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Transcript
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 1: OSCILACIONES MECÁNICAS -CINEMÁTICA Y DINÁMICADiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1



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
Temas
Introducción
Conceptos básicos del movimiento oscilatorio
Cinemática del MAS: Ecuaciones cinemáticas básicas
Cinemática del MAS: MCU. vs MAS.
Dinámica del MAS: Fuerza recuperadora
Dinámica del MAS: Ecuación diferencial
Taller
Introducción
El estudio de las oscilaciones o vibraciones es una parte fundamental de la física debido a que
prácticamente todos los sistemas físicos tienen capacidad de oscilar alrededor de un punto de equilibrio.
Cualquier magnitud puede estar sujeta a oscilaciones. En la vida habitual las oscilaciones más obvias son
aquellas que conciernen a la oscilación de la posición (vibraciones en cuerdas, olas en el agua, péndulos,
resortes), sin embargo, cualquier magnitud puede oscilar: la presión de un líquido o un gas, su temperatura,
el campo magnético, el campo eléctrico entre otras.
Cuando el cronograma de una partícula oscilando (representación de la posición vs el tiempo) es una función
sinusoidal se dice que la oscilación es armónica, en otras palabras, que la partícula oscila con Movimiento
Armónico Simple (MAS.) y a la partícula se le denomina oscilador armónico.
Simulación:
Bajar SimulPhysics del sitio Web:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Cronograma de un MAS. Para acceder a ella
hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figuras 1. Se despliega la simulación de la Figura 2. En
ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
2
Figura 1
Figura 2
Es muy importante conocer el Movimiento Armónico Simple, ya que el teorema de Fourier establece que
cualquier tipo de oscilación periódica puede considerarse como la superposición de movimientos armónicos
simples.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Sintetizador de Fourier. Para acceder a ella
hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 3. Se despliega la simulación de la Figura 4. En ésta
hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
3
Figura 3
Figura 4
En éste módulo se trata la cinemática y la dinámica del MAS. En el módulo # 2 se estudian el sistema masaresorte y el péndulo como modelos básicos que permiten con base en ellos estudiar sistemas oscilantes más
complejos (átomos, moléculas, edificios, puentes, sonido, telecomunicaciones,…).
En el módulo # 3 se estudia lo referente al comportamiento energético de una partícula en MAS. En el
módulo # 4 se analiza la superposición de dos MAS: interferencia, pulsaciones y polarización. En el módulo
# 5 se estudia las oscilaciones cuando son forzadas haciendo énfasis en el denominado fenómeno de
RESONANCIA.
El fenómeno oscilatorio es la base de gran parte de la tecnología que se usa a diario: televisión, radio,
celulares, telecomunicaciones en general, holografía, edificios y en general estructuras sismoresistentes,
instrumentos digitales (para imagen y sonido),… Este fenómeno es la base para estudiar la luz y el sonido.
Conceptos básicos del movimiento oscilatorio
La posición de equilibrio de un cuerpo puede ser de tres tipos: estable, inestable e indiferente. En la Figura
5 se ilustran los tres casos. Los equilibrios estable e inestable corresponden respectivamente a estados de
mínima y máxima energía potencial.
Figura 5
Cuando el cuerpo es separado de la posición de equilibrio por la acción de un agente externo, oscilará solo si
su posición de equilibrio era estable. A este tipo de movimiento se le denomina movimiento oscilatorio o
vibratorio. El estudio de este tipo de movimientos es de suma importancia en la física, ya que son la base
para la comprensión, entre otros, de fenómenos como el sonido y la luz.
Definiciones básicas en el movimiento oscilatorio
En el movimiento oscilatorio se utiliza como sistema de coordenadas, a un sistema cuyo origen es la posición
de equilibrio del oscilador, Figura 6. A continuación se definirán algunos conceptos básicos.
Elongación ( x ): Es el vector posición del oscilador medido respecto a la posición de equilibrio. En la Figura
6 corresponde a la variable x . Tiene unidades de longitud: su unidad en el SI es el metro (m).
4
5
Figura 6
Amplitud (A): Corresponde a la magnitud de la máxima elongación. Tiene unidades de longitud: su unidad en
el SI es el metro (m).
Periodo (P): Si el movimiento oscilatorio es un movimiento periódico, se define como periodo, al tiempo que
se invierte para hacer una oscilación completa (“un ir y venir”): su unidad en el SI es el segundo (s).
Es decir si en un intervalo de tiempo t el oscilador hace n oscilaciones completas, se cumple,
P=
t
n
[1]
Frecuencia (f): Como a todo movimiento periódico, al oscilador periódico también se le define una
frecuencia. En este caso, será el número de oscilaciones completas en la unidad de tiempo. En el SI su
unidad es el Hertz (1 Hz=1 oscilación/s).
Es decir si en un intervalo de tiempo t el oscilador hace n oscilaciones completas, se cumple,
f=
n
t
[2]
El período y la frecuencia son inversos multiplicativos,
fP=1
[3]
Fase ( φ ): Un parámetro muy utilizado cuando se están analizando movimientos oscilatorios, es el que
recibe el nombre de fase del oscilador. Recibe este nombre porque determina en que “fase” del movimiento
de “ir y venir” se encuentra la partícula oscilante; por ejemplo, determina si el oscilador en un instante
dado está en su posición de equilibrio, o en uno de los extremos de oscilación, o en otra posición. Este
concepto es un poco abstracto, pero a continuación se dan algunos ejemplos que aclaran su interpretación
física.
Cada que el oscilador hace una oscilación completa, se dice que su fase se ha incrementado en 360º ( 2π
radianes). Si el oscilador se suelta desde un extremo, cuando su fase sea de 7π radianes, estará ocupando
la posición del extremo opuesto, y habrá transcurrido un tiempo equivalente a tres períodos y medio, y
además habrá completado tres oscilaciones (completas) y media. Ahora, si dos osciladores se sueltan
simultáneamente de extremos opuestos, se dice que su diferencia de fase es igual a π radianes (se dice
que estos osciladores se encuentran en oposición). Y si se sueltan bajo las mismas condiciones desde la
misma posición, se dice que están en fase.
El concepto de diferencia de fase, Δφ , es fundamental para estudiar el fenómeno de interferencia.
6
Fase inicial ( φ o ): Corresponde al valor de la fase del oscilador en el instante t=0.
Más adelante se muestra que la fase inicial, φ o , y la amplitud, A, de un oscilador libre (es decir, NO
forzado) dependen de las condiciones iniciales (posición y velocidad iniciales).
Ejemplo 1:
Una masa que pende de un resorte se desplaza de su posición de equilibrio hasta una posición igual a 2,50
cm y se suelta. Si oscila periódicamente con una frecuencia igual a 0,500 Hz, calcular: (a) su periodo, (b) el
número de oscilaciones que hace en 20,0 s, (c) su desfase a los 3,50 s y a los 5,00 s después de iniciado su
movimiento, (d) su desplazamiento a los 1, 50 s y 4,00 s después de iniciado su movimiento.
Solución:
(a) De la ecuación [3], se deduce que el periodo P es,
P=
1
f
P=
1
1

 2, 00 s
0,500 Hz 0,500 s 1
(b) Como el periodo es igual a 2,00 s, significa que para la masa hacer una oscilación completa invierte un
tiempo igual a 2,00 s. Por lo tanto en 20,0 s hace 10 oscilaciones completas.
(c) Cada 2,00 s la masa se desfasa en
2π
(correspondiente a 1 oscilación completa). Por lo tanto en 3,50 s
7
π
se desfasa en π (la suma resultante de 2π + π + ). A los 5,00 se ha desfasado 5π .
2
2
(d) Cuando ha transcurrido 1,00 s la masa se ha movido de un extremo al otro; cuando ha transcurrido
0,50 s adicionales la masa llega a la posición de equilibrio. Si se supone que la masa en su posición inicial
estaba en
x i = +A ˆi , en t= 1,50 se encontrará en
desplazamiento,
x f = 0 ˆi dando como resultado para el
Δx = x f - x i
Δx = -Aiˆ
Δx = -2,50 ˆi cm
El lector podrá comprobar que transcurridos 4,00 s el desplazamiento es nulo,
Δx = 0 ˆi cm
Cinemática del MAS: Ecuaciones cinemáticas básicas
Elongación: En general toda partícula oscilante cuya elongación se exprese mediante una relación
sinusoidal del tiempo, ecuación [4], se dice que oscila armónicamente. A este movimiento se le denomina
Moviminento Armónico Simple (MAS.) y a la partícula se le denomina oscilador armónico. En la Figura 7 se
ilustra un sistema masa resorte oscilando: mediante el desplazamiento de una cinta de papel se puede
recoger su cronograma (representación de su elongación y vs tiempo t ); esto se pudo observar en la
simulación correspondiente a las Figuras 1 y 2.
Figura 7
y = A sen  ωt + φo 
en donde A es la amplitud,
ω=
2π
= 2π f
P
[4]
ω
la frecuencia angular (se mide en el SI rad/s),
[5]
7
f la frecuencia medida en el SI en Hz, P el periodo y t el tiempo medidos en el SI en s y φ o la fase
inicial medida en rad. Adicionalmente la fase φ es,
φ = ωt + φo
[6]
y se mide en rad.
8
La velocidad Vy y la aceleración a y de la partícula que oscila con MAS se obtiene derivando respecto al
tiempo la ecuación [4],
Vy = ωA cos  ωt + φo 
[7]
a y = - ω2A sen  ωt + φo 
[8]
De las ecuaciones [4] y [8] se obtiene,
a y = - ω2 y
[9]
La elongación y la aceleración son vectores opuestos,
a y = - ω2 y
Más adelante se muestra que esto es consecuencia de que la fuerza neta que actúa sobre un oscilador
armónico es proporcional a la elongación y es RECUPERADORA,
F=-ky
Es decir es una fuerza Hookeana (recordar la ley de Hooke).
En la Figura 8 se ilustra la representación temporal de estas magnitudes (para facilidad se asumió
φo = 0
9
Figura 8
Ejemplo 2:
En qué posiciones de la trayectoria de un oscilador armónico son máximas: (a) la magnitud (el módulo) de la
elongación, (b) la rapidez, (c) la magnitud de la aceleración.
Solución:
Con base en las ecuaciones [4], [7], [8] y [9] se deduce que los valores máximos de las magnitudes de la
elongación, velocidad y aceleración son,
ymax = A
[10]
Vy,max = ωA
[11]
a y,max = ω2A
[12]
En los extremos la elongación y la aceleración son máximas y la rapidez es nula. Cuando el oscilador pasa por
la posición de equilibrio la elongación y la aceleración son nulas pero la rapidez es máxima, Figura 9.
10
Figura 9
Ejemplo 3:
Un oscilador armónico oscila con una frecuencia igual a 2,00 Hz y una amplitud igual a 5,00 cm, calcular: (a)
su máxima elongación, (b) su máxima rapidez, (c) el máximo valor de la aceleración.
Solución:
La elongación máxima es igual a la amplitud,
ymax = 5,00 cm
Según la ecuación [5] la frecuencia angular es,
ω = 2πf
ω = 6,28 rad x 2,00 Hz = 12,6
rad
s
Por lo tanto según las ecuaciones [11] y [12],
Vy,max = ωA
Vy,max = 12,6
rad
cm
x 5,00 cm = 63,0
s
s
a y,max = ω2A
2
rad 
cm

a y,max = 12,6
  5,00 cm  = 794 2
s 
s

Ejemplo 4:
La elongación de un oscilador armónico expresada en el SI es,
π

y = - 0,200 sen  π t + 
2

Calcular: (a) su amplitud, (b) su frecuencia angular, (c) su periodo, (d) su frecuencia en Hz, (e) su fase
inicial, (f) su fase en el instante t= 2,00 s, (g) su máxima rapidez, (h) su máxima aceleración, (i) su
velocidad en el instante t=1,30 s.
Solución:
Según la ecuación [4],
y = A sen  ωt + φo 
Por lo tanto por comparación se obtiene,
(a) Amplitud,
A= 0,200 m
(b) Frecuencia angular,
ω=π
rad
s
(e) Fase inicial,
3π
π

φ o =  + π  rad =
2
2

(c) Según la ecuación [5],
ω=
2π
P
El periodo es,
P=
2π
ω
Por lo tanto,
P=
2π
rad
π
s
P = 2,00 s
11
(d) De la ecuación [3],
Pf=1
La frecuencia en Hz es,
f=
1
P
f=
1
2,0 s
12
f = 0,50 Hz
(f) Según la ecuación [6], la fase es,
φ = ωt + φo
φ = πt +
3π
2
3π
 rad 
φ = π
  2,00 s  +
s 
2

φ=
7π
2
Como puede deducirse en t = 2,00 s ha transcurrido un periodo, por lo que el desfase es igual a
una fase en t = 0 s igual a
2π : pasó de
3π
7π
a una fase en t = 2,00 s igual a
.
2
2
(g) y (h) Con base en las ecuaciones [11] y [12] se obtiene para la rapidez y aceleración máximas,
Vy,max = ωA
m
 rad 
Vy,max =  π
  0,200 m  = 0,628
s 
s

2
m
 rad 
a y,max =  π
  0,200 m  = 1,97 2
s 
s

(i) Según la ecuación [7],
Vy =
dy
dt
Vy = - π
rad
π
 rad

x 0,200 m cos  π
x 1,30 s + rad 
s
s
2


Vy = - 0,507
m
s
Ejemplo 5:
Hallar la diferencia de fase entre los osciladores cuyas elongaciones están expresadas en el SI como sigue:
(a)
x1 = 5,00 sen  π t 
x 2 = 3,00 cos  π t 
(b)
x1 = 4,00 sen  π t 
y2 = 2,00 cos  π t 
(c)
x1 = 1,50 sen  π t 
x 2 = -3,00 sen  π t 
(d)
x1 = 2,00 sen  π t 
x 2 = -3,50 cos  π t 
Solución:
Para encontrar la diferencia de fase entre estos osciladores es necesario obtener sus fases empleando la
misma función trigonométrica para sus elongaciones (ambas expresadas con la función seno o ambas con la
función coseno). Además es necesario tener en cuenta que la amplitud es siempre positiva (es la magnitud
de la máxima elongación).
(a) La elongación del oscilador 2 se puede transformar así,
π

x 2 = 3,00 sen  π t + 
2

Por lo tanto,
π

Δφ = φ 2 - φ1 =  π t +  - π t
2

Δφ =
π
2
También se habría podido realizar al revés,
13
Δφ = φ1 - φ 2 = -
π
2
(b) En este caso las partículas oscilan en direcciones ortogonales, pero el cálculo se hace de igual forma,
π

Δφ = φ 2 - φ1 =  π t +  - π t
2

Δφ =
π
2
(c) La elongación del oscilador 2 se puede transformar así,
x 2 = 3,00 sen  π t + π 
Por lo tanto,
Δφ = φ2 - φ1 =  π t + π  - π t
Δφ = π
(d) La elongación del oscilador 2 se puede transformar así,
π


x 2 = 3,50 sen  π t + + π 
2


3π 

x 2 = 3,50 sen  π t +

2 

Por lo tanto,
3π 

Δφ = φ 2 - φ1 =  πt +
 -πt
2 

Δφ =
3π
2
Cinemática del MAS: MCU. vs MAS.
La proyección sobre una línea recta, de una partícula que se mueve con M.C.U (Movimiento Circular
Uniforme), oscila con M.A.S (Movimiento Armónico Simple).
14
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente a M.A.S. vs M.C.U. Para acceder a ella hacer
clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 10. Se despliega la simulación de la Figura 11. En ésta
hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.
15
Figura 10
Figura 11
Análisis:
El asunto consiste en proyectar las variables cinemáticas del MCU sobre una recta: podría ser por ejemplo
sobre el eje X o sobre el eje Y. Si se escoge el eje Y las proyecciones son las componentes rectangulares
en esa dirección. Por lo tanto, apoyándose en las Figuras 12, 13, 14 y empleando las relaciones del
movimiento circular para la velocidad lineal
obtienen,
V=ωA
y para la aceleración centrípeta a = ω A , se
2
16
y = A sen  ω t + φo 
Vy = V cos  ω t + φo  = ω A cos  ω t + φo 
a y = - a sen  ω t + φo  = - ω2 A sen  ω t + φo 
Que son las expresiones cinemáticas básicas del MAS, es decir se concluye que la proyección sobre una
recta de una partícula moviéndose con MCU oscila con MAS.
Figura 12
17
Figura 13
Figura 14
En las Figuras 15, 16 y 17 se ilustra el mismo análisis con base en la simulación correspondiente a la Figura
11.
18
Figura 15
Figura 16
Figura 17
Dinámica del MAS: Fuerza recuperadora
Una partícula de masa m que oscila con MAS cumple la ecuación [9],
a y = - ω2 y
[9]
y por tanto, la fuerza neta que actúa sobre ella según la segunda ley de Newton es,
19
Fy = m a y
Fy = - m ω2 y
Fy = - k y
[13]
en donde,
k = m ω2
[14]
se denomina constate del MAS.
Por tanto, se concluye que una partícula oscila con MAS si y solo si la fuerza neta que actúa sobre ella
cumple que:

sea lineal con la elongación.

sea recuperadora (se oponga en todo instante a la elongación). Esto es, apunte en todo instante
hacia la posición de equilibrio de la partícula.
La fuerza es variable. En la posición de equilibrio es nula y va aumentando en magnitud cuando el oscilador
avanza hacia los extremos del movimiento hasta alcanzar su valor máximo en estos ( Fy
= m ω2 A ). Por lo
tanto, las oscilaciones se dan por un compromiso entre la inercia y la fuerza restauradora, ya que aunque
en el instante que la partícula pasa por la posición de equilibrio no está sometida a una fuerza neta, aquí es
nula (en la dirección del movimiento), logra atravesar la posición de equilibrio; esto es consecuencia de la
inercia.
De la ecuación [14] se deduce que,
P = 2π
m
k
[15]
f=
1 k
2π m
[16]
Ejemplos que se analizarán en el módulo # 2 (los péndulos y el sistema masa-resorte), llevarán a concluir
que, la fecuencia, el período, la frecuencia angular y la constante del MAS, son constantes impuestas por
la naturaleza al sistema (son “huellas digitales”). A la frecuencia se le denomina frecuencia natural o
frecuencia propia del oscilador.
Dinámica del MAS: Ecuación diferencial
La segunda ley de Newton aplicada al oscilador armónico, siendo Fy la fuerza neta que actúa sobre él es,
Fy = ma y
Combinándola con la ecuación [13] se obtiene,
- ky = ma y
o en forma diferencial,
- ky = m
d2 y
dt 2
d2 y
k
+
y=0
2
dt
m
d2 y
+ ω2 y = 0
2
dt
[17]
denominada la ecuación diferencial del oscilador armónico.
Escribiéndola en forma comprimida es,
ÿ + ω2 y = 0
[17]
Esta ecuación diferencial es lineal, de orden 2 y homogénea. Según la teoría de ecuaciones diferenciales,
su solución corresponde a la siguiente combinación lineal de seno y coseno,
y = c1 sen ω t + c2 cos ω t
20
Redefiniendo constantes, con base en la Figura 18, se obtiene de nuevo la ecuación [4],
y = A sen  ωt + φo 
[4]
21
Figura 18
La interpretación de cada una de las variables y constantes es la que se ha venido señalando. En particular,
la amplitud A y la fase inicial φ o representan las constantes de integración y sus valores dependen de las
condiciones iniciales como se demostrará a continuación:
y = A sen  ωt + φo 
Vy = ωA cos  ωt + φo 
Aplicando las condiciones iniciales, es decir los valores de la elongación y la velocidad en t=0, se obtiene,
yo = A sen  φo 
Vyo = ω A cos  φo 
Dividiendo las dos ecuaciones se llega a,
tan φo =
ω yo
Vyo
[18]
Elevando al cuadrado las ecuaciones y luego sumándolas se obtiene,
A = yo2 +
Vyo2
ω2
[19]
Observándose cómo es que dependen la amplitud y la fase iniciales de las condiciones iniciales de elongación
y velocidad.
Ejemplo 6:
Una partícula sujeta a un resorte vertical se hala hacia abajo una distancia de 4,00 cm a partir de la
posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Si la aceleración inicial hacia arriba de la partícula es
0,300 m/s2 y continúa oscilando armónicamente: (a) ¿Cuál es el período de las subsecuentes oscilaciones?
(b) ¿A qué velocidad pasa la partícula por la posición de equilibrio? (c) ¿Cuál es la ecuación de la elongación
en función del tiempo para la partícula? (Escoger la dirección positiva hacia abajo)
Solución:
En la Figura 19 se ilustra la escena física (en t=0 y en un instante t>0). El marco de referencia elegido es el
techo y el sistema de coordenadas elegido es el eje Y con origen en la posición de equilibrio y apuntando
hacia abajo.
Figura 19
Aunque posiblemente no se empleen todas las ecuaciones cinemáticas para
saludable hacer el listado de ellas,
y = A sen  ω t + φo 
(1)
Vy = ωA cos  ω t + φo 
(2)
a y = - ω2A sen  ω t + φo 
(3)
resolver el ejercicio, es
(a) La partícula se suelta del extremo inferior y por lo tanto en ese instante tiene su aceleración y
elongación máximas en magnitud,
22
a y,max = ω2A
(4)
y=A
(5)
Entonces A = 0,04 m y
a y,max = 0,300 m.s2 , se obtiene para la frecuencia angular,
23
ω2 
a y,max
A
ω = 2,74
rad
s
Adicionalmente,
ω=
2π
P
Y por lo tanto se obtiene para el periodo,
P=
2π
ω
P = 2,292 s
(b) Por la posición de equilibrio la partícula pasa con la rapidez máxima,
Vy,max = ωA
y por lo tanto,
Vy,max = 2,74
rad
m
x 0,04 m= 0,110
s
s
(c) La ecuación de la elongación de la partícula está dada por la ecuación (1),
y = A sen  ω t + φo 
(1)
Como la partícula se soltó del extremo inferior la fase inicial del oscilador es
φo =
π
ya que en ese
2
instante y = +A , por lo tanto la ecuación de la elongación del oscilador expresada en el SI es,
π

y = 0,04 sen  2,74 t + 
2

Tarea: Si el sistema coordenadas, en este caso el eje Y, se hubiera tomado apuntando hacia arriba
encontrar la ecuación de la elongación.


Rp. y = 0,04 sen  2,74 t +
3π 

2 
24
Ejemplo 7:
Una partícula que se cuelga de un resorte ideal tiene una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte se
cuelga del techo de un elevador, y cuelga sin movimiento (respecto al elevador) conforme el elevador
desciende con una rapidez constante de 1,50 m/s. El elevador se para repentinamente y la partícula
continúa oscilando armónicamente: (a) ¿Con qué amplitud oscilará la partícula? (b) ¿Cuál es la ecuación de la
elongación en función del tiempo para la partícula? (Escoger la dirección positiva hacia abajo).
Solución:
En la Figura 20 se ilustra la escena física (en t=0 y en un instante t>0). El marco de referencia elegido es el
techo del ascensor y el sistema de coordenadas elegido es el eje Y con origen en la posición de equilibrio y
apuntando hacia abajo.
Figura 20
Aunque posiblemente no se empleen todas las ecuaciones cinemáticas para
saludable hacer el listado de ellas,
y = A sen  ω t + φo 
(1)
Vy = ωA cos  ω t + φo 
(2)
resolver el ejercicio, es
a y = - ω2 A sen  ω t + φo 
(3)
(a) Al detenerse el ascensor la partícula sigue con la velocidad de éste (ley de inercia). En ese instante la
partícula se encuentra en la posición de equilibrio y por lo tanto su rapidez equivale a la máxima,
Vy,max = ωA
Como
A
A
ω = 2,00 rad.s y Vy,max = 1,50 m.s
-1
1
25
se obtiene para la amplitud,
Vy,max
ω
1,50 m.s1
= 0,750 m
2,00 rad.s1
(b) La ecuación de la elongación de la partícula está dada por la ecuación (1),
y = A sen  ω t + φo 
(1)
Como la partícula en t-0 se encontraba en la posición de equilibrio y con velocidad apuntando en el sentido
positivo de Y, la fase inicial del oscilador es φ o = 0 ya que en ese instante y = 0 y Vy > 0, por lo tanto la
ecuación de la elongación del oscilador expresada en el SI es,
y = 0,750 sen  2,00 t

Tarea: Si el sistema coordenadas, en este caso el eje Y, se hubiera tomado apuntando hacia arriba
encontrar la ecuación de la elongación.
Rp.
y = 0,750 sen  2,00 t + π 
Taller
1.
La elongación de un oscilador armónico en el SI está dada por la ecuación,
x = 0,30 cos 8 t 
Determinar para este oscilador: (a) fase inicial, (b) amplitud, (c) frecuencia en Hz, (d) periodo, (e)
rapidez máxima, (f) aceleración máxima, (g) ecuación de la velocidad en función del tiempo, (h) ecuación
de la aceleración en función del tiempo, (i) ecuación de la aceleración en función de la elongación.
Ayuda: si se trabaja con la ecuación en función coseno (como fue dada), la fase inicial será 0. Si se
trabaja la ecuación en función de seno la fase inicial es
π
. Ambos resultados SON EQUVALENTES.
2
Rp. (b) 0,30 m (c) 1,27 Hz, (d) 0,79 s, (e) 2,4 m/s, (f) 19 m/s2.
2. El cono de un parlante vibra con MAS a una frecuencia de 262 Hz. La amplitud en el centro del cono es
1,5x10-4 m y en t=0, la elongación es igual a su amplitud (y=+A). Encontrar la ecuación de la elongación
en función del tiempo.
Rp. Su ecuación en el SI es y = 1,5×10
-4
π

sen 1650 t +  .
2

3. Hallar la diferencia de fase entre los osciladores cuyas elongaciones están expresadas en el SI como
sigue:
(a)
x1 = -2,00 sen  π t 
x 2 = 3,00 cos  π t 
(b)
x1 = 4,00 sen  π t 
y2 = -2,00 cos  π t 
4. Una partícula se mueve con MCU con una velocidad angular igual a 2,00 rad.s-1. Si el radio de su
trayectoria es igual a 10,0 cm y su posición angular inicial es φ o =
π
, encontrar las ecuaciones
12
cinemáticas para la elongación, la velocidad y la aceleración de la oscilación de la sombra de la partícula
tanto en X, m1, como en Y, m2, Figura 21.
Figura 21
Rp. para m1,
La ecuación de la elongación se obtiene por simple análisis trigonométrico (componente rectangular),
π

x = 0,100 cos  2 t +

12 

Las de velocidad y aceleración se pueden obtener simplemente derivando respecto a l tiempo,
26
π

Vx = - 0,200 sen  2 t +

12 

π

a x = - 0,400 cos  2 t +

12 

Rp. para m2,
La ecuación de la elongación se obtiene por simple análisis trigonométrico (componente rectangular),
π

y = 0,100 sen  2 t +

12 

Las de velocidad y aceleración se pueden obtener simplemente derivando respecto a l tiempo,
π

Vy = 0,200 cos  2 t +

12 

π

a y = - 0,400 sen  2 t +

12 

FIN.
27