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Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Recinto Santo Tomás de Aquino
Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas
Departamento de Administración de Empresa
ADM-237-T MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS II
en honor a Carlos Dreyfus
PROGRAMA GENERAL
Maestro: Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana (Roma 2003)
Ingeniero de Sistemas (UNIBE - 1993), Administrador (PUCMM - 2000), Matemático (PUCMM - 2007), Teólogo (UNEV - 2002)
y Maestro (SALOME UREÑA - 1985)
[email protected] ; [email protected]
www.atalayadecristo.org
MAYO 2016
Objetivo General:
 Este curso persigue desarrollar habilidades en los gerentes y futuros gerentes de
negocios/proyectos que le permitan valorizar, aplicar y crear diferentes modelos
matemáticos, útiles en el proceso de toma de decisiones en el mundo de los negocios,
con la finalidad de optimizar los resultados a obtener en las diferentes situaciones del
mundo real. Los encargados de toma de decisiones estarán mejor preparados para
trabajar en este tipo de ambiente si se familiarizan con las clases más comunes de los
análisis cuantitativos y con la tecnología de la computadora. Este dominio les ayudará
a ser mejores “críticos” y “usuarios” de estas herramientas y, según se supone,
perfeccionarán su habilidad en la toma de decisiones.
Descripción de la Materia:
Créditos
: 03
Pre-requisitos
: ADM-236-T; ADM-236-P
Co-requisitos
: ADM-237-P
En esta segunda parte de Métodos Cuantitativos para Negocios nos adentraremos en la
aplicación de la estadística inferencial a la toma de decisiones en los negocios. Al finalizar el
(la) estudiante podrá hacer uso de la teoría de muestras, probabilidades para el análisis de
datos, así como la aplicación de las técnicas de estimación de parámetros poblacionales para
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones
| Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere
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Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
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contrastar si una afirmación provisional sobre un parámetro poblacional es aprobada o no
ante la evidencia de la muestra. El curso consta de una parte teórica y de un laboratorio en el
que se utilizará un software estadístico para la resolución de los problemas.
Objetivos Específicos del Curso:
 Proporcionar una comprensión conceptual del papel que juegan los métodos
cuantitativos en el proceso de toma de decisiones.
 Construir nuevas estructuras mentales ya que se trata de una forma distinta de pensar
matemáticamente.
 Abordar y resolver situaciones de una variedad ilimitada y problemas cuya
complejidad rebasaría otras ramas de las matemáticas.
 Enfatizar los conceptos.
 Presentar cuidadosamente los métodos estadísticos, dirigiéndolos a la comprensión,
tanto de la adaptabilidad del método como del análisis de los resultados y la toma de
decisiones.
 Evaluar hipótesis cuantitativas acerca de las características de procesos, productos o
servicios.
 Evaluar afirmaciones sobre poblaciones a partir de muestras obtenidas de éstas, a las
que se les aplican procedimientos estadísticos basados en modelos de probabilidad.
 Contrastar hipótesis cuantitativas paramétricas y no paramétricas, acerca del valor de
una variable que mide características de un proceso, producto o servicio.
 Desarrollar procedimientos de recolección, tratamiento y análisis de datos
cuantitativos, con apego a la ética y a los supuestos de los modelos estadísticos
aplicados.
 Seleccionar los modelos estadísticos que mejor se ajusten a la situación administrativa
que se va a estudiar.
 Desarrollar habilidades y destrezas que permitan, mediante el razonamiento, el
análisis y la interpretación de datos, la toma de decisiones gerenciales.
Metodología de Clases:
Este curso está orientado a las aplicaciones de las estadísticas en la solución de casos o
escenarios del mundo de los negocios. El enfoque didáctico de este curso está orientado más
hacia el desarrollo de habilidades que hacia la adquisición de conocimientos, es decir, saber
cómo resolver problemas mediante la aplicación de herramientas estadísticas.
 Cátedras expositivas de los temas que constituyen el programa.
 Análisis de casos, principalmente del entorno nacional.
 Aplicación de los modelos estadísticos a data proveniente de una empresa elegida
por el (la) estudiante.
 Resolución de ejercicios de texto u otros libros de referencia.
 Análisis de artículos de publicaciones arbitradas.
 Participación activa del estudiante, debates, discusiones.
 Aprendizaje colaborativo, mediante la resolución en grupo de ejercicios y casos, tanto
de manera presencial como virtual.
 Pruebas parciales y prueba final
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 2
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
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Evaluación:
Pruebas Cortas
Práctica de
Calentamiento
15 puntos
5 puntos
1º Parcial
Proyecto Parcial
25 puntos
15 puntos
2º Parcial
Proyecto Final
25 puntos
15 puntos
Aplicación de Cuestionario Seleccionado a 50 personas
y Aplicación de la Estadística Descriptiva e Inferencial,
Preparar un Reporte de Resultados.
Aplicación de las Estadísticas Nacionales para la Ubicación
de un Supermercado.
Aplicación de las Estadísticas en un Estudio de Mercado.
Materiales Útiles:
- Calculadora Científica con Combinación nCr
- Computador Portátil – Notebook – Laptop (Será usada en el aula, en los
exámenes y en el laboratorio).
- Memoria USB de 8 GB
- Juego de Reglas y Compás.
- Manual de Ejercicios (Impreso) o Presentaciones.
- Bibliografía indicada a continuación.
Software Útiles:
 MegaStat - SPSS 22 – Minitab – Stata
 Probabilidades y Estadística de la Mc Graw Hill.
 Microsoft Excel
 Aplicaciones aportadas por los estudiantes.
Metodología del Laboratorio:

Utilización de Microsoft Excel – Hoja Electrónica de Cálculo.

Utilización de los Programas: MegaStat – SPSS 22 – Probalidades y Estadísticas de
la Mc Graw Hill - – Minitab – Stata.

Búsqueda de Programas.

Implementación del Software – En los casos resueltos y asignados.

Presentación en el Laboratorio de la Implementación.

Entrega de los archivos de los Programas identificados.
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CONTENIDO DEL PROGRAMA
....................................................................................................................................
Tema I - Distribuciones de muestreo
Objetivos de Aprendizaje:
 Manejar los conceptos de: inferencia estadística, estimadores puntuales, estimación por
intervalos, muestreo, tipos de muestreo, errores de muestreo.
 Comprender cómo se realizan los principales tipos de muestreo: aleatorio simple,
estratificado, por conglomerados o racimos, por conveniencia.
 Comprobar teórica y empíricamente, la distribución muestral de medias, de
proporciones y de varianzas
Contenido Temático:
1.1 Inferencia Estadística: Estimadores puntuales y parámetros poblacionales. Propiedades
deseables en los estimadores.
1.2 Muestreo probabilístico para población finita o infinita. Tipos de muestreo.
1.3 Distribución muestral de las medias. Cálculo de la media y la desviación muestrales.
1.4 Distribución muestral de las proporciones. Cálculo de la proporción y desviación
muestrales.
1.5 Teorema central del límite.
1.6 Distribución muestral de las varianzas.
....................................................................................................................................
Tema II - Estimación por intervalos de confianza y prueba de hipótesis para la media o
proporción poblacional






Objetivos de Aprendizaje:
Comprender qué es: intervalo de confianza, estadístico de la prueba, valor crítico, pvalor, nivel de significancia o error tipo I, el error tipo II, y la potencia de una prueba.
Construir e interpretar intervalos de confianza para la media poblacional y para la
proporción poblacional.
Realizar pruebas de hipótesis de una cola y de dos colas para la media poblacional y
para la proporción poblacional para el caso en que se conozca la varianza poblacional,
utilizando distribución normal estándar, y los enfoques del valor crítico y del p-valor.
Realizar pruebas de hipótesis de una cola y de dos colas para la media poblacional
para el caso en que no se conozca la varianza poblacional, utilizando la distribución t
de Student, y los enfoques del valor crítico y del p-valor.
Calcular el tamaño de muestra requerido para cualquier nivel de precisión deseado en
la estimación a realizar.
Calcular las probabilidades de cometer errores tipo I y II, y la potencia de la prueba.
Contenido Temático:
2.1 Intervalo de confianza para la media de una población con varianza conocida.
2.2 Intervalo de confianza para la proporción poblacional.
2.3 Intervalo de confianza para la media de una población con varianza desconocida.
2.4 Prueba de hipótesis para la media de una población con varianza desconocida.
2.5 Cálculo del tamaño de la muestra. Errores tipo I, II y potencia de la prueba.
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 4
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
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....................................................................................................................................
Tema III - Estimación por intervalos de confianza y prueba de hipótesis para dos medias o
proporciones poblacionales.




Objetivos de Aprendizaje:
Construir e interpretar intervalos de confianza para la diferencia de dos medias
poblacionales o proporciones poblacionales con varianza conocida.
Construir e interpretar intervalos de confianza para la diferencia de dos proporcionales
poblacionales.
Construir e interpretar intervalos de confianza para la diferencia de dos medias
poblacionales no independientes.
Realizar pruebas de hipótesis de una cola y de dos colas para los casos mencionados.
Contenido Temático:
3.1 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblaciones normales con
varianza conocida.
3.2 Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones de dos poblaciones
normales
3.3 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblaciones normales 3.4
con varianza desconocida.
3.5 Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales: muestras
pareadas.
3.6 Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales
independientes, con varianza conocida o desconocida.
3.7 Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales.
3.8 Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias poblacionales dependientes.
....................................................................................................................................
Tema IV - Estimación por intervalo y prueba de hipótesis para la varianza: Una población
y dos poblaciones.
Objetivos de Aprendizaje:
 Construir e interpretar intervalos de confianza para la varianza poblacional, utilizando
la distribución Chi Cuadrada.
 Construir e interpretar intervalos de confianza para varianzas de dos poblaciones
independientes, utilizando la distribución F.
 Realizar pruebas de hipótesis para ambos casos, utilizando las distribuciones
correspondientes, y los enfoques del valor crítico y del p-valor.
Contenido Temático:
4.1 Intervalo de confianza para la varianza poblacional.
4.2 Intervalo de confianza para las varianzas de dos poblaciones independientes.
4.3 Pruebas de hipótesis para la varianza poblacional.
4.4 Pruebas de hipótesis para las varianzas de dos poblaciones independientes.
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Tema V - Correlación y regresión simples: estimación y prueba de hipótesis.
Objetivos de Aprendizaje:

Comprender la importancia de la detección de relaciones lineales entre dos variables
para la toma de decisiones en los negocios.

Utilizar diagramas de dispersión y tendencia para visualizar la relación lineal entre dos
variables.

Utilizar análisis de regresión lineal para estimar la relación entre dos variables.

Utilizar la ecuación de estimación de mínimos cuadrados para predecir valores futuros
de la variable dependiente de interés.

Calcular e interpretar los coeficientes de correlación y regresión.

Comprender las limitaciones de la regresión y del análisis de correlación y las
advertencias sobre su utilización.

Construir intervalos de confianza para los parámetros de la ecuación de la recta.

Realizar pruebas de hipótesis para el coeficiente de correlación simple.
Contenido Temático:
5.1
Diagrama de dispersión.
5.2
La recta de regresión de la población.
5.3
Estimación de la recta de regresión de población por el método de los mínimos
cuadrados. Predicción.
5.4
El coeficiente de correlación simple o de Pearson. El coeficiente de
determinación.
5.5
Estimación del coeficiente de correlación simple.
5.6 Pruebas de hipótesis relativa al coeficiente de correlación simple.
....................................................................................................................................
Tema VI - Pruebas no paramétricas.


Objetivos de Aprendizaje:
Identificar las pruebas no paramétricas que son apropiadas a situaciones en las que no
se puede suponer una distribución de probabilidad específica para la población que
estamos muestreando.
Realizar pruebas de hipótesis acerca de valores poblacionales utilizando dichas
pruebas.
Contenido Temático:
6.1
Introducción a las pruebas no paramétricas.
6.2
Pruebas de bondad de ajuste, independencia y tablas de contingencia con Chi
Cuadrada.
6.3
Prueba de Signo.
6.4
Prueba de rangos con signo de Wilcoxon para dos muestras dependientes.
6.5
Prueba de suma de rangos de Wilcoxon para dos muestras independientes.
6.6
Prueba de Kruskal-Wallis.
6.7
Correlación de rangos.
6.8
Prueba de series para detectar aleatoriedad.
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 6
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
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Agenda – Calendario
Tema
Contenido
Introducción y Presentación del Programa
Distribución Normal
Práctica de Calentamiento: Aplicación de Cuestionario
Seleccionado a 50 personas y Aplicación de la Estadística
Descriptiva, Preparar un Reporte de Resultados.
Libro
Fecha
Webster Cap. 5
Lind Cap. 7
Anderson Cap. 6
Manual pág. 92
1) Bienestar Laboral.
2) Negocios Informales.
12/05/2016
16/05/2016
LU/MI 2+3h
MI/JU 2+3h
12/05/2016
16/05/2016
LU/MI 2+3h
MI/JU 2+3h
16/05/2016
18/05/2016
19/05/2016
LU/MI 2+3h
MI/JU 2+3h
25/05/2016
27/05/2016
28/05/2016
LU/MI 2+3h
MI/JU 2+3h
01/06/2016
02/06/2016
MI 3h
JU 3h
08/06/2016
09/06/2016
MI 3h
JU 3h
06/06/2016
08/06/2016
LU 2h
MI 2h
13/06/2016
15/06/2016
16/06/2016
LU/MI 2+3h
MI/JU 2+3h
Asistencia
20/06/2016
22/06/2016
23/06/2016
LU/MI 2+3h
MI/JU 2+3h
29/06/2016
30/06/2016
MI 3h
JU 3h
04/07/2016
06/07/2016
07/07/2016
LU/MI 2+3h
MI/JU 2+3h
13/07/2016
14/07/2016
MI 3h
JU 3h
11/07/2016
13/07/2016
LU 2h
MI 2h
Asistencia
I
Distribuciones de muestreo
Webster Cap. 6
Lind Cap. 8
Anderson Cap. 7
Manual pág. 100
II
Estimación por intervalos de confianza pág. 128, Tamaño
de Muestra pág. 138 y prueba de hipótesis para la media o
proporción poblacional 147, Distribuciones Normal, T
Student pág. 134 y Chi Cuadrada pág. 163.
Webster Cap. 7, 8
Lind Cap. 9, 10
Anderson Cap. 8, 9
Manual pág. 128, 134,
138, 147 y 163
Primer Control de Lectura
Primer Parcial
Proyecto Parcial (Presentación aplicando la Estadística
Descriptiva e Inferencial)
II
IV
Análisis de Varianza (ANOVA)
Con un Factor / Con un Factor en Bloques / Con dos
Factores
Estimación por intervalo y prueba de hipótesis para la
varianza: Una población y dos poblaciones. (Análisis de
Varianza)
Correlación y regresión simples: estimación y prueba de
hipótesis.
Webster Cap. 10
Lind Cap. 12
Anderson Cap. 11
Manual pág. 169, 189 y
195
Webster Cap. 11
Lind Cap. 13
Anderson Cap. 14
Manual pág. 208
Segundo Control de Lectura
V
Pruebas no paramétricas.
Segundo Parcial
Proyecto Final (Presentación en el Lab. aplicando la
Estadística Inferencial)
Webster Cap. 14
Lind Cap. 17, 18
Anderson Cap. 19
Manual pág. 224
Valor
Valor 5
puntos
Asistencia
Asistencia
Valor 5
puntos
Valor 25
puntos
Valor 15
puntos
Asistencia
Valor 10
puntos
Asistencia
25 puntos
15 puntos
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 7
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
8
Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Recinto Santo Tomás de Aquino
Facultad de Ciencias Sociales y Administrativas - Departamento de Administración de Empresa
ADM-236-T MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS I
en honor a Carlos Dreyfus
Maestro: Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana (Roma 2003)
Ingeniero de Sistemas (UNIBE - 1993), Administrador (PUCMM - 2000), Matemático (PUCMM - 2007), Teólogo (UNEV - 2002)
y Maestro (SALOME UREÑA - 1985)
[email protected] ; [email protected]
www.atalayadecristo.org
Aplicación de las Estadísticas
Proyecto Parcial
Valor 15 puntos - Fecha de Entrega: 6 y 8 de junio de 2016
Una empresa multinacional del Sector Supermercados que está ubicada en el Distrito Nacional, Santo Domingo y Santiago, está pensando
expandir sus operaciones estableciéndose en otras 3 provincias del País, con este propósito un equipo de estudiantes de Modelos para la
Toma de Decisiones fue contratado, para determinar en cuáles y qué orden debe ubicarse tomando en consideración las siguientes
informaciones estadísticas:
1. Población Rural y Urbana.
2. Hogares Rurales y Urbanos.
3. Población Ocupada.
4. Población Económicamente Activa.
5. Proporción de la Ocupada en relación a la Activa.
6. Gasto Anual por Hogar Rural (En alimentos, bebidas y tabaco).
7. Gasto Anual por Hogar Urbano (En alimentos, bebidas y tabaco).
8. Demanda total (En base a la suma del Gasto Rural y Urbano).
9. Densidad Poblacional.
Además:
- Característica del Sector Industrial (Supermercados), situación actual, entorno, tendencias, etc.
- Estilo de vida.
- Desarrollo provincial.
- Nivel de Educación.
- Niveles de pobreza.
- Imágenes típicas.
- Mapas
- Acceso a la tecnología y medios de comunicación.
- Nivel de participación de la competencia.
- Distancia de los centros de distribución.
- Medios y costos de transporte.
- Disponibilidad y costo de mano de obra.
- Disponibilidad y calidad de los servicios públicos.
- Rentabilidad del negocio.
Utilizando las Herramientas estadísticas, algunas consideraciones de Operaciones y Mercadeo, presente su Informe. Impreso y en CD.
Sitios de Internet a visitar: www.bancentral.gov.do / www.one.gov.do / www.pnud.gov.do / www.tiendalasirena.com /
www.superpola.com / www.jumbo.com.do / www.ole.com.do / www.supermercadoslacadena.com / www.superbravo.com
FECHA DE ASIGNACIÓN: 12 y 16 de mayo de 2016
www.bancentral.gov.do
www.one.gov.do
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 8
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
9
Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra - Recinto Santo Tomás de Aquino
ADM-236-T MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS I
en honor a Carlos Dreyfus
Maestro: Ing. Rubén Darío Estrella Sánchez, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana (Roma 2003)
Ingeniero de Sistemas (UNIBE - 1993), Administrador (PUCMM - 2000), Matemático (PUCMM - 2007), Teólogo (UNEV - 2002)
y Maestro (SALOME UREÑA - 1985)
[email protected] ; [email protected]
PROYECTO FINAL
Valor 15 puntos
Lineamientos generales para el trabajo final
Elaborar para una empresa de su elección o para un nuevo negocio un estudio de mercado
que permita determinar el comportamiento de una o varias variables que se desean controlar,
tomando en consideración la situación actual de la empresa, cultura, posibilidades
económicas, características de su sector industrial, disponibilidad de tecnología, etc.
Algunos detalles a incluir en su trabajo:
 Propósito del Estudio de Mercado.
 Objetivos del Estudio de Mercado.
 Breve reseña de la empresa, historia, evolución, cultura, etc.
 Característica del Sector Industrial, situación actual, entorno, tendencias, etc.
 Misión, Visión y Objetivos.
 Evaluación de oportunidades y tendencias del mercado.
 Evaluar la situación actual del objeto de estudio de mercado (definición y
comportamiento de las variables); hacer una crítica de la situación, emitir un
diagnóstico claro y completo.
 Utilizando todos métodos de Estadística Descriptiva e Inferencial determine:
o Elaboración del cuestionario a utilizar para la recolección de los datos en
Encuesta (Utilizando Libros de Metodología de Investigación y de Investigación
o Estudio de Mercado).
o Determinar el Tamaño de la muestra a utilizar en la Encuesta.
o Analisis Estadístico de los datos obtenidos en la Encuesta.
o Elaboración de Tablas y Gráficos Estadísticos.
o Determinación de Estadísticos, Parametros, y probabilidades de ocurrencias.
o Aplicar todos los modelos de la Estadística Inferencial estudiados.

Evaluación y presentación clara, evidente y objetiva de los efectos y el impacto de sus
recomendaciones, basado en el estudio de mercado, en la empresa: económicas, de
calidad, de imagen, etc.
 Mínimo de Fuentes Bibliográficas (Libros) a utilizar: 5
 Impreso y en CD.
FECHA DE ASIGNACIÓN: 12 y 16 de mayo de 2016
FECHA DE ENTREGA: 11 y 13 de julio de 2016
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 9
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
10

BIBLIOGRAFÍA.
o ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones.
Edición 2016.
o WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía.
McGraw-Hill: Tercera Edición. 2000.
o LIND Douglas A., MARCHAL William G. and WATHEN Samuel A.
Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía. McGraw-Hill. 15ª
Edición. 2012.
o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas.
Estadística para Negocios y Economía. CENGAGE Learning: 11ª Edición.
2012.
o TRIOLA, Mario F. Estadística. PEARSON Addison Wesley. 11ª Edición.
2013.
o MATEOS-APARICIO Gregoria and MARTIN Miguel. El Análisis de la
Varianza en la Investigación Comercial. Prentice Hall: 2002.
o SPIEGEL Murray, SHILLER John and SRINIVASAN R. Alu. Probabilidad y
Estadística. Mc Graw Hill. 3ª. Edición – Serie Shaum. 2010.
o NIEVES Antonio and DOMINGUEZ Federico. Probabilidad y Estadística
para Ingeniería un enfoque moderno. Mc Graw Hill. 2010.
o HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and
BAPTISTA LUCIO Pilar. Métodos de la Investigación. Mc Graw Hill. Quinta
Edición. 2010.
o MCDANIEL Carl and GATES Roger.
CENGAGE Learning: Octava Edición. 2011.
Investigación
de
Mercados.
o MENDEZ Carlos. METODOLOGIA Guía para elaborar diseños de
investigación en ciencias económicas, contables y administrativas. Mc Graw
Hill: Segunda Edición, 2001.
o DAVIS Duane. Investigación en Administración para la toma de decisiones.
International Thomson Editores: Quinta Edición. 2001.
o GUTIERREZ PULIDO Humberto and DE LA VARA SALAZAR Román.
Control Estadístico de Calidad y Seis Sigma 6. Mc Graw Hill. 2004
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 10
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
11
o JONSON Robert and KUBY Patricia. Estadística Elemental Lo Esencial.
International Thomson Editores, S. A.: Tercera Edición 2004.
o LIPSCHUTS Seymour and LIPSON Marc. PROBABILIDAD. Mc Graw Hill.
Segunda Edición. 2001.
o MILTON J. Susan and ARNOLD Jesse C.
ESTADISTICA. Mc Graw Hill. Cuarta Edición. 2004.
PROBABILIDAD
Y
o MONTIEL A. M., RIUS F. And BARON F.J. Elementos Básicos de
Estadística Económica y Empresarial. Prentice Hall: 1997.
o HOPKINS Kenneth, HOPKINS B.R. and GLASS Gene. Estadística Básica
para las Ciencias Sociales y del Comportamiento. Prentice Hall: Tercera
Edición. 1997.
o LAPIN Lawrence L. Statistics for Modern Business. The Dryden Press: 1995.
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 11
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
12
Conceptos Generales de Estadística (Statistics)
La Estadística: Es una colección de métodos para planear experimentos, obtener datos y
luego organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones con base en
esos datos.
- Se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar
regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una
causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la
finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.
- Es el arte y la ciencia de reunir, analizar, presentar e interpretar datos.
Es un cuerpo de métodos y teorías que es aplicado con evidencia numérica, cuando se toman
decisiones en presencia o situaciones de incertidumbre.
Estadística Descriptiva (Desciptive Statistics): Es el proceso de recopilación, organización y
presentación de datos de alguna manera que describa con rapidez y facilidad.
- Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y gráficos
que resumen y presentan la información contenida en ellos.
- La estadística descriptiva proporciona herramientas para organizar, simplificar y resumir
información básica a partir de un conjunto de datos que de otra forma seria poco manejable.
Esta incluye la tabulación, representación y descripción de conjuntos de datos.
- La estadística es descriptiva cuando los resultados del análisis estadístico no pretende ir más
allá del conjunto de datos investigados.
Estadística Inferencial (Inferential Statistics): Implica la utilización de una muestra para
extraer alguna inferencia o conclusión sobre la población correspondiente.
- Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muéstrales, efectúa
estimaciones, decisiones, predicciones y otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de
datos.
La estadística es inferencial cuando se derivan conclusiones generales para un conjunto de
datos más amplio a partir de la información proporcionada por los datos estudiados.
Es el proceso de reunir datos obtenidos de una muestra para hacer estimaciones o
probar hipótesis acerca de las características de una población.
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 12
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
13
Estadística Descriptiva
Obtener datos o recopilación
Organizar y resumir
Presentar
Estadística Inferencial
Analizar
Interpretar
Llegar a conclusiones
Uso de la Estadística en:
- Mercadeo.
- Investigación de mercado.
- Encuestas
- Combinación de productos y existencias.
- Publicidad.
- Gerencia de Operaciones.
- Pronósticos.
- Gestión de Calidad Total (TQM).
- Minimización de costos.
- Eliminación de desperdicios.
- Localización.
- Ruta crítica.
- Productividad.
- Simulación.
- Teorías de colas.
- Finanzas
- Análisis financieros.
- Economía.
- Análisis económicos.
- Impuestos y Gastos públicos.
- Producción nacional.
- Inflación.
- Macroeconomía.
- Comercio internacional.
- Localización o Ubicación de Negocios.
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Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
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Conceptos Elementales de Estadística.
Población (Population): Es la colección completa de todos los elementos (puntajes,
personas, mediciones, etc.) que se van a estudiar.
- Es una colección completa de todas las observaciones de interés para el investigador.
Censo (Census): Es la colección de datos de cada elemento de una población.
Muestra (Sample): Es un subconjunto de elementos extraídos de una población.
- Es una porción representativa de la población, que se selecciona para su estudio porque la
población es demasiado grande para analizarla en su totalidad.
Parámetro (Parameter): Es una medición numérica que describe alguna característica de una
población.
- Medida descriptiva de la población completa de observaciones que tienen interés para el
investigador.
Estadístico (Statistic): Es una medición numérica que describe alguna característica de una
muestra.
Variable: Característica de la población que se analiza en el estudio estadístico.
- Característica observable de un aspecto discernible en un objeto de estudio que puede
adoptar diferentes valores o expresarse en varias categorías.
Clasificación de las variables.
Según el modo como se presentan estas características o propiedades las variables se pueden
clasificar de esta forma:
- Cualitativas o Cuantitativas
- Continuas o discontinuos (discretas)
- Dependientes o independientes
- Explicadoras o externas
- Generales, intermedias o empíricas
Variables cualitativas (Qualitative – Categorical – Attribute Data): Son aquellas variables
cuyos elementos de variación tienen un carácter cualitativo no susceptible de medición
numérica, por ejemplo el sexo de los estudiantes de estadística, el estado civil de los
solicitantes de préstamos, preferencia religiosa, etc.
Se pueden dividir en diferentes categorías que se distinguen por alguna característica no
numérica.
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Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
15
Una variable cualitativa se mide por medios no numéricos.
Los datos cualitativos emplean la escala de medición nominal o la ordinal y pueden ser
no numéricos o numéricos.
Si la variable es cualitativa, el análisis estadístico es bastante limitado. Podemos
resumir los datos cualitativos al contar el número de observaciones en cada categoría
cualitativa, o bien, al calcular la proporción de observaciones en cada categoría cualitativa.
Los datos cualitativos son descripciones detalladas de situaciones, eventos, personas,
interacciones, conductas observadas y sus manifestaciones.
Variables cuantitativas (Quantitative Data): Son aquellas cuyas características o propiedades
pueden presentarse en diversos grados o intensidad y tienen un carácter numérico, como por
ejemplo nivel de ingresos, deserción escolar, las calificaciones que los estudiantes reciben en
el examen final, el número de kilómetros que recorren los que asisten a la universidad, etc.
Según el número de valores que pueden tomar las variables cuantitativas se distingue
variables continuas y discontinuas.
Variables continuas (Continuos – numerical – Data): Son las que pueden tomar cualquier
valor dentro de un intervalo dado. Por muy próxima que puedan estar dos observaciones, si
el instrumento de medida tiene la precisión suficiente siempre puede haber una tercera
observación que caiga entre las dos primeras. Los valores de una variable continua proceden
en general de mediciones, por ejemplo las cantidades de leche que las vacas producen son
datos continuos porque son mediciones que pueden asumir cualquier valor dentro de un
intervalo continuo.
Se pueden obtener de un número infinito de posibles valores que pueden asociarse a
puntos de una escala continua, de tal manera que no haya huecos ni interrupciones.
Variables discontinuas o discretas (Discrete Data): Son las que no pueden tomar valores
intermedios entre otros dos valores dados, han de hacerlo siempre con valores enteros, por
ejemplo el número de alumnos de una escuela, los socios de una cooperativa, etc.
Se obtienen de un número finito de posibles valores o bien de un número de posibles
valores que pueden contarse.
Sólo puede tomar determinados valores, por lo general números enteros. Puede ser
resultado de la enumeración o del conteo. En ninguno de los casos se observaran valores
fraccionarios.
Consideradas conforme a la posición que une a las variables entre sí, se distingue entre
variables dependientes e independientes.
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Variables dependientes (Y):
Reciben este nombre las variables a explicar, o sea, el objeto
de la investigación, que se trata de explicar en función de otros elementos.
Variables independientes (X): Son las variables explicativas, o sea, los factores o elementos
susceptibles de explicar las variables dependientes (en un experimento son las variables que
se manipulan).
Variables explicadoras: Son las propiedades que interesan directamente al investigador en
términos de su modelo.
Variables externas: Son las que están fuera del interés teórico inmediato y que pueden afectar
los resultados de la investigación empírica.
Variables generales: Se refieren a realidades no inmediatamente medibles.
Variables intermedias o intervinientes: Expresan algunos aspectos parciales de las variables
generales, pero más concretos y cercanos a la realidad.
En algunos casos de análisis de relación causa-efecto, se introducen una o más
variables de enlace interpretativo entre las variables dependientes e independientes. Se trata
de variables vinculadas funcionalmente a la variable dependiente y a la variable
independiente y que producen un efecto en la relación existente entre esas variables.
Variables empíricas: Representan aspectos directamente medibles y observables.
Clasificación de las Variables según el Nivel de Medición
Los datos se reúnen mediante una de las siguientes escala de medición: nominal,
ordinal, intervalo y de razón. La escala o nivel de medición permite determinar la cantidad
de información que contienen los datos e indica el resumen de los datos y el análisis
estadístico más apropiado.
La escala para medir una característica tiene implicaciones en la forma de presentar y
resumir la información; también determina el método estadístico escogido para analizar los
datos.
Nivel de medición nominal (Nominal level of measurement):
Se caracteriza por datos que consisten exclusivamente en nombres, rótulos o
categorías. Los datos no pueden acomodarse según un esquema de ordenamiento.
Nombres o clases que se utilizan para organizar los datos en categorías separadas y
distintas.
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La escala de medición para una variable es nominal cuando los datos son etiquetas o
nombres que se emplean para identificar un atributo del elemento.
Ejemplos:
El sexo de los estudiantes de esta clase de estadística.
Las bebidas gaseosas refrescantes se pueden clasificar en: Coke, Pepsi, 7-Up o Country
Club.
La escala de medición es nominal aun cuando los datos son mostrados como valores
numéricos.
1. Coke
2. Pepsi
3. 7-Up
4. Country Club
El partido político al que pertenecen los miembros de las cámaras de senadores y
diputados del país.
Los datos evaluados en escala nominal en ocasiones suelen llamarse observaciones
cualitativas, porque describen una cualidad de la persona o casa estudiada, y observaciones
categóricas, si los valores caen en categorías. En general, los datos nominales o cualitativos se
describen en términos de porcentajes o proporciones. A menudo se utilizan las tablas de
contingencia y las gráficas de barras para mostrar este tipo de información.
Nivel de medición ordinal (Ordinal level of measurement).
La escala de medición para una variable es ordinal si los datos tienen propiedades de
datos nominales y el orden de los datos es significativa.
Mediciones que jerarquizan los datos en categorías, ordenadas en virtud de un
determinado criterio.
Implica datos que pueden acomodarse en algún orden, pero no es posible determinar
diferencias entre los valores de los datos, o tales diferencias carecen de significado.
Los datos para una escala ordinal podrían ser no numéricos o numéricos.
Este nivel ordinal proporciona información sobre comparaciones relativas, pero los
grados de las diferencias no se pueden usar en cálculos.
Ejemplos:
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Los productos de un determinado almacén pueden ser clasificados como "buenos",
"mejores" y "óptimos".
Un editor califica algunos manuscritos como "excelentes", otros como "buenos" y
algunos como "malos". (No podemos encontrar una diferencia cuantitativa específica entre
"bueno" y "malo").
La Revista Money clasificación las inversiones a partir de los niveles de riesgos "bajo",
"alto" y "muy alto".
Nivel de medición de intervalos (Interval level of measurement).
La escala de medición para una variable es una escala de intervalo si los datos tienen
las propiedades de datos ordinales y el intervalo entre observaciones se expresa en términos
de una unidad fija de medida. Los datos de intervalos siempre son numéricos.
Es como el nivel ordinal, con la propiedad adicional de que podemos determinar
magnitudes de diferencias entre los datos que tienen algún significado. Sin embargo, no hay
un punto de partida o cero inherente (natural) en el que la cantidad este totalmente ausente.
Mediciones respecto de una escala numérica en la cual el valor del cero es arbitrario,
pero la diferencia de valores es importante.
La escala Fahrenheit de temperaturas es un ejemplo de escala de intervalos: 70 grados
no sólo significan una temperatura mayor que 60 grados, sino que existe la misma diferencia
de 10 grados que entre 100 y 90 grados Fahrenheit.
Las temperaturas promedian anuales (en grados Celsius) de las capitales de todos los
estados de los Estados Unidos.
Los años 1000, 2000, 1776 y 1944.
Nivel de medición de proporción o de razón (Ratio level of measurement).
La Escala de medición para una variable es una escala de razón si los datos tienen
todas las propiedades de los datos de intervalos y el cociente de los dos valores es
significativo. Variables como distancia, peso, altura y tiempo emplean la escala de razón. Un
requisito de esta escala es que puede contener un valor cero que indica que no existe nada
para una variable en el punto cero.
Mediciones numéricas en las cuales el cero es un valor fijo en cualquier escala y la
diferencia de valores es importante.
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Es el nivel de intervalo modificado para incluir el punto de partida o cero inherente
(donde cero indica que nada de la cantidad está presente). Para los valores de este nivel,
tanto las diferencias como las razones tienen significado.
De los cuatro niveles de medición, sólo la escala de proporción o de razón se basa en
un sistema numérico en el cual el cero tiene sentido. Por consiguiente, las operaciones
aritméticas de multiplicación y división también adquieren una interpretación racional.
Mediciones tales como el peso, el tiempo y la distancia se miden en escala de
proporción, puesto que el cero ocupa un lugar natural.
Ejemplo:
Distancia (en kilómetros) recorridas por automóviles en una prueba de consumo de
combustible.
Longitudes (en minutos) de películas de cine.
Los valores de cada una estas colecciones de datos se pueden acomodar en orden, las
diferencias pueden calcularse y existe un punto de partida o cero inherente. Este nivel se
denomina "razón" porque el punto de partida hace que las razones o cocientes tengan
significado.
Nivel
Resumen
Ejemplo
Observación
Nominal
Sólo categorías.
Autos de
Sólo categorías o
Los datos no
estudiantes:
nombres
pueden
10 Mercedes Benz
acomodarse en un 20 BMW
esquema de
40 Toyota
ordenamiento.
Ordinal
Las categorías
Vehículos de los
Se determina un
están ordenadas,
estudiantes:
orden con
pero no es posible 10 compactos
“compactos,
determinar
20 medianos
medianos y
diferencias, o éstas 40 grandes
grandes”.
carecen de
significado.
De Intervalo
Se pueden calcular Temperaturas:
90º no es dos veces
diferencias entre
45º C
más caliente que
valores, pero no
80º C
45º C.
existe un punto de 90º C
partida inherente.
Los cocientes no
tienen significado.
De Razón
Igual que el
Pesos de
140 kg es dos veces
intervalo, pero con deportistas
70 kg.
un punto de
universitarios:
partida inherente. 70 kg
Los cocientes
85 kg
tienen significado 140 kg
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Estudio Experimental: En este estudio primero se identifican las variables de interés. Luego
se identifican o controlan una o más variables, de modo que se puedan obtener datos de cómo
influyen en la variable de interés. Por ejemplo, a una empresa farmacéutica le puede
interesar un experimento para determinar la forma en que una nueva medicina afecta la
presión sanguínea.
Es cuando aplicamos algún tratamiento y luego procedemos a observar su efecto sobre
los sujetos.
Estudio estadístico No Experimentales u Observacionales:
No se trata de controlar las
variables de interés, ni de influir sobre ellas. Quizás el tipo más común de estudio
observacional es la encuesta. Por ejemplo, para una encuesta personal se identifican primero
las preguntas de investigación; a continuación se diseña un cuestionario y se administra a una
nuestra de individuos.
En este estudio observamos y medimos características específicas, pero no intentamos
manipular ni modificar los sujetos que estamos estudiando.
Muestra: Es un subconjunto de elementos extraídos de una población.
- Es una porción representativa de la población, que se selecciona para su estudio
porque la población es demasiado grande para analizarla en su totalidad.
Muestra Aleatoria o Probabilística: Se seleccionan los miembros de la población de modo
que cada uno tenga la misma probabilidad de ser escogido.
Son muestras en que los elementos a seleccionar se obtienen con base en la
probabilidad. Cada elemento de una población tiene cierta probabilidad de ser elegido como
parte de la muestra.
Muestra Aleatoria Simple (Random Sample): Una muestra es seleccionada de modo que
todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. De igual
manera, todas las muestras de tamaño n tienen la misma posibilidad de ser elegidas. Las
muestras aleatorias simples se obtienen por muestreo con reemplazo en una población finita
o por muestreo sin reemplazo en una población sin reemplazo.
Una muestra aleatoria simple de n sujetos se selecciona de tal manera que toda posible
muestra de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser escogida.
Muestreo Estratificado (Stratified Sampling): Subdividimos la población en por lo menos
dos subpoblaciones (o estratos) distintas que comparten categorías (como genero), y luego
sacamos una muestra de cada estrato.
Muestreo en el que la población se divide en segmentos y se selecciona una muestra
para cada segmento.
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Si los tamaños de muestra de los distintos estratos reflejan la población general,
decimos que tenemos un muestreo proporcional.
Muestra que se obtienen al estratificar el marco muestral y luego seleccionar un
número fijo de elementos de cada uno de los estratos pro promedio de una técnica de
muestreo aleatorio simple.
Muestreo Proporcional: Muestra que se obtienen al estratificar el marco muestral y luego
seleccionar de cada estrato un número de elementos en proporción al tamaño de los estratos,
por medio de una técnica de muestreo aleatorio simple.
Cuando se extrae una muestra aleatoria proporcional, el marco muestral se subdivide
en varios estratos y luego de cada estrato se extrae una sub muestra. Una forma conveniente
de expresar el concepto de muestreo proporcional es establecer una proporción. Por ejemplo,
“uno de cada 150”, le induce a seleccionar un (1) elemento por cada 150 elementos en el
estrato.
Muestreo sistemático (Systematic Sampling): Seleccionamos un punto inicial y luego
seleccionamos cada k-ésimo (digamos, cada quincuagésimo) elemento de la población.
La técnica sistemática es fácil de describir y ejecutar; no obstante, conlleva algunos
peligros cuando el marco muestral es repetitivo o de naturaleza cíclica. En estas condiciones,
puede que los resultados no se aproximen a una muestra aleatoria simple.
Este procedimiento de selección es muy útil e implica elegir dentro de una población N
un número n de elementos a partir de un intervalo K. Este último (K) es un intervalo que se
va a determinar por el tamaño de la población y el tamaño de la muestra. De manera que
tenemos que K = N/n, en donde K = un intervalo de selección sistemática, N = la población y
n = la muestra.
Muestreo por cúmulos o conglomerados (Cluster Sampling):
Muestreo que se obtiene al
muestrear algunas, pero no todas, las subdivisiones posibles que hay dentro de una
población. Estas subdivisiones, denominadas conglomerados, a menudo ocurren de manera
natural dentro de la población.
Primero dividimos el área de la población en secciones (o cúmulos) y luego
seleccionamos aleatoriamente unas cuantas de esas secciones escogiendo todos los miembros
de las secciones seleccionadas.
Una diferencia importante entre el muestreo por cúmulos y el estratificado es que en el
muestreo por cúmulos se usan todos los miembros de cúmulos seleccionados, mientras que
en el muestreo estratificado se usa una muestra de miembros de cada estrato.
Muestreo de conveniencia o de juicio (Convenience Sampling): Simplemente utilizamos
resultados que ya están disponibles.
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Las muestras son elegidas con base en el hecho de que son típicas.
Cuando se obtiene una muestra de juicio, la persona que elabora la muestra elige
unidades que considera representativas de la población. La validez de los resultados de una
muestra de juicio refleja la solidez del juicio del recolector de datos.
Error de muestreo: Es la diferencia entre el resultado de una muestra y el verdadero
resultado de la población; tal error es consecuencia de las fluctuaciones aleatorias de las
muestras.
Error de muestreo: Este error ocurre cuando los datos de una muestra se obtienen, registran o
analizan de forma incorrecta. Tal error es consecuencia de una equivocación y no de una
fluctuación aleatoria y predispuesta, cuando se usa un instrumento de medición defectuoso,
cuando se hacen preguntas predispuestas en una encuesta, cuando mucha gente se niega a
responder o cuando se cometen errores al copiar los datos de la muestra.
Sesgo muestral: Tendencia a favorecer la elección de unos determinados elementos de la
muestra en detrimento de otros.
Este análisis de las muestras conduce a distinguir entre las dos ramas principales del
análisis estadístico: 1) Estadística descriptiva o deductiva, y 2) Estadística inferencial o
inductiva.
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Tabla de Frecuencias y Gráficos Estadísticos (Frequency Tables – Frequency Distribuitions)
Herramientas estadísticas que resultan de particular utilidad para organizar los datos.
Tabla de frecuencia es un resumen tabular de un conjunto datos donde se muestra la
frecuencia (o cantidad) del objeto de estudio en cada una de varias clases.
Distribución de Frecuencias es un conjunto de puntuaciones ordenadas en sus respectivas
categorías y generalmente se presenta como una tabla.
270
278
250
278
290
274
242
269
257
272
265
263
234
270
273
270
277
294
279
268
230
268
278
268
262
273
201
275
260
286
272
284
282
278
268
263
273
282
285
289
268
208
292
275
279
276
242
285
273
268
258
264
281
262
278
265
241
267
295
283
281
209
276
273
263
218
271
289
223
217
225
283
292
270
262
204
265
271
273
283
275
276
282
270
256
268
259
272
269
270
251
208
290
220
259
282
277
282
256
293
254
223
263
274
262
263
200
272
268
206
280
287
257
284
279
252
280
215
281
291
276
285
287
297
290
228 282
274 230
277 275
286 236
277 295
251 289
278 283
277 261
286 262
277 252
289 283
269 277
267 204
276 286
206 270
284 278
269 270
284 283
268 272
291 281
289 288
293 248
277 266
280 256
274 292
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TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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Gráficos.
Los Gráficos que pueden proporcionar una representación visual de los datos.
HISTOGRAMA (Histogram).
Consiste en una escala horizontal para valores de los datos que se están representando,
una escala vertical para las frecuencias, y barras que representan la frecuencia de cada clase
de valores.
En el eje horizontal pueden ser colocadas las marcas de clase.
Coloca las clases de una distribución de frecuencia en el eje horizontal y las frecuencias
en el eje vertical.
60
52
50
38
40
FRECUENCIAS
32
30
20
10
14
9
3
5
4
4
214,5
224,5
234,5
244,5
14
0
204,5
254,5
264,5
274,5
284,5
294,5
MARCAS DE CLASES
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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HISTOGRAMA DE FRECUENCIA RELATIVA (Relative Frequency Histogram).
Tiene la misma forma y escala horizontal que un histograma, pero la escala vertical se
marcara con frecuencias relativas en lugar de frecuencias reales o absolutas.
0,297
0,217
0,183
0,080
4,
5
29
4,
5
28
4,
5
27
4,
5
26
4,
5
25
4,
5
24
4,
5
23
4,
5
0,017 0,029 0,023 0,023
22
21
20
0,080
4,
5
0,051
4,
5
FRECUENCIAS RELATIVAS
0,350
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
MARCAS DE CLASES
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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27
DIAGRAMA DE BARRAS.
Este puede mostrar cantidades o porcentajes para dos o más valores sobre el eje
vertical.
Es una forma de gráfica de representar datos cualitativos que se han resumido en una
distribución de frecuencias, de frecuencias relativas o porcentuales. Para los datos
cualitativos, las barras deben estar separadas para enfatizar el hecho de que cada clase
(categoría) es separada.
Relacion Ingresos/Costos
30000
20000
Ingresos
10000
Costos
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Unidades Producidas y Vendidas
ANALISIS DE PUNTO DE
EQUILIBRIO
CANTIDAD COSTO PRECIO
UNIDADES UNITARIO
FIJO
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
60
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
7.500
COSTO COSTO PRECIO
VARIABL TOTAL UNITARI INGRESOS BENEFICI
E
O
O
600
8.100
130
1.300
-6.800
1.200
8.700
130
2.600
-6.100
1.800
9.300
130
3.900
-5.400
2.400
9.900
130
5.200
-4.700
3.000
10.500
130
6.500
-4.000
3.600
11.100
130
7.800
-3.300
4.200
11.700
130
9.100
-2.600
4.800
12.300
130
10.400
-1.900
5.400
12.900
130
11.700
-1.200
6.000
13.500
130
13.000
-500
6.600
14.100
130
14.300
200
7.200
14.700
130
15.600
900
7.800
15.300
130
16.900
1.600
8.400
15.900
130
18.200
2.300
9.000
16.500
130
19.500
3.000
9.600
17.100
130
20.800
3.700
10.200
17.700
130
22.100
4.400
10.800
18.300
130
23.400
5.100
11.400
18.900
130
24.700
5.800
12.000
19.500
130
26.000
6.500
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28
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS (Steam-and-Leaf Plots).
Frequency
Stem Leaf
4
20
0144
5
20
66889
0
21
3
21
578
3
22
033
2
22
58
3
23
004
1
23
6
3
24
122
1
24
8
6
25
011224
8
25
66677899
13
26
0122222333334
19
26
5556778888888889999
25
27
0000000011222223333334444
27
27
555566666777777778888888999
23
28
00011112222223333334444
15
28
555666677899999
11
29
00011222334
3
29
557
175
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29
POLIGONOS DE FRECUENCIA Y POLIGONO DE PORCENTAJE (Frequency Poligon).
El proceso de construcción de un polígono de frecuencias es similar al del histograma
excepto que sólo un punto sobre el punto medio de cada intervalo se utiliza para indicar la
frecuencia y los puntos adyacentes se conectan mediante segmentos de líneas.
FRECUENCIAS
60
50
40
30
20
10
0
52
32
9
14
3
5
4
38
14
4
204,5 214,5 224,5 234,5 244,5 254,5 264,5 274,5 284,5 294,5
MARCAS DE CLASES
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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30
GRAFICA DE SERIES DE TIEMPO (The Time Series Plot).
Es una gráfica de línea en la que la línea base representa el tiempo.
ESTUDIANTES MATRICULADOS EN
EL NIVEL SUPERIOR
90.000
80.000
70.000
60.000
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
-
UASD
PUCMM
UNPHU
INTEC
UNIBE
1994
1995
1996
1997
ESTUDIANTES MATRICULADOS EN EL NIVEL
SUPERIOR, POR INSTITUCION.
INSTITUCIÓ
N
AÑO DE
FUNDACIO
N
UASD
1538
PUCMM
1962
UNPHU
1967
INTEC
1974
UNIBE
1982
1994
AÑOS
1995
1996
1997
41.139
51.432
62.058
81.753
8.560
8.816
9.081
9.438
6.124
6.171
6.220
6.044
3.074
2.369
2.335
2.803
1.747
1.665
1.910
1.947
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31
CURVA DE OJIVA (Ogive for cumulative relative frequency).
Es una gráfica de una distribución acumulada. Los valores de los datos están en el eje
horizontal y las frecuencias acumuladas, frecuencias relativas acumuladas se muestran en el
eje vertical.
FRECUENCIAS
ACUMULADAS
1,2000
1,0000
0,8000
0,6000
0,4000
0,2000
0,0000
0,9200
1,0000
0,7029
0,4057
0,0514
0,0686
0,0971
0,1200
0,1429
0,2229
204,5 214,5 224,5 234,5 244,5 254,5 264,5 274,5 284,5 294,5
MARCAS DE CLASES
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
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32
DIAGRAMA DE PARETO.
Es una gráfica de barras en la que las barras se acomodan en orden según la frecuencia.
Al igual que los histogramas, las escalas verticales de los diagramas de Pareto pueden
representar frecuencias o frecuencias relativas.
En este la barra más alta queda a la izquierda, y la más pequeña a la derecha.
Problemas o defectos en Botas
Razón de defecto
Reventado de Piel
Costuras fallas
Mal montada
Piel arrugada
Total
Total
369
135
135
99
738
% Acumulado
50.00
68.29
86.59
100.00
Porcentaje
0.50
0.18
0.18
0.13
100.00%
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33
DIAGRAMA CIRCULAR, DE SECTORES O TORTAS (Pie Chart).
Es de especial utilidad para mostrar proporciones (porcentajes) relativas de una
variable. Se utiliza para representar variables cualitativas.
Por ejemplo si una determinada categoría representa el 57.8% del total de los datos u
observaciones, el ángulo central deberá ser de 0.578 x 360º = 208º.
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
8%
5%
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
3%
2%
200 - 209
2%
2%
8%
22%
FREC. MARCA
210 - 219
220 - 229
230 - 239
240 - 249
250 - 259
260 - 269
18%
270 - 279
280 - 289
30%
290 - 299
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34
PICTOGRAMA (Pictographs).
Expresan con dibujos alusivos al tema de estudio las frecuencias de las modalidades de
la variable. Estos gráficos se hacen representado en diferentes escalas un mismo dibujo.
La escala de los dibujos debe ser tal que el área de cada uno de ellos sea proporcional a
la frecuencia de la modalidad que representa. Se utiliza para representar variables
cualitativas.
DIAGRAMA DE DISPERSION O DISPERSIOGRAMA (Scatter Diagram).
Hay ocasiones en que tenemos datos apareados de manera que se establece una
correspondencia entre cada valor de un conjunto de datos y un valor de un segundo conjunto
de datos.
Un diagrama de dispersión es una gráfica de los datos (x,y) apareados con un eje "x"
horizontal y un eje "y" vertical.
En un diagrama de dispersión cada marca (punto o raya) representa la intersección de
dos valores - hay una marca para cada par de observaciones de los temas. El propósito
principal de la gráfica es mostrar de manera gráfica la relación entre dos. La relación no es
lineal sino curvilínea.
CAMPAÑA PUBLICITARIA PARA
VENTAS DE PASAJES AEREOS
Y
X
Y
OBSERVACI VENTAS PUBLICIDA 4.38625+1.08132
S.
D
X
MES
EN
EN MILES
MILES
1
15
10
15,20
2
17
12
17,36
3
13
8
13,04
4
23
17
22,77
5
16
10
15,20
6
21
15
20,61
7
14
10
15,20
8
20
14
19,52
9
24
19
24,93
10
17
10
15,20
11
16
11
16,28
12
18
13
18,44
13
23
16
21,69
14
15
10
15,20
15
16
12
17,36
TOTALES
268
187
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35
Pasajes Aereos vendidos en base a la publicidad
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
Pasajes Aereos
0
5
10
15
20
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36
Medidas de Tendencias Central (Measure of Central Tendency)
Una medida de tendencia central es un valor que está en el centro o punto medio de
un conjunto de datos.
Es una medida que ubica e identifica el punto alrededor del cual se centran los datos.
Es un valor numérico que localiza, de alguna manera el centro de un conjunto de
datos.
La Media Aritmética (Mean)
La Media Aritmética o Promedio de un conjunto de puntajes es el valor que se obtiene
sumando los puntajes y dividiendo el total entre el número de puntajes.
La media es el punto que menos dista de todas las observaciones. Por esta razón a
veces se le considera como el centro de gravedad de los datos.
La media es una medida más confiable que la mediana y la moda, porque tiene un
menor error de muestreo. Además la media también tiene más facilidad para un tratamiento
estadístico posterior que la mediana o la moda.
Es una medida que toma en consideración todos los valores de la distribución. Esto es
positivo, pero por la misma razón es muy sensible a la presentación de observaciones
extremas que hacen que la media se desplace hacia ellas. En consecuencia no es
recomendable usar la media como medida de tendencia central en estos casos, pues la
cantidad obtenida no es representativa del total de los datos.
Tiene la ventaja de que es la única y siempre se puede calcular. Pero cuando se trabaja
con datos agrupados, la división en intervalos influye en el valor resultante de la media.
La media es el estadístico de centralización más utilizado para realizar inferencias
debido a una buena propiedad matemática que posee: es el centro de gravedad de la
distribución. Depende de todas y cada una de las observaciones.
El valor de la media puede no coincidir con uno de los valores de la variable. Si
consideramos una variable discreta, por ejemplo, “número de hijos en las familias de un
barrio” el valor de la media puede resultar x’=2.5 hijos, que no pertenece al conjunto de
valores de la variable.
La media es el promedio más utilizado.
Para datos no agrupados:
Media Poblacional  = Xi/N =(X1 + X2 + X3...XN)/N
Media Muestral  = Xi/n=(X1 + X2 + X3...XN)/n
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37
Para datos agrupados:
Media  = *M/n=M/=(1*M1+2*M2+...n*Mn)/
La Mediana o Media Posicional (Median)
La Mediana o Media Posicional de un conjunto de puntajes es el valor que está en medio,
cuando los puntajes se acomodan en orden de magnitud creciente (o decreciente).
La mediana deja a un lado y al otro lado de la distribución el mismo número de
observaciones.
Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones
extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de los
mismos. Por ello, es adecuado su uso en distribuciones que presentan observaciones
extremadamente grandes o pequeñas.
La mediana es la medida de localización que se utiliza con más frecuencia para datos
de ingreso anual y valores catastrales, pues con unos pocos ingresos o con propiedades
extremadamente grandes se puede inflar la media. En esos casos, la mediana es una mejor
medida de la tendencia central.
La mediana es el valor de la variable que deja por encima y por debajo la misma
cantidad de datos (una vez que éstos han sido ordenados de menor a mayor). Al contrario de
la media, en su cálculo no interviene más que el valor (o valores centrales). Esta
particularidad ofrece:
Ventajas: No se ve afectada por la aparición de observaciones anómalas. Por ello, en
tales casos la podemos considerar como una medida más representativa de la mayor parte de
los datos que la media.
Inconvenientes: No utiliza toda la información de los datos (sólo los valores centrales).
Para datos no agrupados:
Posición de la Mediana = (n + 1)/2
1.- Si el número de puntajes es impar, la mediana es el número que está situado exactamente
a la mitad de la lista.
2.- Si el número de puntaje es par, la mediana se obtiene calculando la media de los dos
números que están a la mitad.
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38
Para datos agrupados:
Me = LImd + [(n/2 - F)/fmd] (C)
md = clase mediana
Clase Mediana es la clase cuya frecuencia acumulada es mayor que o igual a n/2.
LImd = límite inferior de la clase de la mediana.
F
= frecuencia acumulada de la clase que
antecede a la clase de la mediana.
fmd = es la frecuencia de la clase de la mediana.
C
= Es la anchura de la clase (es la diferencia entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
La Moda (Mode)
La Moda de un conjunto de datos es el puntaje que ocurre con más frecuencia.
La observación modal es la observación que ocurre con mayor frecuencia.
Es el punto donde se concentra el mayor número de observaciones.
Se puede calcular para todo tipo de variables, incluidas las cualitativas.
Puede no ser única. Cuando hay dos o más modas hablamos de distribuciones
bimodales o plurimodales respectivamente.
Para datos no agrupados:
Mo = Mayor Frecuencia
Para datos agrupados:
Mo = LImo + [1/(2+1)]*(C)
mo = clase modal
Clase Modal es la clase que tiene la mayor frecuencia.
LImo = límite inferior de la clase modal
1 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que la antecede.
2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que le sigue.
C
= Es la anchura de la clase (es la diferencia entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
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La Media Ponderada
Media Ponderada: Media de una colección de puntajes a los que se asignado diferentes
grados de importancia.
Media Ponderada w = (X*W)/W
W = es el peso o ponderación asignada a cada Observación.
La Media Geométrica
Media Geométrica puede utilizarse para mostrar los cambios porcentuales en una serie de
números positivos.
La media geométrica proporciona una medida precisa de un cambio porcentual promedio en
una serie de números.
MG = X1*X2*X3*...Xn
La media geométrica se utiliza con más frecuencia para calcular la tasa de crecimiento
porcentual promedio de algunas series dadas, a través del tiempo.
TAREA: RELACION ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS
OBSERVACIONES PARA EL USO DE LAS MISMAS.
Observaciones:
1. La media se usa para datos numéricos y distribuciones simétricas (no sesgadas o
cargadas).
2. La mediana se utiliza para datos ordinales o para datos numéricos si la distribución
está cargada o sesgada.
3. La moda se utiliza principalmente para distribuciones bimodales.
Elección de los procedimientos estadísticos o pruebas:
Datos nominales
Datos ordinales
Datos por intervalos o razón
Moda
Mediana, moda
Media, mediana, moda, desviación estándar, varianza,
Rango.
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MEDIA ARITMETICA:
Para datos no agrupados:
Media Poblacional  = Xi/N =(X1 + X2 + X3...XN)/N
_
Media Muestral  = Xi/n=(X1 + X2 + X3...XN)/n
Para datos agrupados:
_
Media  = *M/n=M/=(1*M1+2*M2+...n*Mn)/
MEDIANA
Para datos no agrupados:
Posición de la Mediana = (n + 1)/2
Para datos agrupados:
Me = LImd + [(n/2 - F)/fmd] (C)
md = clase mediana
Clase Mediana es la clase cuya frecuencia acumulada es mayor que o igual a n/2.
LImd = límite inferior de la clase de la mediana.
F = frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase de la mediana.
fmd = es la frecuencia de la clase de la mediana.
C
= Es la anchura de la clase (es la diferencia entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
MODA
Para datos no agrupados:
Mo = Mayor Frecuencia
Para datos agrupados:
Mo = LImo + [1/(2+1)]*(C)
mo = clase modal
Clase Modal es la clase que tiene la mayor frecuencia.
LImo = límite inferior de la clase modal
1 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que la antecede.
2 = diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase que le sigue.
C
= Es la anchura de la clase (es la diferencia entre dos LS consecutivos o entre dos LI
consecutivos).
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Medidas de Dispersión o Variabilidad (Measures of Variation).
Las medidas de dispersión miden que tanto se dispersan las observaciones alrededor
de su media. El propósito de estas es cuantificar el grado de variación entre el conjunto de
valores de una distribución.
La variabilidad se refiere a que tan grandes son las diferencias entre los valores
evaluados.
EL RANGO O RECORRIDO – INTERVALO (Range).
Es la medida de dispersión más simple y menos útil. Esta se obtiene de la diferencia
entre la observación más alta y la más baja.
Re = X máx – X mín
VALORES DE DESVIACION.
Para la variabilidad, se consideran las diferencias entre la media y cada valor. Estas
diferencias se llaman valores de desviación.
Valores de desviación = X-
_
Valores de desviación = X-X
VARIANZA (Variance). Es el promedio de las observaciones respecto a su media elevadas al
cuadrado.
Es la media de las diferencias cuadráticas de N puntuaciones en relación a su media
aritmética.
La varianza es útil para comparar la dispersión, o variabilidad, de dos conjuntos de
tatos. Al comparar conjuntos de datos, el que tiene mayor varianza tiene mayor dispersión o
variabilidad.
La Varianza para una Población (² = suma de cuadrados).
²=[(Xi-)²]/N
²  0
Procedimiento para calcular La Varianza para una Población (² = suma de cuadrados)
1. Encuentre la desviación de cada valor de la media: Valores de desviación = X-
2. Eleve al cuadrado cada valor de desviación: (Xi-)²
3. Realice la sumatoria de cada valor de desviación elevado al cuadrado: (Xi-)²
4. Encuentre la varianza dividiendo la sumatoria anterior entre N (totalidad de las
observaciones).
La Varianza para una muestra de datos no agrupados (s²).
_
s² =[(Xi-X)²]/n-1
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42
La Varianza de la muestra de datos agrupados (s²).
_
s²=[M²-nX²]/n-1
LA DESVIACION ESTANDAR (Standard Deviation). Es el promedio de desviación de las
puntuaciones con respecto a la media. Esta medida se expresa en las unidades originales de
medición de la distribución. Cuanto mayor sea la dispersión de los datos alrededor de la
media, mayor será la desviación estándar.
Es la raíz cuadrada de la varianza. Es una medida importante de la dispersión de los
datos.
Esta regresa a la medición de los valores originales, así tiene más valor descriptivo
directo.
La desviación estándar es más útil para describir la variabilidad de un conjunto de
datos que la varianza. La desviación estándar lleva las mismas unidades que los valores
originales.
La Desviación Estándar para una población.
=²
La Desviación Estándar para una muestra.
s=s²
La Desviación Media o Absoluta (Mean Deviation).
Se define como el promedio de la suma de las diferencias en valor absoluto de los
valores de la variable con respecto a la media.
_
Desviación media= |Xi-X|/n
Coeficiente de Variación.
Este sirve como medida relativa de dispersión. Determina el grado de dispersión de
un conjunto de datos relativo a su media.
_
CV = (s/X) * 100
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Los Cuantiles (Measures of Position).
Cuando los valores ordenados de una variable han de ser divididos en grupos
homogéneos en cuanto al tamaño, se suelen utilizar los cuantiles.
Entre los cuantiles más utilizados se encuentran:
Los cuartiles Q (Quartiles)
Los deciles D (Deciles)
Los percentiles P (Percentiles)
Cuartiles.
Así como la mediana divide los datos en dos partes iguales, los tres cuartiles,
denotados por Q1, Q2 y Q3, dividen los puntajes clasificados en cuatro partes iguales. (Los
puntajes se clasifican cuando se acomodan en orden). A grandes rasgos:
Q1 separa el 25% inferior de los puntajes clasificados del 75% superior;
- al menos el 25% de los datos es <= Q1
- al menos el 75% de los datos es >= Q1
- N/4 = 25
- Q1 = P25
Q2 es la mediana;
- 2N/4 = 50
- Q2 = P50
Q3 separa el 25% superior del 75% inferior
- al menos el 75% de los datos es <= Q3
- al menos el 25% de los datos es >= Q3
- 3N/4 = 75
- Q3 = P75
Los Deciles.
Hay nueve deciles, denotados por D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9, que dividen los
datos en 10 grupos con aproximadamente el 10% de los datos en cada grupo.
El primer decil es la observación debajo de la cual se encuentra el 10% de las
observaciones, mientras que el 90% restante se encuentra encima de este.
- al menos el 10% de los datos es <= D1
- al menos el 90% de los datos es >= D1
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44
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
:
.
D9 = P90
Los Percentiles.
Hay 99 percentiles (P1, P2, P3 ... P99), que dividen los datos en 100 grupos con
aproximadamente el 1% de los puntajes en cada grupo.
- al menos el 1% de los datos es <= P1
- al menos el 99% de los datos es >= P1
Ubicación de un Percentil.
Lp = (n + 1) (P/100)
Lp
es el sitio del percentil deseado en una serie ordenada.
n es el número de observaciones
P es el percentil deseado
Percentil de un puntaje.
Percentil del puntaje x = número de puntajes menores que x . 100
número total de puntajes
Otras Medidas de Tendencia Central con los Cuantiles.
intervalo intercuartiles = Q3 - Q1
intervalo semiintercuartiles = Q3 - Q1
(desviación del cuartil)
2
cuartil medio = Q3 + Q1
2
intervalo de percentiles 10-90 = P90 - P10
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45
Los cuartiles (Q) para datos agrupados
TABLA DE
FRECUENCIA
CLASES FREC. FREC. FREC
.
LI LS ABS. REL. ABS.
ACU
M.
1 200 209
9
0,051
9
2 210 219
3
0,017 12
3 220 229
5
0,029 17
4 230 239
4
0,023 21
5 240 249
4
0,023 25
6 250 259
14
0,080 39
7 260 269
32
0,183 71
8 270 279
52
0,297 123
9 280 289
38
0,217 161
10 290 299
14
0,080 175
TOTALE
175 1,000
S
FREC. MARCA
FREC.
REL.
DE
X MARCA
ACUM. CLASE
DE
CLASE
0,0514 204,5 1.840,50
0,0686 214,5
643,50
0,0971 224,5 1.122,50
0,1200 234,5
938,00
0,1429 244,5
978,00
0,2229 254,5 3.563,00
0,4057 264,5 8.464,00
0,7029 274,5 14.274,00
0,9200 284,5 10.811,00
1,0000 294,5 4.123,00
46.757,50
Q1 = LI + N/4 – F * C
f
N/4 = 43.75; primera F > N/4 = 71
Q1 = 260 + 43.75 – 39 * (10) = 261.48
32
Q2 = LI + 2N/4 – F * C
f
2N/ 4 = 87.50; primera F > 2N/4 = 123
Q2 = 270 + 87.50 – 71 * (10) = 273.17
52
Q3 = LI + 3N/4 – F * C
f
3N/4 = 131.25; primera F > 3N/4 = 161
Q3 = 280 + 131.25 – 123 * (10) = 282.17
38
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46
CUARTILES
DECILES
PERCENTILES
Q1
VALOR QUE OCUPA N/4
Q2
VALOR QUE OCUPA 2N/4
Q3
VALOR QUE OCUPA 3N/4
D1
VALOR QUE OCUPA N/10
D2
VALOR QUE OCUPA 2N/10
D9
VALOR QUE OCUPA 9N/10
P1
VALOR QUE OCUPA N/100
P2
VALOR QUE OCUPA 2N/100
P99
VALOR QUE OCUPA 99N/100
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47
Usos frecuentes de la desviación estándar.
Teorema de Chebyshev (matemático ruso P.L. Chebyshev 1821-1894)
La proporción (o fracción) de cualquier conjunto de datos que queda a menos de K
desviaciones estándar de la media siempre es al menos 1 - 1/K², donde K es cualquier
numero positivo mayor que 1. Para K = 2 y K = 3, obtenemos los dos resultados específicos
siguientes:
- Al menos 3/4 (o el 75%) de todos los puntajes quedan a menos de 2 desviaciones
estándar de la media (x-2s a x+2s).
- Al menos 8/9 (o el 89%) de todos los puntajes quedan a menos de 3 desviaciones
estándar de la media (x-3s a x+3s).
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48
La distribución normal (o gaussiana) y la regla empírica.
La distribución normal es una distribución de datos continuos (*) (no discretos) que
produce una curva simétrica en forma de campana.
La distribución gaussiana fue presentada por Karl Friedrich Gauss (1777-1855) en el
1812.
La campana de Gauss o curva de distribución normal, curva de probabilidad normal;
se caracteriza por:
- Es unimodal.
- Es simétrica (la simetría es perfecta).
- La mitad izquierda de su histograma es aproximadamente una imagen especular de
su mitad derecha.
- La asimetría de la distribución es cero.
- Las colas de la curva se aproximan más, pero nunca tocan, el eje horizontal.
- La media, la mediana y la moda son iguales.
- La mitad de las observaciones está por encima de la media y la mitad está por debajo.
- Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en forma de campana se
aplanara y se esparcirá.
(*) Variables continúas:
Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Por muy próxima que
puedan estar dos observaciones, si el instrumento de medida tiene la precisión suficiente siempre puede
haber una tercera observación que caiga entre las dos primeras. Los valores de una variable continua
proceden en general de mediciones, por ejemplo las cantidades de leche que las vacas producen son datos
continuos porque son mediciones que pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo continuo.
Se pueden obtener de un número infinito de posibles valores que pueden asociarse a puntos de
una escala continua, de tal manera que no haya huecos ni interrupciones.
La Regla Empírica o Regla 68-95-99. Esta regla solo aplica a un conjunto de datos cuya
distribución tiene aproximadamente forma de campana. Esta afirma que:
- Cerca del 68.26% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de una
desviación estándar de la media.
- Cerca del 95.44% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de dos
desviaciones estándar de la media.
- Cerca del 99.74% de todos los puntajes u observaciones que a menos de tres
desviaciones estándar de la media.
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49
Distribuciones de Datos Sesgadas (Skewness).
Una distribución de datos esta sesgada, si no es simétrica y se extiende más hacia un
lado que hacia otro.
Sesgo describe la falta de simetría en una distribución.
Los datos sesgados a la izquierda se dice que tienen sesgo negativo; la media y la
mediana están a la izquierda de la moda. Generalmente tiene la media a la izquierda de la
mediana.
Sesgo negativo (Negatively Skewed Distribution) describe distribuciones asimétricas en la que
la mediana excede a la media; la cola de la distribución es hacia los valores bajos.
Los datos sesgados a la derecha se dice que tienen sesgo positivo; la media y la
mediana están a la derecha de la moda.
Sesgo positivo (Positively Skewed Distribution) describe distribuciones asimétricas en las que la
media excede la mediana; los valores se alargan hacia los valores altos.
En ambos casos, la moda es por definición la observación que ocurre con mayor
frecuencia, por tanto esta en el pico de la distribución.
Observaciones:
1. Si la media y la mediana son iguales, la distribución de los resultados suele ser
simétrica.
2. Si la media es mayor que la mediana, la distribución se carga a la derecha.
3. Si la media es menor que la mediana, la distribución se carga a la izquierda.
Coeficiente de Sesgo de Pearson.
P = 3 (Media - Mediana)
s
Si P < 0, los datos están sesgados a la izquierda.
Si P > 0, los datos están sesgados a la derecha.
Si P = 0, los datos están distribuidos normalmente.
La Curtosis – kurtosis, del griego kuptós, kyrtos, kurtos = curva: es un indicador de lo plana
o picuda que es la curva. Cuando es cero (curtosis = 0), significa que puede tratarse de una
curva normal. Si es positiva, quiere decir que la curva, la distribución o polígono es más
picuda(o) o elevada(o). Si la curtosis es negativa, indica que es más plana la curva.
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50
SPSS Statistics Base 17/22
Pasos para construir una tabla de Frecuencia en SPSS 17/22.
1. Crear la Base de Datos o Conjuntos de observaciones o puntajes que
desea agrupar. (Leer el Capítulo 5 del Manual de SPSS Statistics Base 17.
2. Opción del menú Transformar.
3. Opción Agrupación Visual.
4. Seleccionar la Variable a transformar. => SALARIOS
5. Crear nueva “Variable agrupada”. => SALARIOS1
6. Establecer los Límites Superiores (Intervalos cerrados o abiertos –
Incluidos <= o Excluidos <).
7. Crear puntos de corte.
 Posición del primer punto de corte. Min+Anchura-1 o
Min.+Anchura. Primer LS => 209
 Número de puntos de corte, Número de Clases – 1. #Clases = 10
=> #Cortes = 10 – 1.
 Anchura.
8. Crear etiquetas – Crear las clases.
9. Aceptar.
10. Se visualiza la nueva “Variable agrupada” SALARIOS1
Pasos para visualizar una tabla de Frecuencia en SPSS 17/22.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Después de crear la “Variable agrupada”.
Seleccionar la opción del Menú Analizar.
Seleccionar la opción Estadísticos descriptivos.
Seleccionar la opción Frecuencias.
Seleccionar la Variable agrupada SALARIOS1.
Seleccionar los Estadísticos… Todos y Percentiles deseados.
Seleccionar los gráficos…
Tomar como ejemplo el archivo (file) demo_cs que se encuentra en:
Local Disk C:\Program Files (x86)\SPSSInc\Statistics17\Samples\Spanish
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51
Ejercicios Propuestos. Calcule los modelos de tendencia central, represente gráficamente
cada situación e interprete los resultados.
Caso I.
El precio que acostumbran a pagar 500 usuarias de un determinado producto aparece en la
siguiente tabla:
NUMERO
DE
PRECIOS PRECIOS USUARIAS
5.05
10.05
38
10.05
15.05
167
15.05
20.05
143
20.05
25.05
92
25.05
30.05
37
30.05
35.05
17
35.05
40.05
6
1. Construya una tabla de frecuencia.
2. ¿Cuál es el precio más representativo?
3. ¿Cuál es el precio que representa al sector socioeconómico que está equidistante de los
sectores extremos?
4. ¿Cuál fue el precio que más pagaron estas usuarias?
5. Grafique un diagrama circular.
6. Grafique un Histograma.
Caso II.
Se considera la distribución de los ingresos mensuales de una muestra de directores de
enseñanza básica, según muestra la siguiente tabla:
NUMERO DE
INGRESOS
DIRECTORES
7,000.00 7,999.00
6
8,000.00 8,999.00
6
9,000.00 9,999.00
10
10,000.00 10,999.00
18
11,000.00 11,999.00
30
12,000.00 12,999.00
25
13,000.00 13,999.00
40
14,000.00 14,999.00
80
15,000.00 15,999.00
15
1. Construya una tabla de frecuencia.
2. ¿Cuál es el ingreso más representativo de estos directores?
3. ¿Cuál es el ingreso que representa a los directores están equidistantes de los extremos?
4. ¿Cuál es el ingreso que más recibieron los directores?
5. Grafique una curva de ojiva.
6. Grafique un Polígono de frecuencia.
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52
Caso III.
Una organización está por revisar el monto que los estudiantes invierten en textos cada
semestre. Cincuenta estudiantes reportaron las cantidades aproximadas en dólares:
DOLARES
NUMERO DE
INVERTIDOS
ESTUDIANTES
100
124
8
125
149
11
150
174
8
175
199
6
200
224
10
225
249
6
250
274
1
TOTALES
50
1. Construya una tabla de frecuencia.
2. ¿Cuál es la cantidad de dinero invertida que más representa a todos los estudiantes?
3. ¿Cuál es la inversión más común entre los estudiantes?
4. ¿Cuál sería la cantidad que representa la mitad de la inversión de todos los
estudiantes?
5. Grafique un diagrama circular.
6. Grafique un Histograma.
7. Grafique una curva de ojiva.
Caso IV.
Un analista de la Secretaría de Estado de Trabajo está evaluando los sueldos de los empleados
dominicanos para recomendar un reajuste salarial. Para esto tomo una muestra de 140
empleados, en base a la siguiente tabla:
SUELDOS
USA$
USA$
EMPLEADOS
305
609
65
610
914
30
915
1,219
22
1,220
1,524
10
1,525
1,829
5
1,830
2,134
3
2,135
2,439
2
2,440
2,744
2
2,745
3,049
1
TOTALES
140
1. Construya una tabla de frecuencia.
2. ¿Cuál es el sueldo más representativo de estos empleados?
3. ¿Cuál es el sueldo que representa la mitad?
4. ¿Cuál es el sueldo más común?
5. Grafique una curva de ojiva.
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53
6. Grafique un Polígono de frecuencia.
7. Usando el coeficiente de sesgo de Pearson determine si está sesgada.
8. ¿Cómo está sesgada? ¿Por qué?
9. ¿Es simétrica? ¿Por qué?
10. ¿Es una distribución normal? ¿Por qué?
Caso V.
Un estudiante de quinto semestre de administración de empresas está cursando 5
asignaturas, y estos estiman obtener las siguientes calificaciones:
ASIGNATURA
NOTA
LETRA
CREDITOS
CONTABILIDAD DE COSTOS
80
B=3
5
INTR. AL DERECHO LABORAL
90
A=4
3
METODOS CUANTITATIVOS
85
B=3
4
METODOG. DE LA INVESTIGACION 95
A=4
3
MERCADEO II
90
A=4
3
Determine cuál será el índice académico del semestre.
Caso VI.
Un fabricante de circuitos eléctricos ha producido el siguiente número de unidades en los
siguientes años:
1995
1996
1997
1998
1999
12,500
13,250
14,310
15,741
17,630
1. Calcule el incremento porcentual de cada año con relación al anterior.
2. Determine la media tomando en consideración los incrementos porcentuales.
Caso VII.
Un inversionista extranjero está interesado en ingresar en algún sector económico de la
República Dominicana, para ello seleccionó 4 sectores y así evaluar su comportamiento. Este
se basó en los datos del Banco Central de la R. D. según el informe de la economía
dominicana ene-dic 1999 del producto interno bruto (PIB) durante los años 1995-1999. Estos
sectores crecieron de la siguiente manera:
SECTORES
1995
1996
1997
1998
1999
MANUFACTURA
839.4
866.4
929.9
987.5
1053.6
COMERCIO
554.8
603.9
661.9
733.4
800.1
COMUNICACIONES
159.7
185.7
221.5
267
308.7
HOTELES, BARES Y REST.
259.4
292.6
343.6
359.7
395.6
1. Tomando como base la tasa de crecimiento porcentual promedio de cada sector, ¿en
cuál sector usted le recomendaría invertir?
2. Haga un diagrama de serie de tiempo que represente simultáneamente todos los
sectores.
Caso VIII.
Calcule la desviación estándar de los siguientes tiempos de espera (en minutos) de los clientes
del Banco BHD, basados en una muestra. Calcule la Mediana y la Moda.
6.5
6.6
6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7
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Caso IX.
Se utilizan dos procesos para producir discos de computadoras, pero han surgido problemas
respecto a la variación en los tamaños de tales discos. Con base en los datos de muestra aquí
presentados de ocho tamaños de discos en pulgadas para cada proceso. Explique en cuál
proceso aconsejaría usted si su objetivo es minimizar la desviación en el tamaño de los discos.
PROCESO I PROCESO II
3.41
3.74
3.89
3.65
3.22
3.06
3.65
3.33
3.81
3.26
3.07
3.35
3.26
3.79
3.14
3.51
Caso X.
Los salarios en miles de dólares de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de
los Estados Unidos de América reportados por la edición de la revista Forbes de la edición del
24 de mayo de 1997 aparecen en la siguiente tabla de frecuencias:
SALARIOS
DIRECTORES
(EN MILES DE US$) EJECUTIVOS
90
439
6
440
789
8
790 1,139
10
1,140 1,489
12
1,490 1,839
10
1,840 2,189
8
2,190 2,539
6
TOTALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Haga un Histograma.
¿Cuál es el salario más común de los directores ejecutivos?
Haga un Diagrama Circular e Interprételo.
Determine si está sesgada.
¿Cuál es el salario que está equidistante de los dos extremos?
¿Es una distribución normal? ¿Por qué?
Represente gráficamente si es normal o el sesgo.
Compruebe si se cumple la regla empírica.
Caso XI.
Un inversionista extranjero está interesado en ingresar en algún sector económico de la
República Dominicana, para ello seleccionó 5 sectores y así evaluar su comportamiento. Este
se basó en los datos del Banco Central de la R. D. según el informe de la economía
dominicana ene-dic 2002 del producto interno bruto (PIB) durante los años 1996-2002. Estos
sectores crecieron de la siguiente manera:
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BANCO CENTRAL DE LA REPUBLICA DOMINICANA
Departamento de Cuentas Nacionales y Estadísticas Económicas
PRODUCTO INTERNO BRUTO POR SECTORES DE ORIGEN 1996-2002
Millones de RD$
Sectores
CONSTRUCCIÓN
COMERCIO
COMUNICACIONES
ELECTRICIDAD
FINANZAS
TASAS DE CRECIMIENTO (%)
SECTORES
CONSTRUCCIÓN
COMERCIO
COMUNICACIONES
ELECTRICIDAD
FINANZAS
1996 1997 1998
702.1
603.9 664.2 743.3
185.7 221.5 266.7
106.0 120.7
228.8 236.2 245.7
1999
826.2
805.7
308.3
130.5
256.0
2000 2001* 2002*
872.8 876.9 904.9
875.8 885.0 915.1
355.7 442.0 518.9
139.5 165.1 178.0
264.4 271.9 279.7
97/ 96 98/97 99/98 00/99 01/00* 02/01*
17.7 5.6
0.5
3.2
10.0 11.9 8.4 8.7
1.1
3.4
19.3 20.4 15.6 15.4 24.2 17.4
13.8 8.1 7.0 18.3
7.8
3.2 4.0 4.2 3.2
2.8
2.9
1. Tomando como base la tasa de crecimiento porcentual promedio de cada sector, ¿en
cuáles sectores usted le recomendaría invertir?
2. Haga un diagrama de serie de tiempo que represente simultáneamente todos los
sectores.
Caso XII.
Un analista de la Secretaría de Estado de Trabajo está evaluando los sueldos de los empleados
dominicanos en la rama “Industrias y Manufactureras” para recomendar un reajuste salarial.
Para esto tomo una muestra de 464 empleados, en base a la siguiente tabla:
Ingresos por rama de actividad económica según el Banco Central
Fuente: Encuesta Nacional de Fuerza de Trabajo, Abril 2002.
Ingresos por Hora
(RD$)
Empleados
6
9
18
10
13
35
14
17
60
18
21
61
22
25
64
26
29
53
30
33
48
34
37
49
38
41
36
42
45
40
1. Construya una tabla de frecuencia.
2. ¿Cuál es el sueldo más representativo de estos empleados?
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
¿Cuál es el sueldo que representa la mitad?
¿Cuál es el sueldo más común?
Grafique un Polígono de frecuencia
Usando el coeficiente de sesgo de Pearson determine si está sesgada.
¿Cómo está sesgada? ¿Por qué?
¿Es una distribución normal? ¿Por qué? Diga 5 razones.
Caso XIII.
El informe Nielsen sobre Tecnología Domestica (20 de febrero de 1996) describió las
tecnologías caseras y su empleo por parte de personas de 12 años o más. Los datos siguientes
son las horas de empleo de computadoras personales durante una semana, para una muestra
de 50 personas.
4.1
3.1
4.1
10.8
7.2
1.5
4.8
4.1
2.8
6.1
10.4
2.0
8.8
9.5
5.7
5.9
14.8
5.6
12.9
5.9
3.4
5.4
4.3
12.1
4.7
5.7
4.2
3.3
0.7
3.9
1.6
3.9
7.1
4.0
3.7
6.1
4.1
10.3
9.2
3.1
3.0
11.1
6.2
4.4
6.1
3.7
3.5
7.6
5.7
3.1
Resuma estos datos formando:
a. Construya una tabla de distribución de frecuencias, empleando anchura de clase igual
a 3 horas.
b. Un histograma.
c. Una Ojiva.
d. Un diagrama circular.
e. Un Polígono de Frecuencia.
f. Haga comentarios acerca de lo que indican los datos respecto al uso de computadoras
en el hogar.
g. ¿Cuál es el tiempo más empleado?
h. ¿Qué tiempo está a la mitad?
i. ¿Cuál es el más representativo de los tiempos?
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Caso XIV.
Los sueldos de los dominicanos expresados en dólares USA$ oscilan dentro de la siguiente
distribución de valores:
105 305 505 705 905 1,105 1,305 1,505 1,705 1,905 2,105 2,305
145 345 545 745 945 1,145 1,345 1,545 1,745 1,945 2,145 2,345
185 385 585 785 985 1,185 1,385 1,585 1,785 1,985 2,185 2,385
225 425 625 825 1,025 1,225 1,425 1,625 1,825 2,025 2,225 2,425
265 465 665 865 1,065 1,265 1,465 1,665 1,865 2,065 2,265 2,465
1. Determine los cuartiles Q1, Q2 y Q3
2. Determine el percentil 70
3. Determine el sexto decil
4. Determine la desviación del cuartil
5. Determine el percentil del valor US$1,425
6. Determine la mediana
Caso XV.
Los salarios inicial para recién graduados de licenciatura en contabilidad, durante 1996 y
1997, fue US$30,393 (US Online, U.S. News and World Report, diciembre 1997). A
continuación vemos una muestra de salarios iniciales, en miles de dólares.
30.7 28.8 29.1 31.1 30.1
29.7 30.7 30.0 30.6 30.5
31.2 32.1 30.2 30.3 32.9
32.2 29.9 28.9 30.6 31.8
32.2 30.3 30.4 32.3 33.3
32.7 29.3 30.3 30.9 30.3
a. ¿Cuál es el salario promedio inicial para datos no agrupados?
b. ¿Cuál es la mediana de salario inicial para datos no agrupados?
c. ¿Cuál es la moda de salario inicial para datos no agrupados?
d. ¿Cuál es el primer cuartil?
e. ¿Cuál es el segundo cuartil?
f. ¿Condicen estos resultados con lo que afirma U.S. News & World Report?
Caso XVI.
Dos modos que usan los empleados para ir a trabajar diariamente son el transporte público y
el automóvil. A continuación vemos unas muestras de tiempos de cada modo. Las cifras son
en minutos.
Transporte
público
28.0 29.0 32.0 37.0 33.0 25.0 29.0 32.0 41.0 34.0
Automóvil
29.0 31.0 33.0 32.0 34.0 30.0 31.0 32.0 35.0 33.0
a. Calcule la media de la muestra del tiempo que se lleva en cada modo de transporte.
b. Calcule la desviación estándar de la muestra para cada modo de transporte.
c. Con base en los resultados de los incisos a y b, ¿qué modo de transporte debe
preferirse? Explique sus razones?
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Caso XVII.
Como estadístico residente en Air Santo Domingo, el director de análisis estadístico le pide
recolectar y agrupar los datos sobre el número de pasajeros que han decidido viajar con Air
Santo Domingo. Tales datos correspondientes a los últimos 50 días aparecen en la tabla
siguiente. Sin embargo, con estos datos en bruto, es improbable que el director pueda
obtener información útil y significativa respecto a las operaciones de vuelo. Los datos no
están organizados y es difícil llegar a una conclusión significativa simplemente revisando una
serie de números anotados en un papel. Es preciso agrupar y presentar los datos de manera
concisa y reveladora para facilitar el acceso a la información que contienen.
68
72
50
70
65
83
77
78
80
93
71
74
60
84
72
84
73
81
84
92
77
57
70
59
85
74
78
79
91
102
83
67
66
75
79
82
93
90
101
80
79
69
76
94
71
97
95
83
86
69
9. Haga un Histograma.
10. ¿Cuál es el número de pasajeros que ocurre con más frecuencia?
11. ¿Qué tan dispersos están los datos?
12. Haga un Diagrama Circular e Interprételo.
13. Determine si está sesgada.
14. ¿Qué cantidad de pasajeros está equidistante de los dos extremos?
15. ¿Es una distribución normal? ¿Por qué?
16. Represente gráficamente si es normal o el sesgo.
Caso XVIII.
En Aeromar se aceptaron reservaciones telefónicas de vuelos. En la tabla siguiente vemos las
duraciones de las llamadas en minutos, para una muestra de reservaciones telefónicas.
2.1
4.8
5.5
10.4
3.3
3.5
4.8
5.8
5.3
5.5
2.8
3.6
5.9
6.6
7.8
10.5
7.5
6.0
4.5
4.8
a) ¿Qué tan dispersos están los tiempos de estas llamadas?
b) ¿Cuál es el tiempo que está equidistante de los extremos?
c) Determine el primer Cuartil.
d) Determine el quinto Decil.
e) Determine el percentil de la duración 7.8
f) Construya una tabla de frecuencia.
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59
g) Determine si está sesgada analíticamente.
h) ¿Es una distribución normal? ¿Por qué? Diga 5 razones.
i) Represente gráficamente el comportamiento de esta distribución.
j) Haga una curva de ojiva.
k) Construya un diagrama circular e interprételo.
l) Se puede comprobar la Regla Empírica.
Caso XIX.
Los siguientes datos representan el tiempo, en segundos, para pasar de 0 a 60 mi/h para una
muestra de 15 automóviles hechos en Alemania y 20 hechos en Japón:
Automóviles
Automóviles
Alemanes
Japoneses
10.0 10.9 4.8
9.4 9.5
7.1
8.0
6.4
7.9 8.9
8.9 7.7
10.5
6.5
8.5
6.9 7.1
6.7 9.3
5.7
12.5
5.5
6.4 8.7
7.2 9.1
8.3
8.2
5.1
6.0 7.5
8.5 6.8
9.5
9.7
Compare y describa las diferencias en tiempos de aceleración de automóviles alemanes y
japoneses, en términos de sus estadísticas de tendencia central, estadísticas de dispersión y
los cuartiles.
Caso XX.
5 compras de una materia prima en los últimos 3 meses:
Costo por
libra
Cantidad
Compra
Dólares
de libras
1
3.00
1,200
2
3.40
500
3
2.80
2,500
4
2.90
1,000
5
3.25
800
Observe que el costo por libra cambió de 3.4 a 2.80 dólares, ya que la cantidad comprada
varió de 500 a 2,500 libras. Suponga que un administrador pidió información sobre el costo
promedio por libra de la materia prima.
Caso XXI.
El Colmado Gazcue vende cinco tipos de limpiadores para desagües. En la tabla se muestra
cada tipo junto con la utilidad por lata y el número de latas vendidas:
Utilidad
Volumen de
Limpiador
por lata ventas en latas
Glunk Out
2.00
3
Bubble Up
Dream Drain
Clear More
Main Drain
3.50
5.00
7.50
6.00
7
15
12
52
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 59
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60
Determine la utilidad promedio por lata.
Caso XXII.
Los miembros de un Club deben pagar cuotas con base en su peso promedio. De los 60
miembros, 12 pesan 110 libras, 25 pesaron 120 libras, 18 hicieron girar la balanza hasta 150 y
el resto registraron 180 libras. Si los miembros deben pagar US$5 por cada libra que pesan en
promedio, ¿cuánto debe desembolsar cada uno?
Número de
Libras
Miembros
110
12
120
25
150
18
180
5
Caso XXIII.
Aplicando el Teorema de Chebyshev.
La media de una línea aérea es de 78.7 pasajeros por día, con una desviación estándar de
12.14. Para programar los tiempos de para una nueva ruta que abrió, la gerencia desea saber
con qué frecuencia los pasajeros están dentro de K = dos desviaciones estándar de la media, y
cuál es dicho intervalo.
Caso XXIV.
Suponga que las calificaciones del examen de aptitudes de 100 candidatos a las posiciones
vacantes en su organización, tuvieron un promedio de 70 y una desviación estándar de 5.
¿Cuántos candidatos tuvieron calificaciones entre 60 y 80? ¿cuántos entre 58 y 82?
Caso XXV.
Wageweb lleva a cabo encuesta de salarios y presenta resúmenes en su sitio de la red. Con
los datos de salarios, Wageweb informó que los salarios de los gerentes de beneficios variaron
entre 50,935 a 79,577 dólares. Suponga que los datos siguientes son una muestra de los
salarios anuales para 30 gerentes de beneficios (los datos están en miles de dólares).
57.7
63.0
64.2
63.0
68.7
59.3
64.4
64.7
63.3
66.7
63.8
69.5
62.1
61.2
62.2
60.3
59.2
61.7
69.1
66.8
61.2
74.0
60.3
58.9
71.1
61.8
59.4
62.8
56.6
63.1
17. Haga un Histograma.
18. ¿Cuál es el número de pasajeros que ocurre con más frecuencia?
19. ¿Qué tan dispersos están los datos?
20. ¿Qué representa esta dispersión?
21. Haga un Diagrama Circular e Interprételo.
22. Determine si está sesgada.
23. ¿Qué cantidad de pasajeros está equidistante de los dos extremos?
24. ¿Es una distribución normal? ¿Por qué? Diga por lo menos 5 razones.
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61
25. Represente gráficamente si es normal o el sesgo por pedio de un poligono de
frecuencia.
26. Determine el tercer Cuartil.
27. Determine el octavo Decil.
28. Demuestre y diga si se cumple la regla empírica.
29. Utilice el Teorema de Chebyshev para determinar el porcentaje de los gerentes con un
salario anual entre 53,000 y 71,000 dólares.
30. Utilice la regla empírica para determinar el porcentaje de gerentes con un salario anual
entre 50,000 y 71,000 dólares. Compare sus resultados con el punto anterior.
31. ¿Al parecer es razonable suponer que la distribución de salarios se puede aproximar a
una distribución de Gauss?
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62
Introducción a las Probabilidades (Probability)
Gran parte de la vida del hombre se caracteriza por la incertidumbre. Muchos
fenómenos del mundo parecen estar dominados por el comportamiento aleatorio. Casi todas
las decisiones se toman en un entorno caracterizado por la ausencia de un conocimiento
completo de la situación. Así, una decisión acerca de la cantidad de unidades a fabricar se
basa en las estimaciones del número de unidades que se espera vender. Si se conociera este
último con anticipación, la decisión sería elaborar exactamente esa cantidad, sin que hubiera
ni escasez ni excedentes. Con todo, en las situaciones concretas de la toma de decisiones rara
vez puede recabarse información tan precisa.
Estadística Inferencial:
Implica la utilización de una muestra para extraer alguna inferencia o conclusión sobre
la población correspondiente.
- Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muéstrales, efectúa
estimaciones, decisiones, predicciones y otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de
datos.
La estadística es inferencial cuando se derivan conclusiones generales para un conjunto
de datos más amplio a partir de la información proporcionada por los datos estudiados.
Experimento.
Experimento es cualquier proceso que permite a los investigadores obtener
observaciones.
Es el proceso que produce un evento o suceso.
Experimento se refiere a un estudio en el que se manipulan intencionalmente una o
más variables independientes (supuestas causas-antecedentes), para analizar las
consecuencias que la manipulación tiene sobre una o más variables dependientes (supuestos
efectos-consecuentes), dentro de una situación de control para el investigador.
Experimento situación de control en la cual se manipulan, de manera intencional, una
o más variables independientes (causas) para analizar las consecuencias de tal manipulación
sobre una o más variables dependientes (efectos).
Experimento
Lanza una moneda
Seleccionar una parte para inspección
Lanzar un dado
Jugar un partido de pelota
Resultados experimentales
Cara, cruz
Defectuosa, no defectuosa
1, 2, 3, 4, 5, 6
Ganar, perder, empatar
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Experimento Aleatorio o de azar.
Es un proceso que produce uno de varios resultados posibles.
Decimos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:
a. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.
b. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener.
c. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto de resultados posibles conocido
previamente. A este conjunto de resultados posibles, lo denominamos como espacio
muestral. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.
Ensayo: Es cada repetición de un experimento.
Suceso o Evento.
Es cualquier colección de resultados de un experimento.
Es una colección de puntos muéstrales (resultados experimentales).
El suceso o evento es un subconjunto del Espacio Muestral.
Suceso Simple.
Es un resultado o un suceso que no puede desglosarse.
Espacio muestral.
El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento.
Probabilidad.
Los conceptos de probabilidad pueden resultar de suma utilidad cuando nos hallamos
frente a la incertidumbre que caracteriza a la mayor parte de los ambientes en que se adoptan
decisiones.
Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá un evento.
Es la posibilidad numérica de que ocurra un evento, medida entre 0 y 1.
Es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra ese evento.
Las probabilidades de los diferentes resultados posibles de un ensayo deben sumar
uno.
Las probabilidades son siempre mayores que o iguales a cero (es decir, las
probabilidades nunca son negativas) y son menores que o iguales a uno. Cuanto más
pequeña sea la probabilidad, tanto menos posibilidad tendrá el evento.
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Suceso seguro o evento cierto.
Es aquel que siempre se verifica después de un experimento aleatorio.
Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad asignada
estará más próxima a 1.
La probabilidad de certeza es 1.
Suceso imposible o evento imposible.
Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. La única
posibilidad es que el suceso imposible sea el conjunto vació.
La probabilidad de una imposibilidad es 0.
Formas de Enfocar la Probabilidad.
1. Probabilidad de Laplace o Clásica (a priori)
2. Probabilidad Frecuencial o Frec. Relativa (a posteriori)
3. Probabilidad Subjetiva
4. Probabilidad Axiomática
1. Probabilidad de Laplace o Clásica (a priori=antes del hecho).
Según la Regla del marques Laplace (1789-1827) en su obra "Theorie analytique des
probabilites" de 1812:
Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados
posibles, y no existe ninguna razón que de privilegio a unos resultados en contra de otros tiene una estructura de un juego de azar - entonces la probabilidad de un evento aleatoria A
es el cociente entre el número de formas o casos en las que puede ocurrir un evento
(favorables), y el número de todos los posibles resultados del experimento.
P(A) = Numero de formas en las que puede ocurrir un evento
Número total de posibles resultados
Ejemplos:
La probabilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de una moneda.
La probabilidad de sacar un numero x al lanzar un dado.
La probabilidad de sacar una carta de una baraja de 52 cartas.
2. Probabilidad Frecuencial o Frec. Relativa (a posteriori).
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Esta fue establecida por autores como el inglés Ronald A. Fisher (1890-1962) y el
austriaco Richard von Mises (1883-1953)
Utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la frecuencia con que ha
ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra
nuevamente con base en estos datos históricos. Esta se determina mediante:
P(E) = Número de veces que ha ocurrido el evento en el pasado
Número total de observaciones
3. Probabilidad Subjetiva.
Cuando se estudian fenómenos aleatorios en los que no hay posibilidad de repetición o
experimentación, la probabilidad subjetiva es la cuantificación (basada en supuesto) que una
persona (o grupo) hace de un evento, utilizando la información que posee.
Esta conceptualización de la probabilidad es muy aplicada en la empresa, en la
estadística bayesiana, la teoría de la decisión y la teoría de juegos. Ha sido tratada por
autores como Keynes (1921), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Koopman (1940) y Savage
(1954).
El modelo subjetivo requiere establecer la probabilidad de algún evento con base en la
mejor evidencia disponible. En muchos casos esto puede ser apenas una conjetura hecha
sobre cierta base. Esta se utiliza cuando se desea asignar probabilidad a un evento que nunca
ha ocurrido.
4. Probabilidad Axiomática.
El concepto axiomático de probabilidad fue formulado por Kolmogorov 1933. Para
ello preciso ciertas leyes o axiomas que debe cumplir una función de probabilidades. Los
axiomas deberían implicar, entre otras, las siguientes cuestiones:
a. La probabilidad solo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1.
0 <= P(A) <= 1
b. La probabilidad del suceso seguro es 1.
c. La probabilidad de dos sucesos incompatibles (de intersección vacía) debe ser la
suma de sus posibilidades respectivas.
d. La probabilidad de la intersección de dos sucesos es menor o igual que la
probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir,
P(AB) <= P(A) ; P(AB) <= P(B)
e. La probabilidad de la unión de sucesos es mayor que la de cada uno de los sucesos
separados.
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P(AB) >= P(A) ; P(AB) >= P(A)
Más aún, si los sucesos son disjuntos (incompatibles) ocurre que:
AB =   P(AB) = P(A) + P(B)
f. La probabilidad del suceso contrario a A, es
P(A') = 1 - P(A)
Operaciones básicas con sucesos aleatorios.
Que es un conjunto?
Que es AB?
Que es AB?
Que es A-B o A\B?
Que es AB o A\B  B\A?
Que es A'?
Que es un diagrama de Venn?
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Caso I.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
La Nike Corporation quiere probar un nuevo material que se usará para hacer zapatos
deportivos. Un grupo de prueba consistente en 20 hombre y 30 mujeres. Si se escoge
aleatoriamente a una persona de este grupo de prueba, calcule la probabilidad o posibilidad
de no escoger a un hombre.
Caso II.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
La Compañía de Seguros (PROSEGUROS) estudia causas de muertes accidentales en el hogar
y compilo un archivo que incluye 160 muertes por caídas, 120 muertes causadas por veneno y
70 muertes causadas por incendios y quemadas. Si se escoge aleatoriamente una de estas
muertes, calcule la probabilidad de que se haya debido a veneno.
Caso III.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
Un estudio de 500 vuelos de American Airlines escogidos aleatoriamente mostró que 430
llegaron a tiempo (Basados en datos del Departamento de Transporte de los Estados Unidos).
Estime la probabilidad de que un vuelo de American Airlines llegue a tiempo. ¿Describiría
usted ese resultado como muy bueno?
Caso IV.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
En un estudio de reconocimiento de marcas, 831 consumidores sabían de las sopas Campbell,
18 no habían oído de ellas (Basados en datos de Total Research Corporation). Utilice estos
resultados para estimar la probabilidad de que un consumidor seleccionado aleatoriamente
reconozca las sopas Campbell. ¿Cómo cree usted que sea este valor en comparación con los
valores típicos de otras marcas comerciales?
Caso V.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
MasterCard Internacional realizó un estudio de fraudes con tarjeta de crédito. Si se escoge al
azar un caso de fraude en la tabla siguiente, calcule la probabilidad de que el fraude se haya
basado en el uso de una tarjeta falsa.
Tarjeta Robada
243
Tarjeta Falsa
85
Pedido por Correo
52
Otro
46
TARJETA ROBADA
243
TARJETA ROBADA
243
Caso VI.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
Una encuesta Gallup produjo los datos de muestra de la tabla que aparece a continuación. Si
se escoge aleatoriamente a uno de los encuestados, calcule la probabilidad de que sea una
persona que se cepilla los dientes tres veces al día, tal y como recomiendan los dentistas.
Cepilladas de Dientes
Al Día
Número
1
228
2
672
3
240
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Caso VII.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
Si asumimos que los 35 puntos evaluados hasta el momento representan el 100% de la
evaluación. En base a su calificación obtenida hasta el momento. ¿Cuál es la probabilidad de
que apruebe la asignatura?
Caso VIII.
(Probabilidad Clásica, Frecuencial, Subjetiva o Axiomática)
En base a su experiencia como estudiante que ha cursado diferentes asignaturas y al ritmo de
estudio que dedica a esta materia en particular. ¿Cuál es la probabilidad de que no apruebe
Métodos Cuantitativos?
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Eventos mutuamente excluyentes.
Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no pueden ocurrir simultáneamente.
Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro.
P(AUB) = P(A) + P(B)
En el lanzamiento de una moneda, dos resultados simples posibles son cara y cruz.
Puesto que la ocurrencia de una cara excluye la posibilidad de cruz y a la inversa, los eventos
“cara” y “cruz” son mutuamente excluyentes.
Eventos colectivamente exhaustivos.
Se dice que un conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo, si su unión explica
todos los resultados posibles de un experimento.
Consta de todos los posibles resultados de un experimento y constituye su espacio
muestral.
P(X) = 1
Eventos independientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento de
ninguna manera afecta a la posibilidad o probabilidad de ocurrencia del otro evento.
Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad
de ocurrencia del otro.
La ocurrencia de uno no tiene que ver nada con la del otro.
P(AB) = P(A) * P(B)
Eventos dependientes.
Dos eventos son dependientes si la probabilidad de ocurrencia de uno es afectada por
la ocurrencia o no ocurrencia del otro.
Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.
P(AB) = P(A) * P(B\A)
Eventos complementarios (Complemento de un evento).
Para un evento A, el complemento del evento A es el evento consistente en todos los
puntos muestrales que no están en A.
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El complemento del suceso A, denotado por A', consiste en todos los resultados en los
que el suceso A no ocurre.
Si un evento no ocurre, el otro debe ocurrir.
P(A) + P(A') = 1
P(A) = 1 - P(A')
P(A') = 1 - P(A)
P(AUA') = P(A) + P(A')
Ejercicios 1-6 Págs. 79-80 y Ejercicios 7-12 Págs. 81-82
Tabla de Contingencia (Contingency Table).
Las tablas contingencias son aquellas que sirven para comparar dos variables.
TABLA DE CONTIGENCIA
CLASIFICACION DE LOS EMPLEADOS
GENERO
ADMINISTR.(A) LINEA (L) AUXILIAR (O) TOTAL
HOMBRE (H)
120
150
30
300
MUJER (M)
50
140
10
200
TOTAL
170
290
40
500
Tabla de Probabilidad (Probability Table).
Esta se obtiene dividiendo cada una de las entradas entre el total de las observaciones
(que se encuentra en el extremo inferior de la diagonal).
TABLA DE PROBABILIDAD
CLASIFICACION DE LOS EMPLEADOS
GENERO
ADMINISTR.(A) LINEA (L) AUXILIAR (O) TOTAL
HOMBRE (H)
MUJER (M)
TOTAL
Las probabilidades marginales son los valores que se encuentran en las márgenes de la
tabla. Se obtiene de la suma de las probabilidades conjuntas correspondientes.
Las probabilidades conjuntas son las celdas de la estructura principal de la tabla.
Estas muestran la probabilidad de la intersección de dos eventos.
Ejercicios 13 al 15 - Págs. 83-84
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Caso II.
El Presidente Dr. Leonel Fernández Reina se basó en la opinión de 500 expertos en el área
económica de diferentes Universidades, Empresas Privadas y Miembros del Gabinete de su
Gobierno, para someter al Congreso un aumento al ITBIS de un 16%, con la finalidad de
aumentar las recaudaciones y poder hacer frente al déficit fiscal que posee el Gobierno. Sin
embargo, el Presidente tiene duda de que la medida impositiva afecte significativamente a la
economía nacional.
Los asesores económicos del Gobierno trataron de construir una tabla para organizar estas
opiniones... Pero no pudieron... Trata de completarla...
CONTRACCION
ECONOMISTAS
ESTABLE (E) EXPANSION(X) ©
TOTAL
ACADEMICOS (A)
125
100
EMPRESAS PRIVADAS (P)
35
110
GOBIERNO (G)
25
40
65
200
TOTAL
1. Construya una tabla de probabilidades.
2. Determine:
a. P(A)
b. P(P)
c. P(G)
d. P(E)
e. P(X)
f. P©
g. P(AC)
h. P(GX)
i. P(X|A)
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Probabilidad Condicional.
La probabilidad condicional de B dado A es la probabilidad de que el suceso B ocurra,
dado que el suceso A ya ocurrió, y se puede calcular dividiendo la probabilidad de que
ocurran ambos sucesos, A y B, entre la probabilidad del suceso A:
P(B\A) = P(AB)
P(A)
P(AB) = P(A) * P(B\A)
Es la probabilidad de que el evento B ocurra, dado que o a condición de que el evento
A ya haya ocurrido.
Ejemplo: La probabilidad de que un trabajador tomado aleatoriamente sea hombre es
P(H)=0.60. Sin embargo, si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea hombre
dado que es un miembro del personal administrativo P(H\A).
P(H\A) = P(HA)/P(A) = 0.24/0.34 = 0.71
Otra opción:
P(H\A) =[P(H)*P(A\H)]/P(A)=(0.60 * 0.40)/0.34=0.71
0.60 --> 1
0.24 --> X
Ejercicios 16 y 17 Pág. 85
Reglas de la probabilidad.
A. Regla de la Multiplicación.
Consiste en determinar la probabilidad del evento conjunto P(AB), es decir de la
probabilidad de "A y B".
Esta se obtiene simplemente multiplicando sus respectivas probabilidades.
El procedimiento depende de sí A y B son dependientes o independientes.
Probabilidades de eventos independientes.
P(AB) = P(A) * P(B)
Eventos independientes. Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no
afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
La ocurrencia de uno no tiene que ver nada con la del otro.
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El 20% de los carros que pasan por el Km. 12 de la Carretera Sánchez, se detienen en
un Motel, para alquilar una cabaña.
¿Cuál es la probabilidad de que los próximos dos carros se detengan? Asumiendo que
estos son eventos independientes.
P(C1C2) = 0.20 * 0.20 = 0.04
¿Cuál es la probabilidad de que el primer carro se pare y que el segundo siga?
P(C1C2) = 0.20 * 0.80 = 0.16
Probabilidad de Eventos dependientes.
P(AB) = P(A) * P(B\A)
Eventos dependientes. Dos sucesos A y B son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro.
La ocurrencia de uno tiene que ver con la del otro.
Ejemplo:
La probabilidad conjunta de que sea hombre y miembro administrativo.
P(HA) = 0.24
P(HA) = P(H) * P(A\H) = 0.60 * 0.40 = 0.24
P(A\H) = P(AH)/P(H) = 0.24/0.60 = 0.40
Regla de la Adición.
Se utiliza para determinar la probabilidad de A o B, P(AB).
La probabilidad del evento A o B (cuando los eventos no son mutuamente excluyentes).
P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB)
La razón por la cual se debe restar la probabilidad conjunta es para evitar el doble
conteo.
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Eventos no mutuamente excluyentes.
Los sucesos A y B son no mutuamente exclusivos si pueden ocurrir simultáneamente.
Si la ocurrencia de un evento no prohíbe la ocurrencia del otro.
Ejemplo:
La probabilidad de sacar un as o una de las tres cartas de corazones de una
baraja.
P(AC)=P(A)+P(C)- P(AC)
P(AC)=(4/52) + (13/52) - (1/52) = 16/52
En un curso de Métodos Cuantitativos para la toma de decisiones. De 200 estudiantes
inscritos en el curso, 160 aprobaron el examen parcial, 140 aprobaron el examen final y 124
aprobaron ambos.
A = evento de aprobar el examen parcial
B = evento de aprobar el examen final
P(A) = 160/200 = 0.80
P(B) = 140/200 = 0.70
P(AB) = 124/200 = 0.62
P(AB)= P(A) + P(B) - P(AB) = 0.80 + 0.70 – 0.62 = 0.88
La probabilidad de que un hombre sea un trabajador hombre o un trabajador
administrativo.
P(HA)=P(H)+P(A)- P(HA) = 0.60+0.34-0.24 = 0.70
Probabilidad del evento A o del evento B (cuando los eventos son mutuamente
excluyentes).
P(AUB) = P(A) + P(B)
Eventos mutuamente excluyentes. Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no
pueden ocurrir simultáneamente.
Si la ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro.
Si A y B son mutuamente excluyente P(AB)= 0
Ejercicios 18 al 22 - Pág. 90
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75
Teorema de Bayes.
Este fue desarrollado por el reverendo Thomas Bayes (1702-1761).
Asumimos:
Una industria X utiliza dos máquinas para producir su producto.
La máquina A produce el 60% de la producción total.
La máquina B produce el 40% restante.
El 2% de las unidades producidas por A son defectuosas.
Las unidades de B tienen un 4% de defectos.
Podríamos decir:
P(A) = 0.60
P(D\A) = 0.02
P(D'\A) = 0.98
P(B) = 0.40
P(D\B) = 0.04
P(D'\B) = 0.96
P(AD') = P(A) * (D'\A) = 0.60 * 0.98 = 0.588
P(AD) = P(A) * (D\A) = 0.60 * 0.02 = 0.012
P(BD') = P(B) * (D'\B) = 0.40 * 0.96 = 0.384
P(BD) = P(B) * (D\B) = 0.40 * 0.04 = 0.016
según la probabilidad condicional.
P(A\D) = P(AD)/P(D) = [P(A) * P(D\A)]/P(D)
Sin embargo, para la P(D) existen dos formas en las cuales la unidad puede ser defectuosa.
Utilizando la regla de la adición.
P(D) = P(AD) + P(BD)
P(D) = P(A) * P(D\A) + P(B) * P(D\B)
Teorema de Bayes.
P(A\D) = P(AD)/P(D)
P(A\D) = P(AD)/[P(AD) + P(BD)]
P(A\D)=P(A)*P(D\A)]/[P(A)*P(D\A) + P(B)* P(D\B)]
P(A\D)=0.012/(0.012+0.016)=0.429
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76
Técnicas de conteo basadas en el Análisis Combinatorio.
Permutaciones.
Son las diferentes agrupaciones que pueden formarse con n elementos, entrando todos
en cada agrupación y diferenciándose una de otra sólo en el orden de colocación de los
elementos.
Las permutaciones pueden ser sin repetición si los n elementos dados son diferentes, y
con repetición si entre los n elementos dados hay algunos o algunos que aparecen repetidos.
La permutación es un arreglo ordenado de un conjunto de elementos.
El número de permutaciones de n elementos tomados r a la vez es:
nPr = n!/(n-r)!
Nota: La permutación considera el orden de los elementos de los subconjuntos.
Combinaciones.
Son las diferentes formaciones que podemos hacer con n elementos diferentes
entrando de n en r; pudiendo ser r <= n, de modo tal que dos formaciones solo se diferencian
en la naturaleza de uno de sus elementos por lo menos.
El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es:
nCr = n!/r!(n-r)!
Nota: La combinación no considera el orden de los elementos de los subconjuntos.
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77
Caso I.
Suponga que el 60% de los chips de computadora de una compañía se producen en una de
sus fábricas (denotada por A) y 40% se producen en su otra fábrica (denotada A'). Para un
chip seleccionado al azar, la probabilidad de que haya provenido de la fábrica A es de 0.60.
Suponga que se entera de que el chip esta defectuoso y que las tasas de defectos para las dos
fábricas son del 35% (para A) y del 25% (para A'). Podemos usar la fórmula del Teorema de
Bayes para determinar que hay una probabilidad del 0.677 de que el chip defectuoso haya
provenido de la fábrica A.
Construya el diagrama de árbol.
P(A|D)=[P(A)*P(D|A)]/[P(A)*P(D|A)+P(A')* P(D|A')]
Caso II.
Una empresa manufactura recibe embarque de partes de dos proveedores distintos.
Actualmente el 65% de las partes que compra proviene del proveedor 1 y el 35% restante del
proveedor 2. Los datos históricos sugieren que la calidad de las partes varía según su origen.
El desempeño en término de calidad de los dos proveedores es el siguiente:
Porcentaje de piezas buenas del proveedor 1 es de 98%
Porcentaje de piezas buenas del proveedor 2 es de 95%
A) Determine las probabilidades conjuntas de eventos dependientes de piezas buenas y
malas según su origen.
B) Construya el diagrama de árbol con las dos etapas antes mencionadas.
C) Demuestre el Teorema de Bayes P(Proveedor 1 | Piezas Malas)
Caso III.
La Autoridad Metropolitana de Transporte AMET está formada por 1200 oficiales, 960
hombres y 240 mujeres. El pasado 27 de febrero fueron ascendidos 324 oficiales, 288 hombres
y 36 mujeres.
A) Construya una tabla de contingencia tomando en consideración el género y oficiales
ascendidos y no ascendidos.
B) Construya la tabla de probabilidades.
C) Probabilidad de que un oficial seleccionado al azar sea hombre y también que sea
ascendido.
D) Probabilidad de que un oficial seleccionado al azar sea mujer y también que sea
ascendido.
E) Probabilidad de que un oficial seleccionado al azar sea hombre y también que no sea
ascendido.
F) Probabilidad de que sea ascendido dado que sea una mujer.
G) Probabilidad de que no sea ascendido dado que sea una mujer.
H) Probabilidad de que dos oficiales seleccionados al azar sean ascendidos.
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78
Caso IV.
Una fábrica utiliza tres máquinas X, Y, Z para producir ciertos artículos. Supongamos que:
1. La máquina X produce el 50% de todos los artículos, de los cuales el 3% son
defectuosos.
2. La máquina Y produce el 30% de todos los artículos, de los cuales el 4% son
defectuosos.
3. La máquina Z produce el 20% de todos los artículos, de los cuales el 5% son
defectuosos.
a. Encuentre la probabilidad de que el artículo seleccionado aleatoriamente sea
defectuoso.
b. Suponga que se ha encontrado un artículo defectuoso, entre la producción.
Encuentre la probabilidad de que este provenga de cada una de las máquinas,
es decir, de X, Y, y Z.
c. Construya el diagrama de árbol.
Caso V.
Un fabricante de videorreproductoras de casete (VCR) compra un microchip en particular,
llamado LS-24, a tres proveedores: Hall Electronics, Schuller Sales y Crawford Components.
30% de los chips LS-24 se compran a Hall Electonics, 20% a Schuller Sales y el 50% restante a
Crawford Components. El fabricante tiene registro de los tres fabricantes y sabe que el 3% de
los chips de Hall Electronics están defectuosos, el 5% de los chips de Schuller Sales tienen
defectos y el 4% de los chips comprados a Crawford Components están defectuosos.
Identifique los chips:
A1 = El LS-24 de Hall Electronics
A2 = El LS-24 de Schuller Sales
A3 = El LS-24 de Crawford Components.
B1 = El LS-24 está defectuoso
B2 = El LS-24 no está defectuoso.
1. Construya un diagrama de árbol que incluya las probabilidades conjuntas.
2. Calcule la probabilidad de que la parte seleccionada provenga de de Crawford
Components, debido a que era un chip aceptable.
3. Calcule la probabilidad de que el chip LS-24 provenga de Schuller Sales, dado el hecho
de que el chip seleccionado estaba defectuoso.
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79
Caso VI.
Relación entre delincuente y victima
Homicidios (H) Robo (R) Agresión (A)
Extraño (E)
12
379
727
Conocido o Pariente (C)
39
106
642
No se sabe (N)
18
20
57
Totales
1118
787
95
69
2000
505
1426
DETERMINE:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
P(E)
P(E|H)
P(C)
P(C|A)
P(N)
P(N|R)
P(H)
P(EH)
P(CR)
P(R)
P(A)
P(NA)
Construya la tabla de probabilidades.
Si se escoge aleatoriamente a una persona, ¿qué probabilidad hay que haya sido
víctima de un extraño, dado que se escogió a una víctima de robo?
Dado que se seleccionó a una víctima de agresión, ¿qué probabilidad hay de que el
delincuente sea un extraño?
Calcule la probabilidad de que cuando se selecciona aleatoriamente a uno de los 2000
sujetos, la persona escogida haya sido robada por un conocido o un pariente.
Si se escogen al azar dos sujetos distintos, calcule la probabilidad de que ambos hayan
sido robados.
Si se selecciona al azar a una de las víctimas de crímenes representadas en la tabla,
calcule la probabilidad de obtener a una persona que fue víctima de alguien a quien no
conoce o que haya sido asesinada.
Si se selecciona al azar a una de las víctimas de crímenes representadas en la tabla,
calcule la probabilidad de obtener a una persona que fue víctima de un homicidio,
dado que el criminal fue un extraño.
Si se selecciona al azar a una de las víctimas de crímenes representadas en la tabla,
calcule la probabilidad de obtener a una persona que fue víctima de un extraño, dado
que fue asesinada.
Si se escoge al azar dos sujetos distintos, calcule la probabilidad de que ambos hayan
sido víctimas de criminales desconocidos.
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80
Distribución de Probabilidades (Probability distribution)
La Distribución Binomial (Binomial Distribution) - Una Distribución Discreta de
Probabilidad.
Desarrollada por Jacob Bernoulli (1654-1705). Esta se caracteriza por las siguientes
propiedades:
- Sólo debe haber dos posibles resultados.
- La probabilidad de un éxito , sigue siendo constante de un ensayo al siguiente, al
igual que lo hace la probabilidad de fracaso, 1 - .
- La probabilidad de un éxito en un ensayo es totalmente independiente de cualquier
otro ensayo.
- El experimento puede repetirse muchas veces.
Una distribución binomial. Cada ensayo en una distribución binomial termina en
solo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, uno de los cuales se identifica como un
éxito y el otro como un fracaso. La probabilidad de cada resultado permanece constante de
un ensayo al siguiente.
Eventos mutuamente excluyentes.
Los sucesos A y B son mutuamente exclusivos si no pueden ocurrir simultáneamente. Si la
ocurrencia de un evento prohíbe la ocurrencia del otro.
Probabilidad de una
x
n-x
Distribución Binomial P(x)=nCx()(1-)
n = número de ensayos.
 = probabilidad de un éxito.
x = número de éxitos.
Combinaciones.
Son las diferentes formaciones que podemos hacer con n elementos diferentes
entrando de n en r; pudiendo ser r <= n, de modo tal que dos formaciones solo se diferencian
en la naturaleza de uno de sus elementos por lo menos.
El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es:
nCr = n!/r!(n-r)!
Nota: La combinación no considera el orden de los elementos de los subconjuntos.
Caso I.
Solo 20% de los empleados de la población civil que está en una base militar
restringida, porta su identificación personal. Si llegan 10 empleados, cual es la probabilidad
de que el guardia de seguridad encuentre:
a. ¿Ocho empleados con identificación?
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Probabilidad de una
x n-x
Distribución Binomial P(x)=nCx()(1-)
n = 10 empleados
 = 0.20
x=8
8
10-8
P(x=8|n=10,=0.20)=10C8(0.20) (1-0.20) =
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial - Págs. 584-588
b. ¿Cuatro empleados con identificación?
4
10-4
P(x=4|n=10,=0.20)=10C4(0.20) (1-0.20) =
c. ¿A lo sumo 5 empleados con identificación?
P(x<=5|n=10,=0.20)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+
P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0.9986
012345 678910
Evento A
Distribución Binomial Acumulada esta comprende un rango de valores.
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada - Págs. 589-598
d. ¿Por lo menos 4 empleados con identificación?
P(x>=4|n=10,=0.20)=1-P(x<=3|n=10,=0.20)
0123
45678910
Evento A' Evento A
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada - Págs. 589-598
Distribución Binomial Acumulada no da directamente la probabilidad de que un número de
éxito sea igual o mayor que alguna cantidad.
e. ¿Entre 4 y 7 empleados inclusive con identificación?
P(4<=x<=7|n=10,=0.20)=P(x<=7|n=10,=0.20)P(x<=3|n=10,=0.20)
Evento A
0123
4567
8910
P(X<=3) P(X<=7)
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial Acumulada - Págs. 589-598
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82
Caso II.
El 80% de los estudiantes de Métodos Cuantitativos I del maestro Rubén Estrella
pueden conectarse a INTERNET. ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo fin de semana
de 10 estudiantes seleccionados aleatoriamente, 6 estén conectados para verificar si le llego
el archivo de "distribución de probabilidades"?
Probabilidad de una
x n-x
Distribución Binomial P(x)=nCx()(1-)
n = 10 estudiantes
 = 0.80
==> 0.80 > 0.50
x=6
¿Cuál es la probabilidad de que no estén conectados (de no éxito)?
'=1-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ( = 0.80)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ( = 0.20)
en lugar de hallar x éxitos en , se halla:
n-x fracasos a 1 - 
6 éxitos a  = 0.80 = 4 fracasos a  = 0.20
P(x=6|n=10,=0.80)=P(x=4|n=10,=0.20)
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución Binomial - Págs. 584-588
Media de una Distribución Binomial.
E(X)==n
Varianza de una Distribución Binomial.
²=n(1-)
Caso III.
Una universidad se enteró de que el 20% de sus alumnos se dan de baja del curso de Métodos
Cuantitativos para Negocios. Suponga que en este cuatrimestre se inscribieron 32 alumnos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o menos se den de baja?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja exactamente cuatro?
c. ¿Cuál es la cantidad esperada o media de deserciones?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 se den de baja?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que se den de baja entre 5 y siete inclusive?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 6 se den de baja?
g. ¿Qué tan dispersos están los datos?
Ejercicios 6 al 12 Pág. 113
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La Distribución hipergeometrica (Hypergeometric Distribution)
Si se selecciona una muestra sin reemplazo de una población finita conocida y contiene
una proporción relativamente grande de la población, de manera que la probabilidad de éxito
sea perceptiblemente alterada de una selección a la siguiente, debe utilizarse la distribución
hipergeométrica.
La distribución hipergeométrica de probabilidad se relaciona estrechamente con la
distribución binomial. La diferencia principal entre las dos estriba en que, con la distribución
hipergeométrica, los intentos no son independientes, y en que la probabilidad de éxito cambia
de un intento a otro.
P(x)=[(rCx)*(N-rCn-x)]/(NCn)
N
r
n
x
es el tamaño de la población.
es el número de éxitos en la población.
es el tamaño de la muestra.
es el número de éxitos en la muestra.
(rCx) representa la cantidad de manera en las que se puede seleccionar x éxitos de un total
de r éxitos de la población.
(N-rCn-x)
representa la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar n-x fracasos de
un total de N-r fracaso en la población.
(NCn) representa la cantidad de formas en las que se puede seleccionar una muestra de
tamaño n de un población de tamaño N.
Caso I.
Jovanna Meléndez como gerente de Recursos Humanos debe contratar a 10 personas
entre 30 candidatos, 22 de los cuales tienen títulos universitarios. ¿Cuál es la probabilidad de
que 5 de los que contrate tengan un título?
N=30 candidatos
r=22 candidatos con títulos
n=10 candidatos a contratar
x=5 candidatos con títulos
P(x)=[(rCx)*(N-rCn-x)]/(NCn)
P(x=5)=[(22C5)*(30-22C110-5)]/(30C10)
nCr = n!/r!(n-r)!
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B) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 4 de los que contrate tengan un título?
P(x<=4)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)
Ejercicios del 13 al 17 - Pág. 115.
La Distribución de Poisson (Poisson Distribution). Es una distribución de probabilidad
discreta que aplica a ocurrencias de algún suceso dentro de un intervalo especificado. La
variable aleatoria x es el número de ocurrencias del suceso en el intervalo. El intervalo
puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar.
La distribución de Poisson se utiliza frecuentemente para el modelado de tasas de
llegadas en situaciones de espera en fila.
Fue ideada por el matemático francés Simeón Poisson (1781-1840). Esta mide la
probabilidad de un evento aleatorio sobre algún intervalo de tiempo o espacio.
Se basa en dos supuestos:
1.- La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos
cualesquiera de tiempo o espacio de igual longitud.
2.- La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la ocurrencia de otro
intervalo cualquiera.
Función de probabilidad
x -
de Poisson
P(x)=( * e)/x!
x
es el número de veces que ocurre el evento.

es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio.
e
= 2.71828, la base del logaritmo natural.
La Media es 
La desviación estándar es =
Caso I.
Carmín Guzmán, gerente de trafico de telecomunicaciones del Banco Popular, está
evaluando el flujo de las llamadas telefónicas recibidas. Para tal fin selecciona la central
telefónica del Banco Popular de Plaza Central, a la cual llegan 2 llamadas por minuto
promedio y se sabe que tiene distribución de Poisson. Si el operador se distrae por un
minuto, cual es la probabilidad de que el número de llamadas no respondidas sea:
a) ¿cero?
b) ¿Por lo menos 1?
c) ¿Entre 3 y 5, inclusive?
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Función de probabilidad
de Poisson
x -
P(x)=( * e)/x!
a) ¿cero?
=2 llamadas / minuto
x=0 llamada no respondida
e=2.71828
Función de probabilidad
de Poisson
0
-2
P(x=0|=2)=(2 * 2.71828)/0!
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs. 599-604.
b) ¿Por lo menos 1?
=2 llamadas / minuto
x>=1 llamadas no respondidas
e=2.71828
Función de probabilidad
de Poisson
P(x>=1|=2)=1-P(x=0)
c) ¿Entre 3 y 5, inclusive?
=2 llamadas / minuto
3<=x<=5 llamadas no respondidas
e=2.71828
Función de probabilidad
de Poisson
P(3<=x<=5|=2)=P(<=5)-P(x<=2)
=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)
Evento A
012
345
678
P(X<=2) P(X<=5)
Use la Calculadora o la Tabla de Distribución de Poisson - Págs. 599-604.
Caso II.
El cable utilizado para asegurar las estructuras de los puentes tiene un promedio de 3
defectos por cada 100 yardas. Si usted necesita 50 yardas,
a. ¿cuál es la probabilidad de que haya una defectuosa?
b. ¿cuál es la probabilidad de que haya dos o más defectuosas?
Ejercicios del 18 al 21 - Pág. 118.
Para entregar: Investigar la diferencia entre la distribución de Poisson y la distribución
binomial.
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Caso I.
El gerente de Anthony, basado en su experiencia, estima que la probabilidad de que cualquier
cliente compre es de 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de los de los siguientes 10 clientes
que entren hagan una compra?
Caso II.
En una encuesta que se realizó se habló con cientos de estudiantes de edades de 18 a 28 años
de finanzas personales. En la encuesta se encontró que 33% de los estudiantes tienen tarjeta
de crédito.
a. En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan tarjeta
de crédito?
b. En una muestra de seis estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos
tengan tarjeta de crédito?
c. En una muestra de diez estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno tenga
tarjeta de crédito?
Caso III.
El 50% de las industrias manufactureras de tamaño mediano planearon visitas de
representantes de su administración a Canadá y México, para aprovechar las oportunidades
que abrió el Tratado de Libre Comercio en Norteamérica. Un grupo exportador e importador
de Toronto, Canadá, invitó a 20 manufactureras estadounidenses medianas a participar en
una conferencia con el fin de investigar las oportunidades de negocios.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que 12 o más de estas empresas manden representantes?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de estas empresas, como máximo, manden
representantes?
Caso IV.
El 40% de las personas que viajan por negocios llevan un teléfono celular o una computadora
portátil (USA Today, 12 septiembre del 2000). En una encuesta de 15 personas,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan un teléfono celular o una computadora
portátil?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que doce no tengan ni teléfono celular ni una computadora
portátil?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres tengan un teléfono celular o una
computadora portátil?
Caso V.
Al departamento de reservaciones de American Airlines llegan en promedio 48 llamadas por
hora.
a. Calcule la probabilidad de recibir tres llamadas en un intervalo de cinco minutos.
b. Calcule la probabilidad de recibir diez llamadas en un intervalo de quince minutos.
Caso VI.
El promedio anual de las veces que los clientes de Air Santo Domingo toman vuelos locales
por motivos de personales es 4.
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a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tome dos vuelos locales en un año por
motivos personales?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tome uno o más vuelos locales en un
semestre?
Caso VII.
Según la revista Beverage Digest, la Coca clásica y la Pepsi ocuparon el primero y segundo
lugares en la preferencia de las personas (The Wall Street Journal Almanac, 1998). Suponga
que en un grupo de 10 personas, seis prefieren Coca clásica y cuatro prefieren Pepsi. Se
selecciona una muestra aleatoria de tres miembros de ese grupo.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos prefieran Coca clásica?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría (dos o tres) prefieran Pepsi?
Caso VIII.
Un embarque de 10 artículos contiene dos unidades defectuosas y ocho no defectuosas. Al
revisarlo, se tomará una muestra y las unidades se inspeccionarán. Si se encuentra una
unidad defectuosa, se rechazará todo el embarque.
a. Si se selecciona una muestra de tres artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el
embarque?
b. Si se selecciona una muestra de cuatro artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el
embarque?
c. Si se selecciona una muestra de cinco artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el
embarque?
d. Si la gerencia estuviera de acuerdo en que hubiera una probabilidad de 0.90 de
rechazar un embarque con dos defectuosas y ocho no defectuosas?
Caso IX.
De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones, se seleccionan 12
para ser enviados al Japón a estudiar un nuevo proceso de producción. Ocho de los
ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso. ¿Cuál es la probabilidad de que 5
de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir para el lejano
oriente?
Caso X.
Supongamos que se está interesado en la probabilidad de que exactamente 5 clientes lleguen
durante la siguiente hora. La observación simple de las últimas 80 horas ha demostrado que
800 clientes han entrado al negocio.
Caso XI.
Un fabricante en California le suministra un diseño de prototipo para una pieza de aeronave
que requiere un negocio. Este nuevo producto, que es enviado en lotes de n = 12, sufre de
una tasa de defectos de 40%.
a. Si usted no desea un riesgo mayor del 10% en la probabilidad de que 5 de los 12 sean
defectuosos ¿debería comprarle a ese distribuidor?
b. Si usted no desea enfrentar un riesgo mayor del 20% de probabilidad de que más de 5
salgan defectuosos, debería comprarle a este proveedor?
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Caso XII.
En el curso de una hora, una máquina específica llena 1,000 botellas de Cerveza Presidente.
En cada uno de los intervalos, se selecciona aleatoriamente una muestra de 20 botellas y se
verifica el volumen del contenido en cada una. Sea X el número de botellas seleccionada con
contenido insuficiente. Suponga que en una hora específica se producen 100 botellas llenadas
en forma deficiente. Calcule la probabilidad de que al menos tres botellas con contenido
deficiente se incluyan en las muestreadas.
Caso XIII.
Se lanza una moneda 100 veces. Encuentre la probabilidad de que ocurra cara entre 48 y 53
veces inclusive.
Caso XIV.
Suponga que hay 300 errores de impresión distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro
de 500 páginas. Encuentre la probabilidad P de que una página dada contenga:
a) Exactamente 2 errores de impresión.
b) 2 o más errores de impresión.
c) Entre 3 y 5 errores inclusive.
d) Exactamente 7 errores de impresión.
Caso XV.
PlayTime Toys, Inc. emplea a 50 personas en el Departamento de Ensamblaje. Cuarenta de
los empleados pertenecen al sindicato y diez no. Se seleccionan cinco empleados al azar para
formar un comité que va a hablar a la gerencia acerca de los horarios en que inician los
turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados seleccionados para el
comité pertenezcan a un sindicato?
Caso XVI.
En un estudio reciente se descubrió que el 90% de las familias dominicanas tiene televisores.
En una muestra de nueve familias, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Las nueves tengan televisores?
b) Menos de 5 tengan televisores?
c) Más de 5 tengan televisores?
d) Al menos siete familias tengan televisores?
e) Entre 3 y 8 inclusive tengan televisores?
f) Determine el valor esperado o media.
g) Determine la varianza
h) Determine la desviación.
Caso XVII.
Claro hace planes para contratar este año a 5 analistas financieros. Hay un grupo de 12
candidatos aprobados, y el presidente de Claro, decide elegir al azar a quienes va a contratar.
De los solicitantes aprobados, 8 son hombres y 4 mujeres.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los 5 contratados sean hombres?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de los 5 contratados sean mujeres?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 4 de los 5 contratados sean hombres?
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Caso XVIII.
Seguros UNIVERSAL asegura propiedades frente a la playa a lo largo de la región Este del
País; el cálculo aproximado es que, cualquier año, la probabilidad de que un huracán de
categoría III (vientos sostenidos de más de 110 millas por hora) o más intenso azote una
región de la costa es de 0.05. Si un dueño de una casa veraniega obtiene un crédito
hipotecario de 30 años por una propiedad recién comprada en Punta Cana, ¿Cuál es la
probabilidad de que experimente por lo menos un huracán durante el periodo del crédito? Se
recomienda determinar el valor esperado o media antes de calcular la probabilidad para
determinar µ.
Caso XIX.
En una encuesta realizada se determinó que uno de cada 4 inversionistas dispone de fondos
cotizados en bolsa en sus portafolios. Considere una muestra de 20 inversionistas.
 Calcule la probabilidad de que exactamente 4 inversionistas disponen de fondos
cotizados en bolsa en sus portafolios.
 Calcule la probabilidad de que por lo menos dos tienen fondos contizados en bolsa en
sus portafolios.
 Si usted encuentra que exactamente 12 inversionistas disponen de fondos cotizados en
bolsa de portafolios, ¿dudaría de la exactitud de los resultados de la encuesta?
 Calcule el número esperado de inversionistas que tienen fondos cotizados en bolsa en
sus portafolios.
Caso XX.
Los pasajeros e una línea aérea llegan al azar y de manera independiente a la instalación de
revisión de pasajeros en un aeropuerto internacional. La razón media de llegadas es de 10
personas por minuto.
 Calcule la probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de un minuto.
 Determine la probabilidad de que tres pasajeros o menos lleguen en un periodo de un
minuto.
 Calcule la probabilidad de que no haya llegadas en un periodo de 15 minutos.
 Estime la probabilidad de cuanto menos una llegada en un periodo de 15 minutos.
Caso XXI.
Una encuesta de la Revista Fortune sirve como fuente para este problema, que su supervisor
le solicita que resuelva. De los 10 empleados hombres, 7 tenían esposas que también trabajan.
1) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo un esposo tenga una esposa que esté empleada
fuera de casa si se seleccionan 3 trabajadores al azar?
2) La encuesta reveló que 6 de los 10 empleados ganaban más de US$95,000 al año. De los 3
seleccionados, ¿cuál es la probabilidad de que todos tres ganen más de US$95,000?
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Caso XXII.
Un gerente de crédito de VISA ha descubierto que el 10% de los usuarios de tarjeta no paga el
monto completo de la deuda durante un mes dado. Desea determinar que de 20 usuarios
seleccionados de manera aleatoria.
1) 5 no sean pagadas.
2) menos de 10 no sean pagadas.
3) entre 4 y 8 no sean pagadas.
4) determine el valor esperado.
5) determine la variabilidad.
7) a lo sumo 5 no sean pagadas.
8) como mínimo 3 no sean pagadas.
9) más de 10 no sean pagadas.
10) por lo menos 1 no sea pagada.
Caso XXIII.
Cada año más de 50 millones de huéspedes se hospedan en hoteles que ofrecen alojamiento y
desayuno. El sitio web Bed and Breakfast Inns de Norteamérica, que recibe un promedio de
siete visitantes por minuto, permite a muchos hoteles de este tipo atraer clientes.
a) Calcule la probabilidad de que nadie visite el sitio web en un periodo de un minuto.
b) Estime la probabilidad de dos o más visitantes al sitio web en un periodo de un minuto.
c) Calcule la probabilidad de uno o más visitantes en un periodo de 30 segundos.
d) Determine la probabilidad de cinco o más visitantes en un periodo de un minuto.
Caso XXIV.
Una encuesta de restaurantes de ZAGAT proporciona las calificaciones de los platillos, la
decoración y el servicio de algunos restaurantes de Estados Unidos. Para 15 establecimientos
ubicados en Boston, el precio medio de una cena, incluyendo una bebida y la propina, es de
$48.60. Usted está de viaje de negocios en Boston y cenará en tres de estos restaurantes. Su
empresa rembolsará un máximo de $50 por cena. Los socios de negocios familiarizados con
estos establecimientos le han dicho que el costo de la cena en un tercio de los restaurantes de
la encuesta rebasa los $50 por cena. Suponga que selecciona al azar tres de estos negocios
para comer.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las cenas rebase el costo que cubre su empresa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de las cenas supere el costo que cubre su empresa?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de las cenas rebasen tal costo?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que tres de las cenas rebasen dicho costo?
Caso XXV.
Una encuesta reciente de la American Accounting Association reveló que 23% de los
estudiantes graduados en contabilidad elige la contaduría pública. Suponga que elige una
muestra de 15 recién graduados.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos hayan elegido contaduría pública?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que cinco hayan elegido la contaduría pública?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno haya elegido contaduría pública?
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d) ¿Cuántos graduados esperaría que eligieran contaduría pública?
e) ¿Cuál es la dispersión en esta situación?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo seis hayan elegido la contaduría pública?
g) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres hayan elegido la contaduría pública?
Caso XXVI.
Un taller automovilístico tiene en existencia 10 transmisiones reconstruidas. De ellas, tres no
funcionan correctamente y tienen algún defecto interno que causará problemas en las
primeras 1,000 millas de recorrido. Cuatro de ellas seleccionadas aleatoriamente e instalan en
los vehículos de los clientes.
a) Calcule la probabilidad de que ninguna trasmisión defectuosa se instale.
b) Calcule la probabilidad de que se instale exactamente una transmisión defectuosa.
c) Calcule la probabilidad de que a lo sumo 2 trasmisiones sean defectuosa y se instale.
Caso XXVII.
En las últimas 80 horas han llegado a una bodega de recepción 240 camiones para ser
descargados. Se tiene interés en la probabilidad de cierto número de arribos, como se indica a
continuación.
a) 5 arribos en la siguiente hora.
b) ningún arribo en la siguiente hora
c) a lo sumo 3 arribos en una hora
d) 2 arribos en 30 minutos.
e) Entre 4 y 8 arribos en 20 minutos.
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92
La distribución normal o gaussiana (Standard Normal
Distribution) y la regla empírica (Empirical Rule)
La distribución normal es una distribución de datos continuos (*) (no discretos) que
produce una curva simétrica en forma de campana.
La distribución gaussiana fue presentada por Karl Friedrich Gauss (1777-1855) en el
1812.
La campana de Gauss o curva de distribución normal, curva de probabilidad normal;
se caracteriza por:
- Es unimodal.
- Es simétrica (la simetría es perfecta).
- La mitad izquierda de su histograma es aproximadamente una imagen especular de
su mitad derecha.
- La asimetría de la distribución es cero.
- Las colas de la curva se aproximan más, pero nunca tocan, el eje horizontal.
- La media, la mediana y la moda son iguales.
- La mitad de las observaciones está por encima de la media y la mitad está por debajo.
- Si las observaciones están altamente dispersas, la curva en forma de campana se
aplanara y se esparcirá. La desviación estándar determina el ancho de la curva. A valores
mayores de la desviación estándar se tienen curvas más anchas y bajas, que muestran una
mayor dispersión en los datos.
- El punto más alto de la curva normal es la media, que también es la mediana y la
moda de la distribución.
- El área total bajo la curva de la distribución normal de probabilidad es 1.
(*) Variables continúas:
Son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. Por muy próxima que
puedan estar dos observaciones, si el instrumento de medida tiene la precisión suficiente siempre puede
haber una tercera observación que caiga entre las dos primeras. Los valores de una variable continua
proceden en general de mediciones, por ejemplo las cantidades de leche que las vacas producen son datos
continuos porque son mediciones que pueden asumir cualquier valor dentro de un intervalo continuo.
Se pueden obtener de un número infinito de posibles valores que pueden asociarse a puntos de una
escala continua, de tal manera que no haya huecos ni interrupciones.
La Regla Empírica o Regla 68-95-99.
Esta regla solo aplica a un conjunto de datos cuya distribución tiene aproximadamente
forma de campana. Esta afirma que:
- Cerca del 68.26% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de una
desviación estándar de la media.
- Cerca del 95.44% de todos los puntajes u observaciones queda a menos de dos
desviaciones estándar de la media.
- Cerca del 99.7% de todos los puntajes u observaciones que a menos de tres
desviaciones estándar de la media.
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93
La Desviación Normal o Formula Z.
Z = (X - )/
Valor de Z: Es el número de desviaciones estándar a las que una observación está por
encima o por debajo de la media.
X


es algún valor específico de la variable aleatoria.
es la media
es la desviación estándar
Caso I.
Claudia Cáffaro en su viaje que realizo en el fin de semana pasado, para reunirse con
los funcionarios de la Casa Matriz de diseño de modas a la cual pertenece, determinaron que
el público al cual se dirigen estaba en constante cambio en su tamaño físico y en sus
proporciones. Por lo que realizaron un estudio y llegaron a la conclusión de que las estaturas
de sus clientes estaban distribuidas normalmente alrededor de una media de 67 pulgadas,
con una desviación estándar de 2 pulgadas.
Si Claudia fuera a expresar en Valor de Z la estatura de dos de sus clientes, que tienen
64 y 73 pulgadas respectivamente. Que debe hacer? También represéntelo gráficamente.
La Desviación Normal o Formula Z.
Z = (X - )/
Si se selecciona aleatoriamente a un cliente del negocio de Claudia:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura del mismo esté entre 67 y 69 pulgadas?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura del cliente sea superior a 69 pulgadas?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura del cliente sea inferior a 69 pulgadas?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 64.5 y 70.3 pulgadas?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de esté entre 69.3 y 70.5 pulgadas?
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Aproximación de la distribución Binomial a la distribución Normal.
Media de una Distribución Binomial.
E(X) =  = n = np
Varianza de una Distribución Binomial.
² = n(1- ) = npq
_______
____
Desviación ² = √n(1- ) = √ npq
Si n es muy grande.
p =  = denota probabilidad de tener éxito en uno de los n ensayos.
q = denota la probabilidad de fracasar en uno de los n ensayos.
p+q=1
p=1–q
q=1–p
n > 5
np > 5
n(1- ) > 5
nq > 5
Si n es muy grande y np y nq son mayores que 5, p se aproxima a 0.5, podemos aproximar.
Caso:
El 40% de los sindicalistas del Sindicato quiere huelga. Si seleccionan 15 miembros ¿Cuál
es la probabilidad de que 10 apoyen un paro?
Probabilidad de una
x
n-x
Distribución Binomial P(x) = nCx () (1-)
10
15-10
P(x=10|n=15, =0.40) = 15C10*(0.40)*(1-0.40) = 3003 * 0.0001049 * 0.07776 = 0.02449
1) Media de una Distribución Binomial.
E(X) =  = n = np = 15 * 0.40 = 6
2) Varianza de una Distribución Binomial.
² = n(1- ) = npq = 15 * 0.40 * 0.60 = 3.6
______
____
3) Desviacion  = √n(1- ) = √ npq
= 1.89737
4)Factor de Correccion de Continuidad
X – 0.5 = 10 – 0.5 = 9.5
X + 0.5 = 10 + 0.5 = 10.5
5) Z = (9.5 – 6) / 1.89737 = 1.85
Z = (10.5 – 6) / 1.89737 = 2.37
6) P(9.5 ≤ X ≤ 10.5) = P(1.85 ≤ Z ≤ 2.37) = 0.4911 – 0.4678 = 0.0233
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El Teorema del Limite Central indica que en el caso de muestras grandes (n > 30), la
distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal con media  y desviación
estándar /n. Provocando así una variación de la ecuación:
 = (X' - )/(/n)
La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema del Limite Central asegurara una
distribución normal en las medias muestrales incluso si la población no es normal.
Caso I.
Los tiempos de reemplazo de los reproductores de CD tienen una distribución normal con
una media de 7.1 años y una desviación estándar de 1.4 años (basados en datos de "Getting
Things Fixed", Consumer Reports). Determine la probabilidad de que un reproductor de CD
seleccionado al azar tenga un tiempo de reemplazo de menos de 8 años.
Caso II.
Suponga que los pesos del papel desechado por los hogares cada semana estan normalmente
distribuidos con un media de 9.4 lbs y una desviación estándar de 4.2 lbs. Determine la
probabilidad de seleccionar aleatoriamente un hogar y obtener uno que desecha entre 5 y 8
lbs de papel en una semana.
Caso III.
Segun la International Mass Retail Association, las muchachas estadounidenses entre los 13 y
17 años gastan en promedio US$31.2 dólares al mes cuando van de compras. Suponga que
las cantidades tienen una distribución normal con una desviación estándar de US$8.27
dólares. Si seleccionamos al azar a una muchacha perteneciente a esa categoria de edades,
¿qué probabilidad hay de que gaste entre US$35 y US$40 dólares en un mes?
Caso IV.
Los puntajes de cociente intelectual (IQ) están distribuidos normalmente con una media de
100 y una desviación estándar de 15. Mensa es una organización para personas con cociente
intelectual elevado, y solo acepta personas con un IQ mayor que 131.5.
Si se escoge aleatoriamente a una persona, determine la probabilidad de que satisfaga el
requisito de Mensa.
Caso V.
VERIZON registro los mensajes telefónicos para sus clientes, los cuales promediaron 150
segundos, con una desviación estándar de 15 segundos.
VERIZON desea determinar la probabilidad de que una sola llamada dure:
a) Entre 145 y 150.
b) Sea mayor que 145.
c) Sea menor que 155.
d) Entre 145 y 155.
e) Sea Mayor que 155.
f) Entre 160 y 170
g) Entre 140 y 145.
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Caso VI.
Cerca del 4.4% de los accidentes fatales de vehículos motorizados se debe a neumáticos
defectuosos (basados en datos del Consejo Nacional de Seguridad de Estados Unidos). Si un
estudio de seguridad de autopistas inicia con la selección de 750 casos fatales de choque de
vehículos motorizados, estime la probabilidad de que exactamente 35 de ellos hayan sido
causados por neumáticos defectuosos. Represente gráficamente la situación planteada.
Caso VII.
El promedio de los salarios en los bancos comerciales de New York es de US$22.87 por hora,
con una desviación estándar de US$5.87. ¿Cuál debe ser su salario por hora si desea ganar
(Represente gráficamente cada situación planteada:
a. Más que el 80% de todos los empleados?
b. Más que el 30% de todos los empleados?
c. Menos que el 20% de todos los empleados?
d. Más que el 50% de todos los empleados?
Caso VIII.
Los registros muestran que el 45% de todos los automóviles producidos por Ford Motor
Company contiene partes importadas de Japón. ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos
200 carros, 115 contengan partes japonesas. Represente gráficamente.
Caso IX.
El precio promedio del boleto de entrada a un juego de béisbol de ligas mayores fue de $11.98
dólares en 1998 (USA Today, 1 de noviembre de 1998). Sumando a los boletos el costo de
alimentos, estacionamiento y souvenirs, el costo promedio aproximado fue de $110.00 dólares
para una familia de 4 miembros, con una desviación de $20.00 dólares.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste más de $100.00 dólares?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste $90.00 dólares o menos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste $80.00 dólares a 130 dólares?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste entre $120.00 dólares y 130 dólares?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia gaste entre $95.00 dólares y 100 dólares?
f. ¿Cuál debe ser el gasto de una familia que está por encima del 80% de los datos
evaluados?
g. ¿Cuál debe ser el gasto del 50% de las familias de 4 miembros?
h. ¿Cuál debe ser el gasto de una familia que separa el 40% del 60 restante de los datos
evaluados?
i. Si se toma una muestra de 50 familias, ¿cuál es la probabilidad de que gasten entre
115.00 dólares y 125.00 dólares?
Caso X.
¿Cuál es el ingreso que separa el 10% de la gente más pobre del 90% restante de la población
dominicana? Si el ingreso medio es de RD$5,200 y la desviación es de RD$1,300.
Ejercicios 32, 34, 35 y 36 de las págs. 133-134
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Caso XI.
El 40% de los sindicalistas del Sindicato quiere huelga. Si seleccionan 15 miembros ¿Cuál es la
probabilidad de que 10 apoyen un paro?
Caso XII.
Los registros muestran que 45% de todos los automóviles producidos por Ford Motor
Company contienen partes importadas de Japón. ¿Cuál es la probabilidad de que los
próximos 200 carros, 115 contengan partes japonesas?
Caso XIII.
Cuando usted firma un contrato para obtener una tarjeta de crédito, ¿lo lee detenidamente?
En una encuesta de FindLaw.com se preguntó a las personas: ¿Cuánto cuidado pone al leer
un contrato de tarjeta de crédito? (USA Today, 16 de octubre de 2003). Los hallazgos
arrojaron que 44% lee cada palabra, 33% lee lo suficiente para entender el contrato, 11% sólo
le da un vistazo y 4% no lo lee.
1) Para una muestra de 500 personas, ¿Cuántas esperaría que dijeran que leen cada palabra de
un contrato de tarjeta de crédito?
2) Para una muestra de 500 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que 200 o menos digan que
leen cada palabra de un contrato de tarjeta de crédito? Resuelva por aproximación y compare
ambas probabilidades.
3) Represente gráficamente el punto 2.
Caso XIV.
La distribución de los ingresos anuales de un grupo de empleados de mandos medios en
Compton Plastics se aproxima a una distribución normal, con una media de $47,200 y una
desviación estándar de $800.
1)¿Entre que par de valores de los ingresos anuales se encuentran aproximadamente el
68.26%?
2)¿Entre que par de valores de los ingresos anuales se encuentran aproximadamente el
95.44%?
3) ¿Cuál es ingreso anual que está a más del 80%?
4) ¿Cuál es ingreso anual que está a más del 30%?
5) ¿Cuál es ingreso anual que está a menos del 20%?
6) ¿Cuál es ingreso anual que está a más del 50%?
Caso XV.
La Administración de Pizzarelli se da cuenta de que el 70% de sus nuevos clientes regresa a
comer. Si seleccionan aleatoriamente a 80 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que 60 o más
regresen a consumir pizza?
Resuelva por aproximación, compare ambas probabilidades y Represente gráficamente.
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Caso XVI.
Orange planea instalar nuevos equipos que mejorarían la eficiencia de sus operaciones. Sin
embargo, antes de que los ejecutivos puedan decidir si dicha inversión será eficaz en función
de los costos, deben determinar la probabilidad de una muestra de n = 35, basados en
estudios previos donde se determinó que la duración media de las llamadas es de 150
segundos con una desviación estándar de 15 segundos.
a) Entre 145 y 150.
b) Sea mayor que 145.
c) Sea menor que 155.
d) Entre 145 y 155.
e) Sea Mayor que 155.
f) Entre 160 y 170
g) Entre 140 y 145.
Caso XVII.
Se emprende un estudio para investigar la relación del tabaquismo en mujeres embarazadas
con los defectos de nacimiento en los hijos. De las madres estudiadas, 40% fuma y 60% no lo
hace. Cuando nacen sus hijos, existe algún tipo de defecto congénito en 20. Sea X el número
de hijos cuya madre fumó durante el embarazo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 12 o más de los niños sean hijos de madres fumadoras?
b) Resuelva por aproximación y compare ambas probabilidades.
c) Represente gráficamente.
d) Interprete los resultados.
Caso XVIII.
Suponga que el 4% de la población mayor de 65 años tiene la enfermedad de Alzheimer.
Suponga que se toma una muestra aleatoria de 3,500 personas mayores de 65.
a) Encuentre la probabilidad de que menos de 150 de ellas tengan la enfermedad.
b) Resuelva por aproximación y compare ambas probabilidades.
c) Represente gráficamente.
d) Interprete los resultados.
Caso XIX.
Al medir los miligramos de glucosa por decilitro de sangre, se obtiene una variable aleatoria
X continua. Después de 12 horas de ayuno, la media es de 85 y una desviación de 25
(después de 50 años de edad, la media y la desviación estándar tienden a aumentar). ¿Cuál es
la probabilidad de que después de 12 horas de ayuno, un adulto menor de 50 años elegido
aleatoriamente reporte:
a) un valor de mayor de 60? Represente gráficamente e Interprete.
b) Menor que 85? Represente gráficamente e Interprete.
c) Entre 60 y 85 inclusive? Represente gráficamente e Interprete.
d) mayor que 140 (la frontera de la diabetes empieza en 140). Represente gráficamente e
Interprete.
e) ¿Entre que par de valores se encuentran aproximadamente el 68.26%? Represente
gráficamente e Interprete.
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f)¿Entre que par de valores se encuentran aproximadamente el 95.44%? Represente
gráficamente e Interprete.
g) ¿Cuál es el valor que está a más del 80%? Represente gráficamente e Interprete.
h) ¿Cuál es el valor que está a más del 30%? Represente gráficamente e Interprete.
i) ¿Cuál es el valor que está a menos del 20%? Represente gráficamente e Interprete.
j) ¿Cuál es el valor que está a más del 50%? Represente gráficamente e Interprete.
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100
Distribución Muestral
Generalmente las poblaciones son demasiado grandes como para ser estudiadas en su
totalidad. Es necesario seleccionar una muestra representativa de un tamaño más manejable.
Esta muestra se utiliza luego para sacar conclusiones sobre la población.
Distribución Muestral: Es una lista de todos los valores posibles para un estadístico y la
probabilidad relacionada con cada valor.
Error de Muestreo: Es la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la
muestra para estimar el parámetro.
X'-X"
X'-
Parámetro: Es una medición numérica que describe alguna característica de una población.
- Medida descriptiva de la población completa de observaciones que tienen interés para el
investigador.
Estadístico: Es una medición numérica que describe alguna característica de una muestra.
El estadístico se utiliza como estimador del parámetro. Al confiar en una muestra para
sacar alguna conclusión o inferencia sobre la población.
Combinaciones. Son las diferentes formaciones que podemos hacer con n elementos
diferentes entrando de n en r; pudiendo ser r <= n, de modo tal que dos formaciones solo se
diferencian en la naturaleza de uno de sus elementos por lo menos.
El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es:
nCr = n!/r!(n-r)!
Nota: La combinación no considera el orden de los elementos de los subconjuntos.
Caso I.
Las ventas en miles de dólares de Electrom, S.A. durante los últimos 6 meses fueron de
70, 77, 73, 78, 85 y 80. Asumiendo que estos seis meses constituyen una población, la media
claramente es  = 77.17. El director de Marketing desea estimar esta media "desconocida"
tomando una muestra de tamaño n=4. Se espera que el error de muestreo que es probable
que ocurra sea relativamente pequeño. Realice la distribución muestral.
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101
1º Podemos obtener muchas muestras de tamaño 4.
Específicamente 6C4 = 15
2º Construya la tabla en base a la cantidad de muestra del primer punto, indicando los
elementos muéstrales (Xi), y Medias Muéstrales (X')
3º Construya la tabla con la Probabilidad de cada media muestral.
4º Calcule la media de las medias muéstrales.
La Media de las Medias Muéstrales:
X"= estándar de las medias muéstrales/K.
Varianza de la Distribución Muestral de las Medias Muéstrales:
²x'=(X'-X")²/K
Error Estándar de la Muestral de las Medias Muéstrales:
x'=²x'
Una aproximación cercana puede obtenerse mediante:
²x'=²/n
x'=/n
Si el tamaño de la muestra es más del 5% de la población, n>0.05N, debe aplicarse el factor de
corrección para poblaciones finitas (fpc).
Error Estándar utilizando el fpc:
x'=(/n)((N-n/N-1))
(N-n/N-1) es el fpc.
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102
70
73
77
78
80
85
TABLA DE DISTRIBUCION MUESTRAL
POBLACION
ELEMENTOS
VENTAS
NUMERO DE
MEDIA (X')
LA MUESTRA
MENSUALES
MUESTRA (X)
MUESTRAL
70
70 73 77 78
1
77
70 73 77 80
2
73
70 73 77 85
3
78
70 73 78 80
4
85
70 73 78 85
5
80
70 73 80 85
6
77.17
MEDIA
70 77 78 80
7
VARIANZA
70 77 78 85
8
DESVICION
70 77 80 85
9
70 78 80 85
10
73 77 78 80
11
73 77 78 85
12
73 77 80 85
13
73 78 80 85
14
77 78 80 85
15
MEDIA DE
X'
VENTAS
VALORES DE
CUADRADO DE
MENSUALES
DESVIACION X-X'
VALORES DE DESV.
ERROR DE
MUESTREO
(X'-X")
CUADRADO
DEL
ERROR (X'X")
VARIANZA
ERROR
ESTANDAR
70
77
73
78
85
80
MEDIA
SUMATORIA
VARIANZA
DESVIACION
SQRT
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103
TABLA DE PROBABILIDADES
F/K
MEDIAS (X') FRECUENCIA P(X')
Ejercicios 1 al 5 - Págs. 149-150
Teorema del Limite Central.
A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias muéstrales se
aproxima a una distribución normal con una media X"= y un error estándar de x'=/n.
A mayor n menor x'
Por tanto, incluso si la población no está distribuida normalmente, la distribución de
muestreo de las medias muéstrales será normal si n es lo suficientemente grande.
La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema del Limite Central
asegurara una distribución normal en las medias muéstrales incluso si la población no es
normal.
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104
En síntesis:
Teorema del Límite Central:
Dado que:
1.- La variable aleatoria x tiene una distribución (que podría ser o no normal) con media  y
una desviación estándar .
2.- Se seleccionan aleatoriamente muestras de tamaño n de esa población.
Conclusiones:
1.- A medida que aumenta el tamaño de las muestras, la distribución de las medias de
muestra se acercara a una distribución normal.
2. - La media de las medias de muestra será la media de la población X"=.
3.- La desviación estándar de las medias de muestra será x'=/n.
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105
Reglas prácticas de uso común:
1.- Para muestras de tamaño n mayor que 30, la distribución de las medias de muestra se
puede aproximar razonablemente bien con una distribución normal. La aproximación es más
exacta a medida que aumenta el tamaño de muestra n.
2.- Si la población original también está distribuida normalmente, las medias de muestra
tendrán una distribución normal para cualquier tamaño de muestra n.
El Teorema del Limite Central indica que en el caso de muestras grandes (n > 30), la
distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal con media  y desviación
estándar /n. Provocando así una variación de la ecuación:
 = (X' - )/(/n)
La regla general es que si n es por lo menos 30, el Teorema del Limite Central asegurara una
distribución normal en las medias muéstrales incluso si la población no es normal.
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106
Caso I.
Tartus Industries cuenta con siete empleados de producción (a quienes se les considera
población). En la tabla siguiente se incluyen los ingresos por hora de cada empleado.
Empleado
Joe
Sam
Sue
Bob
Jan
Art
Ted
Ingresos
por hora
7
7
8
8
7
8
9
Encontrar:
a) La media de la población.
b) La desviación estándar de la población.
c) La media de la distribución muestral de media con muestras de tamaño 2.
d) La desviación estándar de la distribución muestral de medias, es decir, el error
estándar de las medias.
e) La tabla de Probabilidades.
Caso II.
Los tiempos de servicio de los ejecutivos que laboran en Standard Chemicals son los
siguientes:
Nombre
Snow
Tolson
Kraft
Irwin
Jones
Años
20
22
26
24
28
a) ¿Cuántas muestras de tamaño 2 son posibles?
b) Elabore una lista de todas las muestras posibles de 2 ejecutivos de la población y
calcule las medias.
c) Organice las medias en una distribución muestral.
d) Compare la media poblacional y la media de las medias de las muestras.
e) Compare la dispersión en la población con la dispersión de la distribución muestral de
la media.
f) Construya la tabla de probabilidades.
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107
Caso III.
En el despacho de abogados hay seis socios. En la siguiente tabla se incluye el número de
casos que en realidad atendió cada socio en los tribunales durante el mes pasado.
Socio
Ruud
Wu
Sass
Flores
Wilhelms
Schueller
Número de
Casos
3
6
3
3
0
1
a) ¿Cuántas muestras de tamaño 3 son posibles?
b) Elabore una lista de todas las muestras posibles de 3 de la población y calcule las
medias.
c) Organice las medias en una distribución muestral.
d) Compare la media poblacional y la media de las medias de las muestras.
e) Compare la dispersión en la población con la dispersión de la distribución muestral de
la media.
f) Construya la tabla de probabilidades.
Caso IV.
Hay cinco vendedores en Mi-Motors Ford. Los cinco representantes de ventas y el número de
automóviles que vendieron la semana pasada son los siguientes.
Representante
de Ventas
Peter Hankish
Connie Stalter
Juan Lopez
Ted Bames
Peggy Chu
Autos
Vendidos
8
6
4
10
6
a) ¿Cuántas muestras de tamaño 3 son posibles?
b) Elabore una lista de todas las muestras posibles de 3 de la población y calcule las
medias.
c) Organice las medias en una distribución muestral.
d) Compare la media poblacional y la media de las medias de las muestras.
e) Compare la dispersión en la población con la dispersión de la distribución muestral de
la media.
f) Construya la tabla de probabilidades.
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108
Caso V.
Una población consta de cinco números 2, 3, 6, 8, 11. Considerar todas las muestras posibles
de tamaño dos que pueden extraerse con reemplazo de esta población.
Encontrar:
f) La media de la población.
g) La desviación estándar de la población.
h) La media de la distribución muestral de media.
i) La desviación estándar de la distribución muestral de medias, es decir, el error
estándar de las medias.
j) La tabla de Probabilidades.
Caso VI.
De una lista de 500 firmas, sería posible obtener muchas muestras diferentes de tamaño 50.
Específicamente se podría obtener 500C50 muestras diferentes de tamaño n=50. Debido a que
500C50 es un número más bien grande, se asume en aras de la simplicidad de la discusión,
que se tiene una población de N = 4 ingresos para cuatro estudiantes universitarios. Estos
ingresos son de $100, $200, $300 y $400. El ingreso promedio puede calcularse como µ=$250.
a) ¿Cuántas muestras de tamaño 2 son posibles?
b) Elabore una lista de todas las muestras posibles de 2 de la población y calcule las
medias.
c) Organice las medias en una distribución muestral.
d) Compare la media poblacional y la media de las medias de las muestras.
e) Compare la dispersión en la población con la dispersión de la distribución muestral de
la media.
f) Construya la tabla de probabilidades.
Caso VII.
Una población de las ventas semanales (en miles de dólares) en Blazing Salads, un
restaurante vegetariano en Chicago, es 27, 32, 17, 21 y 32.
a) Calcule e interprete la desviación poblacional.
b) Determine n = 2 y desarrolle la distribución muestral.
c) Calcule e interprete la desviación de la distribución muestral y compare con la
desviación poblacional.
d) Calcule e interprete la µ.
e) Calcule e interprete la media de las medias muéstrales; y compare con la media
poblacional.
f) Construya la tabla de probabilidades.
g) Ahora desarrolle la distribución muestral con n=3
h) Calcule la media de las medias muestrales y la desviación de la distribución muestral.
Y Compare con las del punto c y e.
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109
Caso VIII.
Orange registró los mensajes telefónicos de sus clientes, los cuales promedian 150 segundos,
con una desviación de 15 segundos, por lo que planea instalar nuevos equipos que mejorarían
la eficiencia de sus operaciones. Sin embargo, antes que los ejecutivos puedan decidir si
dicha inversión será eficaz en función de los costos, deben determinar la probabilidad de que
la media de una muestra de n = 35:
b. Esté entre 145 y 150.
c. Sea mayor que 145.
d. Sea menor que 155.
e. Esté entre145 y 155.
f. Sea mayor que 155.
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110
Distribución de Proporciones Muéstrales
Muchos asuntos de negocios tratan la proporción de la población . Una firma de
marketing puede querer averiguar si un cliente (1) compra o (2) no compra el producto. Un
banco con frecuencia debe determinar si un depositante (1) pedirá o (2) no pedirá un crédito
para auto. Muchas firmas deben determinar la probabilidad de que un proyecto para
presupuestar capital (1) generara o (2) no generara un rendimiento positivo.
un cliente (1) compra (p = )
o (2) no compra el producto (q = 1 - )
un depositante (1) pedirá un crédito para auto (p = )
o (2) no pedirá un crédito para auto (q = 1 - )
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción: E(p) =  = ∑p/K
Error estándar de la Distribución
_______
____
Muestra de la Proporción: p = (1-)/n = pq/n
Si el tamaño de la muestra es más del 5% de la población, n>0.05N, debe aplicarse el factor de
corrección para poblaciones finitas (fpc).
Error estándar de la Distribución
_______
________
Muestra de la Proporción:p = (1-)/n * (N-n/N-1)
____
________
p = pq/n * (N-n/N-1)
Caso I.
Publicidad Sarmiento pregunta a toda la población N=4 clientes si vieron el anuncio
publicitario de Sarmiento en el periódico de esta mañana. Se registró una respuesta “si”
como éxito, y “no” como fracaso. Los cuatros clientes S1, N2, N3 y S4. La proporción
poblacional de éxitos es  = 0.5. Se tomaron muestras de tamaño n = 2 (4C2 = 6), y la
proporción de éxitos se registra en la siguiente tabla:
p = x/n
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111
Xi
Núm. De
éxitos
P
1
S1, N2
1
0.50
2
S1, N3
1
0.50
3
S1, S4
2
1.00
4
N2, N3
0
-
5
N2, S4
1
0.50
6
N3, S4
1
0.50
TOTAL
3.00
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = ∑p/K = 3/6 = 0.5
Error estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción: p = (1-)/n * (N-n/N-1)
________
_______
p = 0.5*0.5/2 * (4-2/4-1)
p = 0.35355339 * 0.81649658 = 0.289
Z = (p - )/p
Caso II.
BellLabs adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una firma en
Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política establecida
recientemente por BellLabs establece que si el siguiente envío tiene:
a.
b.
c.
d.
e.
Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo suplidor.
Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor.
Entre el 5 y 10% de defectos, definidamente no conseguirá un nuevo proveedor.
Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.
Cuál decisión es más probable que tome BellLabs?
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112
a. Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo suplidor.
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Error estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(p > 0.12):
Z = (p - )/p
Z = (0.12 – 0.10)/0.021 = 0.95
Z = 0.95  área de 0.3289
P(p > 0.12) = P(Z > 0.95) = 0.5 - 0.3289 = 0.1711
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113
b. Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor.
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Error estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(0.10 <= p <= 0.12):
Z = (p - )/p
Z = (0.12 – 0.10)/0.021 = 0.95
Z = 0.95  área de 0.3289
P(0.10 <= p <= 0.12) = 0.3289
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114
c. Entre el 5 y 10% de defectos, definitivamente no conseguirá un nuevo
proveedor.
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Error estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción: Error Estándar p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(0.05 <= p <= 0.10):
Z = (p - )/p
Z = (0.05 – 0.10)/0.021 = -2.38
Z = 2.38  área de 0.4913
P(0.05 <= p <= 0.10) = 0.4913
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115
d. Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.
Cúal decisión es más probable que tome BellLabs?
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.10
Error estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
__________
p = 0.1*0.9/200 = 0.021
P(p < 0.05):
Z = (p - )/p
Z = (0.05 – 0.10)/0.021 = -2.38
Z = 2.38  área de 0.4913
P(p < 0.05) = 0.5 - 0.4913 = 0.0087
Webster: Ejercicios 9 al 12 - Pág. 157
Webster: Ejercicios 13 al 17 - Pág. 160
Webster: Ejercicios 18 al 46 - Pág. 164-166
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116
Caso II.
El 30% de todos los empleados de una empresa tienen capacitación avanzada. Si en una
muestra de 500 empleados menos del 27% estaba preparado de forma adecuada, todos los
nuevos contratos necesitarán registrarse en un programa de capacitación. ¿Cuál es la
probabilidad de que inicie el programa?
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.30
Error estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
____________
p = 0.30*0.70/500 = 0.02049
P(p < 0.27):
Z = (p - )/p
Z = (0.27 – 0.30)/ 0.02049 = - 1.46
Z = -1.46  área de 0.4279
P(p < 0.27) = P(Z < -1.46) = 0.5 - 0.4279 = 0.0721
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117
Caso III.
La proporción de todos los clientes de Pizza Hut que comen en el sitio es del 75%. En una
muestra de 100 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 20% lleven su comida a
casa?
Valor esperado (media) de la
Distribución Muestra de la Proporción:
E(p) =  = 0.75 Comen en el Sitio
Error estándar de la Distribución
Muestra de la Proporción:
p = (1-)/n
____________
p = 0.75*0.25/100 = 0.04330
P(p < 0.20):
Z = (p - )/p
Z = (0.20 – 0.25)/ 0.04330 = - 1.16
Z = -1.16  área de 0.3770
P(p < 0.20) = P(Z < -1.16) = 0.5 – 0.3770 = 0.1230
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118
Caso IV.
El Director de Distribuidora Corripio piensa que el 30% de los pedidos proviene de nuevos
clientes. Para ver la proporción de clientes nuevos se usará una muestra aleatoria simple de
100 pedidos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de p esté entre 0.20 y 0.40?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de p esté entre 0.25 y 0.35?
Caso V.
La proporción poblacional es 0.30. ¿Cuál es la probabilidad de que las proporciones
muéstrales y poblacional estén entre ± 0.04 con los tamaños siguientes?
a) n = 100
b) n = 200
c) n = 500
d) n = 1000
e) ¿Qué ventaja tiene un tamaño grande de muestra?
n = 100
 E(p) = π = 0.30
 σp = √ (0.3*0.7)/100 = 0.04583
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Caso VI.
La Revista Mercado informa que el 66% de los adultos y 87% de los jóvenes entre 12 y 17 años
usan Internet. Considere estos datos como proporciones poblacionales y suponga que se
usará una muestra de 300 adultos y 300 jóvenes para obtener información respecto de su
opinión acerca de la seguridad de Internet.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre la proporción muestral y la
proporción poblacional de adultos que usan Internet no sea mayor de ± 0.04?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre la proporción muestral y la
proporción poblacional de jóvenes que usan Internet no sea mayor de ± 0.04?
c) ¿Son diferentes las probabilidades anteriores? Si es así por qué?
d) En caso de que el tamaño de la muestra sea 600. ¿es menor la probabilidad? ¿Por qué?
Caso VII.
Las personas terminan por desechar 12% de lo que compran en el supermercado. Asuma que
esta es la verdadera proporción poblacional y que planea realizar una encuesta por muestreo
de 450 compradores para investigar más acerca de su comportamiento.
¿Cuál es la probabilidad de que la encueste genere una proporción muestral de ± 0.03 de la
proporción población?
¿Cuál es la probabilidad de que la encueste genere una proporción muestral de ± 0.015 de la
proporción población?
Caso VIII.
The Grocery Manufacturers of America informa que el 76% de los consumidores lee los
ingredientes que se mencionan en la etiqueta de un producto. Suponga que la proporción
poblacional es 0.76 y que de la población de consumidores se selecciona una muestra de 400.
¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las proporciones muestral y poblacional no
sea mayor que ± 0.03?
¿Si la muestra es de 750 consumidores, cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las
proporciones muestral y poblacional no sea mayor que ± 0.03?
Investigar los siguientes Métodos de Muestreo y dar dos Ejemplos: Valor 2 adicionales a
los 100.
 Muestreo Aleatorio Simple
 Muestreo Sistemático
 Muestreo Estratificado
 Muestreo por Conglomerados
 Muestreo de Conveniencia
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120
Métodos de Muestreo
Muestra: Es un subconjunto de elementos extraídos de una población.
- Es una porción representativa de la población, que se selecciona para su estudio
porque la población es demasiado grande para analizarla en su totalidad.
Muestra Aleatoria o Probabilística: Se seleccionan los miembros de la población de modo
que cada uno tenga la misma probabilidad de ser escogido.
Son muestras en que los elementos a seleccionar se obtienen con base en la
probabilidad. Cada elemento de una población tiene cierta probabilidad de ser elegido como
parte de la muestra.
Muestra Aleatoria Simple (Random Sample): Una muestra es seleccionada de modo que
todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. De igual
manera, todas las muestras de tamaño n tienen la misma posibilidad de ser elegidas. Las
muestras aleatorias simples se obtienen por muestreo con reemplazo en una población finita
o por muestreo sin reemplazo en una población sin reemplazo.
Una muestra aleatoria simple de n sujetos se selecciona de tal manera que toda posible
muestra de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser escogida.
Ejemplos:
Suponga que una población consta de 845 empleados de un Empresa, de la cual se va a elegir
una muestra de 52 empleados. Una forma de asegurarse de que todos los empleados de la
población tienen las mismas posibilidades de que se les elija consiste en escribir primero el
nombre de cada empleado en un papel y depositarlos todos en una caja. Después de mezclar
todos los papeles, se efectúa la primera selección tomando uno de la caja sin mirarlo. Se
repite este proceso hasta terminar de elegir la muestra de 52 empleados.
Se asume que una cadena nacional de comidas rápidas desea seleccionar aleatoriamente 5 de
los 50 estados de USA para tomar muestras sobre el gusto de los consumidores. Una muestra
aleatoria simple garantizará que las 50C5=2,118,760 muestras de tamaño 5, tengan la misma
probabilidad de ser utilizadas en el estudio.
Muestreo Estratificado (Stratified Sampling): Subdividimos la población en por lo menos
dos subpoblaciones (o estratos) distintas que comparten categorías (como género, edad,
departamento, tipo de industria, etc.), y luego sacamos una muestra de cada estrato. Se
obtienen mejores resultados cuando los elementos que los forman son lo más parecido
posible.
Muestreo en el que la población se divide en segmentos y se selecciona una muestra
para cada segmento.
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121
Ejemplos:
En una fábrica que consta de 600 trabajadores queremos tomar una muestra de 20. Sabemos
que hay 200 trabajadores en la Sección A, 150 en la B, 150 en la C y 100 en la D.
SECCION
TRABAJADORES
p = 20/600
Selección
A
200
6.666666667
7
B
150
5
5
C
150
5
5
D
100
3.33333333
3
TOTAL
600
20
Por ejemplo, podemos estudiar los gastos en publicidad de las 352 empresas más grandes de
Estados Unidos. Suponga que el objetivo del estudio consiste en determinar si las empresas
con altos rendimientos sobre el capital (una medida de rentabilidad) gastan en publicidad la
mayor parte del dinero ganado que las empresas con un de registro bajo rendimiento o
déficit. Suponga que deseamos seleccionar una muestra de 50 empresas para realizar el
estudio.
Estrato
1
2
3
4
5
Probabilidad
Recuperación
de Capital
30% y más
de 20% a 30%
de 10% a 20%
de 0% a 10%
Déficit
Proporción
Número de Frecuencia
Número
Número
Empresas
Relativa Muestreado Muestreado
8
0.02
1.14
1
35
0.10
4.97
5
189
0.54
26.85
27
115
0.33
16.34
16
5
0.01
0.71
1
352
1.00
50.00
50
Si los tamaños de muestra de los distintos estratos reflejan la población general,
decimos que tenemos un muestreo proporcional.
Muestra que se obtienen al estratificar el marco muestral y luego seleccionar un
número fijo de elementos de cada uno de los estratos pro promedio de una técnica de
muestreo aleatorio simple.
Muestreo Proporcional: Muestra que se obtienen al estratificar el marco muestral y luego
seleccionar de cada estrato un número de elementos en proporción al tamaño de los estratos,
por medio de una técnica de muestreo aleatorio simple.
Cuando se extrae una muestra aleatoria proporcional, el marco muestral se subdivide
en varios estratos y luego de cada estrato se extrae una submuestra. Una forma conveniente
de expresar el concepto de muestreo proporcional es establecer una proporción. Por ejemplo,
“uno de cada 150”, le induce a seleccionar un (1) elemento por cada 150 elementos en el
estrato.
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Muestreo sistemático (Systematic Sampling): Seleccionamos un punto inicial y luego
seleccionamos cada k-ésimo (digamos, cada quincuagésimo) elemento de la población.
La técnica sistemática es fácil de describir y ejecutar; no obstante, conlleva algunos
peligros cuando el marco muestral es repetitivo o de naturaleza cíclica. En estas condiciones,
puede que los resultados no se aproximen a una muestra aleatoria simple.
Este procedimiento de selección es muy útil e implica elegir dentro de una población N
un número n de elementos a partir de un intervalo K. Este último (K) es un intervalo que se
va a determinar por el tamaño de la población y el tamaño de la muestra. De manera que
tenemos que K = N/n, en donde K = un intervalo de selección sistemática, N = la población y
n = la muestra.
Antes de aplicar el muestreo aleatorio sistemático, debe observar con cuidado el orden
físico de la población. Cuando el orden físico se relaciona con la característica de la
población, no debe aplicar el muestreo aleatorio sistemático.
Muestreo por cúmulos o conglomerados (Clusters Sampling):
Muestreo que se obtiene al
muestrear algunas, pero no todas, las subdivisiones posibles que hay dentro de una
población. Estas subdivisiones, denominadas conglomerados, a menudo ocurren de manera
natural dentro de la población.
En el muestreo por conglomerados (o clusters) los elementos de la población primero
se dividen en grupos separados, llamados conglomerados o clusters. Cada elemento
pertenece a uno y sólo un conglomerado. Se toma una muestra aleatoria simple de los
conglomerados. Todos los elementos en cada conglomerado muestreado forman una
muestra.
Este muestreo tiende a proporcionar mejores resultados cuando los elementos dentro
de los conglomerados no son semejantes. Lo ideal es que cada conglomerado sea una
representación, a pequeña escala, de la población completa.
Una de las principales aplicaciones del muestreo por conglomerados es el muestreo de
áreas, en el que los conglomerados son las manzanas de una ciudad u otras zonas bien
definidas. A menudo se emplea para reducir el costo de muestrear una población dispersa
en cierta área geográfica.
Por lo general, precisa tama
Primero dividimos el área de la población en secciones (o cúmulos) y luego
seleccionamos aleatoriamente unas cuantas de esas secciones escogiendo todos los miembros
de las secciones seleccionadas.
Una diferencia importante entre el muestreo por cúmulos y el estratificado es que en el
muestreo por cúmulos se usan todos los miembros de cúmulos seleccionados, mientras que
en el muestreo estratificado se usa una muestra de miembros de cada estrato.
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123
Muestreo de conveniencia o de juicio (Convenience Sampling): Simplemente utilizamos
resultados que ya están disponibles.
Las muestras son elegidas con base en el hecho de que son típicas.
Cuando se obtiene una muestra de juicio, la persona que elabora la muestra elige
unidades que considera representativas de la población. La validez de los resultados de una
muestra de juicio refleja la solidez del juicio del recolector de datos.
Error de muestreo: Es la diferencia entre el resultado de una muestra y el verdadero
resultado de la población; tal error es consecuencia de las fluctuaciones aleatorias de las
muestras.
Error de muestreo: Este error ocurre cuando los datos de una muestra se obtienen, registran o
analizan de forma incorrecta. Tal error es consecuencia de una equivocación y no de una
fluctuación aleatoria y predispuesta, cuando se usa un instrumento de medición defectuoso,
cuando se hacen preguntas predispuestas en una encuesta, cuando mucha gente se niega a
responder o cuando se cometen errores al copiar los datos de la muestra.
Sesgo muestral: Tendencia a favorecer la elección de unos determinados elementos de la
muestra en detrimento de otros.
Este análisis de las muestras conduce a distinguir entre las dos ramas principales del
análisis estadístico: 1) Estadística descriptiva o deductiva, y 2) Estadística inferencial o
inductiva.
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124
Diseño y Dirección de un Estudio Muestral.
Fase I – Planificación
 Identificación y delimitación de la Población a estudiar.
o Enfoque del Estudio:
 Cualitativo.
 Cuantitativo.
 Mixto.
 Selección del Procedimiento de Observación.
o Diseño y Construcción del Instrumento de Medición (Cuestionarios, Escala de
medición de actitudes, Observación, Entrevistas, otros tipos).
o Selección de Instrumentos de Medición.
 Selección de tipo de muestreo.
o Muestreo Aleatorio Simple.
o Muestreo Sistemático.
o Muestreo Estratificado (Estratos = Segmentos = Subpoblaciones).
o Muestreo por Conglomerados (Racimos = Clúster = Secciones = Cúmulos).
o Muestreo de Conveniencia.
o Otros: Muestra de Expertos, Muestra Caso-Tipo, Muestra por cuotas, etc.
 Selección Procedimientos Estadísticos.
o Estimación.
o Selección de Prueba Estadística.
 Determinar el Tamaño necesario de la Muestra.
o Cálculo de la Muestra.
o Viabilidad, Costo y Tiempo.
Fase II – Recolección de Datos.
 Seleccionar las unidades de análisis de la muestra.
 Realizar observaciones.
 Administración del Instrumento de Medición.
o Auto-administrado.
o Por entrevista personal.
o Por entrevista telefónica.
 Validez.
 Confiabilidad o Fiabilidad.
 Objetividad.
Fase III – Análisis de Datos y Conclusiones.
 Selección de los programas estadísticos (Softwares: MegaStat - SPSS – Minitab – SPCXL –
Stata – SPCXL – Otros) para analizar los datos.
 Calcular las estadísticas de la Muestra (Estadísticas Descriptivas).
 Estimar los valores de los parámetros de la población (Puntuales, de intervalos).
 Pruebas de Hipótesis en relación a la Población (Descriptivas, Correlacionales, Causales).
 Análisis paramétrico / Análisis no paramétrico.
 Análisis multivariados.
 Elaboración del Reporte de Resultados.
LAPIN Lawrence L. Statistics for Modern Business. The Dryden Press: 1995.
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones. Edición 2016.
HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and BAPTISTA LUCIO Pilar. Métodos de
la Investigación. Mc Graw Hill. Quinta Edición. 2010.
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125
Fases del Diseño de Investigación.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
Selección y Definición del Tema de Investigación.
a. ¿Qué estudiar?
Planteamiento, formulación y sistematización del Problema de
Investigación.
a. ¿Cuál es la situación actual?
b. ¿Cuáles son las preguntas de investigación que deben ser
respondidas?
Objetivos de Investigación.
i. ¿Qué propósitos tiene la investigación que se
plantea?
b. Objetivos Generales.
c. Objetivos Específicos
Justificación de la Investigación (Teoría, Metodología, Práctica).
a. ¿Cuáles son los motivos para hacer el estudio propuesto?
Marco de Referencia (Teórico Conceptual).
a. ¿Quiénes han investigado anteriormente sobre el tema
planteado?
b. ¿Qué hay escrito al respecto?
Hipótesis de Trabajo.
a. ¿Qué se pretende probar?
Aspectos Metodológicos de la Investigación.
i. ¿Cómo se va a realizar la investigación??
b. Tipo de Estudio (Exploratorio, Descriptivo, Explicativo).
c. Método de Investigación (Observación, Inducción,
Deducción, Análisis, Síntesis).
d. Técnicas y Procedimientos para la recolección de la
información (Encuestas, etc.)
e. Tratamiento que se va a dar a la información.
Tabla de Contenido de la Investigación.
Bibliografía
a. ¿A qué fuentes escribas se va a referir el investigador?
Cronograma (tiempo para realizar la Investigación).
a. ¿Cuánto tiempo va a emplear en hacer el estudio?
Presupuesto (Costos de la Investigación).
a. ¿Qué recursos se necesitan?
HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and BAPTISTA LUCIO Pilar. Métodos de
la Investigación. Mc Graw Hill. Quinta Edición. 2010.
MENDEZ Carlos. METODOLOGIA Guía para elaborar diseños de investigación en ciencias económicas,
contables y administrativas. Mc Graw Hill: Segunda Edición, 2001.
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126
Elementos de una Propuesta de Investigación.
1. Comunicación de Propuesta.
2. Antecedentes.
3. Planteamiento del Problema y Objetivos de Investigación.
4. Estrategia y Metodología de Investigación.
a. Sitio y Acceso.
b. Perfil Socioeconómico.
c. Potencial del mercado para el proyecto de investigación.
Metodología
a. Recolección de datos secundarios.
b. Recolección de datos primarios.
c. Técnicas de análisis de datos
5. Naturaleza del Reporte Final.
a. Introducción.
b. Resumen para la Administración.
c. Reconocimiento de las limitaciones del estudio.
d. Descripción de la Metodología.
e. Presentación de Resultados.
f. Conclusiones y Recomendaciones.
g. Apéndice
6. Presupuesto y Programa.
a. Costos directos (materiales y provisiones)
b. Costos directos (otro personal)
c. Cuota de consultoría
d. Costo Total
e. Términos
f. Marco de tiempo.
7. Antecedentes de los consultores.
DAVIS Duane. Investigación en Administración para la toma de decisiones. International
Thomson Editores: Quinta Edición. 2001.
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127
El Proceso de Investigación de Mercados.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Identificación del Problema y establecimiento de los Objetivos de la Investigación.
Creación del Diseño de la Investigación.
Elección del Método de Investigación.
Selección del Procedimiento de Muestreo.
Recabar Datos.
Análisis de los Datos.
Redacción y Presentación del Informe.
a. Página de título (Presentación).
b. Contenido.
c. Antecedentes y Objetivos.
d. Resumen Ejecutivo.
e. Metodología.
f. Hallazgos.
g. Apéndices.
Seguimiento.
El Proceso de Medición.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Identificar el concepto de interés (Utilizar el concepto para).
Desarrollar un constructo (Que se utiliza para crear).
Una definición constitutiva (Que permite que un investigador desarrolle).
Una definición operacional (Que permite que un investigador cree).
Una escala de medición (Que requiere que el investigador).
Evalúe la confiabilidad y la validez de la escala (Si la evaluación es satisfactoria, el
investigador).
Utiliza la Escala (Lo que conduce a).
Los hallazgos de la investigación.
MCDANIEL Carl and GATES Roger. Investigación de Mercados. CENGAGE Learning: Octava Edición. 2011.
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128
Estimados y Tamaño de Muestra (Estimates and Sample Sizes)
Estadística Inferencial: Implica la utilización de una muestra para extraer alguna inferencia o
conclusión sobre la población correspondiente.
- Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muéstrales, efectúa
estimaciones, decisiones, predicciones y otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de
datos.
La estadística es inferencial cuando se derivan conclusiones generales para un conjunto
de datos más amplio a partir de la información proporcionada por los datos estudiados.
Las dos aplicaciones principales de la estadística inferencial implican el uso de datos
de muestra para (1) estimar el valor de un parámetro de población y (2) llegar a una
conclusión acerca de una población.
Estimador (Estimator): es una estadística de muestra (como la media de muestra) que se usa
para aproximar un parámetro de población.
Existen dos tipos de estimadores que se utilizan normalmente:
- Estimador puntual
- Estimador por intervalo
Estimado puntual (Point Estimate): es un valor individual (o punto) que se usa para
aproximar un parámetro de población.
Estimador Puntual: utiliza un número único o valor para localizar una estimación del
parámetro.
La media de muestra es el mejor estimado de la media de población.
Podemos decir que la media de la muestra es un estimador no predispuesto de la
media de la población, lo que quiere decir que la distribución de las medias de muestra tiende
a centrarse alrededor del valor de la media de la población. (Es decir, las medias de muestra
no tienden a sobreestimar sistemáticamente el valor de , y tampoco tienden a subestimar
sistemáticamente dicho valor. En vez de ello, tienden a centrarse en el valor de  misma).
Estimación por intervalo (Interval Estimate): especifica el rango dentro del cual está el
parámetro desconocido.
Intervalo de Confianza (Confidence internal): denota un rango dentro del cual puede
encontrarse el parámetro.
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129
Es una gama (o un intervalo) de valores que probablemente contiene el valor
verdadero del parámetro de población.
Un intervalo de confianza se asocia a un grado de confianza, que es una medida de la
certeza que tenemos de que nuestro intervalo contiene el parámetro de población.
Nivel de confianza - grado o coeficiente de confianza (Level of Confidence or Confidence
Coefificient): es la probabilidad 1- (a menudo expresada como el valor porcentual
equivalente) de que el intervalo de confianza contiene el verdadero valor del parámetro.
Existen tres niveles de confianza relacionados comúnmente con los intervalos de
confianza: 99, 95 y 90%, denominados coeficientes de confianza.
Valor Alfa : Es la probabilidad de error o la probabilidad de que un intervalo dado no
contenga la media poblacional desconocida.
Valor Crítico /2 (Critical Value): Es el número que está en la frontera que separa las
estadísticas de muestra que probablemente ocurrirán, de aquellas que probablemente no
ocurrirán. Es un puntaje  con la propiedad de que separa un área de /2 de la cola derecha
de la distribución normal estándar.
Margen de Error  (Margin of Error): Es la máxima diferencia probable (con una
probabilidad de 1-) entre la media de muestra observada y el verdadero valor de la media
de población . El margen de error también se denomina error máximo de la estimación y
puede obtenerse multiplicando el valor crítico y la desviación estándar de las medias de
muestras.
= /2 * /n
= /2 * x'
Intervalo de confianza para estimar  (media poblacional real desconocida) cuando  es
conocido.
I.C. para estimar  = X'  
Caso I.
Para estimar el gasto promedio de los clientes en el McDonald's local, los estudiantes de
Métodos Cuantitativos II toman una muestra de 200 clientes y encuentran un gasto promedio
de US$5.67, con una desviación estándar poblacional de US$1.10. ¿Cuál es el intervalo de
confianza del 95% para los gastos promedio de todos los clientes? Interprete sus resultados.
Datos:
=/2*/n=1.96*1.10 /200=0.15
n=200
N.C.=95%
I.C. para estimar  = X'  
x'=US$5.67 I.C.=?
= US$5.670.15
=US$1.10
= US$5.52    US$5.82
Interpretación del Caso:
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130
Los estudiantes poseen un 95% de confianza de que la media poblacional desconocida
del gasto de los clientes del McDonal's evaluados se encuentra entre el intervalo US$5.52   
US$5.82.
Si se construyen todos los NCn intervalos de confianza, el 95% de ellos contendrá la
media poblacional desconocida. Esto por supuesto significa que el 5% de todos los intervalos
estaría errado - no contendrían la media poblacional, el Valor alfa .
Calculo del  cuando se desconoce  (desviación estándar poblacional):
Si n > 30, podemos sustituir  de la fórmula del  por la desviación estándar de la
muestra s.
= /2 * s/n
= /2 * sx'
Procedimiento para construir un intervalo de confianza para  (basado en una muestra
grande: n > 30).
1. Encuentre el valor critico /2 que corresponda al grado de confianza deseado.
2. Evalúe el margen de error  = /2 * x'. Si se desconoce la desviación estándar de la
población , use el valor de la desviación estándar de la muestra s, siempre que n > 30.
3. Con el valor del margen de error calculado  y el valor de la media de muestra X', obtenga
los valores de X'- y X'+. Sustituya estos valores en el formato general del intervalo de
confianza:
X'-    X'+
 = X'  
(X'-,X'+)
4. Redondee los valores resultantes aplicando la regla de redondeo.
Regla de Redondeo para intervalos de confianza empleados para estimar .
1. Si usa el conjunto de datos original para construir un intervalo de confianza, redondee los
límites del intervalo de confianza a una posición decimal más que las empleadas en el
conjunto de datos original.
2. Si desconoce el conjunto de datos original y solo usa las estadísticas resumidas (n,x',s),
redondee los límites del intervalo de confianza de acuerdo al mismo número de posiciones
decimales que se usan para la media de muestra.
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131
Justificación: La idea básica en que se apoya la construcción de intervalos de confianza tiene
que ver con el teorema del límite central, que indica que en el caso de muestras grandes (n >
30), la distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal con media  y
desviación estándar /n. El formato de los intervalos de confianza en realidad es una
variación de la ecuación:
 = (X' - )/(/n)
X' -  =  (/n)
-  =  (/n) - X' (-1)
 = X' -  (/n)
Precisión: Un intervalo estrecho ofrece mayor precisión, aunque la probabilidad de que
contenga  se reduce.
Caso I.
Una muestra consiste en 75 televisores adquiridos hace varios años.
Los tiempos de
reemplazo de esos televisores tienen una media de 8.2 años y una desviación estándar de 1.1
años (basados en datos de "Getting Things Fixed", Consumer Reports). Construya un
intervalo de confianza del 90% para el tiempo de reemplazo medio de todos los televisores de
esa época.
Caso II.
Utilice el grado de confianza y los datos de muestra dados para determinar (a) el margen de
error y (b) el intervalo de confianza para la media de la población .
1. Estaturas de mujeres: confianza del 95%; n=50, x'=63.4 pulgs., s=2.4 pulgs.
2. Promedios de calificaciones: confianza del 99%; n=75, x'=2.76, s=0.88.
3. Puntajes en una prueba: confianza del 90%; n=150, x'=77.6; s=14.2.
Ejercicios de la Sección 1 al 10 págs. 175 y 176.
Estimación de una proporción de población.
Las decisiones dependen con frecuencia de parámetros que son binarios, parámetros
con solo dos posibles categorías dentro de las cuales pueden clasificarse las respuestas. En
este evento, el parámetro de interés es la proporción poblacional.
Tanto las proporciones como las probabilidades se expresan en forma decimal o fraccionaria.
Al trabajar con porcentajes, los convertimos en proporciones omitiendo el signo de por ciento
y dividiendo entre 100. Por ejemplo, la tasa del 48% de personas que no compran libros
puede expresarse en forma decimal como 0.487.
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Estimado puntual para la proporción de población.
La proporción de muestra p es el mejor estimado puntual de la proporción de
población.
p = x/n
Proporción de muestra de x éxitos en una muestra de tamaño n.
Intervalo de confianza para la proporción poblacional.
Muchos asuntos de negocios tratan la proporción de la población . Una firma de
marketing puede querer averiguar si un cliente (1) compra o (2) no compra el producto. Un
banco con frecuencia debe determinar si un depositante (1) pedirá o (2) no pedirá un crédito
para auto. Muchas firmas deben determinar la probabilidad de que un proyecto para
presupuestar capital (1) generara o (2) no generara un rendimiento positivo.
Repasando:
p=
p = denota probabilidad de tener éxito en uno de los n ensayos.
q = denota la probabilidad de fracasar en uno de los n ensayos.
p+q=1
p=1-q
q=1-p
n > 5
np > 5
n(1-) > 5
nq > 5
Si n y n(1-) son mayores que 5, la distribución de las proporciones muéstrales será
normal y la distribución muestral de la proporción muestral tendrá una media igual a la
proporción poblacional  y error estándar de:
Error estándar de la distribución muestral
de las proporciones muéstrales:
p = (1-)/n = pq/n
Estimación del Error estándar de la distribución muestral de las proporciones muéstrales:
sp = p(1-p)/n = pq/n
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133
Margen de error del estimado de la proporción de la población:
E = ()(pq/n)
Regla de redondeo para estimados de intervalo de confianza para la proporción de
población
Redondee los límites del intervalo de confianza a tres dígitos significativos.
Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional.
I.C. para estimar la
proporción poblacional
=pE
Caso I.
En una encuesta de 1068 estadounidenses, 673 dijeron que tenían contestadoras
telefónicas (basados en datos de International Mass Retail Association, informados en USA
Today). Utilizando estos resultados de muestra, determine:
a. El estimado puntual de la proporción de la población de todos los estadounidenses que
tienen contestadora telefónica.
b. El estimado de intervalo del 95% de la proporción de todos los estadounidenses que tienen
contestadora telefónica.
a. Estimado puntual para la proporción de población.
p = x/n = 673/1068 = 0.630
b. Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional.
E = ()(pq/n)
E = 1.96 ((0.630)(0.370)/1068) = 0.0290
I.C. para estimar la
proporción poblacional
=pE
0.630 - 0.0290 <  < 0.630 + 0.0290
0.601 <  < 0.659
Este resultado a menudo se informa en el formato siguiente: "Se estima que el porcentaje de
los estadounidenses que tiene contestadora telefónica es del 63%, con un margen de error de
más o menos 2.9 puntos porcentuales. También debe informarse el nivel de confianza, pero
eso casi nunca se hace en los medios de comunicación.
EJERCICIOS DE LA SECCION 20 AL 25 - PAG. 182.
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134
Distribución t de Student
Los factores como el costo y el tiempo a menudo limitan severamente el tamaño de las
muestras, y es posible que la distribución normal no sea una aproximación adecuada a la
distribución de las medias de muestras pequeñas.
En muestras pequeñas, la media de muestra X' generalmente es el mejor estimado
puntual de la media de la población .
Es posible construir intervalos de confianza para muestras pequeñas utilizando la
distribución normal con el mismo margen de error, siempre que la población original tenga
una distribución normal y se conozca la desviación estándar  de la población (condición que
casi nunca se cumple en aplicaciones reales).
Si tenemos una muestra pequeña (n30) y queremos construir un intervalo de
confianza pero no conocemos , a veces podemos usar la Distribución t de Student ideada
por Willian Gosset (1876-1937). Gosset era un empleado de la cervecería Guiness que
necesitaba una distribución susceptible de usarse con muestras pequeñas. La cervecería
donde trabajaba no permitía la publicación de los resultados de investigaciones, así que
Gosset publico bajo el pseudónimo Student.
Condiciones para usar la Distribución t de Student.
1.- La muestra es pequeña (n30).
2.- Se desconoce .
3.- La población padre tiene una distribución esencialmente normal. (Dado que a menudo se
desconoce la distribución de la población padre, la estimamos construyendo un histograma
con datos de muestra.)
Propiedades importantes de la Distribución t de Student.
1.- La distribución t de Student es diferente para los diferentes tamaños de muestra. (Ver
Figura 7.3 en la Pág. 177).
2.- La distribución t de Student tiene la misma forma general de campana simétrica que la
distribución normal estándar, pero refleja la mayor variabilidad (con distribuciones más
amplias) que cabe esperar cuando la muestra es pequeña.
3.- La distribución t de Student tiene una media t=0 (así como la distribución normal estándar
tiene una media de Z=0).
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135
4.- La desviación estándar de la distribución t de Student varia con el tamaño de la muestra,
pero es mayor que 1 (a diferencia de la distribución normal estándar, que tiene =1).
Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene una media de cero, es simétrica
respeto a la media y oscila entre - y + . Sin embargo, mientras que la distribución Z tiene
una varianza de ²=1, la varianza de la distribución t es mayor que 1.
5.- A medida que aumenta el tamaño de muestra n, la distribución t de Student se acerca más
a la distribución normal estándar. Con valores de n > 30, las diferencias son tan pequeñas
que podemos utilizar los valores críticos de z en lugar de crear una tabla mucho más grande
de valores críticos de t.
Varianza de la distribución t
²= (n-1)/(n-3)
La varianza depende de los grados de libertad (g.l.), que definimos como el número de
observaciones que se pueden escoger libremente. Es el número de observaciones menos el
número de restricciones impuestas sobre las observaciones, en donde una restricción es algún
valor que tales observaciones deben poseer.
Grados de libertad.
El número de grados de libertad de un conjunto de datos corresponde al número de
puntajes que puede variar después de haber impuestos ciertas restricciones a todos los
puntajes.
Es el número de observaciones menos el número de restricciones impuestas sobre tales
observaciones.
g.l. = n - 1
Podría parecer un poco extraño que, con una población distribuida normalmente, a
veces utilicemos la distribución t para encontrar valores críticos, pero cuando se desconoce 
el uso de s de una muestra pequeña incorpora otra fuente de error. A fin de mantener el grado
de confianza deseado, compensamos la variabilidad adicional ensanchando el intervalo de
confianza mediante un proceso que sustituye el valor crítico Z por el valor crítico más grande
de t.
El estadístico t
t = (X'-)/(s/n)
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136
Caso I.
Cuando se usan pruebas destructivas, los elementos de una muestra se destruyen durante el
proceso de probarlos. Las pruebas de choques de automóviles son un ejemplo muy costoso
de pruebas destructivas.
Si usted estuviera encargado de tales pruebas de choque, no querría decirle a su
supervisor que necesita chocar y destruir más de 30 automóviles para poder usar la
distribución normal. Supongamos que usted ha probado 12 automóviles deportivos Dodge
Viper (Precio d lista actual: US$59,300 dólares) chocándolos en diversas condiciones que
simulan colisiones representativas. Un análisis de los 12 automóviles dañados da como
resultado costos de reparación cuya distribución al parecer tiene forma de campana, con una
media de X'=US$26,227 y una desviación estándar de s=$15,873 (basado en datos de Highway
Loss Data Institute). Determine lo siguiente.
a) El mejor estimado puntual de la media de población , el costo de reparación medio de
todos los Dodge Viper implicados en colisiones.
b) El estimado de intervalo del 95% de , el costo de reparación medio de todos los Dodge
Viper implicados en colisiones.
Solución:
a) El mejor estimado puntual de la media de población  es el valor de la media de muestra
X'. En este caso, entonces, el mejor estimado puntual de  es US$26,227 dólares.
b) DATOS:
n = 12 automóviles deportivos Dodge Viper
X'=US$26,227 dólares costo de reparación
s =US$15,873 dólares
N.F.= 95% ===> t= ?
I.C. para  = ?
Dada las condiciones anteriores:
1.- La muestra es pequeña (n30).
2.- Se desconoce .
3.- La población padre tiene una distribución esencialmente normal. (Dado que a menudo se
desconoce la distribución de la población padre, la estimamos construyendo un histograma
con datos de muestra.)
podemos usar la Distribución t de Student:
g.l. = grados de libertad
g.l. = n-1 = 12-1 = 11
usando la tabla de la distribución t (Pág. 606) con los g.l.=11 y N.C.=95% cuyas colas
equivalen a 5% (0.05) determinamos el valor critico t.
g.l.=11; I.C. con N.C.=95% (0.950); dos colas=5% (0.050) ==> t=2.201
donde E = t (s/n)
E = 2.201 (15,873/12) = US$10,085.29
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 136
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137
El intervalo de confianza es:
X' - E <  < X' + E
US$26,227-US$10,085.29<  < US$26,227+US$10,085.29
US$16,142 <  < US$36,312
[Este resultado también podría expresarse en el formato de =US$26,227US$10,085.29 o
como (US$16,142, US$36,312).]
Con base en los resultados de muestra dados, tenemos un 95% de confianza en que los
limites de USD16,142 y USD36,312 contendrán realmente el valor de la media de población .
Estos costos de reparación parecen muy altos. Efectivamente, el Dodge Viper es actualmente
el automóvil más costoso de reparar después de una colisión. Tal información es importante
para compañías que aseguran Dodge Vipers contra choques.
Caso II. Utilice el grado de confianza y los datos de muestra dados para determinar (a) el
margen de error y (b) el intervalo de confianza para la media de la población .
1) Estaturas de mujeres: confianza del 95%; n=10, x'=63.4 pulgadas, s=2.4 pulgadas.
2) Promedios de calificaciones: confianza del 99%; n=15, x'=2.76, s=0.88
3) Puntajes en una prueba: confianza del 90%; n=16, x'=77.6, s=14.2
4) Salarios de policías: confianza del 92%; n=19, x'=$23,228, s=$8,779
Caso III.
Ejercicios 12 al 18 Págs. 179-180 y Analizar figura 7.4 Pág. 179.
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138
Determinación del tamaño apropiado de la muestra (Sample Sizes)
El tamaño de la muestra juega un papel importante al determinar la probabilidad de
error así como en la precisión de la estimación.
Una vez se ha seleccionado el nivel de confianza, los factores importantes influyen en
el tamaño muestral:
(1) la varianza de la población ² y
(2) el tamaño del error tolerable que el investigador está dispuesto a aceptar.
Tamaño de la muestra para estimar .
 = (X' - )/x'
 = (X' - )/(/n)
X' -  =  (/n)
n(X' - ) = 
n = /(X' - )
n = ²²/(X' - )²
n = [/E]²
E = Error de Muestreo
El tamaño de la muestra debe ser entero.
Regla de redondeo para el tamaño de muestra n.
Al calcular el tamaño de muestra n, si la formula anterior no produce un numero
entero, siempre debe aumentarse el valor de n al siguiente numero entero mayor.
El tamaño de la muestra no depende del tamaño de la población (N); el tamaño de
muestra depende del grado de confianza deseado, el margen de error deseado y del valor de la
desviación estándar .
La duplicación del margen de error hace que el tamaño de la muestra requerida se
reduzca a la cuarta parte de su valor original. Por otro lado, si se reduce a la mitad el
margen de error se cuadruplicara el tamaño de la muestra. Lo que esto implica es que si
queremos resultados más exactos, es preciso aumentar sustancialmente el tamaño de la
muestra.
Dado que las muestras grandes generalmente requieren más tiempo y dinero, a menudo
es necesario efectuar un trueque entre el tamaño de la muestra y el margen de error E.
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139
Caso I.
Un economista desea estimar los ingresos medios durante el primer año de trabajo de un
graduado universitario que, en un alarde de sabiduría, tomo un curso de estadística.
¿Cuantos de tales ingresos es necesario encontrar si queremos tener una confianza del 95% en
que la media de muestra este a menos de US$500 dólares de la verdadera media de la
población? Suponga que un estudio previo revelo que, para tales ingresos, =US$6250.
DATOS:
N.C.=95% ===> Z=1.96
Queremos que la media de la muestra este dentro de un margen de US$500 de la media de
la población.
E=US$500
=US$6,250
n = ²²/(X' - )²
n = [(1.96)²*(6250)²]/(500)²=
n = [/E]²
n = [(1.96 * 6250)/500]²=
Caso II.
¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra para que proporcione una estimación del
90% del número promedio de graduados de las universidades de la nación con un error de
2000 estudiantes si una muestra piloto reporta que s=8,659?
Caso III.
Nielsen Media Research quiere estimar la cantidad media de tiempo (en horas) que los
estudiantes universitarios de tiempo completo dedican a ver televisión cada día entre
semana. Determine el tamaño de muestra necesario para estimar esa media con un margen
de error de 0.25 horas (15 minutos). Suponga que se desea un grado de confianza del 96%, y
que un estudio piloto indico que la desviación estándar se estima en 1.87 horas.
¿QUE PASA SI SE DESCONOCE ?
1.- Podemos utilizar la REGLA PRACTICA DE INTERVALO.
En conjuntos de datos representativos, el intervalo del conjunto tiene una anchura
aproximada de cuatro desviaciones estándar (4s), así que la desviación estándar se puede
aproximar de la siguiente manera:
desviación estándar  intervalo/4
  intervalo/4
Esta expresión proporciona una estimación burda de la desviación estándar, si
conocemos los puntajes máximo y mínimo. Si conocemos el valor de la desviación estándar,
podemos usarlo para entender mejor los datos, obteniendo estimaciones burdas de los
puntajes máximo y mínimo como se indica.
2.- Realizar un estudio piloto iniciando el proceso de muestreo. Con base en la primera
recolección de por lo menos 31 valores de muestra seleccionados al azar, calculamos la
desviación estándar de la muestra s y la usamos en lugar de . Este valor puede refinarse a
medida que se obtengan más datos de muestra.
mínimo  (media) - 2 * (desviación estándar)
máximo  (media) + 2 * (desviación estándar)
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140
Caso I.
Si razonamos que los precios de los libros de textos universitarios típicamente varían entre
US$10 y US$90 dólares.
Usted planea estimar el precio de venta medio de un libro de texto universitario. ¿Cuántos
libros de textos deberá muestrear si desea tener una confianza del 95% en que la media de la
muestra estará a menos de US$2 dólares de la verdadera media de la población ?
DATOS:
  intervalo/4
  (US$90-US$10)/4  US$20
N.C.=95% ===> Z=1.96
E=US$2 dólares
n = ²²/(X' - )²
n = [(1.96)²*(20)²]/(2)²=
n = [/E]²
n = [(1.96 * 20)/2]²=
Caso II.
Boston Marketing Company lo acaba de contratar para realizar una encuesta con el fin de
estimar la cantidad media de dinero que los asistentes al cine de Massachussets gastan (por
película). Primero use la regla práctica del intervalo para hacer un estimado burdo de la
desviación estándar de las cantidades gastadas. Es razonable suponer que las cantidades
típicas varían entre US$3 dólares y unos US$15 dólares. Luego utilice esa desviación estándar
para determinar el tamaño de muestra que corresponde a una confianza del 98% y a un
margen de error de 25 centavos de dólar.
Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional.
Si despejamos a "n" de la expresión del margen de error E.
E = ()(pq/n)
E² = ()²(pq/n)²
E² = ()²(pq/n)
E²n = ()²(pq)
n = [()²(pq)]/E²
Cuando se puede obtener un estimado razonable de p utilizando muestras previas, un estudio
piloto o los conocimientos de algún experto se utiliza la formula anterior.
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141
Cuando no se conoce el estimado puntual p:
n = [()²* 0.25]/E²
Si no se puede conjeturarse un valor, puede asignarse el valor de 0.5 tanto a p como a q, con
lo que el tamaño de muestra resultante será al menos tan grande como necesita ser. La
justificación para la asignación de 0.5 es la siguiente: el valor más alto posible del producto
p*q es de 0.25, y ocurre cuando p=0.5 y q=0.5 como se puede observar en la siguiente tabla que
usted debe completar:
p
q
p*q
0.1
0.9
0.09
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Caso I.
Las compañías de seguros se están preocupando porque el creciente uso de teléfonos
celulares está teniendo como resultado un mayor número de accidentes automovilísticos, y
están considerando implementar tarifas más altas para conductores que usan tales aparatos.
Queremos estimar, con un margen de error de tres puntos porcentuales, el porcentaje de
conductores que hablan por teléfono mientras conducen. Suponiendo que queremos tener
una confianza del 95% en nuestros resultados, ¿cuantos conductores deberán encuestar?
a. Supongamos que tenemos un estimado de p basado en un estudio previo que indicó que el
18% de los conductores habla por teléfono (basados en datos de la revista Prevention).
b. Suponga que no tenemos información previa que sugiera un posible valor de p.
SOLUCION:
a) DATOS:
p=0.18
q=0.82
N.F.=95% ==> Z=1.96
E=0.03 = tres puntos porcentuales
n = [()²(pq)]/E²
n = [(1.96)²(0.18*0.82]/(0.03)²
n=
b) DATOS:
N.F.=95% ==> Z=1.96
E=0.03 = tres puntos porcentuales
n = [()²* 0.25]/E²
n = [(1.96)²* 0.25]/(0.03)²
n=
Si comparamos estos dos resultados de tamaño de muestra vemos que, si no tenemos
conocimiento de un estudio anterior, se requiere una muestra más grande para obtener los
mismos resultados que cuando se puede estimar el valor de p.
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142
Caso II.
Una compañía de comunicaciones está considerando un proyecto para prestar servicio
telefónico de larga distancia. Se le pide a usted realizar un sondeo de opinión para estimar el
porcentaje de los consumidores que está satisfecho con su servicio telefónico de larga
distancia actual. Usted quiere tener una confianza del 90% en que su porcentaje de muestra
estará a menos de 2.5 puntos porcentuales del valor real para la población, y un sondeo
sugiere que el porcentaje en cuestión anda alrededor del 85%. ¿Qué tan grande deberá ser la
muestra?
Caso III.
Planeta Azul proporciona agua embotellada, en contenedores de 15 galones, a las casas de un
sector del Distrito Nacional. El gerente desea estimar el número promedio de contenedores
que una casa típica utiliza cada mes. Se toma una muestra de 75 casas y se registra el número
de contenedores. La media es 3.2, con una desviación de 0.78.
a. ¿Qué revelaría un intervalo de confianza del 92%?
b. Sin embargo, el gerente siente que el intervalo anterior es demasiado amplio.
¿Cuántas casas deben tomar como muestra para estar 99% seguro de que el intervalo
no estará errado en más de 0.10 contenedores?
c. Se selecciona una muestra pequeña de 10 casas para estimar el número promedio de
miembros de la familia por casa. Los resultados son 1,3,4,7,2,2,3,5,6 y 6 personas en
cada casa. ¿Cuáles son los resultados de un intervalo de 99% para el número
promedio de miembros de la familia?
d. De las 75 casas de la muestra, 22 tienen ablandadores de agua en casa. ¿Cuál es el
estimado del intervalo del 95% de la proporción de todas las casas del sector que tiene
ablandadores?
e. Si el intervalo oscila entre el 18.8% y el 39.2% de todas las casas que tienen
ablandadores y carece de precisión, ¿qué tan grande debe tomarse una muestra para
producir un intervalo de sólo el 10%?
Caso IV.
Se pidió a 200 personas de una muestra identificar su principal fuente de información de
noticias; 110 dijeron que esa fuente es los noticiarios televisivos.
a. ¿Cuál es el estimado puntual de la proporción poblacional?
b. Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción de las personas en la
población que consideran a la televisión como su principal fuente de información
noticiosa. Interprete los resultados.
a. ¿Qué tamaño debe tener una muestra para estimar la proporción de la población, con
un margen de error igual a 0.05 y un nivel de confianza de 95%?
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143
Caso V.
Al ensayar un nuevo método de producción, se seleccionaron 18 empleados al azar, y se les
pidió lo probaran. La tasa de producción promedio muestral para los 18 empleados fue 80
partes por hora, y la desviación estándar muestral fue de 10 partes por hora. Suponiendo que
la población tiene una distribución de probabilidad normal.
a. Determine un intervalo de confianza de 90% de la tasa de producción promedio
poblacional con el nuevo método, Interprete los resultados y Represente
gráficamente.
b. Construya un intervalo de confianza de 95% de la tasa de producción promedio
poblacional con el nuevo método, Interprete los resultados y Represente
gráficamente.
c. Construya un intervalo de confianza de 99% de la tasa de producción promedio
poblacional con el nuevo método, Interprete los resultados y Represente
gráficamente.
d. ¿Cuál es estimado puntual de la tasa de producción promedio poblacional con el
nuevo método?
Caso VI.
Media Metrix, Inc., vigila a los usuarios de Internet en siete países: Australia, Gran Bretaña,
Canadá, Francia, Alemania, Japón y Estados Unidos. Según las cifras de medición recientes,
los usuarios estadounidenses ocupan el primer lugar en el uso de Internet con un promedio
de 13 horas por mes. Suponga que en un estudio de seguimiento en el participaron 145
usuarios de Internet canadienses, la media muestral fue de 10.8 horas por mes y la desviación
estándar muestral fue de 9.2 horas.
a. Formule las hipótesis nula y alternativa que servirán para determinar si los datos de la
muestra sustentan la conclusión de que los usuarios de Internet canadienses tienen una
media poblacional menor que el promedio estadounidenses de 13 horas por mes.
b. Con un nivel de significancia de 0.01 ¿Cuál es el valor crítico para comprobar la
estadística de prueba, y ¿cuál es la regla de rechazo?
c. ¿Basado en la estadística de prueba y regla de decisión la información es correcta?
d. Interprete los resultados, de sus conclusiones.
e. Represente gráficamente la situación.
Caso VII.
Una compañía de comunicaciones esta considerando un proyecto para prestar servicio
telefónico de larga distancia. Se le pide a usted realizar un sondeo de opinión para estimar el
porcentaje de los consumidores que esta satisfecho con su servicio telefónico de larga
distancia actual. Usted quiere tener una confianza del 90% en que su porcentaje de muestra
estará a menos de 2.5 puntos porcentuales del valor real para la población, y un sondeo
sugiere que el porcentaje en cuestión anda alrededor del 85%. ¿Que tan grande deberá ser la
muestra?
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144
Estimadores y Estimaciones.
Un estimador es el proceso mediante el cual se obtiene la estimación. Una estimación
es el resultado numérico del estimador.
Estimador: es una estadística de muestra (como la media de muestra) que se usa para
aproximar un parámetro de población.
Existen dos tipos de estimadores que se utilizan normalmente:
- Estimador puntual
- Estimador por intervalo
Estimado puntual: es un valor individual (o punto) que se usa para aproximar un parámetro
de población.
Estimador Puntual: utiliza un número único o valor para localizar una estimación del
parámetro.
La media de muestra es el mejor estimado de la media de población.
Podemos decir que la media de la muestra es un estimador no predispuesto de la
media de la población, lo que quiere decir que la distribución de las medias de muestra tiende
a centrarse alrededor del valor de la media de la población. (Es decir, las medias de muestra
no tienden a sobreestimar sistemáticamente el valor de , y tampoco tienden a subestimar
sistemáticamente dicho valor. En vez de ello, tienden a centrarse en el valor de  misma).
Estimación por intervalo: especifica el rango dentro del cual está el parámetro desconocido.
Intervalo de Confianza: denota un rango dentro del cual puede encontrarse el parámetro.
Los Estimadores deben ser:
1) Insesgados
2) Eficientes
3) Consistentes
4) Suficientes
Estimador Insesgado. Un estimador es insesgado si la media de su distribución muestral es
igual al parámetro correspondiente.
E(') = 
 = al parámetro que se intenta estimar
'= estimador
E(X') = X" = 
E(X') -  = 0
X"= estándar de las medias muéstrales.
Si E(X') -   0 , si excede  es un estimador sesgado (hacia arriba).
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145
REPASO:
Distribuciones de Datos Sesgadas.
Una distribución de datos esta sesgada, si no es simétrica y se extiende más hacia un
lado que hacia otro.
Sesgo describe la falta de simetría en una distribución.
Los datos sesgados a la izquierda se dice que tienen sesgo negativo; la media y la
mediana están a la izquierda de la moda. Generalmente tiene la media a la izquierda de la
mediana.
Sesgo negativo describe distribuciones asimétricas en la que la mediana excede a la media; la
cola de la distribución es hacia los valores bajos.
Los datos sesgados a la derecha se dice que tienen sesgo positivo; la media y la
mediana están a la derecha de la moda.
Sesgo positivo describe distribuciones asimétricas en las que la media excede la mediana; los
valores se alargan hacia los valores altos.
En ambos casos, la moda es por definición la observación que ocurre con mayor
frecuencia, por tanto esta en el pico de la distribución.
Coeficiente de Sesgo de Pearson.
P = 3 (Media - Mediana)
s
Si P < 0, los datos están sesgados a la izquierda.
Si P > 0, los datos están sesgados a la derecha.
Si P = 0, los datos están distribuidos normalmente.
Estimador Eficiente.
La eficiencia de un estimado depende de su varianza.
'1 y '2 son dos estimadores insesgados, pero será un estimador eficiente aquel cuya
varianza en muestreo repetidos con un tamaño muestral dado es menor.
Varianza de la Distribución Muestral de las Medias Muéstrales:
²x'=(X'-X")²/K
Si '1 es un estimador eficiente en relación a '2, la varianza de la distribución muestral
de '1 es menor que la de '2. Los valores posibles para '2 están más dispersos.
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Estimador consistente.
Un estimador es consistente si, a medida que n aumenta, el valor del estadístico se
aproxima al parámetro.
Para que un estimado sea consistente, debe ser insesgado y su varianza debe
aproximarse a cero a medida que n aumenta. La varianza de la distribución muestral de las
medias muéstrales es ²x' es ²/n.
A medida que n aumenta, ²x' se aproximara a cero. Por tanto, se puede decir que X'
es un estimador consistente de .
Estimador suficiente.
Un estimador es suficiente si utiliza toda la información relevante sobre el parámetro
contenido en la muestra. Es decir, ningún otro estimador puede proporcionar más
información sobre el parámetro.
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Prueba de Hipótesis (Hypothesis Testing - STOH Statistical Test of Hipothesis)
Las hipótesis indican lo que estamos buscando o tratando de probar y pueden definirse como
explicaciones tentativas del fenómeno investigado formuladas a manera de proposiciones.
Las hipótesis no necesariamente son verdaderas, pueden o no serlo, pueden o no comprobarse
con hechos. Son explicaciones tentativas, no los hechos en sí.
Dentro de la investigación científica, las hipótesis son proposiciones tentativas acerca de las
relaciones entre dos o más variables y se apoyan en conocimientos organizados y sistematizados.
Una hipótesis en el contexto de la estadística inferencial es una proposición respecto a uno o
varios paramétros, y lo que el investigador hace por medio de la Prueba de Hipótesis es determinar si la
hipótesis poblacional es congruente con los datos obtenidos en la muestra (Wiersma y Jurs, 2008;
Gordon, 2010).
Una hipótesis de investigación establece las expectativas del investigador. Es una
declaración tentativa acerca de un fenómeno. Con mucha frecuencia es un pensamiento bien
fundamentado, basado en una teoría o en un modelo o derivado de la fase exploratoria de la
investigación. Para que sea útil, debe apoyarse en una prueba estadística de hipótesis y una
defensa lógica fundamentada en los datos recolectados. La hipótesis de investigación se
deriva directamente de una definición de problema bien meditada y especificada. Una
hipótesis de investigación debe ser declaratoria y operacional, así como reflejar una
posibilidad de solución basada en cierto conocimiento, investigación previa o necesidades
identificadas de la población en estudio. Sin embargo, y aún más importante, una hipótesis
de investigación tiene que ser probable.
Sampieri H., Roberto. "Metodología de la Investigación". McGraw Hill: Quinta Edición. 2010
BEST SELLER INTERNACIONAL.
DAVIS Duane. Investigación en Administración para la toma de decisiones. International
Thomson Editores: Quinta Edición. 2001.
Hipótesis nulas son, en cierto modo, el reverso de las hipótesis de investigación. También
constituyen proposiciones acerca de la relación entre variables; que sirven solo para refutar o
negar lo que afirma la hipótesis de investigación.
Hipótesis alternativas, como su nombre lo indica, son posibilidades "alternas" ante las
hipótesis de investigación y nula: Ofrece otra descripción o explicación distintas a las que
proporcionan estos tipos de hipótesis.
Si la hipótesis de investigación establece: "esta silla es roja", y podrían formularse una o
más hipótesis alternativas: ""esta silla es azul", "esta silla es verde", "esta silla es amarilla",
etcétera.
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148
Hipótesis estadísticas son las transformaciones de las hipótesis de investigación, nulas y
alternativas en símbolos estadísticos. Se pueden formular solo cuando los datos del estudio
que se van a recolectar y analizar para probar o rechazar las hipótesis son cuantitativos
(números, porcentajes, promedios). Es decir, el investigador traduce su hipótesis de
investigación y su hipótesis nula (y cuando se formulan hipótesis alternativas, también estas)
en términos estadísticos.
En estadística, una hipótesis es una afirmación o declaración que se hace acerca de una
propiedad de una población.
Componentes de una Prueba de Hipótesis.
Hipótesis nula - denotada por Ho (Null Hypothesis) es una declaración acerca del valor de
un parámetro de población (como la media) y debe contener la condición de igualdad escrita
con el símbolo =,  o . (Al efectuar realmente la prueba, operaremos bajo el supuesto de que
el parámetro es igual a algún valor específico.) En el caso de la media, la hipótesis nula se
expresara en una de estas tres posibles formas:
Ho: = algún valor
Ho:  algún valor
Ho:  algún valor
Por ejemplo, la hipótesis nula que corresponde a la creencia común de que la temperatura
corporal media es 98.6ºF se expresa como Ho:=98.6. Probamos la hipótesis nula
directamente en el sentido de que suponemos que es verdad y llegamos a una conclusión que
puede ser rechazar Ho o bien en no rechazar Ho.
Nunca se puede aceptar la hipótesis nula como verdadera. El no rechazo de la hipótesis nula
solamente significa que la evidencia muestral no es lo suficientemente fuerte como para llegar
a su rechazo.
Antes que se rechace la hipótesis nula, la media muestral debe diferir
significativamente de la media poblacional planteada como hipótesis. Es decir, que la
evidencia debe ser muy convincente y concluyente. Una conclusión con base en un rechazo
de la hipótesis nula es más significativa que una que termine en una decisión de no rechazo.
Diferencia estadísticamente insignificante
En la diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la hipótesis y el valor de la
media muestral que es lo suficientemente pequeña como para atribuirla a un error de
muestreo.
Hipótesis Alternativa - denotada por Ha (Alternative Hypothesis) es la declaración que
debe ser verdad si la hipótesis nula es falsa. En el caso de la media, la hipótesis alternativa se
expresara en una de tres posibles formas:
Ha:  algún valor
Ha: > algún valor
Ha: < algún valor
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149
Obsérvese que Ha es lo contrario de Ho. Por ejemplo, si Ho se da como =98.6, se sigue que
la hipótesis alternativa está dada por Ha98.6.
Errores Tipo I y Tipo II.
Al probar una hipótesis nula, llegamos a una conclusión de rechazarla o no rechazarla.
Tales conclusiones a veces son correctas y a veces equivocadas. Hay dos tipos de errores que
podemos cometer.
Error Tipo I.
El error de rechazar la hipótesis nula, dado que es verdadera.
La probabilidad de cometer un error tipo I es igual al nivel de significancia, o valor 
en el que se prueba la hipótesis.
Error Tipo II.
Es no rechazar una hipótesis nula que es falsa. Usamos el símbolo  para representar
la probabilidad de error tipo II.
Para el responsable de las decisiones administrativas, cometer un error al depender de una
propuesta de decisión débilmente comprobada podría significar pérdidas importantes para la
empresa. De igual manera, una decisión equivocada también significaría la pérdida de
oportunidades. El tomador de decisiones suele estar más consciente de las pérdidas de
efectivo que de las pérdidas de oportunidades porque las primeras son más visibles. Es por
esto que la mayoría de los investigadores y los gerentes se esfuerzan por evitar un error tipo I.
Como controlar los errores tipo I y tipo II. Consideraciones prácticas que podrían ser
pertinentes:
1. Para cualquier  fija, un aumento en el tamaño de muestra n hace que  disminuya. Es
decir, una muestra más grande reduce la posibilidad de cometer el error de no rechazar la
hipótesis nula, dado que en realidad es falsa.
2. Para cualquier tamaño de muestra fijo n, una disminución de  causará un incremento en 
. Por otra parte, un incremento en  causará una disminución en .
3. Si queremos reducir tanto  como , deberemos aumentar el tamaño de muestra.
Estadística de Prueba.
Una estadística de muestra o un valor basado en los datos de una muestra. Se utiliza
una estadística de prueba para tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.
 = (X' - )/(/n)
 = (X' - )/(s/n)
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150
Región critica. El conjunto de todos los valores de la estadística de prueba que nos harían
rechazar la hipótesis nula.
Valor crítico. El valor o valores que separan la región crítica de los valores de la estadística de
prueba que no nos harían rechazar la hipótesis nula. Los valores críticos dependen de la
naturaleza de la hipótesis nula, la distribución de muestreo pertinente y el nivel de
significancia .
Prueba de dos colas para 
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
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Caso I.
Como gerente de compras de una gran empresa de seguros usted debe decidir si actualizar o
no los computadores de la oficina. A usted se le ha dicho que el costo promedio de los
computadores es de US$2,100. Una muestra de 64 minoristas revela un precio promedio de
US$2,251, con una desviación estándar de US$812. ¿A un nivel de significancia del 5% parece
que su información es correcta?
Datos:
Ho:=US$2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251 precio promedio (de los computadores)
de la muestra
s=US$812
=5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
El gerente de compra desea probar la hipótesis de que la media poblacional es =US$2,100
bajo un nivel de significancia =5%=0.05. Debido a que se plantea la hipótesis de que 
=US$2,100, la hipótesis nula y la alternativa son:
Ho: = 2,100
Ha:  2,100
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con los
valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
Ho: = 2,100
n=64 minoristas
X'=US$2,251
s=US$812
 = (2,251 - 2,100)/(812/8)
 = (151)/(101.5)
 = 1.49
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 5% se divide en dos colas. El 95% restante se divide por 2 para
hallar el área de 0.4750. En la tabla Z esta área de 0.4750 da los valores críticos de Z de  1.96.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí -1.96  Z  1.96. Se rechaza sí Z<1.96 o Z>1.96.
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Vale la pena destacar que las zonas de rechazo están en ambas colas. Si Z<-1.96 o
Z>1.96, se rechaza la hipótesis nula.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la
muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. El valor del estadístico
para la muestra es X'=US$2,251 produce una Z=1.49 ==> 1.49<1.96 y cae dentro de la zona de
no rechazo.
Interpretación:
La diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la hipótesis nula de  = 2,100 y
el valor de la media muestral de X'=US$2,251 es estadísticamente insignificante. Podría
resultar simplemente del error de muestreo. De hecho sí =2,100; el 95% de todas las
muestras de tamaño n=64 producirán valores de Z entre 1.96.
Caso II.
Un contrato de manejo laboral exige una producción diaria de 50 unidades. Una muestra de
150 días revela una media de 47.3, con una desviación estándar de 5.7 unidades. Fije =5% y
determine si se cumple con la disposición del contrato.
Caso III.
Un gerente de una empresa considera que los empleados gastan un promedio de 50 minutos
para llegar al trabajo. Se toma una muestra de 70 empleados que se toman en promedio 47.2
minutos con una desviación estándar de 18.9 minutos. Fije  en 1% y pruebe la hipótesis.
TAREA: Ejercicios 1 al 16 Págs. 204-205. Para entregar en la próxima clase.
Las colas de una distribución son las regiones extremas delimitadas por valores
críticos. Rechazamos la hipótesis nula Ho si nuestra estadística de prueba está en la región
crítica o área de rechazo porque eso indica una discrepancia significativa entre la hipótesis
nula y los datos de la muestra.
Algunas pruebas son de cola izquierda, con la región crítica situada en la región de
extrema izquierda de la curva; otras podrían ser de cola derecha, con la región critica en la
región de la extrema derecha bajo la curva.
En las pruebas de dos colas, el nivel de significancia  se divide equitativamente entre
las dos colas que constituyen la región crítica o área de rechazo. En las pruebas de cola
derecha o izquierda, el área de la región crítica es .
Si examinamos la hipótesis nula Ho, deberemos poder deducir si una prueba es de cola derecha, de
cola izquierda o de dos colas. La cola corresponderá a la región crítica que contenga los valores que
podrían contradecir significativamente la hipótesis nula.
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Vale la pena destacar que tanto en la prueba de cola a la izquierda como a la derecha el
signo igual se coloca en la hipótesis nula. Esto es porque la hipótesis nula se está probando a
un valor  específico (como 5%) y el signo igual da a la hipótesis nula un valor específico para
probarla.
Una prueba de cola a la izquierda tiene una zona de rechazo solo en la cola izquierda y se da
bajo la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: < algún valor
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en la cola derecha y se da bajo
la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: > algún valor
Caso I.
Determinación de valores críticos o zona de no rechazo: Muchos pasajeros de cruceros usan
parches cutáneos que suministran dramamina al cuerpo con el fin de evitar el mareo. Se
prueba una aseveración respecto a la dosis media con un nivel de significancia de  = 0.05.
Las condiciones son tales que es posible usar la distribución normal estándar (porque aplica
el teorema del límite central). Encuentre el o los valores críticos de z si la prueba es (a) de dos
colas, (b) de cola izquierda y (c) de cola derecha. Represente gráficamente el valor crítico y la
región crítica.
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Caso II.
Baskin-Robbins, la franquicia de helados, afirma que el número de tiendas que se abre se ha
incrementado por encima del promedio semanal de 10.4 experimentado en tiempo de escasez
(The Wall Street Journal, febrero de 1997). ¿Existe alguna evidencia para sustentar esta
afirmación si 50 semanas muestran una media de 12.5 y una desviación estándar de 0.66
tiendas? La gerencia está dispuesta a aceptar una probabilidad del 4% de rechazo de la
hipótesis nula si esta es cierta.
Datos:
n=50 semanas
X'=12.5 tiendas de la muestra
s=0.66 tiendas
=4%=0.04 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el incremento es por encima del promedio semanal de 10.4 sirve como
hipótesis alternativa debido a que >10.4 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en la cola derecha y se da bajo
la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: > algún valor
Ha: > 10.4 tiendas semanal
Ho:  10.4 tiendas semanal
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con los
valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional
bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
Ho:  10.4 tiendas semanal
n=50 semanas
X'=12.5 tiendas de la muestra
s=0.66 tiendas
=4%=0.04 (nivel de significancia)
 = (12.5 - 10.4)/(0.66/50)
 = 2.1/0.093
 = 22.5
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Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 4%. El 50% se resta de 4% para hallar el área de 0.46. En la tabla
Z esta área de 0.46 da el valor crítico de Z de 1.75.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí Z  1.75. Se rechaza sí Z>1.75.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la
muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. El valor del estadístico
para la muestra produce una Z=22.5 ==> 22.5>1.75 y cae dentro de la zona de rechazo o
región critica.
Interpretación:
La hipótesis nula se rechaza ya que en tiempo de escasez no se abren más de 10.4
tiendas semanal
Caso III.
Según Wall Street Journal (mayo 12 de 1997) muchas compañías de ropa deportiva están
tratando de comercializar sus productos entre los más jóvenes. El articulo sugirió que la edad
promedio de los consumidores había caído por debajo de la media de 34.4 años que
caracterizo los comienzo de la década. Si una muestra de 1000 clientes reporta una media de
33.2 años y una desviación de 9.4, ¿qué se concluye a un nivel de significancia de del 4%?
Datos:
n=1000 clientes
X'=33.2 años (edad promedio de la muestra de los consumidores de ropa deportiva)
s=9.4 años
=4%=0.04 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que la edad de los consumidores estaba por debajo de 34.4 años sirve como
hipótesis alternativa debido a que  < 34.44 no contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la izquierda tiene una zona de rechazo solo en la cola izquierda y se da
bajo la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: < algún valor
Ha: < 34.4 años (edad promedio de los consumidores de ropa deportiva)
Ho:  34.4 años
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156
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con los
valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
Ho:  34.4 años
n=1000 clientes
X'=33.2 años (edad promedio de la muestra de los consumidores de ropa deportiva)
s=9.4 años
=4%=0.04 (nivel de significancia)
 = (33.2 - 34.4)/(9.4/1000)
 = -1.2/0.297254
 = -4.04
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base
en los valores críticos de Z.
El nivel de significancia del 4%. El 50% se resta de 4% para hallar el área de 0.46. En la tabla
Z esta área de 0.46 da el valor critico de Z de 1.75.
La Regla de Decisión es: "No se rechaza la hipótesis nula sí Z  1.75. Se rechaza sí Z<1.75.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la
muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. El valor del estadístico
para la muestra produce una Z=-4.04 ==> -4.04<1.75 y cae dentro de la zona de rechazo o
región critica.
Interpretación:
La hipótesis nula se rechaza ya que la edad promedio no ha caído por debajo del grupo
de edad de 34.4 años.
Ejercicios 17 al 26 - Pág. 209 para entregar en la próxima clase.
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157
Condiciones para usar la Distribución t de Student en Prueba de Hipótesis.
1.- La muestra es pequeña (n30).
2.- Se desconoce .
3.- La población padre tiene una distribución esencialmente normal. (Dado que a menudo se
desconoce la distribución de la población padre, la estimamos construyendo un histograma
con datos de muestra.)
Propiedades importantes de la Distribución t de Student.
1.- La distribución t de Student es diferente para los diferentes tamaños de muestra. (Ver
Figura 7.3 en la Pág. 177).
2.- La distribución t de Student tiene la misma forma general de campana simétrica que la
distribución normal estándar, pero refleja la mayor variabilidad (con distribuciones más
amplias) que cabe esperar cuando la muestra es pequeña.
3.- La distribución t de Student tiene una media t=0 (así como la distribución normal estándar
tiene una media de Z=0).
4.- La desviación estándar de la distribución t de Student varia con el tamaño de la muestra,
pero es mayor que 1 (a diferencia de la distribución normal estándar, que tiene =1).
Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene una media de cero, es simétrica
respeto a la media y oscila entre - y + . Sin embargo, mientras que la distribución Z tiene
una varianza de ²=1, la varianza de la distribución t es mayor que 1.
5.- A medida que aumenta el tamaño de muestra n, la distribución t de Student se acerca más
a la distribución normal estándar. Con valores de n > 30, las diferencias son tan pequeñas
que podemos utilizar los valores críticos de z en lugar de crear una tabla mucho más grande
de valores críticos de t.
Grados de libertad. El número de grados de libertad de un conjunto de datos corresponde al
número de puntajes que puede variar después de haber impuestos ciertas restricciones a
todos los puntajes. Es el número de observaciones menos el número de restricciones
impuestas sobre tales observaciones.
g.l. = n - 1
Podría parecer un poco extraño que, con una población distribuida normalmente, a
veces utilicemos la distribución t para encontrar valores críticos, pero cuando se desconoce 
el uso de s de una muestra pequeña incorpora otra fuente de error. A fin de mantener el grado
de confianza deseado, compensamos la variabilidad adicional ensanchando el intervalo de
confianza mediante un proceso que sustituye el valor crítico Z por el valor crítico más grande
de t.
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El estadístico t
t = (X'-)/(s/n)
Prueba de dos colas para 
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
Caso I
Un distribuidor de bebidas plantea la hipótesis de que las ventas por mes promedian
US$12,000. Diez meses seleccionados como muestra reportan una media de US$11,277 y una
desviación estándar de US$3,772. Si se utiliza un valor  del 5%. ¿Qué puede concluir acerca
de la impresión que tienen el distribuidor sobre las condiciones del negocio?
Ejercicios 33 al 40 Págs. 215-216.
El Método de valor P para probar hipótesis (P-Value Method of Testing Hypotheses).
Dado una hipótesis nula y datos de muestra, el valor p refleja la verosimilitud de
obtener los valores de muestra en cuestión suponiendo que la hipótesis nula realmente es
verdad.
Valor P (o valor de probabilidad) es la probabilidad de obtener un valor de la estadística de
prueba que será al menos tan extremo como se obtiene a partir de los datos de muestra,
suponiendo que la hipótesis es verdad.
Valor P es el nivel más bajo de significancia (valor  mínimo) al cual se puede rechazar la
hipótesis nula. Es el área en la cola que está más allá del valor del estadístico para la muestra.
Los valores P miden la confianza que sentimos al rechazar una hipótesis nula. Por
ejemplo, un valor P de 0.0002 nos llevaría a rechazar la hipótesis nula, pero también sugeriría
que los resultados de muestra son extremadamente inusitados si el valor que se asegura que
tiene  es en realidad correcta. En contraste, dado un valor P de 0.40, no rechazamos la
hipótesis nula porque los resultados de muestra podrían ocurrir fácilmente si el valor que se
asegura que tiene  si es el correcto.
Algunos criterios de decisión basados exclusivamente en el valor P:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de significancia.
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Valor P
Interpretación
Menor que 0.01
Muy significativo estadísticamente Indicios muy claros en contra
de la hipótesis nula
0.01 a 0.05
Estadísticamente significativo
Suficientes indicios en contra de la hipótesis nula
Mayor que 0.05
Insuficientes indicios en contra de la hipótesis nula
Caso I.
A comienzo de los años 90 Sony Corporation introdujo su Play Station de 32 bits en el
mercado de los juegos de video. La gerencia esperaba que el nuevo producto incrementara
las ventas mensuales en Estados Unidos por encima de los US$283,000,000 que Sony había
experimentado en la década anterior. Una muestra de 40 meses reporto una media de
US$297,000,000. Se asume una desviación estándar de US$97,000,000. Pruebe la hipótesis
nula a un nivel de significancia del 1%. Calcule e interprete el valor p.
Datos:
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
=1%=0.01 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
La afirmación de que el nuevo producto incrementara las ventas por encima de
US$283,000,000 sirve como hipótesis alternativa debido a que  > US$283,000,000 no
contiene el signo igual.
Una prueba de cola a la derecha tiene una zona de rechazo solo en la cola derecha y se da bajo
la condición de:
Ho:  algún valor
Ha: > algún valor
Ha: > US$283,000,000 (ventas mensuales)
Ho:  US$283,000,000 (ventas mensuales)
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
Para probar la hipótesis, se calcula el estadístico de prueba Z, y se compara con los
valores críticos de Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
en donde
X' es la media muestral
H es el valor de la media poblacional bajo hipótesis nula
/n es el error estándar de la distribución muestral
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Ho:  US$283,000,000 (ventas mensuales)
n=40 meses
X'=US$297,000,000 ventas de la muestra
s=US$97,000,000
=1%=0.01 (nivel de significancia)
 = (297,000,000 - 283,000,000)/(97,000,000/40)
 = 14,000,000/15,337,047.42
 = 0.91
El valor Z para el nivel de insignificancia de 1% se obtiene en la tabla después de restar 0.50.01= 0.49, el cual corresponde a 2.33
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
En la tabla Z el valor Z de 0.91 tiene el área de 0.3186. Por lo tanto el:
valor P = 0.5 - 0.3186 = 0.1814
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de significancia.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la
muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. Como el valor de
significancia es menor que 0.1814 para la muestra de Z=0.91 cae en la zona de no rechazo.
Interpretación:
La hipótesis nula no se rechaza.
Ejercicios 27 al 32 Pág. 213.
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161
Caso II.
En el verano de 1997, el Congreso de USA aprobó un presupuesto federal que contenía varias
partidas para reducciones de impuestos.
Los analistas afirmaron que ahorraría al
contribuyente promedio US$800.00 dólares. Una muestra de 500 contribuyentes demostró
una reducción promedio en los impuestos de US$785.10 con una desviación estándar de
US$277.70. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Calcule e Interprete el
valor p.
Datos:
n= 500 contribuyentes
X'=US$785.10
s=US$277.70
=5%=0.05 (nivel de significancia)
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ha: = US$800.00
Ho:  US$800.00
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z.
 = (X' - H)/(/n)
 = (X' - H)/(s/n)
 = (785.10 – 800.00)/(277.70/500)
 = -14.9/12.42
 = - 1.20
El valor Z para el nivel de insignificancia de 5% se divide entre dos. Se obtiene en la tabla el
valor de Z = 1.96.
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z.
En la tabla Z, el valor Z de 1.20 tiene el área de 0.3849. Por lo tanto el:
0.5 - 0.3849 = 0.1151
valor P = 2 * 0.1151 = 0.2302
La Regla de Decisión es:
- Rechazar la hipótesis nula si el valor P es menor que el nivel de significancia, o igual a él.
- No rechazar la hipótesis nula si el valor P es mayor que el nivel de significancia.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El paso final en la prueba de hipótesis es donde cae el valor del estadístico para la
muestra y determinar si la hipótesis nula debería rechazarse o no. Como el valor de
significancia es menor que 0.2302 para la muestra de Z = -1.20 cae en la zona de no rechazo.
Interpretación:
La hipótesis nula no se rechaza.
Ejercicios 27 al 32 Pág. 213.
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162
Caso III. Forbes (Septiembre 1996) reportó que Freddie Maman, representante de la cantante
de pop Madonna, estimó que las ventas diarias de su nuevo álbum excedería las de su éxito
más grande de 1994, Like a Virgin, el cual tuvo un promedio de ventas de 27,400 copias.
¿Freddie está en lo cierto a un nivel de significancia del 10% si 50 observaciones (días) poseen
un media de 28,788 copias con una desviación estándar de 3,776? Calcule e interprete el valor
p. Y Represente gráficamente incluyendo el valor P.
Caso IV. La Asociación Internacional de Transporte Aéreo pide a los viajeros de negocios
que califiquen los aeropuertos internacionales trasatlánticos. La calificación máxima posible
es 10. Una revista dedicada a los viajes desea clasificar a los aeropuertos según la calificación
que reciben.
De los que tienen una calificación de media de población de 7 ó más se
consideran que ofrecen un servicio superior. Suponga que a una muestra aleatoria de 12
viajeros se les pidió calificar al aeropuerto Heathrow de Londres, y que las calificaciones
obtenidas son 7, 8, 10, 8, 6, 9, 6, 7, 7, 8, 9 y 8. Suponiendo que la población de calificaciones se
puede aproximar con una distribución normal, ¿puede decirse que Heathrow ofrece un
servicio superior?
Usando un nivel de significancia de 0.05, necesitamos una prueba que determine si la media
de la población de calificaciones para el aeropuerto es mayor de 7.
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163
Distribución Chi-cuadrada (Chi-Square Distribution)
En secciones anteriores determinamos (1) el estimado puntual, (2) intervalo de confianza y (3)
determinamos el tamaño de la muestra para medias y proporciones, en esta sección los
aplicaremos a la varianza de población ² o desviación estándar de población .
Muchas situaciones reales, como el control de calidad en un proceso de fabricación,
requiere estimar valores de varianzas o desviaciones estándar de población. Además de
fabricar productos cuyas mediciones producen una media deseada, el fabricante debe
elaborar productos con una calidad uniforme que no abarquen toda la gama desde
extremadamente buenos hasta extremadamente deficientes. Dado que tal uniformidad a
menudo se puede medir por la varianza o la desviación estándar, estas se convierten en
estadísticas vitales para mantener la calidad de los productos.
Distribución Chi cuadrada. En una población distribuida normalmente con varianza ²,
seleccionamos aleatoriamente muestras independientes de tamaño n y calculamos la varianza
de muestras s² para cada muestra. La estadística de muestra ²=(n-1)s²/² tiene una
distribución llamada distribución Chi cuadrada.
²=(n-1)s²/²
n = tamaño de muestra
s²= varianza de muestra
²= varianza de población
La distribución Chi cuadrada está determinada por el número de grados de libertad,
por el momento usaremos n-1 grados de libertad.
Propiedades de la Distribución de la estadística Chi cuadrada.
1.- La Distribución Chi cuadrada no es simétrica, a diferencia de las distribuciones normal y t
Student (A medida que aumenta el número de grados de libertad, la distribución se vuelve
más simétrica).
2.- Los valores de Chi cuadrada pueden ser cero o positivos, pero no pueden ser negativos.
3.- La distribución Chi cuadrada es diferente para cada número de grados de libertad, que es
gl=n-1. A medida que aumenta el número de grados de libertad, la distribución Chi
cuadrada se acerca a una distribución normal.
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Caso I.
Usando la tabla H Distribución Chi-cuadrado.
Encuentre los valores críticos de ² que determinan regiones críticas que contienen un área de
0.025 en cada cola. Suponga que el tamaño de muestra pertinente es de 10, de modo que el
número de grados de libertad es 10-1=9
Solución: El valor crítico de la derecha (²=19.023) se obtiene directamente localizando 9 en la
columna de grados de libertad de la izquierda y 0.025 en la fila superior. El valor critico de 
²=2.700 de la izquierda también corresponde a 9 en la columna de grados de libertad, pero es
preciso localizar 0.975 (que se obtiene de restar 0.025 a 1) en la fila superior porque los valores
de esa fila siempre son áreas a la derecha del valor crítico.
Al obtener valores críticos de Chi cuadrada de la H Distribución Chi-cuadrado, obsérvese que
los números de grados de libertad son enteros consecutivos del 1 al 30, seguidos de 40, 50, 60,
70, 80, 90 y 100. Si no se encuentra en la tabla un numero de grados de libertad (digamos 52),
por lo regular puede usarse el valor critico más cercano. Por ejemplo, si el número de grados
de libertad es 52, remítase a la tabla y use 50 grados de libertad. (Si el número de grados de
libertad esta exactamente a la mitad entre dos valores de la tabla, como 55, simplemente
calcule la media de los dos valores de ².) Para números de grados de libertad mayores que
100, use la ecuación siguiente:
²=1/2 [Z+(2k-1)]²
donde k es el número de grados de libertad.
Caso II.
Encuentre los valores críticos ²L y ²R que corresponden al grado de confianza y tamaño de
muestra dados.
1. 95%;n=26
3. 90%;n=60
2. 99%;n=17
4. 95%;n=50
Estimadores de ².
Dado que las varianzas de muestras s² (que se obtienen con la formula s²=[(x-x')²]/(n1)) tienden a centrarse alrededor del valor de la varianza de la población ², decimos que s² es
un estimador no predispuesto de ². Es decir, las varianzas de muestras s² no tienden a
sobreestimar sistemáticamente ²; en vez de ello, tienden a centrarse en el valor de ² mismo.
Además, los valores s² tienden a producir errores más pequeños al estar más cerca de ² que
otras medidas de variación. Por estas razones, el valor s² es el mejor valor individual (o
estimado puntual) de las diversas estadísticas que podríamos usar para estimar ².
La varianza de muestra s² es el mejor estimado puntual de la variación de la
población ².
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165
Dado que s² es el mejor estimado puntual de ², seria natural esperar que s sea el mejor
estimado puntual de , pero no sucede así, porque s es un estimador predispuesto de . Por
otra parte, si el tamaño de muestra es grande, la predisposición es tan pequeña que podemos
usar s como un estimado razonablemente bueno de .
Aunque s² es el mejor estimado puntual de ², no tenemos una indicación de lo bueno
que es realmente. Para compensar esta deficiencia, deducimos un estimado de intervalo (o
intervalo de confianza) que es más revelador.
Intervalo de confianza (o estimado de intervalo) para la varianza de población ².
²=(n-1)s²/²
Despeje:
²=(n-1)s²/²
El intervalo de confianza es:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
El intervalo de confianza para la desviación estándar se obtiene calculando la
raíz cuadrada de cada componente anterior:
[(n-1)s²/²R] <  < [(n-1)s²/²L]
Con un área total de  dividida equitativamente entre las dos colas de una distribución
Chi cuadrada, ²L denota el valor critico de cola izquierda y ²R denota el valor critico de cola
derecha.
Los límites de intervalos de confianza para ² y  se deben redondear aplicando la
regla de redondeo siguiente:
1. Si usa el conjunto de datos original para construir un intervalo de confianza, redondee los
límites del intervalo de confianza a una posición decimal más que las empleadas en el
conjunto de datos original.
2. Si desconoce el conjunto de datos original y solo usa las estadísticas resumidas (n,s),
redondee los límites del intervalo de confianza al mismo número de posiciones decimales que
se usan para la desviación estándar o varianza de muestra.
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166
Caso I.
La Panificadora Pepín produce bizcochos que se empacan en cajas cuyos rótulos dicen
contienen 12 bizcochos con un total de 42 onzas. Si la variación entre los bizcochos es
demasiado grande, algunas cajas pesaran menos de lo debido (engañando a los clientes) y
otras pesaran más (reduciendo las utilidades). El supervisor de control de calidad determino
que puede evitar problemas si los bizcochos tienen una media de 3.50 onzas y una desviación
estándar de 0.06 onzas o menos. Se seleccionan aleatoriamente doce bizcochos de la línea de
producción y se pesan, con los resultados que se dan aquí (en onzas). Construya un intervalo
de confianza del 95% para ² y un intervalo de confianza del 95% para , y luego determine si
el supervisor de control de calidad está en problemas.
3.43 3.37 3.58 3.50 3.68 3.61
3.42 3.52 3.66 3.50 3.36 3.42
Solución:
Con base en los datos de muestra, la media de X'=3.504 parece excelente porque está muy
cerca del valor deseado. Los puntajes dados tienen una desviación estándar de s=0.109, que
podría parecer mayor que el valor deseado de 0.06 o menos. Procedamos a obtener el
intervalo de confianza para ².
Con una muestra de 12 puntajes tenemos 11 grados de libertad. Con un grado de confianza
del 95%, dividimos =0.05 equitativamente entre las dos colas de la distribución ² y nos
remitimos a los valores de 0.975 y 0.025 en la fila superior.
Los valores críticos de ² son ²L=3.816 y ²R=21.920. Utilizando estos valores críticos junto
con la desviación estándar de muestra s=0.109 y el tamaño de muestra de 12 construimos el
intervalo de confianza del 95% evaluando lo siguiente:
(n-1)s²/²R < ² < (n-1)s²/²L
(12-1)(0.109)²/21.920 <²< (12-1)(0.109)²/(3.816)
0.006 < ² < 0.034
Si sacamos la raíz cuadrada de cada parte (antes de redondear) obtenemos:
0.077 <  < 0.185
Con base en el intervalo de confianza del 95% para , parece que la desviación
estándar es mayor que el valor deseado de 0.06 o menos, así que el supervisor de control de
calidad está en problemas y deberá tomar medidas correctivas para hacer que el peso de los
bizcochos sea más uniforme.
El intervalo de confianza de 0.077 <  < 0.185 también puede expresarse como
(0.077,0.185), pero el formato de =sE no puede usarse porque el intervalo de confianza no
tiene a s en su centro.
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167
Caso II.
Un recipiente anticongelante para automóvil supuestamente contiene 3,785 ml del líquido.
Consciente de que las fluctuaciones son inevitables, la gerente de control de calidad quiere
estar muy segura de que la desviación estándar sea de menos de 30 ml; De lo contrario,
algunos recipientes se desbordaran, mientras que otros no tendrán suficiente anticongelantes.
Ella selecciona aleatoriamente una muestra, con los resultados que se dan aquí. Utilice estos
resultados para construir el intervalo de confianza del 99% para el verdadero valor de .
¿Sugiere este intervalo de confianza que las fluctuaciones están en un nivel aceptable?
3,761 3,861 3,769 3,772 3,675 3,861
3,888 3,819 3,788 3,800 3,720 3,748
3,753 3,821 3,811 3,740 3,740 3,839
Caso III.
a) Los valores que se listan son tiempos de espera (en minutos) de clientes del BHD, donde
los clientes se forman en una sola fila que alimenta tres ventanillas. Construya un intervalo
de confianza del 95% para la desviación estándar de la población.
6.5
6.6. 6.7
6.8
7.1
7.3
7.4
7.7
7.7
7.7
b) Los valores que se listan son tiempos de espera (en minuto) de clientes del Banco Popular,
donde los clientes pueden formarse en cualquiera de tres filas distintas que se han formado
frente a tres ventanillas distintas. Construya un intervalo de confianza del 95% para  y
compare los resultados con el intervalo de confianza para los datos del Banco BHD.
¿Sugieren los intervalos de confianza alguna diferencia en la variación de los tiempos de
espera de cada banco? ¿Cuál sistema parece mejor: el de fila única o el de múltiples filas?
4.2
5.4
5.8
6.2
6.7
7.7
7.7
8.5
9.3
10.0
Caso IV.
Se espera que un proceso estandarizado produzca arandelas con una desviación muy
pequeña en su espesor. Suponga que se tomaron 10 de estas arandelas y sus espesores, en
pulgadas fueron:
0.123 0.124 0.126 0.120 0.130 0.133 0.125 0.128 0.124 0.126
¿Cuál es un intervalo de confianza de 90 por ciento para la desviación estándar del espesor
de una arandela producida mediante este proceso?
Caso V.
Al diseñar una nueva máquina que se usará en una línea de ensamble de un planta de la
General Motors, un ingeniero obtiene mediciones de la longitud de los brazos de una muestra
aleatoria de operadores de máquina de sexo masculino. Los resultados obtenidos en
centímetros se dan en seguida. Construya un intervalo de confianza del 95% para la longitud
media de los brazos de todos los empleados de este tipo.
76.80
70.90
75.60
69.40
69.30
71.70
75.70
72.50
75.50
72.20
71.20
68.50
72.50
75.90
71.90
73.00
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Caso VI.
El cuerpo de cadete de la Marina está revisando sus pedidos de uniformes porque tiene un
excedente de uniformes para reclutas altos y una escasez de uniformes para los reclutas bajos.
Su revisión se basa en una muestra aleatoria de estaturas de reclutas de sexo masculino con
edades entre los 18 y los 24 años, que se lista aquí (en pulgadas):
69.90
69.00
70.40
69.40
68.40
66.80
72.60
68.30
69.90
70.00
69.60
69.20
70.20
71.70
70.50
71.80
69.20
70.20
70.60
70.80
70.80
72.80
71.00
70.00
Construya un intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar con un valor alfa del
0.05.
Determinación del tamaño de muestra. (Sample Sizes)
Los procedimientos para encontrar el tamaño de muestra necesario para estimar ² son
muchos más complejos que los procedimientos que se dieron antes para las medias y
proporciones. En lugar de aplicar procedimientos muy complicados, usaremos la tabla 6-2.
Caso I.
Con una confianza del 95%, queremos estimar  dentro de un margen de error del 10%. ¿Qué
tamaño deberá tener la muestra?
Supongamos que la población está distribuida
normalmente.
Solución: En la tabla 6-2 vemos que una confianza del 95% y un error del 10% para 
corresponde a un tamaño de muestra de 191. Deberemos seleccionar aleatoriamente 191
valores de la población.
Caso II.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una confianza del 95% en que
la desviación estándar de la muestra s estará a menos del 30% de .
Caso III.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una confianza del 99% en que
la desviación estándar de la muestra s estará a menos del 20% de .
Caso IV.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una confianza del 99% en que
la varianza de la muestra estará a menos del 30% de la varianza de la población.
Caso V.
Determine el tamaño de muestra mínimo necesario para tener una confianza del 95% en que
la varianza de la muestra estará a menos del 40% de la varianza de la población.
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169
El análisis de varianza – ANOVA (Analysis of Variance)
Es un método para probar la igualdad de dos o más medias de población analizando
varianzas de muestra.
Es una prueba estadística para analizar si más de dos grupos difieren
significativamente entre sí en cuanto a sus medias y varianzas.
El uso del diseño experimental del análisis de la varianza es cada vez mayor en
investigación de mercados. El análisis de la varianza se basa en mantener la independencia
de las variables de tratamiento.
Distribución F
Los métodos de ANOVA emplean la distribución F, que tiene las siguientes propiedades:
1. La distribución F no es simétrica; esta sesgada hacia la derecha.
2. Los valores de F pueden ser 0 o positivos, pero no pueden ser negativos.
3. Hay una distribución F distinta para cada par de grados de libertad del numerador y el
denominador.
Esta fue denominada así en 1924 en honor a Sir Ronald A. Fisher (1890-1962).
La estadística de prueba F es el cociente de dos estimados, de modo que una estadística
de prueba F significativamente grande (situada muy a la derecha en la gráfica de la
distribución F) es un indicio en contra de que las medias de población sean iguales.
Estadística de Prueba para ANOVA.
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
El numerador mide la variación entre las medias de muestra. El estimado de la varianza del
denominador depende solo de las varianzas de las muestras y no resulta afectado por las
diferencias entre las medias de las muestras. Por consiguiente, si las medias de muestra
tienen valores muy parecidos, la estadística de prueba F tiene un valor cercano a 1, y
concluimos que no hay diferencias significativas entre las medias de muestra. En cambio, si
el valor de F es excesivamente grande, rechazamos la afirmación de que las medias son
iguales.
Cálculos con tamaños de muestra iguales.
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
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170
Si todos los conjuntos de datos tienen el mismo tamaño de muestra, como se presenta
en la tabla a continuación. Primero calculamos la varianza entre muestras evaluando ns²,
donde s² es la varianza de las medias de muestra.
INTERVALOS DE TIEMPO (EN MINUTOS ENTRE
ERUPCIONES DEL VOLCAN "EL VIEJO FIEL"
GEISER OLD FAITHFUL - PARQUE NAC. YELLOWSTONE
N
MEDIA X'
DESVIACION
1951
74
60
74
42
74
52
65
68
62
66
62
60
1985
89
90
60
65
82
84
54
85
58
79
57
88
1995
86
86
62
104
62
95
79
62
94
79
86
85
1996
88
86
85
89
83
85
91
68
91
56
89
94
12
63,3
9,4
12
74,3
14,2
12
81,7
13,7
12
83,8
10,9
BASADOS EN DATOS DEL GEOLOGO RICK HUTCHINSON
Y EL SERVICIO NACIONAL DE ESTADOS UNIDOS
Descriptive statistics
count
mean
sample variance
sample standard
deviation
#1
#2
#3
#4
12
12
12
12
63.25 74.25 81.67 83.75
89.30 200.75 188.24 119.11
9.45
14.17
13.72
10.91
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171
La Varianza para una muestra de datos no agrupados (s²).
_
s² = [(Xi-X)²]/n-1
X"
X´
X-X"
63.25 -12.48
74.25 -1.48
81.67
5.94
83.75
8.02
75.73 VAR.
DESV.
(X-X")^2
155.75
2.1904
35.284
64.32
85.848
9.2654
s² =[(63.25-75.73)²+(74.25-75.73)² +(81.67-75.73)² +(83.75-75.73)²]/(4-1)=85.85 = ²x'
²x'=²/n
Por tanto:
² =n * ²x'
Paso I.
Por ejemplo las medias de las muestras de la tabla anterior son 63.3, 74.3, 81.7, 83.8.
Esos cuatro valores tienen una desviación estándar de s=9.26116, así que:
Varianza entre muestras = ns² = 12 (9.26116) ² = 1,029.23
Estimación de la varianza entre tratamientos:
Por tanto: ² = n * ²x' = 12 * 85.85 = 1,030.2
Paso II.
A continuación, estimamos la varianza dentro de las muestras calculando s²p, que es la
varianza conjunta que se obtiene calculando la media de las varianzas de muestra. Las
desviaciones estándar de muestra son 9.4, 14.2, 13.7 y 10.9, así que
Descriptive statistics
Count
Mean
sample variance
sample standard
deviation
#1
#2
#3
#4
12
12
12
12
63.25 74.25 81.67 83.75
89.30 200.75 188.24 119.11
9.45
14.17
13.72
10.91
Varianza dentro de las muestras = s²/K =(9.4² + 14.2² + 13.7² + 10.9²)/4 = 149.13
Estimación de la varianza
Dentro de los tratamientos = (89.3+74.25+81.67+83.75)/4=597.4/4=149.35
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172
Paso III.
Por último, evaluamos la estadística de prueba F como sigue:
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
F= Estimación de la varianza entre tratamientos / Estimación de la varianza Dentro de los tratamientos
F=1,029.23/149.125 = 6.9018
F=1,030.02/149.35 = 6.8967
Si llevamos más posiciones decimales obtendremos una estadística de prueba más exacta:
F=6.9018
Paso IV.
El valor crítico de F se obtiene suponiendo una prueba de cola derecha, ya que los valores
grandes de F corresponden a diferencias significativas entre las medias. Con k muestras cada
una de las cuales tiene n puntajes, los números de grados de libertad se calculan como sigue:
Grados de libertad con k muestras del mismo tamaño n.
Grados de libertad del numerador = k - 1
Grados de libertad del denominador = k * (n-1) = N - k
Para los datos de muestra de la tabla anterior k=4 y n=12, así que los grados de libertad son 3
para el numerador y 44 para el denominador. Con un =0.05, 3 grados de libertad para el
numerador y 44 grados de libertad para el denominador, el valor critico es F = 2.84 (La tabla
de Distribución F no incluye 44 grados de libertad para el denominador, así que usamos el
valor más cercano, que corresponde a 40 grados de libertad).
Regla de decisión: "No rechazar si F  2.84. Rechazar sí F > 2.84".
Paso V.
Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de que las medias son
iguales. Hay suficientes indicios para justificar que se rechace la afirmación de que las cuatro
muestras provienen de poblaciones cuyas medias son iguales.
One factor ANOVA
ANOVA table
Source
Treatment
Error
Total
Mean
n
Std. Dev
63.3
12
9.45 Group 1
74.3
12
14.17 Group 2
81.7
12
13.72 Group 3
83.8
75.7
12
48
10.91 Group 4
14.34 Total
SS
3,090.06
6,571.42
9,661.48
df
3
44
47
MS
1,030.021
149.350
F
6.90
p-value
.0007
Tabla de Análisis de Varianza – Tabla ANOVA
Fuentes de
Variacion
Causas
Posibles
Error
Muestral
Suma de
Cuadrados
Factor A
3,090.06
Error E
6,571.42
Grados de
Libertad
Cuadrados
medios
F
de Prueba
3 1030.02083 6.89667373
F
Teórica
2.82
Valor-p
.0007
44 149.350379
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Análisis de Varianza con un Factor (One-Factor ANOVA)
Caso I.
Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1,
A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés
promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla,
aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las
distintas marcas en el lavado.
POR CADA MARCHA SEGUN LA BLANCURA QUE PRODUCEN
ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA
INDEPENDENCIA DE LAS VARIABLES DE TRATAMIENTO
PERSONAS ELEGIDAS
ALEATORIAMENTE
1
2
3
4
5
MEDIA = X'
EFECTO DEL TRATAMIENTO
TRATAMIENTOS –
EXPERIMENTOS
MARCAS DE DETERGENTES
A1
A2
A3
4
7
3
4
6
1
5
8
4
5
6
3
7
8
4
5
7
3
0
2
-2
X"
5
INTERES POR CADA MARCHA SEGUN LA BLANCURA QUE PRODUCEN
DISTINTAS MARCAS.
ESCALA DE 0 A 10.
Ho: A MEDIAr = MEDIAs
Ho: MEDIA1 = MEDIA2 = MEDIA3
Ha: Ǝ MEDIAr ≠ MEDIAs
(Al menos existen don medias que son diferentes)
k = n. de poblaciones =
n = n. de observaciones muestrales =
k * n = n. total de observaciones muestrales =
3
k>2
5
15
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175
Paso I.
Descriptive statistics
ANALISIS VARIANZA DENTRO DE LAS MUESTRAS
A1
A2
A3
Count
5
5
5
Mean
5.00
7.00
3.00
sample variance
sample standard
deviation
1.50
1.00
SUM VAR.
4.00
1.50
1.22
1.00
1.22
Mínimum
4
6
1
Máximum
7
8
4
Range
3
2
3
Paso II.
EFECTO DEL
FACTOR
TRATAMIENTO
ANALISIS VARIANZA ENTRE MUESTRA
X'
A1
A2
A3
X"
5.00
7.00
3.00
5.00
Mean
n
5.0
5
1.22 A1
7.0
5
1.00 A2
3.0
5
1.22 A3
5.0
15
X'-X"
0.00
2.00
-2.00
SUMATORIA
VARIANZA
DESVIACION
(X'-X")^2
0.00
4.00
4.00
8.00
4
2
Std. Dev
2.00 Total
Paso III.
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras = ns²/(∑s²/K)
Varianza entre muestras = ns² = 5 * 4 = 20
Varianza dentro de las muestras = ∑s²/K = 4/3 = 1.3333
F = 15
ANOVA table
Source
SS
Df
MS
F
p-value
15.00
.0005
Treatment
40.00
2
20.000
Error
16.00
12
1.333
Total
56.00
14
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
Fuentes
de
Variacion
Causas
Posibles
Error Muestral
Factor A
Error E
40.00
16.00
2
12
Cuadrados
medios
20.000
1.333
F
de Prueba
15
F
Teórica
3.89
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176
MEDIA
SUMA CUADRADOS DENTRO DE LAS MUESTRAS - ERROR
(X(X(XA1
X')^2 A2 X')^2 A3 X')^2
4
1
7
0
3
0
4
1
6
1
1
4
5
0
8
1
4
1
5
0
6
1
3
0
7
4
8
1
4
1
5
7
3
SCD
Error
SUMATORIA DE
CUADRADOS
6
4
6
16
SUMA
SUMA
CUADRADOS
DENTRO
MUESTRAS
SUMA DE CUADRADOS ENTRE LAS MUESTRAS
A1
A2
A3
X"
MEDIA - X'
5
7
3
5
Treatment
n*(X'-X")^2
0
20
20
40
SUMA
SCE
SUMA CUADRADOS
ENTRE MUESTRAS
SUMA DE LOS CUADRADOS DE LA MUESTRA TOTAL
A1
(X-X")^2 A2 (X-X")^2 A3 (X-X")^2
4
1
7
4
3
4
4
1
6
1
1
16
5
0
8
9
4
1
5
0
6
1
3
4
7
4
8
9
4
1
SUMATORIA
6
24
26
SCT = SCD +
SCE
SCT =
56
SCD =
16
SCE =
40
X" = 5
SCT
56
SUMA DE CUADRADOS
DE LA MUESTRA TOTAL
Fo = F observada = F empírica
Fo =
(SCE / (k-1))
(SCD / (k*(n-1)))
Numerador
Denominador
Dividendo
40.00
16
Divisor
Resultado
2
20.00
12
1.33
15.00
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177
Paso IV.
G.L. NUMERADOR
G.L. DENOMINADOR
F-distribution
df1 = 2
df2 = 12
K-1
K*(N-1)
2
12
P(lower)
P(upper)
F
.9500
.0500
3.89
Regla de decisión: "No rechazar si F  3.89. Rechazar sí F > 3.89".
Factor (Variable independiente): Causa posible de la heterogeneidad de las poblaciones (A).
Niveles del Factor (Tratamientos): Cada uno de los valores posibles del Factor (A1, A2,
A3…Ak).
Variables dependientes o Variable respuesta: Son los valores de las observaciones.
Efectos: Serán la medida de influencia del factor y, por tanto, de los tratamientos. (X’-X”)
Error muestral: Es el error debido a la aleatoriedad en la selección de los elementos
muéstrales.
Unidades experimentales (Réplicas): En este caso las personas seleccionadas para el
experimento.
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178
La homogeneidad de los datos xi se puede medir con su varianza, ya que cuanto menor sea la
varianza, esto es, cuanto menos sea la dispersión alrededor de su media global X” más
homogéneas son las observaciones xi.
Suma de Cuadrados Dentro de las Muestras (SCD) = ∑ (Xi – X´)^2
Suma de Cuadrados Entre las Muestras (SCE) = ∑ n * (X´i – X”)^2
Grados de libertad con k muestras del mismo tamaño n.
Grados de libertad del numerador = k - 1
Grados de libertad del denominador = k * (n-1) = N - k
Estas sumas divididas entre sus correspondientes grados de libertad proporcionan los
valores de los cuadrados medios.
Suma de Cuadrados Medios Dentro de las Muestras (SCMD) = [∑ (Xi – X´)^2]/(k – 1)
Suma de Cuadrados Medios Entre las Muestras (SCME) = [∑ n * (X´i – X”)^2]/(N – k)
F = SCME / SCMD
Fuentes
de
Variacion
Causas
Posibles
Error Muestral
Factor A
Error E
Suma de
Cuadrados
SCE =
40.00
SCD =
16.00
Grados de
Libertad
Cuadrados
medios
F
de Prueba
F
Teórica
SCME =
(k – 1) = 2
(N – k) =
SCMD =
12
1.333
20.000
15
3.89
Paso V.
Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de que el interés promedio
por cada marca según la blancura que producen es igual.
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179
Caso II. Se desea contrastar si el comportamiento de los consumidores es homogéneo en
función del día de la semana en que realizan su compra en un supermercado. Para ello se
eligen al azar observaciones muéstrales de cinco clientes, de lunes a sábado. El volumen de
compra medido en miles de unidades monetarias (u.m.) de cada una de las observaciones se
recoge en la tabla siguiente:
Poblaciones
Volumen de compra de 5 clientes de
lunes a sábado en el Supermercado
L
M
MI
J
V
S
a
5
7
8
4
6
6
Observaciones
b
c
d
6
4
2
3
3
5
4
4
7
6
2
5
2
3
7
5
6
3
e
3
2
2
5
5
7
Contrastar si el comportamiento es
homogéneo en función del día de la
semana
A un nivel de significancia de 10%
k = n. de poblaciones =
6
n = n. de observaciones muestrales =
5
N = k * n = n. total de observaciones muestrales
=
Ho: A MEDIAr = MEDIAs
Ho: MEDIA1 = MEDIA2 = MEDIA3
Ha: Ǝ MEDIAr ≠ MEDIAs
(Al menos existen don medias que son diferentes)
L
M
MI
J
V
A
5
7
8
4
6
B
6
3
4
6
2
C
4
3
4
2
3
D
2
5
7
5
7
E
3
2
2
5
5
30
S
6
5
6
3
7
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180
Caso III.
Se desea contrastar si el comportamiento de los consumidores es homogéneo en función del
día de la semana en que realizan su compra en un supermercado. Para ello se eligen al azar
observaciones muéstrales de cinco clientes, de lunes a sábado. El volumen de compra
medido en miles de unidades monetarias (u.m.) de cada una de las observaciones se recoge
en la tabla siguiente:
Poblaciones
Volumen de compra de 5 clientes de
lunes a sábado en el Supermercado
a
4
3
4
6
7
5
L
M
MI
J
V
S
b
2
3
5
7
8
4
Observaciones
c
d
3
4
4
4
4
3
8
5
5
5
4
5
e
2
3
4
6
9
4
Contrastar si el comportamiento es
homogéneo en función del día de la
semana
A un nivel de significancia de 1%
k = n. de poblaciones =
n = n. de observaciones muestrales =
k * n = n. total de observaciones muestrales
=
6
5
30
Ho: A MEDIAr = MEDIAs
Ho: MEDIA1 = MEDIA2 = MEDIA3
Ha: Ǝ MEDIAr ≠ MEDIAs
(Al menos existen don medias que son diferentes)
a
b
c
d
e
L
4
2
3
4
2
M
3
3
4
4
3
MI
4
5
4
3
4
J
6
7
8
5
6
V
7
8
5
5
9
S
5
4
4
5
4
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181
Caso IV.
Con la particularidad de que el número de observaciones recogida cada día es distinto. Se
desea contrastar si el comportamiento de los consumidores es homogéneo en función del día
de la semana en que realizan su compra en un supermercado. Para ello se eligen al azar
observaciones muéstrales de cinco clientes, de lunes a sábado. El volumen de compra
medido en miles de unidades monetarias (u.m.) de cada una de las observaciones se recoge
en la tabla siguiente:
Poblaciones
Volumen de compra de 5 clientes de
lunes a sábado en el Supermercado
L
M
MI
J
V
S
a
5
8
5
7
4
5
b
4
6
6
3
5
2
Observaciones
c
d
3
7
5
8
9
7
3
7
4
2
e
4
5
Contrastar si el comportamiento es
homogéneo en función del día de la
semana
A un nivel de significancia de 10%
k = n. de poblaciones =
n = n. de observaciones muestrales =
k * n = n. total de observaciones muestrales
=
6
5
30
Ho: A MEDIAr = MEDIAs
Ho: MEDIA1 = MEDIA2 = MEDIA3
Ha: Ǝ MEDIAr ≠ MEDIAs
(Al menos existen don medias que son diferentes)
A
B
C
D
E
L
5
4
3
M
8
6
7
5
MI
5
6
8
9
4
J
7
3
7
3
V
4
5
7
4
5
S
5
2
2
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 181
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
182
Caso V.
Queremos contrastar si la compra media por día es homogénea en función del día del mes en
que se realiza la compra en un supermercado. Para abaratar los costes de la experimentación
elegimos al azar diez días, y en cada uno de ellos tomamos un número distinto de
observaciones muéstrales.
La compra en miles de u.m., de cada una de las observaciones, aparece en la tabla siguiente.
1
2
3
4
5
6
A1
6
6
7
6
5
A2
8
5
5
5
6
7
A3
6
8
9
7
5
A4
5
6
3
2
4
4
A5
4
7
7
4
5
3
A6
5
6
4
5
A7
8
5
5
6
A8
9
8
8
7
8
A9
4
5
6
3
2
4
A10
5
4
5
4
2
Contrastar con un nivel de significación del 5% la homogeneidad de la compra diaria durante
el mes.
Caso VI.
El vicepresidente de mercado del Banco BHD León en los recientes esfuerzos promocionales
para atraer nuevos depositantes incluye algunos juegos y premios en cuatro sucursales del
banco. Está convencido que diferentes tipos de premios atraerían a diferentes grupos de
grupos de ingreso. Las personas de un nivel de ingreso prefieren los regalos, mientras que
los de otro grupo de ingreso pueden sentirse más atraídas por viajes gratuitos a sitios
favoritos para pasar vacaciones. Este decide utilizar el monto de los depósitos como una
medida representativa del ingreso. El desea determinar si existe una diferencia en el nivel
promedio de depósitos entre las cuatro sucursales. Si se halla alguna diferencia, ofrecerá una
diversidad de premios promocionales.
Aquí aparecen siente depósitos seleccionados aleatoriamente de cada sucursal en unidades de
US$100 más cercano.
Depósito
1
2
3
4
5
6
7
Sucursal1
5.1
4.9
5.6
4.8
3.8
5.1
4.8
Sucursal2
1.9
1.9
2.1
2.4
2.1
3.1
2.5
Sucursal3
3.6
4.2
4.5
4.8
3.9
4.1
5.1
Sucursal4
1.3
1.5
0.9
1
1.9
1.5
2.1
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 182
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183
Caso VII.
Un productor de pinturas para vivienda desea comparar el factor brillo de su pintura
utilizando cuatro emulsiones diferentes. Se pintan cinco tablas con cada tipo de emulsión y la
clasificación que se dio a cada una aparece aquí:
A un nivel del 1%, existe alguna diferencia en la clasificación promedio?
Tablas
1
2
3
4
5
Emulsion1
79
82
57
79
83
Emulsion2
69
52
62
61
60
Emulsion3
83
79
85
78
75
Emulsion4
75
78
78
73
71
Caso VIII.
Un estudio reciente realizado por American Assembly of Collegiate Scholls of Business
comparó los salaries de los nuevos graduados en diversos campos. Una parte de sus
resultados se representa en la tabla siguiente. A un nivel del 5%, ¿parece que hay diferencia
en los salarios promedios (en miles de dólares) de los graduados en los diferentes campos?
SIC = Sistemas de Información por Computador.
MC = Métodos Cuantitativos
Graduado
1
2
3
4
5
6
7
Finanzas
23.2
24.7
24.2
22.9
25.2
23.7
24.2
Mercadeo
22.1
19.2
21.3
19.8
17.2
18.3
17.2
SIC
23.3
22.1
23.4
24.2
23.1
22.7
22.8
MC
22.2
22.1
23.2
21.7
20.2
22.7
21.8
Caso IX.
NCP fabrica impresoras y aparatos de fax en sus tres plantas situadas en Atlanta, Dallas y
Seattle. Con el fin de medir el conocimiento de los empleados de estas tres plantas acerca de
la administración de la calidad, se toma una muestra aleatoria de seis empleados de cada
planta y se le explica el examen acerca de su conocimiento de calidad. En la tabla a
continuación se muestran las puntuaciones obtenidas en los exámenes de 18 empleados. Los
gerentes de la empresa quieren usar los datos para probar la hipótesis de que la media de las
puntuaciones de los exámenes es la misma en las tres plantas. A un nivel del 5%.
EMPLEADOS
1
2
3
4
5
6
PLANTA1
ATLANTA
85
75
82
76
71
85
PLANTA2
DALLAS
71
75
73
74
69
82
PLANTA3
SEATTLE
59
64
62
69
75
67
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184
Caso X.
En una auditoría, los auditores tienen que emitir opiniones acerca de diversos aspectos con
base en sus propias experiencias directas (Direct), indirectas (Inderect) o la combinación
(Combination) de ambas. En un estudio se pidió a los auditores que dieran su opinión acerca
de la frecuencia con que se presentan errores en una auditoría. Luego se compararon estas
opiniones con los resultados reales. Suponga que los resultados que se presentan a
continuación de un estudio similar; los valores bajos indican opiniones más acertadas. Use α
= 0.05 para determinar si el tipo de experiencia en que se basa la opinión afecta su calidad.
¿Cuál es su conclusión?
Auditores
1
2
3
4
5
6
7
Direct
17
18.5
15.8
18.2
20.2
16
13.3
Indirect
16.6
22.2
20.5
18.3
24.2
19.8
21.2
Combination
25.2
24
21.5
26.8
27.5
25.8
24.2
Caso XI.
En la publicidad de cuatro pinturas (Paint 1, 2, 3 y 4) se dice que tienen el mismo tiempo de
secado. Para verificarlo, se prueban cinco muestras de cada una de las pinturas. Se registra el
tiempo en minutos necesarios para que el secado sea suficiente para la aplicación de una
segunda mano. Los datos obtenidos se listan a continuación. Con un α = 0.05 como nivel de
significancia, realice una prueba para determinar si la media de los tiempos de secado es la
misma en cada tipo de pintura.
Paint1
128
137
135
124
141
Paint2
144
133
142
146
130
Paint3
133
143
137
136
131
Paint4
150
142
135
140
153
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185
Caso XII.
La encuesta de satisfacción de clientes de restaurantes de Consumer Reports se basa en más
de 148,599 visitas a diferentes cadenas de restaurantes de servicio completo (sitio web de
Consumer Reports). Una de las variables en el estudio es el precio de los alimentos, la
cantidad promedio que paga una persona por la comida y la bebida, menos propina. Se
selecciona una muestra de ocho restaurantes de mariscos (Seafood), ocho italianos (Italian) y
ocho de carnes (Steakhouse). Los datos a continuación muestran los precios de la comida en
dólares de los 24 negocios muestreados. Utilice un α = 0.05 para probar si hay una diferencia
significativa entre el precio medio de la comida en los tres tipos de restaurantes.
Restaurantes
1
2
3
4
5
6
7
8
Italian
12
13
15
17
18
20
17
24
Seafood
16
18
17
26
23
15
19
18
Steakhouse
24
19
23
25
21
22
27
31
Caso XIII.
Con el fin de probar si la media del tiempo necesario para mezclar un lote de un material es la
misma si emplea las máquinas de tres fabricantes. Jacobs Chemical obtiene los datos
siguientes sobre el tiempo (en minutos) requeridos para mezclar el material. Use los datos
para probar si las medias poblacionales de los tiempos necesarios para mezclar un lote de
material usando las máquinas de estos tres fabricantes difieren. Use un α = 5%.
FABRICANTE1 FABRICANTE2
20
28
26
26
24
31
22
27
FABRICANTE3
20
19
23
22
Caso XIV.
En un experimento diseñado para investigar la percepción de los valores éticos corporativos
entre personas especializadas en Marketing, se obtuvieron los datos siguientes (las
puntuaciones más altas indican valores éticos más elevados). Use un α = 5% para probar si
existe una diferencia significativa de percepción entre los tres grupos.
Gerentes de
Marketing
6
5
4
5
6
4
Investigación
de Mercados
5
5
4
4
5
4
Publicidad
6
7
6
5
6
6
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 185
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
186
Caso XV.
Para probar si existe una diferencia significativa entre cuatro máquinas respecto del número
de horas entre dos averías, se obtuvieron los datos siguientes. Con α = 5%, como nivel de
significancia, ¿cuál es la diferencia, si hay alguna, entre las medias poblacionales de los
tiempos de las cuatro máquinas?
Máquina1
6.4
7.8
5.3
7.4
8.4
7.3
Máquina2
8.7
7.4
9.4
10.1
9.2
9.8
Máquina3
11.1
10.3
9.7
10.3
9.2
8.8
Máquina4
9.9
12.8
12.1
10.8
11.3
11.5
Caso XVI.
Suponga que se selecciona una muestra de 10 empleados de agencias de publicidad con su salario
anual, para investigar si hay alguna diferencia en la compensación promedio anual de directores
artísticos con un 5% de nivel de significancia en las cuatro regiones: Oeste, Sur, Norte y Noreste. El
salario base (en miles de dólares) para cada uno de los individuos muestreados es:
OESTE
60.9
45.9
62.1
66.6
68
65
49.4
62.3
62.6
57.2
SUR
50.8
39.6
44.2
40
53.9
45.4
61.1
42.3
38.4
38.3
NORTE
49.5
42.3
35.5
49.1
56.7
41.4
51.3
49.4
42.1
55.7
NORESTE
65.9
58.6
49.3
53.9
48.5
52.9
52.4
48.1
46.5
45.9
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 186
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
187
Caso XVII.
Es ampliamente sabido que lso excesos o “picos” de voltaje pueden causar daños en equipos
electrónicos sensibles. Se realiza un estudio de los picos de voltaje para indagar si existe
diferencias en su frecuencia promedio entre los siete días de la semana o nocon un alfa de
0.05. En un periodo de 10 semanas seleccionadas aleatoriamente, se observa el número de
picos de voltaje durante 10 períodos de 24 horas para cada uno de los siete días de la semana.
LUNES
25
21
20
20
21
20
25
21
18
22
MARTES
24
20
19
16
21
19
24
15
20
14
MIERCOLES
16
20
19
21
17
13
23
23
23
23
JUEVES
22
17
19
21
19
13
27
15
20
20
VIERNES
33
28
44
33
22
36
28
27
22
16
SABADO
28
28
31
21
33
22
22
20
22
26
DOMINGO
35
20
29
19
26
23
26
30
29
29
Caso XVIII.
¿Que concluye usted acerca de la aseveración de que las tres poblaciones correspondientes a
los tres grupos de edades tienen la misma temperatura corporal media?
TEMPERATURAS CORPORALES (ºF) POR EDAD
18-20
n
X'
s
21-29
30 o más
98,0
98,4
97,7
98,5
97,1
99,6
98,2
99,0
98,2
97,9
98,6
98,6
97,0
97,5
97,3
5
97,940
0,568
5
98,580
0,701
5
97,800
0,752
BASADOS EN DATOS DEL DOCTOR PHILIP MACKOWIAK,
EL DR. STEVEN WASSERMAN Y EL DR. MYRON LEVINE
DE LA UNIVERSITY OF MARYLAND.
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 187
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
188
Caso XIX.
La City Resouce Recovery Company (CRRC) recolecta desperdicios desechados por los
hogares de la región. Los desperdicios deben separarse en las categorías de metal, papel,
plástico y vidrio. Al planificar que equipo necesita para recolectar y procesar la basura, la
CRRC consulta los datos que se resumen en la siguiente tabla:
En el nivel de significancia de 0.05, pruebe la afirmación de que las cuatro poblaciones
específicas tienen la misma media. Con base en los resultados, ¿cree usted que las cuatro
categorías requieran los mismos recursos para su recolección y procesamiento?
N
X'
S
METAL PAPEL PLASTICO VIDRIO
62
62
62
62
2,218
9,428
1,911
3,752
1,091
4,168
1,065
3,108
Cálculos con tamaños de muestra desiguales.
F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras
F= [ (ni(X'i-X")²) / k-1 ] / [ ((ni-1)s²i) / (ni-1)]
donde:
X" = media de todos los puntajes de muestra combinados
k = número de medias de población que se comparan
ni = número de valores en la i-esima muestra
N = número total de valores en todas las muestras combinadas
X'i = media de los valores de la i-esima muestra
s²i = varianza de los valores de la i-esima muestra
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 188
Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
189
Análisis de Varianza con un Factor en Bloques (Randomized Blocks ANOVA)
En un estudio de investigación de mercados se plantea contrastar si el consumo medio de
cuatro vehículos es homogéneo. Para ello se realizan pruebas experimentales con tres
conductores distintos. Para eliminar el efecto que puedan tener los conductores sobre el
consumo de los vehículos se recoge la información, de tal manera que todos los conductores
realizan pruebas con todos los vehículos. En la siguiente tabla se exponen los consumos de
combustibles por cada 100 km de cada automóvil con cada conductor.
Contrastar con un nivel de significancia del 5%.
1. La hipótesis de igualdad de consumos medios con los cuatro automóviles.
2. La hipótesis de igualdad de consumos medios de los tres conductores.
SCTR = Suma de Cuadrados debido a los Tratamientos = b * ∑ (X´i – X”)^2
SCBL = Suma de Cuadrados debido a los Bloques = a * ∑ (X´i – X”)^2
SCE = Suma de Cuadrados debido al Error
= [∑(X^2)] - [b * ∑ (X´i – X”)^2] – [a * ∑ (X´i – X”)^2] – [a*b*X”^2 ]
A1
8
7
6
B1
B2
B3
A2
7
6
5
BLOQUES
A3
5
6
4
A4
6
7
5
TRATAMIENTOS
B=3
K=A=4
A2
7
6
5
A3
5
6
4
A4
6
7
5
SUMATORIA
X´
(X´-X")^2
X´^2
B1
B2
B3
A1
8
7
6
26
6.5
0.25
42.25
26
6.5
0.25
42.25
20
5
1
25
SUMATORIA
X´
(X´-X")^2
X´^2
21
7
1
49
18
6
0
36
15
5
1
25
18
6
0
36
SUM Xi
72
2
146
MEDIA Xi
1.5
109.5
SCTR
SUMA CUADRADO
TRATAMIENTOS
6
6
6
36
SCBL
6
SUMA CUADRADO
6
BLOQUES
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190
SCE = Suma de Cuadrados debido al Error
= [∑(X^2)] - [b * ∑ (X´i – X”)^2] – [a * ∑ (X´i – X”)^2] – [a*b*X”^2 ]
Estas sumas divididas entre sus correspondientes grados de libertad proporcionan los
valores de los cuadrados medios.
BLOQUES
TRATAMIENTOS
A1
8
7
6
B1
B2
B3
A2
7
6
5
X^2
64
49
36
X^2
49
36
25
149
SUMATORIA
A3
5
6
4
110
A4
6
7
5
X^2
25
36
16
77
SCE
2
SUMA CUADRADO
ERROR
Randomized blocks ANOVA
n Std. Dev
3
1.000
3
1.000
3
1.000
3
1.000
A1
A2
A3
A4
6.500
6.500
5.000
6.000
4
4
4
12
1.291
0.577
0.816
1.128
Source
SS
df
MS
F
pvalue
Treatments
6.00
3
2.000
6.00
.0308
Blocks
B1
B2
B3
Total
6.00
2
3.000
9.00
.0156
2.00
14.00
6
11
0.333
ANOVA
table
Error
Total
Causas Posibles
Factor A
Suma de
Cuadrados
6.00
Bloques
Factor B
6.00
2
Error E
2.00
6
Fuentes de
Variacion
Error Muestral
Grados de
Libertad
3
Cuadrados
F
medios
de Prueba
2
6
3
9
0.33333333
36
49
25
110
446
Mean
7.000
6.000
5.000
6.000
X^2
F
Teórica
4.76
5.14
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191
Fuentes de
Variacion
Causas Posibles
Factor A
Bloques
Factor B
Error Muestral
Error E
Suma de
Cuadrados
SCTR
SCBL
SCE
Grados de
Libertad
K–1
Cuadrados
medios
CMTR=SCTR/(K-1)
B–1
CMBL=SCBL/(B-1)
(K-1)*(B-1)
CME=SCE/(K-1)(B-1)
F
de Prueba
CMTR/CME
F
Teórica
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192
Causas Posibles
Factor A
Suma de
Cuadrados
6.00
Bloques
Factor B
6.00
2
Error E
2.00
6
Fuentes de
Variacion
Error Muestral
Grados de
Libertad
3
Cuadrados
medios
2
3
0.33333333
F
de Prueba
6
F
Teórica
9
5.14
4.76
Contrastes y Conclusiones:
1)
Visto que F del Factor A es mayor FA = 6 > 4.76 = F (3,6-0.05)
Por tanto, rechazamos que los consumos medios de la conducción de los cuatro automóviles
sean homogéneos, con un nivel de significancia del 5%.
2)
Visto que F del Factor B es mayor FB = 9 > 5.14 = F (2,6-0.05)
Por tanto, rechazamos que los consumos medios de la conducción de la conducción de los
tre conductores sean homogéneos, con un nivel de significancia del 5%.
Caso II.
Prueba de estrés para controladores de tráfico aéreo.
Como resultado de un estudio para medir la fatiga y el estrés de los controladores de tráfico
aéreo, se propusieron modificaciones y rediseños a su estación de trabajo. Después de
evaluar diversos diseños, se seleccionaron tres alternativas consideradas con el mayor
potencial para reducir el estrés en los controladores. La pregunta clave es con α = 5%: ¿en
qué medida difieren estas tres alternativas en su efecto sobre el estrés de los sujetos de
estudio¿
Controller1
Controller2
Controller3
Controller4
Controller5
Controller6
System1
15
14
10
13
16
13
System2
15
14
11
12
13
13
System3
18
14
15
17
16
13
Modelos Estadísticos para la Toma de Decisiones | Ing. Rubén Darío Estrella, MBA – Cavaliere 192
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193
Caso III.
Un vendedor de automóviles realiza una prueba para determinar si el tiempo en minutos que se necesita
para afinar un motor pequeño depende de si se utiliza un analizador de motor computarizado o uno
electrónico. Debido a que el tiempo de afinación varía entre automóviles compactos, medianos y
grandes, en el experimento se utilizaron los tres tipos de vehículos como bloques. Los datos obtenidos
se indican a continuación.
Tratamientos
Analizador
Computarizado
Electrónico
50
42
55
44
63
46
Bloques
Automóvil
Compacto
Mediano
Grande
Caso IV.
El U.S Department of Housing and Urban Development publica datos que reflejan el Mercado de
rentas mensuales en las áreas metropolitanas. Los datos siguientes representan los precios de alquiler
($) mensuales aceptables en cinco zonas metropolitanas para departamentos de 1, 2 y 3 habitaciones
(The New York Times Almanac, 2006).
1 HABITACION
2 HABITACIONES
3 HABITACIONES
BOSTON
1,077.00
1,266.00
1,513.00
MIAMI
775.00
929.00
1,204.00
SAN DIEGO
975.00
1,183.00
1,725.00
SAN JOSÉ
1,107.00
1,313.00
1,889.00
WASHINGTON
1,045.00
1,187.00
1,537.00
Caso V.
El Instituto Nacional de Salud practicó encuestas a 1,060 adultos para determinar cómo pasaban su
tiempo libre. Los datos han sido desglosados por grupos de edad y se han condensados a sólo 16
observaciones para efectos de computación. ¿Parece haber alguna diferencia en el tiempo promedio
que se pasa en las diferentes actividades? Las observaciones están en horas por semana. Haga una
prueba para determinar si debería utilizarse el bloqueo. Use el valor alfa 0.05.
ENCUESTADOS
POR EDAD
15-18
19-25
26-35
36 Y MÁS AÑOS
TV
35
22
25
27
LECTURA
12
13
15
20
ACTIVIDAD
DEPORTES
TIEMPO CON LA FAMILIA
10
6
12
8
8
15
5
20
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194
Caso VI.
El concesionario Martin Motors tiene tres automóviles de la misma marca y modelo. El director desea
comparar el consumo de combustible de ellos (designados automóvil A, B y C) con cuatro tipos de
gasolina. En cada prueba se puso un galón de gasolina al tanque vacío de los automóviles y se
condujeron hasta que se agotó. En la siguiente tabla se muestra el número de millas que se recorrieron
en cada prueba.
TIPO DE
GASOLINA
REGULAR
SUPER REGULAR
SIN PLOMO
PREMIUM SIN PLOMO
DISTANCIA (MILLAS)
AUTO A
AUTO B
AUTO C
22.40
20.80
21.50
17.00
19.40
20.70
19.20
20.20
21.20
20.30
18.60
20.40
A un nivel de significancia del 0.05:
1) ¿Hay alguna diferencia entre los tipos de gasolina?
2) ¿Hay alguna diferencia entre los automóviles?
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195
Análisis de Varianza con dos Factores (Two Factors ANOVA) – Experimentos Factoriales
En algunos experimentos tal vez se quieran formular conclusiones acerca de más de una
variable o factor. Un experimento factorial es el diseño que permite obtener conclusiones
simultáneas acerca de dos o más factores.
El término factorial se utiliza porque las
condiciones experimentales incluyen todas las posibles combinaciones de los factores. Por
ejemplo, para a niveles de un factor A y b niveles de un factor B, el experimento incluirá
una colección de datos en el tratamiento de las combinaciones ab.
En numerosos experimentos, se investigan dos o más factores. No se considera extraño
ninguno de ellos y cada uno interesa primordialmente al experimentador. En tal caso, se
habla de un experimento factorial, para resaltar el hecho de interés se centra en el efecto de
esos dos o más factores en una respuesta medida.
Caso I.
Un estudio acerca del examen de admisión de graduados en administración (GMAT, por su
siglas en inglés), una prueba estandarizada que utilizan las escuelas de negocios para
evaluar una habilidad de los aspirantes a cubrir un programa de grado en ese campo. Las
puntuaciones del GMAT están en el rango de 200 a 800; las de nivel más elevado significan
una aptitud más alta. Con la intensión de mejorar el desempeño de los estudiantes en el
GMAT, una de las principales universidades de Texas considera ofrecer los siguientes tres
programas de preparación para ese examen:
1. Una sesión de repaso de tres horas, en la que se revisa el tipo de preguntas que suele
encontrarse en el GMAT.
2. Un programa de un día en el que se ve el material más relevante del examen, junto con
un examen muestra que se califica.
3. Un curso intensivo de 10 semanas en el que se identifican las debilidades de cada
estudiante y se establecen programas individualizados de mejora.
Por tanto, un factor en este estudio es el programa de preparación, el cual tiene tres
tratamientos: un repaso de tres horas, un programa de un día y un curso de 10 semanas.
Por lo general, los aplicantes del GMAT son estudiantes de tres licenciaturas: negocios,
ingeniería y artes y ciencias.
En consecuencia el segundo factor de interés en el
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196
experimento es si la licenciatura influye en la calificación del GMAT. Para este segundo
factor hay también tres tratamientos: negocios, ingeniería y artes y ciencias. Pruebe la
influencia de estos factores con un α = 0.05.
Factor A:
Preparation Program
Three-hour review
One-day program
10-week course
Factor B: College
Business
500
580
460
540
560
600
Engineering
540
460
560
620
600
580
Arts and Sciences
480
400
420
480
480
410
a = número de niveles del factor A = 3 programas
b = número de niveles del factor B = 3 licenciaturas
r = número de replicaciones = 2 sujetos por combinaciones de tratamientos
N = número total de observaciones en el experimento = 18
SCT = Suma de Cuadrados Total = ∑ (Xij – X”)^2
SCA = Suma de Cuadrados del Factor A = br * ∑ (X´i – X”)^2
SCB = Suma de Cuadrados del Factor B = ar * ∑ (X´j – X”)^2
SCAB = Suma de Cuadrados debido a la interacción
= r * ∑ (X´ij – X’i – X’j + X”)^2
SCE = STC - SCA – SCB – SCAB
Los cálculos de análisis de varianza con los datos de la tabla anterior permitirán contestar
las siguientes preguntas:
Efecto Principal (Factor A): ¿Difieren los programas de preparación en cuanto a sus efectos
sobre las calificaciones en la prueba GMAT?
Efecto Principal (Factor B): ¿Difieren las licenciaturas en cuanto a las puntuaciones de la
prueba GMAT?
Efecto Interacción (Factores A y B): ¿Se desempeñan mejor los alumnos de algunas
licenciaturas en determinado tipo de programas de preparación, y los de otras licenciaturas
en otro tipo de programa de preparación?
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197
Factor A:
Factor B: College
Preparation Program Business
Engineering
Three-hour review
500
540
Arts and Sciences
480
SUM
SUM
MEAN (X´ij)
580
1,080
540
460
540
1,000
500
560
600
1,160
580
460
1,000
500
560
620
1,180
590
600
580
1,180
590
400
880
440
420
480
900
450
480
410
890
445
SUM
3,240
3,360
2,670
9,270
MEAN (X´j)
(X´j-X")^2
SUM
540
625
7,550
560
2,025
445
4,900
X"
SCB
45,300
Factor 2 (B)
SUM
MEAN (X´ij)
One-day program
SUM
MEAN (X´ij)
10-week course
469.44
1,469.44
277.78
1,469.44
1,002.78
44.44
2,960
MEAN (X"i)
Factor 1 (A)
(X´i-X")^2
493.33
469.44
3,080
513.33
2.78
3,230
538.33
SUM.
GRAL.
544.44
515
1,016.67
6,100.00
277.78
44.44
544.44
5,600.00
11,200.00
SUM
SCAB
SCA = Suma de Cuadrados del Factor A = br * ∑ (X´i – X”)^2
SCB = Suma de Cuadrados del Factor B = ar * ∑ (X´j – X”)^2
SCAB = Suma de Cuadrados debido a la interacción
= ∑ (X´ij – X’i – X’j + X”)^2
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SUM
SCA
198
Factor A:
Factor B: College
Preparation Program
Three-hour review
One-day program
10-week course
Business
500
580
460
540
560
600
(X-X")^2
225
4,225
3,025
625
2,025
7,225
17,350
X"
515
Engineering
540
460
560
620
600
580
(X-X")^2
625
3,025
2,025
11,025
7,225
4,225
28,150
Arts and
Sciences
480
400
420
480
480
410
(X-X")^2
1,225
13,225
9,025
1,225
1,225
11,025
36,950
SCT = Suma de Cuadrados Total = ∑ (Xij – X”)^2
SCE = STC - SCA – SCB – SCAB = 82,450 – 6,100 – 45,300 – 11,200 = 19,850
Estas sumas divididas entre sus correspondientes grados de libertad proporcionan los
valores de los cuadrados medios.
Suma de
Variacion Cuadrados
Factor 1 (A) 6,100.0000
Fuentes de
Causas Posibles
Causas Posibles Factor 2 (B) 45,300.0000
Interacción
Error Muestral
Interacción 11,200.0000
Error E
19,850.0000
Grados de
Libertad
2
2
4
9
Cuadrados
F
medios
de Prueba
3,050.0000
1.3829
22,650.0000 10.2695
2,800.0000
1.2695
2,205.5556
F
Teórica
4.2565
4.2565
3.6331
Two factor ANOVA
Factor 2
Means:
Business
Factor 1
Three-hour
review
One-day
program
10-week course
Engineering Arts and Sciences
540.0
500.0
440.0
493.3
500.0
580.0
540.0
590.0
590.0
560.0
450.0
445.0
445.0
513.3
538.3
515.0
MS
3,050.000
22,650.000
2,800.000
2,205.556
F
1.38
10.27
1.27
pvalue
.2994
.0048
.3503
replications per
2 cell
ANOVA table
Source
Factor 1
Factor 2
Interaction
Error
Total
SS
6,100.00
45,300.00
11,200.00
19,850.00
82,450.00
df
2
2
4
9
17
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Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
STC
82,450
199
Suma de
Variacion Cuadrados
Factor 1 (A)
SCA
SCB
b-1
Cuadrados
medios
SCA/(a-1)
SCB/(b-1)
Fuentes de
Causas Posibles
Causas Posibles Factor 2 (B)
Grados de
Libertad
a-1
F
de Prueba
F
Teórica
SCA/(a-1) /
SCE/[ab(n-1)]
SCB/(b-1) /
SCE/[ab(n-1)]
SCAB/[(a-1)(b-1)] /
Interacción
Interacción
SCAB
(a-1)(b-1)
SCAB/[(a-1)(b-1)]
Error Muestral
Error E
SCE
ab(n-1)
SCE/[ab(n-1)]
SCE/[ab(n-1)]
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Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemático (PUCMM), Teólogo (UNEV) y Maestro (SALOME UREÑA)
200
ANOVA table
Source
F
pvalue
3,050.000
1.38
.2994
22,650.000
10.27
.0048
1.27
.3503
SS
df
MS
Factor 1
6,100.00
2
Factor 2
45,300.00
2
Interaction
11,200.00
4
2,800.000
Error
Total
19,850.00
82,450.00
9
17
2,205.556
Para hacer la prueba de hipótesis de dos factores en este estudio se utilizó un nivel de
significancia del α = 0.05. El valor-p utilizado para probar si hay diferencias significativas
entre los tres programas de preparación Factor 1 (A) es de .2994 es mayor que α = 0.05, no
existe diferencia significativa entre las medias de las puntuaciones obtenidas en el GMAT
para los tres programas de preparación. Sin embargo, en relación con el efecto de la
licenciatura, Factor 2 (B), el valor-p = 0.0048 es menor que α = 0.05; por tanto, si hay una
diferencia significativa en las medias de las puntuaciones en el GMAT entre las tres
licenciaturas.
Por último, debido a que el valor-p de 0.3503 corresponde al efecto de la interacción es
mayor que α = 0.05, no hay efecto significativo de interacción. Por tanto, en este estudio
No se encuentran razones para pensar que los tres programas de preparación difieren en su
capacidad para capacitar a estudiantes de las distintas licenciaturas para el GMAT.
Se encontró que la licenciatura sí es factor significativo. Al revisar los cálculos de la tabla,
vemos que las medias muestrales son: estudiantes de negocios X´=540, ingeniería X´=560 y
artes y ciencias X’=445. Se pueden realizar pruebas para los distintos tratamientos; sin
embargo, después de observar las tres medias muestrales es posible anticipar que no hay
diferencia entre los alumnos con las licenciaturas en ingeniería y negocios. Pero los de
artes y ciencias parecen estar menos preparados para este examen que los de las otras dos
licenciaturas. Quizás esta observación haga que la universidad busque otras opciones para
ayudar a este grupo a prepararse para el GMAT.
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201
Gráfica de Interacción por el Factor 2.
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202
Caso II.
Supongamos que el investigador de mercados se interese por el efecto de dos variables que
influyen en la compra de un producto. Por ejemplo, consideremos un punto de venta donde
existe servicio de cafetería, venta de prensa, Alimentación y restaurante, etc., abierto los
siete días de la semana. Si deseamos investigar el mercado de alquiler de vídeos en este
centro dependiendo de dos factores.
A. Que el alquiler se realice en día laborable, víspera de festivo o festivo.
B. La zona local, donde se ubican los estantes que contienen los vídeos, con tres niveles:
cerca de la cafetería, próximo a la sección de venta de prensa o cerca del restaurante.
Trataremos de estudiar la influencia de los factores A y B sobre la variable dependiente que
mide el volumen de alquiler de vídeos.
Estos dos factores actúan de forma no
independiente, puesto que puede existir influencia o interacción entre que sea día festivo y
que el punto de alquiler de vídeos esté situado cerca del restaurante, o que sea día laborable
y el punto de alquiler de vídeos esté próximo a la sección de venta de prensa. Estudiamos,
por tanto, la influencia de forma conjunta, esto es, interactuando y no marginalmente.
Las poblaciones consideradas serían, por tanto, (A, B):
A indica el día de la semana, con tres niveles: Laborales (L), víspera de festivo (VF) o
festivo (F)
B indica dónde situamos el punto de alquiler también con tres niveles: Próximo a la
cafetería ©, Prensa (P) o restaurante ®.
Situación 1:
Supongamos que queremos analizar si el número medio de cintas de video alquiladas por
día depende de que sea día laborable, víspera de festivo o festivo, y también si depende de
la ubicación de los estantes donde están colocadas las cintas, esto es, cerca del punto de
venta de prensa, del restaurante o de la cafetería de un centro comercial abierto los siete
días de la semana. Para ello se toman las siguientes observaciones, que expresan el número
de cintas de vídeo alquiladas dependiendo del día de la semana y de la ubicación de las
cintas. Tomando tres observaciones muéstrales para cada combinación de fila columna.
Contrastar con un nivel de significancia del 1%.
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203
L
VF
F
C
30
25
20
24
28
30
32
35
28
P
10
15
10
32
30
21
25
35
40
R
15
20
10
32
28
25
20
25
30
Caso III.
Un concesionario de automóviles desea hacer una investigación de mercado sobre el
número medio de vehículos vendidos en función de dos factores:
A = la gama a la que pertenecen los vehículos.
B = el color de esos vehículos.
Dado que el número de gamas es grande, elegimos al azar las tres más representativas, y por
el mismo motivo, elegimos al azar tres colores. Los vehículos vendidos de esas gamas con
esos colores se eligen al azar entre los coches matriculados, en tres períodos de tiempo
iguales. Los datos obtenidos figuran en la tabla siguiente.
Contrastar con un nivel de significación del 1%.
A1
A2
A3
B1
4
4
4
4
3
3
2
2
1
B2
2
2
1
3
3
2
1
1
1
B3
1
1
1
3
3
2
1
1
0
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204
Caso IV.
En un experimento factorial con dos niveles para el factor A y tres niveles para el factor B se
obtuvieron los datos siguientes.
FACTOR A
NIVEL1
NIVEL1
135
165
125
95
NIVEL2
FACTOR B
NIVEL2
90
66
127
105
NIVEL3
75
93
120
136
Realice una prueba para determinar si hay algunos efectos principales significativos y algún efecto de
interacción. Use valor de significancia del 5%.
Caso V.
Una empresa de ventas por catálogo realizó un experimento factorial para probar el efecto del tamaño
de un anuncio de revista y su diseño sobre el número de solicitudes de catálogos recibido (datos en
miles). Se pusieron a consideración tres diseños publicitarios y dos tamaños. Los datos obtenidos se
presentan a continuación. Pruebe si hay efectos significativos debido al tipo de diseño, al tamaño del
anuncio o a la interacción. Valor alfa 0.05.
DISEÑO
A
B
C
TAMAÑO DEL ANUNCIO
PEQUEÑO
GRANDE
8
12
12
8
22
26
14
30
10
18
18
14
Caso VI.
Un parque de diversión estudió algunos métodos para reducir el tiempo de espera (en minutos) al bajar
y subir a los pasajeros a los juegos. Se propusieron dos métodos para realizar estas tareas. Para tomar
en cuenta las diferencias potenciales debido al tipo de juego y a la interacción que puede haber entre
tipo de juego y método de subir y bajar a los pasajeros, se diseñó un experimento factual. Use los datos
siguientes para probar cualquier efecto significativo debido al método de subir y bajar a los pasajeros,
el tipo de juego y la interacción. Use valor de significancia del 5%.
MÉTODOS
SUBIR Y BAJAR
MÉTODO1
MÉTODO2
MONTAÑA RUSA
41
43
49
51
TIPO DE JUEGO
RUEDA DE LA FORTUNA
52
44
50
46
TOBOGÁN
50
46
48
44
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205
Caso VII.
Para identificar si hay alguna diferencia significativa en la rapidez de dos sistemas de software para
traducir el inglés en otros idiomas, se diseñó un experimento factorial. Como el idioma al que se
traduzca es también un factor importante, los sistemas se prueban traduciendo tres: español, francés y
alemán. Utilice los datos siguientes del tiempo en horas necesario para efectuar esta tarea.
SOFTWARE
SISTEMA1
SISTEMA2
ESPAÑOL
8
12
6
10
IDIOMA
FRANCÉS
10
14
14
16
ALEMÁN
12
16
16
22
Realice una prueba para determinar si hay alguna diferencia significativa debido al idioma al que se
traduce y si hay algún efecto de interacción. Use valor de significancia del 5%.
Caso VIII.
En una fábrica se diseña un experimento factorial para determinar si hay diferencia entre el número de
partes defectuosas producidas por dos máquinas y si el número de defectos depende también de si a
estas máquinas se les suministra la materia prima manualmente o mediante un sistema de alimentación
automático. A continuación se presentan los datos del número de partes defectuosas producidas. Use el
valor alfa 0.05 para probar si hay algún efecto significativo debido a la máquina, al sistema de
suministro de la materia prima y a la interacción.
MÁQUINA 1
MÁQUINA 2
SUMINISTRO DE MATERIA PRIMA
MANUAL
AUTOMÁTICO
30
30
34
26
20
24
22
28
Caso IX.
Robert Altoff es Vicepresidente de Ingeniería de un fabricante de máquinas lavadoras domésticas.
Como parte del desarrollo de un producto nuevo, Altoff desea determinar el tiempo óptimo del ciclo de
lavado. Parte del desarrollo es estudiar la relación entre el detergente empleado (cuatro marcas) y la
duración del ciclo de lavado (18, 20, 22 o 24 minutos). A fin de realizar el experimento se asignan 32
cargas estándar de ropa (con igual contenido de suciedad y pesos totales iguales) a las 16
combinaciones detergente-ciclo de lavado. Los resultados (en libras de suciedad eliminada) se
muestran en la siguiente tabla.
MARCA DEL
DETERGENTE
A
B
C
D
18
0.13
0.11
0.14
0.10
0.16
0.17
0.09
0.13
TIEMPO DEL CICLO (MIN)
20
22
0.12
0.19
0.11
0.17
0.15
0.18
0.14
0.17
0.15
0.18
0.14
0.19
0.12
0.16
0.13
0.16
24
0.15
0.18
0.20
0.18
0.19
0.21
0.15
0.17
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206
A un nivel de siginificancia de 0.05.
1) Pruebe el efecto de interacción de la marca y el tiempo del ciclo sobre la “suciedad eliminada”.
2) Con base a los resultados anteriores, realice las pruebas de hipótesis apropiadas para detectar las
diferencias entre las medias de los factores.
Caso X.
La American Accounting Association realize un studio para comparer los salaries semanales de
hombres y mujeres empleados en el sector público o privado en contabilidad.
GÉNERO
HOMBRES
MUJERES
SECTOR
PUBLICO
PRIVADO
978.00
1,335.00
1,035.00
1,167.00
964.00
1,236.00
996.00
1,317.00
1,117.00
1,192.00
863.00
1,079.00
975.00
1,160.00
999.00
1,063.00
1,019.00
1,110.00
1,037.00
1,093.00
1) Pruebe el efecto de interacción del género y el sector en los salarios. A un nivel del 5% de
significancia.
2) Con base a los resultados anteriores, realice las pruebas de hipótesis adecuadas para detectar las
diferencias entre las medias de los factores.
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207
Caso XI.
Supongamos que se realiza un estudio para probar la efectividad de tres tipos de sistemas de incentivos
en la productividad de los empleados. La gerencia considera que las diferencias de productividad
podrían ser distintas entre hombres y mujeres. Se obtuvo la siguiente tabla de resultados.
Género
Hombres
Mujeres
I
26
34
46
48
42
49
74
61
51
53
Sistema de Incentivos
II
51
50
33
28
47
50
48
60
71
42
III
52
64
39
54
58
53
77
56
63
59
1) Pruebe el efecto de interacción del género y el sistema de incentivos. A un nivel del 5% de
significancia.
2) Con base a los resultados anteriores, realice las pruebas de hipótesis adecuadas para detectar las
diferencias entre las medias de los factores.
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208
Análisis de Regresión y Correlación (Correlation and Regression)
El modelo estadístico que nos permite representar la relación entre dos variables
(dependiente e independiente) se denomina Ecuación de Regresión, ya que a través de este
modelo podemos regresar o proyectar datos sobre el posible comportamiento futuro del
fenómeno.
El primero en desarrollar el análisis de regresión fue el científico inglés Sir Francis Galton
(1822-1911). Este estudio el fenómeno de la herencia y demostró que cuando matrimonios con
estaturas altas o bajas tienen hijos, las estaturas de esos hijos tienden a exhibir regresión, es decir, a
desplazarse hacia una estatura media más representativa.
Dada una colección de datos de muestra apareados, la ecuación de regresión
y = bo + bix
y = f(x)
describe la relación entre dos variables. La grafica de la ecuación de regresión se denomina
línea de regresión (o línea de mejor ajuste, o línea de mínimos cuadrados).
Esta definición expresa una relación entre "x" (variable independiente o variable
predictoria) y "y" (llamada variable dependiente o variable de respuesta).
Variable dependiente (Y): Es la variable que se desea explicar o predecir; también se le
denomina regresando o variable de respuesta.
Variable independiente (X): se utiliza para explicar a Y.
Notación para la ecuación de regresión.
Parámetro Estadística
de Poblac. de Muestra
Ordenada al origen de
la ecuación de regresión o
bo
Pendiente de la
la ecuación de regresión 1
b1
Ecuación de la línea
de Regresión
Y=o+ix
y=bo+bix
Donde bo es la ordenada de origen y bi es la pendiente.
bo y bi son estadísticas de muestra que sirven para estimar los parámetros de población o y
ix.
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209
Mínimos cuadrados ordinarios (MCO).
El propósito del análisis de regresión es determinar una recta que se ajuste a los datos
muéstrales mejor que cualquier otra recta que pueda dibujarse.
bo y bi estos valores los podemos determinar a través de un procedimiento matemático que
se denomina Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). MCO producirá una recta que se
extiende por el centro del diagrama de dispersión aproximándose a todos los puntos de datos
mas que cualquier otra recta.
Suma de los cuadrados de X.
SCx = (Xi-X')²
SCx = X² - [(X)²/n]
Suma de los cuadrados de Y.
SCy = (Yi-Y')²
SCy = Y² - [(Y)²/n]
Suma de los productos cruzados de X y Y.
SCxy = (Xi-X')(Yi-Y')
SCxy = XY - [(X)(Y)/n]
Vale la pena notar que las primeras porciones de cada una de estas fórmulas:
SCx = (Xi-X')²
SCy = (Yi-Y')²
SCxy = (Xi-X')(Yi-Y')
Ilustran como la recta MCO se basa en las desviaciones de las observaciones a partir de su
media.
Dadas las sumas de cuadrados y los productos cruzados, es sencillo calcular la pendiente de
la recta de regresión y el intercepto, así:
La Pendiente de la recta de regresión.
bi = SCxy/SCx
El intercepto de la recta de regresión.
bo = Y' - biX'
donde Y' y X' son las medias de los valores de Y y los valores de X.
NOTA: Estos cálculos son extremadamente sensibles a la aproximación. Por tanto, se
aconseja en aras de la exactitud, efectuar los cálculos hasta con cinco o seis cifras decimales.
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210
El error estándar de estimación Se.
Es una medida del grado de dispersión de los valores Yi alrededor de la recta de
regresión. Mide la variación de los puntos de datos por encima y por debajo de la recta de
regresión. Refleja la tendencia a desviarse del valor real de Y cuando se utiliza el modelo de
regresión para fines predictivos.
El error estándar de estimación mide la variación promedio de los puntos de datos
alrededor de la recta de regresión que se utiliza para estimar Y y por ende proporciona una
medida del error que se presentara en dicha estimación.
Se = (Yi-Y^i)²/n-2
Suma de Cuadrados del Error - SCE
SCE = SCy - (SCxy)²/SCx
En un modelo de regresión simple, se imponen dos restricciones en el conjunto de
datos, debido a que se deben dos parámetros, o y ix. Por tanto hay n-2 grados de libertad y
CME es
Cuadrado Medio del Error
CME = SCE/n-2
El Error Estándar
Se = CME
El error estándar siempre se expresa en las mismas unidades que la variable dependiente Y.
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211
Caso I.
La gerencia de Aeromar, considera que existe una relación directa entre los gastos
publicitarios y el número de pasajeros que escogen viajar por Aeromar. Para determinar si
esta relación existe, y si es así cual podría ser la naturaleza exacta, los analistas decidieron
utilizar los procedimientos de MCO para determinar el modelo de regresión. Represente
gráficamente los resultados.
y=bo+bix
Datos de Regresión para AEROMAR
Observación Publicidad Pasajeros
Mes
En miles US$ En miles
X
Y
1
10
15
2
12
17
3
8
13
4
17
23
5
10
16
6
15
21
7
10
14
8
14
20
9
19
24
10
10
17
11
11
16
12
13
18
13
16
23
14
10
15
15
12
16
TOTALES
187
268
XY
X^2
Y^2
Coeficiente de Correlación de Pearson
Es una prueba estadística para analizar la relación entre dos variables medidas en un nivel
por intervalos o de razón.
El valor positivo para un bi indica una relación directa. A medida que la publicidad aumenta,
también lo hace el número de pasajeros. Ahora es útil obtener una medida de la fuerza de esa
relación. Esta es la función del Coeficiente de Correlación, desarrollada por Carl Pearson, a
veces se le llama el Coeficiente de Correlación producto-momento de Pearson.
El Coeficiente de Correlación r puede asumir cualquier valor entre -1 y +1, es decir,
-1  r  +1
Un valor de r= -1 indica una relación negativa entre X y Y.
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212
Interpretación: El Coeficiente r de Pearson puede variar de -1 a +1, donde:
-1.00 = Correlación negativa perfecta. (“a mayor X, menor Y”, de manera
proporcional. Es decir, cada vez que X aumenta una unidad, Y disminuye siempre
una cantidad constante) Esto también se aplica “a menor X, mayor Y”.
-0.90 = Correlación negativa muy fuerte.
-0.75 = Correlación negativa considerable.
-0.50 = Correlación negativa media.
-0.25 = Correlación negativa débil.
-0.10 = Correlación negativa muy débil.
-0.00 = No existe Correlación alguna entre las variables.
+ 0.10 = Correlación positiva muy débil.
+ 0.25 = Correlación positiva débil.
+ 0.50 = Correlación positiva media.
+ 0.75 = Correlación positiva considerable.
+ 0.90 = Correlación positivia muy fuerte.
+1.00 = Correlación positiva perfecta. (“a mayor X, mayor Y” o “a menor X, menor
Y”, de manera proporcional. Cada vez que X aumenta una unidad, Y aumenta
siempre una cantidad constante).
Suma de Cuadrados Total
SCT = (Yi-Y')²
SCR = (Y^i-Y')²
SCE = (Yi-Y^i)²
Suma de Cuadrados de la Regresión
Suma de Cuadrado de Error
Coeficiente de Correlación de Pearson
r = SCR/SCT
r = SCxy / (SCx)(SCy)
Consideraciones: cuando el coeficiente r de Pearson se eleva al cuadrado (r^2), se obtiene el
coeficiente de determinación y el resultado indica la varianza de factores comunes. Esto es, el
porcentaje de la variación de una variable debido a la variación de la otra variable y viceversa
(o cuánto explica o determina una variable de la otra. Por ejemplo si la correlación entre
“productividad” y “asistencia al trabajo” es de r=0.80 y r^2=0.64. La productividad
constituye a, o explica, 64% de la variación de la “asistencia al trabajo”.
0.66 ≤ r^2 ≤ 0.85 indica Buena predicción.
r^2 > 0.85 ambas variables miden casi el mismo concepto.
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213
Análisis de Varianza en la Regresión.
El procedimiento ANOVA mide la cantidad de variación en el modelo de muestreo.
Suma de Cuadrados de la Regresión.
SCR = (SCxy) ²/Scx
Suma de Cuadrados del Error.
SCE = SCy - (SCxy)²/SCx
Suma de los Cuadrados Total.
SCT = SCR + SCE
Causas
Posibles
Error Muestral
ANOVA table
Source
Regression
Residual
Total
Causas
Posibles
Error Muestral
Fuentes
de
Suma de
Grados de
Cuadrados
Variacion
Cuadrados
Libertad
medios
Regresión
Error
Total
SCR
SCE
SCT
SS
161.0441
10.6893
171.7333
df
1
13
14
K
n-k-1
n-1
MS
161.0441
0.8223
Teórica
F
195.86
Suma de
Grados de
Cuadrados
Variacion
Cuadrados
Libertad
medios
Regresión
Error
Total
161.0441
10.6893
F
CMR = SCR/K CMR/CME
CME=SCE/n-k-1
Fuentes
de
171.7333
F
de
Prueba
1
13
14
161.0441
F
de
Prueba
195.86
F
Teórica
4.67
0.8223
Ho: La publicidad no tiene poder explicativo sobre las ventas de tickets.
Ha: La publicidad si tiene poder explicativo sobre las ventas de tickets.
Si el nivel de significancia es de 0.05.
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214
Prueba para la Bi (Pendiente).
Si la pendiente de la recta de regresión poblacional real pero desconocida es cero, no existe
relación entre los pasajeros y la publicidad contraria a los resultados muéstrales.
Ho: Bi = 0
Ho: Bi ≠ 0
Esta prueba emplea es estadístico t.
La prueba t para el coeficiente de regresión poblacional.
t = (bi – Bi)/Sbi
Error Estándar del Coeficiente de Regresión Sbi.
Sbi = Se/√SCx
Sbi = Se/√SCx = 0.907 / √137.73333 = 0.07726
t = (bi – Bi)/Sbi
t = (1.0813 – 0)/0.07726 = 13.995
Si nivel de significancia es 0.05  t 0.05,13 = ± 2.160
Debido a que t = 13.995, la Ho de Bi = 0 se rechaza. Al nivel del 5% parece existir una relación
entre pasajeros y publicidad.
I.C. par Bi = bi ± t * Sbi = 1.08 ± (2.160) (0.07726)
0.913 ≤ Bi ≤ 1.247
Regression output
variables
Intercept
Publicidad
coefficients std. error
4.3863
0.9913
1.0813
0.0773
t (df=13)
4.425
13.995
p-value
.0007
3.24E09
confidence interval
95%
95%
lower
upper
2.2447
6.5278
0.9144
1.2482
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215
Caso II.
Para apoyar las ventas de un producto de consumo masivo en un mercado altamente
competitivo una empresa inicio a comienzos de año una intensa campaña publicitaria. La
comparación entre la inversión publicitaria y las ventas del producto en 12 meses se colocan
en la siguiente tabla:
a) Formule la ecuación de regresión.
b) Si invertimos en publicidad $400,000 cuál debería ser las posibles ventas?
VENTAS PUBLICIDAD
MESES
EN MILES EN MILES
Y
X
ENERO
350
200
FEBRERO
300
250
MARZO
630
300
ABRIL
840
250
MAYO
930
330
JUNIO
1060
180
JULIO
1280
150
AGOSTO
850
350
SEPTIEMBRE
700
200
OCTUBRE
1160
250
NOVIEMBRE
1180
250
DICIEMBRE
1500
170
TOTALES
10780
2880
XY
X^2
Y^2
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216
Caso III.
El departamento de ventas de una Compañía realiza un análisis comparativo entre el
volumen de pedidos levantados y número de visitas efectuadas. Por sus diez vendedores en
cierto periodo de tiempo, todos los vendedores trabajan en zonas similares, en lo referente al
número de clientes que maneja cada uno y potencial de compra de dichos clientes. Los
resultados obtenidos son los siguientes:
a) Formule la ecuación de regresión.
b) ¿Cuánto ascendería el posible monto de los pedidos si las visitas fueran 250?
c) ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
d) Determine el error estándar.
e) Haga el diagrama de dispersión.
f) Grafique la recta de regresión.
PEDIDOS
EN MILES VISITAS
VENDEDOR
US$
REALIZADAS
1
13,4
245
2
10,3
172
3
15,1
291
4
6,9
124
5
7,3
191
6
14,2
218
7
5,2
101
8
11,8
259
9
14,3
307
10
5,5
142
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Caso IV.
Suponga que se reunieron datos de una muestra de 10 restaurantes ubicados cerca de centros
educativos. Para i-ésima observación o restaurante de la muestra, xi es el tamaño de la
población estudiantil, en miles, y yi son las ventas trimestrales (en miles de dólares). Los
valores de xi y yi para los 10 restaurantes de la muestra se resumen en la siguiente tabla:
Ventas
Población de
Trimestrales
Restaurante Estudiantes (miles) (miles de dólares
1
2
58
2
6
105
3
8
88
4
8
118
5
12
117
6
16
137
7
20
157
8
20
169
9
22
149
10
26
202
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. ¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó anteriormente, acerca de la relación
entre las dos variables?
c. Formule la ecuación de regresión.
d. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de regresión.
e. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
f. Determine el error estándar.
g. Grafique la recta de regresión.
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Caso V.
Los datos siguientes muestran las ventas (en millones) de cajas y los gastos de publicidad (en
millones de dólares) para 7 marcas principales de refrescos (Superbrands ’98, 20 de octubre
de 1997).
Gastos de
Publicidad
Ventas de cajas
Marca
(millones de dólares) (en millones)
Coca-Cola Classic
131.3
1,929.2
Persi-Cola
92.4
1,384.6
Diet Coke
40.4
811.4
Sprite
55.7
541.5
Dr. Pepper
40.2
536.9
Mountain Dew
29.0
535.6
7-Up
11.6
219.5
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. Formule la ecuación de regresión.
c. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de regresión.
d. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
e. Determine el error estándar.
f. Prediga las ventas para una marca que gaste 70 millones de dólares en publicidad.
g. Grafique la recta de regresión.
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Caso VI.
En The Wall Street Journal Almanac 1998 aparecieron datos sobre el desempeño de las
aerolíneas estadounidenses. A continuación vemos los datos sobre el porcentaje de vuelos
que llegan puntuales y la cantidad de quejas por 100,000 pasajeros.
Aerolínea
% de Puntualidad
Quejas
Southwest
81.8
0.21
Continental
76.6
0.58
Northwest
76.6
0.85
US Airways
75.7
0.68
United
73.8
0.74
American
72.2
0.93
Delta
71.2
0.72
American West
70.8
1.22
TWA
68.5
1.25
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. ¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó en el inciso a)?
c. Formule la ecuación de regresión, que indique cómo se relaciona el número de quejas
por cada 100,000 pasajeros con el porcentaje de vuelos que llegan a tiempo.
d. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de regresión.
e. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
f. Determine el error estándar.
g. ¿Cuál es la cantidad estimada de quejas por 100,000 pasajeros, si el porcentaje de
vuelos puntuales es de 80 porciento?
h. Grafique la recta de regresión.
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Caso VII.
La empresa Nielsen Media Research reúne datos que muestran qué publicistas obtienen la
mayor difusión durante las horas estelares de transmisión en 6 redes televisivas. A
continuación se presentan los datos de la cantidad de familias espectadoras, en millones, y la
cantidad de veces que salió el anuncio al aire durante la semana del 28 de abril al 4 de mayo
de 1997 (USA Today, 5 de mayo de 1997).
Veces que salió al
Familias
Marca Anunciada
aire
espectadoras
Wendy's
28
191.7
Ford Escort
20
174.6
Ausin Powers movie
14
161.3
Nissan
16
161.1
Pizza Hut
16
147.7
Saturn
16
146.3
Father's Day Movie
11
138.2
a. Forme la ecuación de regresión estimada que describa cómo se relaciona la cantidad de
veces que sale un anuncio con la cantidad de familia espectadoras.
b. Proponga una interpretación de la pendiente de la ecuación de regresión estimada.
c. ¿Cuál es la cantidad estimada de familias espectadoras si un anuncio sale 15 veces al
aire en una semana.
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221
Caso VIII.
Un gerente de ventas reunió los datos siguientes relacionados con las ventas anuales y años
de experiencia.
Años de
Ventas anuales
Vendedor
Experiencia
(miles de dólares)
1
1
80
2
3
97
3
4
72
4
4
102
5
6
103
6
8
111
7
10
119
8
10
123
9
11
117
10
13
136
a. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
b. Formule una ecuación de regresión estimada con la que se puedan predecir las ventas
anuales, dados los años de experiencia.
c. Use la ecuación de regresión para predecir las ventas anuales de un vendedor con 9
años de experiencia.
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Caso IX.
El gerente de ventas de Copier Sales of America, que tiene una fuerza de ventas muy
numerosa en Estados Unidos y Canadá, quiere determinar si existe una relación entre el
número de llamadas de ventas que se realizan al mes y el número de copiadoras que se
venden durante ese mes. El gerente selecciona una muestra aleatoria de 10 representantes y
determina el número de llamadas de ventas que cada uno hizo el pasado y la cantidad de
copiadoras vendidas. La información de la muestra se presenta a continuación:
Número de Número de
Llamadas Copiadoras
Representante de Ventas
de Ventas
Vendidas
Tom Keller
20
30
Jeft Hall
40
60
Brian Virost
20
40
Greg Fish
30
60
Susan Welch
10
30
Carlos Ramírez
10
40
Rich Niles
20
40
Mike Kiel
20
50
Mark Reynolds
20
30
Soni Jones
30
70
h. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
i. ¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó anteriormente, acerca de la relación
entre las dos variables?
j. Formule la ecuación de regresión.
k. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de regresión.
l. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
m. Determine el error estándar.
n. Grafique la recta de regresión.
o. Prediga las ventas para 15, 35 y 60 llamadas.
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223
Caso X.
La humedad influye en la evaporación, de modo que el equilibrio de solventes de las pinturas
base agua durante su rocío se ve afectado por la humedad. Se emprende un estudio
controlado para examinar la relación de la humedad con la magnitud de la evaporación del
solvente. El conocimiento de esta relación es útil para que el pintor ajuste el aspersor de
pintura de modo de considerar la humedad. Se obtienen los datos siguientes:
HUMEDAD EVAPORACION
RELATIVA SOLVENTE
OBSERVACION
(%)
(% DE PESO)
1
35.3
11.0
2
29.7
11.1
3
30.8
12.5
4
58.8
8.4
5
61.4
9.3
6
71.3
8.7
7
74.4
6.4
8
76.7
8.5
9
70.7
7.8
10
57.5
9.1
11
46.4
8.2
12
28.9
12.2
13
28.1
11.9
14
39.1
9.6
15
46.8
10.9
16
48.5
9.6
17
59.3
10.1
18
70.0
8.1
19
70.0
6.8
20
74.4
8.9
21
72.1
7.7
22
58.1
8.5
23
44.6
8.9
24
33.4
10.4
25
28.6
11.1
Las estadísticas de resumen para estos datos son:
Sumatoria de x = 1,314.90
Sumatoria de y = 235.70
Sumatoria de x*x = 76,308.53
Sumatoria de y*y = 2,286.07
Sumatoria de x*y = 11,824.44
i. Trace un diagrama de dispersión para estos datos.
j.
¿Qué indica el diagrama de dispersión que trazó en el inciso a)?
k. Formule la ecuación de regresión, que indique cómo se relaciona la humedad con la evaporación.
l. Realice una interpretación de la pendiente de la ecuación de regresión.
m. ¿Cuál es el grado de relación entre las variables?
n. Determine el error estándar.
o. ¿Cuál es la magnitud de la evaporación del solvente cuando la humedad relativa es 50%?
Grafique la recta de regresión.
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224
Pruebas no paramétricas (Nonparametric Statistics)
En la práctica, surgen muchas situaciones en las cuales simplemente no es posible hacer de
forma segura ningún supuesto sobre el valor de un parámetro o sobre la forma de la
distribución poblacional. Más bien se deben utilizar otras pruebas que no dependan de un
solo tipo de distribución o de valores de parámetros específicos. Estas pruebas se denominan
Pruebas no paramétricas o libres de distribución.
Pruebas no paramétricas.
Son procedimientos estadísticos que pueden utilizarse para contrastar hipótesis
cuando no son posibles los supuestos respecto a los parámetros o a las distribuciones
poblacionales.
Experimento multinomial.
Es un experimento que satisface las siguientes condiciones.
1. El número de ensayos es fijo.
2. Los ensayos son independientes.
3. Todos los resultados de ensayos individuales se deben clasificar en una y sólo una de
varias categorías distintas.
4. Las probabilidades de las diferentes categorías se mantienen constantes para cada ensayo.
Distribución Chi-cuadrado
Las dos aplicaciones más comunes de Chi-cuadrado son:
1. Pruebas de bondad de ajuste.
2. Pruebas de independencia.
Prueba de bondad de ajuste.
Sirve para probar la hipótesis de que una distribución de frecuencia observada se
ajusta a (o concuerda con) alguna distribución propuesta.
Medidas sobre qué tan cerca se ajustan los datos muéstrales observados a una forma de
distribución particular planteada como hipótesis. Si el ajuste es razonablemente cercano,
puede concluirse que si existe la forma de distribución planteada como hipótesis.
Por ejemplo, se puede plantear la hipótesis que la distribución poblacional es uniforme
y que todos los valores posibles tienen la misma probabilidad de ocurrir. Las hipótesis que se
probarían son:
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225
Ho: La distribución poblacional es uniforme.
Ha: La distribución poblacional no es uniforme.
Si existe una gran diferencia entre lo que realmente se observa en la muestra y lo que
se esperaría observar si la hipótesis nula fuera correcta, en tal caso es menos probable que la
hipótesis nula sea verdadera. Es decir, la hipótesis nula debe rechazarse cuando las
observaciones obtenidas en la muestra difieren mucho del patrón que se espera que ocurra si
la distribución planteada como hipótesis si se presenta.
En las pruebas de bondad de ajuste usaremos la siguiente notación:
Oi representa la frecuencia observada de un resultado.
E representa la frecuencia esperada de un resultado.
k representa el número de diferentes categorías o resultados.
n representa el número de ensayos total.
La prueba Chi-cuadrado tiene k-m-1 grados de libertad, en donde m es el número de
parámetros a estimar.
En muchos casos, podemos determinar una frecuencia esperada multiplicando la
probabilidad p de una categoría por el número de ensayos distintos n:
E = np
Por ejemplo, si probamos la aseveración de que un dado es equitativo lanzándolo 60 veces,
tendremos n = 60 (porque hay 60 ensayos) y p = 1/6 (porque un dado es equitativo sí los seis
posibles resultados son igualmente probables, con la misma probabilidad de 1/6). Por tanto,
la frecuencia esperada para cada categoría o celda es:
E = np
E = 60(1/6) = 10
Supuestos.
Los supuestos siguientes aplican cuando probamos una hipótesis de que la proporción
de población para cada una de las k categorías (de un experimento multinomial) es la que se
asegura.
1. Los datos constituyen una muestra aleatoria.
2. Los datos de muestra consisten en conteos de frecuencia para las k diferentes categorías.
3. Para cada una de las k categorías, la frecuencia esperada es por lo menos 5.
La prueba de Chi-cuadrado de bondad de ajuste es confiable solo si todo Ei es por lo menos 5.
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Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en experimentos multinomiales.
²=[(Oi-Ei)/Ei]
Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado usando k-1 grados de
libertad, donde k es el número de categorías.
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de cola derecha.
La forma de la estadística de prueba ² es tal que una concordancia cercana entre los
valores observados y los esperados produce un valor pequeño de ². Un valor grande de ²
indica una fuerte discrepancia entre los valores observados y los esperados. Por tanto, un
valor significativamente alto de ² hará que se rechace la hipótesis nula de que no hay
diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas. Entonces, la prueba es de cola
derecha porque el valor crítico y la región crítica se encuentran a la extrema derecha de la
distribución.
A diferencia de pruebas de hipótesis previas en las que teníamos que determinar si la
prueba era de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas, todas estas pruebas de bondad
del ajuste son de cola derecha.
Caso I.
Jennifer Calcaño gerente de crédito del BHD, en la torre Principal en Santo Domingo, trata de
seguir una política de extender un 60% de sus créditos a empresas comerciales, un 10% a
personas naturales y un 30% a prestatarios extranjeros.
Para determinar si la política se estaba siguiendo, José Rondón, vicepresidente de
mercadeo, selecciona 85 créditos que se aprobaron recientemente. Encuentra que 62 de tales
créditos se otorgaron a negocios, 10 a personas naturales, y 13 a prestatarios extranjeros. Al
nivel del 10%, ¿parece que el patrón de cartera deseado se preserva? Pruebe la hipótesis de
que:
Ho: Se mantuvo el patrón deseado: 60% son créditos comerciales, 10% son préstamos
personales y 30% son créditos extranjeros.
Ha: El patrón deseado no se mantuvo.
Tabla de Tipo de Crédito.
Tipo de Crédito
Oi
Ei
Comercial
Personal
Extranjero
62,00
10,00
13,00
51,00
8,50
25,50
Total
85,00
85,00
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227
Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en experimentos multinomiales.
El valor ² es
²=[(Oi-Ei)²/Ei]
²=[(62-51)²/51]+[(10-8.5)²/8.5]+[(13-25.5)²/25.5] = 8.76
Valores Críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla de Chi-cuadrado usando k-1 grados de
libertad, donde k es el número de categorías.
2. Las pruebas de hipótesis de bondad del ajuste siempre son de cola derecha.
Con un  = 10% y k = 3 categorías de crédito (comerciales, privados y extranjeros), existen km-1= 3-0-1=2 grados de libertad, el valor critico es
² 0.10,2 = 4.605
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula ²  4.605. Rechazar sí la hipótesis nula ² >
4.605.
Interpretación.
Las diferencias entre lo que el VP José Rondón observo y lo que esperaba observar si el
patrón de crédito deseado se alcanzaba era demasiado grande como para ocurrir por simple
azar. Existe solo un 10% de probabilidad de que una muestra de 85 créditos seleccionados
aleatoriamente pudieran producir las frecuencias observadas aquí demostradas, si el patrón
deseado en la cartera de crédito del banco se estuviera manteniendo.
Caso II. Prueba de normalidad.
Las especificaciones para la producción de tanques de aire utilizados en inmersión
requieren que los tanques se llenen a una presión de 600 libras por pulgadas cuadradas (psi).
Se permite una desviación de 10 psi. Las especificaciones de seguridad permiten una
distribución normal en los niveles de llenado. Usted acaba de ser contratado por Aqua Lung,
un importante fabricante de equipos de inmersión. Su primera tarea es determinar si los
niveles de llenado se ajustan a una distribución normal. Aqua Lung está seguro de que
media de 600 psi y la desviación estándar de 10 psi prevalece. En este esfuerzo se miden
n=1000 tanques y se halla la distribución presentada en la siguiente tabla.
Sus hipótesis son:
Ho: Los niveles de llenado están distribuidos normalmente.
Ha: Los niveles de llenado no están distribuidos normalmente.
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228
Tabla de llenado para los tanques de buceo.
Frecuencia Probabilidades Frecuencias
PSI
Real Oi
pi
Esperadas Ei
0 y por debajo de 580
20
580 y por debajo de 590
142
590 y por debajo de 600
310
600 y por debajo de 610
370
610 y por debajo de 620
128
6200 y por encma
30
Totales
1000
O-E
(O-E)^2 [(O-E)^2]/E
Determine la probabilidad para cada clase mediante la fórmula Z y complete la tabla de
probabilidades y frecuencias esperadas.
Valor Crítico.
Se desea probar la hipótesis al nivel del 5%. Debido a que tanto la media poblacional como la
desviación estándar son dadas y no tienen que estimarse, m = 0. Existe k = 6 clases en la tabla
de frecuencias, de manera que los grados de libertad son k-1=5. Se encuentra que el valor
critico es ² 0.05,5 =11.07
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula si ² es menor que 11.07. Rechazar la
hipótesis nula si ² es mayor que 11.07"
Estadística de prueba para pruebas de bondad del ajuste en experimentos multinomiales.
Determine el valor ²
²=[(Oi-Ei)²/Ei]
Interpretación:
Si la hipótesis nula se acepta. Las diferencias entre lo que se observó y lo que se espera
observar si los contenidos estuvieran distribuidos normalmente con una media de 600 y una
desviación estándar de 10 pueden atribuirse al error de muestreo.
Si la media poblacional y la desviación estándar no fueran conocidas, se hubieran tenido que
estimar de los datos muéstrales de la tabla. Entonces m=2, y los grados de libertad serian k2-1 o 6-2-1=3.
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229
Tablas de contingencia o Tabulación Cruzada. Una prueba de independencia.
Tabla de Contingencia o tabla de frecuencia bidireccional (Contingency Table).
Es una tabla en la que las frecuencias corresponden a dos variables. (Se utiliza una
variable para clasificar las filas y otra para clasificar las columnas).
Las tablas contingencias son aquellas que sirven para comparar dos variables.
Es un cuadro de dos dimensiones, y cada dimensión contiene una variable. A su vez,
cada variable se subdivide en dos o más categorías.
Prueba de independencia.
Una prueba de independencia prueba la hipótesis nula de que la variable de fila y la
variable de columna de una tabla de contingencia no están relacionadas. (La hipótesis nula es
la declaración de que las variables de fila y de columna son independientes.)
Es muy importante reconocer que, en este contexto, la palabra contingencia se refiere a
dependencia, pero solo se trata de una dependencia estadística y no puede usarse para
establecer un vínculo directo de causa y efecto entre las dos variables en cuestión.
Supuestos.
Al probar la hipótesis nula de independencia entre las variables de fila y de columna de una
tabla de contingencia, aplican los supuestos siguientes (Obsérvese que estos supuestos no
exigen que la población padre tenga una distribución normal ni alguna otra distribución
especifica.)
1. Los datos de muestra se escogen aleatoriamente.
2. La hipótesis nula Ho es la declaración de que las variables de fila y de columna son
independientes; la hipótesis alternativa Ha es la declaración de que las variables de fila y de
columna son dependientes.
3. Para cada celda de la tabla de contingencia, la frecuencia esperada E es de por lo menos 5.
Estadística de prueba para prueba de independencia.
El valor ² es
Chi-cuadrada es una prueba estadística para evaluar hipótesis acerca de la relación
entre dos variables categóricas.
²=[(Oi-Ei)/Ei]
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230
Valores críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla usando:
grados de libertad = (r-1)(c-1)
2. Las pruebas de independencia con tablas de contingencia solo implican regiones criticas de
cola derecha.
Frecuencia esperada para una tabla de contingencia.
Frecuencia esperada (E)= [(Total de fila)*(Total de columna)]/Gran Total
La estadística de prueba nos permite medir el grado de discrepancia entre las
frecuencias observadas y las que esperaríamos en teoría si las dos variables son
independientes. Valores pequeños de la estadística de prueba ² indican coincidencia entre
las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas con variables de fila y de columna
independientes. Los valores grandes de la estadística de prueba ² están a la derecha de la
distribución Chi-cuadrada y reflejan diferencias significativas entre las frecuencias
observadas y las esperadas.
En muestreos grandes repetidos, la distribución de la estadística de prueba ² se puede
aproximar con la distribución Chi-cuadrada, siempre que todas las frecuencias esperadas
sean de por lo menos 5.
Caso I.
Santo Domingo Motors desea determinar si existe alguna relación entre el ingreso de los
clientes y la importancia que dan al precio de los automóviles de lujo. Los gerentes de la
compañía desean probar la hipótesis de que:
Ho: Ingreso e importancia del precio son independientes.
Ha: Ingreso e importancia del precio no son independientes.
Atributo b:
Atributo a:
Ingresos
Nivel de Importancia
Grande
Frecuencia Esperada
Bajo
83
Medio
62
Alto
37
Total
182
Moderado
Frecuencia Esperada
52
71
49
172
63
58
63
184
198
191
149
538
Poco
Frecuencia Esperada
Totales
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231
Los clientes están agrupados en tres niveles de ingreso y se les pide asignar un nivel de
significancia para poner precio a la decisión de compra. Los resultados se muestran en la
siguiente tabla de contingencia.
Debido a que 182/538=33.83% de todos los datos que respondieron a la encuesta
agregan a un nivel de importancia "grande" al precio, entonces si el ingreso y el precio no
están relacionados, se esperaría que 33.83% de ellos, en cada clasificación de ingresos
respondan que el precio era de "gran" importancia. Por tanto, los Ei para un nivel de
importancia "bajo" son (198)(0.3383)=66.98, (191)(0.3383)=64.62 y (149)(0.3383)=50.41
De forma similar los demás niveles de importancia.
Determine:
El valor ² es
²=[(Oi-Ei)/Ei]
Valores críticos.
1. Los valores críticos se encuentran en la tabla usando:
grados de libertad = (r-1)(c-1)
2. Las pruebas de independencia con tablas de contingencia solo implican regiones críticas de
cola derecha.
Si se determina  en 1%, y con (f-1)(c-1)=(3-1)(3-1)=4 grados de libertad ²0.01,4=13.277
Regla de decisión: "No rechazar la hipótesis nula si ² es menor que 13.277. Rechazar la
hipótesis nula si ² es mayor que 13.277"
Interpretación.
La hipótesis nula se rechaza. Existe solo 1% de probabilidad de que si no existe
relación entre ingreso y significancia del precio, las diferencias entre Oi y Ei serian lo
suficientemente grandes como para producir un Chi-cuadrado más grande que 13.277. Existe
evidencia de una relación entre el ingreso de los clientes y la importancia dada al precio de un
auto de lujo.
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232
Caso I
Jesús Diequez, Gerente de Calidad de Mars, Inc. asegura que sus dulces M&M están
distribuidos según los porcentajes de color de 30% marrón, 20% amarillo, 20% rojo, 10%
anaranjado, 10% verde y 10% azul. Usando los datos de muestra de la siguiente tabla y un
nivel de significación de 0.05 pruebe la afirmación de que la distribución de colores es la que
el gerente de calidad asegura.
FRECUENCIAS DE LOS DULCES M&M
CATEGORÍA
DE COLOR
FREC.
OBSERVADA
MARRON
AMARILLO
ROJO
ANARANJADO
VERDE
AZUL
33
26
21
8
7
5
FREC.
ESPERADA
Caso II.
A los compradores del centro comercial local se les pide calificar un nuevo producto en una
escala continua que comienza en cero. Con base en los siguientes datos agrupados, ¿puede
usted concluir al nivel del 5% que los datos están distribuidos normalmente, con una media
de 100 y una desviación estándar de 25?
CALIFICACIÓN FRECUENCIA
MENOS DE 50
50-70
70-90
90-110
110-130
130-150
150-170
MAS DE 170
1
51
112
151
119
43
21
2
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Caso III.
Aída Henríquez, gerente de mercadeo de Trans World Airways (TWA) desea determinar si
existe alguna relación entre el número de vuelos que las personas toman y su ingreso. ¿A qué
conclusión llega al nivel del 1% con base en los datos para 100 viajeros en la tabla de
contingencia?
FRECUENCIA DE VUELOS
INGRESO
NUNCA RARA VEZ CON FRECUENCIA TOTALES
MENOS DE US$30,000
20
15
2
US30,000-US$50,000
8
5
1
US50,000-US70,000
7
8
12
MAS DE US$70,000
2
5
15
Totales
Caso IV.
A los compradores del centro comercial local se les pide calificar un nuevo producto en una
escala continua que comienza en cero. Con base a los siguientes datos agrupados, ¿puede
usted concluir al nivel del 5% que los datos están distribuidos normalmente, con una media
de 100 y una desviación de 25?
CALIFICACION FRECUENCIA
MENOS DE 50
1
50-70
5
70-90
112
90-110
151
110-130
119
130-150
43
150-170
21
MAS DE 170
2
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Caso V.
En un análisis de segmentación de mercado para tres cervezas, el grupo de investigación
encargado ha planteado la duda de si las preferencias para las tres cervezas son diferentes
entre los consumidores hombres y mujeres. Si la preferencia de las cervezas fuera
independiente del sexo del consumidor, se iniciaría una campaña publicitaria para todas las
cervezas. Sin embargo, si la preferencia depende del sexo del consumidor, se ajustarán los
promociones para tener en cuenta los distintos mercados metas. Pruebe el supuesto a un nivel
de significancia de un 5%.
Los datos de la tabla constituyen las frecuencias observadas para las seis clases o
categorías.
SEXO
HOMBRE
MUJER
CERVEZA PREFERIDA
LIGERA
CLARA
OSCURA
20
40
20
30
30
10
Caso VI.
La empresa National Computer Products, Inc. (NCP) fabrica impresoras y máquinas de fax en
plantas de Atlanta, Dallas y Seattle, Estados Unidos. Para evaluar los conocimientos de sus
empleados acerca de administración de calidad total se tomó una muestra aleatoria de seis
empleados en cada planta y se les sometió a un examen de conciencia de la calidad. Las
calificaciones de esos 18 empleados se presentan a continuación.
Con estos datos, los
gerentes desean probar la hipótesis de que la media de la calificación del examen es igual
para las tres plantas con un nivel de significancia de un 5%.
PLANTA PLANTA
PLANTA 1
2
3
ATLANTA DALLAS SEATTLE
85
71
59
75
75
64
82
73
62
76
74
69
71
69
75
85
82
67
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Caso VII.
Proquín contrata, anualmente, unos 400 empleados para sus cuatro plantas en todo el país. El
director de personal pregunta si se podría aplicar una distribución normal a la población de
las calificaciones obtenidas.
Si se pudiera aplicar esa distribución, sería muy útil para
evaluar calificaciones específicas. Esto es, las calificaciones de 20% superior, 40% inferior,
etc., se podrían identificar con rapidez. En consecuencia se desea probar la hipótesis nula de
que la población de calificaciones en la prueba de actitud se apega a una distribución de
probabilidad normal. Si se toma una muestra una muestra de 50 calificaciones, cuya media es
de 68.42 y su desviación estándar es de 10.41. Los datos se muestra a continuación en la
siguiente tabla. Interprete los resultados.
INTERVALO DE FRECUENCIA
CALIFICACIONES OBSERVADA
MENOS DE 55.1
5
55.1
59.68
5
59.68
63.01
9
63.01
65.82
6
65.82
68.42
2
68.42
71.02
5
71.02
73.83
2
73.83
77.16
5
77.16
81.74
5
81.74
O MAS
6
TOTAL
50
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Caso VIII.
Decoración Ruddy se especializa en arreglos de jardines residenciales. El costo estimado de
mano de obra en determinada oferta de decoración se basa en la cantidad de árboles,
arbustos, etc., que se plantan en el proyecto. Para fines de estimación de costos, los gerentes
aplican dos horas de mono de obra plantar un árbol mediano. Los tiempos reales, en horas,
para una muestra de 10 árboles plantados durante el mes pasado son los siguientes:
1.9
1.7
2.8
2.4
2.6
2.5
2.8
3.2
1.6
2.5
Con un nivel de significancia de 0.05, pruebe si la media del tiempo de plantación de
árboles es mayor de dos horas.
A. Establezca las hipótesis nula y alternativa.
B. ¿Cuál es el valor crítico para la prueba y cuál es la regla de decisión?
C. Calcule la media muestral.
D. Determine la desviación estándar.
E. Calcule el valor del estadístico de prueba.
F. ¿Cuál es su conclusión?
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237
Pruebas con dos Poblaciones. Estimación con muestras grandes.
Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales para muestras
grandes:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± Zσx’1-x’2
Error Estándar de las diferencias entre medias muéstrales:
σx’1-x’2 = √ (σ12/n1) + (σ22/n2)
Estimación del error estándar de la diferencia entre medias muéstrales:
sx’1-x’2 = √ (s12/n1) + (s22/n2)
Intervalo de confianza cuando las varianzas son desconocidas:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± Zsx’1-x’2
Caso I.
Vimenca transporta remesas entre Santo Domingo y Samaná por dos rutas. Una muestra de
100 camiones enviados por la ruta del Este reveló un tiempo promedio de tránsito X’este=17.2
horas con una desviación estándar Seste=5.3 horas, mientras que 75 camiones que utilizan la
ruta Norte necesitaron un promedio de X’norte=19.4 horas con una desviación estándar de
Snorte=4.5horas. El transportador de Vimenca, desea desarrollar un intervalo de confianza
del 95% para la diferencia en el tiempo promedio entre estas dos rutas alternas.
N este = 100 camiones
Nnorte= 75 camiones
X’este = 17.2 horas
X’norte= 19.4 horas
Seste = 5.3 horas
Snorte= 4.5 horas
N.C. 95%
RUTA
ESTE
NORTE
UNIDADES
X'
17.2
19.4
HORAS
S
5.3
4.5
HORAS
N
100
75
CAMIONES
Debido a que las desviaciones poblacionales son desconocidas, el error estándar es:
sx’1-x’2 = √ (s12/n1) + (s22/n2)
sx’1-x’2 = √ (5.32/100) + (4.52/75)
sx’1-x’2 = √ (0.2809) + (0.27)
sx’1-x’2 = 0.7422
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Intervalo de confianza cuando las varianzas son desconocidas:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± Zsx’1-x’2
I.C. para (µ1-µ2) = (17.2 – 19.4) ± (1.96)(0.7422)
I.C. para (µ1-µ2) = – 2.2 ± 1.4547
-3.7 ≤ (µ1-µ2) ≤ -0.75 horas
El transportador puede tener un 95% de confianza en que la ruta del norte toma entre 0.75
horas y 3.7 horas más.
Pruebas con dos Poblaciones
Estimación con muestras pequeñas con varianzas poblacionales iguales
Estimado mancomunado de la varianza común a ambas poblaciones:
Sp2 = s12 (n1 - 1) + s22 (n2 - 1)
n1 + n2 – 2
Intervalo de confianza para la diferencia entre medias poblacionales cuando σ12 = σ22
desconocidas:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (sp2/n1) + (sp2/n2)
Caso II.
En la cafetería de los estudiantes de PUCMM, una máquina expendedora de bebidas dispensa
bebidas en tazas de papel. Una muestra de 15 tazas da una media de 15.3 onzas con una
varianza de 3.5.
Después de ajustar la máquina, una muestra de 10 tazas produce un
promedio de 17.1 onzas con una varianza de 3.9. Si se asume que s2 (varianza) es constante
antes y después del ajuste, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia
entre los contenidos promedio de llenado. Se asume que las cantidades dispensadas están
distribuidas normalmente.
Entonces,
N1 = 15 tasas
N2 = 10 tazas
X’1 = 15.3 onzas
X’2 = 17.1 onzas
S12 = 3.5 onzas
S22 = 3.9 onzas
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TIPO
X'
S2
N
llenado llenado
1
2
UNIDADES
15.3
17.1
ONZAS
3.5
3.9
ONZAS
15
10
TAZAS
Sp2 = s12 (n1 - 1) + s22 (n2 - 1)
n1 + n2 – 2
Sp2 = 3.5 (15 - 1) + 3.9 (10 - 1)
15 + 10 – 2
Sp2 = 3.66
Intervalo de confianza para la diferencia entre medias poblacionaes cuando σ12 = σ22
desconocidas:
Con un α = 0.05 (un nivel de confianza del 95%) y n1 + n2 – 2 = 23 g.l., la tabla t indica un
valor de 2.069.
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (sp2/n1) + (sp2/n2)
I.C. para (µ1-µ2) = (15.3 – 17.1) ± 2.069 √ (3.66/15) + (3.66/10)
I.C. para (µ1-µ2) = – 1.8 ± 1.61
-3.41 ≤ (µ1-µ2) ≤ -0.19 onzas
Se puede tener un nivel de confianza del 95% en que el ajuste incrementó el nivel del
contenido entre 0.19 onzas y 3.41 onzas.
Pruebas con dos Poblaciones
Estimación con muestras pequeñas con varianzas poblacionales desiguales
Grados de libertad cuando las varianzas poblacionales non son iguales.
g.l. =
(s12/n1 + s22/n2)2______
(s12/n1) 2 / (n1- 1) + (s22/n2) 2 / (n2- 1)
Intervalo para la diferencia entre medias poblacionales:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (s12/n1) + (s22/n2)
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240
Caso III. El Listin Diario describió dos programas de entrenamiento utilizados por GBM
Dominicana. Doce ejecutivos a quienes se les dio primer tipo de entrenamiento obtuvieron
un promedio de 73.5 en la prueba de competencia. Aunque el artículo de noticias no reportó
la desviación estándar para estos 12 empleados, se asume que la varianza en los puntajes para
este grupo fue de 100.2. Quince ejecutivos a quienes se les administró el segundo programa
de entrenamiento obtuvieron un promedio 79.8. Se asume una varianza de 121.3 para este
segundo grupo. Haga un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los puntajes
promedio para todos los ejecutivos que ingresaron a estos programas:
N1 = 12 ejecutivos
N2 = 15 ejecutivos
X’1 = 73.5 puntos
X’2 = 79.8 puntos
S12 = 100.2 puntos
S22 = 121.3 puntos
PROGRAM PROGRAM
TIPO
1
2
UNIDADES
X'
73.5
79.8
EJECUTIVOS
S
100.2
121.3
PUNTOS
N
12
15
PUNTOS
Grados de libertad cuando las varianzas poblacionales non son iguales.
g.l. =
(s12/n1 + s22/n2)2______
(s12/n1) 2 / (n1- 1) + (s22/n2) 2 / (n2- 1)
g.l. =
(100.2/12 + 121.3/15)2______ = 24.55
(100.2/12)2 / (12-1) + (121.3/15) 2 / (14-1)
Si g.l. es fraccionario, se aproxima hacia abajo, hacia el entero inmediatamente anterior. G.L.
= 24.
Con un α = 0.05 (un nivel de confianza del 95%) y g.l. = 24, la tabla t indica un valor de 2.064.
Intervalo para la diferencia entre medias poblacionales:
I.C. para (µ1-µ2) = (X’1 – X’2) ± t √ (s12/n1) + (s22/n2)
I.C. para (µ1-µ2) = (73.5 – 79.8) ± 2.064√ (100.2/12) + (121.3/15)
I.C. para (µ1-µ2) = - 6.3 ± 8.36
-14.66 ≤ (µ1-µ2) ≤ 2.06 puntos
Debido a que el intervalo contiene cero, no existe una fuerte evidencia de que exista
diferencia alguna en la efectividad de los programas de entrenamiento.
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241
Pruebas con dos Poblaciones
Intervalos de confianza para la diferencia entre dos Proporciones
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muéstrales:
Sp1-p2 = √(p1(1-p1))/n1) + p2(1-p2))/n2)
Intervalo para la diferencia entre proporciones poblacionales:
I.C. para π1 – π2 = (p1 – p2) ± (Z) Sp1-p2
Caso IV.
Una empresa realiza un estudio para determinar si el ausentismo de los trabajadores en el
turno del día es diferente al de los trabajadores del turno de la noche.
Se realiza una
comparación de 150 trabajadores de cada turno. Los resultados muestran que 37 trabajadores
diurnos han estado ausentes por lo menos cinco veces durante el año anterior, mientras que
52 trabajadores nocturnos han faltado por lo menos cinco veces. ¿Qué revelan estos datos
sobre la tendencia al ausentismo entre los trabajadores? Calcule un intervalo de confianza del
90% para la diferencia entre las proporciones de trabajadores de los dos turnos que faltaron
cinco veces o más.
N turno día = 150
N turno noche = 150
p1 = 37/150 = 0.25
p2 = 52/150 = 0.35
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muéstrales:
Sp1-p2 = √(0.25*0.75/150) + (0.35*0.65/150) = 0.0526
Intervalo para la diferencia entre proporciones poblacionales:
I.C. para π1 – π2 = (p1 – p2) ± (Z) Sp1-p2
I.C. para π1 – π2 = (0.25 – 0.35) ± (1.65) (0.0526)
I.C. para π1 – π2 = – 0.10 ± 0.087
-18.7% ≤ (π1 – π2) ≤ - 1.3%
La empresa puede estar 90% segura de que la proporción de trabajadores nocturnos ausentes
en cinco o más oportunidades está entre 1.3% y 18.7% más alta que los del turno diurno.
Pruebas de Hipótesis para dos medias con muestras independientes
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
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242
O el equivalente
Ho:1 - 2 = 0
Ha:1 - 2  0
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
Z = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
SX’1-X’2
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z o t.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
Caso V.
Weaver Ridge Golf Course desea ver si el tiempo promedio en horas que requieren los
hombres para jugar los 18 hoyos es diferente al de las mujeres. Se mide el tiempo de
cincuenta partidos dobles de hombres y 45 de mujeres obteniendo, pruebe a nivel de
confianza del 95%:
SEXO
HOMBRES MUJERES
X'
3.5
4.9
S
0.9
1.5
N
50
45
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra,
calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
Z = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
SX’1-X’2
Estimación del error estándar de la diferencia entre medias muestrales:
sx’1-x’2 = √ (s12/n1) + (s22/n2)
sx’1-x’2 = √ (0.92/50) + (1.52/45) = 0.257
Z = (3.5-4.9) – (0)
0.257
Z = - 5.45
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243
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.05 (con un nivel de confianza del 95%), el valor crítico de Z es ± 1.96.
Regla de decisión: “No rechazar Z si esta entre ± 1.96. Rechazar si Z es menor que -1.96 o
mayor que 1.96”.
La Ho se rechaza porque la Z de la estadística de prueba es menor que – 1.96 de la Regla de
Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
La evidencia sugiere que las mujeres toman más tiempo en promedio. Vale la pena notar
también que el valor p relacionado con la prueba es virtualmente cero.
Pruebas de Hipótesis para dos medias con muestras pequeñas con varianzas iguales
Prueba de hipótesis con muestras pequeñas cuando σ22 = σ22 (desconocidas):
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (sp2/n1) + (sp2/n2)
Caso VI. Las negociaciones salariales entre su empresa y el sindicato de sus trabajadores
están a punto de romperse.
Existe un desacuerdo considerable sobre el nivel salarial
promedio de los trabajadores en la planta de Atlanta y en la planta de Newport News,
Virginia. Los salarios fueron fijados por el antigua acuerdo laboral de hace tres años y se
basan estrictamente en la antigüedad. Debido a que los salarios están controlados muy de
cerca por el contrato laboral, se asume que la variación en los salarios es la misma en ambas
plantas y que los salarios están distribuidos normalmente. Sin embargo, se siente que existe
una diferencia entre los niveles salariales promedio debido a los patrones de antigüedad
diferentes entre las dos plantas.
El negociador laboral que representa a la gerencia desea que usted desarrolle un intervalo de
confianza del 98% para estimar la diferencia entre los niveles salariales promedio. Si existe
una diferencia en las medias, deben hacerse ajustes para hacer que los salarios más bajos
alcancen el nivel de los más altos. Dados los siguientes datos, ¿qué ajustes se requieren, si es
el caso?
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244
Las muestras de trabajadores tomadas de cada planta revelan la siguiente información:
Planta de Atlanta
Planta de Newport News
N1 = 23 empleados
N2 = 19 empleados
X’1 = US$17.53 por hora
X’2 = US$15.5 por hora
S12 = 92.10
S22 = 87.10
PLANTA ATLANTA
X'
17.53
S2
92.1
N
23
NEWPORT
NEW
15.5
87.1
19
UNIDADES
TRABAJADORES
US$/HORA
US$/HORA
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (sp2/n1) + (sp2/n2)
Estimado mancomunado de la varianza común a ambas poblaciones:
Sp2 = s12 (n1 - 1) + s22 (n2 - 1)
n1 + n2 – 2
Sp2 = 92.10 (23 - 1) + 87.10 (19 - 1)
23 + 19 – 2
Sp2 = 89.85
t = (17.53-15.5) – (0)
√ (89.85/23) + (89.85/19)
t = 0.69
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.02 (con un nivel de confianza del 98%), g.l. = n1 + n2 – 2 = 23+19-2 = 40, el valor crítico
de t es ± 2.423.
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Regla de decisión: “No rechazar t si esta entre ± 2.423. Rechazar si t es menor que -2.423 o
mayor que 2.423”.
La Ho se acepta porque la t de la estadística de prueba está dentro del rango ± 2.423 de la
Regla de Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
Parece que no hay diferencia en el salario promedio. Esta conclusión se confirma por el hecho
de que intervalo contenía cero.
Pruebas de Hipótesis para dos medias con muestras pequeñas con varianzas desiguales
Prueba de hipótesis con muestras pequeñas cuando σ22 ≠ σ22:
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (s21/n1) + (s22/n2)
Caso VII.
Un negocio vende dos tipos de amortiguadores de caucho para coches de bebés. Las pruebas
de desgaste para medir la durabilidad revelaron que 13 amortiguadores de tipo 1 duraron un
promedio de 11.3 semanas, con una desviación estándar de 3.5 semanas; mientras que 10 del
tipo 2 duraron un promedio de 7.5 semanas, con una desviación estándar de 2.7 semanas. El
tipo 1 es más costoso para fabricar y el CEO (Director Ejecutivo) de Acme no desea utilizarlo
a menos que tenga un promedio de duración de por lo menos ocho semanas más que el tipo
2. El CEO tolerará una probabilidad de error de sólo el 2%. No existe evidencia que sugiera
que las varianzas de la duración de los dos productos sean iguales.
N1 = 13 amortiguadores
N2 = 10 amortiguadores
X’1 = 11.3 semanas
X’2 = 7.5 semanas
S1 = 3.5 semanas
S2 = 2.7 semanas
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:1 = 2
Ha:1  2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
t = (X’1-X’2) – (µ1-µ2)
√ (s21/n1) + (s22/n2)
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t = (11.3-7.5) – (0)
√ (3.5/13) + (2.7/10)
t = 2.94
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.02 (con un nivel de confianza del 98%)
Grados de libertad cuando las varianzas poblacionales non son iguales.
g.l. =
(s12/n1 + s22/n2)2______
(s12/n1) 2 / (n1- 1) + (s22/n2) 2 / (n2- 1)
g.l. =
(3.52/13 + 2.72/10)2______
(3.52/13) 2 / (13- 1) + (2.72/10) 2 / (10- 1)
g.l. = 20.99 = 20
el valor crítico de t es ± 2.528.
Regla de decisión: “No rechazar t si esta entre ± 2.528. Rechazar si t es menor que -2.528 o
mayor que 2.528”.
La Ho no se acepta porque la t de la estadística de prueba es mayor que 2.528 de la Regla de
Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
La evidencia sugiere que el tipo 1 de amortiguador de caucho para coche de bebé presenta
mayor durabilidad.
Pruebas de Hipótesis para la diferencia entre dos proporciones
Z = (p1 – p2) - (π1 – π2)
Sp1-p2
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muéstrales:
Sp1-p2 = √(p1(1-p1))/n1) + p2(1-p2))/n2)
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Caso VIII.
Un minosta desea probar la hipótesis de que la proporción de sus clientes masculinos,
quienes compran a crédito, es igual a la proporción de las mujeres que utilizan el crédito. Él
selecciona 100 clientes hombres y encuentra que 57 compraron a crédito mientras que 52 de
las 110 mujeres lo hicieron. Pruebe a un nivel del 1%.
Paso 1: Plantear las hipótesis.
Ho:π1 = π2
Ha:π1  π2
Paso 2: Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístico de
prueba Z o t.
p1 = 57/100 = 0.57 hombres
p2 = 52/110 = 0.473 mujeres
Z = (p1 – p2) - (π1 – π2)
Sp1-p2
Error Estándar de la diferencia entre dos proporciones muéstrales:
Sp1-p2 = √(p1(1-p1))/n1) + p2(1-p2))/n2)
Sp1-p2 = √(0.57 * 0.43/100) + (0.473 *0.527/110)
Sp1-p2 = 0.069
Z = (0.57 – 0.473) – 0
0.069
Z = 1.41
Paso 3: Determinar la regla de decisión con base en los valores críticos de Z o t.
Si α = 0.01 (con un nivel de confianza del 99%), el valor crítico de Z es ± 2.58.
Regla de decisión: “No rechazar Z si esta entre ± 2.58. Rechazar si Z es menor que -2.58 o
mayor que 2.58”.
La Ho no se rechaza porque la Z de la estadística está dentro del rango de ± 2.58 de la Regla
de Decisión.
Paso 4: Interpretación y conclusiones.
El minorista no puede concluir a un nivel del 1% que las proporciones de hombres y mujeres
que compran a crédito difieren.
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