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Fracción wikipedia, lookup

Número racional wikipedia, lookup

Número decimal periódico wikipedia, lookup

Representación decimal wikipedia, lookup

Número irracional wikipedia, lookup

Transcript
Colegio Antil Mawida
Departamento de Matemática
Profesora: Nathalie Sepúlveda
Matemática
DOCUMENTO N° 2
Guía de matemática Segundo año medio
Refuerzo Contenido y Aprendizaje
N°
Fecha
Tiempo
2 Horas
Nombre:
Unidad Nº
Curso:
Cero
Núcleos temáticos de la Guía
Objetivos de la Guía
Números
Conocer, comprender y aplicar conceptos relacionados a la operatoria combinada números
racionales.
Aprendizaje Esperado
Conocen, comprenden y aplican conceptos relacionados a la operatoria combinada en números
racionales.
Instrucciones
1. Revisión de conceptos asociados a la operatoria combinada en números
racionales.
2. Desarrollo de ejemplos en forma individual.
3. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos.
4. Tiempo 50 minutos para resolución.
5. Entrega de alternativas.
6. Revisión de dudas o ejercicios más complejos.
NÚMEROS RACIONALES
Los números racionales son todos aquellos números de la forma
a
con a y b
b
números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se
representa por la letra Q.
IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a
c
Q, entonces:
,
b
d
OBSERVACIONES
1. El inverso aditivo (u opuesto) de
como
a
o
b
a
a
es - , el cual se puede escribir también
b
b
a
b
2. El número mixto A
b
se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Si
a
c
Q, entonces:
,
b
d
MULTIPLICACIÓN
DIVISIÓN
OBSERVACIÓN
El inverso multiplicativo (o recíproco) de
a
 a
es  
b
b
1

b
, con a  0
a
OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes
procedimientos:
a. igualar numeradores.
b. igualar denominadores.
c. convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se
obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito
semiperiódico.
a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de
cifras decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales
b. Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por
la parte entera y el período.
Ejemplo: 0,444.... = 0, 4
c. Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados
por la parte entera, un anteperíodo y el período.
Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 23
OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES
1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números
decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las
comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria
respectiva.
Así por ejemplo: 0,19
3,81
+ 22,2
26,20
2. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números
decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el
resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales
tengan los números en conjunto.
Así por ejemplo: 3,21 ⋅ 2,3
963
642
7,383
3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede
transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una
potencia en base 10.
Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como números enteros
TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN
1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el
número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como
cifras decimales tenga dicho número.
Por ejemplo: 3,24 =
324
100
2. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas
las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras
tenga el período.
Por ejemplo: 2, 15 =
215  2
99
3. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia
entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas
las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves
como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el
anteperíodo.
Por ejemplo: 5,3 4 =
534  53
90
EJEMPLOS
 0,05 

 0,5 
1) 5  
A) 0,5
B) 0,05
C) 0,005
D) 50
E) 500
2) El orden de los números a =
A) a < b < c
B) b < c < a
C) b < a < c
D) c < a < b
E) c < b < a
3)
1
1

3
3
 0,75
 0,25
8
8
2
5
3
,b=
y c = de menor a mayor es
3
6
8
15
3
16
B)
3
16
C) 
3
D) 4
A)
E)
8
3
EJERCICIOS
1) Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces
t r
=
r
A) 80,89
B) 80,9
C) 88,9
D) 89
E) Ninguno de los valores anteriores
2) En la igualdad
1 1 1

 , si P y R se reducen a la mitad, entonces para que se
P Q R
mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe
A) duplicar.
B) reducir a la mitad.
C) mantener igual.
D) cuadruplicar.
E) reducir a la cuarta parte.
3)
1

3
2
1
1
4

3
2
1
B)
3
11
C)
6
D) 1
A)
E) 3
1
4)
1
1
1
5
2
2
B)
5
C) 1

1
11
A)
3
5
1
E)
2
D)
5) tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3 segundos,
Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Javier llegó después de Marcelo
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al
llegar a la meta
III) Arturo llegó primero
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
6) Se tienen dos cajas: una con seis botellas de
3
de litro, todas llenas y otra
4
1
de litro, todas llenas también. ¿Cuál es el número de
4
botellas de medio litro con las que se puede envasar todo el líquido?
con cuatro botellas de 1
A) 5
B) 9
C) 10
D) 19
E) 20
7) Se define la operación [m, n, r] 
2m  8n
1 3 5 
, ¿cuál es el valor de  , ,  ?
2r
2 4 3 
3
2
2
B) 
3
24
C) 
5
6
D) 
5
E)  1
A) 
8) ¿Cuántos séptimos son equivalentes a 2
A) 19
B) 17
C) 14
D) 10
E) 5
9) El número racional
A ) 10  0 ,7
B ) 0 ,10  0 ,7
7 3

3 4
3
D) 7 
7
1 1
E) :
7 10
C)
10
es igual a:
7
5
?
7
10) Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más un
dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y éste, a su vez, regala 2 dulces,
¿con cuántos dulces queda el hermano de Juan?
a
1
2
B ) Con a  2
A ) Con
a
3
2
a
D ) Con  4
2
a
E ) Con  2
2
C ) Con
̅̅̅̅ + 0, 62
̅̅̅̅ es
11) El valor de 0, 62
A) 0, ̅̅̅̅̅
124
B)
112
C)
124
D)
124
E)
112
90
99
990
99
12) La quinta parte de la mitad de quince veces cuatro tercios es
A) 50
B) 8
C) 2
D) 1,5
E) 1,125
13) ¿Cuál(es) de los siguientes números está(n) entre
I) 0, 4̅
II) 0, 2̅
III)
13
27
1
3
1
y ?
2
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y III
II y III
14) Al reducir
D)
5
E)
−
14
26
4
(7 +
1
) es igual a
21
2
1
B) −
1
30
1
A) −
C)
15
6
6
6
3
2
15) Si b es el triple de c, con b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces es verdadero que
A)
B)
C)
D)
E)
𝑏
es un número primo.
𝑐
𝑐
Є IN
𝑏
𝑐
ЄZ
𝑏
𝑏
no pertenece a Z
𝑐
𝑐
𝑏
=3
16) El valor de 0, 5̅ + 0,25̅ es
̅̅̅̅
A) 0, 30
B) 0,30
C)
3
10
D)
75
E)
73
99
90
17) El valor de
1 3
+
3 6
1 6
+
5 15
es
A)
B)
5
6
9
15
C)
25
D)
65
E)
18
54
80
63
18) Si p =
2
3
;q=
1
9
;r=
7
3
; entonces el valor de la expresión (p + q) ·
1
𝑟
es
A) 3
B)
49
C)
1
27
3
1
D) − 3
E) −
49
27
19) El doble de la tercera parte del quíntuple de la mitad de 18 equivale a
A) 1,2
B) 2,7
C) 7,5
D) 15
E) 30
𝑎
𝑏
𝑏
20) Para la expresión (𝑏 + 𝑐 ) ∶ (𝑎) , ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones
es(son) verdadera(s)?
I) Si b = -c, el resultado es indeterminado.
II) Si a = 0 o b = 0 o c = 0, el resultado es indeterminado.
III) Si a = 1, b = 1 y c = 1, el resultado no varía si a = 1, b = -1 y c = 1
A)
B)
C)
D)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
E) Sólo II y III
1
21) 2 +
A)
5
2
+
1
5
+
4
=
2
26
5
B)
11
C)
11
40
10
D) 1
E) Ninguno de los valores anteriores.
22) Una fábrica de zapatos debe entregar un pedido de T pares de zapatos en tres
días. Si el primer día entrega
día
1
A)
1
B)
C)
D)
E)
5
de él, el segundo día
1
3
de lo que resta y el tercer
del resto, entonces lo que quedó sin entregar es
4
T
10
9
T
10
3
T
10
1
T
5
1
T
60
23) La expresión – b A)
2
1
2
es equivalente a
− 𝑏−1
2
B) −
3
2
𝑏
C)
1
D)
− 2𝑏−1
2
E) −
𝑏
2
1
2
𝑏
24) Sea X =
1
𝑝−𝑞
, con p y q reales distintos entre sí. El inverso aditivo de X y el
inverso multiplicativo (o recíproco) de X son, respectivamente:
A) p – q
y
1
𝑞− 𝑝
B)
C)
1
𝑞−𝑝
1
𝑞−𝑝
y q –p
y
p–q
D) p – q y
E) p – q y
1
𝑞−𝑝
1
𝑝
−
25) Si p # q =
A) 1
B)
5
12
C) 2,4
D) −
5
3
E) − 3,3
1
𝑞
1
𝑝
1
1
4
− 𝑞, entonces, [(2 # 5] # 3 =