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MATEMÁTICAS 1
Álgebra en acción
BACHILLERATO GENERAL
SERIE INTEGRAL POR COMPETENCIAS
Joaquín Ruiz Basto
primera edición ebook 2014
Para establecer
comunicación con
nosotros puede
utilizar estos
medios:
correo:
Renacimiento 180,
Col. San Juan Tlihuaca,
Azcapotzalco, 02400,
México, D.F.
Grupo Editorial Patria®
División Bachillerato, Universitario y Profesional
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Elaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 16-18, 48, 49, 64, 65, 84, 85, 106,
107, 126, 127, 142, 143, 154, 155, 170, 171, 186, 187
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez Jiménez
Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo, Leopoldo Trejo
Fotografías: Thinkstock
Se incluyeron reproducciones autorizadas por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, México.
Representación de las esculturas Reloj de Sol de Almussafes y Reloj de Sol de Ontiyent, autorizadas y
e-Mail:
[email protected]
proporcionadas por los escultores Joao Olivares Alfonso y Rafael Almorós.
Agradecemos las facilidades que otorgó el Zoológico de Chapultepec a esta casa editorial.
Matemáticas 1.
Álgebra en acción
Serie integral por competencias
Fax pedidos:
(0155) 5354 9109 • 5354 9102
Derechos reservados:
©2014, Joaquín Ruiz Basto
©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
ISBN ebook: 978-607-438-995-1
sitio web:
www.editorialpatria.com.mx
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
teléfono:
Impreso en México / Printed in Mexico
(0155) 53 54 91 00
Primera edición ebook: 2014
Dedicatoria
A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo.
A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.
Contenido
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1
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6
IV
Parte 1 Desarrollo de competencias. . . . . . . 1
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos. . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Utilizas magnitudes y números reales
22
Realizas sumas y sucesiones de números . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Realizas transformaciones algebraicas I. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Realizas transformaciones algebraicas II. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Resuelves ecuaciones lineales I . . . . 108
Resuelves ecuaciones lineales II. . . . 128
8
Resuelves ecuaciones lineales III . . . 144
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I . 156
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7
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Resuelves ecuaciones cuadráticas II. 172
Parte 2 Material de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Sección 1. Potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Sección 2. Determinantes de sistemas lineales 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 . . . . . . . . . . . 209
Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
VI
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres
deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a
los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-
vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc.,
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas
Competencias disciplinares básicas
Bloques de aprendizaje
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
X
X
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X
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X
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2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
X
X
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3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
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4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático
y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o
natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo
rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un
proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.
VII
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres
deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a
los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-
vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc.,
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas
Competencias disciplinares básicas
Bloques de aprendizaje
1
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6
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1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
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2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
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3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
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4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático
y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o
natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo
rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un
proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.
VIII
X
Presentación
MATEMÁTICAS 1
Álgebra en acción
Es el primer libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar
experiencias de aprendizaje a lo largo del primer semestre escolar del bachillerato general.
Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante.
Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación práctica al estudiante, de su
entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones.
La obra propone, en seguida, una secuencia didáctica de actividades, que conduce al alumno a la solución de
la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del análisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades
cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de
cada lección, que incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares.
Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el
estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer.
Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la
segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar.
La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados problemas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula.
Esta tercera edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la
evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de
un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor.
Problema propuesto
Conocimientos
Consulta
Situación didáctica
Secuencia didáctica
Joaquín Ruiz Basto
Rúbrica de
evaluación
Comentarios
adicionales
Análisis de la situación
Proyecto de trabajo
Segmento informativo
Parte teórica
Ejemplos
Aplicaciones
Sugerencias
para los
ejercicios
Autoevaluaciones
IX
Parte 1
Desarrollo de competencias
Contenido
Bloque 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
A. Cambios climáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B. Tu computadora personal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Bloque 2 Utilizas magnitudes y números reales
A. Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
B. Afluencia turística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Bloque 3 Realizas sumas y sucesiones de números
A. Apertura de un restaurante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B. Bienes raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bloque 4 Realizas transformaciones algebraicas I
A. Embalaje de piezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B. Cultivo y venta de pescado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Bloque 5 Realizas transformaciones algebraicas II
A. Alimento para ardillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B. Venta de churros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C. Limpieza de albercas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Bloque 6 Resuelves ecuaciones lineales I
A. Mezcla de dulces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B. Banco de ostiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Bloque 7 Resuelves ecuaciones lineales II
A. Matrimonios y divorcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B. Esencias para perfumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Bloque 8 Resuelves ecuaciones lineales III
A. Selección deportiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
B. Distribución y venta de quesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Bloque 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I
A. Víveres para damnificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
B. Pantalla de plasma PDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Bloque 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II
A. Preservación de pandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B. Amigas y pulseras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Resuelves problemas
aritméticos y algebraicos
Competencias a desarrollar
n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
n n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y
los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
n determinar o estimar su comportamiento.
Establece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos
n mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
n científicos.
n Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o
fenómenos sociales, naturales, económicos y administrativos asumiendo una actitud
constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de su entorno social y/o natural.
n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
n Resuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de solucionar
dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y comunicación para
procesar e interpretar información.
Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
n los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
1
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
Representación de relaciones entre magnitudes
Modelos aritméticos y algebraicos
¿Qué sabes hacer ahora?
La aritmética es la reina y la esclava de las matemáticas.
Esta singular descripción de la grandeza y utilidad de la aritmética se inspira en
una frase del famoso matemático alemán Karl F. Gauss, quien vivió en los siglos
xviii y xix.
Desempeños del estudiante
al concluir el bloque
Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en
distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes) y de los demás números reales.
Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.
Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.
Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.
Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados.
Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas
situaciones.
Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
Un viejo cuento ruso desafía al escucha afirmando cosas inverosímiles acerca de
una peculiar venta de huevos crudos realizada por una campesina, quien, sin
romper ninguno, se quedó al final con un huevo luego de vender al primer cliente
la mitad de todos los que llevaba más medio huevo y, más tarde, a una segunda
persona, la mitad de los que quedaron de la primera venta más medio huevo.
¿Podría alguien hacer algo similar al vender de la misma forma cachorritos y
mitades de ellos y entregarlos vivos? ¿Es aritméticamente posible tal cosa? ¿Podría
ayudarte el Álgebra a responder esto?
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos 1
A
BLOQUE
Conocimientos
Números positivos
Enteros y/o fracciones mayores que 0.
Fracción común
1
6
7
4
2
5
Fracción mixta
2
1
5
Notación decimal
0.25
3 1.4
Porcentajes
25% 300%
Situación didáctica
Cambios climáticos
Diversas historias, mitos y leyendas antiguas, provenientes de civilizaciones de diferentes lugares del mundo —Mesopotamia, Israel, India, América y otros sitios—
relatan la ocurrencia de catástrofes causadas por inundaciones pluviales.
Algunos científicos consideran que tales fenómenos, acontecidos en épocas diferentes, tuvieron alcance local o regional y fueron originados por cambios meteorológicos y/o geológicos, como erupciones volcánicas, terremotos y tsunamis.
Volumen y altura de un prisma
Volumen = área de la base × altura
h
volumen
Altura = _____________
área de la base
Vapor atmosférico
Una columna de aire atmosférico de 1 m2 de
base contiene entre 15 kg y 25 kg de agua.
Equivalencias métricas
1 kg = 1,000 g
1 m2 = 100 cm × 100 cm = 10,000 cm2
Para agua destilada, a 4 °C:
=
1g
1 cm 3
Peso
Volumen
Consulta
En libros de aritmética y de álgebra:
Números positivos
Sistema métrico decimal
Variables numéricas
En Internet:
terraeantiqvae.blogia.com/2006/120701-untsun...
www.librosmaravillosos.com/
Un conocido relato bíblico, en el cual se refiere el origen del mundo, narra que en
épocas remotas ocurrió un diluvio universal que cubrió todas las montañas del mundo en un lapso de 40 días.
Considerando los conocimientos científicos y los cambios climatológicos actuales,
¿es factible que pueda ocurrir una catástrofe así?
Análisis de la situación
1. La lluvia proviene del vapor de agua atmosférico cuando éste se condensa (es
decir, pasa del estado gaseoso al líquido).
2. En sitios distintos —incluso cercanos—, la lluvia alcanza volúmenes diferentes
debido a que el viento desplaza al vapor atmosférico de un lugar a otro.
3. Si lloviera simultáneamente en todo el planeta, ningún sitio podría prestar su humedad a otro, puesto que se condensaría en su totalidad el vapor de agua existente
en la atmósfera.
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica de evaluación
Secuencia didáctica
1. Durante una lluvia simultánea, toda el agua de la atmósfera caería a la vez sobre
el planeta, descargando cada columna atmosférica (de 1 m2 de base), una cantidad
máxima promedio de ______________________ (15 kg / 25 kg) de agua.
2. Suponiendo que la tierra no absorbiera el agua, la altura de la capa de agua sobre
la superficie terrestre sería ______________________ (la misma/diferente) en todos los lugares del planeta.
3. Para conocer la altura que alcanzaría la capa de agua por cada columna de aire
atmosférico, debe dividirse el volumen de agua que contiene la columna entre el
área de su base (1 m2).
Volumen máximo de agua:
25 kg = ___________ g = ___________ cm3.
1 m2 = ( cm) × ( cm) = __________ cm2.
Área de la base:
h=
cm2
=
cm2
Volumen máximo de agua
=
Área de la base
Elabora un resumen que incluya:
Un cuadro de equivalencias en el sistema
métrico decimal, para medidas de capacidad, peso y volumen.
El desarrollo de la secuencia didáctica
con las respuestas y operaciones solici­
tadas.
Una reflexión y conclusiones sobre los
resultados obtenidos en la secuencia didáctica y en la evaluación sumativa.
cm.
4. Así, por cada columna atmosférica del planeta, es decir, en cada m2 de superficie,
el agua alcanzaría una altura máxima de ___________ cm.
5. El Monte Everest, la cumbre más elevada del mundo (9 km de altura), rebasaría
la altura de esta capa de agua,
Altura del Monte Everest
=
Altura de la capa de agua
cm
=
cm
veces.
Proyecto de trabajo
1.Envases ¿Cabe lo mismo en una lata de harina de 12.5 cm de alto
y base circular de 25 cm de ancho, que en otra con altura doble y
la mitad de ancho?
a)Analiza casos de recipientes sencillos con
base cuadrada donde la altura y ancho sean
números enteros y representa la información en diagramas. Haz lo
mismo para recipientes cilíndricos.
¿Cómo se relacionan ambos casos?
Harina
Harina
b)Realiza los cálculos para la situación descrita inicialmente. ¿Qué relación
observas? Generaliza los resultados usando variables para expresar las magnitudes (altura: h y diámetro: d); aplícalos al caso de peso de troncos, en vez
de capacidad de latas, y de depósitos de agua, en lugar de recipientes para
harina.
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos 1A
Segmento
informativo
Recuerda
1. Los dígitos son los números que se escriben con una sola cifra.
Variables y números reales
Aritmética y números positivos
En la aritmética ordinaria se usan sólo números positivos, además del cero.
Por estar escritos en base diez (sistema de numeración decimal), a todos se les llama
números decimales.
2, 1.25, 0.333…, 1.4142,….
Muchas veces el nombre de un número depende de cómo está escrito,
2. Un numeral es el símbolo que representa
a un número.
1
Un cuarto
4
Fracción decimal: 0.25 Veinticinco centésimos
Algunos numerales para el dos: ••, 2, II, 10.
Porcentaje:
Verifica tu avance
1. ¿Cuáles son los dígitos en base 10? ¿Y en
base 2?
2. ¿Cuál es el origen de la palabra dígito?
3. ¿A qué sistemas de numeración corresponden estos numerales del dos?
Fracción común:
25% Veinticinco por ciento
O también de la clase o conjunto a la cual pertenece:
Enteros:
0, 1, 2, 3, …
Naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, …
1
Fraccionarios:
0.25, , …
4
Las operaciones con que se combinan estos números son cuatro: adición, sustracción, multiplicación y división. Junto con los números y signos de operación, se
emplean signos de agrupación (paréntesis) a fin de construir expresiones numéricas
para indicar las operaciones.
(3 × 4) + 2 Expresión numérica
Para evitar ambigüedades en expresiones numéricas, se siguen las siguientes reglas
al operar con los números:
Fíjate en lo siguiente...
En un número decimal, tal como 2.15, a las
cifras después del punto decimal se les llama fracción decimal, cola decimal o cifras
decimales.
Recuerda
Así, 3 × 4 + 2 = 14 y (3 × 4) + 2 = 14, en tanto que 3 × (4 + 2) = 18.
1. Cuando operamos con números los términos reciben nombres especiales:
Adición:
2 + 0.5 = 2.5
Sumandos
Suma
Sustracción:
2 - 0.5
= 1.5
Minuendo Sustraendo Resta o diferencia
Multiplicación:
2 × 0.5 = 1
Factores
División:
2 ÷ 0.5 =
2
0.5
Dividendo Divisor
Orden de las operaciones
1 Se efectúan las operaciones entre paréntesis, de adentro hacia fuera.
2o Se calculan las potencias.
3o De izquierda a derecha se sigue con multiplicaciones y divisiones.
4o Al último, de izquierda a derecha, se ejecutan sumas y restas.
o
Producto
Numerador
Denominador
=4
Cociente
Ejemplo 1
Valuando expresiones numéricas
Obtén el valor de las siguientes expresiones numéricas.
a) 2 + 7 - 3 × 2
b) 12 - ((4 + 4) ÷ 2)
Solución
2 + 7 - 3 × 2
2 + 7 - 6
9 - 6
=
=
= 3
Multiplica primero 3 × 2
Halla la suma 2 + 7
Obtén la resta 9 - 6
b) 12 - ((4 + 4) ÷ 2)
12 - (8 ÷ 2)
12 - 4
=
=
= 8
Del paréntesis interior obtén 4 + 4
Divide 8 ÷ 2 en el paréntesis
Halla la resta 12 - 4
a )
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Ejemplo 2
2. La raíz y la potencia de un número se definen mediante multiplicación repetida.
Aritmética en acción: descuento comercial
Compras cinco camisas en promoción, con 20% de descuento. ¿A cuánto ascenderá tu pago si el precio de $143.56
mostrado en cada etiqueta no tiene incorporado el descuento, ni 15% de impuesto?
Tercera potencia de 4: 43 = 4 × 4 × 4 = 64
3
Raíz cúbica de 64: √ 64 = 4, pues 43 = 64
Exponente
Solución
Descomponemos el problema en tres partes:
2 = 32 5
Base Potencia
Índice o grado
3
√ 8 = 2
Radicando Raíz
1. Se halla el costo inicial de todas las camisas
Número de camisas 5
×
Costo por camisa =
Costo inicial
×
143.56
=
717.80
2. Le aplicas el descuento
Costo inicial -
717.80
-
20% del costo inicial =
0.20 × 717.80 Costo con descuento
=
574.24
15% de este costo =
Costo final
0.15 × 574.24
=
660.376
3. Hallas el costo final sumándole el impuesto
Costo con descuento +
574.24
+
Potencias especiales:
_____________________________________
Primera potencia Potencia cero
41 = 4 (excepto para el cero)
1001 = 100
20 = 1
(0.25)1 = 0.25
(3.5)0 = 1
Ejemplo 2
Recuerda
1. 20% =
20
= 0.20 pues 0.20 × 100 = 20.
100
Así, el importe total que pagarás por las cinco camisas será $660.38.
El proceso completo puede resumirse con la expresión numérica:
(5 × 143.56) - 0.20 (5 × 143.56)
+ 0.15 × (5 × 143.56 - 0.20 (5 × 143.56)).
Costo de las camisas con descuento + 15% de impuesto
Ejemplo 3
Ilusión aritmética
(101 = 10, 102 = 100, 103 = 1,000, etc.)
Estás de vacaciones con dos amigos y entre los tres pagan $300 por una habitación, aportando cada uno $100.
El hotel les devuelve $50, pero el mozo con que los envía guarda para sí $20 y les regresa $10 a cada uno.
2. Por el contexto del problema, $660.376
se redondeó a $660.38
Redondeo de cifras decimales
La última cifra decimal que se deja:
Queda igual si la que sigue es menor a 5
Aumenta 1 si la que sigue es 5 o mayor a 5
Así, cada uno pagó $90, lo cual hace $270 por los tres;
más $20 del mozo, dan un total de $290. ¿Qué sucedió
con los $10 restantes?
Solución
Pago total =
300
=
Ingreso hotel + Retención mozo +
250
+
20
+
Devolución
30
Comparamos ahora el argumento dado, contra este modelo:
Argumentación presentada 270 + 20 = 250 + 20 + 20
Modelo correcto
Al operar con potencias de 10
Mueves el punto decimal a la izquierda si
divides, a la derecha si multiplicas
Tantos lugares como ceros posee la potencia de 10.
300 = 250 + 20 + 30
En ambos casos, los $250 del hotel y los $20 del mozo están incluidos dentro de los
$270. Por esto, en la argumentación presentada, en vez de sumar los $20 del mozo a
los $270, debieron sumarse los $30 devueltos.
Verifica tu avance
1. ¿Es 660.37 un redondeo de 660.376?
2. ¿Tu calculadora redondea o corta las cifras
decimales?
3. Con la misma estrategia, aplica el plan:
costo final por camisa × número de
éstas.
4. ¿Es correcto razonar: si ahorro 20% y
pago 15% de impuesto, al final mi pago
es el costo inicial menos 5%?
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Ejemplo 4
Observaciones importantes
1. Muchos problemas admiten distintos pro­
cedimientos (aritméticos, geométricos,
algebraicos, etc.) y distintas formas (estrategias) para hallar su solución. En este
ejemplo se muestran dos estrategias para
resolverlo.
2. Para transformar a meses la fracción de
año, basta multiplicarla por 12:
4.16666666666… años =
4 años + 12 × (0.1666666…) meses =
4 años + 1.9999… meses =
4 años 2 meses.
Ejemplo 4
Se calcula que en la cabeza de una persona hay en promedio 180,000 cabellos y que
mensualmente se caen 3,600 de ellos.
¿Cuánto tiempo permanecerá cada nuevo cabello en tu cabeza?
Solución
a) Una solución mediante un modelo verbal es la siguiente:
Total de cabellos ÷
Tiempo
1 mes
0.16 = 0.16666666...
4. Por lo regular el trabajo con fracciones
comunes es más preciso y sencillo que
con fracciones decimales, ya que sus componentes son dos números enteros:
1,800
600
300
100
50
25
432 3 Los divisores comunes se
144 2 escriben a la derecha. Los
72 3 cocientes debajo a la izquierda.
El proceso termina al no haber
24 2 divisores comunes.
12 2 Su producto es el máximo
6 común divisor.
mcd = 23 × 32 = 8 × 9 = 72
Dividiendo ambos números entre 72:
4
1,800 25
1
1
=
= 4 6 | 25 = 4 432
6
6
6
1
÷
=
4.1666666666…
Pérdida de cabello
3,600
3,600
2 meses
2 × 3,600
7,200
3 meses
3 × 3,600
10,800
1 año
12 × 3,600
43,200
2 años
24 × 3,600
86,400
3 años
36 × 3,600
129,600
4 años
48 × 3,600
172,800
5 años
60 × 3,600
216,000
Podemos observar que en 4 años se pierden 172,800 cabellos, cifra muy cercana
a 180,000. Agregándole la cantidad del segundo mes se tiene
172,800 + 7,200 = 180,000. Esto dice que la respuesta son 4 años 2 meses.
Autoevaluación 1A
1. Agrega paréntesis para que
a) 2 + 7 - 3 × 2 = 10;
b) 15 × 6 ÷ 6 ÷ 3 = 45.
En los ejercicios 2 a 4 haz las operaciones y redondea fracciones a centésimos.
2. 967.42 ÷ 1,000
1
1
4 años = 4 años + × 12 meses =
6
6
3. 0.1631 ÷ 100
4 años + 2 meses
4. (14.02 + 23.19) × (13 ÷ 6)
(3,600 × 12)
Años que tarda en
caerse todo el cabello
b) Otra forma de abordar el problema es elaborando una tabla, como sigue:
Se escriben en forma abreviada con un
periodo y una línea encima de éste:
Para simplificar al máximo esta fracción hallamos el mayor divisor común para 1,800 y
432, mediante descomposición en factores
primos:
180,000
Cabellos que =
caen en un año Cada cabello nuevo durará, aproximadamente, 4 años en tu cabeza.
3. Las
fracciones
decimales
como
0.1666666666… que poseen una o varias
cifras que se repiten indefinidamente (periodo) se llaman fracciones periódicas.
180,000
1,800
=
(se cancelan dos ceros)
12 × 3,600
432
Duración del cabello
Grupo Editorial Patria®
Sugerencias para la
autoevaluación 1A
En los ejercicios 5 a 7: a) escribe cada fracción común en forma decimal;
b) identifica el periodo en cada número decimal y abrevia su escritura.
5.
1
3
6.
3
5
7.
7
4
En los ejercicios 8 a 10 asocia cada fracción con su nombre: a) Fracción propia,
b) Fracción impropia, c) Fracción mixta.
8.
27
3
9.
8
1
10.
12
16
11. Pasatiempos numéricos
a)Acomoda los dígitos positivos en el triángulo, de modo que en cada lado
la suma sea igual a 20.
1. Prueba varias opciones hasta obtener la
correcta.
2 y 3. Revisa Operaciones con potencias de
diez y Redondeo de cifras decimales en
el margen del ejemplo 2.
4. Los números con fracciones decimales
se suman en columna alineando el punto. Revisa en el margen: Potencias especiales.
5 a 7. Divide en cada caso el numerador entre el denominador.
11. Prueba acomodos. Hay varias soluciones.
b)Escribe cada dígito usando sólo 4 cuatros y algunas de las cuatro operaciones básicas.
b) Ejemplo:
c)Expresa el 30 con tres cifras iguales y algunas de las seis operaciones.
3 =
d)¿Cuál es el menor entero positivo que puedes escribir con dos cifras?
4×4-4
; 4 = 4 + 4 × (4 - 4)
4
c) Más de una solución: 30 = 5 × 5 + 5
d)Escríbelo (no puede ser el 0, ¿por
qué?)
12. Utiliza la siguiente equivalencia:
10 cm
=
12. Aguacero Se calcula que la zona metropolitana de la ciudad de México abarca una superficie aproximada de 900 km2. Si lloviera en toda esta zona y el
agua alcanzara en promedio 1 cm de altura, ¿qué cantidad de agua habría (en
litros) y cuál sería su peso (en kg)?
1 litro
10 cm
=
1 kg
10 cm
1 dm3
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos 1
B
BLOQUE
Situación didáctica
Tu computadora personal
Un almacén informa que a partir de la siguiente semana aumentará 10% el precio
de una computadora portátil, al tiempo que anuncia una rebaja de 10% en todos los
artículos para esos días.
Conocimientos
Tanto por ciento
1. Las siguientes expresiones indican lo
25
= 0.25
mismo: 25% =
100
1
2. También, 25% = . ¿Por qué?
4
3. Para obtener 25% de 48,
multiplica ambos números.
Así, (25%)(48) = 12, ya que
1
(25%)(48) = (0.25)(48) = (48)
4
Datos variados
¿Cuál valor tomarías como precio de un kilogramo de limón?
Día
1
2
3
4
5
Kg($)
6.50
6.75
8
7.30
7
¿Me conviene comprar el equipo antes de que aumente de precio, o cuando aplique
la rebaja? ¿Cómo podría predecir cuál será el nuevo precio para cualquier compu­
tadora, bajo estas condiciones?
Análisis de la situación
El promedio suele ser un buen valor:
6.50 + 6.75 + 8 + 7.30 + 7
=?
5
1. ¿Cuánto cuesta una computadora portátil? ¿De qué depende esto?
2. ¿Cuántos años, en promedio, duran tales equipos? ¿Cuál sería el costo anual de tu
inversión?
Consulta
En libros de algebra y otras fuentes.
En la segunda parte del libro:
Aritmética y números positivos
Números y variables
En Internet:
www.aaamatematicas.com/equ.htm
10
3. ¿Son iguales los precios durante la rebaja que antes de ésta, en virtud de que el
porcentaje de aumento es el mismo que el de descuento?
4. Para un precio particular efectúa los cálculos del nuevo precio con aumento y
descuento de 10% y compara ambos resultados.
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica de evaluación
Secuencia didáctica
1. Si la computadora cuesta en este momento $10,000, en la siguiente semana se
tendrá:
Nuevo precio:
10,000 + 10%(10,000) = 10,000 + ( ) × ( ) =
Nuevo precio con descuento:
- 10%
= ________________ = $ ________________ .
Como este precio es _________________ (mayor/menor) que el precio actual,
___________________ (conviene/no conviene) esperar para comprar el equipo en
oferta la próxima semana.
1. El desarrollo de la secuencia didáctica y
de la evaluación sumativa, debe mostrar:
El manejo de porcentajes en forma
decimal y de fracción común.
El uso de variables en la elaboración
de modelos algebraicos.
La aplicación de los modelos para
predecir o anticipar resultados.
El empleo de tablas para organizar
información en forma sistemática y
para examinar regularidades.
2. Trabajo optativo de investigación.
2. Para cualquier precio P (en $) que tuviera actualmente el equipo, su nuevo precio,
con aumento y descuento de 10%, se obtendrá así:
Nuevo precio:
P + 10%P = P + __________ P = __________ P
Hallar un modelo algebraico para la situación descrita, reemplazando el 10%
de aumento y descuento por: a) 25%,
b) a%. Establecer conclusiones para estos casos.
Nuevo precio con descuento:
__________ P - 10% __________ P = _________________ = __________ P
3. Este modelo muestra que, en estas condiciones, el nuevo precio de la computadora en oferta es una _________________ (décima/centésima) menor que el precio
inicial. Aplicado a un precio P de $10,000 anticipa que el nuevo precio en oferta
será de $( )(10,000) = $ _____________ y para un precio P = $15,000, será
de $( )(15,000) = $ ______________ .
Proyecto de trabajo
1.Calorías y ejercicio Cuando caminas durante 15 minutos tu
cuerpo quema 60 calorías. En cambio, montando bicicleta quemas 90 calorías.
a)¿Cuántas calorías pierdes por minuto al realizar cada una de
estas actividades?
b)Escribe un modelo verbal y uno algebraico para saber cuántas calorías quemas al realizar ambas actividades.
c)Si caminas una hora y después andas media hora en bicicleta, ¿cuántas calorías quemas?
d)Elabora una tabla para diversas combinaciones de ambos ejercicios hasta completar una hora y media, en intervalos de quince minutos.
e)Describe las regularidades que observes en renglones y columnas de la tabla
y predice el dato para 15 minutos a pie y 105 minutos en bicicleta.
11
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Segmento
informativo
1B
Observaciones importantes
1. En matemáticas las variables pueden representar diversas cosas (conjuntos, funciones, matrices, números, etcétera).
2. Cuando representan números (como en
álgebra básica) se les llama variables numéricas (o simplemente variables).
Verifica tu avance
¿Podrías decir que una expresión algebraica
es una expresión numérica que contiene variables?
Al evaluar expresiones algebraicas
Debes sustituir el valor de la variable
cada vez que ésta aparezca escrita.
Fíjate en lo siguiente...
Al usar paréntesis y/o variables se omite el
signo × de multiplicación. También puede
reemplazarse por un punto a mitad de altura
entre los símbolos.
5 × x = 5x = 5 ⋅ x
= 5(x) = (5)x = (5)(x)
Verifica tu avance
1. La expresión disminuido en de la
sustracción, ¿a cuál corresponde en
la adición?
2. ¿Son iguales las expresiones:
2 menos que y, y 2 menos y?
Observaciones importantes
En la sustracción el orden es importante, lo
mismo que en la división. No es lo mismo
a - 6 que 6 - a, ni x/5 que 5/x.
12
Números y variables
Una variable es una letra que representa a un número. Los números son los valores
de la variable. Una expresión que contiene signos de operación, de agrupación, números y variables es una expresión algebraica.
3(x - 5) + 2 Expresión algebraica
Al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas se está
evaluando la expresión algebraica. El resultado es el valor de la expresión algebraica y depende del número reemplazado.
El valor de 3(x - 5) + 2 para x = 10 es 3(10 - 5) + 2 = 17
Las expresiones algebraicas, al igual que las expresiones numéricas, pueden ser utilizadas para representar situaciones reales. Las expresiones constituyen el modelo matemático (aritmético o algebraico) de la situación.
Expresión algebraica
2x
x - 5
Situación que modela
El doble de un número
Un número menos 5
Al escribir modelos es útil identificar las operaciones aritméticas involucradas:
Situación descrita
Modelo algebraico
Adición
5 más un número
2 más que y
5+x
y+2
Sustracción
Un número disminuido en 6
2 menos que y
a-6
y-2
Multiplicación
El producto de 5 y un número
3 veces un número
5x
3y
División
El cociente de un número y 9
La quinta parte de un número
x/9
x/5
Es conveniente también aplicar la siguiente secuencia:
Introduce
variables
Haz un
modelo verbal
Ejemplo 1
Escribe la expresión
algebraica
Valuando expresiones algebraicas
Evaluar
a) 2(7x - 8) + 3(5 - x), cuando x = 2
b) (x + 1) /5y, cuando x = 4, y = 5
c) x2 + 4x - 5, cuando x = 10
Solución
a) 2(7x - 8) + 3(5 - x)
Escribe la expresión
= 2(7(2) - 8) + 3(5 - 2)
Sustituye x por 2
= 2(14 - 8) + 3(3)
Realiza operaciones y simplifica
= 21
Valor de la expresión
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b) (x + 1) /5y
Ejemplo 1
Escribe la expresión
= (4 + 1) /5(5)
Sustituye x por 4 y y por 5
= 5/25
Realiza operaciones y simplifica
= 1/5 = 0.20
Valor de la expresión
1. Cuando en una expresión algebraica
reemplazas la(s) variable(s) por un valor,
obtienes una expresión numérica.
c) x2 + 4x - 5
Escribe la expresión
= 102 + 4(10) - 5
Sustituye x por 10
= 100 + 40 - 5
Realiza operaciones y simplifica
= 135
Valor de la expresión
Ejemplo 2
Fíjate en lo siguiente…
expresión
algebraica
expresión
numérica
2. El valor de una expresión algebraica puede ser un número entero o con frac­ciones.
3. En una expresión algebraica una misma
variable puede aparecer con diversas potencias.
Álgebra en acción: Fuente de sodas
Trabajas en una fuente de sodas y vendes helados de yogur a $15.00, y de crema a
$12.50.
a) Escribe un modelo para calcular el precio de las ventas
de ambos productos.
Verifica tu avance
Escribe un modelo para el doble y otro para
el cuadrado de un mismo número.
b) ¿Cuánto te pagarán por 4 helados de yogur y 3 de
crema?
a) ¿Son iguales o distintos? ¿Por qué?
b) Comprueba con diversos números.
c) Haz una lista de cobros hasta un máximo de cinco helados de ambos tipos.
Solución
Ejemplo 2
a) Modelo verbal:
Número de
helados
de yogur
Recuerda
Precio del helado de yogur
×
Número
de helados
de crema
+
×
Precio del
helado
de crema
Introduce variables:
1. El orden de los términos en las sumas y
multiplicaciones puede cambiarse sin que
afecte el resultado. Así, es lo mismo
5x que x(5); 12.50y que y(12.50);
x = Número de helados de yogur; y = Número de helados de crema
Escribe la expresión algebraica:
15x + 12.50y Modelo algebraico
5x + 12.50 y que 12.50 y + 5x
2. Puedes usar cualquier letra como variable
(a, m, n, s, t, v, z…) no necesariamente
x, y.
b) Calcula el valor de la expresión algebraica para x = 4, y = 3.
15x + 12.50y = 15(4) + 12.50(3) = 97.50. El pago será de $ 97.50.
c) Halla el valor del modelo para cada combinación de valores de la tabla.
Verifica tu avance
¿Por qué se requieren dos variables distintas
en el modelo del ejemplo 2?
x Helados de yogur
y Helados de crema
0
1
2
3
4
5
0
0
12.50
25
37.50
50
62.50
1
15
27.50
40
52.50
65
77.50
2
30
42.50
55
67.50
80
92.50
3
45
57.50
70
82.50
95
107.50
4
60
72.50
85
97.50
110
122.50
5
75
87.50
100
112.50
125
137.50
Observaciones importantes
Los valores en el interior de la tabla están
dados en pesos ($). Así, el valor 55 indica
un monto de $55.00 y corresponde a 2 helados de yogur y 2 de crema. Es el valor del
modelo 5x + 12.50y para x = 2, y = 2.
13
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Ejemplo 3
Ejemplo 3
Los trenes de alta velocidad, como el tren de levitación mag­
nética, han logrado desarrollar velocidades de hasta 500 kiló­
metros por hora. Un tren convencional alcanza, a lo sumo,
180 km/h.
Fíjate en lo siguiente...
1. Las fórmulas de las distintas ciencias son modelos ya hechos para
ciertas situaciones.
2. d = vt significa:
distancia = velocidad × tiempo
3. Puedes hallar el valor de cualquiera de estas variables conocien­do
el de las otras dos.
Recuerda
Horas
÷ 60
Minutos
4
h
60

20
1
4
1 h + 20 min = 1 h +
h = 1 +  h = h.
60
3
3

4 min = (4 ÷ 60) h =
2. Puedes multiplicar o dividir* ambos lados de cualquier igualdad por un mismo
número (*no cero) y la igualdad permanece.
Ampliando el conocimiento
1. Los trenes de alta velocidad iniciaron con
las lentas locomotoras de carbón y vapor
que cambiaron después a trenes rápidos de
diesel y derivaron en los actuales vehículos aerodinámicos con tecnología eléctrica
y levitación magnética.
2. Los trenes eléctricos recientes, originados con el tren bala en Japón en la segunda mitad del siglo pasado, han alcanzado
velocidades de hasta 300 kph.
3. Los trenes de levitación magnética (como
el Maglev-Transrapid que opera en China)
se deslizan flotando de 1 a 10 cm sobre la
vía, mediante un sistema de suspensión y
propulsión electromagnética.
4. El principio físico con que opera este tren
es la repulsión entre polos magnéticos
iguales, mediante electroimanes en el
tren y en los muros laterales de la pista,
que alternan su polaridad.
5. Al igual que los
aviones revolucionaron el transporte en
el siglo xx, se considera que los trenes
de alta velocidad serán el transporte del
siglo xxi.
14
a) El tren de alta velocidad que une el aeropuerto de Pudong
con la ciudad de Shangai hace 8 minutos de recorrido.
¿Qué distancia cubre el tren, si yendo a 450 km/h haría
4 minutos de recorrido?
b) ¿Cuánto tiempo tomaría el recorrido anterior en un tren convencional?
c) ¿Qué velocidad promedio mantiene un tren europeo de alta velocidad que cubre en
1 hora 20 minutos un trayecto de 400 km entre dos ciudades?
× 60
1.
Fórmulas como modelos matemáticos
Solución
a) d = v t
Escribe el modelo

km   4 
d = 450   h
h   60 

Sustituye v por 450
d = 30 km
Simplifica
km
4
; t por
h
h
60
La distancia entre el aeropuerto y el centro de Shangai es de 30 km.
b) Omitimos las unidades (sabiendo que son km, km/h y h).
d = v t
30 = 180 t
0.17 = t
Escribe el modelo
Sustituye d por 30; v por 180
Divide ambos lados por 180
Tardaría 0.17 horas, es decir, 0.17 × 60 minutos ≈ 10 minutos.
c)
d = v t
4
400 = v  
3
1,200 = 4v
300 = v
Escribe el modelo
Sustituye d por 400; t por
4
3
Multiplica ambos lados por 3
Divide ambos lados por 4
La velocidad promedio de este tren de alta velocidad es de 300 km/h.
Autoevaluación 1B
En los ejercicios 1 a 4 asocia cada expresión con su descripción.
8a 6 - x 6/a x + 8
1. La suma de un número y 8
2. La diferencia de 6 y un número
3. Un número multiplicado por 8
4. 6 dividido entre un número
En cada ejercicio del 5 al 10 escribe una expresión algebraica.
5. El doble de un número
6. El triple de un número
7. Un tercio de un número
8. La quinta parte de un número
9. Tres veces un número
10. Un número entre 3
Grupo Editorial Patria®
En los ejercicios 11 a 14, asocia ambas columnas.
11. x + 2x + 3x
a) El cuadrado de la suma de dos números
12. 4(x/3)
b) La suma de un número con su doble y con su triple
13. (x + y) c) La diferencia de los cuadrados de dos números
14. x2 - y2
d) Cuatro veces la tercera parte de un número
2
En los ejercicios 15 a 17 evalúa la expresión para el valor dado.
15. (x + 9)(x - 4); x = 4
16. (5x3 - 1)/x2; x = 2
Francisco Vieta
1540 – 1603
17. x2 + 2xy + y2; x = 2, y = 2.5
18. Juegos ganados en el beisbol Obtén el valor del modelo para la variable
TC 2
indicada. G = 2 2 ; G = 25, C = 63, c = 51.
C +c
19. Pares e impares Al multiplicar un entero por el número 2 se obtiene un número par. El entero que sigue a un par es un número impar. Si n es un número entero, escribe un modelo algebraico para números a) pares; b) impares;
c) calcula seis valores numéricos para cada expresión.
Abogado francés, es recordado por descifrar
códigos secretos españoles durante la guerra
sostenida entre Francia y España en el siglo
xvi, y reconocido como el padre del álgebra
moderna por introducir signos para las operaciones y letras para representar números
(variables).
20. Área Escribe la expresión algebraica.
x−1
π veces el radio
por el radio
21. Autos Escribe un modelo algebraico que indique la relación entre la velocidad máxima promedio de un auto de carreras (350 km/h) y la de un auto
ordinario (240 km/h).
22. Calorías y ejercicio Cuando caminas durante 15 minutos tu
cuerpo quema 60 calorías. En cambio, montando bicicleta, quemas
90 calorías.
a) Escribe un modelo para saber cuántas calorías
quemas al realizar ambas actividades.
b) Si caminas 1 hora y después andas 1/2 hora
en bicicleta, ¿cuántas calorías quemas?
c) Elabora una tabla para diversas combinaciones
de ejercicio de ambos tipos hasta llegar a 1 hora
y media, en intervalos de quince minutos.
Sugerencias para
la autoevaluación 1B
18. Reemplaza los valores dados. Simplifica
el denominador y multiplica por este valor
ambos lados de la igualdad. (G = juegos
ganados, T = juegos jugados, C = carreras anotadas y c = carreras permitidas).
19. Escribe el producto de n por dos. ¿Qué
entero le sigue?
20. Revisa al inicio de la sección las expresiones para las operaciones. ¿Qué produce
el producto de un número por él mismo?
21. Usa una variable distinta para cada velocidad. Relaciona los datos numéricos
mediante restas, sumas o multiplicaciones. Hay varias alternativas (p. ej. y = x +
110).
22. a) y b) Construye un modelo algebraico.
(Halla primero la pérdida calórica por mi­
nu­to. Haz un modelo verbal para obtener el
algebraico. Revisa el ejemplo 2a.)
c) Haz una tabla. (Revisa el ejemplo 2c.
Usa el modelo para calcular valores para
15, 30, 45, 60, 75 y 90 minutos.)
15
Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Instrumentos de evaluación
Rúbrica
Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Tu computadora personal” del Bloque 1B.
Nombre del alumno:
Acerca de las rúbricas de evaluación
Las rúbricas son instrumentos que describen las características que deben tener los elementos que se considerarán para la evaluación.
Cuando son de carácter general se denominan “holísticas” y cuando son específicas se llaman “analíticas”.
Las rúbricas que acompañan cada situación didáctica del libro son holísticas y describen de manera general las actividades que se realizarán
para efectos de evaluación.
Las rúbricas que aquí se presentan, al final de cada bloque, son analíticas e ilustran la forma como pueden evaluarse aspectos particulares por
niveles de desempeño de los alumnos.
Nivel
Presentación
Desarrollo
Aspecto a evaluar
Dominio
del tema
Iniciativa
Resultados y
conclusiones
16
Excelente (4)
Bueno (3)
Satisfactorio (2)
Deficiente (1)
Elabora el reporte a mano con buena
caligrafía (o bien usando un procesador
de texto con una impresión bien
hecha), bien redactado y sin faltas de
ortografía.
Elabora el reporte a mano con
buena caligrafía (o bien usando
un procesador de texto con una
impresión bien hecha), redacción
regular y sin faltas de ortografía.
Elabora el reporte a mano con
regular caligrafía (o bien usando
un procesador de texto con una
impresión regular), redacción
regular y pocas faltas de
ortografía.
Elabora el reporte a mano con
mala caligrafía, mal redactado y
con muchas faltas de ortografía.
Reporta el precio actual de las
computadoras portátiles en su
localidad.
Reporta el precio actual de las
computadoras portátiles en su
localidad.
Reporta el precio actual de las
computadoras portátiles en su
localidad.
No reporta el precio actual de las
computadoras portátiles en su
localidad.
Indica el promedio de duración de
las computadoras portátiles y el
costo anual de la inversión en dichos
equipos.
No indica el promedio de duración
de las computadoras portátiles o
el costo anual de la inversión en
dichos equipos.
No indica el promedio de duración
de las computadoras portátiles ni
el costo anual de la inversión en
dichos equipos.
No indica el promedio de duración
de las computadoras portátiles ni
el costo anual de la inversión en
dichos equipos.
Presenta todos los pasos para
calcular el precio de la computadora
personal con el aumento y la rebaja
especificados para los tres casos
indicados.
Presenta todos los pasos
para calcular el precio de la
computadora personal con el
aumento y la rebaja especificados
para los tres casos indicados.
Omite algunos pasos para calcular
el precio de la computadora
personal con el aumento y la
rebaja especificados para los tres
casos indicados.
Sólo presenta resultados del precio
de la computadora sin dar ninguna
justificación.
Maneja correctamente porcentajes en
forma decimal y de fracción común.
Maneja correctamente porcentajes
en forma decimal y de fracción
común.
Maneja correctamente porcentajes
en forma decimal y de fracción
común.
No maneja correctamente
porcentajes en forma decimal ni de
fracción común.
Usa correctamente variables
en la elaboración de modelos
algebraicos pero no sabe aplicar
éstos para predecir resultados.
No usa correctamente variables
en la elaboración de modelos
algebraicos, pero sí sabe aplicar
éstos para predecir resultados.
No usa correctamente variables
en la elaboración de modelos
algebraicos y no sabe aplicar éstos
para predecir resultados.
Determina el modelo algebraico para
los casos de un aumento y descuento
de 25% y de a% justificando todos los
pasos de su procedimiento.
Determina el modelo algebraico
para los casos de un aumento y
descuento de 25% y de a% pero
no justifica algunos pasos de su
procedimiento.
Determina el modelo algebraico
para los casos de un aumento y
descuento de 25% y de a% pero
no justifica su procedimiento.
No determina el modelo algebraico
para los casos de un aumento y
descuento de 25% y de a%.
Determina correctamente el precio de
la computadora con el aumento y el
descuento especificados para las tres
situaciones indicadas.
Determina correctamente el precio
de la computadora con el aumento
y el descuento especificados
para dos de las tres situaciones
indicadas.
Determina correctamente el precio
de la computadora con el aumento
y el descuento especificados
sólo para una de las situaciones
indicadas.
No determina correctamente
el precio de la computadora
con el aumento y el descuento
especificados para las tres
situaciones indicadas.
Concluye correctamente si es
mejor comprar la computadora
antes de que aumente de precio o
cuando aplique la rebaja.
Concluye correctamente si es
mejor comprar la computadora
antes de que aumente de precio o
cuando aplique la rebaja.
No concluye correctamente si es
mejor comprar la computadora
antes de que aumente de precio o
cuando aplique la rebaja.
Usa correctamente variables en la
elaboración de modelos algebraicos y
aplica éstos para predecir resultados.
Concluye correctamente si es mejor
comprar la computadora antes de que
aumente de precio o cuando aplique
la rebaja.
1
1
1
1
1
Grupo Editorial Patria®
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Cambios climáticos” del Bloque 1A.
Presentación
1. C uenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la
materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula.
sÍ
no
Observaciones
sÍ
no
Observaciones
sÍ
no
Observaciones
sÍ
no
Observaciones
sÍ
no
Observaciones
2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria.
3. Tiene pocos o ningún error de ortografía.
4. E laboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena
caligrafía o por lo menos entendible.
Desarrollo
5. P resenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia
coherente y ordenada.
6. E laboró un cuadro de equivalencias en el sistema métrico decimal, para medidas de capacidad, peso
y volumen.
Iniciativa
7. Investiga sobre el Diluvio Universal y otras catástrofes en la antigüedad causadas por inundaciones
pluviales.
8. C onfirma en libros de Física o por Internet el contenido de agua de una columna de 1 m2 de aire
atmosférico e indica la fuente.
o
e
Dominio del tema
9. S abe obtener equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de medidas de capacidad, peso y volumen
en el Sistema Métrico Decimal.
10. Sabe calcular la altura de un prisma sabiendo su volumen y su área.
11. Sabe calcular el peso de un volumen dado de agua y viceversa.
Resultados y conclusiones
12. Calculó correctamente la altura en cm que alcanzaría el agua por cada m2 de superficie.
13. Comparó correctamente la altura calculada de la capa de agua con la altura del Monte Everest.
14. Concluyó correctamente si es posible que ocurra una catástrofe como el Diluvio Universal.
Comentarios generales: __________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________
17