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Transcript
SOLUCIONES DE TRIGONOMETRÍA
Ejercicio nº 1.Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto
mide 54. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.
Solución:
Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:
  90   B̂  90   54   36 
Ĉ  90 
Hallamos los lados:
sen B̂ 
tg B̂ 
b
c
b
a
sen 54  


tg 54  
4, 8
c
4, 8
a

4, 8
 5,93 cm
sen 54 
4,8
a
 3, 49 cm
tg 54 

c
Por tanto:
a  3, 49 cm; Aˆ  36 
b  4, 8 cm; Bˆ  54 
c  5, 93 cm; Cˆ  90 
Ejercicio nº 2.Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más
alto de la torre bajo un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el
ángulo es de 80. Halla la altura de la torre.
Solución:



h 
tg 60  
x  5 
tg 80  



h  x  5 tg 60  

h
x
h  x tg 80 
x tg 80   x  5 tg 60 
x tg 80   x tg 60   5 tg 60 
x tg 80   x tg 60   5 tg 60 


x tg 80   tg 60   5 tg 60 
x
h
5 tg 60 
tg 80   tg 60 
5 tg 60  tg 80 
tg 80   tg 60 
 2, 20 m
 12, 47 m
La torre tiene una altura de 12,47 metros.
Ejercicio nº 3.Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:
sen 40   0, 64; cos 40   0, 77; tg 40   084
Solución:
Como 140   180   40  y 220   180   40 , entonces:
sen 140   sen 40   0, 64
cos 140    cos 40   0, 77
tg 140    tg 40   0, 84
sen 220    sen 40   0, 64
cos 220    cos 40   0, 77
tg 220   tg 40   0, 84
Ejercicio nº 4.Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos:
Solución:
Hallamos el ángulo B̂ con el teorema de los senos :
a
sen Â

sen B̂ 
b
sen B̂

10
sen 105
6 sen 105 
 0,58
10



6
sen B̂
B̂  35  25' 9"
(Como  es obtuso, B̂ y Ĉ han de ser agudos; solo hay una solución).
Hallamos el ángulo de Ĉ :


Ĉ  180   Â  B̂  39  34' 51"
Calculamos el lado c:
c
sen Ĉ

a
sen Â


c
sen 39  34' 51"
10
  sen 105


c  6, 6 m
Por tanto:
a  10 m; Aˆ  105 
b  6 m; Bˆ  35  25' 9"
c  6, 6 m; Cˆ  39  34' 51"
Ejercicio nº 5.Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla
opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el
triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Sara es de 25 y el ángulo del vértice en el que está Manolo
es de 140.¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Manolo?
Solución:
El ángulo Ĉ será :


Ĉ  180   25   140   15 
Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:
x
sen 140


100
sen 15
y
100

sen 25  sen 15 



x
y
100 sen 140 
sen 15 
 248 , 35 m
100 sen 25 
 163 , 29 m
sen 15 
Por tanto:
Sara está a 248,35 m del castillo y Manolo, a 163,29 m.
Ejercicio nº 6.Completa la siguiente tabla:
Solución:
35  
35  
7
rad 
rad
180
36
2
2 180 
rad 

 120 
3
3

2 rad  2 
 120  
2
rad
3
180 
 114  35 ' 30 "

Por tanto:
Ejercicio nº 7.a Representa en estos ejes la siguiente función trigonométrica:


y  cos  x  
2

b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:
Solución:
a Hacemos una tabla de valores:
La gráfica sería:
b La gráfica corresponde a la función y  cos x.
Ejercicio nº 8.Demuestra la siguiente igualdad:
sen x  cos x   cos 2 x
cos x  sen x
 1  sen 2 x
Solución:
sen x  cos x   cos 2x  sen x  cos x   sen x  cos x   cos 2x
cos x  sen x cos x  sen x 
cos x  sen x

sen x  cos x 2  cos 2 x
cos x  sen x
2
2

sen
2

x  cos 2 x  2 sen x cos x  cos 2 x

cos 2 x
 sen 2 x  cos 2 x  2 sen x cos x  1 2 sen x cos x  1 sen 2x
Ejercicio nº 9.Resuelve la ecuación:

4 cos 2x  1  3 cos x
Solución:
4 cos 2 x  1  3 cos x


4 cos 2 x  sen 2 x  1  3 cos x
4 cos x  4 sen x  1  3 cos x
2
2


4 cos 2 x  4 1  cos 2 x  1  3 cos x
4 cos x  4  4 cos x  1  3 cos x
2
2
8 cos 2 x  3 cos x  5  0
cos x 
3
9  160
16
3

169
16

5
 3  13 
 8
16

 1

 x  51 19' 4"360  k
5
 
cos x 


8
 x  308 40' 56"360 k



cos x  1  x  180   360  k



5
8
1
siendo k  Z
Ejercicio nº 10.Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior
del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué
distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?
Solución:
Como es un triángulo rectángulo, los otros ángulos serán:
Aˆ  90   Bˆ  90   40   50 
Cˆ  90 
Hallamos los otros lados:
tg 40  
b
a
sen 40  

b
c

tg 40  
3, 5
a
sen 40  

3, 5
c
a

3, 5
tg 40 
c
 4,17 cm
3, 5
sen 40 
 5, 45 cm
Por tanto:
a  4,17 cm; Aˆ  50 
b  3, 5 cm; Bˆ  40 
c  5, 45 cm; Cˆ  90 
Ejercicio nº 11.Si sen x  0,35 y 0 <  < 90 halla sin calcular :

a) sen 180   α


b) cos 180   α

Solución:

b) cos 180

     cos 
a) sen 180     sen   0, 35

Necesitamos saber cuánto vale cos :
sen 2  cos 2  1  0, 35 2  cos 2  1
0,1225  cos 2   1 
cos 2   0, 8775
cos  0, 94 (es positivo, pues 0    90  )


Por tanto: cos 180     cos  0, 94