Download "2 de"

Survey
yes no Was this document useful for you?
   Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the work of artificial intelligence, which forms the content of this project

Document related concepts

Décimo problema de Hilbert wikipedia, lookup

Radical jerarquizado wikipedia, lookup

Algoritmo de Euclides wikipedia, lookup

Mínimo común múltiplo wikipedia, lookup

Raíz de la unidad wikipedia, lookup

Transcript
7. MISCELÁNEA
7.1
i)
Probar que para cada número natural n,
xn  1  (x  1) (1 + x + x2 + ... + xn1)
ii) Para cada número natural n sean
n



Rn  1 1  1 y
n 


Dn  2 2  2
Probar que R2n  Dn es el cuadrado de un número natural.
iii) Demostrar que si m y n son números naturales y m divide a n entonces 2m
 1 divide a 2n  1 y Rm divide a Rn.
iv) Demostrar que 3937 divide a 235  1.
7.2
¿Es primo alguno de los números
10101, 1010101, 101010101, ...?
7.3
Define por extensión el conjunto T  {(n, m) 
 : 2n + 1  3m}.
7.4
Sea n un número natural. Demostrar que con pesas de 1, 3, ..., 3n1 gramos y
una balanza de dos platillos se puede pesar cualquier objeto cuyo peso esté
3n  1
gramos.
2
comprendido entre 1 y
7.5
Demostrar por inducción las siguientes igualdades
n
1.
k 
k 1
n ( n  1)
;
2
n
2.
 (2k  1)  n
n
;
4.

k 1
n
7.

n
k  ( k! )  ( n  1)!1 ;

k 1
n
8.
k
k
 2
n
2
n

k3 
n( n  1)(n  2)
;
3
n 2 ( n  1) 2
;
4
 ( 4k  2) 
k 1
2
k 1
 k (k  1) 
n
6.
k 1
9.
n( n  1)( 2n  1)
;
6
k 1
n( 4n 2  1)
;
3
( 2k  1) 2 

n
2
k 1
5.
2
k 1
n
3.
k
( 2n )!
;
n!
1
2
n 1
7.6
i) Demostrar que el cubo de cualquier número entero es la diferencia de los
cuadrados de dos números enteros.
ii) Demostrar que para cada número natural n  , se cumple la desigualdad
2n · (n!)2  (2n)!
 2n  1  3  5  ( 2n  1)2 2 n
iii)   
2  4  6  2n
n 
7.7
Demostrar por inducción las siguientes desigualdades:
1. Para cada n  , n  4, n! > n2
2. Para cada n  , n  6, n! > n3
n
3.
k
k 1
7.8
1
2
 2
1
para cada n 
n
.
Obtener todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:
i) 3x + 1  4y, x, y 
3
ii) xx  3, x 
+
iii) x + y  xy, x, y 
7.9
El parlamento de un país cuenta con 2.000 diputados. El 12,1212...% de los
asistentes a una sesión son rubios y el 23,423423...% fuman. ¿Cuántos
diputados faltaron a dicha sesión?
7.10
Un cierto subconjunto M de los números naturales tiene entre 10.000 y 11.000
elementos. De entre ellos el
el
23
del total dan de resto 1 al dividirlos entre 3, y
165
35
del total dan de resto 2. ¿Cuántos son múltiplos de 3?
143
7.11
i) Sean p y q números primos distintos. ¿Cuánto vale la suma de todos los
divisores positivos de N  pmqn?
ii) Hallar un número N que tiene exactamente dos factores primos distintos y
8 divisores, sabiendo que la suma de los mismos es 320.
iii) Encontrar un número natural tal que el producto de sus divisores positivos
es 245 · 718.
7.12
Determinar el valor de a para que
i) Las raíces x1 y x2 de la ecuación x2  (3a + 2) x + a2  0 cumplan que x1 
9x2.
ii) Las raíces de la ecuación x2  (2  a  a2) x  a2 0 sean opuestas.
iii) Las raíces de la ecuación x2 + ax + a + 2 estén en relación 1 : 2.
7.13
Determinar a y b para que las soluciones de la ecuación x2 + ax + b  0 sean a
y b.
7.14
Hallar valores de a para los que la ecuación a 3  a 2 a  x  a 2 x  1  1 tenga al
menos 4 soluciones distintas enteras.
7.15
Calcular las soluciones de la ecuación
(x2 + x + 1) + (x2 + 2x + 3) + (x2 + 3x + 5) + ... + (x2 + 20x + 39)  4500
7.16
Determinar a para que
i) La recta y  2ax + 1 y la parábola y  (a  b) x2  2 no tengan puntos en
común.
ii) El vértice de la parábola y  x2 + 2ax + 13 esté a distancia 5 del origen.
7.17
i) Probar que si b 
no es múltiplo de 3, existe n 
tal que 2n > b y 2n
 b es múltiplo de 3.
ii) Sean f (x)  2x y g(x)  x  3. Dados los números naturales n y m decimos
que m está flechado con n si
n  f (m)
o
Escribiremos F(m)  {n 
n  g(m)
: m está flechado con n}
Se dice que m está enlazado con n si existen números naturales a1  m, a2,
... , ak  n tales que
aj  F(aj1) para cada 2  j  k
Se pide probar, si E(m)  {n 
1. Si m, n 
: m está enlazado con n}:
son múltiplos de 3, entonces
m  E(n) y n  E(m)
2. Si m y n son números naturales no múltiplos de 3, entonces
m  E(n) y n  E(m)
3. Si m es múltiplo de 3 y n no lo es, entonces
m  E(n) y n  E(m)
Related documents
Aritmética y Divisibilidad
Aritmética y Divisibilidad
MsWord
MsWord