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ARI
129
j nominar), porque fija la denominacion de la fraccion. Las cuatro quintas partes (4/5) de la unid id, son una fraccion cuyo numerador es 4, y el denominador 5. El numerador y denominador
se llaman los dos términos de la fraction. Siempre se debe tener
presente en la memoria esta definition.
Se emplean cifras para abreviar la expresion de las fracciones
escribiendo el denominador delajo del numerador separados por
una raya, corno hemos dicho mas arriba, de modo que un tercio ó tercera parte se escribe 3 &c.
Se aumenta ó disminuye una fraccion aumentando ó disminuyendo su numerador sin cambiar el denominador; 5j6 es ma¡ yor que 4/6 y 3/5 es menor que 4/ 5 .
Se disminuye una fraccion aumentando su denominador, por
que concibiendo mas partes ó divisiones en la unidad , son necesariamente mas pequeñas; `/s es menor que U%7.
Por una razon contraria se aumenta una fraccion cuando se
disminuye el denominador sin cambiar el numerador; por que
concibiendo menos partes ó divisiones en la unidad , cada una
de ellas es mayor y el conjunto llega tambien á ser mayor;
6 17 es mayor que 6 /s.
Una fraction no cambia de valor aun cuando se multipliquen
sus dos términos por un mismo número ; así 5!5 es lo mismo
que 1( '/I2, 1 /2 lo mismo que 2/4 y 3 /5 que 5 /ia, &c.
1
REDUCCION DE LAS FRACCIONES Ó QUEBRADOS á UN MISMO Ó CO-
Se multiplican los dos términos de la primera fraccion, cada uno, por el denominador de la segunda, y
los dos términos de la segunda por el denominador de la primera.
I Así para reducir á un mismo denominador las dos fracciones
, , se multiplica el 2 y el 3, que son los dos términos de la primera fraccion, cada uno por 4, denominador de la segunda,
lo que produce 8 1I2 que tiene el mismo valor que . Se multiplican lo mismo los dos términos 3 y 4 de la segunda fraccion
MUST DENOMINADOR.
j
T. Y.
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cada uno por 3, denominador de la primera, lo que produce
9 /12 que tiene el mismo valor que ; de modo que las frac
han cambiado en 8/j•2 y 9/12 que tienen ambas-ciones3y
un mismo ó comun denominador, y el mismo valor respectivamente á aquellas.
Si hay mas de dos fracciones, se reducen primeramente todas
á un coniun denominador, multiplicando los dos términos de
cada una por el PRODUCTO que resulte de la mmtultiplicacion de los
denominadores de las otras.
Por ejemplo, para reducir á un mismo denominador las cuatro fracciones 2 /3, 3/4, 4/5, 5 /7, se multiplican los dos términos
2 y 3 de la primera por el producto de los tres denominadores
4, 5, 7 de las otras fracciones; producto que se encuentra diciendo: 4 veces 5 hacen 20, y 20 veces 7 hacen 140; despues
se multiplican el 2 y el 3 cada uno por 140 y se obtiene 280,'420
que tiene el mismo valor que .
Se multiplican del mismo modo los dos términos 3 y 4 de la
segunda fraccion por el producto 3, 5, 7, que se forma diciendo: 3 veces 5 hacen 15 y 7 veces 15 hacen 105 que multiplica
por 3 produce 315; despues por 4, lo que produce 420,-do
igual denominador al de la fraccion precedente; la misma
operacion se hace para la tercera y cuarta fraccion y en
cuanto al denominador, el resultado es siempre el mismo.
Hay otro modo de reducir los quebrados á un comun denominador, á saber: se multiplican todos los denominadores y el
producto será el denominador comun; despues se multiplica
por él el numerador de cada quebrado y se divide por su denominador, resultando los nuevos numeradores de los quebrados
ya reducidos á un comun denominador.
Ejemplo. 3/4 2 /3 3 15
que reducidos á un comun denominador por el método que hemos dicho, hacen
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45/60 40/60 36/60.
Segun esto, vemos que el denominador 4 multiplicado por el
otro 3 hace 12, que multiplicados por 5 nos dan 60, que es el
denominador comun. Se multiplica este denominador por 3,
numerador del primer quebrado, y da por producto 180 , que
dividido por 4, que es el primitivo denominador, produce 45,
y tenemos el quebrado 47/69, como se ve en el ejemplo puesto
arriba. Se hace la misma operacion con los demás.
REDUCCION DE LAS FRACCIONES A SU MAS SIMPLE EXPRE;ION ó
SIMPLIFICACION DE LOS QUEBRADOS. Una fraccion es tanto mas
sencilla cuanto mas pequeños son los números de sus dos términos. Muchas veces se puede explicar una fraccion propuesta
por números menores; esto sucede cuando su numerador y denominador son divisibles ó pueden dividirse por un mismo número; como esta operacion no varia el valor de las fracciones,
es una simplification que debe hacerse.
Para saber cuando se puede dividir por 2, 3, 5, 7 , 11 , 13 ,
17 y demás números primos , ó que no tienen mas divisor que
ellos mismos ó la unidad, es menester tener presente quo todo
número que acaba en una cifra par , es divisible por 2 , y que
todo número múltiplo de 3, es divisible por 3. Por ejemplo :
54231 es divisible por 3, por que estas cifras 5, 4, 2, 3, 1,
sumadas hacen 15 que contiene tres veces al 5.
Todo número terminado por un 5 ó un 0, es divisible por 5.
HALLAR LA MAYOR MEDIDA COMUN DE DOS NÚMEROS ENTEROS.
Hay un método fijo para hallar la mayor medida comun de dos
o mas números, que es dividiendo el número mayor por;el menor,
y si el cociente no tiene quebrado, el número menor será la
mayor medida comun de los dos números dados.
Por ejemplo, si se quiere hallar la mayor medida comun de
los dos números 788 y 197, se dividirá el número mayor 788
por el menor 197; y porque en el cociente resulta el entero 4
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sin nines m quebrado, dirémos que la mayor medida comun de
los dos números 78S y 197, es 197.
Se pueden hacer con las fracciones las mismas operaciones
que con los números enteros.
ADICION Y SUSTRACCION ó SUMA Y RESTA DE LAS FRACCIONES 6
QUEBRADOS. Para sumar ó restar quebrados de un mismo denominador es menester tomar la suma ó diferencia de sus numeradores y dar al resultado el denominador comun.
Es evidente que 21 11 y 3/ii hacen 5111.
Tambien lo es que la diferencia entre 319 y 8 s es 5 /s.
Si los quebrados no tienen el mismo denominador, no se
pueden sumar ó restar uno de otro los números de partes de
que estan compuestos, pues que estas partes son de diferentes
tamaños. Entonces es menester igualarlas, reduciéndolas á un
comun denominador por el medio ya indicado.
Así, si nos proponemos sumar 3 , 4, 2 /3, 3 /5, carabiarémos estas tres fracciones en estas otras tres: o, 40 /GO y 36 GO cuya
suma es I2I /60 que se reducen á 2 enteros y I/60.
Como se ve en este último ejemplo la suma de los quebrados
da á veces resultados que excelea á la unidad. Entonces es
menester quitar tantas unidades cuantas hay en el total, como
acabamos de hacer en 121/60 en que henos encontrado dos veces
60 ó 2 enteros y á mas por resta de fraccion 1 6o avos. Generalmente toda fraccion en que el numerador es mayor que el
denominador contiene unidades ó enteros. Se sacan los enteros dividiendo el numerador por el denominador; el cociente
da los enteros y la resta, puesta en forma de quebrado que
debe escribirse despues.
La expresion 20 3 /40, por ejemplo, designa 203 partes
de una unidad compuesta de 40 y hay en la cantidad que representa esta fraccion tantas unidades como veces 40 está contenido en 203. Por la division se halla 5 por cociente y 3 por
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$
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ruta; estos 203 son 40 ayos de unidad. Y así en lugar de 203/40
se puede escribir 5 3 /90.
REDUCCION DE UN NÚMERO ENTERO Á QUEBRADO. La expresion
5 3 /'o en que estan expresados los enteros, componiéndose de
dos partes diferentes, es muy útil, á veces, reducirla á la frac
primitiva 203/40, lo que se llama reducir un entero á que-cion
-bradoó
dar á un entero la forma de quebrado.
Se hace esta operacion multiplicando el entero por el denominador de la fraccion que le acompaña, añadiendo su numerador al resultado y dando á la suma por denominador el de la
misma fraccion.
Ejemplo :
Entero. . . . . ... . . . . .
5
Denominador . . . . . . . .
40
Numerador .... ... . . . .
200
3
-203
Denominador de la 1.' fraction. .
40
Cuando hay enteros acompañados de quebrados es menester
siempre empezarla operacion por estos. Por ejemplo, para sumar 3 2 /7 con 5 i /o, se empezará por reducirá un mismo
denominador los quebrados 2 /7 y 4,9 que se convertirán en
18 /63 y 28/33; despues se añadirá su suma á la de los enteros 3,
5 , lo que dará por total 8 40/63. La sustraccion se hará lo mismo
siempre que el quebrado que entra en el número que se ha de
restar sea el menor de los dos. En caso contrario, para que pueda hacerse la sustraccion , se tomará del entero que va con el
quebrado menor. Por ejemplo, si se quisiera restar '/s de 3 I/
los dos quebrados reducidos á un mismo ó comun denominador
se convertirán en 16/->0 y 5 /20 y se verá que el primero no puede restarse del segundo; pero tomando 1 ó `-' O,20 del entero 3,
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se cambia el número en 3 1/ r ó 3 5J2o en 2 25/20 de donde restando 16/20 quedará 2 9 /2o.
MULTIPLICACION DE LOS QUEBRADOS. P ara multiplicar un que brado por otro, es menester multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Así para multiplicar
2/ 5 por 3/4, se multiplica 2 por 3 lo que produce 6, y 5 por 4
lo que produce 20, total (>/2o por producto.
Cuando se quiere multiplicar un entero por un quebrado ó un
quebrado por un entero, se pone el entero bajo la forma de que
dando la unidad por denominador. Por ejemplo, teniendo-brado
que multiplicar 6 por 4 se reduce la operacion á multiplicar 611
por 2/1, lo que, segun la regla que se ha dado, produce 12/3 ó 4.
Si hay enteros y quebrados, lo que se llama números mixtos
se debe, antes de multiplicar, reducir los enteros á quebrados
de la misma especie que los que les acompañan. Por ejemplo; si
se quiere multiplicar 13 3/s por 6 4, se cambia el multiplicando
en 816 multiplicando el número entero por el denominador del
quebrado y añadiendo el producto al numerador; despues se
cambia el multiplicando, por el mismo medio, en 27/:1 y se
multiplica 81/6 por 27/4, corno se ha dicho, lo que produce
218724 que valen 91 3 24.
Para multiplicar un número mixto por un entero ó vice-versa
debe preferirse la regla de :multiplicar primero los enteros y
luego el quebrado, cuyos productos sumados componen el producto total que se busca, por ejemplo; supongamos que se quiere
multiplicar 148 á por 32; se hará la operacion del modo siguiente:
148
32
32 7
224 ^ 8
296
444
060 28
280
4.764
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Hecha la operacion de multiplicar el entero 148 por el 32,
se pasa á multiplicar el 32 que antes era el multiplicador por
el 7., numerador del quebrado, cuyo producto es 224 que dividido por 8, denominador del quebrado, da por cociente 28,
que se añaden á los productos que han resultado de la multiplicacion de los enteros; se raya por bajo y se hace la suma,
resultando el total 4.764.
Esta operacion consiste en mulDivISION DE LOS QUEBRADOS.
por
el quebrado divisor invertido
tipZicar el quebrado dividendo
ó trastornado. Por ejemplo: para dividir 5/& por 3/6 es menester trastornar este y poner G/3 - ; despues multiplicar 5 por 6 y 8
por 3, lo que producirá 3 0 /24.
Si no se quiere cambiar nada de los términos de los dos quebrados, se puede. tambien hacer la division multiplicando el
numerador del primero por el numerador del segundo y el
denominador del primero por el denominador del segundo.
Si hubiese que dividir un entero por un quebrado ó un que brado por un entero , se pondrá el entero bajo la forma de quebrado dándole, como hemos dicho ya, la unidad por denominador. Por ejemplo , si se quieren dividir 14 enteros por 3 , la
operacion se reduce á dividir 1 4/I por , lo que, segun la regla
que hemos dado, consiste en multiplicar 14 /I por 3f 2 lo que
produce 4221/ 2 ó 21. Lo mismo sucede si hubiese que dividir
por 5; en cuyo caso se reduce la operacion á dividir 3/4 por
5 /i es decir á multiplicar 3/1 por 5 /I, lo que produce 3120.
CÁLCULO DECIMAL.
Se llaman fracciones decimales á unas
partes de diez en diez veces menores que la unidad. Se expresan por cifras colocadas á la derecha de las unidades y separadas
por una coma. Así en esta serie de cifras 0,44444, cada una es
decimal de la que la precede inmediatamente á la izquierda, es
decir, que representa la décima parte de ella. Si hay unidades
unidas á los decimales, se escriben como los demás números
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se cambia el número en 3 1/ 4 ó 3 5J2o en 2 95 /20 de donde restando 1 6/2o quedará 2 9 /20.
MULTII'LICACION DE LOS QUEBRADOS. Para multiplicar un quebrado por otro, es menester multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Así para multiplicar
2/ 5 por 314, se multiplica 2 por 3 lo que produce 6, y 5 por 4
lo que produce 20, total 6/2o por producto.
Cuando se quiere multiplicar un entero por un quebrado ó un
quebrado por un entero, se pone el entero bajo la forma de que
dando la unüdad por denominador. Por ejemplo, teniendo-brado
que multiplicar 6 por 1 se reduce la operation á multiplicar 6/i
por 9/3, lo que, segun la regla que se ha dado, produce 12/3 o 4.
Si hay enteros y quebrados, lo que se llama números mixtos
se debe, antes de multiplicar, reducir los enteros á quebrados
de la misma especie que los que les acompañan. Por ejemplo; si
se quiere multiplicar 13 3/c> por 6 , se cambia el multiplicando
en 81,s multiplicando el número entero por el denominador del
quebrado y añadiendo el producto al numerador; despues se
cambia el multiplicando, por el mismo medio, en 27/4 y se
multiplica 81/6 por 27/4, coleo se ha dicho, lo que produce
2187,'24 que valen 91 3 24.
Para multiplicar un número mixto por un entero ó vice-versa
debe preferirse la regla de 'multiplicar primero los enteros y
luego el quebrado, cuyos productos sumados componen el producto total que se busca, por ejemplo; supongamos que se quiere
multiplicar 148 é por 32; se hará la operation del modo siguiente:
148
32
296
444
28
4.764
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7
224 1 8
060 28
0
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Hecha la operacion de multiplicar el entero 148 por el 32,
se pasa á multiplicar el 32 que antes era el multiplicador por
el 7,, numerador del quebrado, cuyo producto es 224 que dividido por 8, denominador del quebrado, da por cociente 28,
que se afiaden á los productos que han resultado de la multiplicacion de los enteros; se raya por bajo y se hace la suma,
resultando el total 4.764.
DIVISION DE LOS QUEBRADOS. Esta operacion consiste en multiplicar el quebrado dividendo por el quebrado divisor invertido
ó trastornado. Por ejemplo: para dividir 5/a por 3 /6 es menester trastornar este y poner 6 /3 ; despues multiplicar 5 por 6 y 8
por 3, lo que producirá 3 0 /24.
Si no se quiere cambiar nada de los términos de los dos que
puede . tambien hacer la division multiplicando el-brados,e
numerador del primero por el numerador del segundo y el
denominador del primero por el denominador del segundo.
Si hubiese que dividir un entero por un quebrado ó un que
por un entero , se pondrá el entero bajo la forma de que -brado
dándole, como hemos dicho ya, la unidad por denomi--brado
nador. Por ejemplo, si se quieren dividir 14 enteros por 3, la
operacion se reduce á dividir 1 4/t por i, lo que, segun la regla
que hemos dado, consiste en multiplicar 1 1 /1 por 3/2 lo que
produce 42/2 ó 21. Lo mismo sucede si hubiese que dividir .1
por 5; en cuyo caso se reduce la operacion á dividir 3/4 por
5 /i es decir á multiplicar 3 / 1 por a /I, lo que produce 31 20.
CÁLCULO DECIMAL. Se llaman fracciones decimales á unas
partes de diez en diez veces menores que la unidad. Se expresan por cifras colocadas á la derecha de las unidades y separadas
por una coma. Así en esta série de cifras 0,44444, cada una es
decimal de la que la precede inmediatamente á la izquierda, es
decir, que representa la décima parte de ella. Si hay unidades
unidas á los decimales, se escriben como los demás números
-
1
r
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enteros, teniendo cuidado de separar las unidades por una coma puesta á la derecha. Por ejemplo, 24 unidades y 12 centésimas se escribe 24,12.
Si no hay unidades se pone para reemplazarles un 0 y se
escriben en seguida las decimales. Ejemplo: 12 centésimas 0,12
16 milésimas 0,016. Por lo que hemos dicho se ve que toda
primera cifra á la derecha de la coma es una decimal ó décima
y no una unidad ordinaria.
La coma aumenta ó disminuye el valor del número total de
unidades y decimales segun se avanza á derecha ó á izquierda;
si se adelanta una cifra hácia la derecha, hace la suma diez veces mayor; y si al contrario se atrasa á la izquierda , le hace
diez veces menor.
ADICION Ó SUMA DE LOS NÚMEROS DECIMALES. Se hace esta operacion lo mismo que la de los enteros, teniendo cuidado de poner siempre las unidades de un mismo órden , es decir, las unidades, decenas, centenas, millares, &c. en la columna que las
corresponde, colocando en el total la coma en el lugar en que
se encuentran las que hay en las cantidades que se quiere
sumar.
Si quisiéramos sumar 0,47, cuarenta y siete centésimas, 0,3260,
tres mil doscientas sesenta diez milésimas, 0,416, cuatrocientas diez
y seis milésimas, colocariamos estas tres cantidades del modo
siguiente:
0,47
0,3260
0,216
Total... I,0120
Si hubiese números unidos á los decimales, toman el lugar
de los ceros de la primera columna y la regla es la misma. Por
ejemplo, si se quiere sumar 12,36; 0,4; 167,42 y 15,03, se
escribirán de este modo:
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12,36
0,4
167,42
15,03
Total.
.
.
195,21
SUSTRACCION () RESTA DE DECIMALES. Esta operacion se hace
lo mismo que la de los números enteros; solamente se debe
tener, para evitar toda dificultad, cuidado de hacer igual el
número de cifras decimales en ambas cantidades propuestas,
poniendo á la derecha de la que tenga menos un número de
ceros suficiente. Se pone en la diferencia una coma en la columna
en que se encuentran las de las dos cantidades propuestas.
Por ejemplo; si se quiere restar de 8,32, 5,232, se añade un
cero al primer 32 del modo siguiente:
8,320
5,232
Diferencia. . . 3,088
Debe advertirse que en los decimales no cambia generalmente el valor aunque se pongan despues de la última cifra decinial el número de ceros que se quiera. Así 8,32 es lo mismo
que 8,320 y que 8,3200; por esta razon se dice hoy ya en
muchas partes 1000 libras en lugar de decir 10 quintales.
Las pruebas de la adicion y sustraccion de los números de-cimales se hacen lo mismo que las de las mismas operaciones
con los números enteros.
MULTIPLICACION DE DECIMALES. Para multiplicar una por otra
dos cantidades en que haya cifras decimales, se hace abstraccion de ellas en ambas, pero se separan á la derecha del producto tantas cifras decimales cuantas haya á la derecha del
multiplicando y multiplicador.
roM. 1.
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