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Transcript
Capítulo
1
Notación científica y prefijos métricos
& INTRODUCCIÓN
En una célula haploide humana hay aproximadamente 3.000.000.000 de pares de
bases de ADN que conforman su genoma. Si se aísla el ADN de esa célula pesará
aproximadamente 0,0000000000035 gramos (g). Para amplificar un fragmento
determinado del ADN purificado, utilizando la técnica de la reacción en cadena de
la polimerasa (PCR), es necesario añadir 0,00000000001 moles de cada uno de los
dos cebadores a la mezcla de reacción, que dará lugar, tras 30 ciclos de PCR, a más
de 1.000.000.000 de copias del fragmento seleccionado.
En el trabajo del día a día, los biólogos moleculares trabajan con números y
magnitudes que están muy lejos de las magnitudes de la vida convencional. Para
facilitar el cálculo con estos valores extremos, se han desarrollado dos métodos,
que permiten transformar en manejables magnitudes enormes e infinitesimales.
Estos métodos utilizan la notación científica y los prefijos métricos. Para ello se
requiere la utilización de exponentes y entender los que son los dígitos
significativos.
1.1 DÍGITOS SIGNIFICATIVOS
Determinadas técnicas en biología molecular, así como en otras disciplinas de la
ciencia, se basan en la utilización de instrumentos que son capaces de dar mediciones muy precisas. Una indicación de ese nivel de precisión lo aporta el número
de dígitos que se muestra en la pantalla del instrumento. Las cifras de una
medición que representan los límites reales de precisión se denominan dígitos
significativos.
Aunque un cero puede ser un valor tan legítimo como los números enteros del
uno al nueve, los dígitos significativos son por lo general diferentes a cero. Sin
información sobre cómo se hizo una medición o de la precisión de los instrumentos utilizados para su elaboración, los ceros a la izquierda de la coma detrás de uno
o más números distintos de cero se supone que no son significativos. Por ejemplo,
al afirmar que el genoma humano es de 3.000.000.000 pb de longitud, el único
dígito significativo del número es el 3. Los nueve ceros no son significativos. Del
mismo modo, los ceros a la derecha del punto decimal que precede a una serie de
Ó 2012. Elsevier España, S.L. Reservados todos los derechos.
1
2
CAPÍTULO 1
Notación científica y prefijos métricos
dígitos distintos de cero se supone que no son significativos. Si determinamos que
el ADN dentro de una célula de esperma pesa 0,0000000000035 g, sólo el 3 y el 5
son cifras significativas. Los 11 ceros a la izquierda de estos dígitos no son
significativos.
Problema 1.1 ¿Cuántos dígitos significativos hay en cada una de las
siguientes medidas?
a) 3.001.000.000 pb
b) 0,00304 g
c) 0,000210 litros (L) (volumen obtenido con una micropipeta calibrada).
Solución 1.1
a) Número de dígitos significativos: 4; que son: 3.001
b) Número de dígitos significativos: 3; que son: 304
c) Número de dígitos significativos: 3; que son: 210
1.1.1 Redondeo de dígitos significativos en los cálculos
Cuando se realizan cálculos con dos o más mediciones, el resultado sólo puede ser
tan exacto como lo es el valor con menor precisión. Para adaptarse a esta necesidad, el número obtenido como solución de un cálculo debe redondearse para
reflejar el nivel más bajo de precisión. Las directrices apuntadas en el cuadro
siguiente le ayudarán a determinar de qué forma hay que redondear un número
como resultado de un cálculo.
Guía para redondear dígitos significativos
1. Cuando se suman o restan números, el resultado debe ser redondeado de
forma que tenga el mismo número de dígitos significativos decimales como
tiene el número con menor número de decimales significativos utilizado en el
cálculo.
2. Cuando se multiplican o dividen números, el resultado debe ser redondeado
de forma que tenga sólo tantos dígitos significativos como tenga el número
con menos dígitos significativos utilizado en el cálculo.
Problema 1.2 Realice los siguientes cálculos y exprese el resultado utilizando
la guía para redondear dígitos significativos descrita en el recuadro anterior.
a) 0,2884 g + 28,3 g
b) 3,4 cm 8,115 cm
c) 1,2 L 0,155 L
1.2
Exponentes y notación científica
Solución 1.2
a) 0,2884 g + 28,3 g = 28,5884 g
La suma se redondea de forma que muestre el mismo número de dígitos
significativos decimales como el número de dígitos significativos decimales
menor que hay en la ecuación. (En este caso, el valor 28,3 tiene un dígito
significativo decimal.)
28,5884 g se redondea a 28,6 g
b) 3,4 cm 8,115 cm = 27,591 cm2
El resultado se redondea a dos dígitos significativos, ya que hay tan sólo dos
dígitos significativos en uno de los números multiplicados (3,4 cm).
27,591 cm2 se redonde a 28 cm2
c) 1,2 L 0,155 L = 7,742 L
El cociente se redondea a dos dígitos significativos, ya que hay tan sólo dos
dígitos significativos en uno de los valores (1,2 L) utilizado en la ecuación.
7,742 L se redonde a 7,7 L
Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito.
1.2 EXPONENTES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
Un exponente es un número escrito en la parte superior derecha (y de menor
tamaño) de otro número (llamado base) para indicar la potencia a la que la base se
debe elevar. Los exponentes en base 10 se utilizan en la notación científica para
expresar números muy grandes o muy pequeños en forma abreviada. Por ejemplo,
para el valor de 103, 10 es la base y 3 es el exponente. Esto significa que el 10 se
multiplica por sí mismo tres veces (103 = 10 10 10 1.000). Para los
números menores de 1,0, se utiliza un exponente negativo para expresar los
valores como recíproco de la base 10. Por ejemplo,
103 ¼
1
1
1
¼
¼
¼ 0,001
103 10 10 10 1:000
1.2.1 Expresando números en notación científica
Para expresar un número en notación científica:
1. Mueva la coma a la derecha del dígito diferente de cero que hay más a la
izquierda. Cuente el número de posiciones que se ha movido la coma respecto
a su posición original.
3
4
CAPÍTULO 1
Notación científica y prefijos métricos
2. Escriba el nuevo número hasta incluir, a la izquierda y la derecha, a todos los
dígitos significativos (diferentes de cero). Descarte todos los ceros que se
extienden fuera de estos números enteros.
3. Coloque un signo de multiplicación y el número 10 a la derecha de los dígitos
enteros significativos. Utilice un exponente para indicar el número de posiciones que la coma se ha movido.
a. Para los números superiores a 10 (donde la coma se mueve a la izquierda),
utilice un exponente positivo.
b. Para los números menores a uno (donde la coma decimal se mueve a la
derecha), utilice un exponente negativo.
Problema 1.3 Escriba los siguientes números en notación científica.
a) 3.001.000.000
b) 78
c) 60,23 1022
Solución 1.3
a) Mueva la coma hacia la izquierda nueve posiciones de forma que esté
colocada a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero.
3,001000000
Escriba el nuevo número para incluir todos los dígitos significativos diferentes a cero y elimine todos los ceros a la derecha de estos dígitos. Multiplique
el nuevo número por 10, y añada el 9 positivo como exponente ya que el
número de salida es mayor que 10 y la coma se ha movido hacia la izquierda
nueve posiciones.
3:001:000:000 ¼ 3,001 109
b) Mueva la coma una posición hacia la izquierda de forma que quede colocada
a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Multiplique el
nuevo número por 10, y añada el 1 positivo como exponente ya que el
número de salida es mayor que 10 y la coma se ha movido hacia la izquierda
una posición.
78 ¼ 7,8 101
c) 60,23 1022
Mueva la coma hacia la izquierda una posición de forma que quede colocada
a la derecha del dígito diferente a cero que está más a la izquierda. Dado que
la coma se ha movido una posición a la izquierda, añada un 1 al exponente
(22 + 1 = 23 = nuevo valor del exponente).
60,23 1022 ¼ 6,023 1023
1.2
Exponentes y notación científica
Problema 1.4 Escriba los siguientes números en notación científica.
a) 0,000000000015
b) 0,0000500042
c) 437,28 107
Solución 1.4
a) Mueva la coma a la derecha 11 posiciones de forma que quede colocada a la
derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Escriba el nuevo
número hasta incluir todos los dígitos significativos (diferentes a cero) a la
izquierda y a la derecha. Descartar todos los ceros que quedan fuera de estos
dígitos. Multiplique el número por 10, y escriba un 11 negativo como el
exponente ya que el número original es menor que 1 y la coma se ha
desplazado a la derecha 11 posiciones.
0,000000000015 ¼ 1,5 1011
b) Mueva la coma a la derecha cinco posiciones de forma que quede colocada a
la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Descartar todos los
ceros que quedan fuera de los dígitos diferentes a cero tanto a la izquierda
como a la derecha. Multiplique el número por 10 y utilice un exponente 5
negativo, ya que el número original es menor que 1 y la coma se ha movido a
la derecha cinco posiciones.
0,0000500042 ¼ 5,00042 105
c) Mueva la coma dos posiciones hacia la izquierda para que se sitúe a la
derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Dado que la coma
se desplaza dos posiciones hacia la izquierda, coloque un 2 positivo como
valor del exponente (7 + 2 = 5).
Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito.
437,28 107 ¼ 4,3728 105
1.2.2 Convirtiendo números en notación científica
a notación decimal
Para cambiar un número expresado en notación científica a la forma decimal:
1. Si el exponente de 10 es positivo, mueva la coma a la derecha tantas posiciones
como el valor del exponente. Si es necesario, agregue ceros a la derecha de los
dígitos significativos para rellenar hasta la posición de la coma.
2. Si el exponente de 10 es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierda
tantas posiciones como el valor del exponente. Si es necesario, agregue ceros a
la izquierda de los dígitos significativos para rellenar hasta la posición de la
coma.
5
6
CAPÍTULO 1
Notación científica y prefijos métricos
Problema 1.5 Escriba los siguientes números en forma decimal.
a)
b)
c)
d)
4,37 105
2 101
23,4 107
3,2 104
Solución 1.5
a) Mueva la coma cinco posiciones a la derecha, agregando tres ceros para
mantener el lugar de la coma desde su posición anterior.
4,37 105 ¼ 437.000,0
b) Mueva la coma una posición a la derecha, agregando un cero a la derecha
del dígito significativo para mantener la nueva posición de la coma.
2 101 ¼ 20,0
c) Mueva la coma siete posiciones a la derecha, agregando seis ceros para
mantener la posición de la coma.
23,4 107 ¼ 234.000.000,0
d) La coma se mueve cuatro posiciones a la izquierda. Se añaden ceros para
mantener la posición de la coma.
3,2 104 ¼ 0,00032
1.2.3 Sumando y restando números escritos en notación
científica
Al sumar o restar números expresados en notación científica, es más sencillo
primero transformar los números de la ecuación para que tengan la misma potencia de 10 con el exponente mayor. El valor del exponente, por tanto, no cambiará
cuando finalmente se realice el cálculo.
Problema 1.6 Realice las siguientes operaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
(8 104) + (7 104)
(2 103) + (3 101)
(6 102) + (8 103)
(3,9 104) (3,7 104)
(2,4 103) (1,1 104)
1.2
Exponentes y notación científica
Solución 1.6
a)
(8 104) + (7 104)
= 15 104
= 1,5 105
= 2 105
b) (2 103) + (3 101)
= (2 103) + (0,03 103)
= 2,03 103
= 2 103
c)
(6 102) + (8 103)
= (6 102) + (0,8 102)
= 6,8 102
= 7 102
d) (3,9 104) (3,7 104)
= 0,2 104
= 2 105
e)
(2,4 103) (1,1 104)
= (2,4 103) (0,11 103)
Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito.
= 2,29 103
= 2,3 103
Resultado de la suma.
Número reescrito en el
formato estándar de notación
científica.
Número redondeado a un
dígito significativo.
El número con el menor valor
de exponente expresado con
el exponente de mayor valor.
Resultado de la suma.
Número redondeado a un
dígito significativo.
Cambio de los exponentes al
mismo valor.
Resultado de la suma.
Número redondeado a un
dígito significativo.
Resultado de la resta.
Número reescrito en el
formato estándar de notación
científica.
Cambio de los exponentes al
mismo valor.
Resultado de la resta.
Número redondeado con un
solo dígito significativo a la
derecha de la coma.
1.2.4 Multiplicando y dividiendo números expresados
en notación científica
Las reglas utilizadas para los exponentes en la multiplicación y división de
números expresados en notación científica son:
La regla del producto: cuando se multiplica utilizando notación científica,
los exponentes se suman.
7
8
CAPÍTULO 1
Notación científica y prefijos métricos
La regla del cociente: cuando se divide utilizando notación científica, el
exponente del denominador se resta del exponente del numerador.
Cuando realice el próximo grupo de problemas, las siguientes leyes matemáticas serán útiles:
Propiedad conmutativa de la multiplicación: el resultado de la multiplicación no depende del orden de los factores. Por ejemplo,
32¼23
Propiedad asociativa de la multiplicación: el resultado de la multiplicación
no depende de cómo se agrupan los factores. Por ejemplo,
3 ð2 4Þ ¼ ð3 2Þ 4
Problema 1.7 Calcule el producto.
a) (3 104) (5 102)
b) (2 103) (6 105)
c) (4 102) (2 103)
Solución 1.7
a)
(3 104) (5 102)
= (3 5) (104 102)
= 15 106
= 1,5 107
= 2 107
b) (2 103) (6 105)
= (2 6) (103 105)
= 12 102
= 1,2 103
= 1 103
Utilice las reglas conmutativa
y asociativa para agrupar los
factores similares.
Suma de exponentes.
Número expresado en la
notación científica estándar.
Redondeo del número con un
dígito significativo.
Utilice las reglas conmutativa
y asociativa para agrupar los
factores similares.
Suma de exponentes.
Número expresado en la
notación científica estándar.
Redondeo del número
con un dígito
significativo.
1.2
c)
Exponentes y notación científica
(4 102) (2 103)
= (4 2) (102 103)
Utilice las reglas conmutativa
y asociativa para agrupar los
factores similares.
= 8 102+(3)
= 8 105
Suma de exponentes.
Problema 1.8 Calcule la división.
a)
8 104
2 102
b)
5 108
3 104
c)
8,2 106
3,6 104
d)
9 105
2,5 103
Solución 1.8
a)
8 104
2 102
Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito.
¼
8
1042
2
El exponente del denominador
se resta del exponente del
numerador.
¼ 4 102
b)
5 108
3 104
5
¼ 108ð4Þ
3
¼ 1,67 108ð4Þ
¼ 2 1012
El exponente del denominador
se resta del exponente del
numerador.
Exponentes: 8 (4) = 8 + 4 = 12.
Número redondeado a un dígito
significativo.
9
10
CAPÍTULO 1
Notación científica y prefijos métricos
c)
8,2 106
3,6 104
¼
8,2
106ðþ4Þ
3,6
¼ 2,3 1010
d)
El exponente del denominador
se resta del exponente d
el numerador.
Número redondeado a dos dígitos
significativos.
Exponentes:
6 (+4) = 6 + (4) = 10.
9 105
2,5 103
¼
9
105ð3Þ
2,5
El exponente del denominador se
resta del exponente del numerador.
¼ 3,6 102
¼ 4 102
Número redondeado a un dígito
significativo.
1.3 PREFIJOS MÉTRICOS
Un prefijo métrico es una notación abreviada utilizada para denotar valores muy
grandes o muy pequeños de una unidad básica como una alternativa a expresarlos
como potencias de 10. Las unidades básicas utilizadas en las ciencias biológicas
con más frecuencia son los metros, gramos, moles y litros. Debido a su simplicidad, los prefijos métricos han encontrado una amplia aplicación en la biología
molecular. En la tabla siguiente se muestran los prefijos más utilizados y los
valores que representan.
Como se puede ver en la Tabla 1-1, un nanogramo (ng) es equivalente
a 1 109 g. Por tanto, hay 1 109 ng por g (el recíproco de 1 109;
1/1 109 = 1 109). Asimismo, puesto que un microlitro (mL) es equivalente
a 1 106 L, hay 1 106 mL por litro.
Cuando se expresan cantidades con prefijos métricos, generalmente se escoge
un prefijo de manera que el valor pueda ser escrito como un número superior a 1,0,
pero inferior a 1.000. Por ejemplo, es habitual expresar 0,00000005 g como 50 ng
en lugar de 0,05 mg o 50.000 pg.
1.3.1 Factores de conversión y simplificación de términos
Una conversión es el cambio de una medición expresada con un prefijo métrico en
un valor equivalente expresado mediante un prefijo métrico diferente. Se lleva a
1.3
Tabla 1-1 Prefijos métricos, sus abreviaturas y sus equivalencias como
exponentes de 10.
Prefijo métrico
gigamegakilomilimicronanopicofemtoatto-
Abreviatura
G
M
k
m
m
n
p
f
a
Potencia de 10
109
106
103
103
106
109
1012
1015
1018
cabo matemáticamente aplicando un factor de conversión sobre los dos términos diferentes. Un factor de conversión es una relación numérica igual a 1. Por
ejemplo,
Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito.
1 106 mg
1g
y
g
1 106 mg
son factores de conversión, ambos igual a 1. Pueden utilizarse para convertir
gramos a microgramos o microgramos a gramos, respectivamente. El prefijo
métrico final deseado debe aparecer en la ecuación como un valor en el numerador
del factor de conversión. Puesto que la multiplicación o división por el número 1
no cambia el valor de la cantidad inicial, cualquier cantidad puede multiplicarse o
dividirse por un factor de conversión y el resultado seguirá siendo igual a la
cantidad original; sólo cambiará el prefijo métrico.
Al realizar conversiones entre los valores expresados con diferentes prefijos
métricos, los cálculos pueden simplificarse cuando factores de 1 o unidades
idénticas se cancelan. Un factor de 1 es una expresión en que se divide el
término entre sí mismo. Por ejemplo, 1 106/1 106 es un factor de 1. Del
mismo modo, un 1 L/1 L es un factor de 1. Si en una conversión aparecen
términos idénticos en cualquier parte de la ecuación en un lado del signo igual,
tanto como numerador como denominador, pueden ser cancelados. Por ejemplo,
en la conversión de 5 104 L a microlitros, se puede configurar una ecuación
para que los términos idénticos (en este caso, litros) se puedan cancelar para dar ml
como valor del numerador.
Prefijos métricos
11
12
CAPÍTULO 1
Notación científica y prefijos métricos
5 104 L = n mL
5 104 L 1 10 mL
¼ n mL
L
6
(5 1)(104 106) mL n mL
5 104+6 mL n mL
5 102 mL n mL
Resolviendo para n.
Utilizar el factor de conversión en
relación con litros y microlitros, con
microlitros como un valor en el
numerador. Se cancelan los términos
idénticos en el numerador y el
denominador. (Recuerde, 5 104 L
es lo mismo que 5 104 L/
1,5 104 L, por lo tanto, es el
numerador.)
Agrupar los términos similares.
Multiplicar los numeradores.
Por lo tanto, 5 104 L es
equivalente a 5 102 mL.
Problema 1.9
a) En el genoma humano hay aproximadamente 6 109 pb. ¿A cuánto equivale en kilopares de bases (kb)?
b) Convierta 0,03 mg a ng.
c) Convierta 0,0025 mL a mL.
Solución 1.9
a) 6 109 pb = n kb. Resolver para n.
Multiplicar por el factor de conversión que relaciona kb con pb con las kb
como numerador:
6 109 pb 1 kb
¼ n kb
1 103 pb
Simplificar los términos idénticos (pb) que aparecen tanto en el denominador
como en el numerador, dejando kb como valor en el numerador.
ð6 109 Þð1 kbÞ
¼ n kb
1 103
El exponente del denominador se resta del exponente del numerador.
6
1093 kb ¼ 6 106 kb ¼ n kb
1
Por tanto, 6 109 pb es equivalente a 6 106 kb.
1.3
b) 0,03 mg = n ng. Resolver para n.
Multiplicar por el factor de conversión que relaciona g con mg y ng con g con
ng como numerador. Convertir 0,03 mg a su equivalente en notación
científica (3 102 mg):
3 102 mg 1g
1 109 ng
¼ n ng
6
g
1 10 mg
Simplificar los términos idénticos que aparecen tanto en el denominador
como en el denominador, dejando los ng como valor del numerador; multiplique el numerador y el denominador y agrupe los términos similares.
ð3 1 1Þð102 109 Þ ng
¼ n ng
ð1 1Þð106 Þ
Se suman los exponentes del numerador.
3 102þ9 ng 3 107 ng
¼
¼ n ng
1 106
1 106
Del exponente del numerador se resta el del denominador.
3
1076 ng ¼ 3 101 ng ¼ n ng
1
Por lo tanto, 0,03 mg es equivalente a 30 (3 101) ng.
c) 0,0025 mL = n mL. Resolver para n.
Convierta 0,0025 mL en notación científica. Multiplique por el factor de
conversión que relaciona L con mL y mL con L con mL como numerador.
Ó ELSEVIER. Fotocopiar sin autorización es un delito.
2,5 103 mL 1L
1 106 mL
¼ n mL
3
1L
1 10 mL
Simplifique los términos idénticos que aparecen tanto en el denominador
como en el numerador, dejando mL como valor del numerador. Multiplique
los valores del numerador y del denominador. Agrupe los términos similares.
ð2,5 1 1Þð103 106 Þ mL
¼ n mL
ð1 1Þð103 Þ
Se suman los exponentes del numerador.
2,5 103þ6 mL 2,5 103 mL
¼
¼ n mL
1 103
1 103
Prefijos métricos
13
14
CAPÍTULO 1
Notación científica y prefijos métricos
Del exponente del numerador se resta el del denominador.
2,5
1033 mL ¼ 2,5 100 mL ¼ 2,5 mL ¼ n mL
1
Por tanto, 0,0025 mL es equivalente a 2,5 mL.
& RESUMEN DEL CAPÍTULO
Los dígitos significativos son los dígitos que representan los límites reales de
precisión. Son por lo general dígitos distintos a cero. Los ceros a la izquierda de la
coma detrás de un dígito distinto a cero se supone que no son significativos. Los
ceros a la derecha de la coma antes de un dígito distinto a cero también se supone
que no son significativos.
El redondeo del resultado de la suma o diferencia de dos números debe tener el
mismo número de dígitos significativos a la derecha de la coma como el número
con el menor número de dígitos significativos a la derecha de la coma utilizada en
el cálculo. Un producto o cociente debe tener sólo tantos dígitos significativos
como el número con el menor número de dígitos significativos utilizado en el
cálculo.
Cuando los números se expresen en notación científica, mueva la coma a la
derecha del dígito diferente a cero de más a la izquierda, elimine todos los ceros
que quedan fuera de la serie de cifras significativas, y exprese el nuevo número
como un producto por 10 que tiene un exponente igual al número de posiciones
que la coma se movió de su posición original (con un exponente negativo si la
coma se mueve a la derecha).
Al sumar o restar números expresados en notación científica, vuelva a escribir
los números de tal manera que todos tengan el mismo valor en el exponente como
el de mayor exponente; a continuación, realice el cálculo. Al multiplicar números
expresados en notación científica, sume los exponentes. Al dividir números
expresados en notación científica, reste el exponente del denominador del exponente del numerador para obtener el valor del nuevo exponente.
Los números escritos en notación científica también pueden ser expresados
usando prefijos métricos, lo que permitirá obtener el valor con el menor número
de dígitos significativos.