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
FACTORIAL
n! = 1 x 2 x 3 x …………… x (n - 1) x n
Factorial de un número es el producto de los
números
enteros
positivos
y
De la observación anterior:
consecutivos
(n - 1)!
comprendidos desde el número 1 hasta el número
indicado inclusive.

n! = (n - 1)! x n
n! = 1 x 2 x 3 x ……. x n ; n  Z+
Factoriales más usados:
EJERCICIO
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
Efectuar:
3! = 1 x 2 x 3 = 6
24!
30!

23!
28!
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = ………………………………………… =
Simplifica:
6! = ………………………………………..… =
18! x 35!
36! x 17
7! = …………………………………………..… =
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO
Además : Por definición
0! = 1
I.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
EJERCICIO
Si un evento A ocurre de “m” maneras y para cada
una de estas, otro evento B ocurre de “n”
maneras, entonces el evento A seguido de B
ocurre de
“m x n” maneras.
 (3!  2! )!  1! 
Hallar: 
!
5


Ejemplo:

Observar:
12! = 1 x 2 x 3 x ………… x 12
Leonel puede viajar de “A” a “B” de 3 formas y de
“B” a “C” de 2 formas. ¿De cuántas maneras
distintas puede ir de “A” a “C” pasando por “B” y
sin retroceder?
13! = 1 x 2 x 3 x ………… x 12 x 13
12!
Resolución.-
 13! = 12! x 13
II. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN
Los problemas de este tipo se resuelven aplicando
la siguiente fórmula:
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y otro
evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el
evento A ó B, es decir, no simultáneamente,
ocurre de “m+n” maneras.
V
n
k
Ejemplo:

n!
(n  k)!
Así en el ejemplo tenemos:
Vanesa puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o
por vía terrestre y tiene a su disposición 2 líneas
aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas
maneras puede realizar el viaje?
V
3
2

3!
 3!  3 x 2 x 1  6
1!
Resolución.-
PERMUTACIONES
Las permutaciones sin repetición son un caso
particular de variaciones que se pueden dar en un
conjunto de “n” elementos tomados de “n” en “n”.
VARIACIONES
Pn = n!
Se denomina variaciones sin repetición de “n”
elementos tomados de “k” en “k” al número de
conjuntos distintos, formados por k elementos;
de modo que dos conjuntos difieran ya sea en
algún elemento o, si tienen los mismos, en el
orden de su colocación.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila 3
personas para tomarse una foto?
Resolución.-
Ejemplo:
En un aula hay 3 candidatos : a, b y c para ser
elegido Presidente y Secretario. ¿De cuántas
maneras pueden ocupar estos puestos?
Resolución.Presidente Secretario Formas Posibles
b
ab
c
ac
a
ba
c
bc
a
ca
b
cb
a
b

PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
Si en una permutación de “n” elementos, hay un
elemento repetido veces, otro  veces, .......... y
otro  veces; el número de permutaciones con
repetición que se obtiene es:
PR
c
Luego hay 6 formas de cubrir estos puestos.
Ejemplo:
,,.......
n

n!
! x ! x ......!
¿De cuántas maneras diferentes pueden
ordenarse las letras de la palabra “CHINCHIN”?
1.
Resolución.-
Un repuesto de automóvil se vende en 5 tiendas
de Breña y en 8 tiendas de Surco. ¿De cuántas
formas se puede adquirir el repuesto?
2.
a) 10
b) 11
d) 13
e) 40
c) 12
Felipe desea viajar de Lima a Cuzco y tiene A
su disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas
terrestres.
¿De cuántas maneras diferentes
podrá viajar?

PERMUTACIONES CIRCULARES
3.
a) 6 líneas
b) 4
d) 10
e) N.A.
De una ciudad “A”
c) 24
a otra ciudad “B” hay 2
caminos diferentes y de la ciudad “B” a “C”, 3
caminos
Si en una reunión 4 amigas
se sientan alrededor de
una mesa redonda. ¿De
cuántas
maneras
diferentes
podrán
ubicarse?
diferentes
¿Por
cuántos
caminos
distintos se podría viajar de “A” a “C” pasando
por “B” y sin retroceder?
4.
a) 5
b) 6
d) 12
e) N.A.
c) 8
Esther tiene 4 blusas y 3 faldas. ¿De cuántas
maneras se puede vestir, si la blusa azul se la
debe poner siempre con la falda celeste?
Para este tipo de problemas siempre debemos
tomar uno de los lugares como fijo, por eso
sólo podemos realizar las permutaciones en un
sentido. En consecuencia el número de
permutaciones es:
5.
PCn = (n – 1)!
b) 8
d) 11
e) N.A.
c) 7
Milagros tiene 5 pantalones, 4 blusas y 3 pares
de zapatos.
(P(4-1) = 3! = 6
En general el número de
circulares de n elementos es:
a) 12
¿De cuántas maneras se podrá
vestir?
permutaciones
6.
a) 56
b) 48
d) 60
e) 13
c) 52
De una urna hay 5 fichas numeradas del 1 al 5 y
en otra urna 4 fichas numeradas del 6 al 9, se
saca una ficha de la primera y otra de la
segunda urna con estos se forma un numeral.
¿Cuántos son los valores posibles de este
numeral?
a) 9
b) 18
d) 40
e) 36
c) 20
Enunciado (para los problemas 7 y 8)
Con todas las letras de la palabra Beatriz,
13. ¿Cuántas placas diferentes podrán hacerse, si
cuántas palabras diferentes se pueden formar
los 2 primeros símbolos vocales y los tres
sin importar que las palabras tengan o no
últimos números?
sentido, si:
7.
La T y R deben estar juntas siempre.
a) 120
b) 720
d) 28
e) N.A.
c) 5040
a) 524
b) 10080
d) 620
e) 525
c) 1440
Enunciado: (para los problemas 14 y 15)
Manuela y sus 8 amigos quieren entrar a su
automóvil que tiene una capacidad para 5
8.
Todas las palabras deben empezar con B y
personas.
siempre deben llevar consigo la sílaba TRIZ.
14. Si todos saben conducir. ¿De cuántas maneras
9.
a) 6
b) 24
d) 120
e) N.A.
c) 12
diferentes podrían ubicarse?
¿De cuántas maneras distintas 6 personas
a) 2760
b) 2750
d) 2690
e) 6720
c) 56870
pueden ubicarse alrededor de una fogata?
15. ¿De cuántas maneras diferentes, si Manuela
a) 120
b) 24
d) 720
e) N.A.
c) 240
siempre es el conductor?
10. Del problema anterior. ¿De cuántas maneras
a) 240
b) 336
d) 5!
e) N.A.
c) 56
diferentes pueden ubicarse alrededor de la
fogata, si dos personas deben estar juntos
siempre?
a) 24
b) 120
d) 480
e) N.A.
c) 360
Enunciado: (para los problemas 11, 12 y 13)
1.
zapatos, de diferentes colores.
El departamento de tránsito desea elaborar
estos calzados?
5 símbolos; las vocales y los dígitos del 1 al 9,
además de no tener 2 símbolos iguales en una
misma placa.
¿Cuántas placas diferentes podrán hacerse si
todos los símbolos fueran números?
a) 1024
b) 1200
d) 12150
e) 15120
c) 1080
símbolos son vocales y los últimos números
pares?
b) 1200
d) 240
e) N.A.
2.
a) 12
b) 24
d) 7
e) N.A.
c) 5
¿Cuántos resultados se pueden obtener al lanzar
un dado ó 2 monedas?
12. ¿Cuántas placas diferentes, si los 2 primeros
a) 80
¿De cuántas
maneras diferentes puede Meche vestirse con
nuevas placas de rodaje, cuyo diseño consta de
11.
Meche tiene 5 pares de zapatillas y 7 pares de
c) 120
3.
a) 12
b) 6
d) 48
e) N.A.
c) 24
Alicia desea ir a una fiesta para la cual dispone
de 3 blusas, 2 faldas y 4 chompas (todas las
prendas de diferente color).
¿De cuántas
maneras
vestir
distintas
se
puede
considerando los 3 tipos de prendas?
a) 9
b) 12
d) 36
e) N.A.
c) 24
Alicia
Enunciado: (para los problemas 4 y 5)
10. Se quiere construir un collar con 10 perlas.
Para ir de Lima a Trujillo hay 4 rutas
diferentes, y para ir de Trujillo a Tumbes hay 5
rutas diferentes.
4.
¿De cuántas maneras se puede ir de Lima a
Tumbes pasando por Trujillo y sin retroceder?
a) 9
d) 40
5.
b) 10
e) N.A.
c) 20
Del enunciado anterior. ¿De cuántas maneras se
puede ir y venir, si la ruta de regreso tiene que
ser distinto al de ida y sin retroceder?
6.
a) 400
b) 40
d) 390
e) N.A.
¿Cuántos
resultados
diferentes
pueden
obtener al lanzar 2 monedas y 2 dados
simultáneamente? (Los dados son de diferente
color)
7.
3 azules
2 blancas
2 rojas
1 verde
1 amarilla
1 marrón
Si estás 3 últimas deben estar juntas. ¿Cuántos
collares se pueden confeccionar?
a) 120
b) 360
d) 210
e) N.A.
c) 720
11. Cuatro parejas de novios, ¿De cuántas maneras
c) 39
se






pueden ubicarse alrededor de una fogata, de
modo que cada pareja no se separe?
a) 72
b) 120
d) 90
e) 92
c) 96
12. El número de variaciones de “x” objetos formados
de seis en seis es 720 veces el número de
a) 36
b) 40
d) 144
e) N.A.
c) 72
combinaciones de esos mismos objetos tomados de
cuatro en cuatro. Hallar “x”
En la figura cada línea representa un camino.
a) 10
b) 12
¿De cuántas maneras se puede ir de A a C y sin
retroceder?
d) 15
e) 17
c) 13
Enunciado (para los problemas 13 y 14)
El capitán de un yate solicita tres marineros,
A
8.
B
a) 10
b) 48
d) 12
e) N.A.
C
c) 24
¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden
formar con los dígitos 1; 2; 5; 6; 7; 8 y 9, si cada
dígito puede emplearse una sola vez?
a) 108
d) 168
9.
b) 126
e) N.A.
pero se presentan siete:
13. ¿De cuántas maneras elegirá, si cada uno va a
desempeñar un cargo diferente?
a) 35
b) 210
d) 5040
e) 140
c) 21
14. Del enunciado anterior. ¿De cuántas maneras, si
c) 90
Sandro debe pertenecer a la tripulación y
además cada uno de los tripulantes debe
desempeñar un cargo diferente?
Con todas las letras de la palabra “ALIBABA”
¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar,
a) 30
b) 60
d) 15
e) 120
c) 90
sin importar lo que diga?
15. Con 7 colores distintos.
a) 560
b) 420
d) 360
e) N.A.
c) 240
¿Cuántas banderas
diferentes de 2 costuras verticales se podrán
formar? ( los colores no se pueden repetir)
a) 21
b) 210
d) 35
e) 10
c) 240