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MANANDES S.C.C.I.
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2.0.0.- ARMONICOS
Idealmente tanto la tensión en una barra de suministro de energía eléctrica como la corriente resultante deben
presentar formas de ondas sinusoidales. En la práctica estas formas de ondas están distorsionadas, expresándose
su desviación con respecto a la forma ideal en términos de distorsión armónica.
Este elemento que en 1893 Hartford Conn reporta como problema de calentamiento de un motor, evolucionó con el
desarrollo de la corriente ac y fue en reiteradas ocasiones reportado en diferentes documentos técnicos, hasta que
en 1960 la industria reportó problemas debido al gran numero de bancos de condensadores que habían sido
instalados en los sistemas energéticos, en especial los industriales. Estos problemas no eran otros que los
sistemas habían comenzado a tener problemas con la resonancia, en esos momentos se tenía aún poco
conocimiento sobre los problemas de la resonancia. Con el uso de la electrónica de potencia, los problemas de
resonancia en bancos de condensadores son los nuevos problemas de los ingenieros. De esta manera el viejo
problema retorno tomando nueva forma.
En sistemas eléctricos se denomina armónicos a las ondas de tensión voltaje o corriente cuya frecuencia es mayor
a la frecuencia fundamental de la red (en nuestro caso 60 Hz).
Generalmente se presentan varias ondas de diferentes ordenes armónicos a la vez, constituyendo un espectro y
dando una onda totalmente distorsionada como resultado. Los armónicos se definen habitualmente con los dos
datos más importantes que les caracterizan, estos son:
Su amplitud; hace referencia al valor de la tensión o de la intensidad del armónico, La amplitud de una armónica es
generalmente un pequeño porcentaje de la fundamental.
Su orden; hace referencia al valor de su frecuencia referida a la fundamental.
Así un armónico de orden 3 tiene una frecuencia tres veces superior a la fundamental, es decir en nuestro caso 3 x
60hz es igual a 180hz. El espectro es la distribución de la amplitud de varias armónicas como una función del
número de la armónica. A menudo ilustradas en forma de un histograma, como en la figura 2.1 a continuación.
En 1812, el matemático Josheph Furier desarrollo las series para funciones periódicas, donde las armónicas se
definen como señales periódicas con una frecuencia múltiplo de la frecuencia fundamental. Cualquier fenómeno
periódico puede ser representado por una serie de Fourier como la que sigue Eq 2.1:
n
y(t )  Yo   Yn 2 sennt  n 
n1
Yo ;
Yn ;

Eq. 2.1
es la componente de corriente directa.
es el valor rms de la componente del orden de la armónica.
es la frecuencia fundamental
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n
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es el ángulo de fase de la armónica de orden n cuando t =0.
El valor eficaz de una onda distorsionada se obtiene de la suma de las ondas para todos los ordenes
armónicos existentes para dicha onda. Para una cantidad sinusoidal, el valor rms es el valor máximo
dividido por la raíz cuadrada. Para una onda distorsionada, bajo condiciones estables, la energía disipada
por el efecto de Joule es la suma de la energía disipada por cada uno de los componentes armónicos.
RI 2t  RI 2t  RI 2t  ..... RIn2t
1
2
Eq.2.2
I 2t  I 2t  I 2t  ..... I n2t
1
2
Eq. 2.3
donde
despejando la corriente, y si se considera que la resistencia como una constante
I
n 2
 In
n1
Eq. 2.4
El valor rms de una forma de onda distorsionada puede medirse aun directamente por los instrumentos diseñados
para medir el valor rms, por medios térmicos o por análisis espectral.
2.1.0.- EL RADIO DE UNA ARMONICA INDIVIDUAL Y LA DISTORSION TOTAL DE
ARMONICAS (THD) [8, 13a, 13b, 19]
Los radios de las armónicas industriales y la THD cuantifican las perturbaciones armónicas presentes en una red
de energía. El radio de una armónica individual (o Tasa de distorsión individual) expresa la magnitud de cada
armónica con respecto a la fundamental. El radio de la armónica N es el radio del valor RMS de la armónica n a la
de la fundamental por ejemplo; el radio de la armónica de In y Un es:
In% 
In
I1
Eq 2.5 U % 
Un
U1
Eq 2.6
100 
In
I1
Eq. 2.7
THD, la distorsión total de armónica cuantifica el efecto térmico de todas las armónicas. (Distorsión D es la
relación entre la raíz cuadrada del valor RMS de la suma de todas las armónicas y el valor RMS de la fundamental
de acuerdo a la Norma IEC 61000), sustituyendo a la antigua Norma IEC 555-1
n  2
 Yn
n
2
THD  D 
Y1rms
Eq. 2.8
Sin embargo la norma IEEE 519-1992 determina como THD a la relación entre la raíz cuadrada del valor RMS de la
suma de todas las armónicas y el valor total RMS de la magnitud que se esta midiendo.
n  2
 Yn
n
2
THD  D 
Ynrms
Eq. 2.8a
Y para este mismo efecto la muy importante CIGRE (Conferencia internacional de Grandes Distribuidores
Eléctricos) ha tomado ecuación Eq 2.8 como referencias en sus trabajos.
En nuestro caso la Distorsión Total de las Armónicas de Voltaje THDv se expresa en donde V n es el valor RMS Eq
2.9:
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THD 
V
n
 2
V
h2 h
Vn
100 %
Eq 2.9
donde : Vh es el valor rms de las componentes individuales armónicas.
h es el orden de la armónica.
Vn es valor rms de voltaje del sistema.
Pero para el caso de la corriente se ha definido por su característica la TDD que es la Distorsión Total de Demanda,
definida como Eq. 2.10:
donde: Ih es el valor de la componente armónica individual (rms amp).
h es el orden de la armónica.
IL corriente de carga de demanda máxima (rms amp).
Como medida previa a la propuesta de cualquier solución debe conocer por tanto un esquema unifilar de la
instalación, separando en él las cargas en la siguientes categorías:



Perturbadoras.
Suceptibles
Condensadores y otras no afectadas.
La potencia de cortocircuito es un dato que puede facilitar la compañía de suministro eléctrico en el punto de
acometida PCC. A partir de este dato puede obtenerse la impedancia de cortocircuito ZCCL por fase, a frecuencia
fundamental, mediante la siguiente fórmula aproximada.
U2
ZCCL  C
S
CC
Eq. 2.11
Generalmente a efectos de cuantificar los niveles de perturbación se considera que la impedancia de red es
inductiva, por lo que la impedancia para el armónico de orden n sería aproximadamente:
Z
CCN
 n  ZCCL
Eq.2.12
Las impedancias de los condensadores, en cambio, disminuyen con la frecuencia según la relación:
Z
Z
 CL
CN
n
Eq.2.13
En particular, para cambios bruscos de tensión puede considerarse que la impedancia es nula o dicho de otra
forma a potencia de cortocircuito instantánea es infinita. Para un punto cualquiera de la instalación la impedancia de
cortocircuito se obtendrá combinado Z CCN, en el punto de acometida, con las impedancias de líneas (Z LN),
condensadores (ZCN) y transformadores (ZTN). Como criterio de tipo práctico podríamos decir que cuanto mayor sea
la potencia de cortocircuito en el punto de conexión de un receptor, menores serán los efectos perturbadores que
éste provocará sobre el resto de dispositivos conectados a la red. No obstante, para la correcta actuación de ciertas
protecciones y para limitar el I/t en algunos dispositivos electrónicos es necesaria una mínima impedancia de
cortocircuito, lo cual exige algunas veces la colocación de reactancias de limitación
2.2.0.- FUENTES DE LOS ARMONICOS [1,2,3,8,13,14,18,25,29]
En general, no existen propiamente generadores de armónicos pero si máquinas eléctricas y en especial los
equipos de electrónica de potencia que son los que producen propiamente los armónicos estos equipos son cargas
no lineales que a pesar de ser alimentadas con una tensión sinosuidal absorben una intensidad no sinusoidal. Para
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simplificar se considera que las cargas no lineales se comportan como fuente de intensidad que inyectan armónicos
en la red. Las cargas armónicas no lineales son los que se encuentran en los receptores alimentados por
electrónica de potencia los mismos que incluyen:






Variadores de velocidad de motores
Rectificadores
convertidores
UPS
Fuentes de voltaje para las computadoras personales
Balastros electrónicos para lamparas fluorescentes
Otro de tipo de cargas tales como:

Reactancias saturables,

equipos de soldadura, de arco y de punto

hornos de arco,

transformadores de corriente de excitación
A continuación en la Tabla #2.1 un resumen de los tipos de cargas y los problemas más comunes [8].
Existe un conjunto de criterios que dividen los armónicos en importados y exportados; los primeros provienen de la
fuente de tensión; por tanto en general de la propia acometida y se tratará de armónicos de tensión. Por lo general
la magnitud de estos armónicos no es importante, y si se dispone de un transformador propio, será difícil que en
baja tensión aparezcan armónicos de valor apreciable. De todas formas la primera cuestión es identificar las
fuentes de los armónicos ya que en la mayoría de instalaciones aparecen armónicos importados y exportados.
En cuanto a los armónicos exportados, que son generalmente los de mayor importancia, estos corresponden a
armónicos de corriente generados por receptores como los convertidores antes tratados. Para lo armónicos
importados la fuente se comporta como un generador de tensión, con la impedancia del transformador en serie, en
el supuesto de despreciar la impedancia de entrada, teniendo un circuito en el que la fuente tiene en serie las
impedancias del Transformador y la línea. Análogamente para los armónicos exportados, se obtendría un circuito
donde la fuente es de corriente y tiene en paralelo las impedancias de transformador y de línea.
Niveles típicos de THDi para un rectificador de 6 pulsos [27b]
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2.2.1.- Armónicas características en cargas industriales.[19]
En cuanto a los armónicos para las cargas industriales en la Tabla#2.3 se indican, las más comunes armónicas que
se encuentran en las líneas de consumo industrial y los elementos que las producen, esta tabla fue traducida de la
existente en la norma IEE519, adicionalmente en la misma norma se define que para pequeños
consumidores o consumidores con solo una cantidad limitada de carga perturbada puede aceptarse sin evaluación
detallada de las características del generador de armónicas o la respuesta del sistema de suministro. Una primera
aproximación para esta evaluación inicial involucra el cálculo de “weighted disturbing power - WDP- ” (peso de la
perturbación de potencia), SDw para caracterizar la cantidad de carga perturbada dentro de las instalaciones del
consumidor. El WDP se calcula, por la siguiente expresión:
donde: SDi = la rata de potencia para la carga perturbada individual (kVA)
W i = factor de peso para las cargas perturbadas (pu)
Si la porción de la totalidad de la carga no lineal no es conocida, puede suponerse que toda la carga es producida
con un peso de 1.0.
2.2.2.- Análisis fasorial, de componentes simétricas y fasorial equivalente de las
corrientes en diferentes condiciones[11].
En la practica difícilmente podemos encontrar sistemas trifásicos balanceados por lo que se expondrá a
continuación partiendo del análisis de corriente trifásica sinusoidal balanceada a la mayoría de variantes posibles
encontradas en sistemas trifásicos.
2.2.2.a.- Análisis fasorial para corriente sinusoidal trifásica balanceada.
ia  I  sen  t 
ib  I  sen  t  120º 
ic  I  sen  t  120º 
in  ia  ib  ic  0
Fasor equivalente,
IA  I0º
IB  I  120º
IC  I  120º
IN  IA  IB  IC  0
Componente simétrica:
IA  IB  IC
I0 
0
3
IA  a  IB  a 2  IC
I 
I
3
IA  a 2  IB  a  IC
I 
0
3
2.2.2.b.- Análisis de un sistema de corriente sinusoidal trifásico desbalanceado.
ia  I  sen t 
ib  I  sen t 120º fb
ic  I  sen t  120º fc
in  ia  ib  ic  0
Donde fb y fc son los desplazamientos causados por el desbalance. Equivalente fasorial;
IA  I0º
IB  I 120º fb
IC  I 120º fc
IN  IA  IB  IC  0
Componentes simétricas
I0 
IA  IB  IC
0
3
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I 
IA  a  IB  a 2  IC
0
3
I 
IA  a 2  IB  a  IC
0
3
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2.2.2.c.- Análisis de la corriente trifásica no sinusoidal balanceada
ia  I  sen  t   In  sen n t 
ib  I  sen  t  120º   In  sen n t  120º 
ic  I  sen  t  120º   In  sen n t  120º 
Sí en el caso de n = 3,6,9,12,15, etc. entonces n(t-120º) = nt, n(t + 120º) = n t
ia  I  sen  t   In  sen n t 
ib  I  sen  t  120º   In  sen n t 
ic  I  sen  t  120º   In  sen n t 
in  ia  ib  ic  3  In  sen( n t )
en el caso donde n = 2,5,8,11,14,17, etc. entonces n(t-120º) = (nt+120º), n(t + 120º) = (n t-120º)
ia  I  sen  t   In  sen n t 
ib  I  sen  t  120º   In  sen n t  120º 
ic  I  sen  t  120º   In  sen n t  120º 
in  ia  ib  ic  0
en el caso donde n=4,7,10,13,16,etc entonces n(t-120º) = (nt-120º), n(t + 120º) = (n t+120º)
ia  I  sen  t   In  sen n t 
ib  I  sen  t  120º   In  sen n t  120º 
ic  I  sen  t  120º   In  sen n t  120º 
in  ia  ib  ic  0
Equivalentes fasoriales
A la frecuencia fundamental;
IA  I0º
IB  I  120º
IC  I  120º
IN  IA  IB  IC  0
Para la armónica de orden n;
IA  In0º
IB  In  n  120º
IC  In  n  120º
si n  3,6.9 etc.
IN  IA  IB  IC  3  In donde In es la corriente de la armonica n
si n  2,5,8 etc.
IN  0
si n  4,7,10 etc. IN  0
Componentes simétricas;
A la frecuencia fundamental;
I0 
IA  IB  IC
0
3
I 
IA  a  IB  a 2  IC
I
3
I 
IA  a 2  IB  a  IC
0
3
Para la armónica de orden n;
si n=3,6,9, etc.
IA  IB  IC
I0 
 In
3
IA  a  IB  a 2  IC
I 
0
3
IA  a 2  IB  a  IC
I 
0
3
Sí n=2,5,8 etc.
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IA  IB  IC
I0 
0
3
IA  a  IB  a 2  IC
I 
0
3
IA  a 2  IB  a  IC
I 
 In
3
si n=4,7,10, etc.
I0 
IA  IB  IC
0
3
I 
IA  a  IB  a 2  IC
 In
3
I 
IA  a 2  IB  a  IC
0
3
2.2.2.d.- Análisis de la corriente trifásica no sinusoidal desbalanceada.
ia  Ia  sen  t   Ina  sen n t  fan
ib  Ib  sen  t  120º  fb  Inb  sen n t  120º   fbn
ic  Ic  sen  t  120º  fc  Inc  sen n t  120º   fcn
si en el caso de n = 3,6,9,12,15, etc. entonces n(t-120º) = nt, n(t + 120º) = n t
ia  Ia  sen  t   Ina  sen n t  fan
ib  Ib  sen  t  120º  fb  Inb  sen n t  fbn
ic  Ic  sen  t  120º  fc  Inc  sen n t  fcn
en el caso donde n = 2,5,8,11,14,17, etc. entonces n(t-120º) = (nt+120º), n(t + 120º) = (n t-120º)
ia  Ia  sen  t   Ina  sen n t  fan
ib  Ib  sen  t  120º  fb  Inb  sen n t  120º  fbn
ic  Ic  sen  t  120º  fc  Inc  sen n t  120º  fcn
en el caso donde n=4,7,10,13,16,etc entonces n(t-120º) = (nt-120º), n(t + 120º) = (n t+120º)
ia  Ia  sen  t   Ina  sen n t  fan
ib  Ib  sen  t  120º  fb  Inb  sen n t  120º  fbn
ic  Ic  sen  t  120º  fc  Inc  sen n t  120º  fcn
Equivalentes fasoriales:
A la frecuencia fundamental:
IA  Ia0º
IB  Ib  120º  fb
IC  I  120º  fc
A la frecuencia de la armónica n;
IA  Inafan
IB  Inb(n 120º  fbn)
IC  Inc(n 120º  fcn)
Componentes simétricas;
A la frecuencia fundamental;
IA  IB  IC
I0 
0
3
IA  a  IB  a 2  IC
I 
I
3
IA  a 2  IB  a  IC
I 
0
3
Para la armónica de orden n;
Sí n=3,6,9, etc.
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IA  IB  IC
I0 
 In
3
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I 
IA  a  IB  a 2  IC
0
3
I 
IA  a 2  IB  a  IC
0
3
Sí n=2,5,8 etc.
I0 
IA  IB  IC
0
3
I 
IA  a  IB  a 2  IC
0
3
I 
IA  a  IB  a 2  IC
 In
3
I 
IA  a 2  IB  a  IC
 In
3
Sí n=4,7,10, etc.
I0 
IA  IB  IC
0
3
I 
IA  a 2  IB  a  IC
0
3
A continuación la Tabla #2.3 se da a modo indicativo los tipos de cargas, las distorsiones producidas y factor de
peso que influyen estas armónicas en el sistema
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Tabla #2.3. Factores de peso (W i) para diferentes cargas productoras de armónicos
Forma de Onda típica
Tipo de carga
Suministro de energía
Monofásico
Distorsión de
corriente
Weighting
Factor (Wi)
80%
(alto 3rd)
2.5
alto 2nd,3rd,
4th para cargas
parciales
2.5
80%
2.0
40%
1.0
Convertidor de 6 pulsos
con una gran inductancia para
alisamiento de corriente
28%
0.8
Convertidor de 12 pulsos
15%
0.5
Regulador de voltaje AC
varia con el
ángulo de
disparo
0.7
17%
0.5
Semiconvertidor
Convertidor de 6 pulsos,
capacitancia de alisamiento,
sin inductancia en serie
Convertidor de 6 pulsos,
capacitancia de alisamiento
con inductancia en serie > 3%,
o fuente DC
Luces
Fluorescentes
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2.2.3.- Armónicas características de cargas residenciales.[19]
A continuación algunos valores característicos de armónicos de corrientes que se dan para instalaciones
residenciales. La tabla #2.4 es la indicada en la Norma IEEE 519.
Tabla #2.4.- Ejemplos de cargas residenciales y características de las distorsión armónica domesticas.
Type of Load
Clothes Dryer
Stovetop
Refrigerator #1
Refrigerator #2
Desktop Computer &
Laser Printer
Conventional Heat Pump #1
Conventional Heat Pump #2
ASD Heat Pump #1
ASD Heat Pump #2
ASD Heat Pump #3
Color Television
Microwave #1
Microwave #2
Vehicle Battery Charger
House #1
House #2
House #3
House #4
House #5
House #6
House #7
House #8
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RMS Load Current THDi (%)
I3(%)
I5(%)
I7(%)
I9(%)
25.3
24.3
2.7
4.6
3.6
13.4
10.4
3.9
3.0
9.2
9.6
2.3
1.8
8.9
3.7
0.3
0.9
1.2
0.8
0.3
0.2
0.6
0.2
1.1
140.0
91.0
75.2
58.2
39.0
10.6
13.1
123.0
16.1
53.6
121.0
18.2
26.4
51.8
8.0
12.7
84.6
15.0
61.1
84.0
15.8
23.4
6.8
3.2
68.3
4.2
26.0
60.5
5.2
9.8
0.5
0.7
47.8
2.3
13.7
35.0
3.3
2.3
0.6
14.4
27.7
9.7
27.7
1.9
4.0
15.0
2.3
1.9
4.9
7.7
11.0
6.4
16.3
8.5
11.9
31.6
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