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Transcript
DIRECCION GENERAL DE EDUCACION
TECNOLOGICA INDUSTRIAL
DIRECCION TECNICA
SUBDIRECCION ACADEMICA
DEPARTAMENTO DE PLANES
Y
PROGRAMAS DE ESTUDIO
ALGEBRA
GUIA DE ESTUDIO
CICLO AGOSTO – ENERO 2015
Álgebra
.
INTRODUCCIÓN
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada
del modo más general posible.
Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar
relaciones aritméticas.
El concepto de la cantidad en algebra es mucho mas amplio que en aritmética.
En aritmética las cantidades se representan por números y éstos expresan
valores determinados.
En algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por
medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.
LENGUAJE ALGEBRAICO
El álgebra es un lenguaje construido con la combinación de símbolos,
generalmente letras, números y los signos de operación; su finalidad es
representar expresiones y cantidades de manera abreviada. Tal combinación
recibe el nombre de Expresiones Algebraicas.
Traducción de enunciados del lenguaje común al lenguaje algebraico
En la siguiente tabla se presentan varios ejemplos de enunciados en lenguaje
común y la expresión que le corresponde en lenguaje algebraico:
Lenguaje común
La mitad del cuadrado de un número
El cuadrado de la mitad de un número
La suma de dos números al cuadrado
El cuadrado de la suma de dos números
El producto de la suma de dos números por su
diferencia
Lenguaje algebraico
x2
2
2
z
 
2
a2  b2
a  b 2
x  ax  a
Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
El doble de un número más tres.
El doble del cubo de un número.
El triple del cuadrado de un número.
El cuadrado de un número menos el triple.
La cuarta parte del doble de un número
Elevado al cuadrado.
Cinco veces un número menos tres.
La tercera parte del cubo de la suma de dos números.
Expresa el significado de las siguientes expresiones algebraicas en lenguaje
común
3x  5
4x  7
3x 2
x
2
2x
5
x 2  2x
x 3  3x  1
5 x 2  3x  5
x  95
NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN
Notación algebraica
Los símbolos usados en algebra para representar las cantidades son los números
y las letras.
Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.
Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean
conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas generalmente se expresan por las primeras letras del
alfabeto: a, b, c, d, ….
Las cantidades desconocidas se representan por las ultimas letras del alfabeto: u,
v, w, x. y, z.
Exponente
signo
3x
Coeficiente
4
3a
Variable
2
NUMEROS COMPLEJOS
NUMEROS REALES
NUMEROS RACIONALES
NUMEROS IRRACIONALES
ENTEROS
ENTEROS NEGATIVOS
CERO
ENTEROS POSITIVOS
Ó
NATURALES
NUMEROS PRIMOS
Ejemplo: Consideremos el conjunto de números siguiente:
1

 6,  0.5, 4 ,  96,
2

4
3 , 0, 9,  ,  2.9,
7

7,  5

Enumeremos los elementos del conjunto que sean:
a)
b)
c)
d)
e)
Números naturales
Números completos
Enteros
Números racionales
Números irracionales
f) Números reales
9
0, 9
-6, -96, 0, 9
-6, -0.5, 4 ½, -96, 0, 9, -2.9
3, 7 ,  5
1
4
 6,  0.5, 4 ,  96, 3 , 0, 9,  ,  2.9, 7 ,  5
2
7
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número puede considerarse como la distancia entre el
número y el cero (0) en la recta numérica.
3  3
3u
y
3  3
3u
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
OPERACIONES BÁSICAS O FUNDAMENTALES
Operaciones Básicas
Suma
Re sta

Multiplica ción

 División
 Potenciación

 Radicación
SUMA ALGEBRAICA NUMEROS REALES
(+)
Para sumar números reales con el mismo signo (ambos positivos o ambos
negativos), Sume sus valores absolutos. La suma tiene el mismo signo que los
números sumados.
4  8  4  8  12
 6   9   6  9  6  9  15
Como son negativos el resultado es negativo
 6   9   15
Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y otro negativo),
determine la diferencia entre el valor absoluto mayor y el valor absoluto menor. La
respuesta tiene el signo del número con mayor valor absoluto.
Sumemos  6  10
10  6  10  6  4
Como 10 es mayor que  6 y 10 es positivo el resultado es positivo
 6  10  4
12  (18)
 18  12  18  12  6
Como  18 es mayor que 12 y el signo de  18 esegativo la suma es negativa :
12   18  6
Dos números cualesquiera Cuya suma es igual a 0 (cero) son opuestos (o
inversos aditivos) entre sí. En general, si a representa cualquier número real,
entonces su opuesto es –a ya que a + (-a) = 0
Ej. La suma de 5 y -5 es cero. Así que -5 esa el opuesto de 5 y 5 es el opuesto de
-5
Ejercicios P. 35
RESTA DE NUMEROS REALES
( - )
En general si a y b representan dos números reales cualesquiera, entonces:
a  b  a   b 
Evaluemos 9   4 
Estamos restando un 4 positivo a 9. Para hacerlo sumemos el opuesto de +4, que
es -4 a 9
9 
Re star
 4

9
positivo

Sumar
 4
negativo
Ejercicios p. 42
MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS REALES
,  ,  ,  
El producto de dos números con signos iguales es un número positivo.
El producto de dos números con signos distintos es un número negativo.
3 5  15
Ej.
 67   42
 7 5  35
43  12
DIVISIÓN
,




, / 

El cociente de dos números con signos iguales es un número positivo.
El cociente de dos números con signos distintos es un número negativo.
20
 20  5  4
5
 36
 36  4  9
4
Ej:
 30
 30  5  6
5
16
 16  2  8
2
Signos de los
números
Ambos
números
positivos
La
siempre
positiva
Ej. 6 y 2
62 8
2y6
SUMA
suma
es
26 8
Un
número La suma puede
positivo y el ser positiva o
otro negativo negativa
Ej. 6 y -2
-6 y 2
6   2  4
 6  2  4
Ambos
La
números son siempre
negativos
negativa
Ej. -6 y -2
-2 y -6
suma
es
 6   2   8
 2   6   8
MULTIPLICA
DIVISIÓN
CIÓN
La diferencia El
producto El
cociente
puede
ser siempre será siempre
es
positiva
o positivo
positivo
negativa
62 3
6  2  12
62  4
1
2  6  12
26 
2  6  4
3
La diferencia El
producto El
cociente
pude
ser siempre
es siempre
es
positiva
o negativo
negativo
negativa
6 2   12
6   2  3
6   2   8
 62   12
 6  2  3
 6  2   8
La diferencia El
producto El
cociente
puede
ser siempre
es siempre
es
positiva
o positivo
positivo
negativa
 6 2  12
 6   2  3
 6   2   4  2 6  12
1
 2   6 
 2   6   4
3
RESTA
REGLA DE LOS SIGNOS PARA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
    
  
Signos iguales dan como resultado productos y cocientes positivos
    
  
    
    
   
  
Signos dist int os dan como resultado productos y cocientes negativos
   
  
    
    
Multiplicación:
a (0) = 0
División:
0
0
y
a
a
a
a


b
b
b
a
 indefinido
0
Ejercicios p. 50
POTENCIACIÓN
42
Exponente o grado de la exp resión
Base
Se lee 4 al cuadrado o 4 a la segunda potencia
42  4  4
43  4  4  4
factores
En general el número b a la n_ésima potencia se escribe b n , significa:
b n  b  b·b·b·b....b n veces
b 3  b·b·b  bbb
x 4  x·x·x·x  xxxx
Cada exponente se refiere solo al número o letra que le precede directamente, a
menos que se utilicen paréntesis para indicar lo contrario.
a) 32 
b) 2 5 
c) 15 
d ) 43 
e)
f)
 32 
 23 
2
2
g)   
3
USO DEL PARÉNTESIS Y ORDEN DE LAS OPERACIONES.
Con frecuencia se evalúan expresiones con varias operaciones, para ello se
requiere conocer el orden de las operaciones:
1.- Primero evalúe la información dentro del paréntesis   o corchetes  ,   si la
expresión contiene paréntesis anidados (un par de paréntesis dentro de otro),
primero evalúe la información en los paréntesis internos.
2.- A continuación, evalúe todos los exponentes.
3.- Luego, evalúe todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que se
aparecen, trabajando de izquierda a derecha.
3.- Por último, evalúe todas las sumas o restas en el orden en que aparecen,
trabajando de izquierda a derecha.
2  3·4  2  3·4  2  12  14
2  3·4  5·4  20
Ejercicios P. 62,63
PROPIEDADES DEL SISTEMA DE NUMEROS REALES
PROPIEDAD CONMUTATIVA
De la suma: El orden en que se suman dos números reales cualesquiera no es
importante (no altera la suma).
ab ba
43  3 4
77
De la multiplicación: El orden en que se multiplican dos o más números reales
cualesquiera no es importante (no altera el producto).
a·b  b·a
6·3  3·6
18  18
La propiedad conmutativa no es válida para la resta o la división
ab  ba
82  28
6  6
a  ba  b  b  a
63  36
2 1
3
PROPIEDAD ASOCIATIVA
De la suma: Al sumar tres o mas números, se pueden colocar paréntesis entre
dos números adyacentes cualesquiera sin modificar el resultado.
a  b  c  (a  b)  c  a  (b  c)
3  4  5  (3  4)  5  3  (4  5)
7 5  39
12 
12  12
De la multiplicación: Al multiplicar tres o mas números reales se pueden colocar
paréntesis entre dos números adyacentes cualesquiera sin modificar el resultado.
a·b·c  a·b ·c  a·b·c 
6·2·4  6·2 ·4  6·2·4 
12·4  6·8
48 
48  48
La propiedad asociativa no es válida para la resta o la división
4  1  3  4  1  3
3  3  4   2
0  6
8  4  2  8  4  2
2 2  8 2
1  4
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Una propiedad muy importante de los números reales es la propiedad distributiva
de la multiplicación sobre la suma:
a b·c   ab  ac
23  4   23  24 
27   6  8
14  14



La propiedad conmutativa modifica el orden.
La propiedad asociativa modifica la agrupación
La propiedad distributiva implica dos operaciones, la multiplicación y la
suma.
Ejercicios p. 66,67
REGLAS DE LOS EXPONENTES
Ahora Aprenderemos las reglas de los exponentes para expresiones de igual
base.
Regla del producto para exponentes de igual base
x m  x n  x m n
Los exp onentes se suman
Ejercicios p. 189
Regla del cociente para exponentes de igual base
xm
 x mn
xn
Los exp onentes se res tan
Regla de la potencia para exponentes o de una potencia
x 
m n
 x m·n
Los exp onentes se multiplica n
Regla de la raíz n de una potencia
m
n
xm  x n
ó m n 
Los exp onentes se dividen
Regla del exponente cero
Cualquier número real distinto de cero, elevado a la potencia cero es igual a 1
(uno).
00
no es un número real
x 1
1
Ejercicios p.191
Extensión de la regla de una potencia
m
 ax 
am  xm
   m m
b x
 by 
para b  0 e y  0
Cada factor dentro del paréntesis se eleva a la potencia que está fuera de los
paréntesis al simplificar la expresión.
Ejercicios p. 193