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Revista Candidus No.16 - Julio/Agosto 2001
Miguel Peña
LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES
La geometría enseñada actualmente en el sistema educativo venezolano y en otros
sistemas es el resultado de años y años de desarrollo matemático. Este desarrollo
quedó marcado con la aparición de un método que permitía obtener nuevos
resultados: la deducción.
Luego, poco a poco, se fueron estructurando todos los cuerpos de
conocimientos hasta culminar en una obra cumbre, los “Elementos” de Euclides.
Este modo de proceder no se restringió al dominio propio de la geometría;
también, otros cuerpos de conocimientos trataron de articularse bajo ese mismo
patrón. Arquímedes utilizó el mismo método en dos de sus libros, en los que daba los
fundamentos de la mecánica teórica. En el libro I, Arquímedes demostró quince
proposiciones partiendo de siete postulados.
A través del tiempo, el método utilizado en los Elementos se fue constituyendo
en una especie de ideal al que había que tender para estudiar cualquier parte del
conocimiento. Los “Principia” de Newton, publicados por primera vez en 1686, estan
organizados en un sistema deductivo en el que las famosas leyes del movimiento
aparecen como proposiciones no demostradas, como postulados, a partir de las cuales
se han de obtener todas las demas proposiciones.
En las obras de Lagrange a cerca de la mecánica analítica, se parte de
proposiciones dadas explícitamente para obtener todas las demás. Se pudieran citar
otros ejemplos, existen muchos, pero lo importante es que ese ideal ha llevado hasta
el intento de estructurar toda la matemática de esa misma manera, a base de utilizar
el método axiomático.
¿Pero, qué son y qué contienen los Elementos de Euclides?. ¿Qué enseñanza y
ejemplo nos han dejado. ?
Alrededor del año 300 ac., el más famoso de todos los maestros de la
geometría, Euclides, se dispuso a recopilar los teoremas de sus predecesores y a
organizarlos en un todo unitario. Organizó los resultados matemáticos alcanzados por
Thales, Eudoxo y otros sabios de la edad de oro de la geometría griega, tales como
Demócrito, Hipócrates de Quíos y Arquitas.
Euclides tuvo la gran habilidad de volver a escribir sus demostraciones en
términos muy claros y sencillos. Simplificados de esta forma están contenidos en su
obra maestra, los Elementos, uno de esos libros únicos, que parece reunir los mejores
esfuerzos de las mentes creadoras en un todo unitario e inspirado. Es una obra de una
lucidez y estilo tan terminante que algunos eruditos la consideran la colección mas
coherente de pensamientos rigurosamnete razonados que jamás haya establecido el
ser humano.
En la antigüedad, los Elementos se difundieron extensamente en forma de
manuscrito, después de la invención de la imprenta, miles de ediciones se han
publicado y hasta hace pocas décadas era el libro de texto de geometría más usado en
las escuelas.
Los Elementos llegaron a todas las civilizaciones a través de numerosas transcrip
ciones, sobre todo de copistas árabes. Dichas transcripciones frecuentemente alteraron
algunas palabras, pero nunca el contenido de las proposiciones y de los términos, cuya
ilación lógica no puede ser destruida.
En los Elementos se presentan por primera vez diferenciados los conceptos de
teorema y de problema. El teorema es la demostración de una verdad general,
mientras que el problema es la elaboración de una respuesta válida para datos
particulares bien precisos. Es en esa obra donde aparece por primera vez la frase
“como se quería demostrar” acompañando al ultimo paso de las demostraciones de los
teoremas, y “como se quería obtener” junto con la solución de los problemas.
La geometría recibió de Euclides un ordenamiento casi perfecto. Toda su
construcción está hecha en forma rigurosamente lógica, no solo en cada teorema en
particular, sino también en el contexto total de la obra.
Los Elementos se componen de trece libros con un total de 465
proposiciones: 93 problemas y 372 teoremas. Gran parte de los libros se inician con un
grupo de definiciones o, mejor “términos” según el vocablo utilizado por Euclides, a
las que en el primer libro se agregan las proposiciones básicas, nuestros axiomas, que
Euclides distingue en postulados y nociones comunes.
Los primeros cuatro libros de los Elementos, probablemente de origen
pitagórico, comprenden las proposicions mas importantes de la geometría plana
elemental, referentes a triángulos, paralelogramos, equivalencias, teorema de
Pitágoras, circunferencias y circunscripción e inscripción de polígonos regulares.
El libro I empieza presentando 23 definiciones seguidas de 5 postulados y 5
nociones comunes. Algunas definiciones son:
-
Un punto es lo que no tiene partes.
-
Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto (90º)
-
Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto
El diámetro del círculo es una recta trazada a traves del centro y limitada a
ambos lados por la circunferencia del círculo. Esta recta divide al círculo en dos partes
iguales
Las paralelas son rectas situadas en el mismo plano que al ser prolongadas a
un lado y a otro no se encuentran en ninguno de los dos
De las cinco nociones comunes se mencionan dos, bastante conocidas:
1. Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre si (ley transitiva)
2. El todo es mayor que las partes.
De los cinco postulados, el quinto dice”: que, si una recta que cae sobre otras
dos, hace que los ángulos interiores del mismo lado sean más pequeños que dos
ángulos rectos, estas rectas prolongadas indefinidamente, se encontraran del lado en
que los ángulos son menores que dos ángulos rectos”.
Otra forma de expresar este postulado que originó una gran polémica y
diferentes planteamientos de la geometría es”: dada una linea recta y un punto
exterior a ésta, hay a través de este punto una y tan solo una paralelea a la linea
dada”
También en el libro uno se estudian las propiedades de los triángulos, que
comprenden los tres teoremas de congruencia, relaciones entre los elementos de un
triángulo, construcciones geométricas como la bisectriz de un ángulo, el punto medio
de un segmento, la perpendicular a una recta, la teoría de las paralelas y la
demostración de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos
ángulos rectos(180º).
Además aparecen las relaciones de áreas de los paralelogramos, triángulos y
cuadrados. El teorema de Pitágoras, con una demostración universalmente atribuida a
Euclides. La construcción y estudio de un triángulo equilátero, el teorema atribuido a
Tales de Mileto que dice: “en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales”.
Estimados colegas, como pueden haber leído en el libro I de los Elementos
están ensamblados en forma lógica y coherente, una serie de conocimientos que
practicamente abarcan todos los objetivos del programa de geometría
correspondientes a la tercera etapa de educación básica.
Dichos objetivos deberíamos enseñarlos y preparar a nuestros alumnos hacia
el futuro bajo un proceso lógico y significativo. Sin embargo, la realidad es otra, los
jovenes venezolanos en su mayoría no dominan y algunos ni siquiera tienen idea de
los conocimientos matemáticos de hace 300 años ac.
Por eso invito a los docentes a investigar y leer sobre los Elementos de
Euclides.Allí existe una gran sabiduría.
Lic. Miguel Peña.
Asesor de matemática UNA Carabobo.
Prof. B.I. Liceo Camoruco.
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