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UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
SISTEMAS ELECTRICOS
Elementos básicos de sistemas eléctricos usando transformada de Laplace.
Dominio de t (tiempo)
vR t   R iR t 
+
vR t 
+
iR t 
R
VR s 
v t 
i R t   R
R
-
-
+
vL t 
Dominio de s (Frecuencia)
VR s   R I R s 
V s 
I R s   R
ZR
I R s 
V s 
R
Z R s   R
R
Z R s 
I R s 
I s  1
YR s   R

VR s  R
+
iL t 
L
 
I 0  iL 0 
d
v L t   L i L t 
dt
VL s 
+
-
LiL 0  
-
1 t
vx dx  i t 0 
L t0
 
1 t
i L t     v d  i 0 
L 0
v C t  
vC t 
iC t 
C
V0  vC
-
1
C
I L s 
VL s 
o bien:
+
+
YL s  
VC s 
C
1
Z C s  
sC
+
-

-
d
vC t 
dt
VC s  
1  IC s   vc 0


C s 
s
iL 0 
s
I C s 
0

iC t   C
1  VL s   i 0 


L s 
s
+
t
o bien:
0  v t   1 t i d  v0 
C
0
C
 
1
Ls
 
I L s  
-
 ix dx  vt 
t0
+
VC s 
 
 
VC 0 
s
I C s 
C

 
I C s   C sVC s   v C 0 
YC s   Cs
 
C VC 0

-
M.C Laura Jiménez Beristáin
 
VL s   L sI L s   i L 0 
Z L s   Ls
L
-
i L t  

I L s 
Pag. 1
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
SISTEMAS MECÁNICOS
Se dividen en sistemas mecánicos traslacionales y rotacionales.
Sistemas mecánicos
Traslacionales
Ma  F
Variables
x Desplazamiento
Variables
.
.
   Velocidad angular
v  x Velocidad
.
..
a  v  x Aceleración
F
M
Elementos
x
Masa:
FM
..
d 2x
Mx
2
dt
(Ley de Newton)
x1
x2
K
F
F
Rotacionales
J  T
 Desplazamiento angular
Resorte:
F  k x2  x1 
.
..
     Aceleración
angular
TJ
..
d 2
 J   J
2
dt
T  k  2  1   k
(Ley de Hooke)
k = Coeficiente del resorte
.
.
x1
x2
b
F
F
b = Coeficiente de fricción
viscosa
Amortiguador:
dx 
 dx
F  b 2  1 
dt 
 dt
.
d 
 d
T  b 2  1   b
dt 
 dt
.
.

F  b x 2  x 1 


Sistemas mecánicos traslacionales:
Definiciones
Las variables más comunes utilizadas para describir los movimientos de traslación en
sistemas mecánicos son:
x desplazamiento (m)
v velocidad (m/s)
a aceleración (m/s2)
f fuerza (N)
Otras variables adicionales de interés son:
w energía (J)
p potencia (W)
La potencia aplicada a un móvil que se desplaza a velocidad v es,
p =fv
y corresponde a la velocidad con que la energía es aplicada o disipada,
p = dw/ dt
Elementos de los sistemas mecánicos traslacionales
Masa
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 2
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
La segunda ley de Newton establece que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un
cuerpo es igual a la velocidad de cambio de la cantidad de movimiento, que en el caso
más común de masa M constante da lugar a la siguiente ecuación:
dv
M
 f
dt
La energía puede ser almacenada en forma de energía cinética si la masa se encuentra en
movimiento y en forma de energía potencial si presenta un desplazamiento vertical
relativo respecto a su posición de referencia.
La energía cinética vale,
1
wc  Mv 2
2
La energía potencial para un campo gravitatorio uniforme vale,
wp  M  g  h
Fricción
Las fuerzas que son funciones algebraicas de la velocidad relativa entre los cuerpos se
modelan por elementos de tipo fricción.
f  C  v
Donde C tiene unidades de N·s/m y v = velocidad relativa.
El sentido de la fuerza de fricción es tal que tiende a oponerse al movimiento relativo.
Elasticidad
Un elemento mecánico que sufre un cambio de forma cuando se le aplica una fuerza,
puede ser caracterizado por un elemento elástico si existe una relación algebraica entre la
fuerza aplicada y la elongación producida. El elemento elástico más común es el resorte.
La relación entre la fuerza y la elongación es la curva característica del resorte.
Para un resorte lineal la curva es una línea recta y por tanto,
f  Kx
donde K es la constante del resorte (N/m).
La energía potencial almacenada en un resorte lineal es,
1
wp  K  x2
2
Ejemplo
Modelar matemáticamente el sistema mecánico indicado en la figura suponiendo que la
masa se mueve horizontalmente sin rozamiento apreciable y que el resorte y el elemento
de fricción tienen comportamiento lineal.
Solución
Se sustituyen las fuerzas por su valor en el diagrama de sólido libre, aplicando las leyes
de Newton (o el principio de D’Alembert)
La suma de todas las fuerzas debe ser nula: con lo que la ecuación diferencial queda de la
forma:
Sistemas mecánicos rotacionales
Definiciones
Las variables más comunes para identificar la rotación en sistemas mecánicos son:
θ desplazamiento angular (rad)
ω velocidad angular (rad/s)
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 3
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
α aceleración angular (rad/s2)
τ par torsor (N·m)
Otras variables adicionales de interés son:
w energía (J)
p potencia (w)
La potencia aplicada a un móvil que rota a velocidad ω es,
p = τ ω
La energía total aplicada es,
wt   wt 0    p d
t
t0
Elementos de los sistemas mecánicos rotacionales
Momentos de inercia
Cuando se aplica la segunda ley de Newton a cada uno de los diferenciales de masa
de un cuerpo que está rotando y se integra el resultado a toda la masa del cuerpo se
obtiene, para el caso común de momento de inercia constante,
.
I   
La energía cinética almacenada en la rotación vale,
1
wc  I   2
2
La energía potencial almacenada vale,
wp  M  g  h
Fricción
La fricción rotacional se produce cuando dos cuerpos rotan a diferentes velocidades
angulares produciéndose un rozamiento entre ellos.
τ = B ω
Donde B tiene unidades de N·m·s y ω = ω2- ω1
El par torsor de fricción tiende a reducir la velocidad angular relativa ω
Elasticidad
La elasticidad a rotación está generalmente asociada a resortes de torsión o ejes
delgados que presentan una relación algebraica entre el par torsor aplicado y el ángulo
girado. Para un resorte de torsión lineal,
τ = k θ
donde k es la constante del resorte (N·m).
θ, ω, α, τ
La energía potencial almacenada en un resorte a torsión es para un caso lineal,
1
2
w p  K   
2
Palancas
Una palanca ideal es una barra rígida que pivota respecto a un punto y no presenta masa,
fricción, momento ni energía almacenada.
Las palancas permiten transmitir el movimiento de rotación en sus extremos. Si el ángulo
rotado es pequeño, el movimiento en los extremos se puede considerar traslacional, y se
calculan por medio de relaciones trigonométricas.
Engranajes
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 4
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
Un engranaje ideal trasmite la rotación y no presenta momento de inercia, energía
almacenada ni fricción.
El tamaño relativo de los engranajes produce una proporcionalidad constante entre los
desplazamientos angulares, velocidades angulares y pares torsores trasmitidos. Para el
análisis de sistemas puede considerarse la simplificación de tratar los engranajes como
discos tangentes en un punto que ruedan sin deslizamiento relativo.
Ejemplo
Modelar matemáticamente el sistema mecánico indicado donde la entrada es el par torsor
τa y la salida el ángulo girado θ
Solución
Se sustituyen los pares torsores por su valor en el diagrama de sólido libre. Se deben
tener siempre en cuenta las leyes de interconexión; el principio de D’Alembert, la ley de
acción y reacción y la ley de los desplazamientos angulares.
La suma los pares de torsión debe ser nula. Reordenando términos se obtiene un sistema
de 2º orden clásico con perturbación exterior asociada al par torsor aplicado:
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 5
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS
En los sistemas electromecánicos se convierte un trabajo eléctrico en un trabajo
mecánico. Como sucede en los motores de CD.
Los servomotores consisten de un amplificador, un motor, la reducción de engranaje y la
realimentación; se caracterizan por su capacidad para posicionarse de forma inmediata en
cualquier posición de dentro de un rango de operación de 180º aproximadamente. Para
ello el servo espera un tren de pulsos que corresponden con el movimiento a realizar. La
duración del pulso indica el ángulo de giro del motor. Generalmente se utilizan valores de
1 ms a 2 ms, los cuales dejarían al motor en ambos extremos.
Efectos de la carga en la dinámica del servomotor
La característica más importante del servomotor, es la aceleración máxima alcanzable.
Para un par disponible dado, el momento de inercia del rotor debe ser mínimo.
El momento de inercia equivalente Jeq referido al eje del motor puede escribirse como:
J eq.  J m  n 2 J L n  1 y beq.  bm  n 2 bL n  1
donde: Jm y bm = momento de inercia y coeficiente de fricción viscosa del motor,
repectivamente.
JL y bL = momento de inercia y coeficiente de fricción viscosa de la carga,
repectivamente.
n = relación de engranes entre el motor y la carga.
Velocidad del eje actuado  o  o
n


Velocidad del eje actuante  i  i
Ra
La

Va
Vb
T
J
ia
b
ic
Motor de CD controlado por armadura
 s 
K

2
Va s  s La Js  La b  Ra J s  Ra b  K b K 
Va (s )
1
La s  Ra
I a (s )
T (s )
K
1
Js  b
 (s )
1
s
 (s)
Vb (s )
Kb
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 6
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
SISTEMAS DE NIVEL
Los sistemas de nivel de líquido en un tanque se utilizan en procesos de la industria
química; mientras que, los sistemas hidráulicos están relacionados con la potencia
producida por el flujo de un fluido (aceite).
La relación fundamental que se usará en ambos sistemas es: q  Av
Donde: q = flujo, A = área de la sección y v = velocidad.
Ley de continuidad; establece que el flujo de salida mas la velocidad con que se almacena
el líquido debe ser igual al flujo de la entrada. q sal.  q s  qent.
dV
dh
C
Donde: q s 
(velocidad con la que el líquido es almacenado)
dt
dt
h
q sal. 
(Para flujo laminar)
R
Definiciones:
 Número de Reynolds. Relación adimensional de la fuerza de inercia con respecto
vD
a la fuerza viscosa: No. R 
; donde:  = densidad de masa del fluido,  =






viscosidad dinámica, v = velocidad promedio del flujo y D = longitud
característica.
Flujo laminar (300<No. R<4000), es el flujo dominado por la fuerza de
viscosidad, se caracteriza por un movimiento de flujo suave, según líneas
paralelas.
Flujo turbulento (No. R<2000), es el flujo dominado por las fuerzas de inercia y
está caracterizado por un movimiento irregular (como remolino).
Resistencia hidráulica, es el cambio en la altura diferencial necesaria para causar
un cambio unitario en la razón de flujo.
Capacitancia hidráulica. En un elemento físico se define como el cambio en la
cantidad de material o distancia requerida para producir un cambio unitario en
potencial.
Inertancia, se refiere al cambio en potencial necesario para producir una razón de
cambio unitaria en la razón de flujo.
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 7
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
Sistemas de Nivel y sistemas Hidráulicos.
Ley de continuidad: q sal.  q s  qent.
dV
dh
C
Donde: q s 
(velocidad con la que el líquido es almacenado)
dt
dt
2h1  h2 
h
q sal. 
(Para flujo laminar) y q sal. 
(para flujo turbulento)
Rl
Rt
Flujo laminar
Flujo turbulento
ql  K l h1  h2 
qt  K t h1  h2
Variables
Kl
constante
de Variables
proporcionalidad
ql flujo laminar
V volumen
Elementos
F
x
Resistencia
M
hidráulica (R):
d h1  h2 
Rl 
dq
h  h2
1
 1

q
Kl
x1
x2
Capacitancia
K
hidráulica (C):
F
F
q
dV
C s 
k = Coeficiente del resorte
dh dh
dt
.
.
Inertancia (I):
x1
Kt
constante
proporcionalidad
qt flujo turbulento
Elementos
d h1  h2  2h1  h2 
Rt 

dq
q
x2
b
F
F
b = Coeficiente de fricción
viscosa
M.C Laura Jiménez Beristáin
de
Pag. 8
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
SISTEMAS HIDRÁULICOS
MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS HIDRÁULICOS
Definición
Un sistema hidráulico es aquel sistema en el que un fluido (generalmente considerado
incompresible) fluye.
En general, un análisis matemático exacto no es viable debido a las características no
lineales y la naturaleza distribuida del fluido. Sin embargo, se pueden realizar estudios
aproximados basados en modelos de parámetros concentrados y linealizando las
ecuaciones resultantes.
En gran parte de los problemas reales, los sistemas hidráulicos permanecen alrededor de
un punto de operación específico del proceso. Por ello permiten una sencilla linealización
utilizando variables incrementales.
Las variables más comunes utilizadas en los sistemas hidráulicos son:
w velocidad del flujo volumétrico (m3/s)
v volumen (m3)
h altura (m)
p presión (N/m2)
Para utilizar como variable la presión relativa se suele escoger como referencia la presión
atmosférica.
a p t p t p = ) ( ) ( * (1)
donde p*(t) es la presión relativa y pa es la presión atmosférica.
Elementos de los sistemas hidráulicos
Capacidad
Cuando un líquido es almacenado en un recipiente abierto, existe una relación algebraica
entre el volumen total del líquido y la presión en la base del recipiente. La capacidad
hidráulica es la relación entre el incremento del volumen de fluido y la variación de
presión producida en el fondo del recipiente
Para un recipiente de forma arbitraria con área transversal A(h), donde h es la altura desde
la base, la capacidad hidráulica C(h) puede calcularse según la siguiente expresión:
La presión absoluta en la base del recipiente es:
a p h g p + = ρ (3)
Para obtener las velocidades de variación del volumen, altura o presión a lo largo del
tiempo, se realiza un balance del flujo de masa en el elemento:
La cantidad de líquido almacenada en el recipiente puede ser expresada de manera
equivalente por v, h y p. En un caso general en el que A(h) y C(h) son variables con la
altura el modelo del sistema tiene un comportamiento no lineal.
Resistencia
Cuando un líquido fluye a través de una tubería, atraviesa una válvula o un orificio, existe
una pérdida de presión asociada a la disipación de energía. Normalmente esta pérdida de
presión obedece a una ley no lineal respecto al flujo del tipo:
p k w = (7)
donde k es un parámetro constante que depende de las características de la tubería,
válvula u orificio.
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 9
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
La resistencia hidráulica R del elemento es la relación entre la pérdida de presión y su
variación de caudal asociada. Puede calcularse como la inversa de la pendiente en ese
punto de la ecuación constitutiva del elemento.
Para linealizar una ecuación constitutiva de la resistencia hidráulica alrededor del punto
de operación, se aproxima la función no lineal por un desarrollo en serie de Taylor de
orden 1:
sobre el que se puede introducir el concepto de resistencia hidráulica:
El modelo lineal aproximado en variables relativas puede representarse como:
El valor de la resistencia R puede expresarse en función de p ó w :
Fuentes de energía
Para sistemas hidráulicos, la fuente de energía es generalmente una bomba que obtiene la
potencia a partir de un motor eléctrico.
El caso más común es el de bombas centrífugas a velocidad constante, cuyas curvas
características típicas son de la siguiente forma:
Para modelar una bomba a velocidad constante en un modelo lineal, se debe evaluar
primero el punto de operación calculando p y w . Para pequeños desplazamientos
alrededor del punto de operación, puede también linealizarse la ecuación característica de
la bomba, de manera similar a lo indicado para la resistencia.
Ejemplo
La resistencia R representa la pérdida de carga en la tubería por unidad de caudal. El
caudal que sale del depósito Q está relacionado con la presión hidrostática (o altura del
nivel de agua) y con la resistencia. Suponiendo que la ecuación característica de la
perdida de carga en la válvula es aproximadamente lineal, se desea modelar
matemáticamente el sistema, encontrar el punto de equilibrio y estudiar su
comportamiento en movimiento libre, así como la respuesta del sistema ante entradas de
caudal q(t) escalón y rampa.
Solución
Para una resistencia lineal el caudal que sale del depósito vale
Haciendo un balance de masa en el interior del depósito obtenemos la ecuación
diferencial del sistema
El punto de equilibrio se alcanzará cuando:
Para pequeños desplazamientos alrededor del punto de equilibrio, el sistema se comporta
como un sistema lineal de orden 1 con tiempo de respuesta T = (R·A):
Movimiento libre:
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 10
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
Respuesta ante entrada escalón E= q:
Respuesta ante entrada rampa de pendiente A
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 11
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
SISTEMAS NEUMÁTICOS
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 12
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
SISTEMAS TERMICOS
MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS TÉRMICOS
Definición
Un sistema térmico es aquel sistema que involucra almacenamiento y flujo de calor.
Los modelos matemáticos utilizados en los sistemas térmicos sencillos están basados en
las leyes fundamentales de la termodinámica.
En general, los sistemas térmicos son distribuidos pero el modelado más sencillo utiliza
modelos de parámetros concentrados.
Las variables más comunes utilizadas en los sistemas térmicos son:
θ temperatura (ºC)
q flujo de calor (J/s ó w)
Es muy frecuente trabajar con temperaturas relativas respecto a una temperatura de
referencia fija θREF que suele ser la temperatura ambiente o una temperatura de
equilibrio del sistema.
Elementos de los sistemas térmicos
Capacidad
Existe una relación algebraica entre la temperatura de un cuerpo y el calor almacenado en
él. Si no se consideran cambios de fase, esta relación puede tomarse como lineal dentro
de un rango de temperatura. La capacidad térmica es la relación entre el calor
suministrado a un cuerpo y el cambio de temperatura producido.
De esta manera, si qe(t)-qs(t) es el flujo neto de calor en un cuerpo en cada instante de
tiempo, la variación de temperatura producida por ese flujo de calor vendrá determinada
por la capacidad térmica del cuerpo, según el siguiente balance:
o de otra forma:
Según la definición de la capacidad térmica C tiene unidades de J/ºC. Para un cuerpo de
masa M es el producto de su calor específico ce por su masa.
Se ha considerado constante la temperatura del cuerpo en todos sus puntos. En el caso de
que existan grandes variaciones de temperatura en el cuerpo, se debe modelar como
varios elementos de temperatura constante.
Resistencia
La conducción del calor entre dos cuerpos conectados se produce a una velocidad
proporcional a su diferencia de temperatura.
El flujo de calor por conducción desde un cuerpo a temperatura è1 hasta otro cuerpo a
temperatura è2 obedece la siguiente ley:
donde R es la resistencia térmica del camino entre los dos cuerpos (ºC·s/J) ó (ºC/w)
Si el camino de unión tiene un área transversal A y longitud l, la resistencia térmica puede
evaluarse de manera simplificada como:
donde á es la conductividad térmica del material.
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 13
UABC
MODELADO DE SISTEMAS DINAMICOS
La ecuación de la resistencia es válida siempre que el cuerpo modelado como resistencia
térmica no almacene el calor. En caso contrario el modelo debería añadir también un
elemento tipo capacidad.
Fuente de calor
En sistemas térmicos la fuente de energía es un elemento que genera un flujo de calor
q(t). Suele representarse simbólicamente como una resistencia eléctrica.
Ejemplo
La figura muestra una cámara de calentamiento de un fluido con capacidad calorífica C,
rodeado de una cámara de aislamiento que tiene una resistencia térmica equivalente R. La
temperatura θ en el interior de la cámara puede considerarse uniforme. La fuente de calor
introduce un flujo q(t) al interior de la cámara. La temperatura ambiente exterior θa se
considera constante.
1. Modelar matemáticamente el sistema
2. Determinar la temperatura de equilibrio
3. Estudiar el efecto de un incremento brusco
en el calor suministrado q(t)
Solución
Las entradas al sistema son q(t) y θa, luego la ecuación de primer orden resultante para
este sistema es:
Por tanto el punto de equilibrio se producirá cuando el calor aportado por la fuente de
calor sea igual al calor que escapa por la resistencia térmica de la cámara de aislamiento:
Si se produce un escalón en el flujo de calor, se debe analizar la respuesta de un sistema
de 1er orden ante una entrada escalón:
M.C Laura Jiménez Beristáin
Pag. 14
UABC
ANALISIS Y SINTESIS DE REDES
Conversiones entre los parámetros z, y, h, g, t, s.
A
De
Z
Y
H
G
T
S
z
y
z11
z12
z 21
z 22
z 22
z
z
 21
z
z12
z
z11
z

z
z 22
z
 21
z 22
1
z11
z 21
z11
z11
z 21
1
z 21
z 22
z12
1

z12
y 22
y
y
 21
y
y12
y 21
y 22
1
y11
y 21
y11
z12
z11
z
z11
y
z
z 21
z 22
z 21
z
z12
z11
z12

M.C Laura Jiménez Beristáin
y 22
y
 21
y 22


y12
y
y11
y

y11
z12
z 22
1
z 22

h
y 22
y 21
y
y 21
y11
y12
y

y12
g
h
h22
h
 21
h22
1
h11
h21
h11
y12
y11
y

h12
h22
1
h22
1
g 11
g 21
g 11
h12
h11
h
h11
g

h11
h12
h21
h22
y11
y12
y 22
1
y 22
h22
h
h
 21
h
1
y 21
y
 11
y 21
h
h21
h
 22
h21
1
y12
y 22
y12
1
h12
h
 22
h12


g 22
g
 21
g 22
g 22
g
g
 21
g
t
g 12
g 11
g

g 11
g12
g 22
1
g 22
g 12
g
g 22
g

h12
h
h11
h
g11
g12
g 21
g 22
h11
h21
1

h21
1
g 21
g 11
g 21
g 22
g 21
g
g
g 22
g 12
1

g 12


h11
h12
h
h12


g 12
g
 11
g 12
t11
t 21
1
t 21
t 22
t12
1

t12
s
t
t 21
t 22
t 21

t11
t12
t
t 22
t 21
t 22
t12
t 22
1

t 22
t 21
t11
1
t11
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