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Transcript
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Al iniciar este curso que te preparará para la Prueba de Selección Universitaria, es fundamental
repasar algunos conceptos básicos que te permitirán un mejor trabajo a futuro y eliminar esa tan
mencionada “falta de base”. No descartes nada, aunque consideres que ya lo sabes, analiza y
reflexiona cada paso que vayas dando, ejercita mucho y si hay dudas que no logras solucionar,
consulta; no te quedes con contenidos sin aprender.
Y bien, a trabajar...
Números Naturales
Corresponden a los números desde el 1 al infinito.
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Dentro de los naturales tenemos algunos subconjuntos:
Números Pares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}, los cuales se pueden representar algebraicamente
como 2n, por ser todos ellos múltiplos de 2.
Números Impares = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} ¿Cómo se representan algebraicamente?
Tenemos dos opciones (2n + 1) ó (2n - 1).
Estas representaciones algebraicas las utilizaremos permanentemente, así que no las olvides.
Números Primos: Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y
por sí mismo.
Por ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3.
El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12.
Los números naturales mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos, o sea
el 12 es un número compuesto.
Es importante que recuerdes que el 2 es el único número primo que es par y que el 1 no es un
número primo.
Orden de Operación
Para operar correctamente, no te olvides que existe un orden (prioridad) que se debe respetar y es
el siguiente:
1º Paréntesis
2º Potencias
3º Multiplicación y División
4º Suma y Resta
Por Ejemplo: 4 + 5 · 7
El típico error es comenzar el ejercicio efectuando la suma de 4 y 5, pero como ya sabemos que
existe un orden establecido, lo correcto es hacer primero el producto 5 · 7, o sea
4 + 5 · 7 = 4 + 35 = 39
Otro ejemplo: 57 - 5·(8 - 6)3 .Resolvamos en el orden adecuado:
57 - 5 · 23 = 57 - 5 · 8 = 57 - 40 = 17
1
Números Cardinales
Es el conjunto formado por los Naturales y el cero.
INo = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Como subconjunto de los números cardinales, tenemos a los números dígitos que son {0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9}
Números en potencia de 10
Todo número puede ser expresado en potencia de diez. Veamos el siguiente ejemplo:
739 = 7·100 + 3·10 + 9·1 = 7·102 + 3· 101 + 9·100 = 7 centenas + 3 decenas + 9 unidades.
Debes tener presente al operar con 0 que la división por 0 no está definida.
Mínimo Común Multiplo y Máximo Común Divisor
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de los múltiplos que es
común a cada una de estas cantidades.
Ejemplo: Determinemos el m. c. m. entre 6; 8 y 12. Utilizando la famosa tabla en la que vamos
dividiendo los números dados por los números primos comenzando desde el 2 (cuando hay algún
par). Cuando la división no da exacta se "baja" el número.
6
3
3
3
1
8
4
2
1
12
6
3
3
1
:2
:2
:2
:3
El m.c.m. es 2·2·2·3 = 24
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el número mayor que los divide.
Ejemplo: Determinemos el m. c. d. entre 18 y 24.
Determinemos los divisores de 18, o sea números que dividen al 18.
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Determinemos ahora los divisores de 24, o sea números que dividen al 24.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Si observas verás que hay varios números que son divisores comunes (1, 2, 3, y 6), pero el
máximo, o sea el mayor es 6
Números Enteros
Es el conjunto formado por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero.
Z = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....}
Divisibilidad: Un número es divisible:
Por 2: Cuando su último dígito es 0 ó par.
Por 3: Cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo 324 es divisible por 3 ya que 3 + 2
+ 4 = 9 y el 9 es divisible por 3.
Por 4: Cuando los dos últimos dígitos del número son 0 o un múltiplo de 4. Ejemplo: 3516; 4300
2
Por 5: Cuando el último dígito del número es 0 ó 5.
Por 6: Si lo es por 2 y 3 a la vez.
Operatoria en los Enteros
Veamos los siguientes ejemplos:
5 + 7 = 12
5 - 7 = -2, o lo que es lo mismo: 5 + (-7) = -2
-5 + 7 = 2
-5 - 7 = -12, o lo que es lo mismo: -5 + (-7) = -12
Si observas adecuadamente verás que siempre se conserva el signo del número mayor y que si los
números son de signos iguales se suman, mientras que si son de signos distintos se restan.
Si al sumar dos números enteros resulta 0, entonces decimos que uno es el inverso aditivo ( u
opuesto) del otro.
Al multiplicar debemos respetar la siguiente regla de los signos para la multiplicación o producto.
+·+=+
+·-=-·+=-·-=+
Estas reglas son bastante importante cuando hay que solucionar operaciones como las siguientes:
5 + (-3) - (-6) = 5 - 3 + 6 = 2 + 6 = 8.
¡Cuidado! hay alumnos que cometen el siguiente error al efectuar 5 - 3 + 6. Suman el 3 con el 6 y
les queda 5 - 9 = -4. La equivocación está en tomar el 3 como positivo cuando en realidad es un
número negativo, como puedes ver en el planteamiento del ejercicio.
Para la división se aplica la misma regla de los signos que para la multiplicación. Así: -8 : -2 = 4 6 :
-2 = -3
Uso de Paréntesis
Los paréntesis indican el orden en que las operaciones deben ser efectuadas.
Ejemplo: {-5 - [-4 - (-7 + 2)]}
Primero resolvemos el paréntesis redondo (-7 + 2) lo que da -5.
Luego el paréntesis cuadrado [-4 - - 5] y resulta -1.
Finalmente, el paréntesis llave {-5 - 1}, siendo el resultado final igual a -6.
Lo que viene depende exclusivamente de ti, debes ejercitar y por sobre todo entender lo que estés
haciendo, aunque te resulte tedioso o difícil, el éxito final dependerá de que cada clase o guía que
desarrolles sea un éxito.
EJERCICIOS
1. Si p es un número impar y q es un número par, ¿cuál de las siguientes combinaciones es
siempre un número impar?
a) pq
b) 5pq + q
c) p + 5q
2. [(-5) + (-3) · 7] : (-2) =
3
d) 3pq + q
e) p : q
a) 28
b) -28
c) -13
d) 13
e) -24
3. Un número entero positivo p se compone de dos dígitos que son de izquierda a derecha a y b
respectivamente. Entonces el inverso aditivo de p es:
a) 10a + b
b) –10a + b
c) 10b + a
d) –10a - b
e) –10b - a
4. Si “a” es un número natural y “b” es un número cardinal, entonces puede darse que:
a) a + b = 0
b) a : b = 0
c) b : a = 0
d) a + b2 = b
e) ba = 1
5. Si a y b son números naturales impares, entonces es(son) siempre un número par:
I.
II.
III.
IV.
a+b
a–b
a· b
a+1
a) Sólo I
b) Sólo II y IV
c) Sólo I y IV
d) Sólo III y IV
e) Sólo I, III y IV
6. Si se divide el mínimo común múltiplo por el máximo común divisor entre los números 30, 54,
18 y 12; se obtiene:
a) 5
b) 15
c) 30
d) 45
e) 90
7. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros números primos, entonces a + b + c =
a) 6
b) 10
c) 15
d) 17
e) 30
8. En la expresión que q = 5n(7m + 3n); si n = 3, ¿qué valor puede tener m para que q sea par?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) Ninguno
c) 20
d) 19
e) -29
9. El valor de 7 - 4(1 – 4)2
a) 42
b) 27
10. ¿Cuántos elementos en común tienen los conjuntos de los divisores del 18 y del 16?
a) Ninguno
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
11. Si la mitad de 15 es 9, entonces el doble de la tercera parte de 15 es:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 16
e) 18
12. Si p = 3 · 103 + 4 · 102 + 6 · 10 + 5 · 100 , entonces es falso que:
a) p es divisible
por 3
b) p es divisible
por 11
c) 5 es factor de p d) p es divisible
por 10
4
e) 9 es factor de p
ALTERNATIVAS CORRECTAS
1. C.
Consideremos el impar p como 3 y el par q como 6, por ejemplo. Al efectuar el reemplazo en cada
alternativa, la única que resulta impar es p + 5q = 3 + 65 = 3 + 30 = 33
2. D
Resolvemos obteniendo que [(-5) + (-3) · 7] : (-2) = (-5) + (-21) : (-2) = -26 : -2 = 13
3. D
El número p lo podemos expresar como 10a + b. El inverso aditivo de p es –p, o sea
–(10a + b) = -10a – b
4. C
Como “a” es un número natural, no puede ser cero, a diferencia de “b”, que por ser cardinal, sí
puede tomar ese valor. Sea a = 3 y b = 0, reemplazando sólo se cumple que 0 : 3 = 0.
5. C
Consideremos a = 7 y b = 3, naturales impares.
Entonces a + b = 7 + 3 = 10, par.
a – b = 7 – 3 = 4, par.
ab = 73 = 21, impar. (descartado)
a + 1 = 7 + 1 = 8, par.
6. E
El mínimo común múltiplo es 540 y el máximo común divisor es 6. Al efectuar la división entre
ambos, respectivamente, resulta 90.
7. B
Al ser lo tres primeros números primos, a = 2, b = 3 y c = 5. Entonces a + b + c = 2 + 3 + 5 = 10.
8. A
Al reemplazar n tenemos que q = 5n(7m + 3n) = 15(7m + 9), resultando un número par, si m = 1.
9. E
Se resuelve sin olvidar que hay un orden de operación, 7 – 4(-3)2 = 7 - 49 = 7 – 36 = -29
10. C
Divisores de 18 son el 1, 2, 3, 6, 9, 18. Divisores de 16 son el 1, 2, 4, 8, 16. Los divisores comunes
son 1 y 2
11. B
Si la mitad de 15 es 9, entonces 15 es 18. Entonces debemos determinar el doble de la tercera
parte de 18, lo que resulta 12.
12. D
Desarrollando p obtenemos que p = 3465 y de las alternativas dadas la única que no se cumple es
la que expresa que p es divisible por 10, ya que para que eso sea cierto, el número debe terminar
en 0.
5