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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA
ECUACIONES DIOFANTINAS
PREPARADO POR:
SAMUEL PÉREZ DENIS
8 – 767 – 1788
MONOGRAFÍA PARA OPTAR
AL TÍTULO DE LICENCIADO
EN MATEMÁTICA.
CIUDAD UNIVERSITARIA, OCTAVIO MENDEZ PEREIRA
PANAMÁ, 2011
ÍNDICE GENERAL
Dedicatoria………………………………………………………………………………..4
Agradecimiento…………………………………………………………………………...5
Introducción………………………………………………………………………………6
CAPÍTULO 1. HISTORIA SOBRE ECUACIONES DIOFÁNTICAS……………….7
1.1 Introducción Histórica……………………………………………………………...8
1.2 Biografía de Diofanto de Alejandría……………………………………………...11
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS……………………………………..14
2.1 Generalidades……………………………………………………………………..15
2.2 Solución de una ecuación diofántica lineal con dos incógnitas…………………..15
2.3 Ecuaciones Diofánticas Cuadráticas……………………………………………...21
2.4 Ecuaciones de la forma  2 −  2 =  …………………………………………....22
2.5 La ecuación  2 +  2 =  2 ………………………………………………………..23
2.6 Ecuaciones de la forma  2 =  3 + …………………………………………….24
2.7 Ecuaciones de la forma   +   =   …………………………………………...24
2.8 Ecuaciones de la forma  =  2 + 1…………………………………………….24
2
CAPÍTULO 3. APLICACIONES DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS…………...26
3.1 Compra de una bufanda…………………………………………………………..27
3.2 Una revisión en la tienda………………………………………………………….31
3.3 Compra de sellos de correos………………………………………………………34
3.4 Compra de frutas………………………………………………………………….36
3.5 Adivinar el día del nacimiento……………………………………………………37
Conclusiones……………………………………………………………………………..40
Recomendaciones………………………………………………………………………..41
Bibliografía……………………………………………………………………………....42
3
DEDICATORIA
Dedico con todo mi amor este trabajo a mi madre Enith Denis Patiño y a mi padre Egidio
Pérez, quien en el continuo esfuerzo de cada día, me concedió una educación y con sus
consejos me inspiraron a superarme en momentos de mis flaquezas.
4
AGRADECIMIENTO
Agradezco primeramente a Dios por darme salud y sabiduría, y por darme fuerzas,
una vez más, para alcanzar una de mis tantas metas.
De igual manera le doy gracias a mis padres por el apoyo incondicional que me han
ofrecido siempre.
Así mismo le doy gracias al profesor Jaime Gutiérrez por el tiempo que me ha brindado
para la buena realización de este trabajo.
5
INTRODUCCIÓN
Supongamos que se te pide que des las soluciones de la ecuación 3 + 14 = 20;
seguramente dirás que es un problema muy sencillo, que la solución es  =
20−3
14
, donde
 puede tomar cualquier valor. Otra cuestión mucho menos obvia es que halles las
soluciones con  e  enteros. Este tipo de ecuaciones, cuyas soluciones se exigen que
tomen valores enteros, o más en general valores racionales, es lo que se conocen como
ecuaciones diofánticas, en honor a Diofanto, matemático griego del año 275 que las
estudió extensivamente y dio soluciones a algunas de ellas. La teoría de las ecuaciones
diofánticas ha llegado con el tiempo a contarse entre las más bellas y difíciles áreas de las
matemáticas; tanto es así que el gran matemático y físico Gauss llegó a decir que la
Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética (llamada modernamente Teoría de
Números) es la reina de las matemáticas.
En este trabajo menciono algunas ecuaciones diofantinas, algunas de ellas muy
conocidas como el último teorema de Fermat, hablar de ella estaríamos hablando de
desarrollar otro trabajo más como éste. En el último capítulo de este trabajo se puede
hallar algunas aplicaciones de las ecuaciones diofantinas, resueltas con sumo cuidado,
para que así sea de fácil comprensión para el lector. Las ecuaciones Diofantinas caen
dentro del marco de la teoría de números y de hecho es ésta la disciplina encargada de
estudiarla.
Este trabajo ha sido realizado como alternativa de trabajo de graduación para
obtener el título de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Panamá.
La Teoría de números como las otras ramas de la Matemática comprende una gran
cantidad de temas que resulta de interés para aquellos que estudian matemática.
6
CAPÍTULO 1.
HISTORIA SOBRE ECUACIONES DIOFÁNTICAS
7
1.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
Los matemáticos en la India se interesaron en encontrar soluciones enteras a las
ecuaciones diofánticas desde la época de los Vedas. El primer uso geométrico de las
ecuaciones diofánticas se remonta a los Shulba Sutras, los cuales fueron escritos entre los
siglos VIII y VI a. C. Baudhayana (s. VII a. C.) encontró dos conjuntos de enteros
positivos a un conjunto de ecuaciones diofánticas simultáneas, y también se usan
ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cuatro incógnitas. Apastamba (s. VI a. C.)
usaba ecuaciones diofánticas simultáneas con más de cinco incógnitas.
La Teoría de números fue una de las disciplinas de estudio favoritas entre los
matemáticos griegos de Alejandría, Egipto a partir del siglo III a. C., quienes tenían
conciencia del concepto de ecuación diofántica en sus casos particulares. El primer
matemático helenístico que estudió estas ecuaciones fue Diofanto.
Este tipo de ecuaciones se conoce, en matemáticas, desde muy antiguo, pero fue tras
la obra del matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III d.C.: 210 - 290) que
comenzaron a llamarse Ecuaciones Diofantinas. Se trata de Aritmética, un tratado de 13
libros del que sólo se conocen los seis primeros. Fue encontrado en Venecia por Johann
Müller (Regiomontanus, matemático y astrónomo alemán), hacia 1464. Esta obra de
Diofanto fue preservada por los árabes y traducida al latín en el siglo XVI. Desde
entonces, muchos matemáticos han realizado diversos tipos de solución de las ecuaciones
Diofantinas.
Dentro de tal grupo de matemáticos puede citarse a: Bhaskara, Fermat, Lagrange,
Euler, Hilbert, Gauss, Thue, Baker, Peano, Pell, cuyos aportes han jalonado no sólo el
campo de las ecuaciones Diofantinas sino también el de otras áreas de las matemáticas.
Diofanto investigó un método para encontrar las soluciones enteras para las
ecuaciones lineales indeterminadas, ecuaciones en las que falta información suficiente
para producir un conjunto único de respuestas discretas. La ecuación  +  = 5 es un
ejemplo de ellas. Diofanto descubrió que muchas ecuaciones indeterminadas pueden ser
8
reducidas a una forma en donde cierta categoría de soluciones son conocidas, incluso a
través de una solución que no lo es.
Diofanto conoció y empleó los números negativos y a él se atribuye la norma empírica de
menos por menos da más, y menos por más da menos, aplicada en Aritmética y en
Álgebra moderna. Sin embargo la notación algebraica de Diofanto fue sustituida más
tarde, en el siglo XVII, por la que propuso el matemático francés Francois Viete (1540 1603), que es la que se sigue actualmente. Sobre las ecuaciones Diofantinas de orden 2 y
superiores se han realizado prolijos estudios, algunos de los cuales son:
• Solución de la ecuación cuadrática diofantina  2 +  +  2 +  +  +  = 0
para la cual Lagrange en 1769 encontró un algoritmo completo.
• Ecuación de Pell. Es un caso especial de la ecuación cuadrática diofantina de la forma
 2 −  2 = , donde  es un entero positivo que no es un cuadrado,  es un entero
diferente de cero. Para el caso general de la ecuación de Pell (cualquier) hay por lo menos
cinco buenos métodos de solución: 1. Búsqueda de “Fuerza Bruta”, que es la base de los
otros métodos; 2. El algoritmo de Lagrange-Matthews-Mollin (LMM); 3. Sistema de
reducciones de Lagrange; 4. El método cíclico; 5. El uso de formas cuadráticas binarias.
• Dificultades en la elaboración de un algoritmo para resolver ecuaciones Diofantinas.
• Un ejercicio consistente en analizar una ecuación Diofantina desde diversas
perspectivas:  2 + 7 = 8  , con  primo.
• ¿Qué es el Método del descenso Infinito? (propuesto por Lagrange).
• El problema multigrados Tarry-Escott: dado un entero positivo n, hallar dos conjuntos
de enteros 1 , … ,  y 1 , … ,  , con  tan pequeño como sea posible, tal que
( ) =  ( ) , para  = 1, 2, … , . Conjetura  =  + 1   .
• El problema multigrados (hallar conjuntos de enteros cuyas sumas sean iguales; sumas
de cuadrados, sumas de cubos,...).
• Nueva solución del problema Prouhet-Tarry-Escott para k=11; otras restricciones.
9
• Sugerido por el ordenamiento de números en un torneo de baloncesto: resolver  =
 + ,  =  +  en enteros.
• El rompecabezas Times: Hallar soluciones racionales
 3 +  3 = 6. (Una curva
elíptica).
• Cuestiones relativas a una conjetura de Erdös: que
4

1
1
1
=  +  +  tiene solución para
todo número natural .
• Soluciones para 6 + 54  + 62  2 +  3 = 1 en enteros.
• Generar todas (pequeñas) ternas Pitagóricas.
• Triángulos enteros con un ángulo de 120 grados.
• Teorema de Runges: límite en el número de soluciones para ciertas ecuaciones
Diofantinas en dos variables.
• Un par de ecuaciones se convierten en una sola ecuación en enteros Gaussianos.
• Ecuación de Fermat.
• Resolver   +   = : Ecuación de Thue.
• Ecuaciones Diofantinas Exponenciales.
• Completa parametrización de la superficie cúbica de Fermat:  3 +  3 +  3 +  3 = 0.
Este es un famoso problema Diofantino.
Las ecuaciones diofantinas fueron estudiadas de manera intensiva por los
matemáticos hindúes medievales, quienes fueron los primeros en buscar sistemáticamente
métodos para la determinación de soluciones enteras. Aryabhata en el año 499 da la
primera descripción explícita de la solución entera general de la ecuación diofantina lineal
 +  = 
la cual aparece en su texto Aryabhatiya. El algoritmo kuttaka es
considerado como una de las contribuciones más significativas de Aryabhata en las
matemáticas puras, el cual encuentra las soluciones enteras de un sistema de ecuaciones
10
diofantinas lineales, un problema de importante aplicación en la astronomía. También
encuentra la solución general de la ecuación lineal indeterminada utilizando este método.
Brahmagupta trabaja en 628 las ecuaciones diofantinas más difíciles. Utiliza el
método chakravala para resolver las ecuaciones diofantinas cuadráticas, incluyendo
aquellas de la forma de la ecuación de Pell tal que 61 2 + 1 =  2 . Su Brahma Sphuta
Siddhanta fue traducido al árabe en 773 y al latín en 1126. La ecuación 61 2 + 1 =  2
fue propuesta como un problema por el matemático francés Pierre de Fermat. La solución
general de esta forma particular de la ecuación de Pell fue encontrada 70 años más tarde
por Leonhard Euler, aunque la solución general de la ecuación de Pell fue encontrada 100
años más tarde por Joseph-Louis de Lagrange en 1767. Sin embargo, varios siglos antes,
la ecuación de Pell fue trabajada por Bhaskara II en 1150 utilizando una versión
modificada del método chakravala de Brahmagupta, encontrando la solución general de
otras ecuaciones cuadráticas intermedias indeterminadas y ecuaciones diofánticas
cuadráticas. El método chakravala para encontrar la solución general de la ecuación de
Pell era más simple que el método utilizado por Lagrange 600 años más tarde. Bhaskara
encuentra también la solución de otras ecuaciones cuadráticas indeterminadas, cúbicas,
cuárticas y polinómicas de mayores grados. Narayana Pandit perfeccionó aún más las
demás cuadráticas indeterminadas para las ecuaciones de grados superiores.
1.2 BIOGRAFÍA DE DIOFANTO DE ALEJANDRÍA
Diofanto, a menudo conocido como el “padre del algebra”, es mejor conocido por su
Aritmética, un trabajo sobre la solución de ecuaciones algebraicas y sobre la teoría de los
números.
Nacimiento: alrededor del 200 d.C.
Murió: alrededor del 284 d.C.
11
Diofanto de Alejandría fue un matemático griego del último periodo alejandrino
tardío. Sus mayores logros fueron de carácter eminentemente geométricos. Durante este
periodo, cuando la ciencia griega y la filosofía como un todo estaba en decadencia, con
esta su matemática y los métodos algebraicos ocuparon un primer plano. Po este tiempo
Diofanto, el más reconocido exponente del álgebra griega, vivió en Alejandría.
Prácticamente no se conoce nada sobre su vida y ha existido mucho debate respecto de la
fecha en que vivió.
Existe una colección de problemas griegos escritos en forma poética, la Antología
Palatina, que fue probablemente compilada en la primera centuria después de la muerte
de Diofanto. Contiene ciertos problemas que pueden ser resueltos mediante ecuaciones.
Entre ellos se encuentra el siguiente que contiene toda la información acerca de Diofanto.
“Aquí ves la tumba que contiene los restos de Diofanto, se pude notar:
ingeniosamente se cuenta la medida de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida.
Después, durante la doceava parte se le creció la barba. Pasó aún una séptima parte de
su vida antes de tomar esposa, y en el quinto año fue padre. Elas, su hijo, un querido
pero desafortunado niño, vivió la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte
desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo
esto se deduce su edad.”
  

+
+ +5+ +4=
6 12 7
2
      ó 
De modo que se casó a la edad de 26 y tuvo un hijo que murió a la edad de 42, años
antes de que el propio Diofanto muriese a la edad de 84 años.
El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Aritmética. La Aritmética es
una colección de 130 problemas dando soluciones numéricas de determinadas ecuaciones
(ésas con una solución única) y de ecuaciones indeterminadas. El método para resolver
estas últimas es conocido como el análisis Diofantino.
En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional
(ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de
problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los
12
símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo
importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida
y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita.
Se cree que sólo seis de los 13 libros originales se conservaron y también se cree que los
otros deben haberse perdido muy pronto después de haber sido escritos. Existen muchas
traducciones arábigas, por ejemplo de Abu'l-Wafa, pero únicamente el material de estos
seis libros apareció.
Sin embargo, un manuscrito en árabe en la biblioteca Astan-i Quds (La biblioteca del
Templo Sagrado) en Meshed, Irán lleva un título reivindicando y que es una traducción
hecha por Qusta ibn Luqa, quien murió en el año 912, de los libros IV al VII de
Aritmética de Diofanto de Alejandría. F Sezgin hizo este notable descubrimiento en 1968.
Rashed compara los cuatro libros en esta traducción al árabe con los seis libros Griegos
conocidos y sostiene que este texto es una traducción de los libros perdidos de Diofanto.
La traducción latina más famosa de la Aritmética de Diofanto se debe a Bachet en
1621, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat
incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los
márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía. En una de dichas
anotaciones se exponía, sin demostración, el último teorema de Fermat. En el precioso
ejemplar de la edición de Bachet que Fermat poseía él dijo "haber encontrado una gran
luz."
13
CAPÍTULO 2.
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
14
2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS
2.1 Generalidades
Como se dijo anteriormente, estas ecuaciones reciben este nombre en honor a
Diofanto, matemático que trabajó en Alejandría a mediados del siglo III a.C. Fue uno de
los primeros en introducir la notación simbólica en matemática y escribió seis libros sobre
problemas en las que consideraba la representación de números anterior como suma de
cuadrados.
2.1.1 Definición
Una ecuación diofántica tiene la forma general
1 1 + 2 2 + ⋯ +   = 
donde 1 , 2 , … ,  son enteros y se exige soluciones también enteras.
La ecuación diofántica más simple es la ecuación diofántica lineal con dos incógnitas,
 +  =  donde a y b son enteros dados, no ambos cero.
2.2 Solución de una Ecuación Diofántica Lineal con dos incógnitas
Veremos un teorema que nos permite saber cuándo una ecuación de este tipo tiene
solución y aporta un método para calcular una solución particular de la misma.
2.2.1 Solución Particular de una Ecuación Diofántica Lineal con 2 Incógnitas
Sean ,    tres números enteros. La ecuación lineal  +  =  tiene solución entera
si, y sólo si el máximo común divisor de  y  divide a .
Demostración
Supongamos que los enteros x0 e y0 son soluciones de la ecuación ax + by = c, es
decir, ax0 + by0 = c. Pues bien, si d = m. c. d. (a, b), entonces
 = . . . (, ) ⟹ | y | ⟹ |(0 + 0 ) ⟹ |
15
Recíprocamente, supongamos que  = . . . (, ) es divisor de . Entonces,
 
. . . (, ) =  ⟹ . . . ( , ) = 1


⇔ ∃,  ∈ ℤ:   +   = 1
⟹


+


=
Siendo c/d entero ya que, por hipótesis, d es divisor de c. Ahora bastaría tomar
0 =


e
0 =


y tendríamos que
0 + 0 = 
es decir los enteros 0 e 0 son soluciones de la ecuación.
La solución encontrada se llamará Solución Particular del sistema.
Obsérvese que este teorema además de asegurar la existencia de solución para una
ecuación de este tipo, ofrece un método para calcularla. El siguiente ejemplo aclarará
estas cuestiones.
Ejemplo 2.1
Encontrar una solución para la ecuación diofántica
525 + 100 = 50
Solución
- Veamos si existe solución entera para la ecuación.
Calculamos el máximo común divisor de 525 y 100 mediante el algoritmo de Euclides
525 = 5(100) + 25
100 = 4(25) + 0
Es decir,
m.c.d. (525, 100)= 25
y como 25 divide a 50, el teorema anterior asegura la existencia de solución entera para la
ecuación.
- Calculamos una solución para la ecuación.
16
Siguiendo el método indicado en la demostración del teorema, hallamos los coeficientes
de la combinación lineal del máximo común divisor de 525 y 100. Bastaría seguir el
algoritmo de Euclides hacia atrás.
25= 1(525) + (-5)100
Por tanto, los coeficientes buscados son  = 1 y  = −5 y según el citado teorema una
solución para la ecuación sería
0 =


e
0 =


Donde  es el término independiente de la ecuación y  el máximo común divisor de los
coeficientes de  e . Consecuentemente,
0 =
50(1)
25
=2
e
0 =
50(−5)
25
= −10
2.2.2 Solución General de una Ecuación Diofántica Lineal con 2 Incógnitas
Sean ,  y  tres números enteros no nulos tales que el máximo común divisor de  y 
divide a . Entonces la solución general de la ecuación  +  =  es

 = 0 + . 

 = 0 − . 
Donde 0 e 0 es una solución particular de la misma y k es cualquier número entero.
Demostración
17
Sea  el máximo común divisor de  y . Por hipótesis  divide a  luego el teorema
2.3.1 asegura la existencia de una solución particular  = 0   = 0 para el sistema.
Entonces,
0 + 0 = 
Dividiendo ahora ambos miembros de esta ecuación por el máximo común divisor de  y
, tendremos,


 0
Siendo




+  0 = 
 
entero y  ,  números enteros primos entre sí, luego el máximo común divisor

de ambos es 1 y como 1 divide a , el teorema 2.3.1 asegura la existencia de una solución
particular 1 , 1 para esta ecuación, luego


 1


+  1 = 
Pues bien,


 1


 0



}
+  1 = 
+  0 = 
⟹


⟹
⇔


(1 − 0 ) + (1 − 0 ) = 0




(1 − 0 ) = (0 − 1 )

 
| (1 − 0 )
 

Y al ser  primo con , dividirá a 1 − 0 , luego




|1 − 0 ⇔ ∃ ∈ ℤ: 1 − 0 = .  ⟹ 1 = 0 + . 


Sustituimos el valor de 1 − 0 en  (1 − 0 ) +  (1 − 0 ) = 0 y resulta






. .  +  (1 − 0 ) = 0 ⟹  .  + 1 − 0 = 0 ⟹ 1 = 0 − . 
18
Veamos, finalmente, que 1 e 1 es solución de la ecuación  +  = .
En efecto,


1 + 1 =  (0 + . ) + (0 + . )


= 0 + . .  + 0 − . . 
= 0 + 0
=
luego,

 = 0 + . 

 = 0 − . 
es solución de la ecuación  +  =  cualquiera que sea  ∈ ℤ. La llamaremos
Solución General de dicha ecuación.
Nota: En el ejemplo anterior, teníamos que
0 = 2

0 = −10
era una solución particular para la ecuación
525 + 100 = 50
luego una solución general de la misma será:
 = 2 + .
 = −10 − .
100
= 2 + 4
25
525
= −10 − 21
25
siendo k cualquier número entero.
19
Ejemplo 2.2
Calcular las soluciones enteras de la ecuación diofántica 66 + 550 =
88.
Solución
66 + 550 = 88
- Veamos si la ecuación admite solución entera.
Calculamos el máximo común divisor de 66 y 550 por el algoritmo de Euclides.
550 = 8(66) + 22
66 = 3(22) + 0
luego,
m.c.d. (66, 550) = 22
y como 22 divide a 88, término independiente de la ecuación, por el teorema 2.2.1 se
sigue que la ecuación propuesta admite una solución particular  = 0 ,  = 0 .
- Calculamos esta solución particular.
Volviendo hacia atrás en el algoritmo de Euclides, tendremos
22 = (-8) (66) + (1) (550)
luego,
0 =
88 (−8)
= −32
22
0 =
88(1)
=4
22
es una solución particular de la ecuación.
- Calculemos ahora la solución general.
20
Según lo visto en el teorema 2.2.2 si una solución particular de la misma es 0 = −32
e 0 = 4, entonces la solución general es:
 = −32 + .
550
= −32 + 25
22
 = 4 − .
66
= 4 − 3
22
siendo  cualquier número entero.
2.3 Ecuaciones Diofánticas Cuadráticas
Las ecuaciones diofánticas cuadráticas se encuentran, por ejemplo en problemas
tales como el siguiente: Encuentre un entero  tal que sea posible expresar, mediante una
ecuación cuadrática “factorizable” en el sentido del álgebra elemental; esto es mediante
una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean números racionales, la siguiente
ecuación
1

+
= 1.
−1 −4
Simplificando tenemos
 2 − (6 + ) +  + 8 = 0.
Si se pide que esta ecuación tenga soluciones racionales, su discriminante debe ser un
cuadrado perfecto, es decir, para algún entero ,
 2 =  2 + 8 + 4 = ( + 4)2 − 12.
Por tanto necesitamos resolver en términos de  la ecuación diofántica
12 = ( + 4)2 −  2
En consecuencia, un factor de 12 debe ser  + 4 +  y el otro,  + 4 − 
En símbolos,
21
 = +4+
 = +4−
donde  = 12. Por tanto,  +  = 2( + 4) y  −  = 2. Debido a que el factor 2
aparece en el segundo miembro en ambas ecuaciones, ésta pueden resolverse en términos
de los enteros b y s, si y sólo si, r y t son pares ambos, o ambos impares. Ya que al
intercambiar r y t no cambia b, podemos escoger a r como menor que t en valor absoluto
y tener los siguientes pares de valores posibles para r y t:
 = ±1,  = ±12;  = ±2,  = ±6;  = ±3,  = ±4
Sin embargo, r y t deben tener la misma paridad y, por tanto, los únicos valores por
considerarse son:
 = 2,  = 6
y  = −2,  = −6,
que darán
 = 0 y  = −8.
2.4 Ecuaciones de la forma  −  = 
Como  2 −  2 = ( + )( − ). La ecuación queda ( + )( − ) = .
Ahora hacemos  = ,  y  deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de
dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces
+ =
− =
Resolviendo el sistema se obtiene:
=
+
2
22
=
−
2
2.5 La Ecuación  +  = 
Supondremos , ,  primos entre sí ya que si , ,  es solución de la ecuación también
lo es , ,  para cualquier . De ahí se deduce que encontrada una solución hay
infinitas.
Suponemos  impar, lo podemos hacer ya que al ser , ,  primos entre sí no puede haber
dos pares.
Transformamos la ecuación en
2 − 2 = 2
Como
 2 −  2 = ( + )( − )
( + )( − ) =  2
El problema se reduce a descomponer  como producto de dos números primos entre sí.
Sean  y  estos números
( + )( − ) = 2  2
obtenemos
=
2 −  2
2 +  2
, =
2
2
Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un
número par.
23
2.6 Ecuaciones de la forma  =  + 
Esta ecuación con , número natural, se llama ecuación de Louis Mordell.
Con  cualquier número natural.
Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada  posee un
número finito de soluciones enteras.
2.7 Ecuaciones de la forma
  +  =  
La ecuación   +   =   no tiene solución para  > 3, siendo  un número entero.
Expresado en palabras significa que un cubo no se puede expresar como suma de dos
cubos, y ninguna potencia mayor o igual que tres se puede expresar como suma de otras
dos similares.
Este teorema estuvo sin demostrar durante más de trescientos años, aunque Fermat anotó
en el margen del libro de Aritmética de la edición de Bachet "Para esto he descubierto una
demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen de éste libro es demasiado
pequeño para contenerla...". Nadie encontró esa demostración y se dudó de su existencia.
El intento por demostrar éste teorema ocasionó una evolución de las matemáticas.
Finalmente en 1993 Andrew Wiles demostró el teorema relacionándolo con las curvas
elípticas modulares, en un manuscrito de doscientos folios.
2.8
Ecuaciones de la forma  =  + 
Esta ecuación, con d un número natural mayor que cero, se llama ecuación de John Pell,
aunque fue Lagrange quien resolvió la ecuación.
24
Lagrange demostró que la enésima solución ( ,  ) se puede expresar en términos de la
primera de esta forma:
 +  √ = (1 + 1 √)
Resolver la ecuación de Pell significa encontrar 1 e 1 .
2.8.1 Fracciones Continúas
Definición: Una función continúa es una fracción escrita en la forma
1 +
1
2 +
2
3 +
3
4
4 + …….
5
  ≠ 0,  = 2, 3, …
 ,  ∈ ℤ
Si los  son enteros positivos y  = 1 para todo  = 1, … entonces la fracción se llama
Fracción Continúa Simple.
Ejemplo:
5
2
1
1
=1+ =1+ 3 = 1+
2
3
1 + 12
2
17
3
1
1
=2+ =2+ 7 =2+
7
7
2 + 13
3
25
CAPÍTULO 3.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS
26
3. Aplicaciones de Ecuaciones Diofánticas
3.1 Compra de una bufanda
Una bufanda cuesta 19 rublos, pero el comprador no tiene más que billetes de tres
rublos; y la cajera, sólo de cinco. ¿Puede en estas condiciones abonarse el importe de la
compra, y cómo hacerlo?
La misión de este problema se reduce a saber cuántos billetes de tres rublos deben
entregarse a la cajera para que ella dé las vueltas con billetes de cinco, cobrando los 19
rublos. Las incógnitas del problema son dos: el número de billetes de tres rublos (x) y el
número de billetes de cinco (y). Sólo puede plantearse una ecuación:
3 − 5 = 19
Aunque una ecuación con dos incógnitas tiene infinidad de soluciones, esto no quiere
decir que entre ellas haya alguna en las que  e  sean números enteros y positivos
(recordemos que se trata del número de billetes de banco). He aquí por qué el álgebra ha
elaborado el método de solución de estas ecuaciones "indeterminadas". El mérito de
haberlas introducido en el álgebra pertenece al primer sabio europeo que cultivó esta
ciencia, a Diofanto, célebre matemático de la antigüedad, por lo que estas ecuaciones se
llaman con frecuencia "ecuaciones de Diofanto".
Solución
En el ejemplo citado mostremos cómo deben resolverse tales ecuaciones. Hay que hallar
el valor de  y de  en la ecuación
3 − 5 = 19
sin olvidar que tanto  como  son números enteros y positivos. Despejando la incógnita
cuyo coeficiente es menor, es decir, 3 tendremos:
3 = 19 + 5
27
de donde
=
19 + 5
1 + 2
=6++
3
3
Como , 6 e  son números enteros, la ecuación puede ser acertada sólo en el caso de
que
1+2
3
sea también un número entero. Expresémosle con la letra . Entonces
 = 6 +  + ,
donde
=
1 + 2
3
y, por tanto,
3 = 1 + 2 ⟹ 2 = 3 − 1.
De la última ecuación despejaremos la 
=
3 − 1
−1
=+
2
2
Comoquiera que  y  son números enteros,
−1
2
debe ser un número entero 1 . Por
consiguiente,
 =  + 1
y, además,
1 =
−1
2
de donde
21 =  − 1
 = 21 + 1.
28
Sustituyamos el valor de  = 21 + 1 en las igualdades anteriores:
 =  + 1 = 21 + 1 + 1 = 31 + 1
 = 6 +  +  = 6 + (31 + 1) + (21 + 1) = 8 + 51
De esta forma hemos encontrado la expresión para  y para 
 = 8 + 51
 = 1 + 31
Es sabido que  e  son enteros y además positivos, es decir, mayores que 0; por lo tanto,
8 + 51 > 0
1 + 31 > 0
De estas desigualdades resulta que
8
51 > −8
y
1 > − 5
31 > −1
y
1 > − 3
1
Con esto el valor 1 está acotado.
1
8
De aquí que la magnitud 1 es mayor que − 3, (y claro, mucho mayor que − 5). Más,
como 1 es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:
1 = 0, 1, 2, 3, 4, …
Los valores correspondientes de  y de  son:
 = 8 + 51 = 8, 13, 18, 23, …
 = 1 + 31 = 1, 4, 7, 10, …
Veamos ahora de qué manera puede efectuarse el pago: o bien se entregan 8 billetes de 3
rublos, recibiendo de vuelta uno de cinco:
29
(8)(3) − 5 = 19
o se entregan 13 billetes de 3 rublos, recibiendo de vuelta 4 billetes de 5 rublos:
(13)(3) – (4) (5)= 19
Teóricamente, este problema tiene infinidad de soluciones, pero en la práctica su número
es limitado, por cuanto ni el comprador, ni la cajera tienen una cantidad ilimitada de
billetes de banco. Si cada uno dispone, por ejemplo, de 10 billetes, el pago puede
efectuarse sólo de una forma: entregando 8 billetes de 3 y recibiendo uno de 5. Como
vemos, en la práctica las ecuaciones indeterminadas pueden dar soluciones determinadas.
Volviendo a nuestro problema, proponemos al lector que, en calidad de ejercicio, resuelva
por su cuenta una de las variantes: concretamente, examinar el caso en que el comprador
no tenga más que billetes de 5 rublos, y la cajera, sólo de 3. En este caso aparecen las
siguientes soluciones:
x = 5, 8, 11,....
y = 2, 7, 12,....
En efecto,
5 * 5 - 2 * 3 = 19
8 * 5 - 7 * 3 = 19
11 * 5 - 12 * 3 = 19
Podríamos obtener también estos resultados al tomar las soluciones del problema central
mediante un sencillo procedimiento algebraico. Puesto que entregar billetes de cinco
rublos y recibir de tres rublos equivale a "recibir billetes negativos de cinco rublos" y "dar
billetes negativos de 3 rublos", la nueva variante del problema se resuelve con la ecuación
planteada en el problema central:
3x - 5y = 19
pero con la condición de que x e y sean números negativos. Por eso, de las igualdades
30
x = 8 + 51
y = 1 + 31
sabiendo que x < 0 e y < 0, deducimos:
8 + 51 < 0
1 + 31 < 0
y, por consiguiente,
8
1 < − 5
Tomando 1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmulas anteriores, los siguientes
valores para  e 
1 = −2 ⟹  = −2,
1 = −3 ⟹  = −7,
 = −5
 = −8
1 = −4 ⟹  = −12
 = −11
El primer par de soluciones = −2,  = −5, significa que el comprador "paga menos
dos billetes de tres rublos" y "recibe menos cinco billetes de cinco", es decir, traducido al
idioma común, quiere decir que paga con cinco billetes de a cinco, recibiendo como
vuelta 2 billetes de a tres. De esta misma manera interpretaremos también las demás
soluciones.
3.2 Una revisión en la tienda
Al revisar los libros de contabilidad de la tienda, uno de ellos apareció con borrones de
tinta, presentando este aspecto:
31
No era posible descifrar el número de metros vendidos, pero no cabía duda de que éste
no era un decimal. En el importe de la venta podían distinguirse sólo las tres últimas
cifras y establecer que, delante de éstas, había otras tres. ¿Podía la comisión revisora
averiguar qué cifras eran las del libro auxiliar, valiéndose tan sólo de estos datos?
Solución
Representemos el número de metros con la  y el importe de la venta, expresado en
kopeks, con el número 4.936 .
Las tres cifras cubiertas por el borrón las expresamos con una . Esto, sin duda, expresa
la cantidad de millares de kopeks; y toda la suma de kopeks será:
1.000y + 728.
Tenemos la ecuación
4.936x = 1.000y + 728.
Después de dividir los dos miembros de la igualdad por 8, resulta
617x - 125y = 91
En esta ecuación, los números  e  son enteros y, además,  no es superior a 999, por
cuanto no puede tener más de tres cifras. Resolvamos la ecuación como indicamos antes:
125y = 617x – 91
 = 5 − 1 +
34 − 8
2(17 − 4)
= 5 − 1 +
= 5 − 1 + 2
125
125
32
(Aquí hemos tomado
617
125
8
= 5 − 125, ya que nos conviene que haya el menor residuo
posible. El quebrado
2(17 − 4)
125
es un número entero, y como 2 no se divide por 125,
17−4
125
,  debe ser un número entero,
que representaremos con la t. Después, de la ecuación
(17 − 4)
=
125
se obtiene
17 - 4x = 125t
 = 4 − 31 +
1−
= 4 − 31 + 1
4
donde
1 =
1−
4
por lo tanto
41 = 1 − 
 = 1 − 41
 = 1251 − 27
 = 6171 − 134
Se sabe que
100 ≤  < 100.
Por consiguiente
33
100 ≤ 6171 − 134 < 1000,
de donde
234
1 ≥ 617
1 =
y
1134
617
Es evidente que para 1 existe solamente un valor entero: 1 = 1, de donde = 98,  =
483; es decir, fueron vendidos 98 metros por una suma total de 4.837 rublos 28 kopeks.
El libro auxiliar, pues, ha sido restablecido.
3.3 Compra de sellos de correos
Se dispone de 1 rublo para comprar 40 sellos de correos: de 1, 4 y 12 kopeks. ¿Cuántos
sellos de cada uno de estos precios deberán comprarse?
Solución
En este caso tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas:
 + 4 + 12 = 100,
 +  +  = 40,
donde  es el número de sellos de 1 kopeks; , el de 4 kopeks, y , el de 12 kopeks.
Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos
incógnitas:
3 + 11 = 60
Despejemos la :
 = 20 − 11 ∗

3
Es evidente que 3 es un número entero. Indiquémosle con la . Tenemos:
34
 = 20 − 11
 = 3
Sustituyamos la  y la  en la segunda de las ecuaciones iniciales:
 + 20 − 11 + 3 = 40;
de aquí que
x = 20 + 8t
Como  ≥ 0,  ≥ 0,   ≥ 0, no es difícil establecer los límites de t:
0≤≤
19
11
de donde se deduce que para t son posibles sólo dos valores enteros: t = 0 y t = 1.
Los valores correspondientes de , , y  son:
t=0
1
x = 20
28
y = 20
9
z=0
3
Prueba:
y = 20 * 1 + 20 * 4 + 0 * 12 = 100
z = 28 * 1 + 9 * 4 + 3 * 12 = 100
En la compra de sellos, como vemos, son posibles dos variantes (si van a exigir que se
compre aunque sea un solo sello de cada valor, es posible una sola variante).
Pasemos al segundo problema de este mismo tipo.
35
3.4 Compra de frutas
Por 5 rublos se compraron 100 unidades de diferentes frutas. Sus precios son los
siguientes:
Sandía
50 kopeks cada una
Manzanas
10 kopeks cada una
Ciruelas
1 kopeks cada una
¿Cuánta fruta de cada clase fue comprada?
Solución
Indicando el número de sandías con la , el de las manzanas con la  y el de las ciruelas
con la , establezcamos dos ecuaciones:
50 + 10 + 1 = 500
{
 +  +  = 100
Restando de la primera ecuación la segunda, obtendremos una ecuación con dos
incógnitas
49x + 9y = 400.
El anterior desarrollo del problema será el siguiente:
=
400 − 9
4(1 − )
= 44 − 5 +
= 44 − 5 + 4
9
9
=
1−
⟹  = 1 − 9
9
 = 77 − 5(1 − 9) + 4 = 39 + 49
De las desigualdades
1 − 9 ≥ 0
y 39 + 49 ≥ 0
se deduce que
36
1
39
≥≥−
9
49
por consiguiente, t = 0. Por eso.
 = 1, y  = 39
Sustituyendo los valores de  y de  en la segunda ecuación, deduciremos que  = 60.
Se compraron 1 sandía, 39 manzanas y 60 ciruelas.
3.5 Adivinar el día de nacimiento
Las ecuaciones indeterminadas permiten efectuar el siguiente truco matemático. Se
propone a una persona que multiplique la fecha del día de su nacimiento por 12, y el
número del mes, por 31. Con la suma de los productos de esos datos puede calcularse la
fecha del nacimiento de la persona dada. Si por ejemplo nació el 9 de febrero, se
efectuarán las siguientes operaciones:
9(12) = 108,
2(31) = 62,
108 + 62 = 170
¿Cómo se deducirá el día del nacimiento conociendo esa suma?
Solución
La tarea se reduce a resolver la ecuación indeterminada
12x + 31y = 170
en la que los valores de las incógnitas deben ser enteros y positivos; además, la fecha del
mes, , no es superior a 31, y el número del mes, , no pasa de 12.
=
170 − 31
2 + 5
= 14 − 3 +
= 14 − 3 + 
12
12
2 + 5 = 12
37
=
−2 + 12
1−
= 2 − 2 ∗
= 2 − 21
5
5
1 −  = 51 ,
 = 1 − 51
 = 2 ∗ (1 − 51 ) − 21 = 2 − 121
 = 14 − 3 ∗ (2 − 121 ) + 1 − 51 = 9 + 311
Se sabe que 31 ≥  > 0  12 ≥  > 0, por lo que los límites para 1 :
−
9
1
< 1 <
31
6
Por lo tanto,
1 = 0,
 = 9,
 = 2.
La fecha de nacimiento es el día 9 del segundo mes, es decir, el 9 de febrero. Se puede
proponer otra solución que no exige el empleo de ecuaciones. Nos han dicho la cifra  =
12 + 31. Puesto que 12x + 24y se divide entre 12, en este caso los números 7 y ,
después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Al multiplicar por 7 resulta que
49 y 7, después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Pero 49 = 48 + ,
y 48 se divide entre 12. Resulta que  y 7 al ser divididos entre 12 tienen restas
iguales.
Con otras palabras, si  no se divide entre 12, en este caso  es igual a la resta de la
división del número 7 entre 12; pero si  se divide entre 12, entonces  = 12. Este
número  (número del mes) se determina enteramente. Sabiendo  ya es muy fácil
determinar .
Un pequeño consejo: antes de determinar la resta de la división del número 7 entre 12,
cambie el mismo número  por su resta de la división entre 12 - será más fácil calcular.
Por ejemplo, si =170, Ud. tiene que efectuar mentalmente los siguientes cálculos:
170 = (12) (14) + 2 (entonces la resta es 2)
38
2 * 7 = 14; 14 = (12) (1) + 2 (entonces  = 2)
′ =
170 − 31 170 − 31(2) 180
=
=
=9
12
12
12
entonces
=9
Ahora Ud. puede comunicar que la fecha del nacimiento es el 9 de febrero. Demostremos
que el truco nunca falla, es decir, que la ecuación tiene siempre una sola solución, siendo
sus valores enteros y positivos. Representemos por  el número que se nos comunica. En
este caso, la fecha
del nacimiento vendrá expresada por la ecuación
12 + 31 = 
Razonemos "por reducción al absurdo". Supongamos que esta ecuación tiene dos
soluciones diferentes enteras y positivas, concretamente: la solución 1 , 1 y la solución
2 , 2 ; además, tanto 1 como 2 no son superiores a 31; 1 y 2 tampoco son mayores
que 12. Tenemos:
121 + 311 = 
122 + 312 = .
Restando la segunda ecuación de la primera, tendremos:
12(1 − 2 ) + 31(1 − 2 ) = 0
De esta igualdad se desprende que el número 12(1 − 2 ) es divisible por 31. Como 1 y
2 , son números positivos que no superan 31, su diferencia, 1 − 2 es una magnitud
menor que 31. Por eso, el número 12(1 2 ) puede dividirse por 31 sólo cuando 1 = 2 ,
es decir, si la primera solución coincide con la segunda. De esta manera, la suposición de
que existen dos soluciones diferentes conduce a una contradicción.
39
CONCLUSIONES
Las ecuaciones diofánticas han sido un tema de mucho interés para los matemáticos
de todos los tiempos y es por eso que, como matemáticos que somos, lo es también para
nosotros.
Una de las características de la teoría de números es la facilidad con que surgen gran
cantidad de problemas muchos de los cuales pueden ser abordados, en principio, sin
necesitar grandes requisitos.
Estudiamos que este tipo de ecuaciones se conoce, en Matemática, desde muy
antiguo, pero fue tras la obra del matemático griego Diofanto de Alejandría (siglo III
d.C.: 210 - 290) que comenzaron a llamarse Ecuaciones Diofantinas.
Hemos aprendido lo que es una ecuación diofántica, y también hemos aprendido a
resolver algunas de ellas, concretamente las ecuaciones diofánticas lineales con dos
incógnitas (Solución Particular y Solución General), con , , y 
números enteros.
Finalmente, aprendimos a cómo resolver problemas de aplicación mediante ejemplos.
La teoría de números es tan importante en la Matemática como la Matemática en
todas las demás disciplinas.
40
RECOMENDACIONES
1. Este trabajo de investigación, es realizado con la finalidad de que sirva de motivación
para los lectores, para seguir realizando trabajos en el campo de la investigación, y así
poder dar aportes al campo de la Matemática.
2. Las Ecuaciones Diofantinas son tan importantes que desde las ecuaciones más simples
hasta las más complejas se pueden verse como una ecuación diofántica. Así que animo al
lector a seguir investigando más sobre estas ecuaciones diofantinas.
3. Para nosotros que somos los estudiantes de Matemática, debería ser de mucha
importancia, estudiar temas relacionados a la Teoría Elemental de Números.
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BIBLIOGRAFÍA
http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion12.pdf
http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2011/alg-recre/cap04.pdf
http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Ecuaciones/EcuDio.htm
http://matematica.lacoctelera.net/post/2006/03/20/ecuaciones-diofanticas
http://www.astroseti.org/articulo/3629/
BARRANTES, HUGO, y otros. 1998. Introducción a la Teoría de Números. San José,
Costa Rica; Págs. 39 – 40.
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