Download FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES SEMILLERO

Survey
yes no Was this document useful for you?
   Thank you for your participation!

* Your assessment is very important for improving the work of artificial intelligence, which forms the content of this project

Transcript
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Grado 6-7
Taller #7
Nivel II
RESEÑA HISTÓRICA
SOPHIE GERMAIN (1776-1831)
Fue una matemática autodidacta. Nació en París en las últimas
décadas del Siglo de las Luces. Los cambios políticos y sociales que
se producían en Francia durante su niñez determinaron que, desde
muy pequeña, considerara la Ciencia y especialmente las
Matemáticas, como el estímulo intelectual que daba sentido y
tranquilidad a su existencia.
Sus primeros trabajos los conocemos a través de su correspondencia
con Gauss, con el que mantenía oculta su identidad bajo el
pseudónimo de Monsieur Le Blanc.
La historia de Sophie es la de una matemática brillante que no pudo lograr su pleno
desarrollo porque en sus años de formación no pudo acceder a una educación
matemática formal y en su madurez tuvo que trabajar en solitario porque una jerarquía
científica, totalmente masculina, la excluía. Tener una formación autodidacta, anárquica y
con lagunas le perjudicará toda su vida. Su aislamiento no fue tan evidente cuando
trabajaba en teoría de números, pero cuando comenzó a trabajar en física matemática no
tuvo, en un primer momento, los últimos conocimientos matemáticos que entonces se
estaban utilizando y que requerían un trabajo cada vez menos solitario y ligado a la
comunidad científica. Aunque su obra merecía el reconocimiento académico, nunca
recibió título alguno. Una calle de París y un Liceo llevan su nombre, y una placa, en la
casa donde murió, (el número 13 de la rue de Savoie) la recuerda como matemática y
filósofa. Actualmente, el Instituto de Francia, a propuesta de la Academia de Ciencias,
concede anualmente “Le prix Sophie Germain” al investigador que haya realizado el
trabajo más importante en Matemáticas, pero todo este reconocimiento es póstumo, ya
que incluso en su certificado de defunción lo que figura como profesión es rentista y no
OBJETIVO GENERAL
 Aplicar adecuadamente las propiedades de y radicación.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS




Comprender una potencia de exponente natural como un producto repetido.
Interpretar y aplicar las propiedades de potenciación
Comprender la raíz cuadrada como operación inversa de la operación
Interpretar y aplicar las propiedades de radicación
PALABRAS CLAVES
 Potencia: Producto de un número, llamado base, por sí mismo, n veces.
 Radicación: Operación inversa a la potenciación que consiste en encontrar la base
de una potencia, dados el resultado de ella y su exponente.
 Radical: Símbolo que indica la operación de extraer raíz.
 Exponente: Indica el número de veces que multiplicamos la base.
 Ba s e de una P o te nc i a: E s e l n úm e ro qu e mu lt ip lica m o s p o r sí
m ismo .
ELEMENTOS TEÓRICOS
Potenciación
La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales: a · a · a · ... · a = an
Ejemplo: 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64
Propiedades de la potencias
1. a0 =1. Ejemplo: 30= 1
2. a1 = a. Ejemplo: 41= 4
3. Producto de potencias con la misma base: es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es la suma de los exponentes.
a m  a n  a m n
Ejemplo: 43 ∙ 45 = (4 ∙ 4 ∙ 4) ∙ (4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4) = 48 = 43+5
4. División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es la diferencia de los exponentes.
a m / a n  a mn
Ejemplo: 45 / 43 = (4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4) /(4 ∙ 4 ∙ 4) = 42 = 45-3
5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el
producto de los exponentes.
a 
m n
 a mn
6. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo
exponente y cuya base es el producto de las bases.
a n  b n  a  b 
n
7. Potencia de un cociente: Es el cociente de las potencias de cada parte. (a/b)m = am / bm
8. Potencia de una potencia: Es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual
al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva. (am)n = am∙n
9. Para todo número entero “a” diferente de cero y todo número natural “n”. a-n = 1/ an,
Ejemplo: (-2)-3 = 1/(-2)3 = -1/8
Radicación
Es la operación inversa a la potenciación, consiste en que a partir de dos números,
llamados radicando e índice se debe hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al
índice, sea igual al radicando.
índice
radicando  raíz
Ejemplo:
¿Cuál número elevado a la quinta potencia da 32?
x 5 = 32
Solución:
5√32 =x, se lee: raíz quinta de 32 es igual a x
x=2
Propiedades de la radicación
1. Forma exponencial de una raíz: La raíz n-ésima de un número puede ponerse en forma
1
de potencia:
n
a  an
2. La raíz enésima de un producto de números enteros es igual al producto de las raíces
enésimas de cada factor. n a * b  n a n b
3. La raíz enésima del cociente de dos números enteros es igual al cociente de la raíz
a na
enésima del dividendo y el divisor” n  n
b
b
Ejemplo:
2
100 2 100 10
 2

5
4
2
4
TALLER
1. Completar el diagrama y agregar otras propiedades
POTENCIACIÓN
Y
RADICACIÓN
Potenciación es:________
Radicación es:_____________
___________________
_________________________
_________________________
___________________
_________________________
___________________
_________
___________________
La base es: ___________
El exponente indica:______
___________
_______________________
_____________________
_____________________
_______________________
_____________________
___
El índice es:___________
_______________
_______________
_____________
 Multiplicación de potencias de igual base:________
___________________
___________________
__
Propiedades
 División de potencias de igual base: Se coloca la misma
base y se restan los exponentes
El radicando es:_______
 Multiplicación de raíces de igual índice:______
 División de raíces de igual índice:_______________
2. Calcular las siguientes potencias:
a. 35=
d. 27=
b. 53=
e. 104=
c. 72=
f. 410=
3. Todo número diferente de cero, elevado a exponente cero es igual a:
a. Cero
c. Uno
b. El mismo número
d. Ninguna de las anteriores
4. Para elevar una potencia a otra potencia:
a. se restan los exponentes
c. Se dividen los exponentes
b. Se suman los exponentes
d. Se multiplican los exponentes
5. Corresponde a la raíz cuadrada de 100
a. 100
c. -10 y 10
b. -10
d. Ninguna de las anteriores
6. Expresar en potencia
a. 32 ∙24 =
b. (-3)3 ∙ (-2)2 =
c. (-1)5 (-1)4 =
d. (x6)2 =
e. (2x2)6 =
f. 22 ∙ 2-1 ∙ 36 ∙ 24 ∙ 32 ∙3-4 =
g. (-4)8/(-4)5 =
h. (-2)2/(-2)4 =
7. Escribir expresiones equivalentes sin exponentes negativos
a. 7-2 =
b. (-3)-2 =
c. 8-3 =
d. (-4)-4 =
8. Escribir expresiones equivalentes con exponentes negativos:
a. 1/32
b. 1/(-3)4
c. 1/x3
d. 1/2n
9. Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. ayúdate con
ejemplos numéricos
a. Todo número elevado a un exponente impar es negativo.
b. Todo número elevado a un exponente par es positivo
c. Cualquier potencia de un número positivo es positiva.
d. Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es positiva.
10. De √(-81) se puede afirmar que.
a. La raíz cuadrada es 9
b. La raíz cuadrada es -9
c. a. y b. son ciertas
d. No existe
11. En las siguientes expresiones se ha remplazado un número por una letra. Determinar
el valor de la letra. ¿Puede haber más de un valor que la remplace?
a. 3a = 81
b. (-2)c = -32
c. m2=36
d. (-1)p = -1
e. (-4)d = 1
12. Aplicar el producto de potencias y expresa el resultado como una sola potencia:
a. (-3)4∙ (-3)2
b. 52∙54∙5
c. x6∙x7∙x9
d. (-2)2∙(-2)3∙(-2)4∙(-2)5
13. Aplica la potencia de una potencia y expresa el resultado como una sola potencia:
a. (32)4
b. (-10)2
c. (-90)2
d. (74)0
e. ((-2)9)-3
14. Aplicar el cociente de potencias de igual base y expresar el resultado como una sola
potencia:
a. 55/5
b. 84/84
c. (-3)10/ (-3)11
d. m6/m2
15. Calcular la base de las siguientes potencias:
a. (a2)3 = 64
b. a4 = 81
c. a5 = 32
d. a3 =27
e. a6 = 1
16. Calcular:
a. 36 x 35
b. 32 x 22
c. ((36 )4)0
d. (34)5
e. 28 x 44
g. 4-3/4-3
h. 25/210
i. (√5)2/ √25
j. (√125100﴿ / (599 (√5)98)
f. 38 x 94
k. (√15 √18) / (√5 √6)
17. Aplica las propiedades de las potencias para demostrar las igualdades:
a. ((2 ∙ 5)3 ∙ (-2)4 ∙ (-5)6) / (102 ∙ (-2)3 ∙ (-5)6 ) = -20
b. (32 ∙ 23 ∙ 54 ∙ 56) / (56 ∙ 53 ∙ 62) = 10
18. Sumas de radicales
a. √45 - √27 - √20 =
b. √75 - √147 + √675 =
c. √175 +√243 - √63 - 2√75 =
d. √80 - 2√252 + 3√405 - 3√500 =
e. 2√450 + 9√12 - 7√48 - 3√98 =
f. 7√450 - 4√320 + 3√80 - 5√800 =
g. √20 + 1/3 (√45) + 2√125 =
h. 1/4(√80) – 1/6(√63) – 1/9(√180) =
i. 5√50 + 3/14(√98) – 1/3(√162) =
j. 2√45 – 3/4(√125) – 1/2(√180) =
k. 1/2(√3) - √27 + 1/3(√108) – 3/5(√300) =
19. Justificar si el enunciado es verdadero o falso y calcular el resultado
a. (2 +3)2 = (2 +3) (2 +3)
b. (3 - 3)2 = (3 + 3) (3 + 3)
c. (x + y)2 = (x + y) (x + y)
d. (2 - 3)3 = (2 +3) (2 +3) (2 +3)
e. (3 + 3)3 = (3 + 3) (3 + 3) (3 + 3)
f. (x + y)3 = (x + y) (x + y)(x + y)
20. Teniendo en cuenta el punto anterior, es posible afirmar lo siguiente para dos
números x e y:
a. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
b. (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
c. (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3
d. (x - y)3 = x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3
21. Comprueba lo anterior con diferentes valores paar x e y.
22. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m 2 ¿Cuánto costará cercarlo si el
metro de valla cuesta 3800 pesos?
a. $273600
b. $326300
c. $384200
d. Ninguna de las anteriores
23. Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32 metros de largo por 8
metros de ancho, y quiere cambiarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie.
¿Cuál debe de ser la longitud de cada lado del terreno cuadrado?
a. 6 m.
b. 16 m.
c. 4 m.
d. Ninguna de las anteriores
24. Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm 2 ¿Cuánto mide su lado?
a. 9 dm.
b. 29 dm
c. 14 dm.
d. Ninguna de las anteriores
25. Un terreno cuadrado tiene una superficie de 635.04 m 2 ¿Cuál es la longitud que tiene
la valla que lo rodea?
a. 106 m.
b. 160 m.
c. 108 m.
d. Ninguna de las anteriores
26. Un terreno tiene 500 metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada,
¿cuáles serían las dimensiones de este cuadrado?
a. 50 m.
b. 150 m.
c. 50 m.
d. Ninguna de las anteriores
27. Encuentra varias parejas de números tales que la segunda potencia del primer
número sea igual a la cuarta potencia del segundo número.