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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
¿QUE ES UN PROBLEMA?
La mayoría de los ejercicios que se presentan en los libros de texto no son verdaderos
problemas, sino sugerencias para ejercitar técnicas y herramientas que se han
presentado en el capítulo correspondiente. Un verdadero problema es una situación
que se presenta, en la cual se sabe más o menos ( o con toda claridad) a DONDE se
debe llegar pero no se sabe COMO llegar. La principal dificultad consiste en aclarar
la situación y dar con algún camino adecuado (una estrategia) que nos lleve a la
meta. A veces no se sabe si la herramienta adecuada para la situación planteada
está en la colección de técnicas que dominamos, o ni siquiera si se ha creado una
técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es,
precisamente, la circunstancia del investigador, en matemática y en cualquier otro
campo y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en
nuestra vida cotidiana.
UNA ESTRATEGIA DE PENSAMIENTO: COMENZAR CON UN PROBLEMA SEMEJANTE MAS
FACIL
A veces nos encontramos con problemas que resultan difíciles por su tamaño, por
presentar demasiados elementos que lo hacen complicado y oscuro.
En estos casos puede ser útil proponer un problema semejante, lo más sencillo posible
y resolverlo. De esta manera se consigue que aparezcan más transparentes principios
de solución que quedan confusos en medio de la complejidad del problema inicial.
EXPERIMENTAR, OBSERVAR, BUSCAR PAUTAS, REGULARIDADES. HACER CONJETURAS.
TRATAR DE DEMOSTRARLAS
En matemática, las buenas ideas surgen muy a menudo a través de "experimentos".
Los experimentos son de diverso tipo. Unas veces se trata de ensayar en casos
particulares la aparición de una cierta propiedad. Otras se tratan de mirar ciertas
figuras, cambiándolas, introduciendo elementos auxiliares, a fin de enlazar
diversas situaciones y de establecer conexiones que sospechamos que existen entre los
objetos que manipulamos. Con el experimento y la observación surge una
"conjetura". Se sigue experimentando con nuevos casos poniendo a prueba tal
conjetura. Si esta resiste varias pruebas va adquiriendo más fuerza. Luego vendrá la
tarea de dar con la razón por la cual la conjetura se verifica siempre, con la
"demostración" de la conjetura.
DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA
Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra
encontrar una representación visual adecuada de los elementos que en él
intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de
palabras, números o solamente símbolos.
ELEGIR UN LENGUAJE ADECUADO, UNA NOTACION ADECUADA
Muchas veces, el resolver un problema depende fundamentalmente de que el estilo
de pensamiento que se aplique sea el adecuado o no al problema. Por eso, antes de
empezar a trabajar conviene pensar si será bueno utilizar un lenguaje geométrico o
bien un simple diagrama, o tal vez convenga utilizar un lenguaje algebraico o
analítico, o incluso, venga bien una modelización con papel, cartón, etc.
Profesor Rey Zarza
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
PENSAR EN EL PROBLEMA RESUELTO
Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaña consiste en
colocarse arriba con un helicóptero y desde allí estudiar los caminos posibles.
En la resolución de problemas este procedimiento es barato, fácil y de uso constante.
GLOSARIO
< 1 > En todo triángulo la suma de los ángulos interiores es un ángulo llano o 180º.
a
b
c
a + b + c = 180º
< 2 > Dados dos recta paralelas cortadas por una transversal:
b
d
c
a
e
a = b por ser opuestos por el vértice.
e = a por ser correspondientes entre paralelas cortadas por una transversal.
e = b y d = c por ser alternos internos entre paralelas cortadas por una transversal.
a + c = 180, b + c = 180 y d + e = 180 por ser un ángulo llano o suplementario.
< 3 > Múltiplos y divisores.
Un número dícese múltiplo de otro cuando lo contiene a éste en una cantidad
exacta de veces.
Un número dícese divisor de otro cuando es contenido por éste en una cantidad
exacta de veces.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si, y sólo si, la cifra de sus decenas y
de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si, y sólo sí, la cifra de sus unidades
es 0 o 5.
Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si, y sólo si,
 La cifra de las unidades más 3 veces la de las decenas, más 2 veces la de las
centenas, menos la de las unidades de mil, menos 3 veces la de las decenas de
mil, menos 2 veces la de las centenas de mil, más las unidades de millón, y
así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir que, dado el número
......jihgfedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 3b + 3c) – (d + 3e + 2f) +
(g + 3h + 2i) – (j + .........) + .............
 El número formado por las tres cifras de la derecha, menos el número
formado por las 3 que le siguen a su izquierda, más el número que firman las
3 que le siguen y así siguiendo, resulta un número múltiplo de 7. Es decir,
dado el número .....jifedcba en base 10, será divisible por 7 si: (a + 10b + 10 2c)
– (d + 10e + 102f) + (g + 10h + 102i) – (j + ................) + ......................... resulta
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
un múltiplo de 7.Esta última versión, que parece más sencilla, no es muy
práctica para números pequeños.
Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si, y sólo si, el número formado por
las tres últimas cifras de la derecha es un múltiplo de 8.
Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si, y sólo sí, la suma de sus cifras es
múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si, y sólo si, la cifra de las
unidades es cero.
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si, y sólo sí, la suma de las cifras
de lugar impar, menos la suma de las cifras de lugar par es múltiplo de 11(se
cuenta de derecha a izquierda).
 Toda cifra seguida de un número par de ceros es igual a un múltiplo de 11,
más la misma cifra.
 Toda cifra seguida de un número impar de ceros es igual a un múltiplo de
11, menos la misma cifra.
Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si, y sólo sí, la cifra de sus
centenas y de sus unidades son ceros o componen un múltiplo de 25.
Divisibilidad por 125: Un número es divisible por 125 si, y sólo sí, la cifra del número
formado por las tres cifras de la derecha es un múltiplo de 125.
< 4 >Cualquier proposición que pueda expresarse como una igualdad es una
ecuación. Una ecuación es una igualdad que tiene uno o más elementos
desconocidos llamados incógnitas.
Resolver una ecuación significa encontrar el o los elementos que hacen que la
igualdad sea verdadera.
¿CÓMO DESPEJAR LOS ELEMENTOS DE LAS CUATRO OPERACIONES BÁSICAS?
2+3=52=5–3y3=5–2
( A ) EN UNA ADICIÓN, CADA SUMANDO ES IGUAL A LA SUMA MENOS EL OTRO
SUMANDO.
6–4=26=2+4
( B ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL MINUENDO ES IGUAL A LA RESTA
MAS EL
SUSTRAENDO.
6–4=24=6–2
( c ) EN UNA SUSTRACCIÓN, EL SUSTRAENDO ES IGUAL AL MINUENDO MENOS LA
RESTA.
2.3=62=6:3Y3=6:2
( D ) EN UN PRODUCTO, CADA FACTOR ES IGUAL AL PRODUCTO DIVIDIDO EL OTRO
FACTOR.
8:2=48=4.2
( E ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVIDENDO ES IGUAL AL COCIENTE MULTIPLICADO POR EL
DIVISOR.
8:2=42=8:4
( F ) EN UNA DIVISIÓN, EL DIVISOR ES IGUAL AL DIVIDENDO DIVIDIDO EL COCIENTE.
< 5 > La suma de números consecutivos desde 1 hasta n es 1 + 2 + 3 + .... + n = n.(n +
1)
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< 6 > Si al hallar la cantidad de divisores de un número entero lo descomponemos
en sus factores primos y luego lo escribimos como potencia y quede de la siguiente
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forma: n = ax.by.cz ; entonces la cantidad de divisores que tiene n es del producto de
los exponentes luego de sumarle 1 a cada uno de ellos, o sea
(x +1).(y + 1).(z + 1) = cant. de divisores de n.
< 7 > En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos
ángulos interiores no adyacentes.
a+b
c
a
c+b
b
a+c
< 8 > DIVISOR COMUN MAYOR. Si a, b son enteros no nulos, entonces existe y es único
d tal que:
 D es mayor que cero.
 D divide a a y d divide a b.
 c divide a a y c divide b entonces c divide a d.
A d llamamos divisor común mayor y anotamos (a;b). Para su cálculo ensayamos la
división de a (ab) por b (b0). Si el resto es 0, entonces (a;b) = b; si no lo es,
dividimos b por ese resto y repetimos el procedimiento de dividir los sucesivos
divisores por los sucesivos restos. El mcd es el último resto no nulo (algoritmo de
Euclides).
< 9 > MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO. Si a,b son números enteros no nulos, entonces
existe y es único m tal que:
 m es mayor que 0.
 a divide a m y b divide a m
 si k es entero y k es mayor que 0 y k es múltiplo de y b, entonces m es menor o
igual que k.
A m llamamos múltiplo común mínimo y anotamos a;b. Si a o b es cero, definimos
a;b = 0.
< 10 > MEDIATRIZ. Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales . En un
triángulo las mediatrices de los lados se cortan en el centro de la circunferencia
circunscrita.
< 11 > MEDIANA. La mediana de un triángulo es la recta que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto. Las medianas de los lados se intersectan en un punto
llamado BARICENTRO (también llamado centro de gravedad).
La longitud de la mediana trazada en el lado A es: M A =  2.(B2 + C2) – A2
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<12 > ALTURA. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el
lado opuesto y es perpendicular a él. Las alturas de un triángulo se intersectan en
un punto llamado ORTOCENTRO.
< 13 > BISECTRIZ. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos
partes iguales. En un triángulo, las bisectrices se intersectan en un punto, INCENTRO
que es el centro de la circunferencia inscrita. La longitud de la bisectriz del ángulo
opuesto al lado A es:
L = BC.(B + C)2 – A2 ]
B+C
El baricentro está alineado con el ortocentro, y el circuncentro, y a doble distancia
del primero que del segundo.
< 14 > TEOREMA DE PITÁGORAS. Para un triángulo rectángulo existe una relación
muy conocida entre sus lados: es el Teorema de Pitágoras: “El cuadrado de la
hipotenusa (A) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (B y C)”. La
hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, y los catetos son los lados restantes. La
fórmula es la siguiente:
A2 = B2 + C2
A
B
C
< 15 > RECIPROCA DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
Si en un triángulo de lados de longitud a, b y c que verifican A²= B²+ C² entonces el
triángulo es rectángulo con catetos de longitudes b y c e hipotenusa de longitud a.
< 16 > SUPERFICIE. La superficie del triángulo puede calcularse de diversas maneras
según los datos que se dispongan:
* Fórmula básica: S = B x h
B: base; h : altura
2
* Fórmula de Herón: S = p.(p – A).(p – B).(p – C) ;
p=A+B+C
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Teniendo como dato adicional de la circunferencia circunscripta: S = A . B . C ;
R es el radio de la circunferencia.
4.R
< 17 > Si en un triángulo la base se mantiene constante y su altura se divide en “ n “
partes iguales su superficie también queda dividida en “ n “ partes; y si su base se
divide en “ n “ partes iguales y su altura queda se mantiene constante su superficie
queda dividida en “ n “ partes iguales.
< 18 > CUADRADO.
 Sus lados y ángulos son congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a L2
< 19 > RECTÁNGULO.
 Dos pares de lados opuestos congruentes.
 Todos sus ángulos congruentes.
 Las diagonales son congruentes y se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 20 > ROMBO.
 Todos sus lados congruentes.
 Dos pares de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales son distintas y se cortan en sus puntos medios formando
ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 21 > ROMBOIDE.
 Dos pares de lados consecutivos congruentes.
 Un par de ángulos opuestos congruentes.
 Las diagonales se cortan formando ángulos rectos.
 La superficie es igual a D . d
2
< 22 > PARALELOGRAMO.
 Dos pares de lados paralelos congruentes.
 Sus ángulos opuestos son congruentes, y sus ángulos consecutivos son
suplementarios. (miden 180º).
 Las diagonales no son congruentes y no se cortan en sus puntos medios.
 La superficie es igual a B . H.
< 23 > TRAPECIO.
 Un par de lados paralelos no congruentes y un par de lados no paralelos.
 Dos pares de ángulos consecutivos suplementarios.
 Sus diagonales no son congruentes.
 La superficie es igual a (B + b) . h
2
< 24 > POLÍGONOS EN GENERAL.
* Números de diagonales: Sea un polígono de n lados, el número N de diagonales
está dado por la fórmula:
N = n.(n – 3)
2
* Suma de los ángulos Interiores: La suma de los ángulos interiores está dada por la
fórmula:
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 i = 180º.(n – 2)
* Superficie: La superficie se puede calcular dividiendo al polígono en n triángulos
como se muestra en el ejemplo:
* Polígonos regulares: Las fórmulas para calcular superficies son generales
únicamente para polígonos regulares. Dichos polígonos tienen todos sus lados
iguales y todos sus ángulos congruentes. Consideramos ahora un polígono regular
de n lados inscripto en una circunferencia de radio R, si queremos realizar el
mismo procedimiento que en el ejemplo anterior podemos tomar el centro de la
circunferencia para poder trazar los triángulos.
< 25 > CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO. La circunferencia es el lugar geométrico de los
puntos que equidistan de un punto llamado centro. Círculo es la región encerrada
por la circunferencia. Si R es el radio de la misma, la longitud de la curva
(llamada también perímetro) es C = 2..R; y el área del círculo es S = .R2.
< 26 > ACUTÁNGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.
< 27 > ÁNGULO ADYACENTE. El que resulta cuando una de las semirrectas que lo
delimitan es común para dos ángulos. Por ejemplo  y 
a
O
b
β
c
< 28 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto
< 29 > ANGULO CENTRAL. El formado por el origen O de una circunferencia y dos
radios r1 r2
< 30 > ANGULO COMPLEMENTARIO. El que, sumado a otro, es igual a un ángulo
recto.  +  = 90º
< 31 > ANGULO OBTUSO. El mayor que un recto.
< 32 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 33 > ANGULO SUPLEMENTARIO. El que sumado a otro da 180º.  +  = 180º
< 34 > CIRCUNCENTRO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura geométrica.
< 35 > Un cuadrilátero es un paralelogramo cuando tiene alguna de las siguientes
propiedades:
a) Ambos pares de lados opuestos son paralelos (definición)
b) Ambos pares de lados opuestos son iguales.
c) Ambos pares de ángulos son iguales
d) Las diagonales se bisecan.
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e) Un par de lados opuestos son iguales y paralelos.
< 36 > ACUTANGULO. Dícese de toda figura geométrica que tiene todos sus ángulos
agudos.(menos de 90º)
< 37 > ADYACENTE. Significa próximo o al lado.
< 38 > ANGULO AGUDO. El menor que un ángulo recto.
< 39 > ANGULO DE DEPRESIÓN. Formado por la línea recta que va desde el punto de
observación al objeto por debajo de la horizontal y esa horizontal.
< 40> ANGULO OBTUSO. El mayor que un ángulo recto.
< 41 > ANGULO RECTO. El que tiene sus lados perpendiculares. Es un ángulo de 90º.
< 42 > APOTEMA. Es el radio de la circunferencia inscrita en un polígono regular.
< 43 > CATETO. Cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo que no es el
opuesto al ángulo recto.
< 44 > CENTRO DE SIMETRÍA. Punto fijo situado a igual distancia de dos puntos
simétricos.
< 45 > CIRCULO. Porción de un plano limitado por una circunferencia. Área de esa
porción.
< 46 > CIRCULO CIRCUNSCRITO. Es el que pasa por todos los vértices de un polígono.
< 47 > CIRCULO INSCRITO. Aquél en el que los lados de un polígono son sus
tangentes.
< 48 > CIRCUNCENTRO. Punto de corte de las mediatrices de un triángulo.
< 49 > CIRCUNSCRITO. Se dice de aquella figura que se encuentra en el interior de
otra figura.
< 50 > CONCAVO. Curvado como la superficie interna de una esfera.
< 51 > CONGRUENCIA. Es la propiedad por la que dos figuras pueden considerarse
exactamente similares.
< 52 > CONJUNTO DISJUNTO. Son los conjuntos que no tienen elementos comunes.
< 53 > CONSTANTE. Es una cantidad fija que permanece igual a lo largo de todas las
operaciones de un cálculo matemático.
< 54 > CUADRILÁTERO. Figura plana limitada por 4 líneas rectas.
< 55 > DIAGONAL. Es la línea recta que une dos vértices no consecutivos de un
polígono.
< 56 > DIÁMETRO. Línea recta que pasa por el centro de un círculo y lo divide en dos
partes iguales.
< 57 > DIGITO. Numero de una sola cifra.
< 58 > ECUACIÓN DIOFÁNTICA. Es una ecuación algebraica que tiene coeficientes
enteros y cuya solución también debe ser un número entero.
< 59 > EQUIDISTANTE. Todo punto situado a la misma distancia que otro.
< 60 > EQUILÁTERA. Toda figura que tiene sus lados de la misma longitud.
< 61 > INSCRITO. Cualquier figura geométrica trazada en el interior de otra.
< 62 > OBLÍCUO. Se dice de toda línea no perpendicular
< 63 > PARALELEPÍPEDO. Cuerpo de seis caras que son paralelogramos iguales y
paralelos dos a dos.
< 64 > POLÍGONO REGULAR. Polígono que tiene iguales los lados y los ángulos.
< 65 > RADIO. Cualquier recta que va del centro a la circunferencia de un círculo.
< 66 > ROMBO. Figura geométrica limitada por cuatro rectas iguales y con los
ángulos opuestos iguales pero no rectos.
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< 67 > ROMBOIDE. Figura geométrica limitada por cuatro rectas no iguales y con
los ángulos no iguales.
< 68 > TRAPECIO. Cuadrilátero con dos lados paralelos.
< 69 > TRAPECIO ISÓSCELES. El que tiene iguales los ángulos adyacentes a una base.
< 70 > TRAPECIO RECTÁNGULO. El que tiene un ángulo recto.
< 71 > TRIÁNGULO ACUTÁNGULO. Triángulo con todos sus ángulos agudos.
< 72 > TRIÁNGULO ESCALENO. Triángulo que no tiene dos lados y dos ángulos
iguales.
< 73 > TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
< 74 > RECORDAR. Si una figura se corta en un número cualquiera de piezas que se
reacomodan en su totalidad, como un rompecabezas, para formar una nueva
figura, el área de ésta es la misma que el área de la primera.
< 75 > ÁREA DE UN CÍRCULO. Es π.r2, r es el radio del círculo.
< 76 > FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
A
C
B
A
TANGENTE: tg α =
B
B
COSENO: cos α =
C
A
SENO: sen α =
C
B
< 77 > TEOREMA DEL SENO.
b
Sen a = sen b = sen c
A
B
C
A
a
c
C
< 78 > TEOREMA DEL COSENO. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos B
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos C
< 79 > ECUACION CUADRÁTICA. Su forma canónica es a.x2 + b.x + c = 0, con a, b y c
números reales.
Las soluciones están dadas por:
x1 = -b + √b2 – 4.a.c
x2 = -b - √b2 – 4.a.c
2.a
2.a
< 80 > DESIGUALDAD TRIANGULAR. Para todo triángulo ABC tenemos que AB + BC <
AB.AC
AC.
2
< 81 > El área SABC de un triángulo ABC es menor o igual que
^
^
< 82 > Sea ABC un triángulo. Entonces ABC < BAC si y sólo si AC < BC
< 83 > Sea O un punto interior al triángulo ABC. Entonces AO + OC < AB + BC.
< 84 > Sea mc la mediana de un triángulo de lados a, b, c correspondiente al lado c.
Entonces a + b –c < mc < a + b
2
2
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
< 85 > TEOREMA. Las áreas de triángulos de igual altura son proporcionales a sus
[ADC] = AD
bases. C
[DBC] DB
A
D
B
< 86 > Un número natural es un cuadrado si y sólo si en su factorización todos los
primos aparecen con exponente par.
< 87 > EL PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. Si un evento puede ocurrir de m maneras
y un segundo evento puede ocurrir independientemente del primero, de k maneras,
entonces los dos eventos pueden suceder de m,k maneras.
< 88 > CUADRADO DE UN BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
< 89 > CUBO DE UN BINIMIO: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
< 90 > CUERDA: Línea recta que dos puntos no adyacentes en una circunferencia.
< 91 > RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
0º
30º
45º
60º
90º
seno
0
½
√2/2
√3/2
1
Coseno
1
√3/2
√2/2
½
0
Tangente
0
√3/3
1
√3
∞
Cotangente
∞
√3
1
√3/3
0
Secante
1
2√3/3
√2
2
∞
cosecante
∞
2
√2
2√3/3
1
XII CERTAMEN
1995
^
^
^
^
1. Sea ABC un triángulo rectángulo tal que A= 90o y B - 2.C = 10o. Si H es el pie de la
altura trazada desde A y M es el punto medio de BC, hallar la medida del ángulo
HAM.
2. Se escribe con lápiz azul la lista de los múltiplos de 9, empezando con 9. Al lado
de cada número azul se escribe con lápiz rojo la suma de sus dígitos. ¿Qué aparece
antes en la lista roja, el número 45 o una seguidilla de por lo menos cinco números
36?
3. En una carrera de 50 metros, si Daniel le da 4 metros de ventaja a Gerardo, o sea
Gerardo recorre 46 metros, llegan juntos a la meta. En una carrera de 200 metros, si
Gerardo le da 15 metros de ventaja a Marcelo, llegan juntos a la meta. ¿Cuántos
metros de ventaja deberá darle Daniel a Marcelo para llegar juntos a la meta en
una carrera de 1000 metros?
ACLARACION: Los tres atletas corren a velocidades constantes.
XIII CERTAMEN 1996
1. Sean ABCD un rectángulo, M
lado
^ punto medio del lado BC,^N punto medio del
^
CD y P el punto de intersección de DM y BN. Se sabe que BPM = 31º y que DAN = 26º.
Calcular BAM.
2. En un polígono regular de n vértices numeradas de 1 a n, hay tres personas: A, B y
C paradas en el vértice 1. En un momento dado, ellas comienzan a caminar por los
lados. A camina en el sentido de la numeración de los vértices (1  2  3  ... ) y B
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
y C lo hacen en sentido contrario. A se cruza con B por primera vez en un vértice y
con C dos vértices más adelante. Se sabe que A camina el doble de rápido que B y B
el doble de rápido que C. ¿Cuántos vértices tiene el polígono y en qué vértices
ocurren los encuentros?.
3. Hallar todos los naturales de dos cifras tales que al elevarlos al cubo se obtienen
números que terminan en dos cifras iguales y no nulas.
XIV CERTAMEN 1997
1. Sea ABCD un rectángulo con AB = 30 y BC = 16. Si E y F son puntos en los lados AB y
CD, respectivamente, tales que el cuadrilátero AFCE es un rombo, calcular la medida
de EF.
2. Un auto viaja de A a C a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. En
el camino entre A y C pasa por B. Cuando son las 8:00 hs de la mañana ha recorrido
¼ de la distancia entre A y B, y cuando son las 10:00 hs de la mañana ya ha
recorrido ¾ del camino entre B y C. Calcular la distancia entre A y C.
3. Si se escribe 1997 y a continuación el año en que nació Fernando, se obtiene un
número de ocho cifras que es cuadrado perfecto. Con esta información, hallar todos
los años tales que el año es múltiplo de la edad que cumple Fernando ese año.
XV CERTAMEN 1998
1. Sea ABCD un cuadrado de lado 28. Se considera el punto P interior al cuadrado y
el punto E en el lado CD tales que PE es perpendicular a CD y AP = BP = PE. Hallar AP.
2. Pablo colecciona monedas de España, Francia y Grecia. Tiene monedas de 5
centavos, de 10 centavos y de 50 centavos, y tiene en total menos de 100 monedas. El
lunes vendió tres monedas de Francia y compró tres de España, pero con los mismos
valores que tenían las que vendió. El martes vendió seis monedas de 10 centavos y
compró seis monedas de 5 centavos pero exactamente de los mismos países que las
que vendió.
En su nueva colección:
 La cantidad de monedas de España es igual a la cantidad de monedas de
Francia e igual al triple de la cantidad de monedas de Gracia.
 La cantidad de monedas de 5 centavos es igual a la cantidad de monedas de
10 centavos e igual a seis veces la cantidad de monedas de 50 centavos.
¿Cuántas monedas de cada país tenía la colección inicial de Pablo y cuántas
monedas de cada valor tenía la colección inicial de Pablo?.
3. En una recta se marcan los puntos A y B tales que AB = 5 cm. Una pulga se mueve
sobre la recta y en cada salto se desplaza 1 cm a derecha o a izquierda. La pulga
quiere ir de A hasta B en exactamente 9 saltos. ¿De cuántas maneras puede hacerlo
si debe llegar a B por primera vez en el noveno salto?.
XVI CERTAMEN 1999
1. Escribir en cada casilla un número entero entre 1 y 12 inclusive, sin repetir, de
modo que las dos filas sumen lo mismo y las seis columnas sumen lo mismo.
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
2. En un triángulo isósceles ABC, con AC = BC, se consideran el punto P en el lado AC
tal que AP = AB y el punto Q en la prolongación de AB (B entre A y Q) tal que AQ =
AC. Si PB = QB, hallar los ángulos del triángulo ABC.
3. Sean a, b, c, d, e, números naturales consecutivos tales que a + b + c + d + e es un
cubo perfecto y b + c + d es un cuadrado perfecto. Hallar el mínimo valor posible de
c.
XVII CERTAMEN 2000
1. Sean A, B, C, tres vértices consecutivos de un hexágono regular de lado 10, y M el
punto medio del lado BC. Determinar la longitud del segmento AM. NO VALE MEDIR.
2. Se embaldosa un pasillo de 2x7 utilizando siete baldosas grises de 2x1 cada una.
Determinar de cuántas maneras puede quedar embaldosado el pasillo.
3. En el pizarrón está escrito un número de tres cifras, todas distintas. Ana
intercambia la primera cifra con la última. La suma del número escrito en el
pizarrón más el número de Ana es igual a 92 veces la suma de los dígitos del
número escrito en el pizarrón. Determinar todos los posibles valores del número
escrito en el pizarrón.
XVIII CERTAMEN 2001
^
^
1. El triángulo ABC tiene A = 67º y B = 79º. Sean P en el lado AB, Q en el lado BC y R
^
^
^
^
^ y CRQ
^ = ARP.
en el lado CA tales que APR = BPQ, BQP = CQR
Hallar las medidas de
los ángulos del triángulo PQR. No vale medir.
2. Hallar el menor número natural que satisface las siguientes tres condiciones
simultáneamente: tiene resto 24 en la división por 57; tiene resto 73 en la división
106 y tiene resto 126 en la división por 159.
3. Carlos escribe la lista de todos los números naturales menores que 10000 que
tienen exactamente dos dígitos 1 consecutivos. (Por ejemplo, 113, 5112, 1181 están
en la lista de Carlos, pero 1312, 2111 no están en la lista de Carlos). Hallar cuántos
números tiene la lista de Carlos.
XIX CERTAMEN 2002
1. Dado un triángulo equilátero ABC, consideramos tres rectas: la perpendicular a
AB trazada por A, la perpendicular a BC trazada por B y la perpendicular a CA
trazada por C. Estas tres rectas determinan un nuevo triángulo equilátero de lado
6. Calcular el lado del triángulo ABC.
2.Una avioneta recorrió 400 Km. Los primeros 100 los hizo a 150 Km/h, los siguientes
100 los hizo a 300 Km/h, los terceros 100 los hizo a 450 Km/h, y los últimos 100 a 600
Km/h. Calcular la velocidad promedio de la avioneta en su recorrido a 400 Km.
3. Hallar el menor múltiplo de 84 formado exclusivamente por 6 y 7.
XX CERTAMEN 2003
1. Sea ABCD un cuadrilátero
de
lados AB, BC, CD y DA, tal que AB = AC, AD = BD y
^
^
^
ADB = 30º + BAC. Calcular la medida del ángulo CBD.
2. Un atleta se entrena en una pista de 3 km. Hace el primer kilómetro caminando,
el segundo corriendo y el tercero en bicicleta. Si hubiera hecho los 3 km en bicicleta
hubiese tardado 10 minutos menos de los que tardó.
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
Nuestro atleta corre al doble de la velocidad que camina, y anda en bicicleta al
triple de la velocidad que camina. Calcular cuánto tarda en correr un kilómetro.
3. El número de dos cifras x7 multiplicado por el número de dos cifras y9 es igual al
número de cuatro cifras zz33. Dar los posibles valores de los dígitos x, y, z.
XXI CERTAMEN 2004
1. Escribir en cada vértice un número entero del 1 al 12 inclusive, sin repeticiones,
de modo que en cada uno de los 5 cuadrados la suma de los cuatro números de sus
vértices sea la misma.
2. Para recorrer el camino entre A y B el tren de pasajeros tarda 7 horas y el tren de
carga tarda 5 horas. A las 8:00 hs sale un tren de pasajeros de A hacia B y un tren
de carga de B hacia A. A las 9:45 hs la suma de las distancias recorridas por los dos
trenes hasta ese momento es igual a 357 kilómetros. Calcular la longitud del
camino que separa a los trenes entre si a las 9:45 hs.
3. La figura muestra un tablero de 4´6 dividido en casillas de 1´1 en el que se
dibujó un rectángulo de 3´4 (siguiendo líneas de la cuadrícula) y se trazó una
diagonal. Calcular el área sombreada.
XXII CERTAMEN 2005
1. Consideramos el conjunto de los 17 primeros enteros positivos, {1,2,3,...,17}. Hay
que elegir dos números de este conjunto tales que la multiplicación de esos dos
números sea igual a la suma de los restantes 15 números.
2. Un rectángulo se dividió en 9 rectángulos más pequeños mediante paralelas a su
lados. En 5 de esos rectángulos pequeños se indica el perímetro. Calcular el
perímetro del rectángulo inicial.
3. En un triángulo acutángulo ABC sea D en el lado BC tal que AD
BC y E en el
^
lado AC tal que BE
AC. Si C = 45º, AB = 15 y AE = 9, calcular la medida de AD.
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
XXIII CERTAMEN 2006
1. En la tabla de la figura x, y, z representan números enteros. La suma de los
cuatro números de la primera fila es igual a 78; la suma de los cuatro números de
la cuarta fila es igual a 102 y la suma de los cuatro números de la segunda
columna es igual a 81. (Tal como se indica en la figura.)
Hallar la suma de los 16 números de la tabla.
2. Un pequeño avión tarda 7 horas más que otro en ir de A a B. Las velocidades de
los dos aviones son 660 km/h y 275 km/h. Calcular la distancia entre A y B.
^
^ = 60º, C
3. Sea ABC un triángulo rectángulo con A
= 60º y AC = 7 . Se traza por B la
perpendicular a AC, que corta a AC en D. Sea E en el lado AC tal que AE = BD.
Se traza por E la perpendicular a AC que corta a AB en F. Calcular la medida del
segmento EF.
XXIV CERTAMEN 2007
1. Escribir un número entero entre 1 y 9 en cada casilla, sin repeticiones, para que
en cada fila la multiplicación de los tres números sea igual al número indicado a
su derecha y en cada columna la multiplicación de los tres números sea igual al
número indicado debajo.
2. Mauro, Nico y Pablo tienen entre los tres 490 monedas de 1 peso. Mauro gastó la
quinta parte de sus monedas, Nico gastó la tercera parte de sus monedas y Pablo
gastó la cuarta parte de sus monedas. Ahora los tres chicos tienen todos igual
cantidad de monedas. ¿Cuántas monedas tenía inicialmente cada uno?
3. Sea ABC un triángulo equilátero y sea M un punto en el lado BC. Se traza por M la
perpendicular al lado AC que corta al lado AC en P y a la recta AB en Q. Sea N el
punto medio de MQ. Si PC = 7 y BN = 15, calcular el lado del triángulo ABC.
XXV CERTAMEN 2008
1. Caro hizo la lista de los números enteros positivos de cuatro dígitos ABBC que son
múltiplos de 9 y tales que A , B , C son dígitos distintos con B = A + C . Calcular
cuántos números tiene la lista de Caro.
2. El dentista le prohibió a Sofía comer más de 10 caramelos por día, pero además, si
algún día come más de 7 caramelos, entonces los dos días siguientes no puede
comer más de 5 caramelos por día.
^
Calcular cuál es el mayor número de caramelos
que puede comer Sofía durante 25
días seguidos obedeciendo las indicaciones del dentista.
3. Sea ABC un triángulo isósceles con AC = BC y ACB menor que 60º. Sean M y N
puntos en los lados AC y BC respectivamente tales que BM = AN = AB . Además, si K es
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SEGUNDO NIVEL INTERCOLEGIAL
el punto de intersección de los segmentos AN y BM , se tiene AK = BK = AM = BN .
Calcular las medidas de los ángulos del triángulo ABC .
XXVI CERTAMEN 2009
1. Hallar los dígitos X, Y, Z, con X > Y > Z tales que la siguiente resta entre números
de tres cifras sea correcta.
XYZ
_ZYX
ZXY
2. Si la escalera mecánica está detenida, Sofía la sube en 30 segundos. Si la escalera
mecánica está funcionando, una persona que no se mueve la sube en 60 segundos.
Determinar cuánto tarda Sofía en subir si la escalera funciona pero ella además
camina.
3. Sea ABCD un cuadrado de lados AB = BC = CD = DA = 16, y P un punto en el lado
BC. La recta perpendicular a AP trazada por A corta a la prolongación del lado CD
en Q. Si AP = 20, calcular DQ.
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