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Transcript
TERCER GRADO
Bloque 1
Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que los alumnos:
1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.
2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras
geométricas.
3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una
circunferencia.
4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla
algebraicamente y representarla gráficamente.
Eje
Tema
Subtema
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Significado y uso de las operaciones
OPERACIONES COMBINADAS
Orientaciones didácticas
Conocimientos y habilidades
1.1. Efectuar o simplificar cálculos con
expresiones algebraicas tales como:
(x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a).
Factorizar expresiones algebraicas tales
como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 –
a2.
La realización de este tipo de cálculos tiene
sentido en dos casos: a) para expresar o
llevar a cabo cálculos numéricos; y b) para
resolver ecuaciones o problemas diversos. Un
ejemplo del primer caso es el siguiente: el
producto de dos binomios de la forma (x + a)
(x – a) se puede expresar como:
(x + a)(x - a) = x2 – ax + ax – a2 = x2– a2
De manera que el producto de estos binomios, a los que se les llama binomios conjugados,
es igual a una diferencia de cuadrados. Esta ley general puede aplicarse en un cálculo
aritmético particular, por ejemplo: 103 × 97 = (100 + 3) (100 – 3) = 1002– 32 = 9 991
De manera similar se podría abordar el producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b):
(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b) x + ab
Al aplicar este resultado a un cálculo aritmético particular se tendrá, por ejemplo:
31 × 32 = (30 + 1)(30 + 2) = 302 + (1 + 2)30 + 1 × 2 = 992
Del producto de expresiones algebraicas se pasa a la factorización. Por ejemplo, el producto
de dos números consecutivos se puede expresar como: x(x + 1) = x2 + x
Lo que significa que el producto de dos números consecutivos es igual al cuadrado del
primer número más el mismo número. E inversamente, el cuadrado de un número más el
mismo número es igual al producto del número por su consecutivo: x2 + x = x(x + 1). Por
ejemplo:
152
+
15
=
15(15
+
1)
=
15
×
16
=
240
Para mostrar un ejemplo del segundo caso, en el que por cierto muchos alumnos enfrentan
dificultades ante la ausencia de medidas expresadas con números, se puede plantear la
siguiente pregunta: ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide 3 metros más que su
altura? En este caso las literales sirven tanto para asignar valores a la base y a la altura
como
para
expresar
el
área
del
rectángulo.
La formulación y resolución de ecuaciones brindan diversas oportunidades para que los
alumnos efectúen cálculos con literales y los vinculen con las propiedades y cálculos
aritméticos.
Plan de clase (1/5)
Escuela: _________________________________Fecha: ________________
Profr(a): ________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.1
Eje temático: SNyPA
Conocimientos y habilidades: Efectuar o simplificar cálculos con expresiones
algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones
algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.
Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla para calcular el cuadrado
de la suma de dos números.
Consigna. Con las siguientes figuras (Fig. A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar
cuadrados cada vez más grandes, ver por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el
cuadrado 3. Con base en esta información completen la tabla que aparece enseguida.
Trabajen en equipos.
Fig. A
Fig. B
1
1
Fig. C
x
1
x
x
Cuadrado 1
Núm. de
cuadrado
1
2
3
4
5
6
a
Cuadrado 2
Medida de un
lado
x+1
x+a
Cuadrado 3
Perímetro
4(x+1)=
Área
(x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1
(x + a)2 = (x + a)(x + a) =
Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una
suma de dos números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar
términos semejantes, son tres términos. ¿Cómo se obtienen esos tres términos sin
hacer la multiplicación?___________________
______________________________________________________________
Consideraciones previas:
Antes de que los alumnos empiecen a llenar la tabla es necesario aclarar que lo que
hay en ella se deriva de lo que pasa con las figuras. Conviene por ejemplo, preguntar
por las medidas de cada figura y su área, para después ver cómo se forma el primer
cuadrado, determinar su perímetro, su área y ver cómo eso se refleja en el primer
renglón de la tabla. Después de estas aclaraciones hay que dejarlos solos para que
completen la tabla.
Cuando la mayoría de los equipos haya terminado de completar la tabla, hay que
revisarla en colectivo y aclarar todas las dudas que pudieran surgir. Después, hay que
analizar el párrafo que aparece en seguida de la tabla. Conviene que todos estén
claros de que cuando se eleva al cuadrado un binomio el resultado final son tres
términos, de los cuales:
El primero es el primer término del binomio, elevado al cuadrado
El segundo es el producto de los dos términos del binomio, multiplicado por dos
El tercero es el segundo término del binomio, elevado al cuadrado.
Si los alumnos no encuentran solos esta relación, hay que ayudarles. Finalmente hay
que decirles que esta expresión que resulta de elevar al cuadrado un binomio se llama
trinomio cuadrado perfecto.
Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros ejercicios para resolver
en el salón y de tarea, entre ellos, algunos en los que hagan uso de la regla de un
binomio al cuadrado; por ejemplo:
3052 = (300+ 5)2 =3002 + 2 x 5 x 300 + 52
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
Plan de clase (2/5)
Escuela: _________________________________Fecha: ________________
Profr(a): ________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.1
Eje temático: SNyPA
Conocimientos y habilidades: Efectuar o simplificar cálculos con expresiones
algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones
algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.
Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla para calcular el cuadrado
de la diferencia de dos números.
Consigna. En equipos, resuelvan el siguiente problema: De un cuadrado cuyo lado
mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como
se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B?
Fig. A
Fig. B
5
x
x
x
5
x
Consideraciones previas: El problema planteado se presta para ser resuelto de
diversas maneras, por ejemplo:
-Darse cuenta de que un lado de la parte sombreada mide x-5 y entonces multiplicar
(x-5)(x-5) para encontrar el resultado.
-Del área total de la figura original que es x2, restar las áreas de las partes que se
quitan, lo que puede llevar a realizar los siguientes cálculos:
x2-5(x-5)-5(x-5)-25, o bien, x2-5x-5(x-5).
-Sumar primero las áreas de las partes que se quitan y el resultado restarlo al área
total que es x2.
Como resultado de la confrontación es importante dejar claro que, cualquiera que sea
el camino que se siga (calcular directamente el área de la parte sombreada o restar
del área total las partes que se quitan) el resultado es el mismo.
Después de aclarar lo anterior hay que hacer notar que en este caso, igual que cuando
se trata de la suma de dos números elevada al cuadrado, el resultado es un trinomio
cuadrado perfecto, sólo que, el segundo término es negativo.
Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros ejercicios para resolver
en el salón y de tarea. Por ejemplo:
a)
b)
c)
d)
e)
(x + 9)2 =
(x – 10)2 =
(2x +y)2=
(x + m)(x + m) =
(x - 6)(x -6 ) =
También se pueden proponer otros ejercicios en los que hagan uso de la regla para
calcular el resultado de elevar al cuadrado un binomio; por ejemplo:
(1996)2 = (2000 – 4)2 =20002 - 2 x 4 x 200 + 42
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
Plan de clase (3/5)
Escuela: _________________________________Fecha: ________________
Profr(a): ________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.1
Eje temático: SNyPA
Conocimientos y habilidades: Efectuar o simplificar cálculos con expresiones
algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones
algebraicas tales como: x2 + ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.
Intenciones didácticas: Que los alumnos factoricen trinomios cuadrados perfectos.
Consigna En equipos, resuelvan el siguiente problema: La figura A está dividida en
cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el
área de la figura completa es x2 +16x+64,
¿Cuánto mide un lado de la figura completa? ______________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado grande?____________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado chico?_____________
Anoten dentro de la figura el área de cada parte.
La expresión x2 +16x+64 es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbanlo como un
producto de dos factores:_________________________
Fig. A
Consideraciones previas: Hay que estar pendiente de que los alumnos no confundan
la figura completa (formada por cuatro partes) con el cuadrado grande, que es una
parte de la figura completa. Como resultado de esta actividad se espera que los
alumnos caigan en cuenta de que el cuadrado de un binomio da como resultado un
trinomio cuadrado perfecto y que un trinomio cuadrado perfecto se puede expresar
como el cuadrado de un binomio o como el producto de dos factores iguales. Hay que
decirles que este último proceso se llama factorización.
Después de analizar el trabajo realizado por los alumnos es necesario plantearles
varios ejercicios, en primer lugar para que determinen si se trata de trinomios
cuadrados perfectos y en segundo lugar para factorizarlos.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
Plan de clase (4/5)
Escuela: _________________________________Fecha: ________________
Profr(a): ________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.1
Eje temático: SNyPA
Conocimientos y habilidades: Efectuar o simplificar cálculos con expresiones
algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones
algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.
Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren la relación entre una diferencia
de cuadrados y su correspondiente producto de dos binomios conjugados.
Consigna. En equipos resuelvan el siguiente problema:
De un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se
muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el
rectángulo de la figura 2. Con base en esta información contesten:
a) ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño?
________________________
b) Anoten las medidas del rectángulo de la figura 2
Largo:___________
ancho:_____________
c) Expresen el área de la figura 2.
A=_______________
d) Escriban al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de
dos cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de la suma por la
diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______
______________________________________________________________
Fig. 1
Fig. 2
y
x
x
y
Consideraciones previas: La figura 1 le da significado a la expresión x2 – y2, mientras
que la figura 2 le da significado a la expresión (x+y)(x-y), y, dado que las áreas son
iguales, se puede concluir que las expresiones que las representan son equivalentes.
Sin embargo, como en los casos anteriores, es necesario que los alumnos resuelvan
varios ejercicios, tanto para encontrar la diferencia de cuadrados como el producto de
los binomios conjugados. Por ejemplo:
a)
(3m + 2n)(3m - 2n) =
b) (4xy – 2x)(4xy + 2x) =
a) a2 – b2 =
b) x2 – 4n2 =
c) ____ – 16y2 = ( ___ + 4y )(5x - ____ )
d) x2 – 400 =
e) 25x2 – 64 =
También se puede proponer a los alumnos ejercicios numéricos como por ejemplo:
(101)(99) = (100 + 1) (100 – 1) = 1002 – 12 = 10 000 – 1 = 9 999
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
Plan de clase (5/5)
Escuela: _________________________________Fecha: ________________
Profr(a): ________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Eje temático: SNyPA
Apartado: 1.1
Conocimientos y habilidades: Efectuar o simplificar cálculos con expresiones
algebraicas tales como: (x + a)2; (x + a) (x + b); (x + a) (x – a). Factorizar expresiones
algebraicas tales como: x2 + 2ax + a2; ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.
Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de un modelo geométrico,
factoricen un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de dos binomios
con un término común.
Consigna. En equipo, resuelvan el siguiente problema:
Con las figuras A, B, C y D se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta
información, contesten y hagan lo que se indica.
a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido?
Base:_________
altura:_____________
b) ¿Cuál es el área del rectángulo formado? __________________
Fig. A
5
7
Fig. B
Fig. C
5
x
x
x
7
Fig. E
Fig. D
x
c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es x2+8x+15, ¿Cuáles son las
dimensiones de ese rectángulo?
Base:_______________
altura:________________
d)
Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+8x+15
e) Escriban una regla para determinar los dos binomios a partir de un trinomio que no
es cuadrado perfecto. ___________________________________
_____________________________________________________________
Consideraciones previas: Se espera que los alumnos encuentren que las
dimensiones del rectángulo son: (x +7) y (x+5) y que el área es x2 + 12x + 35
Cuando la mayoría de los equipos haya terminado, hay que hacer una puesta en
común de los resultados y aclarar todas las dudas que pudieran surgir.
Es conveniente aclarar que los dos binomios que representan las dimensiones del
rectángulo, son dos binomios con un término común (en este caso x). Luego analizar
la regla que hayan escrito para factorizar el trinomio. Hay que tomar en cuenta que
ésta es una tarea compleja, pero quizá algunos alumnos se den cuenta que para
encontrar los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos
factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados
den como resultado el tercer término del trinomio.
Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros ejercicios para resolver
en el salón y de tarea; por ejemplo:
Completa de manera que se cumpla la igualdad en cada caso:
a) m² – 3m – 10 = (m -5 )(m + ___ )
b) c² + 7c + 12 = (c + ___ )(c + ___ )
c) x² - 22x + 120 = ( ___ - ___ )(x - 12)
d) x² + 11x + 18 = (
)(
)
e) (4x2 +2y)( 4x2 – 2y)=
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
Forma, espacio y medida
Eje
Tema
Formas geométricas
FIGURAS
PLANAS
Subtema
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
1.2. Aplicar los criterios de congruencia de
triángulos en la justificación de propiedades
de los cuadriláteros.
Se sugiere que tanto el conocimiento de los
criterios de congruencia de triángulos como el
teorema de Pitágoras, el teorema de Tales y los
criterios de semejanza de triángulos, que se
estudiarán en este grado, se utilicen para
argumentar, probar y resolver problemas que
aporten nuevos conocimientos geométricos acerca
de las figuras.
Para aplicar la congruencia de triángulos se pueden plantear problemas como el siguiente:
Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera, ¿qué condiciones debe cumplir para obtener triángulos
congruentes al trazar las diagonales?
Es necesario que los alumnos manipulen las figuras, las doblen, las recorten, etc. Actividades
como la anterior permiten que los alumnos entiendan y den sentido a las conjeturas que
obtienen.
Actividad complementaria: “Cómo verificar la congruencia de las figuras”, en Geometría
dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 126-127.
Plan de clase 1/4
Escuela: ________________________________
Fecha: ____________________
Profr(a).: ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.2
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la
justificación de propiedades de cuadriláteros.
Intención didáctica: Que los alumnos establezcan las características que debe tener
un cuadrilátero, para que al trazarle una diagonal se formen dos triángulos
congruentes.
Consigna: Organizados en parejas, hagan lo siguiente:
1º. Marquen los cuadriláteros que, al cortarlos por una diagonal se obtienen dos
triángulos congruentes. (Ver anexo 1).
2º. Para verificar su afirmación, tracen una diagonal en cada uno de los cuadriláteros,
recórtenlos y comparen las figuras resultantes en cada cuadrilátero. Luego respondan:

¿En qué cuadriláteros los triángulos que se formaron son congruentes?
_________
 ¿Qué características debe tener un cuadrilátero, para que al trazarle una
diagonal
se
formen
dos
triángulos
congruentes?
_________________________
Consideraciones previas: Se espera que los alumnos concluyan que para que se
formen triángulos congruentes al trazar una diagonal, los lados opuestos del
cuadrilátero deben ser paralelos, esto es, que sólo se obtienen triángulos
congruentes en los paralelogramos. Esta conclusión debe quedar
perfectamente comprendida y señalada en las conclusiones que el alumno
escriba en su cuaderno.
Se sugiere como actividad complementaria abordar el caso particular del
trapezoide con dos pares de lados congruentes en el que, aunque no es
paralelogramo, al trazar su diagonal mayor se obtienen dos triángulos congruentes.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___
ANEXO 1
Plan de clase 2/4
Escuela: ________________________________
Fecha: ___________________
Profr(a).: ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.2
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la
justificación de propiedades de cuadriláteros.
Intención didáctica: Que los alumnos formulen argumentos para mostrar que la
diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.
Consigna: Consideren que la figura ABCD es un paralelogramo y que el segmento BD
es una diagonal. Con base en esta información, busquen, organizados en equipos, los
argumentos necesarios para asegurar que los triángulos ABD y BCD son congruentes.
Consideraciones previas: No se pretende que los alumnos formulen y escriban
una demostración formal, ni mucho menos que el maestro la haga. La intención es
que se den cuenta de que además del recurso de recortar y superponer, es posible
usar propiedades ya conocidas y aceptadas, para mostrar otras propiedades. En
este caso, dado que se trata de mostrar que dos triángulos son congruentes,
conviene recordar los criterios de congruencia y ver cuál de ellos se puede utilizar.
Es evidente que la diagonal es un lado común de los dos triángulos pero, ¿qué
otros elementos son congruentes para poder asegurar que los triángulos son
congruentes?
Una vez que los alumnos logren mostrar que los triángulos ABD y BCD son
congruentes, hay que plantear las siguientes preguntas:
¿Será cierto que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes? ¿Por
qué?
¿Será cierto que los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes? Por
qué?
La intención de las preguntas anteriores es que los alumnos se den cuenta de que
si la congruencia entre los triángulos ABD y BCD es cierta, las dos propiedades
anteriores también son ciertas.
También es importante que si los alumnos no conocen la simbología empleada, el
maestro lo aclare; por ejemplo,  (congruente) y que significa también que son
iguales.
Como una actividad complementaria, los alumnos pueden justificar la propiedad
que dice que “los ángulos colaterales internos de un paralelogramo son
suplementarios”.
Para desarrollar éste y los dos planes siguientes se sugiere que primero, en
colectivo, se deje claro qué se quiere mostrar, después los equipos buscan algún
camino, enseguida se analizan en colectivo los posibles caminos y después los
equipos buscan los argumentos, finalmente, hay que ver si los argumentos son
válidos y sacar conclusiones.
Observaciones posteriores:
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Plan de clase 3/4
Escuela: _________________________________
Fecha: __________________
Profr(a).: _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.2
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la
justificación de propiedades de cuadriláteros.
Intención didáctica: Que los alumnos usen la congruencia de triángulos para
comprobar que en un paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio.
Consigna: Consideren que la figura ABCD es un paralelogramo, que los segmentos
AC y BD son sus diagonales y que el punto O es donde se cruzan las diagonales. Con
base en esta información, busquen, organizados en equipos, los argumentos
necesarios para asegurar que las diagonales se cortan en su punto medio, es decir,
que AO es igual a OC y BO es igual a OD.
Consideraciones previas: Es muy importante que los alumnos vean en la figura qué
es lo que se quiere mostrar y después, en qué se van a apoyar para mostrarlo. Por
ejemplo, en este caso, tanto AO, OC, como BO, OD, son lados de triángulos tales que,
si se muestra su congruencia, queda mostrada la congruencia de los lados. Es
importante que los alumnos aprendan que en estos casos primero hay que buscar un
camino y después hay que ver si funciona.
Si el tiempo lo permite, se les puede preguntar si hay algún otro cuadrilátero cuyas
diagonales se corten en su punto medio; en caso de que no se pueda revisar en clase,
se puede dejar de tarea este análisis y revisarla en la siguiente clase. Se les puede
entregar una hoja (anexo 2) con las figuras ya trazadas, para que se concentren en la
comprobación que se les solicita.
Es muy importante que los alumnos anoten como conclusión de su trabajo que las
diagonales de paralelogramos se cortan en su punto medio.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
ANEXO 2
Plan de clase 4/4
Escuela: _________________________________
Fecha: __________________
Profr(a).: ____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.2
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la
justificación de propiedades de cuadriláteros.
Intención didáctica: Que los alumnos apliquen la congruencia de triángulos y las
propiedades de los paralelogramos para calcular algunas medidas.
Consigna: Con base en la información que ofrece la siguiente figura, organizados en
parejas calculen las medidas que se piden y justifiquen sus respuestas.
D
68
C
57
o
o
M
A
 BCD = ______
 CBD = ______
B
 DAB = ______
 ABC = ______
 CDA = _______
 DBA = _______

Las medidas de AC y BD suman 60 cm. Si AM mide 3/10 de dicha suma ,
calcula:
AM = ___________
DM=___________ CM=___________ BM=____________
AC=____________
BD=___________

Si CD mide el triple de AD, y el perímetro de ABCD es de 80 cm, calcula la
longitud de los 4 lados del paralelogramo.
AB = ____________
CD = ____________
AD = ____________
BC = ____________
Consideraciones previas: Se sugiere que la confrontación de resultados y
procedimientos se haga en tres partes, cuando la mayoría haya calculado las medidas
de los ángulos se revisan, se deja tiempo para que trabajen con las diagonales y
finalmente con los lados. Dado que son muchos resultados, sólo hay que detenerse en
los que haya diferencias.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Eje
Forma, espacio y medida
Tema
Formas geométricas
Subtema
RECTAS Y ÁNGULOS
Orientaciones didácticas
Conocimientos y habilidades
Los alumnos de este grado han desarrollado
habilidades vinculadas con el uso del diámetro,
1.3. Determinar mediante construcciones la cuerda y el radio. Ahora se trata de que
las posiciones relativas entre rectas y
analicen otras relaciones con base en la
una circunferencia y entre
construcción de rectas que tocan la
circunferencias.
circunferencia en dos puntos, en un punto o
Caracterizar la recta secante y la
que no la tocan. Una vez que se conozcan los
tangente a una circunferencia.
nombres respectivos, se pueden plantear
problemas de construcción como los
siguientes:

Construyan la recta tangente a una circunferencia desde un punto en una
circunferencia.
Esta construcción permite aplicar la noción de recta perpendicular a un segmento dado. A la
pregunta anterior puede seguir ésta:

¿Es cierto que la recta t es tangente a la circunferencia C en el punto P? Argumente
su respuesta.
Plan de clase (1/3)
Escuela:_____ _____________________________
Fecha: __________
Profr.(a): ___________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.3
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Determinar mediante construcciones las posiciones
relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.
Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen mediante construcciones las
posiciones relativas entre una recta y una circunferencia.
Consigna: Utilicen los instrumentos de geometría que consideren adecuados para
hacer los siguientes trazos:
1º. Una circunferencia y una recta que corte dicha circunferencia.
2º. Una circunferencia y una recta que sólo tenga un punto común con la
circunferencia.
3º. Una circunferencia y una recta que no tenga ningún punto común con la
circunferencia.
Cuando terminen sus trazos, reúnanse en equipo y vean si están de acuerdo en los
trazos que realizó cada uno.
Consideraciones previas: Es importante prever que los alumnos cuenten con los
instrumentos necesarios y hojas blancas para realizar los trazos. El primer obstáculo
radica en interpretar las descripciones de los trazos y el segundo en la habilidad para
realizarlos.
Los aspectos que deben quedar claros durante la confrontación son los siguientes:
a) La diferencia entre recta y segmento. Es probable que algunos alumnos tracen
segmentos que unan dos puntos de la circunferencia, en cuyo caso se trataría
de cuerdas, la cuerda mayor es el diámetro. Pero lo que se pide en este caso
es una recta que corte a la circunferencia y no sólo que una dos puntos de ella.
Una vez hechas las aclaraciones necesarias hay que decirles que las rectas
que cortan la circunferencia se llaman secantes.
b) En el segundo trazo se trata de la recta tangente. Aquí, como pregunta
adicional se puede plantear: ¿Cómo son entre sí la tangente y el radio que
tocan el mismo punto de la circunferencia? Como información adicional hay
que decir que el punto de la circunferencia por donde pasa la tangente se llama
punto de tangencia.
El tercer trazo es solamente una circunferencia y una recta exterior que no tienen
relación alguna.
Finalmente, el profesor podrá cuestionarlos acerca de la existencia de otra posición de
una recta respecto a un círculo, para que concluyan que sólo se pueden dar estos tres
casos, sin importar la inclinación de la recta.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
________________________________________________________
Plan de clase (2/3)
Escuela:___________________________________
Fecha: ____________
Profr. (a): _____________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.3
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Determinar, mediante construcciones, las posiciones
relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.
Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen mediante construcciones las
posiciones relativas de dos circunferencias.
Consigna: Reunidos en equipo, tracen pares de circunferencias en diversas
posiciones, de manera que en cada par haya una posición diferente. ¿Cuántas
posiciones diferentes puede haber?________ Descríbanlas.
1ª. Posición:
2ª. Posición:
Consideraciones previas: Hay que aclarar que el hecho de que sólo se anoten dos
posiciones no significa que sólo haya dos, hay que anotar todas las que se
encuentren. Sólo si es necesario, se les puede decir que una de las posiciones es
cuando las dos circunferencias se cortan.
Una vez terminados los trazos, hay que solicitar a un equipo que presente y describa
sus construcciones ante el resto del grupo. Después de lo cual, se pregunta a los
demás equipos si encontraron una posición diferente. Los casos que puede haber son
los siguientes:
a) Ajenas: aquellas que no tienen puntos comunes
b) Concéntricas: las que comparten el mismo centro
c) Secantes: Las que se cortan
d) Tangentes internas o tangentes externas: Las que tienen un punto común.
Se espera que entre los trazos que realicen los alumnos estén todas las posiciones
mencionadas, pero si faltara alguna hay que ilustrarlo.
Como información adicional se les puede decir que dos circunferencias se consideran
como tangentes, si son tangentes a la misma recta, en el mismo punto.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____
Plan de clase (3/3)
Escuela:_____ _____________________________
Fecha: ____________
Profr.(a): ____________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.3
Eje temático: FEM
Conocimientos y habilidades: Determinar, mediante construcciones, las posiciones
relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias.
Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
Intenciones didácticas: Que los alumnos usen lo que saben sobre la recta tangente a
una circunferencia y otras propiedades geométricas, al resolver problemas.
Consigna 1: Trabajen en parejas. Consideren que la recta t es tangente a la
circunferencia c. Con base en esta información contesten: ¿Cuánto mide el ángulo
central trazado en la circunferencia c? _________Justifiquen su respuesta:
____________________________________________________________________
Consigna 2. Calculen el valor del ángulo w en la siguiente figura, sabiendo que la
recta AD es tangente a las dos circunferencias.
Consideraciones previas.
En estos problemas se trata de combinar los conocimientos sobre la suma de los
ángulos interiores en triángulos y cuadriláteros y la perpendicularidad entre la tangente
y el radio del círculo que pasa por el punto de tangencia.
Nota: si el profesor considera necesario, puede trabajar la actividad de Geometría
Dinámica sugerida en el programa, págs. 136 y 137. EMAT (Características de la
recta tangente a la circunferencia)
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
Eje
Forma, espacio y medida
Formas geométricas
Tema
Subtema
RECTAS Y ÁNGULOS
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
1.4. Determinar la relación entre un
ángulo inscrito y un ángulo central de una
circunferencia, si ambos abarcan el
mismo arco.
Los alumnos conocen el ángulo central y sus
relaciones con la construcción de los polígonos
regulares. Ahora se trata de que, mediante la
exploración en el trazado y la medida de diferentes
ángulos inscritos cuyos arcos coincidan con el arco
de un ángulo central, encuentren que la medida de
cualquier ángulo inscrito en una circunferencia es
igual a la mitad del ángulo central, siempre y
cuando los arcos coincidan. Deberán explorar con
ángulos inscritos cuyo arco coincida con el diámetro,
es decir, con un ángulo central de 180°. Utilizando
esta relación, los alumnos podrán concluir que todo
triángulo inscrito en una semicircunferencia es un
triángulo rectángulo.
Actividad complementaria: “Ángulos inscritos en una circunferencia”, en Geometría dinámica.
EMAT, México, SEP, 2000, pp. 138-139.
O
Plan de clase (1/3)
Escuela: _______________________________Fecha:___________________
O
Profr.(a):________________________________________________________
O
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.4
Eje temático: FE y M
O
Conocimientos y habilidades: Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un
ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.
Intención didáctica: Que los alumnos analicen las características de los ángulos
centrales e inscritos.
O
O
O muestran a continuación, contesten las
O base en las figuras que se
Consigna 1: Con
O
O
preguntas que aparecen después. Trabajen en parejas.
A)
B)
90,0 °
C)
O
O
O
O
O
O
O
D)
E)
O
O
O
90,0 °
1. ¿Qué ángulos tienen su vértice en el centro del círculo?
_______________________________________________________________
O
2. ¿Cuáles son los ángulos cuyo vértice se encuentra
en la circunferencia?
O
O
O
_______________________________________________________________
Consigna 2: Completen las siguientes expresiones utilizando las palabras del
recuadro.
Centro,
vértice,
radios,
circunferencia,
Central,
inscrito, cuerdas
O
O
a) Los lados de los ángulos de los círculos A y D están formados por dos
__________________________________________________
b) Los lados de los ángulos que se muestran en las figuras B , C y E, están
formados por dos ___________________________________
c) Cuando su vértice se encuentra en el ______________de la circunferencia
recibe el nombre de ángulo ________________________________.
d) Si su __________________ se encuentra en algún punto de la
____________________ se trata de un ángulo ___________________.
2. Organizados en tríos, comenten y contesten las siguientes preguntas.
a) ¿En cuál figura el diámetro forma parte del ángulo? ___________
b) ¿Habrá un ángulo que esté formado por dos diámetros? ____Justifiquen su
respuesta ______________________________________________
c) ¿El vértice del ángulo central podrá ubicarse en otro punto del círculo?
_____Justifiquen su respuesta _________________________________
Consideraciones previas: Es necesario que una vez concluida la consigna dos se
realice la puesta en común para comparar las respuestas de los estudiantes y
consolidar los conceptos de ángulo inscrito y ángulo central; así como las diferencias
entre ellos.
Si fuese necesario se deberá establecer la diferencia entre círculo y circunferencia.
Es importante reafirmar que el diámetro es la mayor de las cuerdas del círculo, por lo
que sí puede formar parte de un ángulo inscrito. Sin embargo, si son dos diámetros, se
pueden dar los siguientes casos: que uno esté sobrepuesto con el otro, de manera que
se formaría un ángulo de 0 grados, o bien, que dos diámetros se corten y por tanto
formen cuatro ángulos centrales, donde los opuestos por el vértice son iguales.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________________________________________
Plan de clase (2/3)
Escuela: _______________________________Fecha:___________________
Profr.(a):________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.4
Eje temático: FE y M
Conocimientos y habilidades: Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un
ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.
Intención didáctica: Que los alumnos encuentren la relación entre las medidas de
ángulos centrales e inscritos, cuando sus lados comprenden el mismo arco, a partir de
trazos en un mismo círculo.
Consigna 1: De manera individual traza 3 círculos, con radios de diferente medida y
en cada uno de ellos traza un ángulo central y uno inscrito, de manera que sus lados
coincidan en el mismo arco. Después, recorta de un círculo los ángulos que formaste y
sobreponlos para compararlos. Haz lo mismo con los otros dos círculos. ¿Encuentras
alguna
relación
entre
sus
medidas?
_______
¿Cuál?
_________________________________________
Consigna 2: Ahora, reúnete con otros dos compañeros, comenta tus observaciones y
juntos elaboren una tabla con la medida de los ángulos centrales e inscritos que
obtuvo cada uno.
ALUMNO
Medida
del Medida
del
ángulo central ángulo inscrito
1
2
3
4
5
6
7
8
9
De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe entre la medida
del ángulo central y la medida del ángulo inscrito.
_______________________________________________________________
Consideraciones previas: Para la consigna 1 es necesario que los alumnos
cuenten con hojas blancas, tijeras, transportador, compás, regla y colores.
Se sugiere que tracen los círculos en una hoja blanca para que puedan recortarlos y
comparar la medida del ángulo central e inscrito mediante la superposición. Los
alumnos deberán detectar que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central, de
no ser así, el maestro deberá animar a presentar sus conclusiones a aquellos alumnos
que sí encontraron la relación. El conocimiento se concretará en la consigna dos al
llenar la tabla.
Es importante que en la puesta en común se concluya que el ángulo inscrito mide la
mitad del ángulo central cuando sus lados comprenden el mismo arco.
A
A
B
B
69,9 °
70,1 °
139,8 °
O
69,9 °
139,8 °
O
140,2 °
C
140,2 °
84,9 °
<ABC =
C
B
AOC
2A
89,8 °
B
O
179,8 °
A
89,7 °
C estudio de este aspecto se sugiere trabajar en Geometría dinámica.
Para reforzar el
B
A
EMAT. México p.p.138-139 “Ángulos inscritos en una circunferencia”. (Se anexa)
89,8 °
O
C
O
Observaciones Posteriores:
179,8 °
A
89,7 °
C
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________
Instrucciones para elaborar los ángulos inscritos y centrales utilizando el programa
Cabri.
1. Trace un círculo
2. Trace los ángulos centrales e inscritos utilizando la herramienta “Segmento”,
ubicado en la tercera casilla.
 Para construir el ángulo inscrito cuya cuerda pasa por el diámetro y nos
permita construir un triángulo rectángulo es necesario:
a) Trazar el círculo
O
O
b) Marcar un punto en la circunferencia
90,0 °
90,0 °
90,0 °
90,0 °
c) Utilizar la simetría central del punto marcado en la circunferencia, herramienta
ubicada en la sexta casilla, indicando el punto de origen, el centro y automáticamente
O O
O
aparecerá el simétrico.
O
O
O
O
O
O
3. AsigneOuna letra a cada punto, utilice la herramienta nombrar ubicado en la décima
casilla.
4. Utilice la opción medir ángulo ubicado en la novena casilla.
A
O 90,0 ° B
5. Ubíquese en el dibujo y señale
los rayos que forman el ángulo,
automáticamente aparecerá la medida del ángulo.
c
B
46,8 °
O
A
O 90,0 ° B
O
93,6 °
c
O
< AOB = 180°
A
C
< ACB =90°
6. La penúltima casilla nos permite dar animación y comprobar la relación del ángulo
central e inscrito.
7. Se puede revisar la construcción activando la Casilla EDICIÓN.
Plan de clase (3/3)
Escuela: _______________________________Fecha:___________________
Profr.(a):________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
A temático: FE y M
Eje
Apartado: 1.4
Conocimientos y habilidades: Determinar laBrelación entre un ángulo inscrito y un
ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo139,8
arco.
°
O
Intención didáctica: Que los alumnos deduzcan que todo triángulo inscrito en una
140,2 rectángulo.
°
semicircunferencia es un triángulo
84,9 °
C
Consigna: De manera individual realiza lo que se indica.
a) Traza cinco ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central
AOC, como se muestra en la figura.
B
b) Colorea los triángulos que se formaron
a partir de los
A
89,8 °
diferentes trazos que realizaste.
B
O
C
A
O
c) ¿Qué tipo de triángulos se
formaron?_______________________________
89,7 °
179,8 °
C
C
Consideraciones Previas:
Los alumnos trazarán ángulos inscritos que comprendan
A
el mismo arco que el ángulo central
AOC,Ode maneraB
arbitraria y se darán cuenta que en todos los casos se
forman triángulos
rectángulos. Si los alumnos no
detectaran que son triángulos rectángulos, el maestro
A
podrá recurrir al conocimiento generado en la clase
anterior, en la que se concluyó que la medida del ángulo
inscrito es la mitad del ángulo central y al ser este de
180° entonces el ángulo inscrito mide 90°, razón por la
son Otriángulos B
Ocual los triángulos que se formaron
A
180,0 °
rectángulos.
O
Observaciones Posteriores:
D
E
C
O
G
B
F
c
_____________________________________________________________________
B
_____________________________________________________________________
O
O ___________________________________________________
O °
46,8
A
C
O
O
C
O
93,6 °
Eje
Forma, espacio y medida
Medida
Tema
ESTIMAR
MEDIR Y CALCULAR
Subtema
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
1.5. Calcular la medida de ángulos inscritos
y centrales, así como de arcos, el área de
sectores circulares y de la corona.

Puesto que los alumnos de este grado ya saben
calcular el área de un círculo y saben que un
ángulo central determina una fracción de éste, no
será difícil que puedan calcular el área de un
sector circular. Un problema que puede resultar
interesante es el siguiente:
Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las
esquinas exteriores de un corral de forma cuadrada, de 5 metros de lado. El corral está
rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra?
El problema puede tener variantes al aumentar la longitud de la cuerda y al cambiar la forma del
corral a cualquier polígono regular.
PLAN DE CLASE (1/4)
Escuela:_______________________________________Fecha: ______________
Profr. (a): ___________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado 1.5
Eje Temático: FEM
Subtema: Estimar, medir, calcular
Conocimientos y habilidades: Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales,
así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el uso
de sus conocimientos respecto al ángulo inscrito y centrales en un círculo, para
calcular áreas de sectores circulares y longitud de arcos.
Consigna: Organizados en parejas resuelvan el problema siguiente:
1.
Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de
las esquinas exteriores de un corral de forma cuadrada, de 5 m de lado. El corral
está rodeado por un campo de hierba.
a)
¿En qué área puede pastar la cabra?
b)
¿Cuál es la longitud total del arco que describe el desplazamiento de la
cabra cuando la cuerda está a su máxima longitud?
5
5m
cabra
3m
Consideraciones previas:
Un aspecto importante a considerar en el desarrollo de estos planes de clase es el
hecho de que el alumno realice conjeturas y estimaciones con respecto a los
problemas planteados, antes de aplicarse fórmulas y algoritmos establecidos.
Para la resolución de este problema, se propone dar un tiempo máximo de 15 minutos;
esto dependerá de las observaciones realizadas por el profesor al interior de los
equipos y de las dificultades que surjan en la resolución.
Es importante propiciar en el alumno el análisis del proceso de resolución que siguió,
para lo cual se recomienda iniciar la puesta en común a partir de que surjan soluciones
de dos o más parejas. Con base en los procedimientos utilizados por los alumnos, se
sugiere favorecer la reflexión a partir de las siguientes preguntas:
 Si la cuerda que ata a la cabra, permanece tirante, ¿qué trayectoria describirá
en su movimiento sobre la zona en que pasta, con respecto de la esquina
donde se encuentra atada?
 ¿Tiene alguna relación la medida del ángulo del cuadrado con la circunferencia
trazada por el movimiento de la cabra alrededor del poste?
 ¿Qué parte de la circunferencia comprende el sector circular, donde la cabra
puede moverse libremente? (Es posible que el alumno conteste ¾ del círculo o
la medida en grados del arco que corresponde a 270°); o bien, ¿que parte de
la circunferencia corresponde al sector en que la cabra no puede pastar?
 ¿Cómo se obtiene la cuarta parte del área del circulo?; o bien, cómo calculas
las 3 cuartas partes del área circular?
Estas preguntas también pueden servir de orientación para la resolución del problema;
esto en caso de que los alumnos no encuentren la forma de resolverlo. Si el problema
es resuelto rápidamente por los alumnos, se pueden variar las condiciones: ¿Qué área
de pastoreo tendrá la cabra si el corral tiene forma de hexágono regular de 5 m por
lado y la cuerda atada al poste en uno de sus vértices es de 3 m de longitud?
(Modificar el tamaño de la cuerda o cambiar el punto del corral en que la cabra está
atada; por ejemplo en el centro de uno de los lados del corral).
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___
PLAN DE CLASE (2/4)
Escuela:________________________________________Fecha: ______________
Profr.(a): _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado 1.5
Eje Temático: FEM
Subtema: Estimar, medir, calcular
Conocimientos y habilidades: Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales,
así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas donde apliquen los
conocimientos sobre medidas y relaciones entre ángulos.
Consigna: Organizados en parejas resuelvan los problemas siguientes:
1. A partir de los datos que se presentan
en la figura, calcular la medida del <B,
sabiendo que “O” es el centro de la
circunferencia. Redacten el procedimiento
que utilizaron para encontrarlo.
PROCEDIMIENTO UTILIZADO:
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_________________________________________________
_____________________
2. Observen el diseño que se usará para el emblema del grupo de 3º., donde 0 es el
centro del círculo.
Si el ángulo que se señala en el dibujo, formado por las rectas 2 y 4,
mide 100°, calculen la medida del ángulo formado por las rectas 1 y 3
(<A).
A
3. Tracen un segmento que mida 8 cm. Llamen “A” a uno de los extremos del
segmento y “B” al otro. Tracen 10 rectas que pasen por el punto A. Tracen líneas
perpendiculares a cada una de las 10 rectas, las cuales deben pasar por el punto B. Si
unen los vértices de los ángulos rectos trazados ¿qué figura geométrica formarán?
A
B
Consideraciones previas
Un aspecto importante a considerar es el hecho de que el alumno realice
conjeturas y estimaciones con respecto a los problemas planteados, antes de
aplicar fórmulas y algoritmos.
A manera de reafirmación de los contenidos manejados en el apartado 1.4 se pretende
que el alumno reconozca las propiedades y relaciones del ángulo central con el ángulo
inscrito, además de reconocer que la medida del ángulo inscrito en una
semicircunferencia es un ángulo recto; asimismo, que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es de 180°.
Son variados los procedimientos de resolución, por lo tanto se recomienda dar un
máximo de 15 minutos para que los alumnos resuelvan el problema 1 y a partir de éste
se haga la puesta en común. Se recomienda estar atento en todo momento a la
redacción y argumentación escrita por parte de ellos, de tal forma que se registren los
contenidos relevantes que les permitieron resolver el problema.
Si el tiempo lo permite, efectuar el mismo análisis con los problemas 2 y 3. De no ser
así se puede continuar en la siguiente clase con la puesta en común y la discusión.
A partir de las siguientes preguntas, podemos llevar al alumno a recordar los
conceptos manejados anteriormente:



¿Qué tipo de ángulo es el <BOC?
¿Qué tipo de triángulo es BOC? ¿Por qué?
¿Cuánto suman los ángulos internos de cualquier triángulo?
Las preguntas anteriores llevarían al alumno a concluir que si el ángulo BOC es central
está formado por dos radios; entonces el triángulo BOC es isósceles: si BOC mide 70°
y <B = <C, entonces 2(<B) + 70° = 180°. Despejando se obtiene que <B = 55°.
De igual manera se puede preguntar:
 ¿Qué tipo de ángulo es <BAC? ¿Por qué?
 ¿Cuál es la medida de <BCA? ¿Por qué?
De aquí se desprende que si <BAC es ángulo inscrito mide (35°), es decir, la mitad del
ángulo central, pues subtienden el mismo arco. Asimismo, el triángulo BCA es
rectángulo en C por estar inscrito en una semicircunferencia (el segmento AB es
diámetro). Entonces,
90° + 35° + <B = 180° ; <B = 180° - 125° ; por tanto:
<B = 55°
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
__
PLAN DE CLASE (3/4)
Escuela:_________________________________________ Fecha: ______________
Profr.(a): _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado 1.5
Eje Temático: FEM
Subtema: Estimar, medir, calcular
Conocimientos y habilidades: Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales,
así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen sus conocimientos para calcular
áreas de coronas circulares.
Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas:
1.
La siguiente figura corresponde a un juego de tiro al blanco. Los puntos O, A, B,
C y D están alineados y O es el centro de todos los círculos. La distancia del
punto O al punto A es de 20 cm y las distancias entre los
demás puntos es de 10 cm. Con estos datos calculen:
a)
b)
c)
d)
El área del círculo central.___________
El área del sector B._______________
El área del sector C._______________
El área del sector D._______________
Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no tengan problema para
resolver el inciso a) aplicando la fórmula del área del círculo; sin embargo, es
importante que el maestro observe los procedimientos empleados al resolver los
demás incisos y detecte los casos en que los alumnos hayan recurrido a obtener la
diferencia de los radios multiplicada por π: π (R2  r2) y confrontar ambos
procedimientos para que los propios alumnos elijan la forma más directa de obtener el
área de una corona circular.
Si el tiempo lo permite, podría presentarles el siguiente problema, o bien, dejarlo de
tarea:
Has sido elegido para presenciar un eclipse solar por unos cuantos instantes; la
circunferencia de la luna y la del sol compartirán el mismo centro. Por motivos
astronómicos es necesario que calcules el área aparente de la corona solar.
El departamento de astronomía de la UNAM te proporciona los siguientes datos:


Diámetro aparente del sol 5 000 km.
Diámetro real de la luna 3 476 km.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___
PLAN DE CLASE (4/4)
Escuela:________________________________________Fecha: ______________
Profr.(a): _____________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado 1.5
Eje Temático: FEM
Subtema: Estimar, medir, calcular
Conocimientos y habilidades: Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales,
así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
Intenciones didácticas: Que los estudiantes apliquen sus conocimientos para
calcular medidas de arcos en la obtención de áreas de figuras compuestas, sectores
circulares y coronas.
Consigna 1: Organizados en parejas y, si es posible, usando Cabri Géomètre,
resuelvan el problema siguiente:
Un perro está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2m. Unida a
una argolla que se desplaza en una barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden
2m y 4m. ¿Cuál es el área de la región en la que puede desplazarse el perro?
Consigna 2: En parejas, utilizando Cabri Geometre, propongan y resuelvan un
problema que implique el cálculo de longitudes de arcos, áreas de sectores circulares
o coronas.
Consideraciones previas:
Es opcional para el profesor hacer uso de la tecnología que puede encontrarse en su
escuela –en este caso el software de Cabri Géomètre y que favorece el hecho de que
el alumno centre su atención en la resolución del problema y no tanto en la
construcción de la figura (cuando esto último no es el propósito).
El problema anterior implica que los estudiantes delimiten las regiones que recorre el
perro (dos semicírculos, dos rectángulos, un cuadrado y la cuarta parte de un círculo).1
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
___________________
1
Fichero de Actividades Didácticas, pág. 42.
Manejo de la información
Eje
Representación de la información
Tema
GRÁFICAS
Subtema
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
1.6. Analizar la razón de cambio de un proceso
o fenómeno que se modela con una función
lineal y relacionarla con la inclinación o
pendiente de la recta que lo representa.
En este grado se continúa con el estudio de las
funciones y se inicia el estudio de la razón de
cambio en la función lineal. Este concepto
tiene diversas aplicaciones en la economía, la
física y la biología.
Siempre que dos variables (magnitudes) están
conectadas mediante una relación funcional,
se puede estudiar el cambio relativo de una de
las variables respecto de la otra; es decir, se
pueden determinar y analizar las razones de
cambio del fenómeno. Algunas razones de
cambio debido a su importancia se han
identificado con nombres especiales, por
ejemplo, la razón de cambio de una población
respecto al tiempo se llama tasa de
crecimiento; la razón de cambio de la
temperatura de un líquido se llama velocidad
de enfriamiento o calentamiento; la razón de
cambio de la distancia en relación con el
tiempo se llama velocidad; la razón de cambio
de la velocidad respecto al tiempo se llama
aceleración.

Algunos ejemplos de problemas que se pueden
plantear son:
La siguiente gráfica muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros
meses del año.
¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo, suponiendo que fue el mismo cada
mes?
En este caso, el incremento en el precio del artículo respecto al tiempo es la razón de cambio. En
la gráfica el cambio en el precio se indica en la dirección vertical y el cambio en el tiempo en la
dirección horizontal.
Considerando la situación anterior, pueden hacerse las siguientes reflexiones: ¿Cuál será el costo
del artículo en el sexto mes? ¿Qué significaría que la pendiente entre el tercero y el cuarto mes
fuera mayor?

La gráfica muestra el costo de un viaje en dos taxis distintos.
¿Cuál es el costo del viaje en cada taxi por kilómetro recorrido? ¿Son distintos los incrementos en
el costo por kilómetro recorrido? Entonces, ¿por qué el costo es distinto en uno u otro taxi?
La razón de cambio de un fenómeno o situación representada en una línea recta es siempre la
misma y está relacionada con la inclinación de dicha recta.

La gráfica muestra el costo del servicio telefónico en dos compañías.
¿Son distintos los incrementos en el costo por llamada telefónica en una y otra compañía? ¿Por
qué el costo por 100 llamadas telefónicas es el mismo en las dos compañías telefónicas? ¿Cuál es
el incremento en el costo de 50 a 100 llamadas en la compañía A? ¿Y en la B? ¿Cuál es el
incremento por cada llamada telefónica en cada compañía? En la compañía A, ¿el incremento en
el costo de 1 a 50 llamadas es el mismo que de 51 a 100 llamadas?
Estos y otros contextos permiten dar sentido a la noción de razón de cambio y sientan las bases
para que los estudiantes puedan abordar, en grados posteriores, el estudio de procesos de
cambio más complejos, que se modelan con funciones no lineales.
Plan de Clase (1/3)
Escuela: ______________________________________________
Fecha: ________
Profr. (a): ________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.6
Eje temático: MI
Conocimientos y habilidades: Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se
modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo
representa.
Intenciones didácticas: A partir de cierta información, que los alumnos construyan tablas y
gráficas y que a partir de éstas, relacionen cantidades y obtengan nueva información.
Consigna: Organizados en binas, resuelvan el siguiente problema.
1.- Los tres hermanos Pérez asistieron al cine. El boleto de entrada cuesta $40.00:
a) ¿Cuánto pagaron por las tres entradas? ________________
b) Si cada uno llevó un invitado, ¿cuánto se pagó en total para que todos entraran? _________
c) Si además asistieron los padres de los hermanos Pérez, ¿cuánto se pagó por todos? ______
A partir de la información anterior, completen la siguiente tabla:
Personas
3
6
Costo ($)
8
160
480
Con los datos obtenidos en la tabla anterior, tracen la gráfica correspondiente.
Costo de entrada al cine
$
Observen la gráfica y contesten:
200
a) ¿Cuánto se pagará por cinco personas?
_____________
160
120 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
80
Número de personas
b) ¿Cuánto se pagará por nueve
personas? _____________
40
Consideraciones
previas:
0
Si el tiempo lo permite, los alumnos pueden formular otras preguntas para ser analizadas y
contestadas por el grupo. Por ejemplo:
1) ¿Cuánto se pagará por dos personas?
2) Si se cuenta con $350.00 ¿cuál es el mayor número de personas que pueden ser invitadas?
Antes de pasar a otra actividad, es importante que el profesor verifique que los alumnos
alcancen soltura en el manejo de la información que proporcionan la tabla y la gráfica.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Plan de Clase (2/3)
Escuela: ______________________________________________
Fecha: ________
Profr. (a): ________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.6
Eje temático: MI
Conocimientos y habilidades: Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se
modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo
representa.
Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan, a partir de la gráfica de una función lineal,
las razones de cambio del fenómeno que representa.
Consigna: Organizados en binas, analicen la siguiente gráfica que muestra los cambios en el
precio de un artículo durante los primeros meses del año, posteriormente den respuesta a las
preguntas.
Variación del precio de un artículo
$
2200
1800
1400
1000
600
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
meses
a) ¿Cuánto varió el precio del primero al tercer mes? __________________________
b) ¿Cuánto varió el precio del primero al cuarto mes? _________________________
c) Suponiendo que el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuánto varió el precio del tercero al
sexto mes? _____________________________
d) ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo? _________________________
e) Si el primer mes corresponde a enero, ¿cuál es el precio del artículo en marzo? __________
f) Si el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuál será el precio del artículo en diciembre?
________________________
g) Respecto al inciso a, encuentren el cociente del incremento en el precio entre el número de
meses, es decir la “razón de cambio”. Encuentren la razón de cambio en los incisos b y c y
compárenla con la del inciso a. ¿Cómo son? ________________________________________
h) ¿Qué relación tienen las razones de cambio que encontraron en el inciso g y la respuesta del
inciso d? ____________________________________________________________________
Consideraciones previas: Es posible que los alumnos confundan el precio del artículo y el
incremento del mismo, en tal caso es preciso distinguir dichos valores. Por ejemplo, en el
quinto mes el precio del artículo es de $1800.00 y el incremento respecto al tercer mes es de
$600.00.
También puede ser que los estudiantes tengan dificultad para interpretar la tarea o para
establecer las razones que se piden en el inciso g, en tal sentido convendría analizar
detenidamente la consigna, que en otras palabras, se trata en cada caso de determinar la
razón entre el incremento del precio del artículo respecto al tiempo. Por ejemplo, la razón de
cambio del inciso a es la siguiente:
Incremento en el precio
1200 – 600
600
Razón de cambio = ----------------------------------- = ----------------------- = ---------= 300
Tiempo transcurrido
3–1
2
Lo cual significa que el precio del artículo se incremento $300.00 por mes, respuesta de la
pregunta del inciso d.
Es importante que los alumnos busquen algunos ejemplos de cantidades que cambian de
manera proporcional con el tiempo, permitiendo la razón de cambio saber cuánto aumentan o
disminuyen, por ejemplo: la distancia recorrida cuando la velocidad es constante, el costo de
una llamada de larga distancia, el interés que se paga por un préstamo de dinero, etcétera.
Hay que poner especial atención a las respuestas que den los alumnos al inciso (d), ya que la
razón de cambio que se obtiene en este inciso permitirá establecer la generalización
correspondiente.
Observaciones posteriores:
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_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Plan de Clase (3/3)
Escuela: ______________________________________________
Fecha: ________
Profr. (a): ________________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.6
Eje temático: MI
Conocimientos y habilidades: Analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se
modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendiente de la recta que lo
representa.
Intenciones didácticas: Que los alumnos relacionen diferentes razones de cambio con la
inclinación o pendiente de las rectas que las representan.
Consigna: La siguiente gráfica muestra el costo del servicio telefónico de dos compañías, con
base en la información que proporciona, respondan lo que se pide.
Costo del servicio telefónico
Compañía B
Costo ($)
Compañía A
300
150
0
0
100
Número de llamadas
a) ¿Cuál es la razón de cambio (incremento en el costo por llamada) en cada compañía?
_______________________________________________________________________
b) ¿Cuál es la relación entre las razones de cambio y la pendiente o inclinación de las
rectas?_________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
c) ¿Por qué el costo de las 100 primeras llamadas telefónicas es el mismo en las dos
compañías?_____________________________________________________________
_______________________________________________________________________
d) ¿Cuál es el incremento en el costo de 50 a 100 llamadas en la Compañía A?
____________________________¿Y en la B?__________________________________
e) En la Compañía A, ¿el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es el mismo que de 51
a 100 llamadas? ___________________¿Y en la B?____________________________
Consideraciones previas: Al igual que en el plan anterior es importante no confundir
“incremento en el costo” y el “costo del servicio” En la compañía A el incremento en el costo
de 1 a 50 llamadas es de $75.00 y el costo de las primeras 50 llamadas es de $225.00. Si los
alumnos tienen dificultades para identificar y obtener costos e incrementos, puede
proponérseles el llenado de una tabla como la siguiente para cada compañía:
Compañía A
Llamadas
0
1
10
Costo total ($)
150
151.50
165.00
Incremento ($)
0
1.50
15.00
50
100
Una vez que quede aclarado el significado de incremento o razón de cambio, se puede
plantear la siguiente pregunta:
Si la razón de cambio en la compañía A fuera la misma que en la compañía B, ¿cómo serían las
rectas que representan a ambos fenómenos? ¿cómo serían sus pendientes?
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________
Manejo de la información
Eje
Representación de la información
Tema
GRÁFICAS
Subtema
Conocimientos y habilidades
Orientaciones didácticas
1.7. Diseñar un estudio o experimento a
partir de datos obtenidos de diversas
fuentes y elegir la forma de organización
y representación tabular o gráfica más
adecuada para presentar la información.
En los grados anteriores los alumnos han estudiado
diversas representaciones estadísticas (barras,
circulares, pictogramas, tablas de frecuencias,
polígonos, etc.) y gradualmente las han utilizado
para comunicar información proveniente de estudios
sencillos o encuestas, diarios o revistas. En este
grado se pretende que los alumnos integren los
conocimientos y habilidades que han adquirido, para
realizar trabajos más amplios en diversos contextos
ligados a situaciones reales. Habrá que plantear
preguntas interesantes que despierten el interés de
los alumnos para desarrollar todo el proceso, desde
la búsqueda de información hasta su presentación.
Algunos ejemplos de preguntas que se pueden
plantear son:
¿Cuál fue el comportamiento del peso frente al dólar a lo largo del mes?
¿Cuál es la afición preferida de los estudiantes de esta escuela?
¿Cuántas personas de la comunidad han emigrado en busca de trabajo en los últimos seis meses?
Vínculos: Español. Participar en eventos comunicativos formales para compartir información.
Plan de Clase (1/2)
Escuela: ___________________________________________ Fecha: ________
Profr. (a): ___________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.7
Eje temático: MI
Conocimientos y habilidades: Diseñar un estudio o experimento a partir de datos
obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación
tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
Intenciones didácticas: Que los alumnos diseñen y lleven a cabo un estudio estadístico,
desde la planificación del proceso hasta la presentación de los resultados.
Consigna: Organizados en equipos, planifiquen y lleven a cabo las actividades
necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los deportes preferidos
por los estudiantes de tu escuela?
Consideraciones previas: El hecho de que únicamente se les plantee a los alumnos
una pregunta es con la intención de que ellos hagan un trabajo amplio, desde definir la
información que necesitan y cómo obtenerla hasta la presentación de los resultados.
Cabe aclarar que esta actividad no es para una sesión de clase, sino para tres o
cuatro. En la primera sólo se integran los equipos y se ponen de acuerdo sobre la
información que van a recabar, cómo y cuándo la van a recabar y de qué manera la
van a registrar. Una segunda sesión sería para organizar la información recabada. La
tercera sería para hacer la presentación y una cuarta para analizar algunos resultados.
Obviamente no serían sesiones seguidas sino en función del trabajo que los alumnos
van realizando.
Es probable que para algunos alumnos la pregunta planteada no sea interesante y hay
que dejar abierta la posibilidad de que la cambien.
Es importante comparar los resultados de los diferentes equipos y analizar las ventajas
y desventajas de los trabajos realizados, por ejemplo, hay que ver si sólo recabaron
información de una muestra o de toda la población; por qué decidieron una u otra
forma de presentar los datos. Se sugiere que las muestras consideran al menos el
10% de la población.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
____________________________________________
Plan de Clase (2/2)
Escuela: ___________________________________________ Fecha: ________
Profr. (a): ___________________________________________________________
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 1.7
Eje temático: MI
Conocimientos y habilidades: Diseñar un estudio o experimento a partir de datos
obtenidos de diversas fuentes y elegir la forma de organización y representación
tabular o gráfica más adecuada para presentar la información.
Intenciones didácticas: Que los alumnos diseñen y lleven a cabo un estudio estadístico,
desde la planificación del proceso hasta la presentación de los resultados.
Consigna: Organizados en equipos planifiquen y lleven a cabo las actividades
necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuál fue el comportamiento del peso
frente al dólar a lo largo del mes?
Consideraciones previas: Igual que en el plan anterior se trata de que los alumnos
asuman la responsabilidad de todo el proceso, desde la planificación de las
actividades hasta la presentación de los resultados. En este caso está muy acotada la
información que se necesita pero hay que averiguar dónde se puede obtener para que
sea confiable. Al final, hay que elegir un tipo de gráfica que resulte adecuada para este
tipo de información.
Igual que en el caso anterior, hay que dejar abierta la posibilidad de que los
alumnos puedan cambiar la pregunta por otra que les resulte más interesante.
Observaciones posteriores:
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________________
TERCER GRADO
EXAMEN CORRESPONDIENTE A LOS APRENDIZAJES ESPERADOS DEL BLOQUE 1
Escuela:
____________________________________________
____________
Fecha:
Profr(a).:
___________________________________________
_____________
Grupo:
Alumno(a):
_____________________________________________________________
1. Señala con una ✓ cuáles de las expresiones representan el área de la figura.
a) ( 6 + y)( 6 - y)
y
b) y2 + 12y +36
c) ( 6 + y ) 2
6
6
d) y2 + 24y +36
e)
f) (6 + y)(6 + y)
y
2. Encuentra la base (b) y la altura (a) de cada uno de los siguientes rectángulos:
A = 9x2 – 25y2
2
A = x + 13x + 36
b = _______, a = ________
b = _______, a = ________
3. Calcula el área de la parte sombreada de la siguiente figura:
x
x
12
Área = ________________
4. La figura8 de la derecha está formada por triángulos congruentes. Con los datos
que ahí aparecen, calcula la medida de:
Ángulo AQC = _____________
Ángulo ABC = _____________
Ángulo DQF = _____________
5. Calcular los ángulos que se te solicitan a partir de los datos registrados.
Ángulo A________
Ángulo B________
Ángulo C________
6. En el siguiente círculo traza un triángulo de manera que, dos de sus vértices
sean los puntos M y N y el tercer vértice esté sobre la circunferencia.
g
c
M
O
N
¿Qué tipo de triángulo se formó, considerando la medida de sus ángulos? ¿Por qué?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________
7. En una tienda de materiales para construcción el precio de la tonelada de
cemento ha sufrido el mismo incremento cada mes en el presente año. En
enero el costo de una tonelada fue de $1575.00, en marzo de $1625.00 y en
junio de $1700.00.
a) ¿Cuál es la razón de cambio en el precio con relación al
tiempo?____________
b) ¿Con cuál de las siguientes expresiones se puede calcular el costo de
una tonelada de cemento en cualquier mes después de enero?
y=25n-1575
y=n+1575
y=25n+1575
y=n-1575
c) Representa en el siguiente plano cartesiano la variación del precio de la
tonelada de cemento en el presente año.