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1er cuatrimestre (2009)
Álgebra 1
Trabajo Práctico Nº 3 : “Inducción Completa”
1) Probar por inducción que la suma de los cubos de los n primeros números naturales es
n 2 n  1
.
4
2
2) La Suma Geométrica: Sean a  R y r  1 Probar que para todo número natural n , vale:
a  ar  ar  ar  ...  ar
2
3
n 1


a 1 rn
.

1 r
3) Demostrar que si n es un entero positivo, son válidas las siguientes igualdades:


a) 13  33  53  ...  2n  13  n 2 2n 2  1
n n  1
2
2
2
2
2
b) 1  2  3  4  ...   1
n 2   1
c) 1.2  2.3  3.4  ...  nn  1 
nn  1n  2
3
n 1
n 1
7 n1  7
d)  7 
6
i 1
n
i
n
e)
1
n
 j ( j  1)  n  1
j 1
n
f)
k
2
k 1
n
g)
 2i
i 1
i

nn  12n  1
6
 2
n2
2n
Definición: Sean m y n números enteros. Si existe un entero k tal que
n  m.k ,
se dice que n es múltiplo de m , o bien que m divide a n y se simboliza: m n .
Por ejemplo: 3 6 , pues 3.2  6
k  2 es entero .
4) Probar, usando el principio de inducción, las siguientes relaciones:
a) 3 10 n1  10 n  1
b) 2 n 2  n
c) 4 5 n  1
5) Demostrar que 9 divide a toda suma de tres números naturales consecutivos.
1
1er cuatrimestre (2009)
Álgebra 1
6) Un número natural n es par si es de la forma n  2m , donde m es también natural y n es
impar si es de la forma n  2m  1 , con m natural o cero. Probar por inducción que todo
número natural es par o es impar.
7) Dada la proposición:
“Al sumarle a un número natural el triple de su cuadrado y el doble de su cubo,
siempre se obtiene un múltiplo de 6.”
a) Escribirla simbólicamente.
b) Demostrarla.
8) a) Probar que si n es un entero mayor o igual que 2 y si z1 , z 2 ,...,z n son complejos,
entonces vale la igualdad:
z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn .
b) ¿Qué se deduce en caso de que los complejos z1 , z 2 ,...,z n sean iguales?
9) Demostrar el teorema de De Moivre para potencias naturales de un complejo no nulo.
10) (Para Matemáticos) Determinar, analizando ejemplos, a qué es igual:
a) La suma de los n primeros múltiplos naturales de 3. (Ayuda: Ver ejemplos en teoría)
b) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados.
En cada caso, demostrar por inducción la validez de su conjetura.
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