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Lógica proposicional wikipedia, lookup

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Disyunción lógica wikipedia, lookup

Transcript
Matemáticas
(TAREA I)
Francisco Raul Gandara Villaverde
LOGICA
1.Parte de la filosofía que estudia las formas y principios generales que rigen el conocimiento y el
pensamiento humano, considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos.
2.Método o razonamiento en el que las ideas o la sucesión de los hechos se manifiestan o se
desarrollan de forma coherente y sin que haya contradicciones entre ellas.
La lógica natural es la destreza natural para razonar sin apelar a la ciencia. La denominada lógica
borrosa o difusa, en cambio, es aquella que contempla una determinada incertidumbre al analizar
el carácter verídico o falso de las proposiciones, a semejanza del raciocinio propio del ser humano.
Por otra parte, la lógica matemática se caracteriza por emplear un lenguaje simbólico artificial y
realizar una abstracción de los contenidos.
La lógica proposicional o lógica de orden cero es un sistema formal cuyos elementos más simples
representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas lógicas,
representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor
complejidad.1
La lógica proposicional
trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como
entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen
signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones
con un valor de verdad definido), de ahí el nombre proposicional. La lógica proposicional incluye
además de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas, por
lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir
de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.
Considérese el siguiente argumento:
1. Mañana es miércoles o mañana es jueves.
2. Mañana no es jueves.
3. Por lo tanto, mañana es miércoles.
Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas (1) y (2) sean verdaderas y
la conclusión (3) falsa.
Sin embargo, a pesar de que el argumento sea válido, esto no quiere decir que la conclusión sea
verdadera. En otras palabras, si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo.
Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez del argumento
no depende del significado de las expresiones «mañana es miércoles» ni «mañana es jueves», sino
de la estructura misma del argumento. Estas premisas podrían cambiarse por otras y el argumento
permanecería válido. Por ejemplo:
1. Hoy está soleado o está nublado.
2. Hoy no está nublado.
3. Por lo tanto, hoy está soleado.
La validez de los dos argumentos anteriores depende del significado de las expresiones «o» y «no».
Si alguna de estas expresiones se cambia por otra, entonces los argumentos podrían dejar de ser
válidos. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento inválido:
1. Ni está soleado ni está nublado.
2. No está nublado.
3. Por lo tanto, está soleado.
Estas expresiones como «o» y «no», de las que depende la validez de los argumentos, se
llaman conectivas lógicas. En cuanto a expresiones como «está nublado» y «mañana es jueves», lo
único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por
simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas
letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando
por la letra p (de «proposición») luego q, r, s, etc. Es así que los dos primeros argumentos de esta
sección se podrían reescribir así:
1. p o q
2. No q
3. Por lo tanto, p
Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, se puede reescribir así:
1. Ni p ni q
2. No q
3. Por lo tanto, p.
La conjunción.
es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos
proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son
verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.
Tabla de verdad de la conjunción
p ^ q (se lee: ” p y q”)
EJEMPLOS:
p = ” El numero 4 es par”
q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″
entonces…
p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″
p = ” El numero mas grande es el 34”
q = ”El triangulo tiene 3 lados″
Entonces…
La negación.
es un operador que se ejecuta. sobre un único valor
valor contradictorio de la proposición considerada.
Tabla de verdad de Negación
(Ir a 3.1.3 Tablas de Verdad)
de
verdad,
devolviendo
el
EJEMPLOS
p: “4 + 4 es igual a 9”
-p: “4 + 4 no es igual a 9″
p: “El 4 es un numero par”
-p: “El 4 no es un numero par”
La disyunción.
es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos
proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es
verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
Tabla de verdad de la disyunción
p v q (se lee: ” p o q”)
EJEMPLOS:
p = ” El numero 2 es par”
q = ” la suma de 2 + 2 es 4″
entonces…
pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″
p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2”
q = ” El numero 3 es par″
entonces…
Conjuntos
Definición de conjunto ` Notación de conjunto. Se lleva a cabo por medio de letras mayúsculas `
Requisitos de un conjunto. a) La colección de objetos debe de estar bien definida. b) Ningún objeto
del conjunto se debe de contar más de una vez. c) El orden en que se enumeren los objetos carece
de i ti mpor ancia
Notación conjunto.
es una manera de decir cuál está en un conjunto. El conjunto se nombra generalmente con una
mayúscula como esto:
A = {definición del conjunto}1
La definición del conjunto está dentro de las llaves: {}. Hay dos estilos de la definición del conjunto
que pueden estar en llaves.

Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos, el conjunto puede ser definido
enumerando todos los elementos:
B = {libro, lápiz, borrador}2
En esta definición, el conjunto B tiene tres elementos: libro, lápiz, y borrador.

Regla: Un conjunto se puede definir por una regla. Mientras que esta regla puede
simplemente ser una oración por ejemplo {El conjunto de toda la roca en mi jardín.}, los
símbolos de la matemáticas se utilizan típicamente:
C = { x | x ∈ ℕ, x < 20 }3
Conjunto C contiene todos los números naturales menos de 20.
Relación de pertenencia.
Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para
el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A.
Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto
anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A, ...
Ejercicio 4:
Indica la veracidad de las siguientes afirmaciones, referidas al conjunto A = {1,3,5}, y propón una
explicación que justifique tu respuesta:
a) 1 ϵ A, b) – 3 ϵ A, c) 0 ∉ A, d) A ϵ A, e) N ∉ A.
CONTENENCIA DE CONJUNTOS.
La contenencia de conjuntos es la relación que existe entre un conjunto que es universal y otro que
se es subconjunto del universal; es decir que el conjunto A estará contenido dentro del
conjunto G si y solo si todos los elementos del conjunto A son también elementos del conjunto G;
Se representa con el símbolo C que se lee contenido y cuando no está contenido se representa
con el símbolo ₡ y se lee no contenido. Ejemplo
Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y
de B.
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro
conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de
los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de
los números impares positivos I:
Dados dos conjuntos A y B, su unión es el conjunto que contiene todos los elementos, que
pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A o B:
La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos
de A y/o de B:
Unión de dos conjuntos A o B.
Ejemplo.

Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D =
{m: m es un número compuesto}. Su unión es entonces , ya que el único número natural
que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.
En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no
pueden tener elementos repetidos
Propiedades
Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera
• A ∪ A = A (propiedad idempotente) En álgebra de conjuntos, las operaciones de unión y también
de intersección de conjuntos cumplen con esta propiedad. Esto quiere decir que la unión o
intersección de un conjunto con el mismo, resultará en el mismo conjunto.
• A ∪ B = B ∪ A (propiedad conmutativa). Si se cambia el orden de los conjuntos, el conjunto unión
no se altera.
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (propiedad asociativa).
• (B ∩ C) ∪ A = (B ∪ A) ∩ (C ∪ A) (propiedad distributiva respecto de la intersección).
• A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) (ley de absorción).
intersección
La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que pertenecen
tanto a A como a B. En teoría de conjuntos, la intersecciónde dos (o más) conjuntos es una
operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de
partida. Conjuntos
Unión e intersección de conjuntos
La unión e intersección de conjuntos son las operaciones más reconocidas y
utilizadas, en relación a la teoría de conjuntos. En base a ellas, combinándolas o no, resolverás
algunas situaciones problemáticas que de otro modo serían realmente complejas.
De la mano de otros dos conceptos clave, Conjunto vacío y subconjuntos, tendrás la posibilidad
de analizar las consignas que se te planteen y arribarás a las respuestas pedidas en cada caso.
Veamos las correspondientes definiciones y ejemplos de la…
Unión e intersección de conjuntos

¿Qué significa unir dos o más conjuntos?
La operación se denomina unión de conjuntos, y da como resultado un nuevo conjunto formado
por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Escrito con símbolos, la unión de dos
conjuntos (por ejemplo llamados G y H) se denota así:
G ∪ H
Si queremos expresarlo en diagramas de Venn, deben primero representarse todos los elementos
en sus respectivos conjuntos y luego incluyen todos (sin repetirlos) en un mismo diagrama. En la
siguiente imagen, se puede apreciar esta definición con mucha claridad. Presta atención:

¿Qué es intersección de conjuntos?
Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente
por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras:
sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.
Existe un símbolo matemático para la intersección. Para poner un ejemplo,la intersección de dos
conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera:
G ∩H
complementario
El complemento de un conjunto A es otro conjunto A∁ que
contiene todos los elementos (dentro del universo U) que no están en
A. ... Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de
elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es
elconjunto universal. un conjunto. El complementario del conjunto
A es el conjunto, denotado por Al, formado por los elementos del
universal U que no estén en A.
Este conjunto, expresado por comprensión es:
Al = { x
U /x
A}
Ejemplo
En la figura está seńalado en verde el conjunto Al.
Como cabe esperar, si un conjunto es el complementario de otro
conjunto, diremos que ambos conjuntos son complementarios.
PRODUCTO CARTESIANO
Si tenemos dos conjuntos A y B, y tratamos de armar todos los pares posibles formadospor un
elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos elproductocartesianode los
dos conjuntos. Se escribe:Podemos representarlo de diferentesformas:diagramas de flechas,
diagramas arbolados, tablas y gráficos cartesianos. Cada par que formemos con un elemento de A
y uno de B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado
Llamaremos
producto cartesiano de dos conjuntos
que simbolizaremos como AXB a todos los pares de elementos ordenados que podamos formar
tomando como primer elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del
conjunto B
ejemplo:
Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} se tiene:AXB={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5)
,(3,6)}El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXASi los conjuntos A y B
tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto cartesiano de la forma (a,a), se
les llama elementos diagonales. Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA
puede escribirse de forma simbólica como A
.Si el producto cartesiano lo forman más de dos conjuntos los elementos del producto cartesiano
lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de los conjuntos que lo
forman tomando un elemento del primer conjunto, otro del segundo otro del tercero y así hasta
llegar al último.
FUNCION.
Existen diferentes tipos de expresiones algebraicas, sin embargo algunas de las expresiones que
más nos interesan dentro del cálculo son las funciones.
Una funciones una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre sí; generalmente
cuando tenemos la asociación dos conjuntos la función se define como una regla de asociación
entre un conjunto llamado dominio con uno llamado condominio, también dominio e imagen
respectivamente o dominio y rango. Esta regla de asociación no permite relacionar un mismo
elemento del dominio con dos elementos del condominio.
Definición de función que se ampara bajo una regla de asociación de elementos del dominio con
elementos del condominio, imponiendo la restricción de relacionar un elemento del dominio con
uno del condominio, sin importar si los elementos del condominio puedan estar relacionados con
dos o más del condominio.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.
En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una
función
es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los
cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se
denota
o bien
domingo, 15 de marzo de 2015
Funciones, Dominio, Codominio y Rango
Qué es una función?
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera
depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de
su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la
duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende
de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad,
d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la
cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
Dominio:Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de
valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x). Se
dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio
y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio. El dominio es el intervalo de
valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el eje de las Y .
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o rango de la
función, tambien llamado imagen o recorrido, este conjunto son los valores que puede tomar la
función; son todos los valores de las Y.
Una función consiste , entonces, en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada
miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle
asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en
la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.
Codominio y rango
El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo mismo.
El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.
El rango es el conjunto de valores que realmente salen.
Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros (porque tú lo
eliges así).
Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los enteros pares.
Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros pares.
Así que rango es un subconjunto del codominio.
Función biyectiva
En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir,
si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada,
y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo
elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde
(condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una
única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).
El cardinal de un conjunto finito A es el número de elementos que
tiene dicho conjunto. A ese número lo denotaremos por | A |.
No es difícil llegar a que, si tenemos dos conjuntos A y B, entonces
|A
B | = | A | + | B | –| A
B|