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Transcript
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Radicales
Dra. Karen R. Ríos-Soto
Departamento de Ciencias Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Mayaguez
AFAMaC, 6 de septiembre de 2010
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Outline
1
Introducción a Radicales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
2
Simplificando Radicales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
3
Operaciones de Radicales
4
Exponentes Racionales
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación
inversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.
El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
2
El cuadrado de 21 es 12 = 14 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
2
La raíz cuadrada de 41 es 12 , pues 12 = 41 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación
inversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.
El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
2
El cuadrado de 21 es 12 = 14 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
2
La raíz cuadrada de 41 es 12 , pues 12 = 41 .
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación
inversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.
El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
2
El cuadrado de 21 es 12 = 14 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
2
La raíz cuadrada de 41 es 12 , pues 12 = 41 .
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación
inversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.
El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
2
El cuadrado de 21 es 12 = 14 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
2
La raíz cuadrada de 41 es 12 , pues 12 = 41 .
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación
inversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.
El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
2
El cuadrado de 21 es 12 = 14 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
2
La raíz cuadrada de 41 es 12 , pues 12 = 41 .
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operación
inversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.
El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
2
El cuadrado de 21 es 12 = 14 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.
La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
2
La raíz cuadrada de 41 es 12 , pues 12 = 41 .
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. El
√
símbolo se utiliza para denominar la raíz cuadrada
positiva o principal de un número. Por ejemplo,
√
25 = 5
√
El símbolo − es utilizado para la raíz cuadrada negativa.
Por ejemplo,
√
− 25 = −5.
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. El
√
símbolo se utiliza para denominar la raíz cuadrada
positiva o principal de un número. Por ejemplo,
√
25 = 5
√
El símbolo − es utilizado para la raíz cuadrada negativa.
Por ejemplo,
√
− 25 = −5.
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Outline
1
Introducción a Radicales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
2
Simplificando Radicales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
3
Operaciones de Radicales
4
Exponentes Racionales
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Raíz Cuadrada
Definition
La raíz cuadrada √
positiva o principal de un número positivo a
se escribe√como a. El negativo de la raíz cuadrada de a se
escribe − a.
√
a=b
solo si
b2 = a
y
b>0
√
Además, la raíz cuadrada de 0, se escribe 0, es 0.
√
El símbolo es llamado el radical o el signo de radical. La
expresión dentro del radical es llamada el radicando. Una
expresión que contiene un radical es llamada un expresión
radical.
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es
−4?
NO
√
Por ende, −4 no es un número real.
Definition
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
4
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 25
son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un
número racional.
√
Por ejemplo, 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es
−4?
NO
√
Por ende, −4 no es un número real.
Definition
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
4
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 25
son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un
número racional.
√
Por ejemplo, 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es
−4?
NO
√
Por ende, −4 no es un número real.
Definition
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
4
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 25
son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un
número racional.
√
Por ejemplo, 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es
−4?
NO
√
Por ende, −4 no es un número real.
Definition
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
4
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 25
son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un
número racional.
√
Por ejemplo, 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es
−4?
NO
√
Por ende, −4 no es un número real.
Definition
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
4
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 25
son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un
número racional.
√
Por ejemplo, 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?
Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es
−4?
NO
√
Por ende, −4 no es un número real.
Definition
La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
4
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 25
son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a un
número racional.
√
Por ejemplo, 3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.
√
a. 36
√
b. − 5
q
9
c.
100
√
d. − 64
√
e. 0
√
f. −25
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.
√
a. 36
√
b. − 5
q
9
c.
100
√
d. − 64
√
e. 0
√
f. −25
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.
√
a. 36
√
b. − 5
q
9
c.
100
√
d. − 64
√
e. 0
√
f. −25
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.
√
a. 36
√
b. − 5
q
9
c.
100
√
d. − 64
√
e. 0
√
f. −25
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.
√
a. 36
√
b. − 5
q
9
c.
100
√
d. − 64
√
e. 0
√
f. −25
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.
√
a. 36
√
b. − 5
q
9
c.
100
√
d. − 64
√
e. 0
√
f. −25
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Outline
1
Introducción a Radicales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
2
Simplificando Radicales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
3
Operaciones de Radicales
4
Exponentes Racionales
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Radicales con Varibles
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables que
aparecen en el radicando de una expresión radical,
representan sólo números positivos.
p
y 2 = y pues (y )2 = y 2 .
√
x 8 = x 4 pues (x 4 )2 = x 8 .
√
9z 2 = 3z pues (3z)2 = 9z 2 .
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Radicales con Varibles
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables que
aparecen en el radicando de una expresión radical,
representan sólo números positivos.
p
y 2 = y pues (y )2 = y 2 .
√
x 8 = x 4 pues (x 4 )2 = x 8 .
√
9z 2 = 3z pues (3z)2 = 9z 2 .
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Radicales con Varibles
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables que
aparecen en el radicando de una expresión radical,
representan sólo números positivos.
p
y 2 = y pues (y )2 = y 2 .
√
x 8 = x 4 pues (x 4 )2 = x 8 .
√
9z 2 = 3z pues (3z)2 = 9z 2 .
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable
representa un número positivo.
√
a. x 2
√
b. x 6
p
16y 6
c.
q
y4
d. − 25
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable
representa un número positivo.
√
a. x 2
√
b. x 6
p
c.
16y 6
q
y4
d. − 25
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Simplificando Radicales
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable
representa un número positivo.
√
a. x 2
√
b. x 6
p
c.
16y 6
q
y4
d. − 25
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Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variable
representa un número positivo.
√
a. x 2
√
b. x 6
p
c.
16y 6
q
y4
d. − 25
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.
Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.
En símbolos escribimos:
√
3
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.
√
3
27 = 3, pues (3)3 = 27.
√
3
−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número
negativo.
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.
Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.
En símbolos escribimos:
√
3
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.
√
3
27 = 3, pues (3)3 = 27.
√
3
−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número
negativo.
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.
Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.
En símbolos escribimos:
√
3
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.
√
3
27 = 3, pues (3)3 = 27.
√
3
−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número
negativo.
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.
Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.
En símbolos escribimos:
√
3
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.
√
3
27 = 3, pues (3)3 = 27.
√
3
−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número
negativo.
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Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.
Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.
En símbolos escribimos:
√
3
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.
√
3
27 = 3, pues (3)3 = 27.
√
3
−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número
negativo.
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Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.
Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.
En símbolos escribimos:
√
3
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.
√
3
27 = 3, pues (3)3 = 27.
√
3
−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número
negativo.
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Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.
Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.
En símbolos escribimos:
√
3
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.
√
3
27 = 3, pues (3)3 = 27.
√
3
−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un número
negativo.
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Radicales
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n es
un número natural.
En símbolos,
la raíz enésima de un número a se escribe
√
n
como a.
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n es
un número natural.
En símbolos,
la raíz enésima de un número a se escribe
√
n
como a.
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n es
un número natural.
En símbolos,
la raíz enésima de un número a se escribe
√
n
como a.
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.
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Radicales
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.
√
a. 3 −27
q
1
b. 3 125
√
c. 4 16
√
d. 5 −32
√
e. 3 −8
√
f. 4 81
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
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Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.
√
a. 3 −27
q
1
b. 3 125
√
c. 4 16
√
d. 5 −32
√
e. 3 −8
√
f. 4 81
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Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.
√
a. 3 −27
q
1
b. 3 125
√
c. 4 16
√
d. 5 −32
√
e. 3 −8
√
f. 4 81
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Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.
√
a. 3 −27
q
1
b. 3 125
√
c. 4 16
√
d. 5 −32
√
e. 3 −8
√
f. 4 81
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.
√
a. 3 −27
q
1
b. 3 125
√
c. 4 16
√
d. 5 −32
√
e. 3 −8
√
f. 4 81
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.
√
a. 3 −27
q
1
b. 3 125
√
c. 4 16
√
d. 5 −32
√
e. 3 −8
√
f. 4 81
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Outline
1
Introducción a Radicales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
2
Simplificando Radicales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
3
Operaciones de Radicales
4
Exponentes Racionales
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).
√
Por
ejemplo,
20 no está simplificado por que
√
√
20 = 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.
√
√
√ √
Notar que 9 · 16 = 144 = 12 y 9 · 16 = 3 · 4 = 12.
√
√ √
Por ende, 9 · 16 = 9 · 16.
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).
√
Por
ejemplo,
20 no está simplificado por que
√
√
20 = 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.
√
√
√ √
Notar que 9 · 16 = 144 = 12 y 9 · 16 = 3 · 4 = 12.
√
√ √
Por ende, 9 · 16 = 9 · 16.
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).
√
Por
ejemplo,
20 no está simplificado por que
√
√
20 = 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.
√
√
√ √
Notar que 9 · 16 = 144 = 12 y 9 · 16 = 3 · 4 = 12.
√
√ √
Por ende, 9 · 16 = 9 · 16.
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando no
contiene cuadrados perfectos (diferente de 1).
√
Por
ejemplo,
20 no está simplificado por que
√
√
20 = 4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.
√
√
√ √
Notar que 9 · 16 = 144 = 12 y 9 · 16 = 3 · 4 = 12.
√
√ √
Por ende, 9 · 16 = 9 · 16.
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Regla del Producto y Cociente para Radicales
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales, entonces
√
√ √
n
n
a · b = n a · b.
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales y b 6= 0, entonces
r
√
n
a
n a
= √
.
n
b
b
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Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Regla del Producto y Cociente para Radicales
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales, entonces
√
√ √
n
n
a · b = n a · b.
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales y b 6= 0, entonces
r
√
n
a
n a
= √
.
n
b
b
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 4
Simplifica.
√
a. 54
√
b. 35
q
3
c.
64
√
d. 3 54
√
e. 3 18
q
3
f. 4 16
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Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 4
Simplifica.
√
a. 54
√
b. 35
q
3
c.
64
√
d. 3 54
√
e. 3 18
q
3
f. 4 16
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Exponentes Racionales
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Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 4
Simplifica.
√
a. 54
√
b. 35
q
3
c.
64
√
d. 3 54
√
e. 3 18
q
3
f. 4 16
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Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 4
Simplifica.
√
a. 54
√
b. 35
q
3
c.
64
√
d. 3 54
√
e. 3 18
q
3
f. 4 16
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Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 4
Simplifica.
√
a. 54
√
b. 35
q
3
c.
64
√
d. 3 54
√
e. 3 18
q
3
f. 4 16
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Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 4
Simplifica.
√
a. 54
√
b. 35
q
3
c.
64
√
d. 3 54
√
e. 3 18
q
3
f. 4 16
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Outline
1
Introducción a Radicales
Definición de Raíz Cuadrada
Radicales con Variables y Enésimas Raices
2
Simplificando Radicales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
3
Operaciones de Radicales
4
Exponentes Racionales
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 5
Simplifica. Asumir que las variables representan números
positivos.
√
a. x 5
p
b.
8y 2
q
45
c.
x6
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
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Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 5
Simplifica. Asumir que las variables representan números
positivos.
√
a. x 5
p
b.
8y 2
q
45
c.
x6
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar Radicales
Simplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 5
Simplifica. Asumir que las variables representan números
positivos.
√
a. x 5
p
b.
8y 2
q
45
c.
x6
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Suma y Resta de Radicales
La suma y resta de radicales sólo se puede hacer cuando los
radicales son similares.
Definition
Radicales similares son expresiones radicales que tienen el
mismo índice y el mismo radicando.
√
√
√
√
Por ejemplo, 5 3 + 2 3 se puede simplificar pero 4 7 + 4 3 7
no.
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 6
Simplifica.
√
√
a. 10 − 6 10
√
√
√
b. 2 3 7 − 5 3 7 − 3 3 7
√
√
c. 50 + 8
√
√
√
d. 2 x 2 − 25x + x
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 6
Simplifica.
√
√
a. 10 − 6 10
√
√
√
b. 2 3 7 − 5 3 7 − 3 3 7
√
√
c. 50 + 8
√
√
√
d. 2 x 2 − 25x + x
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 6
Simplifica.
√
√
a. 10 − 6 10
√
√
√
b. 2 3 7 − 5 3 7 − 3 3 7
√
√
c. 50 + 8
√
√
√
d. 2 x 2 − 25x + x
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 6
Simplifica.
√
√
a. 10 − 6 10
√
√
√
b. 2 3 7 − 5 3 7 − 3 3 7
√
√
c. 50 + 8
√
√
√
d. 2 x 2 − 25x + x
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Multiplicando y Diviendo Radicales
Regla del Producto para Radicales:
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales, entonces
√
√
√
n
n
n
a · b = a · b.
Regla del Cociente para Radicales:
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales y b 6= 0, entonces
r
√
n
a
a
√
= n
siempre que
b 6= 0.
n
b
b
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Multiplicando y Diviendo Radicales
Regla del Producto para Radicales:
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales, entonces
√
√
√
n
n
n
a · b = a · b.
Regla del Cociente para Radicales:
Definition
√
√
Si n a y n b son números reales y b 6= 0, entonces
r
√
n
a
a
√
= n
siempre que
b 6= 0.
n
b
b
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
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Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.
√ √
a. 3 · 15
√
√
3
b. 4 · 3 18
B. Halle el producto y simplifique.
√ √
√
√
a. ( x + 2)( 3 − 2)
√
√
b. ( 5 − 7)( 5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.
b.
√
√100
10
√
3
12x
√
3x
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresión
radical, multiplicamos tanto el denominador como el
numerador por el mismo número diferente de cero.
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
√
Por ejemplo, en √5 multiplicamos el denominador y el
√2
numerador por 2.
√
√5
2
=
√ √
√5·√2
2· 2
√
=
10
2
Este proceso se conoce como racionalización.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresión
radical, multiplicamos tanto el denominador como el
numerador por el mismo número diferente de cero.
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
√
Por ejemplo, en √5 multiplicamos el denominador y el
√2
numerador por 2.
√
√5
2
=
√ √
√5·√2
2· 2
√
=
10
2
Este proceso se conoce como racionalización.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresión
radical, multiplicamos tanto el denominador como el
numerador por el mismo número diferente de cero.
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
√
Por ejemplo, en √5 multiplicamos el denominador y el
√2
numerador por 2.
√
√5
2
=
√ √
√5·√2
2· 2
√
=
10
2
Este proceso se conoce como racionalización.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresión
radical, multiplicamos tanto el denominador como el
numerador por el mismo número diferente de cero.
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
√
Por ejemplo, en √5 multiplicamos el denominador y el
√2
numerador por 2.
√
√5
2
=
√ √
√5·√2
2· 2
√
=
10
2
Este proceso se conoce como racionalización.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresión
radical, multiplicamos tanto el denominador como el
numerador por el mismo número diferente de cero.
Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
√
Por ejemplo, en √5 multiplicamos el denominador y el
√2
numerador por 2.
√
√5
2
=
√ √
√5·√2
2· 2
√
=
10
2
Este proceso se conoce como racionalización.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el
denominador por el conjugado del denominador.
√
√
El conjugado de un número a + b es a − b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Por ejemplo,
√
√
2
2(4 − 3)
2(4 − 3)
√ =
√
√ =
13
4+ 3
(4 + 3)(4 − 3)
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el
denominador por el conjugado del denominador.
√
√
El conjugado de un número a + b es a − b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Por ejemplo,
√
√
2
2(4 − 3)
2(4 − 3)
√ =
√
√ =
13
4+ 3
(4 + 3)(4 − 3)
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el
denominador por el conjugado del denominador.
√
√
El conjugado de un número a + b es a − b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Por ejemplo,
√
√
2
2(4 − 3)
2(4 − 3)
√ =
√
√ =
13
4+ 3
(4 + 3)(4 − 3)
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Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Para racionalizar el denominador que es una suma o resta
tenemos que multiplicar tanto el numerador como el
denominador por el conjugado del denominador.
√
√
El conjugado de un número a + b es a − b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Por ejemplo,
√
√
2
2(4 − 3)
2(4 − 3)
√ =
√
√ =
13
4+ 3
(4 + 3)(4 − 3)
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.
a.
b.
c.
d.
e.
√2
7
q
1
18x
√
3
7
√
3
3
√
√5+4
5−1
√
√ 7√
8+ 2
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.
a.
b.
c.
d.
e.
√2
7
q
1
18x
√
3
7
√
3
3
√
√5+4
5−1
√
√ 7√
8+ 2
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC
Radicales
Introducción a Radicales
Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.
a.
b.
c.
d.
e.
√2
7
q
1
18x
√
3
7
√
3
3
√
√5+4
5−1
√
√ 7√
8+ 2
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Radicales
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.
a.
b.
c.
d.
e.
√2
7
q
1
18x
√
3
7
√
3
3
√
√5+4
5−1
√
√ 7√
8+ 2
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.
a.
b.
c.
d.
e.
√2
7
q
1
18x
√
3
7
√
3
3
√
√5+4
5−1
√
√ 7√
8+ 2
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Exponentes Racionales
La raíz cuadrada de un número a se puede expresar como
y en forma exponencial como a1/2 .
Definition
Si n es un entero positivo y
√
√
n
a es un número real, entonces
√
a1/n = n a.
En general, si m y n son números enteros con n > 0 y si a es
un número positivo, entonces
√
am/n = (a1/n )m = ( n a)m
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Radicales
a
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Simplificando Radicales
Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.
a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Radicales
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.
a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.
a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.
a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Si el exponente es un número racional negativo utilizar la
siguiente definición.
Definition
Si a−m/n es un número real diferente de cero, entonces
a−m/n =
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1
am/n
.
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Operaciones de Radicales
Exponentes Racionales
Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo y
entonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c.
d.
c.
d.
51/3
52/3
(x 1/4 )12
x 1/5
x −4/5
y 3/5
z 1/4
2
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Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo y
entonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c.
d.
c.
d.
51/3
52/3
(x 1/4 )12
x 1/5
x −4/5
y 3/5
z 1/4
2
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Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo y
entonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c.
d.
c.
d.
51/3
52/3
(x 1/4 )12
x 1/5
x −4/5
y 3/5
z 1/4
2
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Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo y
entonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c.
d.
c.
d.
51/3
52/3
(x 1/4 )12
x 1/5
x −4/5
y 3/5
z 1/4
2
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Escribe cada expresión como un exponente positivo y
entonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c.
d.
c.
d.
51/3
52/3
(x 1/4 )12
x 1/5
x −4/5
y 3/5
z 1/4
2
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Escribe cada expresión como un exponente positivo y
entonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c.
d.
c.
d.
51/3
52/3
(x 1/4 )12
x 1/5
x −4/5
y 3/5
z 1/4
2
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