𝐵 = 45°, 𝑎 = 4, ∢𝐵 = 120°, 𝑎 = 8, 𝑏 = 10
que ∢𝐴 =
Actividad (Teorema del seno)
1. Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo que:
a) ∢𝐴 = 65°, ∢𝐵 = 35°, 𝑏 = 6
b) ∢𝐵 = 83°, ∢𝐶 = 32°, 𝑐 = 7
c) ∢𝐴 = 30°, ∢𝐶 = 120°, 𝑎 = 3
d) ∢𝐴 = 76°, 𝑎 = 10, 𝑐 = 8
e) ∢𝐵 = 135°, 𝑎 = 12, 𝑏 = 15
Teorema del coseno.
El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo, es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas
por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
Simbólicamente:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Ejemplo: Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo
100°, 𝑎 = 50, 𝑏 = 40, ∢𝐴 = 95°, 𝑏 = 20, 𝑐 = 17
que ∢𝐶 =
Actividad (Teorema del coseno)
1. Dado el triángulo ABC, calcula los elementos faltantes sabiendo que:
a) ∢𝐶 = 130°, 𝑎 = 12, 𝑏 = 15
b) ∢𝐴 = 60°, 𝑏 = 8, 𝑐 = 9
c) ∢𝐵 = 150°, 𝑎 = 14, 𝑐 = 6
d) ∢𝐶 = 75°, 𝑎 = 11, 𝑏 = 16
e) ∢𝐴 = 80°, 𝑏 = 18, 𝑐 = 23
f) 𝑎 = 10, 𝑏 = 12, 𝑐 = 15
CLASE No. 13
FECHA:
UNIDAD Nº: 2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Gráficos estadísticos.
ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,
racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar
apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
Construye y analiza representaciones gráficas de datos.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA:
http://elzhifestadistica.blogspot.com.co/2012/05/graficas-estadisticas.html
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia, frase del día, reflexión. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a tratar, dictado de los contenidos sobre el tema, con posterior
explicación y ejemplos. Los estudiantes por medio de una consulta realizaron diferentes
tipos de gráficas y en el aula de clases se explicaron las características de cada tipo de
gráfico y en que caos era conveniente utilizar determinado tipo de gráfico estadístico.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se le dejaron unos ejercicios al estudiante para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo relacionado con gráficos
estadísticos.
CONTENIDOS TEORICOS:
GRÁFICAS ESTADÍSTICAS
Las gráficas estadísticas nos permite “familiarizarnos” con los datos que se han recopilado
y resumido. Se considera como una técnica inicial de análisis exploratorio de datos que
produce una representación visual. Las gráficas resultantes revelan un patrón de
comportamiento de la variable en estudio. Se ofrecen muchos tipos de gráficos para
describir el conjunto de datos. Dependiendo del tipo de datos y lo que se quiera representar,
se hará uso del método gráfico más adecuado.
DATOS CATEGÓRICOS
DIAGRAMA CIRCULAR
Es de especial utilidad para mostrar proporciones (porcentajes) relativas de una variable. Se
crea marcando una porción del círculo correspondiente a cada categoría de la variable.
DIAGRAMA DE BARRAS
Es una forma gráfica de representar datos cualitativos que se han resumido en
una distribución de frecuencias, de relativas o de porcentuales. Hay varios tipos de
gráficos de barras, como son:
GRÁFICA SIMPLE DE BARRAS VERTICALES
Para respuestas categóricas cualitativas en el que solo interviene una barra para cada clase.
Su trazo se realiza ubicando en el eje horizontal de la gráfica los nombres que identifican
cada una de las clases. En el eje vertical se usa una escala de frecuencias, una de
frecuencias relativas o una de porcentuales. Luego, con una barra de un ancho fijo trazada
sobre cada indicador de clase llegamos a la altura que corresponde al tipo de frecuencia
escogido. Las barras se separan a fin de señalar que cada clase es una categoría
independiente. Los espacios entre las barras deben corresponder a la mitad del ancho de
una barra.
GRÁFICA SIMPLE DE BARRAS HORIZONTALES
Se utiliza principalmente para facilitar la comparación entre las diferentes clases
que componen los datos categóricos. El trazo de la gráfica es muy similar a la gráfica
de barras verticales, solo que éstas van en forma horizontal y están ordenadas de la
mayor a la menor frecuencia absolutas, de frecuencias relativas o de porcentajes. De
esta manera se logra una mejor visualización en las preferencias.
GRÁFICA DE BARRAS COMPONENTES
Este tipo de gráfica se usa cuando las diferentes categorías de datos se componen de otras
clases, de tal forma que cada barra se pueda subdividir y representar cada una de estas
clases. Así mismo, entre las categorías y sus componentes se compara valores.
También se le conoce como barras agrupadas. Se puede hacer uso de barras horizontales o
de barras verticales; su escogencia depende de lo que se pretenda ilustrar para que facilite
su visualización.
GRÁFICA DE BARRAS SECCIONADAS
Esta gráfica compara entre categorías el aporte de cada valor al total ,dando lugar a
una columna apilada para cada clase. También se puede presentar de manera horizontal
o vertical
DIAGRAMA DE PARETO
Es un tipo especial de diagrama de barras verticales, donde las respuestas categóricas se
grafican en orden descendente de frecuencias y se combinan con un polígono acumulado en
la misma escala. El diagrama de Pareto se usa ampliamente en el control estadístico de
procesos y el control estadístico de la calidad del producto.
Lo que se pretende con este tipo de grafico es describir en donde se presenta el
mayor porcentaje del problema y que factores lo afectan. Este concepto, se conoce como
la regla de 80-20, considera que el 80% de la actividad se debe al 20% de los factores .
Al concentrarse en el 20% de los factores, los gerentes pueden atacar el 80% del problema.
DIAGRAMA DE BARRAS
Tienen el mismo uso que los datos categóricos, solamente que intervienen dos
variables, una que representa el tiempo y la otra cantidad (Ingresos, ventas, IPC, Costos,
No. De unidades producidas, etc.). Dependiendo de lo que se quiera representar se ofrecen
los diagramas de barras simples, de componentes, bidireccionales y seccionados.
GRÁFICAS DE LINEA
Se ilustra mediante segmentos de línea los cambios en cantidades con respecto al tiempo.
Son especialmente útiles en el comercio y en los negocios.
DATOS NUMÉRICOS
HISTOGRAMAS
Una de las maneras más comunes de representar una distribución de frecuencia. Su grafica
consiste en un conjunto de barras, en la que la base de cada barra representa una clase o
intervalo, indicada en el eje horizontal, y la altura por su frecuencia, indicada en el eje
vertical. Generalmente las barras se trazan adyacentes una a la otra.
POLÍGONO DE FRECUENCIA
De segmentos de línea que conectan los puntos formados por la intersección del
punto medio de clase y la frecuencia de clase absoluta, relativa o porcentual.
OJIVA
Es un polígono acumulado de frecuencia absoluta, relativa o porcentual y por lo
tanto representa segmentos de línea que se origina al conectar los puntos formados por
la intersección entre el límite inferior de cada clase con la frecuencia acumulada.
Es conocida como polígono de frecuencia acumulada menor que, ya que muestra el
número o porcentaje de observaciones menores a cierto valor. La ojiva es importante
porque nos permite extrapolar información que la distribución de frecuencia oculta y así
como calcular estadísticos como la mediana, cuartiles, deciles y percentiles, en forma
aproximada. Para construir la ojiva se debe primero elaborar la distribución de frecuencia
menor que.
UNIDAD N° 3 IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
FECHA INICIAL: 20 de junio
FECHA DE CULMINACIÓN: 2 de septiembre
TIEMPO PROBABLE: 36 horas
TIEMPO REAL: 36 horas
TEMAS: Identidades trigonométricas fundamentales y pitagóricas, demostración de
identidades, identidades para ángulos dobles: seno, coseno y tangente, medidas de
tendencia central y sus relaciones: la media, mediana y la moda, medidas de dispersión.
CLASE No. 14
FECHA:
UNIDAD Nº: 3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Identidades trigonométricas fundamentales y pitagóricas, demostración de
identidades.
ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,
racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar
apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Emplea el teorema de Pitágoras para verificar algunas
identidades trigonométricas.
Utiliza identidades trigonométricas para demostrar nuevas identidades.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA:
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos. Ejercicios demostrando identidades trigonométricas.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Identidades Trigonométricas.pdf
CLASE No. 15
FECHA:
UNIDAD Nº: 3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA: Identidades para ángulos dobles: seno, coseno y tangente.
ESTANDAR: Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,
racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar
apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Emplea el teorema de Pitágoras para verificar algunas
identidades trigonométricas.
Utiliza identidades trigonométricas para demostrar nuevas identidades.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA:
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, recordando el tema anterior y prosiguiendo a la
explicación minuciosa de donde salen las fórmulas.
Objetivos
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar identidades para ángulos dobles.
CONTENIDOS TEORICOS:
CLASE No. 16
FECHA: 12 de septiembre
UNIDAD Nº 4: CÓNICAS
TEMA: Circunferencia. Ecuación canónica y general de la circunferencia.
ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las
curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y
transversales en un cilindro y en un cono.
Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por
medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Encuentra la ecuación de la circunferencia, dando
centro y radio.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: ..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia. Charla sobre temas de actualidad.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf
CLASE No. 17
FECHA:
UNIDAD Nº 4: CÓNICAS
TEMA: La parábola y sus elementos. Ecuación canónica y general de la parábola.
ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las
curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y
transversales en un cilindro y en un cono.
Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por
medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Halla correctamente los elementos de una parábola.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: Internet
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DGB3_4_3.pdf
CLASE No. 18
FECHA:
UNIDAD Nº 4: CÓNICAS
TEMA: La hipérbola y sus elementos. Ecuación canónica y general de la hipérbola.
ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las
curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y
transversales en un cilindro y en un cono.
Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por
medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Halla correctamente los elementos de una hipérbola.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA: Internet
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf
CLASE No. 19
FECHA:
UNIDAD Nº 4: CÓNICAS
TEMA: La elipse y sus elementos. Ecuación canónica y general de la elipse.
ESTANDAR: Identifico en forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades de las
curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y
transversales en un cilindro y en un cono.
Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por
medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras.
INDICADORES DE DESEMPEÑO: Halla correctamente los elementos de una elipse.
RECURSOS: Libro, tablero, marcadores.
BIBLIOGRAFIA:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf
ACTIVIDADADES DE INICIACIÓN
Saludo, control de asistencia.
ACTIVIDADADES DE DESARROLLO
Presentación del tema a los estudiantes, dictado de los contenidos sobre el tema y posterior
explicación por medio de ejemplos.
ACTIVIDADES DE FINALIZACIÓN
EVALUACIÓN y ACTIVIDADES DE REFUERZO:
Una vez terminada la explicación se les dejaron algunos ejercicios a los estudiantes para ser
revisados en la clase siguiente.
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Estudiar todo lo visto en clase.
CONTENIDOS TEORICOS:
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Conicas.pdf
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\Las Cónicas.pdf
..\..\Archivos para clases\Trigonometria\DGB3_4_3.pdf