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Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
Tema 6. Movimiento oscilatorio. El oscilador armónico
1. Movimiento oscilatorio armónico simple.
Un cuerpo describe un movimiento periódico cuando las variables de posición, x, velocidad
v y aceleración a de su movimiento toman los mismos valores después de un intervalo de tiempo cte
denominado periodo. Ej: Movimiento circular uniforme, el péndulo o un cuerpo unido a un muelle.
En los dos últimos casos el movimiento de vaivén se produce sobre la misma trayectoria ( arco o
recta). Decimos que es un movimiento oscilatorio o vibratorio.
Movimiento oscilatorio o vibratorio es aquel en el que el cuerpo se desplaza sucesivamente a uno y
otro lado de su posición de equilibrio repitiendo para cada intervalo de tiempo sus variables
cinemáticas.
Oscilación es lo mismo que vibración. Sin embargo se suele hablar de vibración para designar
oscilaciones rápidas o de alta frecuencia.
Cualquier cuerpo que sea apartado de su posición de equilibrio estable tenderá a recuperar el
equilibrio efectuando movimientos oscilatorios alrededor de esa posición.
Ej: Un cuerpo suspendido de un hilo permanecerá en equilibrio estable en la vertical. Si es apartado
de la posición de equilibrio y se suelta oscilará alrededor de su posición de equilibrio. Se detendrá
por la fricción del aire.
Supongamos un muelle que se aparta de su posición de equilibrio estable. Sobre él aparecen
fuerzas restauradoras que tienden a devolverlo a su posición de equilibrio.

En este caso la Frest es la ley de Hooke.

Frest =-k
k es una cte característica de cada muelle (N/m)
Una partícula tiene un movimiento oscilatorio armónico simple (MAS) cuando oscila bajo la
acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto de la posición de
equilibrio y cuyo sentido es hacia la posición de equilibrio. Cualquier cuerpo con MAS se le llama
oscilador armónico.
2. Ecuaciones del movimiento armónico simple.
2.1 Características de un movimiento armónico simple.
 Vibración u oscilación: Distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de
vaivén.
 Centro de oscilación, O: Pto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas
alcanzadas por la partícula móvil
 Elongación, y. Distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación
O, tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un
momento dado . Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del pto O y
negativos a la izquierda.
1
Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
 Amplitud A, valor máximo de la elongación.
 Periodo T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.
 Frecuencia, f o , número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del
periodo f = 1/T ( Hz)
 Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular, w, Nº de periodos comprendidos entre 2π
2
 2frad / seg
unidades de tiempo.  
T
2.2 Ecuación fundamental del movimiento armónico simple.
En la figura se ha representado la posición x de un péndulo que oscila después de haber sido
desplazado un pequeño ángulo en función del tiempo. Se han representado dos oscilaciones
completas.
Oxford
7.5 187oscilar desde su posición vertical con un pequeño impulso obtendremos una
Sifigura
lo hacemos
gráfica similar solo que para t = 0, x = 0. La primera gráfica corresponde a un coseno y la segunda a
un seno. Ambas gráficas representan el mismo movimiento con la única diferencia de la posición
inicial de oscilación.
Si comparamos el movimiento del péndulo con el de una partícula que describe un
movimiento circular, con radio igual a la de la amplitud de la oscilación y el mismo periodo ( es
decir, ajustamos la w de la partícula para que coincida el T).
Para un punto cualquiera de la trayectoria tenemos que su
posición es x = A cos (wt).
Puesto que A y w son iguales para los dos movimientos y las
posiciones respecto del origen van coincidiendo. La ecuación
describe los dos movimientos.
Apunte pag sin número
En general, si la elongación no es A, basta con introducir una
fase que ajuste la posición inicial
x = A cos ( wt +  ). Para t = 0 x = A cos 
Si hablamos de un muelle ocurre exactamente lo mismo.
2
Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
En general, la ecuación del movimiento armónico simple la escribiremos
x =A cos(wt + )
wt +  fase del movimiento. Al cabo de una oscilación completa la fase aumenta
en 2π rad y vuelve a la misma posición cos (wy +  ) = cos (wt +  + 2π )
  cte de fase o fase inicial. Si t = 0 se obtiene la posición inicial xo= A cos 
La ecuación puede escribirse indistintamente en función del seno o del coseno x = A sen (wt+)
A veces conviene usar una u otra:
1. Si hacemos oscilar un muelle o péndulo desde su máxima elongación, debe cumplirse que xo = A en t=0
 Ecuación más sencilla es x = A cos wt ya que cos 0 = 1 También se podría escribir x = A sen (wt +
π/2) ya que en t = 0 x = Asen π/2 = A.
2. Si la oscilación comienza en la posición de equilibrio se debe cumplir que x0= 0 en t= 0. Lo más sencillo
es x = A sen wt pero también x = A cos ( wt  π/2 )
3. Si el movimiento se inicia en una posición intermedia, se puede elegir seno o coseno y calcular  a partir
de xo, A y w.
2.3 Ecuación de la velocidad en el Movimiento armónico simple.
x = A cos (wt + )
dx
  wasen( wt   )
dt
armónica ( sinusoidal).
v
La velocidad en un movimiento armónico simple varía de forma
Sabemos que sen 2 ( wt   )  cos 2 ( wt   )  1
sen(wt +)= 1  cos 2 ( wt   )
v = -wA sen (wt + ) = -wA 1  cos 2 ( wt   )   w A2  A2 cos 2 ( wt   )   w A2  x 2 .
Como la raíz lleva doble signo para cada valor de x hay dos de v ( ida y vuelta) v=  w A2  x 2
3
Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato



La velocidad es cero cuando x =  A ( extremos)
La velocidad es máxima cuando x = 0 ( centro) v =  wA
Las gráficas de x y v están desfasadas π/2  cos ( wt + π/2)=- senwt
Si representamos la posición y la velocidad frente al tiempo
x  A cos wt  A cos(
2
t)
T
v   Awsenwt   wAsen(
2
t)
T
2.4 Ecuación de la aceleración en el Movimiento armónico simple.
v= -wA sen (wt + )
a
dv
  w 2 A cos( wt   ). Sabemos que v  a cos( wt   )
dt
a = -w2x La aceleración en un MAS es una función armónica que depende sinusoidalmente de
tiempo.



La aceleración es nula en la posición de equilibrio ( x= 0)
Es máxima en los extremos en cuyo caso vale –w2A
Sentido opuesto a x
La gráfica está desfasada π respecto de la posición x  cos ( wt +) = - cos (wt)
2
x  a cos
t
T
2
v   wAsen
t
T
2
a   w 2 A cos
t
T
4
v
x=-A
v=0
a=w2A
w2A
v
x=0
v=-wA
a=0
a
a
x=A
v=0
a= -
v
v
x=-A
v=0
a=w2A
a
x=0
v=wA
a=0
a
x=A
v=0
a=-w2A
Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
3. El oscilador armónico simple
3.1 Dinámica del oscilador armónico simple
Supongamos un oscilador que consiste en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando el
cuerpo es apartado de la posición de equilibrio, la Frest   Kx tiende a devolverlo en dicha posición
Esta fuerza producirá una aceleración ma
K
K
ma= -Kx a   x Como a   w 2 x ;  w 2 x   x ; w = K
m
m
m
La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y
proporcional a la distancia a este.
Como w 
La f sería
2
;
T
f 
T
1
2
2
m
 2 ·
W
K
El periodo de un oscilador armónico depende de la
masa del oscilador y de la cte restauradora del sistema,
pero es independiente de la amplitud.
K
m
5
Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
3.2 Energía del oscilador armónico simple.
Energía cinética; la energía cinética de una masa m con un MAS es E c 
v   wAsen( wt   ) ; E c 
Ec 
1
KA2 sen 2 ( wt   )
2
1 2
mv . Como
2
1
K
mw2 A2 sen 2 ( wt   ) . Como w 2 
2
m
La energía cinética de un oscilador armónico varía
periódicamente entre un valor mínimo en los extremos ( Ec  0)
1
y máximo en la posición de equilibrio E c  KA2
2
Energía potencial; Sabemos que W = -Aep. Si tenemos un cuerpo unido a un resorte que oscila
horizontalmente sin fricción. El W al desplazar el cuerpo desde x hasta una posición de equilibrio es
0
0
x2
1
w    Kxdx   K   Kx 2
2 x 2
x
w   AEp  ( EpCo)  Ep( x )  Ep( x )
Como x = Acos(wt+  )
1
Ep( x )  Kx 2
2
Ep 
1
KA2 cos 2 ( wt   )
2
La energía potencial de un oscilador armónico varia desde un
valor mínimo en la posición de equilibrio (Ep = 0) a un valor
1
máximo en los extremos Ep  KA2
2
Energía mecánica total; E  Ep  Ec 
E
1
1
KA2 cos 2 ( wt   )  KA2 sen 2 ( wt   )
2
2
1
1
KA2 (cos 2 ( wt   )  sen 2 ( wt   )  KA2
2
2
6
La energía mecánica de un oscilador
armónico permanece constante si no actúan
fuerzas disipativas y su valor es
directamente proporcional al cuadrado de
1
la amplitud E  KA2
2
Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
4. El péndulo simple
Péndulo simple es una masa puntual que pende de un hilo inextensible de masa despreciable.
Si el péndulo se suelta despues de haberlo separado de la posición de equilibrio comienza a
oscilar alrededor de dicha posición.
Sobre el péndulo actúan el P y la tensión. Podemos decir que el peso se descompone en una
componenete normal mg cos  , y una componente tangencial de
valor mg sen  . Este es positivo si estamos desplazado el cuerpo
hacia posiciones negativas y negativo cuando el pendulo se
desplaza hacia posiciones positivas.
Esta componente tangencial es la que actúa como fuerza restauradora. F  mgsen
Si no es demasiado grande (15º- 20º) sen  es aproximadamente  si lo expresamos en radianes.
Por tanto F  mgsen  mg
El arco de circunferencia es como una recta y por tanto
sen   
x
x
 F  mg
l
l
Como F  ma  ma  mg
Como a   w 2 x   w 2 x   g
x
 w2  g
l
l
x
x
 a  g
l
l
y como w 
2
4 2 g
 2  ; T  2
T
T
l
l
g
El periodo de un péndulo simple que oscila bajo pequeños ángulos de separación depende de la
longitud del péndulo, pero es independiente de la masa.
Un péndulo simple es un oscilador armónico solo si el ángulo es pequeño.
Sabiendo que el periodo de oscilación de un péndulo en la Tierra es de 1,5 s determina:
a) El periodo de oscilación de dicho péndulo en la luna, donde gL=g/6
b) Longitud del péndulo.
TT  2
l
gT
TL  2
l
 2
gL
T  2
l
6l
l
 2
 6 2
 6TT  6 ·1,5  3,67 s
gT
gT
gT
6
l
gT 2
l 
 0,558m
g
4 2
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Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
4.1 Estudio energético del péndulo.
h
Si tomamos como origen de Ep el punto de equilibrio, en el punto más
alto es el de desviación máxima donde v = 0 Ep = mgh.
1
En el punto bajo solo hay Ec  mv 2 . En cualquier otro punto será la
2
suma de Ep + Ec. Si igualamos por principio de conservación de la
1
energía mgh  mv 2 y V  2 gh
. Es la misma expresión que la
2
de caída libre de un cuerpo desde una altura h.
Si la amplitud es menor, el péndulo alcanza menos altura y también será menos su v máxima.
Aunque haya menor distancia recorrida el tiempo empleado es el mismo. El periodo del péndulo no
depende de la amplitud.
5. Oscilaciones forzadas y fenómenos de resonancia.
En los sistemas reales, la amplitud de los oscilaciones decrece, no dura indefinidamente.
Llamamos a estas oscilaciones amortiguadas.
Un movimiento oscilatorio es amortiguado si la energía mecánica de su movimiento
disminuye gradualmente. Las oscilaciones disminuyen su amplitud en el tiempo.
Esto es lo que le ocurre a un niño que no ha aprendido a columpiarse. Si dejamos de
empujarle acaba su juego, debido a la fricción con el aire.
Nota: Las fuerzas de amortiguamiento son proporcionales a
la velocidad del cuerpo y de sentido contrario. F = - bv
b : cte de amortiguamiento. Si b es cero no hay
amortiguamiento. A medida que b aumenta disminuye la
amplitud. Si b es muy grande ya que el cuerpo vuelve a su
posición de equilibrio y no oscila. La fuerza recuperadora se
iguala con la restauradora y el sistema se amortigua.
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Oscilador armónico
Física 2º Bachillerato
Podemos mantener la amplitud de las oscilaciones si un agente externo
proporciona la energía que se pierde por rozamiento. Por ejemplo en el niño en el columpio , para
conseguir que siga columpiándose y elevándose cada vez a mayor altura hay que empujarle
acompañando nuestro impulso a su movimiento. Decimos que las oscilaciones son forzadas.
Llamamos oscilaciones forzadas a las producidas en un sistema oscilante debido a la
energía suministrada desde el exterior.
Esta fuerzas pueden ser de la forma Fext = Fmax cosw’t. El papel de esta fuerza es aportar
mediante su trabajo la energía que disipa el sistema. En general la frecuencia angular w’ de esta
fuerza es distinta de la frecuencia del sistema w = √ k/m
Cuando estas frecuencias coinciden el sistema comienza a oscilar y la amplitud aumenta
drásticamente. Esto se conoce como resonancia.
El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa
coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema , con un aumento de la amplitud.
Ejemplos de esto son un muelle que haces oscilar moviendo la mano de arriba hacia abajo y
consigues que oscile con gran amplitud, o el hecho de empujar el columpio que consigues que se
mueva con gran amplitud
Ojo: La resonancia no se produce porque la fuerza externa sea muy grande sino porque coinciden
las frecuencias.
Ejemplos: En 1850 un batallón de soldados franceses atravesaba un puente en formación y
marcando el paso y el puente se hundió. Esto fue debido a que el paso rítmico de la marcha militar
coincidió con la frecuencia de oscilación del puente de modo que el aumento de la amplitud
provocó que se rompiera. Desde entonces los soldados rompen la formación al cruzar un puente.
En 1940 se inauguró en Tacoma, estado de Washington, en el Pacífico un puente de nuevo diseño.
En un día de viento suave sufrió una serie de oscilaciones y torsiones y se cayó. Eso fue debido a
que la frecuencia del viento coincidió con la de oscilación del puente, aumentó la amplitud y se
cayó.
También son fenómenos resonantes los sonidos de la guitarra o la sintonización de emisoras de
radio o TV.
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