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XIV. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA EN EL CICLO SUPERIOR DE
PRIMARIA II: TRIÁNGULOS1 (2ª PARTE)
Edelmira Badillo y Mequè Edo
Con respecto a la segunda y tercera parte de esta Actividad 6 –que está centrada en el estudio de las alturas de un triángulo y el ortocentro– más que hacer un análisis exhaustivo de la
actividad matemática de los niños que participaron en esta experiencia, queremos dar ciertas
pistas así como una fundamentación matemático-didáctica. Con ellas, los maestros interesados
en profundizar y poner en práctica el desarrollo de esta actividad dispondrán de un referente
para gestionar la complejidad que implica la comprensión de conceptos tan complejos en este
nivel de escolaridad.
De hecho, nosotros implementamos en la clase de quinto la segunda parte de la actividad y
los resultados sobre el trazado de las alturas de un triángulo sólo fueron positivos para un grupo
muy reducido de niños de la clase. Precisamente, a este grupo reducido de niños, se le ofreció
la opción de trabajar en casa, con la tutorización de la maestra, la tercera parte de la actividad
centrada en el ortocentro.
Creemos conveniente resaltar que las
investigaciones en didáctica de las matemáticas han arrojado muchos resultados
sobre la dificultad que tienen los alumnos
de Primaria, Secundaria, Bachillerato –e
incluso futuros maestros y maestras de Primaria– en la comprensión del concepto
de altura y el trazado de las alturas de un
triángulo (Azcárate, 1997).
Esta misma autora señala que muchos
de los errores que tienen los estudiantes
a la hora de definir el concepto de altura están fuertemente influenciados por
las experiencias previas que han tenido
bien en la escuela (clase de Geometría),
bien por la influencia de los libros de
texto.
Al diseñar esta actividad pensamos
que como punto de partida podríamos
utilizar el geoplano para que los alumnos
manipularan y construyeran los diferentes
tipos de triángulos que presentábamos en
la situación 2 y reflexionaran alrededor de
dos interrogantes.
1. Estas orientaciones didácticas que a continuación reproducimos están relacionadas con la experiencia «Taller
de Arte y Geometría en el Ciclo Superior de Primaria: Ángulos» de esta obra. Asimismo, constituyen la 2ª parte de las
publicadas en actualizaciones anteriores.
PRAXIS
1
¿Qué partes del triángulo se mantienen y qué partes cambian?
Todos los alumnos en general, después de reproducir la figura, eran capaces de ver que los
triángulos tenían «la base igual», y sólo un grupo reducido pudo inferir que también tenían «la
altura igual». Incluso podían dar un valor de la medida de las mismas (h=3 unidades y b=3 unidades). Con relación a las partes que cambian, la mayoría respondían que los vértices, los lados
y los ángulos.
Sin embargo, ningún grupo hizo referencia ni al área ni al perímetro de los triángulos, sino
que se centraron en los elementos de los triángulos que hasta ahora habíamos trabajado en el
taller.
Analiza dónde se encuentran las alturas de cada triángulo. Sugerencia: fíjate por lo
menos en una de ellas.
Al responder a esta pregunta los alumnos inmediatamente se centraban en «la altura del
triángulo», incluso hacían preguntas inocentes, pero cargadas de un gran contenido conceptual,
como: «Señorita, ¿sólo tiene una, no?» Pues, en el triángulo acutángulo está dentro, en el triángulo rectángulo es un lado y en el triángulo obtusángulo está fuera.
Creemos conveniente resaltar que nuestro objetivo con esta actividad era intentar sacar
las ideas previas que los alumnos tenían de las alturas de un triángulo e ir movilizándolas,
en lo posible, hacia un esquema más rico y variado de este concepto, pero en ningún momento nos planteamos que todos los alumnos llegaran a trazar las tres alturas de un triángulo correctamente. Por tanto, las respuestas a la situación 3 las valoramos como positivas, porque sí que
nos permitieron que emergieran en el aula los esquemas que los alumnos de quinto de Primaria tienen sobre el concepto de altura de un triángulo y su trazado. A continuación presentaremos cuatro ejemplos de las producciones de los grupos resaltando algunos aspectos que deben
tenerse en cuenta y evitar a la hora de diseñar una secuencia didáctica para el aprendizaje de
este concepto:
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
1
2
3
4
DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
– La confusión que muestran los estudiantes al asociar la altura con la verticalidad (ejemplos
2 y 4). Este error está fuertemente influenciado por la manera en que usualmente se presentan
las representaciones de los triángulos en la clase de Geometría y en los libros de texto, siempre
con «la base» en posición horizontal.
– El error del trazado de una sola altura del triángulo que generalmente se asocia con la vertical (Azcárate, 1997).
Prototipos de las representaciones de los tipos de triángulo siempre con «la base en posición horizontal» y el
trazado de «la única altura» que aparecen en los libros de texto y en la clase de Geometría
Inicialmente, ninguno de los grupos trazó correctamente las alturas de un triángulo y la
mayoría consideraba que un triángulo tiene sólo una altura que asociaban directamente con la
verticalidad. Por ese motivo decidimos centrarnos en el concepto de altura que presentaban los
diccionarios, libros y documentos que teníamos cercanos para intentar aclarar dos cosas: (1)
«¿qué es eso de la altura de un triángulo?»; (2) «¿cuántas alturas tiene un triángulo?», dejando
de lado el trazado de las mismas.
Después de recordar y volver a consensuar con la clase el concepto de altura, lo definimos
de la siguiente manera:
La altura de un triángulo es el segmento de recta trazado desde los vértices y que es
perpendicular a su lado opuesto.
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Inmediatamente, hicimos a los estudiantes nuevamente la pregunta: «¿cuántas alturas tienen
todos los triángulos?», pero les advertimos que pensaran bien en cuántos vértices y cuántos lados
tienen todos los triángulos, porque esto les ayudaría a encontrar el número de alturas que tienen todos los triángulos, independientemente del tipo que sean. Con este panorama, los alumnos volvieron a la ficha y en su mayoría escribían que el triángulo tiene tres alturas porque tiene
tres vértices y tres lados, pero aún seguía la confusión de asociarla con la verticalidad.
Con el propósito de ayudarles a movilizar las ideas erróneas de asociar «altura = vertical y
base = horizontal»; les propusimos reflexionar sobre su altura y sobre los convenios universales
para medir la altura de los objetos, animales y personas teniendo como referente la gravedad.
Es decir, derechos. La actividad que realizamos por grupos consistía en escoger un compañero
del grupo y medir su altura. Posteriormente, cada grupo explicaría al resto de compañeros:
cómo lo hicieron y cuánto medía
Todos los grupos coincidieron en que para medir la altura el compañero se colocaba en posición recta (derecho-de pie) y ellos con la ayuda de un metro medían la distancia que había
desde la cabeza a los pies. Insistimos en preguntarles si habría otra manera de medir la altura y
decían que no.
Entonces les preguntamos: ¿ustedes tienen la misma altura cuando están acostados en la
cama bien estirados?, ¿y cuando están de pie?, ¿y cuando están en diagonal en la cama?, etc.
Inmediatamente, todos dijeron que sí, y comenzamos a discutir que la altura de una persona,
de un objeto o de un triángulo no se tiene que asociar sólo con la verticalidad, ni las bases de
un triángulo con la horizontal, que los triángulos se pueden representar de diferentes formas e
independientemente de la representación tendrán tres bases y tres alturas.
Posteriormente, volvimos a identificar bases y vértices opuestos en diferentes triángulos
representados en varias posiciones; y les propusimos de manera opcional que intentaran trazar
las alturas de los triángulos de la Actividad 3. Sólo obtuvimos respuestas de tres grupos (ejemplos 1, 3 y 4), de los cuales: (1) el grupo del ejemplo 3 lo hizo correctamente; (2) el grupo del
ejemplo 1 trazó correctamente las alturas del triángulo acutángulo y dejaron las demás sin terminar y, (3) el grupo 4 avanzó en el hecho de considerar ahora 3 alturas y no 1, pero siguen
manteniendo el error de confundir la altura con la verticalidad pues trazaron tres alturas desde
cada vértice pero en posición vertical (Azcárate, 1997).
Si como maestro estás interesado en profundizar en el trazado de las alturas de un
triángulo y en el estudio del ortocentro, te sugerimos que pongas en práctica con tus
alumnos la tercera parte de la Actividad 6.
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
A continuación, te presentamos una secuencia de fotos que ilustran la manera como se
podría llevar a cabo la actividad con tus alumnos.
– Secuencia de fotos en la que se muestra el trazado de las alturas y el ortocentro de un triángulo acutángulo.
– Secuencia de fotos en la que se muestra el trazado de las alturas y el ortocentro de un triángulo rectángulo.
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
Secuencia de fotos en la que se muestra el trazado de las alturas y el ortocentro de un triángulo obtusángulo.
Actividad 7. Actividad de síntesis: tipos de triángulos según sus lados y según sus ángulos (opcional)
– Objetivos:
Profundizar y sintetizar los diferentes aspectos conceptuales y procedimentales relacionados con el concepto de triángulo, elementos y tipos de triángulos.
● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico), para abordar la solución de situaciones que involucren triángulos, mediante el uso de
diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.
●
– Materiales:
●
●
●
●
●
●
Transportador (uno o más).
Regla.
Papel.
Rotuladores.
Mapa conceptual del concepto de triángulo consensuado por la clase.
Ficha del dossier de la Actividad 7.
– Agrupamiento. Trabajo individual y grupo grande.
– Desarrollo de la Actividad 7. Hemos considerado esta actividad de síntesis y la propusimos a los alumnos de manera opcional para aquellos que estuvieran interesados en organizar
toda la información trabajada en las anteriores sesiones del taller. Básicamente, la actividad consiste en sistematizar los aspectos teóricos y procedimentales trabajados con relación a la clasificación de triángulos según sus lados y según sus ángulos, los elementos del triángulo y las diferentes definiciones consensuadas por el grupo. Para ello se ofrece un primer modelo de tabla
de síntesis para un tipo de triángulo según sus lados y un modelo para un tipo de triángulos
según sus ángulos y se ofrece a los alumnos la posibilidad de construir, siguiendo los modelos
proporcionados, los otros tipos de triángulos restantes.
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
En esta actividad integramos los diferentes aspectos señalados en el segundo apartado de
planteamiento teórico que sustentan esta propuesta:
– La importancia de la definición y la demostración matemática.
– El uso de un lenguaje matemático en el aula.
– El uso de diferentes sistemas de representación: gráfico, numérico, etc.
– La importancia de la verificación de los argumentos en matemáticas mediante el uso de los
diferentes procedimientos, geométrico o gráfico, algebraico, etc.
– La construcción gráfica de los elementos geométricos, usando variedad de ejemplos de los
conceptos desarrollados y no caer sólo en el uso de prototipos que puedan hacer emerger errores conceptuales en los alumnos.
Actividad 8. Condición necesaria que han de cumplir los lados de un triángulo
– Objetivos:
Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar las condiciones necesarias que
debe cumplir la medida de los lados de un polígono para ser triángulo: «La suma de las
medidas de los dos lados más pequeños del triángulo tiene que ser mayor que el valor de la
medida del lado más grande».
● Incentivar progresiva e individualmente a los alumnos para que realicen conjeturas sobre
los objetos geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos: geométrico, algebraico, etc.
● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico)
para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes tipos de triángulos, mediante el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.
●
– Materiales:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Tijeras y pegamento.
Transportador (uno o más).
Tiras de cartulina de color de 1 cm de ancho.
Regla y escuadras.
Lápiz y papel.
Rotuladores.
Geoplanos: isométrico y cuadricular.
Tramas en papel: isométrica y cuadricular.
Ficha del dossier de la Actividad 8.
– Agrupamiento. Trabajo en parejas y en grupo grande.
– Desarrollo de la Actividad 8. A continuación, presentaremos un ejemplo de una secuencia de actividades que buscaba que los alumnos llegaran a demostrar las condiciones suficientes y necesarias que han de cumplir los lados de un triángulo. Esta actividad parte de conceptos elementales previamente construidos en el aula por los alumnos como son: los conceptos de
segmento (lados), ángulos, triángulo, partes y clasificación de triángulos.
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
Para ilustrar los diferentes aspectos del concepto de triángulo que trabajamos en el aula a lo
largo de todo el taller, y que consideramos básicos para que un alumno pueda construir un
esquema rico y variado de este concepto, a continuación presentamos el estudio de un caso que
conforma la actividad matemática desarrollada por dos alumnas de quinto (Tania y Huiting).
Inicialmente, les presentamos la ficha que diseñamos para que los alumnos –por parejas y
como estaban sentados en clase– consiguieran los objetivos propuestos, posteriormente se hizo
una puesta en común para aclarar dudas y para que los alumnos tuvieran un espacio en el que
argumentar sus resultados o para mejorar sus errores.
En general, fue una actividad que valoramos como positiva porque para todos los alumnos
fue relativamente sencillo llegar a demostrar el teorema de las condiciones necesarias que
deben cumplir las medidas de los lados de un triángulo, y para nosotras como maestras fue fácil
gestionar la sesión.
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
Analizando las respuestas que dan Huiting y
Tania a las cuestiones propuestas, queremos
resaltar diversos aspectos de la actividad matemática realizada en el aula:
– En la situación 1 observamos que el material didáctico facilita y hace emerger procesos de definición en los alumnos (hacer conjeturas, justificarlas y demostrarlas). Después de
manipular los triángulos, construidos a partir de
las condiciones dadas, las alumnas se acercan a
una primera formulación de las condiciones
necesarias que deben cumplir los lados de un
triángulo:
«Sí, puedo construir triángulos usando las
diferentes tiras de cartulina cuando la base
es más pequeña que el resto».
● «No puedo construir triángulos usando las
diferentes tiras de cartulina cuando la base
es más grande que el resto».
●
En realidad, han llegado a ver que el lado mayor (la base) tiene que ser más pequeño que la
suma de los otros dos lados (el resto). Para demostrar esta afirmación, se basan en las representaciones de los diferentes tipos de triángulos que pueden construir a partir de las condiciones
dadas en la situación propuesta.
– Otro aspecto importante es la capacidad de las alumnas para demostrar y generalizar la
definición que han llegado a construir a partir de los casos específicos que les proponía la situación. Por ejemplo, en la segunda situación se les pide que construyan los triángulos con las longitudes dadas y ellas generalizan los casos posibles y los no posibles, utilizando las otras longitudes que se les proporcionan y llegando a hacer representaciones de los casos a «escala», como
se ilustra a continuación:
Se les había pedido construir los
triángulos cuyos lados tuvieran las
longitudes 6, 6, 6 cm y 11, 11, 11
cm, y ellas hacen a escala el otro
caso posible a construir (8, 8, 8 cm),
clasificándolos como los equiláteros
posibles.
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
Como podemos observar, este tipo de triángulo cumple con la definición inicial, aunque
resaltamos como negativo que para demostrarlos utilicen la representación de los triángulos en
posición prototípica (base = horizontal):
La base es más pequeña que el resto, 6 <6+6 =12
– Realizan la misma demostración para los triángulos isósceles, pero resaltamos en ésta el uso
de ejemplos y no ejemplos del concepto de triángulo isósceles y de las condiciones necesarias
que han de cumplir los lados de un triángulo. Es decir, que no se conforman con representar
gráficamente los casos que se les piden, sino que hacen representación a escala de los casos que
ellos consideran posibles, independientemente de si se les pide que se construyan en la actividad y de los casos que consideran imposibles (no ejemplos).
Resaltamos la justificación que dan
del caso imposible del triángulo
isósceles 6, 6, 15 cm: «no es posible
porque no encaja porque 6 y 6 son
12, por tanto no llegan a 15».
Es decir, usan un «no ejemplo» de
triángulo isósceles para argumentar
y demostrar la definición inicial de
que «la base es más pequeña que el
resto: 6 + 6=12<15».
Siguiendo el mismo tipo de razonamiento, realizan la demostración para los triángulos escalenos, no centrándose sólo en el análisis del caso f) 15, 6, 8 cm; sino proporcionando otros casos
que ayuden a validar y demostrar su definición inicial, que después generalizan de manera bastante aceptable, afirmando «que la construcción de un triángulo depende de las longitudes de
los lados, que es posible si la base es más pequeña que el resto y que no es posible si la base es
más grande que el resto».
Actividad 9. Condición necesaria que han de cumplir los ángulos de un triángulo
– Objetivos
Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de los ángulos
internos de un triángulo suman 180º, independientemente del tipo de triángulo.
● Incentivar progresiva e individualmente a los alumnos para hacer conjeturas sobre los objetos geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos: geométrico, algebraico, etc.
● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico)
para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes tipos de triángulos mediante el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.
●
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Taller de Arte y Geometría
– Materiales:
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●
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●
●
●
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Tijeras y pegamento.
Transportador (uno o más).
Regla y escuadras.
Lápiz y papel de diferentes colores.
Rotuladores.
Geoplanos: isométrico y cuadricular.
Tramas en papel: isométrica y cuadricular.
Ficha del dossier de la Actividad 9.
– Agrupamiento. Trabajo individual y grupo grande.
– Desarrollo de la Actividad 9. A continuación, presentaremos un ejemplo de la secuencia de
actividades que buscaba que los alumnos llegaran a demostrar las condiciones suficientes y necesarias que ha de cumplir la suma de los ángulos internos de un polígono para que sea un triángulo.
Esta actividad parte de conceptos elementales previamente construidos en el aula por los alumnos
como son: los conceptos de segmentos, ángulos, triángulos, partes y clasificación de triángulos.
Para ilustrar los diferentes aspectos del concepto de triángulo que trabajamos en el aula a lo
largo de todo el taller, y que consideramos básicos para que un alumno pueda construir un
esquema rico y variado de este concepto, a continuación exponemos el estudio de un caso. Inicialmente, les presentamos la ficha que diseñamos para que los alumnos de forma individual
consiguieran los objetivos propuestos para, posteriormente, hacer una puesta en común que
aclarara dudas y que permitiera a los alumnos tener un espacio para argumentar sus resultados
o mejorar sus errores. En general, fue una actividad que valoramos como positiva porque para
todos los alumnos fue relativamente fácil llegar a demostrar el teorema de la suma interna de
los ángulos de un triángulo, y para nosotras, como maestras, fue sencillo gestionar la sesión.
FIGURAS F
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Y
G. Producciones de Patricia, una alumna de quinto
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
Queremos resaltar diversos aspectos de la actividad matemática desarrollada por Patricia en
la que vemos reflejados muchos de los presupuestos teóricos que trabajamos insistentemente en
el aula mediante el diseño de actividades significativas que ayudaran progresivamente a los
alumnos a comprenderlos. Resaltamos:
– El uso de representaciones gráficas no prototípicas de triángulos y ángulos.
– El uso del lenguaje matemático asociado a su significado referencial. Es decir, representación de ángulos y segmentos haciendo uso de una notación correcta y variada. Por ejemplo:
para nombrar los ángulos de los triángulos usa los siguientes signos matemáticos:
y, para nombrar a los lados de los triángulos:
– En sus producciones queda implícita la definición de triángulo como la intersección de tres
ángulos, que a la vez forman un ángulo de 180º, que asocia con la definición de ángulo plano.
– La clasificación simultánea que hace la alumna de los triángulos, según sus lados y según
sus ángulos. Este aspecto consideramos que es muy interesante porque la investigación en
didáctica de las matemáticas nos señala que la mayoría de los alumnos tienden a almacenar la
clasificación de los triángulos en dos cajones independientes. Por ejemplo, la clasificación que
hace de los triángulos como: rectángulo y escaleno; acutángulo e isósceles; y, obtusángulo y
escaleno, respectivamente (ver FIGURA G).
– La necesidad de demostrar geométricamente, mediante el uso de los instrumentos de validación que utilizamos en el aula, transportador y regla, la clasificación que hace de cada uno
de los triángulos. Es decir, midiendo con regla sus lados para verificar la clasificación según sus
lados y midiendo sus ángulos con transportador para verificar la clasificación según sus ángulos.
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
– La variedad de procedimientos que utiliza en sus demostraciones:
Gráfico-geométrico: jugar con el rompecabezas de la representación de los ángulos que forman los triángulos hasta deducir que siempre forman un ángulo conocido como es el plano.
●
Numérico: cuando mide los ángulos y hace la suma de los mismos para demostrar que
efectivamente, como indica la representación gráfica, suman 180º.
●
Algebraico: cuando usa la notación de ángulos y expresa, aunque no tenga conciencia, la
suma de los ángulos internos como una ecuación de primer grado con tres incógnitas:
●
+ + = 180º .
Verbal: cuando finalmente llega a la generalización de que la suma interna de todos los
ángulos de un triángulo es siempre 180º, después del estudio y el análisis particular de los casos
que le proporcionamos.
●
– Las estrategias de cálculo escrito y mental que utiliza para superar las dificultades que evidencia con el algoritmo de la suma de decimales, como es el cálculo aproximado de las cantidades por compensación.
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
Actividad 10. Cálculo de perímetro y cálculo de áreas de triángulos
– Objetivos:
Percibir el área como un atributo mesurable.
Distinguir y relacionar los conceptos de área y perímetro.
● Medir el área y el perímetro de triángulos y polígonos no regulares con unidades no convencionales con la ayuda del geoplano y las tramas.
● Motivar progresiva e individualmente a los alumnos a hacer conjeturas sobre los objetos
geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos: geométrico, algebraico, etc.
● Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico)
para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes tipos de triángulos mediante
el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.
● Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricos tratados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones problemas prácticas
y significativas.
●
●
– Materiales
●
●
●
●
●
●
●
Transportador (uno o más).
Reglas y escuadras.
Geoplanos: isométrico y cuadricular.
Tramas isométricas y cuadricular.
Papel.
Rotuladores.
Ficha del dossier de la Actividad 10.
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– Agrupamiento. Trabajo individual, reflexión en parejas y grupo grande.
– Desarrollo de la Actividad 10. Las investigaciones en didáctica de las matemáticas y los
grupos de reflexión de maestros de matemáticas coinciden en afirmar que si bien es cierto que
la superficie es una magnitud bastante fácil de percibir por los alumnos visualmente, son muy
pocos los alumnos del segundo y tercer ciclo de Primaria capaces de realizar estimaciones aceptables de área de figuras sencillas y familiares. Hecho que atribuyen a la falta de experiencia real
de medida con unidades de superficie a pesar de que muchos reconocen haber oído hablar de
las unidades estándares de medida: metros cuadrado, centímetros cuadrado, etc. (Grupo Cero,
1996).
Igualmente, muchos son los errores y obstáculos que se han diagnosticado cuando los niños
de Primaria se enfrentan a situaciones en donde se les pide la estimación del área de objetos de
la realidad dibujados a escala, ya que los niños no han tenido experiencias previas en la escuela de trazado y dibujos construidos a escala. Por tanto, si los niños no han tenido experiencias de medición y estimación de superficies objetos y unidades reales, los maestros caemos con facilidad en el error de crearles una imagen distorsionada del tamaño de la
unidad.
Por otro lado, nos encontramos con el error en los alumnos, quizá influenciado por la falta
de dominio conceptual de los maestros sobre los objetos geométricos a la hora de enseñar en
el aula, de confundir superficie y perímetro, y creer que todas las figuras que tienen la misma
superficie también tienen el mismo perímetro y viceversa.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, hemos diseñado la Actividad 10 que la conforman una
serie de situaciones-problema, partiendo del uso del geoplano y de las tramas cuadriculares e
isométrica, con el propósito de que los alumnos se enfrenten a una serie de situaciones que
involucren medida directa e indirecta utilizando unidades de longitud (perímetro) y superficie
(área) antes de descubrir o definir las fórmulas y relaciones para el cálculo de áreas de los polígonos más conocidos (triángulo, rectángulo, etc.). En este caso concreto, antes de que descubran que el área de un triángulo puede obtenerse a partir de las dimensiones de sus bases y sus
alturas.
Consideramos que este tipo de actividad matemática en la que las situaciones pueden ser
reproducidas por los estudiantes con instrumentos que permiten la manipulación de los mismos
(geoplano) puede ayudar a que el cálculo del perímetro y de la superficie de diferentes figuras
geométricas sea significativo y real, y poco a poco los alumnos vayan superando las dificultades
y errores.
Creemos conveniente señalar que esta secuencia de actividades no fue llevada a la práctica
por cuestiones de tiempo en el taller de geometría y arte con los alumnos de quinto de Primaria de la Escuela Salesiana Mare de Déu de la Mercè, pero sí que reflexionamos sobre ellas en
un curso sobre triángulos que realizamos con maestros de Primaria del Ciclo Medio y Superior
en la 27ª. Escola d’Estiu del Vallès Occidental (Badillo, 2006).
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
Actividad 11. Actividad individual de evaluación
– Objetivos:
Diagnosticar el nivel de comprensión de los conceptos desarrollados en el taller de triángulos.
● Reforzar y ampliar el uso de los procedimientos geométricos, algebraico, numérico e intuitivo en la resolución de problemas prácticos.
● Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricos tratados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones problemas prácticas
y significativas.
●
– Materiales:
●
●
●
●
●
●
●
●
Imagen del cuadro Tranquilidad de Kandinsky.
Mapa conceptual del esquema de triángulo consensuado por la clase.
Transportador (uno o más).
Geoplanos: isométrico y cuadricular.
Regla y escuadra.
Papel.
Rotuladores.
Ficha del dossier de la Actividad 11.
– Agrupamiento. Trabajo individual, evaluación por parejas de alumnos (intercambio de la
actividad para ser evaluada por el compañero), tutoría individualizada del maestro y reflexión
en grupo grande.
– Desarrollo de la Actividad 11. Esta actividad la diseñamos para evaluar algunos aspectos
del taller que habíamos trabajado y enfatizado en el desarrollo de las anteriores 10 actividades.
Sin embargo, éste no es el único instrumento de evaluación que usamos para analizar la actividad matemática generada en el aula por los alumnos. Las actividades de síntesis 3 y 7, al principio y a la mitad del taller, así como toda la observación e información que como maestros
podemos recoger a lo largo del desarrollo del taller, también se convierten en fuentes de información valiosas que nos permiten tener una idea aproximada de la evolución de los alumnos.
Dentro del marco de este taller, la evaluación es considerada formativa, continua e integral.
Lo anterior implica centrarnos en la evolución de los aprendizajes de los estudiantes más que
en los resultados puntuales o finales. Además, consideramos que la evaluación es un proceso en
el cual los alumnos tendrían que participar activamente. Por tanto, proponemos la reflexión por
parte de los maestros de los siguientes tipos de evaluación que hemos implementado en el aula
a lo largo de todo el taller:
Auto-evaluación. Revisión continua de las actividades del dossier, revisión y mejora continua de sus producciones artísticas.
● Entre iguales. Valoración de las producciones del compañero, intercambio de material para
corregir errores, debate y argumentación de ideas, etc.
● Negociación de los criterios de evaluación y de los aspectos y problemas a evaluar. Los alumnos
participan en la construcción de problemas, preguntas abiertas y las correspondientes respuestas
que se tendrán en cuenta en la evaluación final o de síntesis (la cual forma parte del proceso).
●
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
Hetero-evaluación. Considerada no estática, ni acabada; los alumnos tienen la oportunidad de revisar, mejorar y proponer alternativas de solución que reflejen los progresos que
van alcanzando.
●
ESQUEMA-GUÍA
DE LA
ACTIVIDAD 11
Inicio
No
¿Tiene 3
lados?
Sí
¿Tiene todos
sus lados
iguales
Sí
Equiláteros
No
¿Tiene 2
lados
iguales?
No
Escaleno
Sí
Isósceles
¿Tiene 1
ángulo
recto?
Sí
Isósceles-rectángulo
No
No
Acutángulo
¿Tiene 1
ángulo
obtuso?
No
¿Tiene 1
ángulo
recto?
Sí
Sí
Escalenoobtusángulo
Escalenorectángulo
¿Tiene 1
ángulo
obtuso?
Sí
Isósceles-obtusángulo
No
Isóscelesacutángulo
Fin
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
A continuación presentamos otro modelo de situaciones que permiten evaluar la evolución
conceptual de los estudiantes mediante el uso de esquemas que permiten organizar la información. Esta actividad es compleja porque los alumnos no están acostumbrados a este tipo de
situaciones al ser evaluados. Requiere una motivación y explicación inicial del maestro para ayudarles a comprender y procesar la información que se les proporciona y lo que se les pide hacer.
Lo más enriquecedor de esta actividad es el debate que se genera en el aula delante de las
respuestas (bien sean acertadas o erróneas) de los niños y sus posibles argumentaciones.
Es una actividad pensada para ser resuelta de forma individual.
Posteriormente, se intercambian las parejas para compartir las respuestas del compañero de
mesa, evaluarlas, justificarlas y llegar a un acuerdo sobre las posibles correcciones que harán
como pareja para ser presentadas y argumentadas en el debate con toda la clase. Les proporcionamos las respuestas correctas del esquema como guía para la discusión que pueda generarse en el aula.
Actividad 12. Actividad de investigaciones y juegos
– Objetivos. Como en la actividad anterior, con este grupo de situaciones problemas nos
proponemos los siguientes objetivos:
Afianzar todos los conceptos desarrollados en el taller de triángulos.
Reforzar y ampliar el uso de los procedimientos geométricos, algebraico, numérico e intuitivo en la resolución de problemas prácticos.
● Generar una actividad matemática en los estudiantes donde los conceptos geométricos tratados sirvan como instrumento en el proceso de resolución de situaciones-problema prácticas y significativas.
●
●
– Materiales:
●
●
●
●
●
Transportador (uno o más).
Papel.
Rotuladores.
Ficha del dossier de la Actividad 12.
Internet.
– Agrupamiento. Trabajo individual y tutoría individualizada del maestro.
– Desarrollo de la Actividad 12. Como en la actividad anterior, se presentan un grupo de
actividades que complementan el trabajo realizado a lo largo del taller. Las situaciones-problema
que presentamos en esta actividad permiten un uso práctico del concepto de triángulo y de los
demás conceptos tratados en contextos reales. Creemos conveniente aclarar que no son situaciones que se han de plantear al final del taller, de hecho, nosotros fuimos planteándolas a los
estudiantes a lo largo del taller, teniendo en cuenta la temática desarrollada.
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
5.2. Material para los alumnos/as
Los documentos ilustrativos de este taller, se encuentran en «Taller de Arte y Geometría: triángulos», en la pestaña de Desarrollo Curricular.
6. BIBLIOGRAFÍA
AZCÁRATE, C. 1997. «Si el eje de ordenadas es vertical, ¿qué podemos decir de las alturas de los
triángulos?». SUMA, 25, págs. 23-30.
BADILLO, E. y EDO, M. (En prensa). Els conceptes de triangle, elements i tipus a partir del quadre
Tranquil·litat (1930) de Wassily Kandinsky. Guix.
BADILLO, E. 2006. Art i Geometria CS. «27ª Escola d’Estiu del Vallès Occidental. L’educació ara».
Documento inédito sin publicar.
BADILLO, E. y EDO, M. 2004a. «Taller de Arte y Geometría en el Ciclo Superior de Primaria I:
Ángulos». En C. Tomás y M. Casas (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (612 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CD-ROM, 28 pág.
BADILLO, E. y EDO, M. (2004b). «Taller de Arte y Geometría I: Documentación para el taller», Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En C. Tomás y M. Casas, (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CDROM, 35 pág.
BADILLO, E. 2003a. «La Matemática como herramienta para interpretar y crear obras de Arte».
Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas (JAEM).
BADILLO, E. 2003b. La derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje en profesores de matemática de Colombia. Tesis Doctoral. Universitat Autònoma de
Barcelona.
CASTELNUOVO, E. 1981. La matemática. La Geometría. KETRES EDITORA S.A. Barcelona.
DUBISNKY, E. et al. 1997. «A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathemathics Education». Research in Collegiate Mathemathics Education. 2, 1-32.
EDO, M. 2003. «Intuir nociones geométricas desarrollando emociones estéticas. Ponencia núcleo
temático 3». Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas
(JAEM).
EDO, M. 2000. «Mundo matemático. Formas en el espacio». En Anton, M. y Moll, C. (Coord.).
Educación Infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. Págs. 301-409.
EDO, M. 1999. «Reflexiones para una propuesta de geometría en el parvulario», en Suma, 32,
págs. 53-60.
EDO, M. y GÓMEZ, R. 2006. «Matemática y Arte en Educación Infantil a partir del cuadro Bailando por miedo de Paul Klee». En M. Antón y B. Moll (coord.). Educación Infantil. Orientaciones y Recursos (0-6 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona.
GRUPO CERO. 1996. «Matemáticas. IV Tercer Ciclo». Materiales curriculares para la Educación Primaria, 6-12 años. MEC-EDELVIVES. Madrid.
NCTM (2000). Principio y Estándares para la Educación Matemática. S.A.E.M. Thales. Granada.
Onrubia, J. et al. 1999. «La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: una perspectiva psicológica». En Coll, C., Palacios, J. y Marchesi, A. (Comp.). Desarrollo psicológico y educación 2.
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DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
Psicología de la educación escolar. Alianza. Págs. 487-508. Madrid.
TORRES, M. y JUANOLA, R. 1998a. Dibujar: mirar y pensar. Consideraciones sobre educación artística. Rosa Sensat. Barcelona.
TORRES, M. y JUANOLA, R. 1998b. Una manera de enseñar artes plásticas en la escuela. 140 ejercicios para Educación Infantil y Primaria. Rosa Sensat. Barcelona.
7. LISTADO DE ANEXOS
Anexo O. Imagen del cuadro Tranquilidad (1930) de Wassily Kandinsky.
Anexo I. Interpretación personal. Pautas para la interpretación del cuadro Tranquilidad de
Wassily Kandinsky.
Anexo II. Descripción de los aspectos más relevantes sobre la vida y obra de Wassily Kandinsky.
Anexo III. Presentación del «Taller de Arte y Geometría».
Anexo IV. Modelo de mapa conceptual consensuado por los alumnos de quinto de Primaria
de una clase de Geometría.
Anexo V. Medida de los ángulos de un triángulo.
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
Experiencias
DESARROLLO CURRICULAR
TRANQUILIDAD2
KANDINSKY, W. 1930
2. Anexo 0.
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Interpretación personal3
– ¿Qué significado tiene esta imagen? ¿Qué podría ser?
– Colócate en el lugar del pintor, y, piensa sobre: ¿Qué ideas o sentimientos crees que quiere transmitir con esta obra?
– ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y colocación
de las líneas, la secuencia de las líneas, del fondo? ¿Cuántos planos ves? ¿Cuál crees que es el
principal y por qué, etc.?
– ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?
Descripción de la obra4
– Título: Tranquilidad.
– Autor: Wassily Kandisnky, 1930.
5
Presentación del taller
– Título. Los conceptos geométricos como una herramienta para interpretar y crear obras de
arte.
– Nivel. Ciclo Superior de Primaria
– Objetivos:
– Usar obras de arte conocidas para la introducción, construcción y evaluación de conceptos geométricos (conceptual).
– Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicación de los conceptos geométricos
desarrollados (conceptual/procedimental).
– Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los conceptos
geométricos desarrollados (procedimental/ conceptual).
– Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los autores de las
obras seleccionadas (actitudinal).
3. Anexo I.
4. Anexo II.
5. Anexo III.
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DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
BIOGRAFÍA
DESARROLLO CURRICULAR
Experiencias
DEL AUTOR
Nació en Moscú, en el seno de una familia acomodada y, aunque pasó más de la mitad
de su vida en Alemania y Francia, conservó un fuerte vínculo emocional con su ciudad.
Durante sus primeros treinta años, la pintura sólo fue la afición apasionada de un joven
soñador y romántico, pero convencional. Estudió Derecho y Economía, y su brillante carrera académica le deparó una cátedra en Estonia, a la que renunció para trasladarse en 1896
a Munich y dedicarse a la pintura.
1896. Renuncia a su carrera exitosa como economista y abogado y se traslada a Munich
para dedicarse a la pintura.
1901. Se transforma en animador de pequeñas asociaciones de artistas modernos que promueven exposiciones. Phalanx, fundado en este mismo año, es el primero de esos grupos, que
expone obras impresionistas, simbolistas y modernistas, las tres influencias más visibles en los
primeros cuadros de Kandinsky.
1916-1908. Viaja por Europa en compañía de Münter y expone en los Salones de Otoño
y de los Independientes en París, donde conoce el fauvismo y el cubismo.
1909. En ese año funda la Nueva Asociación de Artistas de Munich, conocida por sus
siglas en alemán NKVM con Jawlensky, Kubin y Münter entre otros, al tiempo que empieza a fraguarse el entramado ideológico que desembocará en la abstracción.
1912. Abandona la NKVM para fundar junto con Jawlensky y Münter El Jinete Azul. Conoce a Paul Klee, entre otros pintores contemporáneos famosos.
1914. El estallido de la Primera Guerra Mundial en 1914 le devuelve a Rusia, donde la
Revolución de 1917 promueve una de las vanguardias artísticas más activas y singulares del
siglo XX.
1917. Se casa con Nina Adreevsky, su segunda y definitiva esposa, y cuatro años después
vuelve a Alemania en un viaje de trabajo del que no retornará.
1922-1933. Walter Gropius le ofrece formar parte del claustro de la Bauhaus, donde dirigirá el Taller de Pintura Decorativa y el curso de iniciación. Allí se reencontró con su amigo
Paul Klee, y junto con él, Jawlensky y Feininger formarán Los Cuatro Azules. Durante estos
años la obra de Kandinsky se disciplina; al color se añade la geometría y la interacción de
la forma, y su pintura se aprovecha de las tendencias que coinciden en distintos momentos en la Bauhaus.
1933. Obligado a abandonar Alemania por el ascenso del nazismo, que incluye su obra en
la siniestra nómina del arte degenerado, se instala en Neully, cerca de París. Allí espera
encontrar un clima propicio, pero la escena francesa está entonces dominada por corrientes poco afines a la abstracción.
1944. Muerto en este año, no pudo ver su definitiva consagración tras el triunfo de la abstracción en los años de postguerra. Sus últimas obras se alejan de la geometría de la Bauhaus, optando por formas orgánicas y biomórficas.
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MODELO
DE MAPA CONCEPTUAL DEL CONCEPTO DE TRIÁNGULO CONSENSUADO POR LA CLASE
6
Triángulo
Es una
Tiene
Figura bidimensional
4 elementos
Formada por la
Intersección
Ángulos
Unión
Rectas
Mutuamente
Según sus
Puntos no alineados
Vértices
Lados
Ángulos
Alturas
Son
Son
Son
Son
Puntos no
alineados del
plano
Segmentos de
rectas que unen
dos vértices
Región del plano
comprendida
entre 2 semirectas
Se representan
Se representan
Se representan
Tres
Tres
Clasifica
tres
de
de
Se
tiene
Segmento trazado
desde un vértice
perpendicular al lado
A
Se representa B
M
N
O
AB
BC
C
CA
Q
Rˆ
O
h1
h1 ⊥ P Q
Se representa
2 lados iguales
y 1 diferente
M
N
Se representa
O
B
C
1 ángulo
obtuso
tiene
Obtusángulo
MO = ON ≠ MN
Aˆ 〈 90 º
Bˆ 〈 90 º
Cˆ 〈 90 º
A
AB = BC = CA
tiene
3 ángulos
agudos
tiene
Acutángulo
C
Se representan
h2
A
Se representa
P
R
Q
Pˆ 〉 90 º
Qˆ 〈 90 º
Rˆ 〈 90 º
h2 ⊥ O P
h3
Q
h3 ⊥ O Q
3 lados
diferentes
tiene
Escaleno
Se representa
P
Q
R
PQ ≠ QR ≠ RS
1 ángulo
recto
tiene
Rectángulo
Se representa
N
M
O Nˆ = 90 º
Mˆ 〈 90 º
Oˆ 〈 90 º
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6. Anexo IV.
DESARROLLO CURRICULAR
Taller de Arte y Geometría
O
Pˆ
Qˆ
P
3 lados iguales
Equilátero
Isósceles
M
Ángulos
Lados
Experiencias
DE ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
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DESARROLLO CURRICULAR
MEDIDA
Instrumento: Transportador
Unidades:
– Sistema sexagesimal:
●
●
●
Grados (Se representa así: º).
Minutos (Se representa así: ’).
Segundos (Se representa así:’’).
– Relación entre las unidades:
●
●
1º = 60’
1’ = 60’’
Por ejemplo: se utilizan para una mayor exactitud en la medida de algunos ángulos que
al usar el transportador no coinciden con las rayitas de la escala. Â = 250º 15’ 23 ’’.
7. Anexo V.
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