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Racionalización de radicales wikipedia, lookup

Potenciación wikipedia, lookup

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Raíz cuadrada wikipedia, lookup

Fracción wikipedia, lookup

Transcript
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
Centro Universitario de Ciencias
Económico Administrativas
Departamento de Métodos Cuantitativos
Ciclo 2012-A
Curso Propedéutico de Matemáticas
Academia de Matemáticas Generales
CAPÍTULO III
Exponentes y radicales
La idea de exponente es una notación convencional que se ha
adoptado por definición. Así, es convencional escribir 10³ en
lugar de (10) (10) (10).
n
b
A toda expresión de la forma
se le denomina potencia de
la base b, el índice superior n es el exponente quien indica el
número de veces que debe de tomarse como factor a la base;
pero donde b es diferente de 0.
Por tanto 10³ es una potencia de base 10 y 3 es el exponente.
La notación con exponentes permite representar
cantidades muy grandes o muy pequeñas como
por ejemplo:
109  1000000000
ó
4
12
1

 5.9605 108
16777216
3.1 Leyes de los Exponentes
Ejemplo
Propiedad
1. Potencias con bases iguales: a a  a
m
2. Potencia de potencia:  a

m n
n
 a mn
7 2  73  75
m n
 3   3  33  33  3  3
2 3
am
3. División de potencias con la misma base: n  a m  n
a
a5
5 3
2

a

a
a) Caso 1. Si m  n entonces
a3
a3
33
0

a

a
b) Caso 2. Si m  n entonces
a3
a4
46
2

a

a
c) Caso 3. Si m  n entonces
a6
6
3.1 Leyes de los Exponentes
Ejemplo
Propiedad
4. Exponente cero. Se define a0  1, siempre que a  0.
a3
33
0

1

a

a
a3
5. Un exponenete negativo: a
n
1
 n
a
a4 1
2


a
a6 a2
m
n
6. Un exponente fraccionario: a  n a m
6
3
a  3 a6  a2
3.2 Radicales
radical
índice
3
8
radicando
El resultado de éste es 2 y a el le llamamos raíz
La raíz que generalmente más hemos utilizado es la raíz
cuadrada. Y obtener la raíz cuadrada exacta de un numero
implica, encontrar el factor que multiplicado por el mismo dos
veces, es igual al radicando. En la raíz cúbica se buscan 3
factores que al multiplicarse sean iguales.
Propiedades de los
radicales
Propiedad
a) a  a
n
b)
2
1
n
 a 
n
n
c) a 
n
m
Ejemplo
n
 2

3
an  a
 
n
m
a
d ) n ab  n a n b
a
m
n
81  9
3
3
2
82  3 64  4
 416 
4 16  8
Propiedades de los
radicales
Propiedad
Ejemplo
n
a
a
n
e)
 n
b
b
3
27 3 27 3
 3 
8
2
8
f ) m n a  mn a
3
64  6 64  2
Casos que debes observar para evitar
cometer errores
i) Es importante que la raíz de una suma no permite distribuir el radical
9  15  25  5
ii) El producto de raíces
3
8
 8   2  2 2   5.6569
iii) Al integrar número a una raíz cuadrada se integra como factor
elevado al cuadrado
2 x 1 
2
2
   x  1  4  x  1  4 x  4
iv) La raíz cuadrada de un número al cuadrado es igual al valor absoluto
del número
 x  1
2
 x 1
v) Hay números que no admiten raíz cuadrada exacta
x 9  x8 x  x 4 x
vi) Suma de números con raíces
2
9  x2
 3 9  x2 
2  3 9  x2

9  x2
9  x2
  2  39  x 
2
9  x2
vii) Suma de potencias con la misma base haciendo uso de la
factorizacion
 13
2
3
x x x
 13
1  x 
viii) Integrado un factor al radical
x 2 1  x  x 4 1  x  x 4 1  x   x 4  x5
ix) Transformando exponentes racionales en radicales
 3  24
1
3
 3 3  24  3 27  3
x) Exponentes racionales negativos
 12
a b
 12

1
1

a
b
xi) Racionalizar el denominador de una fracción, consiste en
eliminar del denominador de la fracción el radical con una
fracción equivalente sin el radical en el denominador.
Ejemplo
1
2
2
2
25
2 5
 1  1 1 
5
5 52 52  52
Ejercicios propuestos al estudiante
1. Simplifique cada una de las siguientes expresiones
a) 103 104
b) 23  22
c)  a
2

4
d ) 30  32
2. Evalúe las siguientes expresiones
a) 103 102
b) 31
 2
c)   
 3
4
d ) 36  35
3. Resuelve:
a)
3
26
b)
3
27
c) 3 27  8 
d)
3
   53 
3 3
5