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Triángulo wikipedia, lookup

Ángulo inscrito wikipedia, lookup

Pentágono wikipedia, lookup

Deltoide wikipedia, lookup

Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo wikipedia, lookup

Transcript
ALGUNAS PROPIEDAES DE LAS CIRCUNFERENCIAS
1. Toda recta tangente a una circunferencia es
perpendicular al radio en el punto de tangencia.
r  OB; OB  AC
Demostración: Tarea
2. Si de un punto P exterior a una circunferencia se
dibujan dos segmentos tangentes AP y BP .
Demostración:
Por el teorema del cateto y la hipotenusa, AOP  BOP
Luego por correspondencia de lados resulta que
AP  BP .
3. Todo diámetro perpendicular a una cuerda es simetral
a esta y bisectriz del ángulo del centro comprendido
entre los extremos de la cuerda.
Demostración:

 EO  EO
AEO 
 BEO 

OA  OB
luego
AEO  BEO
AE  BE
AOE  BOE
AOC  BOC
lado común, ambos son
radios
cateto e hipotenusa
lados correspondientes
ángulos correspondientes
Queda esto demostrado.
3. En toda circunferencia, a los ánulos del centro
congruentes, le corresponden cuerdas y arcos
congruentes.
Recíprocamente ocurre que:
En toda circunferencia, a arcos congruentes les
corresponden cuerdas y ángulos del centro
congruentes.
En toda circunferencia, a cuerdas congruentes le
corresponden arcos y ángulos del centro
congruentes.
Demostración:
OA  OC

AOB  COD  AOB  COD

 OB  OD
Luego
AOB  COD
AB  CD
Si
ambos son radios
por teorema ALA
lados correspondientes
AOB  COD , entonces
AC  CD
4. En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del
Centro.
AB  CD entonces
OE  OF
Recíprocamente, también es válido decir que las cuerdas
equidistantes del centro de una circunferencia son
congruentes.
Demostración:
Tarea
5. Los arcos comprendidos entre rectas o cuerdas paralelas,
son congruentes.
Si AB // CD entonces AC  BD
Demostración:
Trazar el diámetro EF  AB , luego EF  CD
AOE  BOE, entonces CE  BE
COE 
DOE , entonces CE  DE
CA  AE  DB  BE
entonces
CA  DB
construcción
simetral
simetral
cancelando
ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. Angulo del centro:
Su vértice se encuentra en el centro de la circunferencia y
sus lados son radios o rayos.
2. Angulo inscrito:
Corresponde al ángulo que tiene su vértice en la
circunferencia y sus lados son cuerdas.
Grafique aquí un ejemplo de cada caso
Propiedad del ángulo inscrito
La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que
subtiende.
Demostración: Tarea
Ejemplo:
encuentre 
Consecuencias de la propiedad del ángulo inscrito
1. Los ángulos inscritos que subtienden el mismo arc, son
congruente.
2. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
Ejemplo:
Encuentre el valor de x
Ejemplo:
Encuentre el valor de x
Angulo semi-inscrito
Es el ángulo que tiene su vértice en la circunsferencia, uno de
sus lados es un segmento o rayo tangente y el otro lado es una
cuerda o rayo secante
Propiedad:
La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad
del arco comprendido entre los lados del ángulo.
BAC 
BA
2
Angulo interior
Corresponde al ángulo que tiene su vértice en el interior de la
circunferencia y sus lados se encuentran contenidos en las
cuerdas que se intersectan en dicho vértice.
Propiedad:
La medida de un ángulo interior es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
comprendidos entre los lados del ángulo y sus
prolongaciones.
ABC 
AC  DE
2
Angulo exterior
Es el ángulo que tiene su vértice en el exterior de la
circunferencia y sus lados son trazos secantes.
Propiedad:
La medida de un ángulo exterior es igual a la
semidiferencia de las medidas de los arcos
comprendidos entre sus lados.
ACE 
AE  BD
2
Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
Corresponde a un cuadrilátero que tiene sus vértices en la
circunferencia.
Propiedad:
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia,
los ángulos opuestos son suplementarios.
El teorema del recíproco también es válido
Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia cuando
cada uno de sus lados es tangente a la circunferencia
Propiedad:
En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, la suma de las medidas de los lados
opuestos es igual a la suma de las medidas de dos
lados opuestos es igual a la suma de las medidas de
los otros dos lados.