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Polígono regular wikipedia, lookup

Polígono convexo wikipedia, lookup

Dodecágono wikipedia, lookup

Pirámide (geometría) wikipedia, lookup

Hexágono wikipedia, lookup

Transcript
Polígono
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos
consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el hexágono es un polígono de seis
lados.
La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de πολύς,
"muchos" y γωνία, "ángulo". BUA Ya que un polígono P es una región cerrada y
limitada, la frontera de P es un ciclo de aristas, donde dos aristas de tal ciclo comparten
un vértice.
Polígono simple.
Un polígono se denomina simple si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan.
Además figuran los polígonos ortogonales, también conocidos como isotéticos o
rectilíneos, que son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los
polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica
de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.
Suponiendo que n es el número de lados, el número de diagonales trazadas en el interior
de un polígono serán n(n − 3) / 2.
Existe también la posibilidad de configurar polígonos utilizando más de tres
dimensiones. Así, para tres dimensiones se denominan poliedros, en cuatro
dimensiones, polícoros, y en n dimensiones politopos.
Tipos de polígonos
Polígono
Polígono simple
Polígono convexo
Polígono regular
Polígono irregular
Polígono cóncavo
Polígono complejo
Poligonal
Se denomina poligonal al conjunto ordenado de segmentos coplanarios tales que, el
extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue.
Área de un polígono
Para calcular el área de un polígono, existen las siguientes fórmulas:
Siendo:
A = área
l = longitud de uno de los lados
b = base
h = altura
D = diagonal mayor
d = diagonal menor
P = perímetro
a = apotema
Se aplican las siguientes fórmulas:
Polígono regular:
Triángulo:
Rectángulo:
Cuadrado:
Rombo:
Romboide:
(siendo un caso particular de
, pues
)
También, el área de un polígono regular puede ser calculada de la siguiente forma:
Suponiendo que:
A = área
n = número de lados
l = longitud de uno de los lados
a = apotema
Se cumplen las siguientes relaciones:
polígonos figuras cerradas, su superficie es plana encerrada dentro de un contorno
formado por segmentos rectos unidos en sus extremos y no se corta asi misma.
Polígono
Número
Nombre
de lados
no existe
1
no existe
2
triángulo
3
cuadrilátero
4
pentágono
5
hexágono
6
heptágono
7
octágono
8
eneágono
9
decágono
10
endecágono
11
dodecágono
12
tridecágono
13
tetradecágono 14
pentadecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono 18
eneadecágono 19
isodecágono
20
triacontágono 30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octacontágono 80
eneacontágono 90
hectágono
100
chiliágono
1.000
miriágono
10.000
megágono
1.000.000
Polígono simple
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Un polígono simple hexagonal.
Un polígono complejo pentagonal.
Un polígono simple es un polígono cuyos lados no adyacentes no se intersectan. Un
polígono simple divide al plano geométrico que lo contiene en dos regiones: la región
interior al polígono y la región exterior a él. Un polígono que no es simple se denomina
polígono complejo.
Polígonos simples en geometría computacional [editar]
En geometría computacional existen varios problemas importantes donde una de las
condiciones iniciales dadas es un polígono simple:




Determinar si un punto yace en el interior de un polígono simple;
Determinar el área contenida en un polígono simple;
Triangulación de polígonos: dividir un polígono simple en triángulos;
Unión de polígonos: hallar el polígono simple que contenga el área contenida en
cualesquiera de otros dos polígonos simples;


Intersección de polígonos: hallar el polígono o polígonos simples que contengan
el área común a un par de polígonos simples;
Determinar la envoltura convexa de un polígono simple.
Polígono convexo
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Un polígono convexo decagonal.
Un polígono cóncavo hexagonal. Observe que uno de sus vértices apunta hacia el
interior de la figura.
Un polígono convexo es un polígono en el que todos los ángulos interiores miden
menos de 180 grados ó π radianes. En un polígono convexo, todos los vértices
"apuntan" hacia el exterior del polígono. Un polígono que no cumple las condiciones
para ser clasificado como convexo se denomina polígono cóncavo.
Cualquier recta que pase por un lado de un polígono cónvexo deja a todo el polígono
completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.
Todos los triángulos son polígonos convexos. Los polígonos estrellados, por su parte,
no lo son, esto es, son polígonos cóncavos.
Polígono regular
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud
y todos los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de
un Hexágono pera representar un polígono regular genérico.
Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una
circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el
número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez mas a la de
un círculo.
En un polígono regular podemos distinguir:







Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.
Propiedades
Dadas las características de los polígonos regulares, podemos diferenciar algunas
propiedades que se dan siempre, y que son de gran utilidad para determinar sus
propiedades, y dimensiones geométricas.

Los polígonos regulares son equiláteros; todos sus lados tienen la misma
longitud

Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es
decir, son congruentes

El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices
del polígono

Los polígonos se pueden dividir en triángulos cuyos lados son el lado del
polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios)

El apotema es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del
polígono

El radio es el segmento que une el centro y cada vértice
Los ángulos de un polígono regular
Entre los ángulos existentes en un polígono regular, podemos ver: el Ángulo central,
Ángulo interior y Ángulo exterior.
Ángulos centrales

Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida
α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono
en grados
en radianes
Ángulos interiores

El Ángulo interior,
, de un polígono regular mide:
en grados
en radianes

La suma de los ángulos interiores,
en grados
en radianes
, de un poligono regular es de:
Ángulos exteriores

El Ángulo exterior, , de un polígono regular es de:
en grados
en radianes

La suma de los ángulos exteriores,
, de un polígono regular es:
en grados
en radianes
Como puede verse la suma de los ángulos exteriores de un polígono, y de un polígono
regular en particular, mide una circunferencia completa, independientemente del
numero de lados.
A esta conclusión se podía llegar percatándose de que:
dado que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, que resulta:
Por otro lado al ser ángulos suplementarios tenemos:
por tanto, en un polígono regular el ángulo central y el exterior miden lo mismo:
y habiendo el mismo numero de ángulos centrales y exteriores en un polígono, su suma
también es la misma:
que es una circunferencia completa, independientemente del numero de lados, esta
conclusión es valida también para los polígonos no regulares.
Galería de polígonos regulares
Triángulo equilátero
(Triángulo regular).
Cuadrado
Pentágono regular. Hexágono regular.
(cuadrilátero regular).
Heptágono regular.
Octógono regular.
Eneágono regular. Decágono regular.
Endecágono regular.
Dodecágono regular.
Tridecágono
regular.
Tetradecágono
regular.
Área de los polígonos regulares
Para calcular el área, A, de un polígono debemos multiplicar el perímetro, P, por el
apotema, a, y dividido entre dos. Lo que se resume como:
Partiendo del triángulo que tiene por base un lado,L, del polígono y altura su apotema,a
, el area de este triángulo, es:
Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el area del polígono
sera:
esto es:
Sabiendo que la longitud de un lado,L, por el número,n, de lados es el perímetro,P ,
tenemos:
Area de un polígono, conociendo el número de lados y el radio
Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por
tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:
donde el ángulo central es:
sabiendo que el área de un polígono es:
y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:
ordenando tenemos:
sabiendo que:
resulta:
o lo que ea lo mismo:
Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el
número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.
Diagonales de un polinomio regular
Como ya se ha dicho la diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no
contiguos, vamos a ver algunas características de estas diagonales.
Número de diagonales
Para determinar el número de diagonales Nd, de un polinomio de n vértices
realizaremos el siguiente razonamiento:



De un vértice cualesquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de
vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con
ninguno de los dos vértices contiguos.
Esto es valido para los n vértices del polinomio.
Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior
tendríamos el doble de diagonales de las existentes.
Según el razonamiento tendremos que:
Longitud de la diagonal más pequeña
La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos,
para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa
por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son
perpendiculares en A.
Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:
que resulta:
de donde deducimos que:
Sabiendo el valor del ángulo central:
La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del numero
de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud
cuando aumenta el número de lados del polígono.
Polígono convexo
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Un polígono convexo decagonal.
Un polígono cóncavo hexagonal. Observe que uno de sus vértices apunta hacia el
interior de la figura.
Un polígono convexo es un polígono en el que todos los ángulos interiores miden
menos de 180 grados ó π radianes. En un polígono convexo, todos los vértices
"apuntan" hacia el exterior del polígono. Un polígono que no cumple las condiciones
para ser clasificado como convexo se denomina polígono cóncavo.
Cualquier recta que pase por un lado de un polígono cónvexo deja a todo el polígono
completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.
Todos los triángulos son polígonos convexos. Los polígonos estrellados, por su parte,
no lo son, esto es, son polígonos cóncavos.
Un polígono simple es un polígono cuyos lados no adyacentes no se intersectan. Un
polígono simple divide al plano geométrico que lo contiene en dos regiones: la región
interior al polígono y la región exterior a él. Un polígono que no es simple se denomina
polígono complejo.
Polígonos simples en geometría computacional
En geometría computacional existen varios problemas importantes donde una de las
condiciones iniciales dadas es un polígono simple:






Determinar si un punto yace en el interior de un polígono simple;
Determinar el área contenida en un polígono simple;
Triangulación de polígonos: dividir un polígono simple en triángulos;
Unión de polígonos: hallar el polígono simple que contenga el área contenida en
cualesquiera de otros dos polígonos simples;
Intersección de polígonos: hallar el polígono o polígonos simples que contengan
el área común a un par de polígonos simples;
Determinar la envoltura convexa de un polígono simple.