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Transcript
SOLUCIONES DE PROBLEMAS DEL TEMA: Energía. Trabajo y Potencia. Conservación Energía
Trabajo y potencia
1. Una persona tira con una cuerda de una caja realizando una fuerza de 20 N, mientras ésta se desliza por el suelo
4 m en línea recta. ¿Qué trabajo realiza esta fuerza cuando la cuerda y el desplazamiento forman un ángulo de:
a) 30º; b) 90º; y c) 150º.
Solución:
a) W = Fxcos = 204 3 / 2 = 69,28 N
b) W = Fxcos = 0 (cos90º = 0)
c) W = Fxcos = 204cos150º = -69,28 N
2. Razona sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) La fuerza de rozamiento estática no puede realizar trabajo.
b) La fuerza normal ejercida sobre un cuerpo por la superficie que lo soporta no realiza trabajo cuando el
cuerpo se mueve en un plano horizontal.
c) Una fuerza que es perpendicular a la velocidad siempre realiza trabajo.
Solución:
a) Verdadero, ya que no hay desplazamiento.
b) Verdadero, porque el desplazamiento es perpendicular a ella.
c) Falso, ya que la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares y, por tanto, el trabajo es nulo.
3. Razona, si en las siguientes situaciones, la fuerza realiza trabajo:
a) Empujar una pared.
b) Trasladar un libro de un estante a otro superior.
c) Fuerza ejercida por el peso de un cuerpo cuando se le deja caer libremente.
d) Llevar un saco de patatas al hombro y trasladarlo por un camino horizontal.
Solución:
a)
b)
c)
d)
No, porque no hay desplazamiento.
Sí, ya que hay fuerza, desplazamiento y son de la misma dirección y sentido.
Sí, por el mismo motivo del apartado anterior.
No, ya que la fuerza es vertical y el desplazamiento horizontal.
4. Con ayuda de un motor eléctrico se eleva un montacargas lleno de sacos de cemento hasta una altura de 12 m
en 20 segundos. Si la masa total (ladrillos y montacargas) es de 500 kg, determina la potencia mínima que
necesita el motor para realizar dicha operación.
Solución:
P = W/t = mgh/t = 5009,812 / 20 = 2940 W = 2,94 kW.
Energía cinética y potencial
5. a) Una masa de 2 kg y otra de 200 kg poseen la misma cantidad de movimiento. ¿Poseerán la misma energía
cinética?.
b) Cuando se duplica la cantidad de movimiento de un objeto, ¿qué ocurre con su energía cinética?.
Solución:
a) Como Ec = p2/2m, si p es igual y m es mayor, la energía cinética es más pequeña. Por tanto, la primera masa
(menor) tendrá más emergía cinética que la segunda (mayor).
1
b) De la ecuación anterior, la energía cinética es proporcional al cuadrado del momento lineal, por lo que si se
duplica p, la energía cinética será cuatro veces mayor.
6. Una bola de 10 g se coloca contra el muelle de una máquina de pin-ball. La constante elástica del muelle es de
10 N/m. El jugador estira el muelle 3 cm. a) Determina (supuesta la máquina horizontal) el trabajo realizado
por el jugador y el trabajo realizado por el muelle. b) Determina la energía cinética de la bola cuando inicia su
movimiento.
Solución:
a) W = Ep = ½ kx2 = 4,510-3 J. W(muelle) = -Ep = -4,510-3 J.
b) Ec = Ep (elástica del muelle estirado) = 4,510-3 J
7. En las siguientes afirmaciones hay dos que son falsas, indica cuáles son y escríbelas de forma correcta:
a) La energía cinética nunca puede ser negativa, ya que en la expresión que la define, aparece el módulo de la
velocidad.
b) La energía potencial no puede ser negativa ya que todas las magnitudes que aparecen en su expresión son
siempre positivas.
c) El trabajo realizado por una fuerza conservativa, por ejemplo el peso, disminuye la energía potencial
asociada con dicha fuerza.
d) Si actúan solo fuerzas conservativas, la energía cinética de una partícula no cambia.
Solución:
b) La energía potencial puede ser positiva o negativa, dependiendo del punto que se tome como referencia y
de la situación particular del objeto.
d) Si actúan sólo fuerzas conservativas la energía mecánica es constante.
Ley de conservación de la energía.
8. Con ayuda de un muelle, que se encuentra comprimido 20 mm, tal como se observa en la figura, se lanza una
canica de 50 g de masa por una mesa horizontal sin rozamiento. La canica cae 5 metros más allá de la pata de
la mesa. Sabiendo que la altura de la mesa es 1,2 m, determina: a) La constante elástica del muelle; b) la
energía mecánica de la canica durante su trayectoria, c) ¿qué distancia horizontal alcanzaría si el muelle se
comprimiera 40 mm?.
Solución:
a) x = v0t; y = ½ gt2 (Lanzamiento horizontal) 5 = v0t, 1,2 = ½ 9,8t2. De aquí: t =
2,4
y
9,8
v0 = 10,10
m/s.
Como la energía es constante: ½ kx2 = ½ mv2. De donde k = 12760,4 N/m.
b) E = ½ mv2 + mgh = 2,55 J.
c) Con las ecuaciones de a): E = cte.= ½ kx2 = ½ mv2 ; v0 = 20,20 m/s; x = 10 m.
9. Se lanza un balón de 0,750 g hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. Despreciando los efectos de rozamiento
con el aire, a) ¿Cuál es la energía mecánica del balón?, b) ¿qué energía potencial alcanza el balón en el punto
más alto de su movimiento?, c)¿cuál es la altura correspondiente a ese punto.
Solución:
a) Posición inicial: h = 0. E = Ec + Ep = ½ mv2 + 0 = 54 J.
b) Arriba: v = 0, por tanto: Ep = E = 54 J.
c) De b): Ep = mgh = 54; h = 7,35 m.
10. Un péndulo de 40 cm de longitud y 50 g de masa se lleva desde la posición de equilibrio hasta una altura tal
que forma 90º con dicha posición. Determina:
2
a) El trabajo realizado contra el peso.
b) ¿En qué se ha convertido dicho trabajo?
c) Al soltarlo, vuelve a pasar por su posición de equilibrio, calcula la velocidad en dicha posición y la tensión
de la cuerda.
Solución:
a) W = Ep = mgL = 0,196 J.
b) En la energía potencial que posee la masa en el punto más alto.
c) Como la energía mecánica es constante, igualando en el punto más bajo y más alto:
½ mv2 = mgh = 0,196. De aquí: v = 2,8 m/s.
Aplicando la segunda ley de Newton: T – mg = mv2/r, de donde: T =1,47 N.
11. En la cima de una montaña rusa un vehículo está a una altura de 40 m sobre el suelo y avanza a 5 m/s. Calcula
la energía cinética del vehículo cuando está en una segunda cima situada a 20 sobre el suelo, si se desprecian
los rozamientos. La masa del vehículo con sus ocupantes es de 1000 kg.
Solución:
Aplicando la LCE: Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2. De aquí: Ec2 = 208500 J.
12. Una vagoneta para cargar mineral, tiene una masa total de 10.000 kg. Parte del reposo y rueda sin rozamiento,
cuesta abajo por la vía, a una zona de descarga que está 12 m por debajo del punto inicial (ver figura). Un
amortiguador de resorte la detiene y la sujeta mientras es descargada. ¿Cuál es el valor de la constante del
resorte si el amortiguador se comprime 1,2 m al detener la vagoneta?. Después de descargarla, su masa es de
1000 kg. Al soltarla vacía regresa cuesta arriba por la vía. ¿Con qué velocidad llega al punto inicial?.
Solución:
a) Como la energía mecánica es constante: mgh = ½ kx2, de donde k = 1,63106 N7m.
b) Aplicando la LCE: ½ kx 2 = mgh + ½ mv2, se obtiene : v = 45,96 m/s.
Energía y medio ambiente
13. A continuación aparece una lista de nombres propios relacionados con accidentes que han creado problemas
medioambientales. Averigua a qué accidentes hacen referencia e indica si el accidente está relacionado con la
extracción, transporte o generación de energía:
a) Exxon Valdez; b) Vandellós I; c) Mar Egeo; d) Chernobil; e) Three Mile Island.
Solución:
a) Transporte; b) generación; c) extracción; d) generación; e) generación.
14. Las siguientes imágenes están relacionadas con alguna fuente de energía. Indica de qué fuente se trata y
clasifícalas como renovables o no renovables.
a) Plataforma petrolera; b) salto de agua; c) aerogenerador; d) placa solar térmica; e) central térmica o
nuclear.
Solución:
15. El 24 de febrero de 1997 se escribía el siguiente titular de prensa: “España pretende que el 12% de la energía
consumida en el 2010 sea de origen renovable”. A continuación, en el encabezamiento de la noticia se lee: “
Basuras, viento, virutas, el sol, el agua, los girasoles, son fuentes de energía muy poco contaminantes que
3
apenas se han desarrollado frente a la pujanza del carbón, el petróleo y las centrales nucleares. Europa, sin
embargo, se ha fijado que sean un 12% de la producción energética”. Responde a las siguientes cuestiones:
a) ¿Es lo mismo energía consumida que producción de energía, como parece indicar el artículo?
b) ¿Con qué tipo de energía puedes relacionar cada una de las que en el artículo denomina fuentes de
energía?.
c) ¿Una central nuclear es una fuente de energía?.
Solución:
a) No, pero van más o menos a la par?.
b) Basuras:
c) No.
Problemas y cuestiones generales
16. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) Un muchacho tira de un carro de la compra con una fuerza tal que hace que el carro se mueva con una
velocidad constante de 1,5 m/s. ¿Se realiza trabajo neto sobre el carro?.
b) Un lanzador de martillo mueve el martillo describiendo circunferencias en un plano horizontal, ¿realiza
trabajo la tensión de la cuerda que sujeta el martillo?.
c) ¿Bajo qué circunstancias (si existe alguna) no se realiza ningún trabajo sobre un objeto en movimiento,
aunque esté actuando una fuerza neta sobre éste?.
Solución:
a) No, ya que la velocidad es constante y por tanto la energía cinética no cambia, con lo cual, por el
teorema de la energía cinética, el trabajo neto es cero.
b) No, ya que la tensión es perpendicular al desplazamiento.
c) Cuando la fuerza sea perpendicular al desplazamiento, ya que cos = 0.
17. Completa la siguiente tabla:
Símbolo
Representa
Escalar o vectorial Unidad en el S.I.
W
Ec
P
½ kx2
Ep
Em
K
Trabajo
Energía cinética
Peso
Energía potencial elástica
Energía potencial gravitatoria
Variación de la energía mecánica
Constante elástica
Escalar
Escalar
Vectorial
Escalar
Escalar
Escalar
Escalar
J
J
N
J
J
J
N/m
18. Tres bolas idénticas se lanzan desde la parte superior de un edificio, todas con la misma velocidad. La primera
se lanza horizontalmente, la segunda hacia arriba y la tercera hacia abajo. Ignorando la resistencia del aire,
¿qué bola tendrá mayor velocidad al llegar al suelo?.
Solución:
Como no hay fuerzas disipativas la energía mecánica se conserva. En la situación inicial se encuentran a la
misma altura y tienen el mismo valor de la velocidad, con lo cual la energía mecánica de las tres es la misma.
Al llegar al suelo están a la misma altura, por lo que la velocidad debe ser la misma, en módulo, para que la
energía mecánica, suma de cinética y potencial, sea la misma.
19. Una partícula de 4 kg de masa se suelta desde el punto A de la figura. Determina, suponiendo que no existe
rozamiento: a) la velocidad de la partícula en los puntos B y C; b) el trabajo neto realizado por la fuerza de la
gravedad al mover la partícula de A a C; c) ¿cuál será su aceleración en B?.
4
Solución:
a) Para obtener la velocidad se utiliza la ley de conservación de la energía mecánica, igualando la energía en
A y en B, en primer lugar, y en A y en C, después. Así: E mA  mghA 
1 2
1
mv A = E mB  mghB  mvB2
2
2
Simplificando m, sustituyendo los datos y despejando, se obtiene: vB = 14 m/s. Operando de forma análoga
con los puntos A y C se obtiene: vC = 12,52 m/s.
b) Como la fuerza gravitatoria es conservativa, su trabajo es igual a la variación de la energía potencial
cambiada de signo. Es decir: W = - Ep = EpA – EpC = mg(hA – hC) = 313,6 J.
c) Como se ve en la figura en B describe un tramo de circunferencia, cuyo radio es 8 m. Además la resultante
en ese punto es radial, por lo que se puede suponer que en ese punto el movimiento es circular uniforme y
la aceleración será la aceleración normal, cuyo valor es: a  a n 
v B2
 24,5m / s 2
r
20. Por un fallo mecánico se suelta un coche de 1000 kg de masa del remolque de una grúa. El coche inicia su
movimiento con una velocidad de 2,5 m/s y se para después de recorrer 4 m. a) Determina el trabajo realizado
por la fuerza de rozamiento con el suelo. b) Determina el coeficiente de rozamiento.
Solución:
a) Del teorema general de la energía, cuando hay fuerzas que no son conservativas:
= 0 – ½ mv2 = -3125 J.
b) Como W = Fxcos => -3125 = 10009,8(-1), de donde  = 0,08.
Wnc = WFR = Em
21. Un tractor tira horizontalmente de un remolque, que traslada paja, con una fuerza de 4000 N recorriendo una
distancia de 600 m en 3 minutos y medio. Calcula: a) el valor del trabajo realizado por el tractor; b) la potencia
media desarrollada por el mismo; c) ¿cambiaría alguno de los resultados anteriores si el tractor realizara la
misma operación, pero en 6 minutos?.
Solución:
a) W = 4000600 = 2,4106 J.
b) P = W / t = 2,4106 / 3,560 = 11428,6 W = 11,43 kW.
c) Si, cambiaría la potencia. Ahora: P = 2,4106 / 660 = 6666,67 W = 6,67 kW.
22. El protagonista de una novela de ciencia-ficción se encuentra en la cima de un monte de 150 m de altura, en un
planeta imaginario. Deja caer un vehículo que tiene que llegar hasta sus compañeros, que se encuentran a 100
m de la base de la montaña. El vehículo llega con una velocidad de 14,14 m/s. Con ayuda de los siguientes
datos determina si el autor de la novela sabe Física o no (Supón que el rozamiento es despreciable): Datos: G =
6,67 . 10-11 N m2 kg-2; Masa del planeta = 1022 kg; radio del planeta = 1000 km.
Solución:
Se calcula g en ese planeta: g = G M / R2 = 0,667 m/s2. Aplicando la LCE:
E1 = mgh = E2 = 0 + ½ mv2 , se obtiene:v = 14,14 m/s. Sí sabe física.
23. Una pelota de 0,5 kg de masa es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 15 m/s, y alcanza su
máxima altura a los 9 m. ¿Cuál es el trabajo realizado por el rozamiento del aire sobre la pelota?.
Solución:
Wnc = Em = -12,15 J
24. Para subir 10 sacos de cemento de 50 kg cada uno al tercer piso de un edificio en construcción, una grúa realiza
un trabajo de 58800 J, ¿qué energía potencial adquieren los sacos? ¿ Hasta que altura se elevan? Si se les deja
5
caer, ¿cuál será su energía cinética al llegar al suelo? ¿Con qué velocidad llegarán?. Si la grúa tarda 20 s en
subir los sacos, ¿qué potencia desarrolla?.
Solución:
a)
b)
c)
d)
e)
Suponiendo que la velocidad es muy pequeña: W = Ep2 – Ep1 = Ep2 = 58800 J.
Ya que Ep = mgh, h = 58800/5009.8 = 12 m.
Por la LCE: Ec = 58800 J. Cada saco: 5880 J.
Como Ec = ½ mv2, v = 15,34 m/s.
P = W / t = 2940 W = 2,94 kW.
25. Una niña de 35 kg de masa que está corriendo a 3 m/s salta sobre un monopatín de 3,5 kg, ¿qué energía cinética
tendrán el monopatín y la niña si se supone que el rozamiento es despreciable? ¿Desde que altura tendrías que
dejar caer una pelota de 500 g para que su energía potencial fuese igual a la cinética anterior?.
Solución:
a) Aplicando la conservación del momento lineal: m1v1 = (m1 + m2)v2, de donde:
aquí: E = E0 = ½ mv2 = 143,18 J.
b) E = mgh, de donde: h = 29,22 m.
v2 = 2,73 m/s. De
26. Un bloque de 10 kg de masa es impulsado con una velocidad inicial cuyo modulo es 5 m/s para que suba por
una rampa de 30º. El coeficiente de rozamiento entre las superficies es 0,25. Determina el trabajo realizado
sobre el bloque, cuando alcanza su punto más alto en la rampa, por: a) la fuerza resultante que actúa sobre el
bloque; b) el peso del bloque; c) la fuerza normal; y d) la fuerza de rozamiento.
Solución:
a) Aplicando el teorema de la energía cinética: W = Ec = -125 J.
b) De la expresión anterior, ya que la resultante vale: F = -mgsen - mgcos = 70,22 N. El trabajo es Fx = 125 = 70,22x. x = 1,78 m. El trabajo del peso será, ya que es una fuerza conservativa: WP = - Ep = mgh = - mgx sen = -87,23 J.
c) Es cero, porque es perpendicular al desplazamiento.
d) El trabajo del rozamiento se puede obtener aplicando la LCE, en su expresión más general: WR = Em =
mgh – ½ mv2 = -37,77 J.
27. En un tramo de las cataratas del Niágara cae agua a razón de 1,2106 kg/s, desde una altura de 50 m. ¿Cuántas
bombillas de 100W podrían encenderse con esa potencia?
Solución:
La potencia se obtiene al dividir el trabajo (o la energía producida) por el tiempo. En nuestro caso:
P  mgh / t . Si esta potencia se divide por la de cada bombilla se obtiene en número de bombillas que se
podrían encender: N = P/100 = 5,88106 bombillas.
28. Mediante un motor se arrastra una roca de 190 kg por la superficie plana de una carretera. Si el coeficiente de
rozamiento entre la roca y el suelo es 0,4, a) ¿qué potencia ha de desarrollar el motor para mover la caja a 5
m/s?; b) ¿qué trabajo desarrollará el motor en tres minutos y medio?.
Solución:
a) La fuerza que debe hacer el motor para que se mueva con velocidad constante es la fuerza de rozamiento,
es decir: F = Fr = mg. Como la potencia es P = Fv, sustituyendo se obtiene: P = mgv = 3724 W.
b) De la definición de potencia, P = W/t, se despeja W = 7,82105 J.
29. Un objeto de 3 kg se encuentra apoyado sobre una mesa sin rozamiento. Está sujeto a un muelle horizontal (ver
figura) de constante elástica K = 300 N/m. El muelle se comprime 3 cm. a) Representa gráficamente la fuerza
elástica en función de x. b) Calcula el trabajo realizado por el muelle mientras el objeto va desde la posición
6
anterior hasta su posición de equilibrio; realiza la resolución analítica y geométricamente. c) ¿Qué velocidad
tendrá el bloque en la posición de equilibrio. d) Si en ese instante el objeto se soltara del muelle, que distancia
recorrería en 10 s?
Solución:
a) Como la fuerza elástica es, en módulo: F = kx, la representación gráfica es la siguiente:
F
x
b) Analíticamente. W = - Epe = ½ kx2 = 0,135 J.
Gráficamente: área bajo la curva: ½ bh = ½ 0,039 = 0,135 J.
c) Aplicando la LCE: ½ mv2 = ½ kx2 , de donde v = 0,3 m/s.
d) Como el movimiento es rectilíneo uniforme: x = vt = 3 m.
30. Una partícula de 3 kg de masa lleva una velocidad de 4 m/s cuando se encuentra en la posición x = 2 m. La
partícula está sometida a una fuerza tal como se indica en la figura. a) ¿Qué energía cinética tiene la partícula
en la posición x = 2 m?; b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se desplaza de x = 2
m a x = 5 m?; c) ¿Cuál será la velocidad de la partícula en la posición x = 5 m?.
Solución:
a) Ec( x = 2) = ½ mv2 = 24 J.
b) W = área bajo la curva = ½ 21 + 11 = 2 J.
c) W = Ec . De aquí: v = 4,16 m/s.
31. Dos bloques están unidos por una cuerda fina que pasa por una polea, tal como se muestra en la figura. Se
dejan en libertad desde el reposo, despreciando el rozamiento, comprueba que la velocidad cuando el bloque de
4 kg ha caído 3 m, es la misma si resuelves el problema ayudándote de las leyes de la dinámica que ayudándote
del principio de conservación de la energía.
Solución:
a) Aplicando dinámica (segunda ley de Newton) : a = ( m2 / m1 + m2) g . De donde
b) Aplicando la LCE: mgh = ½ (m1 + m2 ) v2, de donde v = 5,8 m/s.
v = 5,8 m/s.
32. Desde un acantilado de 60 m de altura se lanza una piedra con una velocidad de 40 m/s, formando un ángulo de
30º con la horizontal. ¿Qué energía cinética posee la piedra cuando se encuentra a 15 m del suelo?.
Solución:
Se aplica la LCE: ½ mv2 + mgh0 = Ec + mghf. De ahí: Ec = 1241 m J.
33. Si una masa de 10 g cae, sin velocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota hasta una altura máxima de 80
cm. a) ¿Qué cantidad de energía ha perdido?. b) ¿Es correcta la pregunta anterior?; ¿a qué energía se refiere?.
Solución:
a) La energía perdida será: E0 – Ef = mg(1 – 0,8) = 0,0196 J.
b) En realidad la energía se ha perdido como mecánica, pero se ha transformado en algún otro tipo de
energía (generalmente, en energía interna de la pelota, suelo, etc.).
7
34. Dos operarios de una empresa de mudanzas deben llevar su camión utilizando una rampa desde el suelo hasta
su parte trasera. Uno de ellos dice que se requiere menos trabajo para cargar el camión si se incrementa la
longitud de la rampa, y de ese modo se reduce el ángulo de la rampa con la horizontal. ¿Es correcta su
afirmación?. Razona tu respuesta. Supón que no existe rozamiento entre el objeto y la rampa.
Solución:
No es correcta, se realiza el mismo trabajo, mgh, ya que al no haber rozamiento el trabajo necesario es la
variación de energía potencial del objeto hasta llegar arriba.
35. Un granjero saca de un pozo un cubo de agua de 20 kg realizando un trabajo de 5500 J. ¿Qué profundidad tiene
el pozo?. Supón que la velocidad de subida del cubo es constante.
Solución:
El trabajo que realiza es la variación de la energía potencial del cubo, y si se toma h = 0 para el nivel del agua,
arriba la altura es el mismo valor que la profundidad, por tanto:
W = mgh, de donde h = 28,06 m.
36. Un mecánico tiene que empujar un vehículo de 1250 kg desde el reposo hasta la velocidad v, efectuando para
ello un trabajo de 2500 J. Sabiendo que la distancia que ha recorrido es 12,5 m, e ignorando la existencia de
rozamiento, determina: a) la velocidad final del vehículo; b) el valor de la fuerza horizontal, supuesta constante,
ejercida sobre el vehículo.
Solución:
a) Para obtener la velocidad se aplica el teorema de la energía cinética:
W = Ec; Como la velocidad inicial es cero, queda: W = ½ mv2, de donde: v = 2 m/s.
b) Como la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido, de la definición de trabajo se
puede obtener F: W = F r; De aquí: F = 200 N.
37. Una paracaidista de 50 kg de masa salta desde un avión, que se mueve a 50 m/s, desde una altura de 1050 m y
llega al suelo con una velocidad de 5,2 m/s. ¿Cuánta energía mecánica perdió debido a la fricción del aire
durante el salto?.
Solución:
La energía perdida será la diferencia entre la que poseía al principio y la que tiene al llegar al suelo:
E = E0 – Ef = mgh + ½ mv02 – (0 + ½ mvf2) = 576.324 J.
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