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LA LÓGICA
La lógica es la ciencia que estudia las condiciones formales de validez de una inferencia. Es una ciencia
que aspira a formular mediante un lenguaje riguroso y apropiado las leyes por medio de las cuales se
rigen los fenómenos. Estudia las condiciones formales de validez de una interferencia, de una
argumentación cualquiera, es el estudio del razonamiento formalmente válido.
Sus enunciados no son como los de las ciencias empíricas, enunciados generales que la experiencia no ha
desmentido, sino enunciados formalmente verdaderos en virtud de su sola estructura. Los enunciados de
la lógica constituyen un sistema de leyes.
A la lógica no le interesa el contenido del pensar, sino la forma o estructura que el pensar adopta: de ahí
la universalidad del lenguaje lógico.
La lógica es la ciencia de los principios de la inferencia formalmente válida (inferencia es sinónimo de
razonamiento o argumentación). Razonar es una actividad mental que consiste en pasar, discurrir, de unas
proposiciones a otras, en derivar una conclusión a partir de unas premisas.
La lógica ciencia formal
Hay que distinguir entre verdad y validez. Un razonamiento es válido cuando, si sus premisas son
verdaderas, su conclusión necesariamente lo es también.
“Si Goethe es el autor de los misterios de París, entonces Mussolini fue un exquisito poeta
Es así que Goethe es el autor de los misterios de París.
Luego Mussolini fue un exquisito poeta”.
Es válido este razonamiento porque, si sus premisas fueran verdaderas, entonces también lo sería su
conclusión. Que las premisas no sean verdaderas no es competencia de la lógica. No se ocupa la lógica de
la verdad o falsedad de los enunciados que componen los razonamientos.
La estructura de este razonamiento sería
Si p, entonces q;
Es así que p;
Luego q
En que p y q se usan como símbolos ilustrativos para las dos proposiciones que intervienen en dicho
razonamiento.
La lógica posee un lenguaje limitado, con un mínimo de elementos en su vocabulario y también con un
número muy reducido de reglas de sintaxis.
La lógica proposicional y de clases
La lógica se define como la ciencia de las interferencias correctas, como la ciencia que se ocupa del
estudio de los distintos tipos de razonamiento y de las leyes que hacen válidos a unos razonamientos y no
a otros.
Unos razonamientos son válidos por las formas que están relacionados o conectados.
“Juan canta o Antonio estudia” y
“Juan no canta”,
Es evidente que Antonio estudia, este razonamiento depende exclusivamente de las conexiones que se
establecen entre los enunciados.
Hay otras interferencias cuya validez o invalidez depende de las estructuras internas de los enunciados.
Así tenemos que a partir de las premisas:
“Todos los ánades son aves” y
“Todas las aves son animales”,
Se concluye que todas los ánades son animales. En este caso se evidencia que el razonamiento depende de
la estructuración de los enunciados además de su conexión.
Debido a ello la lógica se divide en dos grandes ramas:
- la lógica que se ocupa de los razonamientos del primer tipo: aquellos cuya validez depende tan
sólo de las conexiones que se establecen entre los enunciados.
- La lógica que se ocupa de los razonamientos del segundo tipo: aquellos cuya validez depende de
las estructuras internas de los enunciados.
La parte de la lógica que estudia los enunciados y sus conexiones opera con los enunciados como
entidades indescomponibles, se ocupa de proposiciones, sentencias y conexiones por lo que recibe el
nombre de lógica proposicional, sentencial, de conectivas o lógica de orden cero.
La lógica del segundo tipo es la llamada lógica de primer orden y en esta parte se opera con las leyes de la
lógica proposicional más las leyes propias de las estructuras internas de los enunciados.
Paralelamente también es posible estudiar las relaciones o conexiones que se establecen entre clases, es
decir, entre conjunto de objetos y estudiar las relaciones de inclusión de una clase en otra o de
intersección, o de unión, etc. a esta se la denominaría lógica de clases.
La lógica proposicional y la lógica de clases están íntimamente relacionadas.
a) En lógica proposicional
“Los perros son mamíferos o los perros son insectos”.
“Los perros no son insectos”.
Luego “los perros son mamíferos”.
b) En lógica de clases
Definimos la clase de los perros: “P”
Definimos la clase de los mamíferos: “M”
Definimos la clase de los insectos: “I”
Afirmamos que la clase de los perros (P) está incluida en los mamíferos (M) o en la de
los insectos (I).
Afirmamos que la inclusión de la clase de los perros (P) con la de los insectos (I) es el
conjunto vacío ()
Por consiguiente, si la clase de los perros (P) no está vacía (P), entonces la clase de
los perros está incluida en la de los mamíferos.
LAS CONECTIVAS PROPIAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
El contenido de los enunciados o proposiciones lo representamos mediante variables, signos que
sustituyen a enunciados cualesquiera. Se utilizan las letras “p”, “q”, “r”, “s”, etc..., como variables de
enunciado.
Nos referimos sólo a los enunciados descriptivos que son siempre o bien verdaderos o bien falsos. Nos
movemos en una lógica bivalente al operar sobre la base de que toda proposición es o bien verdadera o
bien falsa.
Además de los signos que representan cualquier enunciado hay signos que sirven de enlace, son las
conectivas o conectores.
1. LA NEGACIÓN.
La conectiva no es llamada negación y es simbolizada por .
Así,  p
Se lee: no p
Y puede tener como ejemplo: “Pedro no sabe la lección”
2. LA CONJUNCIÓN
La conectiva y es llamada conjunción, une dos enunciados cualesquiera y es simbolizada por .
Así p  q
Se lee: p y q
Y puede tener como ejemplo: Jorge quiere a María y María quiere a Jorge.
3. LA DISYUNCIÓN.
La conectiva o es llamada disyunción y es simbolizada por .
Así p  q
Se lee: p o q
Y puede tener como ejemplo: María canta o va de compras.
Se trata de una disyunción no excluyente, pues nada impide a María el cantar e ir de compras a la
vez. En está vivo o muerto la disyunción evidentemente es excluyente. La conectiva de esta clase de
disyunción es .
Así p  q
Se lee: p o q, pero no ambos
En el lenguaje ordinario la disyunción por excelencia sea la excluyente, en lógica la importante es la
disyunción no excluyente.
4. EL CONDICIONAL
La conectiva si...entonces es llamada condicional y es simbolizada por .
Así p  q
Se lee: si p, entonces q
Y puede tener como ejemplo: si los alumnos trabajan, entonces el profesor está contento.
Con esta conectiva decimos que p es condición suficiente de q, aunque no condición necesaria. Al
enunciado p se le llama por su posición antecedente y al enunciado q consecuente.
5. EL BICONDICIONAL
La conectiva si y sólo si es llamada bicondicional y es simbolizada por .
Así p  q
Se lee: si y sólo p, entonces q
Y puede tener como ejemplo: si y sólo si hace buen tiempo, entonces los alumnos van a deportes.
Con esta conectiva significamos que p es, a la vez, condición suficiente y necesaria de q.
Los ejercicios correspondientes de formalización de traducción de determinadas expresiones
lingüísticas a estructuras lógicas, podemos encontrarnos con signos lingüísticos distintos de los
lógicos. Se debe reducir la diversidad lingüística a una unidad lógica captando el substrato lógico que
subyace en toda expresión del lenguaje natural. Expresiones como con tal que...; cuando...; en caso
de que...; podrán traducirse a la forma del condicional: si p, entonces q.
Partículas adversativas, como: pero; aunque; podrán traducirse a la fórmula y.
A veces la misma estructura lingüística no equivale a la misma estructura lógica
1. Y en prueba de cuanto te digo, ve a Delfos, pregunta a los oráculos y mira si ha faltado a la
verdad mi mensaje.
2. Si podemos presumir un descuido por parte de uno, dos o tres, sin duda el cuarto hubiera
pensado para ello.
En el ejemplo 1 el si introduce una oración interrogativa indirecta. En el segundo el si parece tener un
sentido adversativo.
Para formalizar enunciados se debe proceder de la siguiente manera:
A. descomponer un enunciado compuesto en sus enunciados simples.
B. Dar a cada enunciado simple una letra sentencial.
C. Conectar las letras sentenciales mediante las conectivas.
D. Reconstruir en lenguaje formal el enunciado completo.
6. ACTIVIDADES
Formaliza los siguientes enunciados
1. Cuando la renta por habitante de una nación supera los mil dólares, se considera a la nación
como desarrollada.
2. Los cisnes son blancos y los delfines mamíferos si y solo si no es el caso en que, si los
cisnes son blancos, entonces los delfines no son mamíferos.
3. El agua pasa a estado sólido si la temperatura ambiente es inferior a cero grados
centígrados.
4. Si la luna es un satélite de la Tierra y la Tierra es un planeta del sistema solar, entonces no
es el caso de que la luna no sea un satélite de la Tierra o que la Tierra no sea un planeta del
sistema solar.
5. Un número es par sólo en el caso de que sea divisible por dos
6. Si Japón hubiera entrado en la segunda guerra mundial, pero no lo hubiese hecho Estados
Unidos, entonces habrían vencido las tropas del Eje.
7. No es el caso de que dos rectas paralelas se cortan en el infinito o la suma de los ángulos de
un triángulo es ciento ochenta grados si y sólo si dos rectas paralelas no se cortan en el
infinito, entonces los ángulos de un triángulo suman ciento ochenta grados.
8. Si Luis come mucho, engorda demasiado; y si no come mucho, lo pasa mal; y si no engorda
demasiado, no lo pasa mal; entonces Luis engorda demasiado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
PQ
P  Q   (P  Q)
PQ QP
P  Q   (P  Q)
PQ
P  Q  R
 (P  Q)  (P  Q)
P  Q  P  R Q  R  Q
CÁLCULO LÓGICO: LÓGICA PROPOSICIONAL
1.
LAS TABLAS DE VERDAD
Se llaman tablas de verdad a las tablas que pueden formarse para determinar mecánicamente la verdad o
falsedad de una fórmula proposicional o de un enunciado proposicional una vez conocidos los valores de
verdad de las fórmulas componentes.
A la izquierda se coloca la columna o columnas que contienen las letras de que se compone la fórmula
proposicional y debajo de ella todas sus posibilidades de verdad (simbolizada por la letra V) y de falsedad
(simbolizada por la letra F).
A la derecha de la tabla se coloca la columna con los valores de verdad de la fórmula proposicional. Si
tenemos una sola letra sentencial, la columna se compondrá de dos líneas solamente, por haber dos
valores posibles únicamente: para p la columna es:
P
V
F
En vez de V y F, para designar verdadero o falso, se suele usar también 1 (significando verdadero) y 0
(significando falso).
P
1
0
Si en lugar de una sola letra sentencial tenemos dos a la vez y combinamos sus respectivos valores de
verdad posibles, obtendremos la siguiente tabla:
P
q
V
V
V
F
F
V
F
F
Dado pues el número n de enunciados, el número de combinaciones posibles de sus valores será 2 n: si n
vale 4, entonces la tabla tendrá 16 casos posibles.
2. TABLAS DE VERDAD DE LAS CONECTIVAS Y DE LA NEGACIÓN
 p tendrá un valor de verdad contrario al de p. Si p es verdadero,  p será falso, y si p es falso  p será
verdadero.
p
p
V
F
F
V
3. TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN
La conjunción de dos enunciados: pq es un enunciado compuesto o molecular, el cual consta de dos
enunciados simples o atómicos. La conjunción tendrá su propio valor de verdad dependiente de los
valores de verdad de los enunciados simples de que se compone.
Las posibilidades de combinación de sus valores de verdad de dos enunciados serán cuatro. Y en cuanto a
los valores de verdad de la conjunción de dos enunciados cualesquiera, ésta solo será verdadera cuando lo
sean los dos enunciados unidos por ella, y falsa en todos los demás casos (tres).
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
 Q
V
F
F
F
4. TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN NO EXCLUYENTE
Una disyunción no excluyente es verdadera sólo con que lo sea uno de sus enunciados y evidentemente si
lo son los dos.
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
 Q
V
V
V
F
5. TABLA DE VERDAD DEL CONDICIONAL
Un condicional sólo será falso en el caso de que p sea verdadero y q falso: si p entonces q, que quiere
decir que no se da p sin que se dé q.
En el caso de que el antecedente sea falso y el consecuente verdadero, hay que tener en cuenta que cabe la
posibilidad de que q sea verdadero sin que lo sea p, y puesto que la falsedad de un antecedente no hace
falso un condicional lo hace verdadero.
En el caso en el que sean falsos tanto el antecedente como el consecuente no hacen falso el condicional y
la falsedad de p y de q hacen el condicional verdadero.
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
P
1
1
0
0
 Q
1
0
1
0
 Q
V
F
V
V
p
1
0
1
1
6. TABLA DE VERDAD DEL BICONDICIONAL
Un enunciado bicondicional que se lee: si y sólo si p, entonces q; será verdadero en dos casos: cuando
sean verdaderos tanto su antecedente como su consecuente y cuando ambos sean falsos.
P
V
V
F
F
P
1
1
0
0
q
V
F
V
F
 Q
1
0
1
0
p
 Q
V
F
F
V
0
1
1
1
TAUTOLOGÍAS, ANTILOGÍAS Y EXPRESIONES CONSISTENTES
En lógica se llaman tautologías a aquellos enunciados formalmente verdaderos de la Lógica
proposicional, pues al ser probados mediante el método de las tablas de verdad dan siempre como
resultados “V”, es decir: son verdaderos para todas las combinaciones posibles.
A los enunciados falsos en todos los casos posibles, es decir, cuya tabla de verdad da siempre como
resultado “F”, se los llama antilogías o contradicciones.
Y a aquellos enunciados que son verdaderos en ciertos casos y falsos en otros, se los llama expresiones
consistentes.
Mediante el método de las tablas de verdad podemos averiguar la validez de un esquema de razonamiento
o inferencia. Si al hacer la tabla de verdad de una forma de inferencia encontramos que la tabla da
siempre como resultado “uves”, entonces sabremos que se trata de un esquema de inferencia formalmente
verdadero, o lo que es lo mismo una tautología.
Los enunciados de esquemas válidos de inferencia constituyen las leyes de la lógica de enunciados.
1. LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
En ellas las letras griegas  y  representan cualquier tipo de fórmula sencilla o compuesta.
LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN (DN)
α
 α
 α
α
Supongamos un enunciado: “Julio César venció a Pompeyo”; evidentemente dice lo mismo que: “ no es
el caso de que Julio César no venciera a Pompeyo”
Supongamos un enunciado: “No es el caso de que Newton no descubriera la ley de gravitación universal”;
evidentemente dice lo mismo que: “Newton descubrió la ley de la gravitación universal”.
LEY DE ELIMINACIÓN DE LA CONJUNCIÓN (EC).
αβ
αβ
α
β
Supongamos un enunciado: “Platón fundó la Academia y escribió unos bellos diálogos”. Si este
enunciado es cierto, entonces también es cierto uno de los dos que lo forman por separado; por tanto,
podemos escribir:
1. Platón fundó la Academia.
2.
Platón escribió bellos diálogos.
LEY DE INTRODUCCIÓN DE LA CONJUNCIÓN (IC).
α
β
αβ
Dados dos enunciados:
1. Platón fundó la Academia
2. Platón escribió bellos diálogos
Si estos dos enunciados son ciertos, también lo es su conjunción. Por tanto, podemos escribir: “Platón
fundó la Academia y escribió bellos diálogos”.
LEY DE ELIMINACIÓN DE LA DISYUNCIÓN (ED)
αβ
αβ
α
β
β
α
Dados dos enunciados:
1. “Juan aprende inglés o francés”
2. “Juan no aprende inglés”
Si estos enunciados son ciertos entonces también lo es que : “Juan estudia francés”. (esta disyunción no es
excluyente).
LEY DE LA INTRODUCCIÓN DE LA DISYUNCIÓN (ID).
α
αβ
Dado un enunciado: “Gandhi fue partidario de la no-violencia”. Si este enunciado es cierto, también lo es:
“Gandhi fue partidario de la no-violencia” o “Wiston Churchill fue el primer ministro inglés”.
“MODUS PONENDO PONENS” (MP)
αβ
α
β
Este nombre se lo dieron los lógicos medievales. Significa aquel modo de razonar, de inferir, que,
afirmando que se da una relación condicional () y afirmando (ponendo) que se da lo enunciado por
el antecedente, deduce y afirma (ponens) como verdadero lo enunciado por el consecuente.
Ejemplo: “Si llueve, la tierra está mojada”
Llueve.
Luego la tierra está mojada.
Obsérvese que no es válido el esquema:
αβ
β
α
Del hecho de que se haya producido lo enunciado por  no podemos concluir formalmente que se haya
producido lo enunciado por :
Ejemplo:
“Si llueve la tierra está mojada”.
La tierra está mojada.
Luego llueve.
La tierra puede estar mojada por otras causas.
MODUS TOLLENDO TOLLENS (MT)
αβ
β
α
Quiere decir aquel modo de razonar, de inferir, que afirmando que se da una relación condicional ()
y negando (tollendo) que se dé lo enunciado por el consecuente, deduce como falso y niega (tollens) lo
enunciado por el antecedente.
Ejemplo:
“ Si Jorge canta, está eufórico”.
No está eufórico.
Luego no canta.
Obsérvese que no es válido el esquema:
αβ
α
β
Del hecho de que no se haya producido lo enunciado por  no podemos concluir formalmente que sea
falso lo enunciado por .
Ejemplo:
“ Si Jorge canta, está eufórico.
No canta.
Luego no está eufórico”.
LEY DE INTRODUCCIÓN DEL BICONDICIONAL (IB)
αβ
βα
αβ
Dados dos enunciados:
1. “Si un número es par, es divisible por dos”.
2. “Si un número es divisible por dos, es par”.
Si estos dos enunciados son verdaderos, entonces también lo es que: “Un número es divisible por dos, si y
sólo si es par”.
LEY DE LA ELIMINACIÓN DEL BICONDICIONAL (EB)
α β
α β
βα
Dado un enunciado: “Un número es primo si y sólo si es divisible por sí mismo y por la unidad”.
Si el enunciado es verdadero, entonces también lo son:
1. “Si un número es primo, entonces es divisible por sí mismo y por la unidad”.
2. “Si un número es divisible por sí mismo y por la unidad, entonces es primo”.
LEY DE LA REPETICIÓN (R)
α
α
Si es verdadero un enunciado, entonces es verdadero.
Esta ley se introduce a nivel metodológico en el cálculo.