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UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA
FACULTAD DE CONTADURÍA PÚBLICA
PROGRAMA DE PREGRADO
CICLO DE FUNDAMENTACION
NOMBRE DE LA MATERIA: ALGEBRA LINEAL
SEMESTRE
CÓDIGO DE LA MATERIA
CRÉDITOS
PERÍODO ACADÉMICO
PRERREQUISITOS
DOCENTE(S)
CORREO ELECTRÓNICO
COORDINADOR DEL CICLO
CORREO ELECTRONICO
: Tercero
: C0 0854
:3
: 2016-l
: Cálculo II
: Esperanza Ardila Romero
: Manuel Pérez Velasco
: [email protected]
: [email protected]
: José Ubaldo Díaz Henao
: [email protected]
1. JUSTIFICACIÓN.
LA COMUNICACIÓN EN MATEMÁTICAS.
Cuando un estudiante se enfrenta a un curso de matemáticas, uno delos elementos esenciales a lo largo
del proceso enseñanza–aprendizaje es, sin duda, el lenguaje, tanto cotidiano como matemático. Estos dos
lenguajes, su comprensión con significado y su relación, son el objetivo del proceso de formación
académica, puesto que el mundo real en el cual se desempañará el profesional de la Contaduría Pública,
es la fuente de todas las situaciones que le exigirán una interpretación y una solución; mientras que los
conceptos matemáticos serán los que le permitan una representación de ese mundo real y una o varias
propuestas de solución.
En este orden de ideas, el curso de álgebra lineal y teoría de juegos, brinda a los estudiantes las
herramientas necesarias para modelar por medio de matrices, situaciones comunes en problemas
económicos, contables y administrativos. El fin no es solamente poder modelar estas situaciones, sino que
con ayuda de estas representaciones se puedan optimizar procesos para tomar las mejores decisiones
para el sistema económico, la empresa o para poder hacer análisis de pensamiento estratégico.
Desde luego es necesario reconocer que los elementos conceptuales que brinda el estudio del álgebra
lineal en lo referente a espacios vectoriales y transformaciones lineales, son de esencial uso en
desarrollos posteriores para entender teoremas de matemáticas financieras avanzadas en el estudio de
derivados financieros. Pero el objetivo de este curso se limita solamente al uso en representaciones para
toma de decisiones en problemas de programación lineal y teoría de juegos
El álgebra matricial que permite operar matrices tiene siempre una aplicación potencial si la información
numérica que se acomoda de forma significativa en bloques rectangulares, representa aspectos reales.
Los sistemas de ecuaciones lineales que pueden surgir de problemas de distribución de recursos o de
planeación empresarial pueden solucionarse por métodos matriciales de forma mucho más rápida y
sencilla. El uso de tecnologías permite encontrar rápidamente soluciones.
Aunque la frase programación lineal pareciera implicar un código computacional, en realidad la palabra
programación proviene del uso que se le dio en la terminología militar durante la segunda guerra mundial.
El entrenamiento, el abastecimiento y los planes de despliegue de las unidades militares fueron llamados
programas. Cada uno de estos programas era una solución a un problema de asignación de recursos.
Este es el problema central de la economía y el problema específico de la empresa. El uso de programas
computacionales y de programación de los mismos facilita la solución de estos problemas. Pero el
planteamiento, el logro de la modelación es lo que en realidad permite el uso de estos métodos y es en
este frente en el que trabajamos para lograr los objetivos del curso.
La modelación matemática ya no es algo nuevo en esta instancia y todo lo que se ha logrado con los
cursos anteriores sienta las bases necesarias para que los problemas a solucionar sean cada vez más
reales y complejos y den solución a una mayor cantidad de situaciones típicas de los problemas que
enfrentará el contador público. Los elementos conceptuales adquiridos en cursos anteriores nunca estarán
desligados de este curso por el contrario serán soportes de lo que se quiere.
Los estudiantes se enfrentan ahora a un ambiente en el que las decisiones que se toman no solamente
están determinadas por situaciones inherentes al problema empresarial. Contable o económico que se ha
optimizado, sino que las decisiones de otros agentes pueden implicar diferencias en las ganancias que se
perciban. Ahora los estudiantes deben ser conscientes de la situación que se genera en los mercados
competitivos.
La toma de decisiones va más allá del problema interno, trasciende a la interacción con el mercado y a la
situación coyuntural. Por eso el pensamiento estratégico en la toma de decisiones complementa esta
búsqueda del óptimo que se mantiene a lo largo de toda la formación.
Encontrar la mejor solución o la mejor decisión a situaciones modeladas es ahora más que nunca el
objetivo central del curso.
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO METODOLOGÍA DE APROPIACIÓN DE LA REALIDAD.
Una de las conductas más inteligentes de las personas es la capacidad de dar solución a situaciones que
generan dificultad; esta conducta contiene una utilidad práctica destacada, pues la vida misma obliga a
resolver problemas continuamente, es por ello que el proceso enseñanza–aprendizaje debe estar
orientado no a depositar contenidos en los estudiantes, sino a desarrollar sus capacidades para que
puedan enfrentarse al mundo, a su dinámica.
En el caso particular de la enseñanza de la matemática, el desarrollo de técnicas de cómputo (en sus
diferentes niveles de dificultad) evidencia de primera mano la capacidad de una persona de usar la
matemática, pero no necesariamente la asimilación de los conocimientos (conceptos e interpretación de
resultados).Como respuesta a ello, la propuesta de una metodología con el enfoque de resolución de
problemas busca dejar de lado la enseñanza de la matemática vista con el único propósito de que los
estudiantes respondan acertadamente a ejercicios con diferentes grados de dificultad, ofreciendo como
respuesta un resultado numérico (o a veces gráfico).
Con el enfoque de resolución de problemas se pretende que el futuro profesional de Contaduría Pública
proponga posibles soluciones a situaciones propias de su entorno a través del uso de conceptos
matemáticos, lo cual exige la disposición de dichos conceptos para el alcance de un fin identificable e
identificado por quien se enfrenta a la necesidad de ofrecer una respuesta propositiva ante la dificultad
presentada.
SABER Y SABERLO DEMOSTRAR.
A toda persona que alcanza determinado nivel de conocimiento, le resulta imperioso en algún momento de
su vida sustentar los saberes que ha ido construyendo. De aquí que se haga indispensable que en el
contexto de clase se otorguen momentos especiales y periódicos que le permitan al Administrador de
Empresas en formación, fortalecer sus conocimientos a partir de la argumentación de los mismos y de las
propuestas de solución que presenta a los problemas teóricos relacionados con su futuro desempeño
profesional.
Saber y saberlo demostrar es argumentar, esto es, ofrecer un conjunto de razones o de pruebas en apoyo
a una conclusión, lo cual a su vez implica afianzar un conocimiento específico de una disciplina, al mismo
tiempo que construir un conocimiento acerca de las estrategias que pueden usarse para socializar ese
conocimiento disciplinar específico, es decir, para socializar el saber (o lo que se sabe) y defender los
puntos de vista acerca de cómo se entiende (interpreta), representa (matematiza) y soluciona
(competencia propositiva) un problema determinado. En otras palabras, no sólo se solidifican los saberes
matemáticos sino que también se potencia la producción de formas discursivas.
En definitiva, la creación de estos momentos de argumentación no sólo fortalece los conocimientos
propios de las matemáticas, sino que le exige al estudiante la aprehensión de conceptos propios de los
diferentes saberes que requiere para afrontar la solución de un problema.
2. OBJETIVO GENERAL.
Reconocer la metodología de resolución de problemas reales a través del uso de conceptos matemáticos,
como un modo de desempeño profesional que permite identificar entre diferentes estrategias de solución a
las situaciones presentadas, aquella que otorga la solución óptima además de modelar por medio del uso
de matrices y del álgebra matricial, problemas de optimización que se solucionan con métodos
tradicionales de soluciones de sistemas de ecuaciones y por medio de mejores respuestas con los
métodos de programación lineal gráfica y simplex. Modelar problemas de toma de decisiones en dónde la
mejor decisión está ligada a la elección de agentes externos que deciden de forma racional “egocéntrica” y
maximizadora. Al mismo tiempo que estudiar los problemas de decisiones en cooperación con ambientes
de jugadores que compiten en negociaciones donde es necesario encontrar la base de negociación.
3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Al finalizar la asignatura el estudiante estará en capacidad de:

Establecer vectores representativos y operar con ellos identificando los resultados obtenidos.

Establecer matrices representativas y operar con ellas identificando los resultados obtenidos.

Representar con el uso de matrices, sistemas de ecuaciones que permitan modelar y dar solución
a problemas de económicos y de empresa.

Distinguir relaciones entre variables que pueden representarse con modelos lineales de aquellas
que no.

Argumentar las ventajas y desventajas que ofrecen las diferentes alternativas de solución a un
problema planteado.

Modelar situaciones de toma de decisiones en contextos que involucran el azar y la competencia.

Modelar situaciones que contemplan como solución las alianzas, fusiones, toma de decisiones
bajo posibles ambientes de negociación, conociendo el verdadero poder de esta.

Escoger entre las diferentes estrategias de solución a un problema planteado aquella que
lo resuelva de forma óptima.
4. CONTENIDO TEMÁTICO:
1.
2.
¿Qué conceptos en la empresa se representan con vectores? Los vectores como herramienta
de representación y cálculo.
1.1. Operaciones con vectores ilustración gráfica.
1.2. Operaciones con vectores forma analítica.
Matrices, representación de situaciones económicas, de producción, distribución y consumo.
2.1. Operaciones con matrices y problemas de empresa.
2.2. Sistemas de ecuaciones y representaciones matriciales.
3.
Determinante de una matriz
3.1
Definición
3.2
Propiedades
3.3
Solución
3.4
Aplicaciones
4.
Problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones:
4.1. El método de la inversa de una matriz.
4.2. El método de reducción de Gauss-Jordán.
4.3. Problemas que se resuelven planteando sistemas lineales.
5.
Optimización en sistemas lineales.
5.1. Sistemas de desigualdades
5.2. Programación lineal el método gráfico.
5.3. Optimización en sistemas lineales. El método simplex. Problemas que se resuelven
planteando sistemas lineales en múltiples variables. Problemas de maximización.
5.4. Optimización en sistemas lineales. La dualidad. Problemas que se resuelven planteando
sistemas lineales en múltiples variables. Problemas de minimización.
5.5. Aplicaciones reales en problemas específicos de empresa.
6.
Generalidades de la teoría de juegos.
6.1. El valor esperado como criterio de toma de decisiones.
6.2. Definición de un juego. El lenguaje para representarlo.
6.3. Clasificaciones y representaciones. Los problemas de información, simultaneidad y
secuencialidad en representaciones.
7.
Pensamiento estratégico, toma de decisiones óptimas en situaciones que involucran el azar o
un comportamiento de un agente o un ente exógeno a los modelos.
7.1. Métodos de solución para juegos no cooperativos. Dominancia, inducción hacia atrás,
Posturas ante el riesgo, criterios maxmin y maxmax.
7.2. Criterio de la mejor respuesta y equilibrios de Nash en estrategias puras. Los equilibrios
en estrategias mixtas.
7.3. Los equilibrios múltiples.
PROGRAMACIÓN POR SESIONES
CLA
SE
FECHA
TEMA
Introducción al curso. Reglas de juego.
1
2
Semana 1:
3
4
5
Semana 2:
Vectores en R^2 y en R^3. Definición geométrica,
definición algebraica, magnitud y dirección.Vectores en
Rn.
Vector unitario, operaciones, producto vector escalar,
producto escalar, suma, propiedades.
Matrices: definición y clases.
Operaciones: Producto de un escalar por una matriz,
suma, producto de dos matrices. Propiedades.
9
Operaciones: Potencias de matrices, transpuesta de una
matriz, matriz identidad, inversa de una matriz. Propiedad.
Operaciones entre filas, matrices semejantes. Matriz
inversa. Ejercicios
Determinante de una matriz. Calculo de un determinante,
propiedades
Taller
10
Menores de una matriz. Cofactores de una matriz.
6
7
8
11
Semana 3:
Semana 4:
12
Sistemas de ecuaciones lineales.
Solución: Métodos de Gauss - Jordán.
13
14
Cálculo de la matriz inversa por el método de cofactores.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Forma matricial.
Solución: Métodos de Gauss - Jordán.
Semana 5:
Forma matricial.
Tipos de solución en sistemas de ecuaciones
15
Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el
método de la inversa.
16
Taller
17
Primer parcial
Semana 6:
18
corrección y trabajo de aplicación al NTF
19
Trabajo de aplicación al NTF
20
21
PRIMER CORTE 30%
22
23
Semana 8:
24
Semana 9:
27
28
Programación Lineal. Sistemas de inecuaciones lineales .
Planteamiento de modelos de programación lineal
Solución por el método gráfico
Taller
El método simplex. Ejercicios
25
26
Trabajo de aplicación al NTF
Semana 7:
El método simplex. Ejercicios
El método simplex. Ejercicios
Semana 10:
Taller NTF
29
30
31
32
Semana 11:
33
34
35
36
37
38
Semana 12:
Semana 13:
39
40
41
Semana 14:
Taller NTF
Teoría de juegos, introducción. Representaciones,
clasificación. Problemas de información, acciones y
estrategias.
Juegos de un jugador, juegos contra la naturaleza.
Posturas ante el riesgo. Inversores. Valores maxmin y
maxmax. T de Von Newman.
Taller
Estrategias dominadas, dominancia, equilibrio de un
juego, primer acercamiento. El método de eliminación
iterativa de estrategias estrictamente dominadas. El
método de inducción hacia atrás y la perfecta información.
SEGUNDO PARCIAL
Entrega de notas y corrección parcial
NTF
Taller
Criterio de la mejor respuesta y equilibrios de Nash en
estrategias puras.
Taller
La incertidumbre en la elección de estrategias el equilibrio
de Nash en estrategias mixtas.
Taller
42
Como eliminar equilibrios múltiples, los problemas de
información y el análisis en subjuegos.
43
Taller
44
Semana 15:
Caracterización y unidades de análisis. Funciones
características
Poder de juego, El valor de shapley. Taller.
45
46
47
Los juegos cooperativos
Semana 16:
Trabajo de aplicación al NTF
48
49
Trabajo de aplicación al NTF
Semana 17:
5. METODOLOGÍA.




Clases magistrales
Talleres realizados en clase
Talleres extra-clase
Taller Sala de computo
Examen Final
6. EVALUACIÓN.
Primer corte
30%: Dos parciales cada uno del 10%, y 10% de quices.
Segundo corte 30%:
Dos parciales cada uno del 10% y 10% de quices y avance
del NTF
Tercer corte
40%: Examen final 20%, NTF 10%, quices 10%
Bibliografía(**)
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Moreno Osorio, Luis G. Teoría de la decisión. Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, 2011.
BAYE, MICHAEL R. Economía de empresa y estrategia empresarial, 5.ª ed., España, McGraw Hill, 2006.
DIXIT, AVINASH K.; BARRY J. NALEBUFF.
Pensar estratégicamente: un arma decisiva en los negocios, la política
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FERNÁNDEZ RUIZ, JORGE.
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Teoría de juegos: su aplicación en economía, 1ª. ed., México D.F., El Colegio de
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Naranjo Martínez, Carlos Andrés. Lecciones de matemáticas para abogados 2.0, 2ª ed., Bogotá D.C.,
Universidad Externado de Colombia, 2013.
MONSALVE, SERGIO; JULIÁN ARÉVALO.
Externado de Colombia, 2005.
Un curso de teoría de juegos clásica, 1.ª ed., Bogotá D.C., Universidad