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Problema de los dos cuerpos wikipedia, lookup

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Movimiento (física) wikipedia, lookup

Fuerza centrípeta wikipedia, lookup

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Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
TEMA 1
Cinemática,
Dinámica y Energía
1. Magnitudes vectoriales
1.1. Operaciones con magnitudes vectoriales
2. Cinemática del punto material
2.1. Cinemática de los diferentes movimientos.
2.2. Composición de movimientos
3. Causas del movimiento. DINÁMICA
3.1. Leyes de Newton
3.2. Teorema de conservación de la cantidad de movimiento
3.3. Aplicaciones de las leyes de Newton.
4. Trabajo y Energía
4.1. Definición de trabajo
4.2. Definición de energía.
4.3. Conservación de la Ec. Teorema de las fuerzas vivas.
4.4. Teorema de conservación de la Energía mecánica.
1
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
1. MAGNITUDES VECTORIALES.
Como hemos visto en cursos anteriores, la ciencia se construye sobre una serie de
magnitudes que identifican y cuyas relaciones definen un fenómeno objeto de estudio
Escalares
Las magnitudes pueden ser de dos tipos
Vectoriales
 Una magnitud escalar es aquella que queda perfectamente definida dando un
valor, que indica la intensidad con que se manifiesta la magnitud y una unidad.
 Una magnitud vectorial no queda definida perfectamente dando un número.
Viene representada mediante un vector.
Un vector es un segmento orientado caracterizado por:
-
Módulo: Representado por la longitud del segmento. Depende del valor numérico
de la magnitud: de su intensidad.
Dirección: Recta sobre la que se apoya el segmento.
Sentido: Hacia donde apunta la flecha.
Punto de Aplicación: Origen del vector.
Para expresar matemáticamente un vector,
REFERENCIA. (S.R.)
necesitamos
un
SISTEMA DE
Tomaremos como S.R. una terna de ejes coordenados ortogonales (x,y,z,) y los versores
(iˆ, ˆj , kˆ) .
A  Axiˆ  Ayjˆ  Azkˆ
-
Módulo = A  A  Ax 2  Ay 2  Az 2
-
A
Dirección: La marcada por el versor director Aˆ 
A
-
Sentido: El marcado por el versor director Â
2
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
-
Cosenos directores:
cos   Ax
cos   Ay
cos   Az
1.1.
A
A
A
Operaciones con vectores
Sean los dos vectores A y B que se describen
analíticamente a continuación:
A  Axiˆ  Ayjˆ  Azkˆ
B  Bxiˆ  Byjˆ  Bzkˆ
Podremos realizar las siguientes operaciones:
a) Suma y diferencia: A  B   Ax  Bx  iˆ   Ay  By  ˆj   Az  Bz  kˆ
b) Producto escalar de dos vectores:
Es un escalar que representa la proyección de un vector
sobre el otro.
A·B  A · B cos 
Siendo α el ángulo que forman
Utilizando las componentes de los vectores:
A·B  Ax·Bx  Ay·By  Az·Bz
El producto escalar es la proyección de un vector sobre otro.
c) Producto vectorial de dos vectores: Es otro vector C con:
 Módulo: C  A·B·sen ; siendo α el ángulo que forman

Dirección: perpendicular a los dos vectores A y B
3
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA


C  AxB 
Sentido: El de la regla del tornillo al hacer girar el primero
sobre el segundo por el camino más corto.
Utilizando las componentes de los vectores, el vector
producto vectorial, en
componentes será:
iˆ ĵ k̂
Ax Ay Az
Bx By Bz
d) Derivada temporal de un vector: Si tenemos un vector que varía con el
tiempo, o sea, sus componentes varían con t; son funciones de t.
P  t   P  t  iˆ  P  t  ˆj  P  t  kˆ
x
y
z
dP ˆ d
d
d
 i Px (t )  ˆj Py (t )  kˆ Pz (t )
dt
dt
dt
dt
e) Cuando un vector, sus componentes, cumplen las condiciones de integrabilidad
podemos calcular:
·) Su circulación a lo largo de una curva entre dos puntos A y B.
F  x, y, z   Fx  x, y, z  iˆ  Fy  x, y, z  ˆj  Fz  x, y, z  kˆ
B
C    F ·dr
A
Ejemplo: Trabajo realizado por una fuerza.
C: Curva de integración
dr : Camino infinitesimal que nos marca como ir de A a B por C.
··) Flujo de un vector a través de una superficie S
La superficie en matemáticas se puede representar como un vector s con:
 Módulo: s = Área.
 Dirección: Perpendicular a la superficie.
 Sentido: Hacia fuera.
   F ·ds
representa todo
ds = vector infinitesimal cuya suma
s.
4
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
Ejercicios:
1. Dados los vectores
A  3iˆ  2 ˆj  3kˆ ,
B  2iˆ  6 ˆj  kˆ ,
C  8iˆ  ˆj  3kˆ ;
Hallar:
a) A, B, C.
b) A  B  C
2. Una magnitud viene representada por un vector en un espacio bidimensional
A  3iˆ  5 ˆj.
Calcular:
) Módulo del vector.
b) Cosenos directores.
c) Versor que marca la dirección y el sentido de A .
3. Una magnitud viene representada por un vector bidimensional A . Sabiendo que su
módulo es 15 y que forma un ángulo de 30º con el eje OX. Calcula:
a) Componentes del vector.
b) Vector unitario A .
2. CINEMATICA DEL PUNTO MATERIAL.
Para estudiar el movimiento de un punto material en el espacio vamos a necesitar un
S.R. y una serie de magnitudes.

Vector de posición:
r  t   x  t  iˆ  y  t  ˆj  z  t  kˆ
Es el vector que va desde 0 hasta el
punto del espacio donde se
encuentra el móvil. Si r  t  varía
con el tiempo, el objeto se mueve.


Trayectoria: Curva descrita por el punto en su movimiento.
Desplazamiento: Si el móvil va desde A hasta B, es un vector.
r  r2  r1
(SI) m
El espacio recorrido no es r solo coincide si la trayectoria es rectilínea.
 Ecuación de movimiento: Es la ecuación que describe la posición del móvil a lo
largo del tiempo.
5
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
r  t   x  t  iˆ  y  t  ˆj  z  t  kˆ
 Velocidad media e instantánea:
r
vm 
t
d
d
d
d
v  r  iˆ x  t   ˆj y  t   kˆ z  t 
dt
dt
dt
dt
 Aceleración media e instantánea:
v
am 
t
d
d  d  d2
d
a  v   r   2 r  iˆ vx 
dt
dt  dt  dt
dt
S.I. (m)
m 
 s
ˆj d v y  kˆ d vz
dt
dt
2.1. Cinemática de los diferentes movimientos
a) M.R.U.
v  cte (Es constante en dirección y módulo por lo que su trayectoria línea recta)
a 0
Si conocemos el vector aceleración y las condiciones iniciales del movimiento,
podemos determinar la velocidad; y una vez conocida ésta, hallar el vector de posición.
a
d
v
dt
dv  adt

v
v
dr
dt
dr  vdt

r
Si v  cte
v0
r0
t
t
dv   adt
v  v0   adt
t0
t0
t
t
dr   vdt
r  r0  v t  t0 
r  r0   vdt
t0
t0
ó
r  r0  vt
El movimiento se da en una sola dirección podemos pasar del estudio vectorial.
s  s0  vt
Espacio recorrido.
Gráficas
6
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
b) M.R.U.A.
t
v  v0   adt
a  cte
t0
v  v0  a  t  t0 
r  r0   vdt  r0    v0  a  t  t0  dt
t
t
t0
t0
r  r0  v0  t  t0 
 t  t0 
a
2
2
Como el movimiento se da en línea recta podemos pasamos del carácter vectorial.
1
2
s  s0  v0  t  t0   a  t  t0 
2
v  v0  a  t  t0 
Suponiendo s0  0
Posición inicial cero; eliminando t  t0 .
v 2  v02  2as
Gráficas
Ejercicios:
4. La ecuación de la trayectoria de un móvil es
y  3t 2  5
x  6t  5
Calcular
a) r
b) v y a
c) r , v y a en t  0 y t  1s .
5. La velocidad de un móvil aumenta uniformemente desde 20m/s hasta 108 m/s en 5s.
¿Qué espacio recorrió el móvil en ese tiempo?
6. Un móvil circula a 90km/h y consigue parar tras recorrer 312,5m. Calcula la
aceleración media y el tiempo en parar.
7. Desde lo alto de una torre de 100m se lanza hacia abajo un cuerpo con una
velocidad inicial de 20 m/s. Calcular:
a) v en t  2s
b) t al llegar al suelo y v en ese momento.
8. Lanzamos un objeto hacia arriba con 40 m/s. Calcular la altura máxima alcanzada y
el tiempo que tarda.
7
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
c) M.C.U.
La trayectoria será una circunferencia y utilizaremos magnitudes angulares.
En este movimiento la velocidad angular   cte
En este movimiento, al ir variando continuamente la dirección
de la velocidad, ES UN MOVIMIENTO ACELERADO.
Si recordamos, la aceleración a tiene dos componentes que
llamábamos intrínsecas:
Aceleración tangencial: Expresa la variación del módulo de
la velocidad.
dv
atg 
dt
Aceleración normal: Expresa la variación de la
dirección de la velocidad.
v2
an 
R
atg  at uˆt
an  anuˆn
an  at  an
a 2  at2  an2
Ejercicios:
9. Un automóvil toma una curva de 142m de radio con una velocidad cuyo módulo
aumenta según la ecuación v  t   2,5t  5 en unidades del S.I. Calcula la an y at en
t  3s .
10. Dado el vector v  t   3tiˆ  tjˆ en unidades S.I. Calcula:
a) a  t  y a t  2s 
b) Componentes intrínsecas de la aceleración.
8
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
MAGNITUDES ANGULARES Y UNIDADES

   rad
Ángulo que forma r  t  con el eje OX

t
d
   t 
dt

m =
t
d
 
dt
m 
m   rad s
Velocidad angular media
Velocidad angular instantánea
 m   rad s 2
Aceleración angular media
Aceleración angular instantánea
RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES
s   ·R
v  ·R
at   ·R
an   2 ·R
 0
at  0

En un M.C.U.
an   2 ·R
v
  cte
2
R
  0    t  t0 

at  cte
at   ·R
an   2 ·R
   t 
En un M.C.U.A.
  cte
  cte
  0    t  t0 
1
2
   0  0  t  t 0     t  t 0 
2
Ejercicios
11. Un disco de 10cm gira con una velocidad de 45rpm. Calcula:
a) Su ω en rad .
s
b) Velocidad lineal en los puntos de la periferia.
c) Ángulo descrito en 15 minutos y el nº de vueltas que da en ese tiempo.
d) Componentes intrínsecas de la aceleración.
9
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
12. Las ruedas de una bicicleta, de 50cm de radio, giran a partir del reposo durante 40s
con una aceleración angular de 2 rad 2 . A continuación mantiene la velocidad
s
adquirida durante 1 minuto. Calcula:
a) ω final de las ruedas y v final.
b) Nº de vueltas que da la rueda.
c) Distancia recorrida por la bicicleta.
13. Una rueda de radio 0,4m parte del reposo y al cabo de 4 segundos adquiere
  360rpm . Calcular:
a) ω en rad .
s
b) velocidad lineal.
c) Aceleración normal y tangencial.
2.2. Composición de movimientos.
Los movimientos en dos dimensiones son la combinación de dos movimientos simples,
cada uno en una dimensión.
Para estudiar estos movimientos compuestos debemos:
- Distinguir claramente la naturaleza de cada uno de los movimientos x(t) e y(t)
componentes.
- Aplicar a cada movimiento componente sus propias ecuaciones.
- Hallar las ecuaciones del movimiento compuesto sabiendo que:
 El vector de posición del móvil se obtiene sumando vectorialmente los
vectores de posición de los movimientos componentes:
r  xi  yj y su módulo es r  x2  y 2 .
 La velocidad se obtiene sumando vectorialmente los vectores velocidad
de los movimientos componentes:
v  vx i  v y j . Su módulo es v  vx2  v y2 .
 El tiempo empleado en el movimiento compuesto es igual al tiempo
empleado en cualquiera de los movimientos componentes.
 Composición de dos MRU perpendiculares
Es la composición de un MRU sobre el eje X y otro MRU sobre el eje Y.
Eje X: MRU
x  x0  vx  t  t0 
Eje Y: MRU
y  y0  vy t  t0 
Ejemplo: Movimiento de una barca sometida a la
corriente de un río.

10
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
 Movimiento parabólico
Es la composición de un MRU sobre el eje X y un MRUA con la aceleración de la
gravedad, a   g , sobre el eje Y.
Eje X: MRU
x  x0  vx  t  t0 
vx  v0 x  Constante
Eje Y: MRUA
1
2
y  y0  v y  t  t0   g  t  t0 
2
vy  v0 y  g t  t0 
Donde
v0 x  v0 cos 
v0 y  v0 sen
Ejemplo: Un objeto lanzado desde lo alto de un edificio con una inclinación sobre la
horizontal.
Ejercicios
14. Una barca cruza un río de 30m de anchura. Si la velocidad de la corriente es de 4
m/s y la barca desarrolla una velocidad de 2 m/s perpendicular a la corriente, calcula:
a) El tiempo que tarda la barca en cruzar el río.
b) La distancia que recorre.
c) La ecuación de su trayectoria.
15. Se lanza un balón desde un montículo de 50m de altura, con una velocidad de
100 m/s que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcula:
a) la altura máxima
b) El tiempo de movimiento y el alcance.
16. Se lanza un proyectil desde la cima de una montaña de 200m de altura, con una
velocidad de 50 m/s y un ángulo de inclinación de 45º. Calcula:
a) La altura máxima que alcanza.
b) La velocidad en el punto más alto.
c) El alcance.
17. Se dispara un proyectil formando un ángulo de 53º por encima de la horizontal
alcanzando un edificio alejado 43,2m en un punto que se encuentra 13,5m por encima
del punto de lanzamiento. Calcular:
a) Velocidad de disparo.
b) Tiempo de vuelo.
c) Velocidad cuando choca con el edificio.
11
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
3. CAUSAS DEL MOVIMIENTO. DINÁMICA.
Un objeto en reposo puede ponerse en movimiento cuando lo empujamos con una fuerza. De la
misma manera, éste puede detenerse cuando le aplicamos una fuerza. También podemos
cambiar la dirección del movimiento de un objeto.
Todos los cambios en el movimiento se deben a la acción de una o varias fuerzas
3.1. Leyes de Newton
Primera ley o ley de la inercia
Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme si no
actúa ninguna fuerza sobre él, o si la resultante de las fuerzas que actúan es nula.
-
-
NOTAS IMPORTANTES.
Sobre un cuerpo siempre actúa alguna fuerza (su peso, el rozamiento…) No
obstante, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, la
situación equivale a que no actúe ninguna fuerza sobre él.
Para que un cuerpo se mantenga en MRU debe actuar sobre él una fuerza que se
oponga a la de rozamiento y la neutralice.
Ejemplo:
17. Calcula la fuerza que debe comunicarse a un cuerpo de 300kg de masa para que se
deslice por el suelo con velocidad constante si el coeficiente de rozamiento cinético es
de 0,3.
Segunda ley o ley fundamental de la dinámica
Si sobre un cuerpo actúa una fuerza resultante,  F , éste adquiere una aceleración, a
que es directamente proporcional a la fuerza:
F  m·a
m es la masa inercial del cuerpo.
-
NOTAS:
Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es 0, su aceleración también será 0 y éste
permanecerá en reposo o en MRU como afirma la primera ley.
Si la fuerza resultante es diferente de 0, la aceleración tiene la misma dirección y
sentido que la fuerza resultante.
Ejemplo:
18. Calcula la aceleración de un paquete de 2kg que asciende verticalmente atado a
una cuerda cuya tensión es de 30N.
Tercera ley o principio de acción y reacción
Si un cuerpo ejerce una fuerza F12 sobre otro cuerpo, éste a su vez ejerce sobre el
primero una fuerza F21 con el mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario:
F12   F21
12
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
-
NOTAS:
Las dos fuerzas F12 y F21 , llamadas de acción y reacción, son simultáneas.
Aunque ambas fuerzas son opuestas, no se anulan mutuamente, debido a que se
ejercen sobre cuerpos distintos.
3.2. Teorema de conservación de la cantidad de movimiento
La cantidad de movimiento representa una medida de la dificultad de detener un
cuerpo en movimiento. Así, la dificultad de detener un camión es mayor cuanto mayor
es su masa y su velocidad.
El momento lineal o cantidad de movimiento p , de un cuerpo es el producto de su
masa por su velocidad.
p  mv
Es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección y sentido que la velocidad.
Esta expresión es válida para un cuerpo simple o partícula. Para sistemas con más de
una partícula, la cantidad de movimiento total del sistema es el vector suma de las
cantidades de movimiento de las partículas individuales.
pT  p1  p2  p3
A partir de la segunda ley de Newton podemos relacionar la cantidad de movimiento de
un cuerpo con la fuerza resultante que actúa sobre él.
dv d  mv 
F  ma  m

dt
dt
dp
F
dt
La fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual a la derivada de su cantidad de
movimiento respecto al tiempo. Esta expresión de la segunda ley de Newton es más
general que la vista anteriormente.
Si en lugar de un solo cuerpo consideramos dos cuerpos que pueden interactuar entre sí,
pero que están aislados de sus alrededores (es decir, cada cuerpo puede ejercer una
fuerza sobre el otro, pero no hay fuerzas exteriores), las fuerzas que se ejercen entre sí
son de acción y reacción.
F12 y , F21 ,
y se cumple:
13
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
dp1
dt
dp
F12  m2 a2  2
dt
F21  m1a1 
Como F12 + F21 = 0:
d  p1  p2 
dp1 dp2

 0;
0
dt
dt
dt
En consecuencia, la cantidad de movimiento total del sistema permanece constante:
p1  p2  pT  cte
m1v1  m2v2  cte
Esta expresión constituye el:
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
Si la resultante de las fuerzas exteriores sobre un sistema es nula, la cantidad de
movimiento de éste permanece constante.
Si  F  0  pT  cte
Ejemplo:
19. Una roca, inicialmente en reposo, tras ser dinamitada explota dividiéndose en tres
trozos iguales. Dos de ellos salen con velocidades de 80 m/s y 60 m/s hacia el Norte y el
Este, respectivamente. Calcula la velocidad y la dirección del tercer fragmento.
20. Dos bolas de 2 kg y 5 kg se mueven en la misma dirección y sentidos contrarios
con velocidades respectivas de 3 m/s y 4 m/s, chocan y quedan unidas. Calcula la
velocidad del sistema después del choque.
21. Calcula con qué fuerza tenemos que empujar una mesa de 20kg para que se
desplace a velocidad constante si el coeficiente de rozamiento cinético con el suelo es
de 0,1.
22. Un fusil de 5kg dispara un proyectil con v de salida = 200m/s. La masa del
proyectil es de 0,01kg. ¿Con qué velocidad retrocede el arma?
23. Dos cuerpos A de 4kg y B de 2kg se encuentran juntos y apoyados sobre una
superficie horizontal. Se ejerce una fuerza de 12N en dirección horizontal sobre A, y
éste empuja a B. Calcula:
a) Aceleración del sistema.
b) Fuerza que soporta cada bloque.
3.3. Aplicaciones de las leyes de Newton
Las leyes de Newton son muy útiles para resolver los problemas de dinámica.
Recordemos que para aplicar las leyes de Newton:
1. Dibujamos un esquema con todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo del
problema.
2. Elegimos un sistema de coordenadas conveniente para cada cuerpo y determinamos
las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes.
3. Aplicamos la segunda ley de Newton en forma de componentes.
14
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
4. Resolvemos las ecuaciones o los sistemas de ecuaciones resultantes.
5. Comprobamos el resultado.
A) Dinámica del movimiento rectilíneo.
En este tipo de problemas debemos tomar el eje OX en la dirección del movimiento. De
esta manera los vectores a , v y r tienen una sola componente y pueden expresarse en
forma escalar.
A continuación estudiaremos el movimiento sobre un plano de un cuerpo sometido a
fuerzas constantes.
A.1. Movimiento en un plano horizontal
24. Un bloque de 3,5kg de masa es arrastrado por el suelo a velocidad constante
mediante una cuerda horizontal cuya tensión es de 6 N.
a) Dibuja un esquema de las fuerzas que actúan sobre el bloque.
b) Calcula la fuerza de rozamiento y el coeficiente cinético de rozamiento.
c) La cuerda se inclina hacia arriba hasta formar un ángulo de 45º con la horizontal.
d) Explica cómo se moverá el bloque y calcule su aceleración.
A.2. Movimiento en un plano inclinado
25. Una caja baja a velocidad constante por una superficie inclinada 14° respecto a la
horizontal. Calcula el coeficiente de rozamiento cinético.
A.3. Movimiento de cuerpos enlazados
Cuando dos cuerpos se mueven conjuntamente al estar unidos por una cuerda. Lo
primero que debemos suponer es que el sistema se mueve en un sentido (hacia la
izquierda o la derecha) y elegir consecuentemente el sistema de coordenadas. Si el
módulo de la aceleración resultara negativo, significaría que el sentido escogido no es el
correcto y deberíamos rehacer el problema escogiendo el sentido opuesto. Si en este
caso el resultado también fuera negativo, significaría que el cuerpo se mantiene en
reposo.
Representamos todas las fuerzas que actúan sobre ambos cuerpos y calculamos su
aceleración:
26. Dos masas se encuentran unidas por una cuerda inextensible y sin masa a través de
una polea. La primera se encuentra sobre un plano inclinado 45º con la horizontal y la
segunda cuelga verticalmente por la otra parte. Calcula la aceleración del sistema y la
tensión de la cuerda si:
m1 = 10kg, m2 = 3kg, α = 45° y c = 0,2.
B) Dinámica del movimiento circular
Para describir este tipo de movimiento precisamos las
componentes intrínsecas de la aceleración y las magnitudes
angulares.
B.1. Movimiento circular uniforme
Este movimiento tiene las siguientes características:
15
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA

El módulo de la velocidad es constante, por lo que no existe aceleración

tangencial: at .
La dirección de la velocidad varía constantemente, por lo que existe aceleración
normal o centrípeta, an .
En consecuencia, debe existir una fuerza resultante que produzca tal aceleración.
Esta fuerza tiene la dirección normal a la trayectoria y se llama fuerza centrípeta.
Fc  man ; Fc  m
v2
 Fc  m 2 R
R
27. Un coche de 1500 kg arranca con una at  2m / s 2 por una pista de 200 m de radio.
a) Calcular v a los 5s.
b) a en ese instante
c) F que actúa sobre el coche en ese instante.
28. Una bola de 150g, atada al extremo de una cuerda de 40cm de longitud, gira
apoyándose sobre una mesa horizontal sin rozamiento a razón de 15 vueltas por minuto.
Calcule:
a) La velocidad angular en rad/s.
b) La tensión de la cuerda.
29. Una bola gira en el aire con MCU a razón de una vuelta por segundo. Si la longitud
de la cuerda es de 0,3m y la masa de la bola es de 100g, calcule:
a) La tensión de la cuerda.
b) El ángulo que forma con la vertical.
30. Una piedra de 100g de masa gira en un plano vertical atada al extremo de una
cuerda de 50cm de longitud. Calcula la velocidad mínima que debe tener la piedra para
llegar al punto superior de su trayectoria con la cuerda tensa.
Datos: m = 0,lkg
R = 0,5m
31. Una piedra de 100g de masa gira en un plano vertical atada al extremo de un hilo de
50 cm de longitud. Se aumenta la velocidad de la piedra hasta que el hilo se rompe por
no poder aguantar la tensión. Si el límite de resistencia del hilo es de 7,5 N, calcula la
velocidad con que saldrá disparada la piedra y di qué tipo de trayectoria seguirá.
32. Un ascensor de 500kg está sujeto por un cable de acero. Indicar la tensión que
soporta:
a) Cuando arranca para subir con a  0,5m / s 2 .
b) Sube con v  2m / s .
c) Arranca con a  0, 2m / s 2 para bajar.
33. Un cuerpo desliza sin rozamiento por un plano inclinado de 20 m de longitud y 30º
de inclinación.
a) ¿Llega al suelo con la misma velocidad que otro que cayera libremente desde 10 m
de altura?
b) ¿Y si el coeficiente de rozamiento contra el plano fuera de 0.2?
c) En los apartados anteriores, ¿Cuál llegará primero al suelo?
16
Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
4. TRABAJO Y ENERGÍA.
4.1. Definición de trabajo
Supongamos un objeto que se traslada desde una posición 1 hasta otra posición 2 a lo
largo de una trayectoria L y bajo la acción de una o varias fuerzas.
Definimos el trabajo (W) realizado por una de las fuerzas que actúan sobre el objeto
durante el desplazamiento anterior como:
2
W   F ·dr
1
Las unidades en el sistema internacional son los N·m ó julios
W   J
Si F  cte durante todo el desplazamiento  W  F ·d siendo d el desplazamiento.
34. Se arrastra 10 m por el suelo un cajón de 50kg con v = cte. Calcula:
a) Trabajo realizado por la fuerza peso en el desplazamiento.
b) Trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas si no existe rozamiento.
c) Trabajo realizado por la fuerza impulsora si  = 0,4.
d) Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
35. Un coche marcha por una carretera horizontal a 36 km/h. y se deja en punto
muerto. ¿Qué trabajo realizará la Fr hasta que se detiene?
 = 0,5.
m = 600kg
4.2. Definición de energía
Definimos la energía como la capacidad que tiene un sistema para realizar un trabajo.
La energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma.
Dependiendo de cómo se manifieste, hablaremos de:
1
 Energía cinética, que está ligada al movimiento Ec  m·v 2
2
 Energía potencial, ligada a la posición de un objeto dentro de un campo de
fuerzas conservativas. Existe una energía potencial asociada a cada una de las
fuerzas conservativas.
 Energía mecánica , que es la suma de las cinética y potencial
Em= Ec + Ep
1
Ec  mv 2
2
Ep  Epgravitatoria  Epelástica  Epeléctrica
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Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
4.3. Conservación de la Ec. Teorema de las Fuerzas Vivas
El trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto, es
igual a la variación de su Energía Cinética.
Ec  W
Ec  Ec2  Ec1
2
W   F ·d r  Ec2  Ec1
1
Ejemplo
Un proyectil de 0,2kg, lanzado con una v = 200m/s, atraviesa una pared de 0,5m de
grosor y sale de ella con v = 50m/s. ¿Qué fuerza de resistencia opuso la pared?
4.4. Definición de Energía potencial.
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza para trasladar un objeto desde
un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido; solo depende de los
puntos inicial y final.
En este caso, el trabajo puede calcularse como la variación de cierta magnitud,
denominada ENERGÍA POTENCIAL, entre los puntos inicial y final.
WABI  WABII  WABIII
WAB  E p  ( E pB  E pA )
WAB  E pA  E pB
 La definición de la energía potencial depende de la fuerza asociada (gravitatoria,
eléctrica, elástica…) y del origen elegido para ella.
 Solamente tiene sentido físico las variaciones de la energía potencial entre dos
puntos. Su interpretación es el trabajo.
También podemos definir las fuerzas conservativas como aquellas fuerzas que realizan
un trabajo nulo sobre una trayectoria cerrada.
Demostrémoslo:
W
 F ·dr  
L
B
AI
A
F ·dr   F ·dr
BII
W  WABI  WBAII  WABI  WABII 
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Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
como F es conservativa WABI  WABII  W  0
 F ·d r  W
ABI
 WABII  0
4.5. Teorema de conservación de la Energía Mecánica
Este teorema nos dice:
SI SOBRE UN OBJETO SOLAMENTE ACTUAN FUERZAS CONSERVATIVAS,
LA ENERGIA MECANICA del objeto SE CONSERVA.
Eminicial  Em final  Em  cte
Demostración:
Supongamos un objeto que se desplaza entre dos puntos: A (inicial) y B (final) bajo la
acción de fuerzas conservativas. Si quisiéramos calcular el trabajo entre A y B a lo largo
de cualquier trayectoria, podríamos hacer lo siguiente:
1º Definir una Energía potencial asociada a cada una de las fuerzas
conservativas.
F1  E p1
F2
WAB F1  EP1
 E p2
WAB F2  EP2
etc.
···········
2º Utilizando que todas las fuerzas son conservativas, el trabajo realizado por
la resultante de todas ellas:
WT  WF1  WF2  .....  EP1  EP2  ....  ( EPB 1  EPA1 )  ( EPB 2  EPA 2 )  ..... 
WT  ( EPA1  EPA 2  ...)  ( EPB 1  EPB 2  ....)  EPTOTAL A  EPTOTAL B
WT  EPTOTAL
3º Utilizando el teorema de conservación de la energía cinética:
WT  Ec
4º Igualando ambas expresiones:
EPTOTAL  EC  EPA  EPB  ECB  ECA
 EPA  ECA  EPB  ECB
EmA  EmB
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Tema1. CINEMÁTICA, Dinámica Y ENERGÍA
Este teorema NO ES VALIDO si actúan fuerzas conservativas y no conservativas:
Demostrémoslo:
B
B
A
A
WAB   FT ·dr  
F
C

B
B
A
A
 FNC ·dr   FC ·dr   FNC ·dr  WC AB  WNC AB
WAB  WCAB  WNCAB
WCAB  E p
WAB  EC
WAB  WCAB  WNCAB  Ec  E p  WNC
Ecf  Eci  E pi  E pf  WNC reagrupando  Ecf  E pf    Eci  E pi   WNC
Emf  Emi  WNC
Em  WNC AB
Si al trasladar un objeto desde una posición inicial A hasta otra final B, actúan tanto
fuerzas conservativas como no conservativas, la pérdida o ganancia (variación) de Em
es debida al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.
Ejercicios:
36. Un bloque de hierro de 4kg cae desde una altura y llega al suelo con 50m/s.
a) ¿Desde qué altura cayó? ¿Qué energía cinética posee el cuerpo en el momento del
impacto?
b) Si al llegar al suelo penetra en él una distancia de 20cm. ¿Qué resistencia ofreció el
suelo a la penetración del bloque?
37. Un bloque de masa 50g se sitúa a 1m de altura sobre el extremo superior de un
muelle colocado verticalmente. Si k del muelle es 25 N/m, y el cuerpo cae libremente
sobre él, ¿qué distancia se comprime?
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