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Ecuaciones para un cuerpo en caída libre wikipedia, lookup

Transcript
CAPÍTULO 2.
3. La figura 23 muestra la relación entre la edad, en millones de años, del
sedimento más antiguo y la distancia, en kilómetros, a la que fue hallado el
sedimento desde un arrecife en particular en el océano. El material del lecho
marino se desprende de este arrecife y se aleja de él a una velocidad
aproximadamente uniforme. Halle la velocidad, en centímetros por año, a la
que este material se aleja del arrecife.
100
Edad (106 y)
80
60
40
20
0
400
800
1200
1600
Distancia (Km)
Datos
Ki= 400 Km =4x108 cm
Kf= 1600 Km =16x108cm
ti= 20000000 años =20x106 años
tf= 20000000 años=20x106 años
Kf – Ki
V=
Dx
=
tf – ti
Dy
16x108cm – 4x108cm
V=
12x108
cm
=
8x107 – 2x107 años
V = 2 cm/años
6x107
años
9. La posición de un objeto que se mueve en línea recta está dada por x- 3t 4r2 + t3, donde x está en metros y t está en segundos. a) ¿Cuál es la posición
del objeto en t –0,1,2,3 y 4s?,
b) ¿Cuál es el desplazamiento del objeto entre t = 0 y t = 2 s?,
c) ¿Y entre t =0 y t = 4 s?,
d) ¿Cuál es la velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre t =2 y t =4s?,
¿Y desde t =0 hasta t =3 s?.
Linea recta
X = 3t – 4t2 + t3 sustituyendo t
a) x = 3(0) – 4(0)2 + (0)3 = 0
x = 3(1) – 4(1)2 + (1)3 = 0
x = 3(2) – 4(2)2 + (2)3 = -2
x = 3(3) – 4(3)2 + (3)3 = 0
x = 3(4) – 4(4)2 + (4)3 = 12
b) Entre t = 0 y t = 2 el desplazamiento es -2
c) Entre t = 0 y t = 4 el desplazamiento es 12
Kf – Ki
d)
V=
12 – (-2)
=
tf – ti
4–2
Kf – Ki
c)
V=
= 7m/s
2
12 – (-2)
=
tf – ti
14
=
14
=
3–0
= 4.6m/s
3
13. La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada en
centímetros por x=9.75 + 1.50t3, donde t está segundos. Considere el intervalo
de tiempo de t= 2 at= 3 y calcule a) la velocidad promedio; b) la velocidad
instantánea en t= 2s; c) la velocidad instantáneas en t=3s; d) la velocidad
instantánea en t= 2.5s; y e) la velocidad instantánea cuando la partícula está a
medio camino entre sus posiciones en t= 2 y t = 3s.
Datos
Ti = 2 s
Tf = 3 s
b) para t = 2
V = 1.50 (3) (2)2 = 18.0 s
dx
V=
c) para t = 3
V = 1.50 (3) (3)2 = 40.5 s
Dt
Encontrando ecuación para
La velocidad en 2.3 y 2.5 s.
d) para t = 2.5
V = 1.50 (3) (2.5)2 = 28.125 s
X = 9.75 + 1.50 t3
d( 9.75 + 1.50 t3 )
V=
dt
d(1.50 t3)
d( 9.55)
V=
+
dt
dt
t=2
2.5
t=3
dt3
V = 0 + 1.50
dt
V3 + V2
V = 1.50 (3) t2
d)
2
Kf – Ki
V=
Dx
=
tf – ti
1
Dy
Kj = 9.75 + 1.50 t3 sustituyendo ti
Kj = 9.75 + 1.50 (2)3
Kj = 21.75 cm
Kf = 9.75 + 1.50 t3 sustituyendo tf
Kf = 9.75 + 1.50 (3)3
Kf = 50.25 cm
Sustituyendo valores en 1
50.25 cm – 21.75 cm
V=
28.5 cm
=
3s–2s
= 28.5 cm/s
1s
40.5 +18
=
= 24.25
2
27. Un electrón que arranca desde el reposo tiene una aceleración que
aumenta linealmente con el tiempo, esto es, a = kt, donde k(1.50 m/s 2)/s o 1.50
m/s3. a) Trace a contra t durante el primer intervalo de 10s. b) A partir de la
curva de la parte (a) trace la curva v contra t correspondiente y calcule la
velocidad del electrón 5s después de haber comenzado el movimiento. c) A
partir de la curva v contra t de la parte (b) trace la curva x contra t
correspondiente y calcule qué tanto se ha movido el electrón durante los
primeros 5 s de su movimiento.
a
t
5s
Datos
K = 1.5 m/s3
a = Kt = 1.5 m/s3 t = 1.5 m/s2
V=?
V0 = 0
10 s
33. Un electrón con velocidad inicial vo = 1.5x105 m/s entra en una región de
1.2 cm de longitud donde es eléctricamente acelerado (véase la figura 29). Sale
con una velocidad v = 5.8x106 m/s. ¿Cuál fue su aceleración, suponiendo que
haya sido constante? (Tal proceso ocurre en el cañón de electrones de un tubo
de rayos catódicos, usado en receptores de televisión y en terminales de video.
39. Un tren partió del reposo y se movió con aceleración constante. En un
momento dado estaba viajando a 33.0 m/s, y 160 m más adelante lo estaba
haciendo a 54.0 m/s. Calcule a) la aceleración, b) el tiempo requerido para
recorrer 160 m. c) el tiempo requerido para que alcance una velocidad de 33.0
m/s, y d) la distancia recorrida desde el reposo hasta el momento en que el tren
tuvo una velocidad de 33.0 m/s.
Región
Sin aceleración
Región
Con aceleración
vo
1.2 cm
Trayectoria de
los electrones
v
a
Datos
A =?
Vo = 1.5 x 105 m/s
Vf = 5.8 x 106 m/s
X = 1.2 cm = 0.12 m
Vf2 = Vo2 + 2ax
Vf2 - Vo2
=a
2x
( 5.8 x 106 m/s )2 – ( 1.5 x 105 m/s )2
a=
2 ( 0.012 m)
3.364 x 1015 m2/s2 – 2.25 x 10 m2/s2
a=
0.024 m
3.36175 x 1015 m2/s2
a=
0.024 m
a = 1.4 x 1015 m/s2
39. Un tren partió del reposo y se movió con aceleración constante. En un
momento dado estaba viajando a 33.0 m/s, y 160 m más adelante lo estaba
haciendo a 54.0 m/s. Calcule (a) la aceleración, (b) el tiempo requerido para
recorrer 160 m. (c) el tiempo requerido para que alcance una velocidad de 33.0
m/s, y (d) la distancia recorrida desde el reposo hasta el momento en que el
tren tuvo una velocidad de 33.0 m/s.
Vo = 33 m/s
Vf = 54 m/s
K =160 m
a =?
t =?
a) Vf2 = Vo2 + 2ax
Vf2 – Vo2
a =
( 54 m/s )2 – ( 33 m/s)2
=
1827 m2/s2
=
2x
2 (160)
320 m
a = 5.71 m/s2
a =?
Vo = 33m/s
Vf = 54 m/s
160 m
b)
xf – xo + ½ ( Vo + Vf ) t
Datos
( xf – xo ) = ½ ( Vo + Vf ) t
X = 160 m = (xf – xo)
A = 5.71 m/s2
Vo = 33 m/s
Vf = 54 m/s
T =?
xf – xo
2
=t
Vo + Vf
160 m
2
=t
33 m/s + 54 m/s
320 m
=t
aceleración constante
a = 5.71 m/s2
87 m/s
t = 3.6781 s
Vi = 33m/s
Vf = 54m/s
t =?
160 m
d)
Datos
Vo = 0
Vf = 33 m/s
Xo = 0
Xf = 95.35 m
a = 5.71 m/s2
t =?
Vo =0
Vf = 33m/s
X=?
Xo =0
V2 = Vo2 + 2a (x – xo)
x=95.35m
V2 – Vo2
= ( x – xo )
2a
V2 – Vo2
V2
+ xo = x
=k
2a
( 33 m/s )2
2a
1089 m2/s2
k=
=
2 ( 5.71 m/s2 )
=
95.35 m
11.42 m/s2
c)
Datos
Vo = 0
Vf = 33 m/s
xo = 0
xf = 95.35 m
a = 5.71 m/s2
t =?
aceleración constante
a = 5.71 m/s2
Vo =0
Vf = 33 m/s
Xo =0
Xf = 95.35 m
Xf = Xo + ½ (Vo +Vf) t
( Xf – Xo ) 2
t =?
=t
( Vo + Vf )
( Xf ) 2
=t
Vf
95.35 m ( 2 )
t=
190.7
=
33 m/s
=
33 s
5.77 s
53. a) ¿A qué velocidad debe ser arrojada una pelota verticalmente arriba con
objeto de que llegue a una altura máxima de 53.7 m? b) ¿Cuánto tiempo estuvo
en el aire?.
Vf =?
y
yf = 53.7 m
Datos:
Vo = 0
Y1 = 53.7 m
Vf = ?
Y0 = 0
t = 3.30 s
Vo = 0
Yo = 0
x
Yf = Y0 + ½ (V0 + V)t
b) Yf = Yo + Vot + 1/2gt2
(Y – Y0)2
Y = 1/2gt2
= V0 + V
t
Yf (2)
t2 =
g
Y(2)
=V
t
Yf (2)
t2 =
53.7 m (2)
g
V=
3.30 s
53.7 m (2)
t=
9.81 m/s2
107.4 m
V=
3.308 s
107.4 m
t=
9.81 m/s2
V = 32.45 m/s
t = 10.948 s2
t = 3.30 s (2)
t = 6.61 s
63. De la boca de una regadera gotea agua en el piso 200 cm más abajo. Las
gotas caen a intervalos de tiempo regulares, la primera gota golpea el piso en
el instante en que la cuarta gota comienza a caer. Hallar la ubicación de cada
una de las otras gotas cuando una de ellas llega al suelo.
Y=0
Vo = 0
Datos
g = 9.81 m/s2
Yf = 200 cm = 2m
Yo = 0
0.2128
t = 0.637 s
0.2128
Vf2 = Vo2 + 2ax
Vf2 = 2ax
Vf =
2ax
Vf =
2 (9.81 m/s2) (2m)
Vf =
39.24 s2
0.2128
t=2m
Vf = 6.25 m/s
V = Vo + gt
Vf = 6.25 m/s
V
T=
Velocidad final de la primera gota
g
6.25 m/s
t=
9.81 m/s2
t = 0.6385 s
Hallado posición de la gota debajo
de la boca de la regadera
con t = 0.2528 s
Vf = Vo + gt
Vf = (9.81) (0.2128 s)
Vf = 2.08
Vf2 = Vo2 + 2gx
Vf2 – Vo2
=x
2a
Vf2
X=
( 2.08 )
=
2 (g)
2 ( 9.81)
X = 0.2222
X = 22.2 cm
CAPITULO 4.
2. La posición de una partícula que se mueve en un plano xy está dada por r =
( 2r3 – 5t )i + ( 6 – 7r4 )j. Aquí r está en metros y t está en segundos. Calcule
(a) r, (b) v, y (c) a cuando t = 2 s
Datos
R = (2t3 – 5t)i + (6 – 7t4)j en donde r está en metros y t en segundos calcule
a) r =?
b) V =?
c) A cuando t =2 s
a) r = (2(8) – 10)i + (6 – 14)j
r = (16 – 10)I + (- 106)j
r = 6i – 106j
dy
b) V =Vxi + Vyj
d
Vy =
Dt
dx
(6 – 7t4)
=
dt
d
Vx =
(2t3 – 5t)
=
dt
d6t4
dt
=
dt
d2t3
d5t
dt
dt
dt4
=
= 6
dt
dt3
dt
=2
= 6 (4) t3 = 24 t3j
5
dt
dt
= 2(3)t2 = ( 6t2 – 5 )i
V = ( 6t2 – 5 )I + 24t3j
V = 19i + 192j
c)
dVx
ax =
d
dt
d6t2
d5
dt
dt
( 6t2 – 5 ) =
=
dt
= 6 dt2/dt
= 6 (2) t
dVy
ay =
=
dt
d24t3
d
( 24t3) =
dt
Para t = 2s
A = 21i + 288j
dt3
= 24 (3)t3
= 24
dt
ax = 12t
dt
ay = 72t 2
11. Una pelota rueda fuera del borde de una mesa horizontal de 4.23 ft de
altura. Golpea al suelo en un punto 5.11 ft horizontalmente lejos del borde de la
mesa. (a) ¿Durante cuánto tiempo estuvo la pelota en el aire? (b) ¿ Cuál era su
velocidad en el instante en que dejó la mesa?
4.23ft
5.11 ft
2y
t=
g
2 ( - 1.28 m )
t=
X = Vox t
9.8 m/s2
X
= Vo X
t
t = 0.512 s
5.11
t = 512 ms
Vo X =
0.512 s
Vo X = 9.98 ft/s
14. Un rifle se apunta horizontalmente hacia un blanco alejado 130 m. La bala
golpea el blanco 0.75 in abajo del punto de mira. (a) ¿Cuál es el tiempo de
trayecto de la bala? (b) ¿Cuál es la velocidad de la bala en la boca del arma?
X = 130 m
130 m
0.019 m
2y
t=
x
VoX =
g
t
2 ( -0.019 m )
t=
9.8 m/s2
t = 0.062 s
130 m
VoX =
0.062 s
VoX = 2087 m/s
18. Usted arroja una pelota desde el acantilado a una velocidad inicial de 15
m/s y con un ángulo de 20º debajo de la horizontal. Halle (a) su desplazamiento
horizontal y (b) su desplazamiento vertical 2.3 s más tarde.
Datos
Vo = 15 m/s
F = 20º
X = Xo + Vxot + ½ at2 = (Vo cos F) t
X = ( 15 m/s ) ( cos 20º) 0.52 s
X = 7.32 m
Y = ( Vo sen F )t – 1/2gt2
Y = ( 15 m/s ) ( sen 20º ) 2.87 s – ½ ( 9.8 ) ( 2.87 )2
Y = 14.7 – 40.36
Y = - 25.6 m
Vo sen F - Vy
T=
g
( 15 m/s )( sen 25 )
t=
9.8 m/s2
t = 0.52 s
23. Una piedra es proyectada a una velocidad inicial de 120 ft/s en una
dirección 62º sobre la horizontal, hacia un acantilado de altura h, como se
muestra en la figura. La piedra golpea el terreno en A 5.5 s después del
lanzamiento. Halle (a) la altura h del acantilado, (b) la velocidad d la piedra en
el momento antes de que se impacte en A, y (c) la altura máxima H alcanzada
sobre el suelo.
120 ft/s
H
62º
h
Datos:
Vo = 123 ft/s
F = 62º
Vo sen F – Vy
t1 =
g
( 123 ft/s ) ( sen 62º )
t1 =
= 3.36 s tiempo de salida
9.8 m/s2
Y = ( Vo sen F ) – ½ gt2
Y = (37.39 m )( sen 62º ) 3.36s – ½ ( 9.8 m/s )( 3.36 s )
Y = 99 ft
Vx = Vo cos F
Vy = Vo sen F - gt
Vy = ( 37.39 m )( sen 62º ) – ( 9.8 ) ( 8.86 )
Vy = - 53.81 m/s
Vx = ( 37.39 m )( cos 52º )
Vx = 17.55 m/s
Vx = 90 ft/s
V=
Vx2 + Vy2
V=
(17.55)2 + ( -53.81)2
V=
3203
V = 56.59 m/s
33. Durante las erupciones volcánicas pueden ser proyectados por el volcán
gruesos trozos de roca; estos proyectiles se llaman bloques volcánicos. En la
figura se muestra una sección transversal del Monte Fuji, en Japón. (a) ¿A que
velocidad inicial tendrá que ser arrojado de la boca A del volcán uno de estos
bloques, formando 35º con la horizontal, con objeto de caer en pie B del
volcán? (b) ¿ Cuál es el tiempo de recorrido en el espacio?
A
35º
3.3 km
B
9.4 km
a)
X
b)
Vo =
2y
t
t=
g
0.00094 m
Vo =
2 ( 0.033 m )
0.08 s
t=
9.8 m/s2
Vo = 0.117 m/s
t = 45 s
Vo = 260 m/s
37. Cierto aeroplano tiene una velocidad de 180 mi/h y baja en picada con un
ángulo de 27º debajo de la horizontal cuando emite una señal de radar. La
distancia horizontal entre el punto de emisión de la señal y el punto en que la
señal golpea el suelo es de 2300 ft. (a) ¿Cuánto tiempo estará la señal en el
aire? (b) ¿A qué altura estaba el aeroplano cuando se emitió la señal de radar?
27º
2300 ft
Vo sen F - Vy
t=
g
( 211.6 m/s) (sen 27º)
t=
= 9.8 s
9.8 m/s2
Y = ( Vo sen F ) t – ½ gt2
Y = (155 m/s) (sen27º) 7.18 – ½ ( 9.8 )(7.18)2
Y = 252.6 m
52. Un astronauta está girando en centrífuga de 5.2 m de radio. (a) ¿Cuál es su
velocidad si la aceleración es de 6.8g? (b) ¿Cuántas revoluciones por minuto
se requieren para producir esta aceleración?
Datos:
5.2 m de radio
a = 6.8 g = 66.68 m/s2
2p r
V= ar
t=
V
V=
(66.68 m/s) ( 5.2 )
2 ( p ) 5.2
V = 18.62 m/s
t=
18.62
t = 1.754 s
CAPITULO 5
5. En un juego de “jalar la cuerda” modificado, dos personas jalan en
direcciones opuestas, no de la cuerda, sino de un trineo de 25Kg que descansa
sobre una calle cubierta de hielo. Si los participantes ejercen fuerzas de 90N y
92N, ¿Cuál es la aceleración del trineo?
Datos:
F1= 90 N
F2= 92 N
m= 25 Kg
a=?
F = m*a
a = F / m =F2 - F1 / m
Sustituyendo
a = 92N – 90N / 25 Kg
a = 2 Kg (m/s2 ) / 25Kg
a = .08 m/s2
7. Un automóvil que viaja a razón de 53Km/h choca contra el pilar de un
puente. Un pasajero que viaja en el automóvil se mueve hacia delante una
distancia de 65cm (con respecto a la carretera) mientras es llevado al reposo
por un cojín de aire inflado, ¿Qué fuerza (supuesta como constante) actúa
sobre la parte superior del torso del pasajero, quien tiene una masa de 39Kg
V= 53 Km/h = 14.722m/s
D = 65 cm= 0.65m
m = 39 Kg
F=?
Para calcular a:
a = Vf-V0/t
Sustituyendo:
a = (14.722m/s) /
0.0883s
F = m*a
Para calcular a:
a = 166.72 m/s2
F = m*a
Sustituyendo:
a = Vf-V0/t
F = (39 )(166.72m/s2)
Para calcular t:
F = 6502.3N
D = (Vf+V0/2)*t
Despejando t:
2D / Vf+V0 = t
sustituyendo:
2(0.65m) / (14.722m/s)=t
1.3 m / (14.722m/s)=t
t = .0883 seg.
15. Una niña de 40Kg y un trineo de 8.4Kg están sobre la superficie de un lago
congelado, separados uno del otro por una distancia de 15m. Por medio de una
cuerda, la niña ejerce una fuerza de 5.2N sobre el trineo, jalándolo hacia ella.
(A) ¿Cuál es la aceleración del trineo?. (B) ¿Cuál es la aceleración de la niña?.
(C) ¿A qué distancia de la posición inicial de la niña se encontrarán,
suponiendo que la fuerza permanezca constante? Suponga que no actúan
fuerzas de fricción.
m1 = 40 Kg
m2 = 8.4 Kg
F = 5.2N
D = 15m
a1 =?
a2 =?
A) a2 = F/m2
Sustituyendo:
a2 = 5.2N / 8.4Kg
a2 = 0.619 m/s2
B) a1 = F/m1
Sustituyendo:
a1 = 5.2N / 40Kg
a1 = 0.13 m/s2
21. ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre un automóvil de 3900lb que
acelera a razón de 13ft/s2?
W = 3900lb
F = m*a
a = 13 ft/s2
m= W/g
F= (W/g)*a
Sustituyendo:
g = 32 ft/s2
F = (3900lb / 32ft/s2)*13ft/s2
F= ?
F = (121.87lb)*13
F = 1584.3lb
27. Un meteorito de 0.25Kg de masa cae verticalmente a través de la
atmósfera de la tierra con una aceleración de 9.2m/s2. A demás de la gravedad,
una fuerza retardante vertical (debida a la resistencia aerodinámica de la
atmósfera) actúa sobre el meteorito. ¿Cuál es la magnitud de esta fuerza
retardante?
m = 0.25Kg
Fr = W-F
a = 9.2m/s2
Donde:
g = 9.8m/s2
W= m*g
Sustituyendo:
Fr = (m*g)-(m*a)
Fr =[(0.25Kg)(9.8m/s2)]-[(0.25Kg)(9.8m/s2)]
Fr = ?
F= m*a
Fr = [2.3N]-[2.45N]
Fr= 0.15N
49. Un globo de investigación con una masa total M está descendiendo verticalmente una aceleración a
hacia abajo ¿Cuánto lastre debe ser arrojado de la canastilla para dar al globo una aceleración a hacia
arriba, suponiendo que la fuerza ascensional del aire sobre el globo no cambie.
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