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Funciones Trigonométricas de ángulos entre 0 y 360°
Generalizaremos las funciones trigonómetricas basándonos en el siguiente ejemplo:
C´
C
5
3
6
α
A
B
B´
4
8
3
. Según el teorema de Thales, los triángulos ABC y AB´C´ son
5
semejantes y además la relación entre los lados del triángulo ABC y los lados
AB
AC
BC
correspondientes del triángulo AB´C´ se conserva, es decir que
. No
=
=
AB′ AC ′ B′C ′
es por ello extraño que si AB´ fuese 8, entonces B´C´ sería 6 y AC’=10.
Para el ángulo α , senα =
3
6
, utilizando el triángulo ABC, es
utilizando
5
8
6 3
el triángulo AB´C´. Afortunadamente, el teorema de Thales se cumple ya que = .
8 4
De ahí que el seno de α , calculado como
Si utlizamos un círculo de radio r , las funciones trigonométricas de los ángulos α ,
0 <α <
π
, en el primer cuadrante, en donde el ángulo α está expresado en radianes y
2
no en grados y π ≈ 3,1416 , se definen a partir de la figura siguiente, tomando como
referencia las coordenadas del punto P(x,y), como se ve en la figura:
P(x,y)
r
1
y
x
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Siguiendo las ideas del ejemplo anterior, el cual se basó en el teorema de Thales, las
funciones trigonométricas podrían calcularse bien utilizando el círculo de radio r, o el
círculo de radio 1.
En el círculo de radio r tendríamos:
senα =
y
,
r
cosα =
x
,
r
y
,
x
tan α =
ctgα =
x
,
y
sec α =
r
r
, cscα =
y
x
P(x,y)
1
y
x
Mas si trasladamos el punto P al círculo de radio 1, vease la figura:
(*) senα =
y
x
1
1
y
x
= y , cosα = = x , tan α = , ctgα = , secα = , cscα =
1
1
x
y
x
y
lo cual simplifica nuestro nuevo acercamiento a las funciones trigonométricas.
Por ello, la generalización de las funciones trigonométricas, restringidas antes a ángulos
entre 0 y
π
(en radianes) , ya que no existen ángulos mayores de 90° en los triángulos, ni
2
ángulos negativos en los mismos, se basa en el círculo trigonométrico o círculo de radio
1.
Las nuevas definiciones, son las dadas arriba en (*).
Como en el círculo trigonométrico x 2 + y 2 = 1 , concluímos que sen 2α + cos 2 α = 1 .
He aquí nuestra primera identidad (se cumple para todo valor de α ) trigonométrica .
2
2
1
 y
La conocida identidad sec α = 1 + tan α , se deriva del hecho   = 1 +   , puesto
 x
x
2
2
2
y2 x2 + y2
1 1
 y
que 1 +   = 1 + 2 =
= 2 = 
2
x
x
x
x
x
2
Una lista de identidades trigonométricas se puede conseguir en un texto de trigonometría.
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Funciones trigonométricas ángulos notables
Expresando los ángulos en radianes, estudiaremos a partir del círculo trigonométrico las
π
3π
funciones trigonométricas de los ángulos 0, , π ,
,2π .
2
2
(0,1)
π rad
π/2 rads
(-1,0)
(1,0)
0 rads
rad ≡ radian
3π/2 rad
(0,-1)
2π rad
A partir de las definiciones dadas en (*) y observando la figura anterior, concluímos:
y 0
1
1
= (noexiste)
= = 0 , ctg 0 =
x 1
tan 0
0
1
1
1
1
sec 0 =
= = 1 , csc 0 =
= (noexiste)
cos 0 1
sen0 0
sen 0 = y = 0 , cos 0 = x = 1 , tan 0 =
..........
y 1
π x 0
= (noexiste) , ctg = = = 0
2
2
2 x 0
2 y 1
π
1
1
π
1
1
= =1
sec =
= (noexiste) , csc =
π
π
2 sen
2 cos
0
1
2
2
.......
y
0
x −1
sen π = y = 0 , cos π = x = −1 , tan π = =
= 0 , ctgπ = =
(noexiste)
y
0
x −1
1
1
1
1
secπ =
=
= −1 , csc π =
= (noexiste)
cos π − 1
senπ 0
sen
π
= y = 1 , cos
π
= x = 0 , tan
π
=
.......
sen
3π
3π
3π
y −1
3π
x
0
= -1, cos
= x = 0 , tan
= =
(noexiste) , ctg
= =
=0
2
2
2
x
0
2
y −1
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3π
1
1
3π
1
1
=
= (noexiste) , csc
=
=
= −1
3π
3π
2
2
−
0
1
cos
sen
2
2
Todas las funciones de 2 π son las mismas que las de 0 radianes, por lo tanto
sec
sen 2π = 0, cos 2π = 1, tan 2π = 0, ctg 2π (no existe), sec 2π = 1, csc 2π (no existe)