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UCEVA ESTADISTICA 2
INGENIERIAS
TALLER INTERNET DE FUNCIONES PROBABILISTICAS-PROFESOR CARLOS IVAN
RESTREPO
ENCONTRARAS PROBLEMAS DE
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
ESPACIO MUESTRAL
VARIABLE DISCRETA, Y CONTINUA
VARIABLE ALEATORIA
FUNCION DE DENSIDAD
FUNCION ACUMULADA
VALOR ESPERADO
MEDIA
VARIANZA
FUNCION UNIFORME
1) Dado los siguientes ejemplos indicar que tipo de variable es
(a) educación primaria completa, (b) educación secundaria completa, (c) educación
superior incompleta, (d) calificaciones de pruebas” e) educación superior completa (f)
educación de postgrado g) La estatura de los habitantes de un país –h) Temperatura
ambiente i)Presión atmosférica j) Número de hijos en una familia k)-Número de autos
vendidos en un mes l)-Número de accidentes de tránsito en un dia -m) Ventas en pesos de
un año , N) -Promedio de calificaciones
2) La siguiente tabla muestra los valores de una variable discreta y algunas de sus
probabilidades
x
0
1
2
3
4
5
p(x) 0.01 0.10 0.30 0.40 0.10 w
a)
a) La variable aleatoria X es discreta que valores toma
b) Cual es el valor de w
c) La probabilidad de que la variable tome al menos el valor 3 cual es
d) La probabilidad de que la la variable tome a lo más el valor de 3 cual es
3) Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar
un dado.
4) Se lanza dos monedas , y sea x el número de caras obtenidas en dos lanzamientos de
una moneda , cual es la función de probabilidad en x
5) La función de densidad de probabilidad de peso neto en libras de un paquete de herbicida
químico es igual a f(x)=2 para 49.75<x<50.25 libras.
a) calcule la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras.
b) Cuanto herbicida estará contenido en el 90% de los paquetes.
6) Sea f(x)=2/X2 en el intervalo [a b]=[1 2] Verifique las propiedades si la variable es continua
7)
Dada la función
Determínese el valor de k para que f sea una función de
8) Supóngase que se gire el dial mostrado en la figura para que para en una posición
aleatoria. Modele esto como una apropiada función de densidad de probabilidad, y úsela
para calcular la probabilidad de que la aguja pare a cualquier posición entre 5° y 300°.
9) Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de
5.000 € ó un segundo prem io de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y
0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
10) Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras.
Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza
matemática del juego y si éste es favorable
11) Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar:
1 La esperanza m atemática
2 La varianza
3 La desviación típica
12) Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para
cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte
uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :
13) Verificar si cumple las propiedades de la función densidad Y Graficar
14) Para cual constante k es f(x)=ke-x una función de densidad de probabilidad definida en [0
1]?
15) La función de densidad de probabilidad de probabilidad del tiempo de falla ( en horas) de
un componente electrónico de una copiadora.
f ( x) 
x
1000
e
1000
Para x>0
Calcule la probabilidad de que:
a)
El componente tarde más de 3 mil horas en fallar.
b)
El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas.
c)
El componente falle antes de 1000 horas.
d)
Calcule el de horas en las que fallaron el 10% de todos los componentes.
16) La función de densidad de probabilidad de peso neto en libras de un paquete de herbicida
químico es igual a f(x)=2 para 49.75<x<50.25 libras.
a) calcule la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras.
b) Cuanto herbicida estará contenido en el 90% de los paquetes.
17) Consideramos un experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire tres veces y
anotamos el resultado. Se define la variable aleatoria X como número de caras aparecidas
en los tres lanzamientos.
A) Calcular el espacio muestral e indicar que variable aleatoria es.
B) Calcular la función de densidad
C) El valor esperado
18) Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por f (X), calcula su
función de distribución:
19) Se lanza un dado equilibrado produciendo el espacio equiprobable
S= {1,2,3,4,5,6}
20) Sea X el doble del número que aparece. Encuentre la distribución ƒ, la media µx, la
varianza σ2 x y la desviación estándar σx de X.
21) Una muestra aleatoria con reposición de tamaño n=2 se selecciona del conjunto {1,2,3}
produciendo el espacio equiprobable de 9 elementos.
S={(1,1),(1,2),(1.3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Sea X la suma de los dos números.
(a) Encuentre la distribución ƒ de X.
(b) Encuentre el valor esperado E(X).
22) Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X com o la sum a
de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la
esperanza m atemática y la varianza
23) Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un
coche alquilado:
Edad (Años) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7
Probabilidad .10 .26 .28 .20 .11 .04 .01
A) REALIZAR ELHISTOGRAMA DE PROBALIDADES
B) Hallar P(0  X  4)
6
C)
 f ( x)dx
3, 5
 f ( x)dx
0
2
24) DETERMINAR EL TIPO DE VARIABLE
A) El número de hijos de una familia
B) La puntuación obtenida al lanzar un dado.
C) La altura de los alumnos de una clase,
D) Las horas de duración de una pila
25) Supóngase que
f ( x)  e  x
para 0<x. Determine las siguientes probabilidades.
a) p (1<x) b) p(<0x<2,5) c) P(x<4)
26) Supóngase que
f ( x)  xe x
para 0<x. Determine las siguientes probabilidades.
a) p (1<x) b) p(<0x<2,5) c) P(x<4)
27) Con la siguiente función f(x) =0.125x para 0<x<4, calcular la media, la varianza y la
desviación estándar.
28) Suponga que X tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [1.5, 5.5].
a) Calcule la media, la varianza y la desviación estancar de X.
b) Cual es la probabilidad de p(x<2.5).
29) . Encuentre la m edia µ =E(X), la varianza σ2 =var(X) y la des viación
estándar σ= σx de la distribución
Xi
1
3
5
7
P(x)
0,3
0,1
0,4
0,2
30) Sea X una v.a. continua cuya función de distribución es:
Obtener la función de densidad.
31) Un jugador lanza un dado corriente. Si sale núm ero primo, gana tantos
cientos de euros como marca el dado, pero si no sale núm ero prim o, pierde
tantos cientos de euros como marca el dado. Determ inar la función de
probabilidad y la esperanza m atemática del juego
32) Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
x
0
1
2
3
4
5
P(x)
0.1
0,2
0,1
0,4
0,1
0,1
1 Calcular, representar gráficamente la función de distribución
2 Calcular las siguientes probabilidades:
a) p (X < 4.5)
b) p (X ≥ 3)
c) p (3 ≤ X < 4.5)
33) Sea la v.a. X el núm ero de partes defectuosas de unam áquina cuando se
muestrean tres parte de una línea deproducción y se prueban. La siguiente
es la distribución de probabilidades de X:
x
0
1
2
3
f(X) 0.51 0.38 0.10 0.01
Calcular la Var(X) usando los dos m étodos
34) Se sabe que los tiempos en que se realiza un experimento se distribuyen
en forma uniforme y están entre cero y tres minutos.
a) Calcular la probabilidad de que el tiempo en que se realiza un
experimento esté entre 1.5 y 3 m inutos.
b)Si se realizan 5 experim entos ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos
se realicen en un tiempo de entre 1.5 y 3 m inutos?
35) Las ventas diarias de un supermercado se distribuyen en forma uniforme,
con media 40 mil pesos diarios y un m ínimo de 30 m il pesos.
a)
Determinar la venta m áxim a diaria
b) ¿En qué porcentaje de días las ventas excederán los 34 mil pesos?
36) Supóngase que la concentración que cierto contaminante se encuentra
distribuida de m anera uniform e en el intervalo de 0 a 20 pares de millón. Si
se
considera
tóxica
una
concentración
de
8
o
más.
¿Cuál
es
la
probabilidad de que al tom arse una muestra la concentración de esta sea
tóxica?.
Concentración
m edia
y
varianza.
Probabilidad
de
que
la
concentración sea exactam ente 10
37) Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda normal y
obtener cara, si cae cara la 1ra vez el j ugador gana $2, si cae cara la 2da
vez gana $4 y si cae cara en la 3ra vez gana $8, el juego termina en el
momento en que cae una cara o después de tres intentos. Si no cae cara
en los tres lanzam ientos pierde $20.
¿Cuál es la esperanza de ganancia o perdi da en el juego?
38) Suponga que X tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [ -1,
1]
Obtenga la media la varianza y la desviación estándar
39)
NOTA FRECUENCIA ACUMULALADA DE LA DENSIDAD FdD
40) Sea X la v.a. que denota la vida en horas de cierto dispositivo electrónico. La función
densidad de probabilidad es
 2000
x  100

f ( x)   x 3
0 paracualqu ierotrovalor
Calcular la vida esperada de este tipo de dispositivo.
41) La cantidad de refresco que se despacha en un vaso es una variable aleatoria que se
distribuye en forma uniforme entre [130, 160] mililitros. Calcular la probabilidad de que un
vaso contenga a lo más 140 mililitros.
42) Consideremos nuevamente la distribución de probabilidad de las ventas semanales de
unidades de alta fidelidad de la marca A, en la ya vimos que:
X = xi
0
1
2
3
4
5
f(x)
0.1
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
Encontrar la variancia y la desviación estándar.
43) Suponga que la variable aleatoria X está distribuida uniformemente en el intervalo [-a, a].
Determinar el valor de a de modo que se satisfaga que P(x > 1) = 1/3
44) Si se lanzan 16 veces dos monedas y X es el número de caras que ocurre por
lanzamiento, entonces los valores de X pueden ser 0, 1 o 2. Supongamos que en el
experimento salen cero caras (cuatro veces), una cara (siete veces) y dos caras (cinco
Veces). El número promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas cual es
45) Un inspector de calidad muestrea un lote que contiene siete componentes; el lote contiene
cuatro componentes buenos y tres defectuosos. El inspector toma una muestra de tres
Componentes. Calcular el valor esperado del número de componentes buenos en esta
muestra.
46) Suponga que X está distribuida uniformemente en el intervalo [2, 8].
a) Calcular P(2 < x <7)
b) Determinar el valor de la constante k, de modo que: P(X > k) = 0.30
47) Un juego consiste en tirar dos dados. Si la suma de sus caras es mayor o igual a 10 se
ganan 300 pts, si está comprendida entre 7 y 9 se ganan 100 pts. y para cualquier otro
resultado no se gana nada. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que la ganancia
esperada de la banca sea de 50 pts?
48) La distribución de probabilidad de x , el número de defectos por cada 10 metros de
una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme , es
x
p(x)
b)
c)
d)
49)
0
0.41
1
0.37
2
0.16
3
0.05
4
0.01
a)
Determine la distribución
de probabilidad acumulada de x; P(x).
Determine el número esperado de defectos por cada 10 metros de tela sintética en
rollos continuos de ancho uniforme y la desviación estándar del número de defectos
por cada 10 metros de tela .....
Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren
como máximo 2 defectos.
Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren por
lo menos 2 defectos.
Suponga que el error en la temperatura de reacción, en oC, para un experimento
controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función
de densidad de probabilidad:
, para -1< x < 2
y
f(x) = 0 en cualquier otro caso
a)
Verifique la tercera condición de la definición de una distribución de
probabilidad continua.
b)
Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad.
c)
Encuentre la probabilidad de que 0< x £ 1.
50)
51) Se sabe que el peso X de ciertos bloques de acero, es una variable aleatoria continua
distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas. Encontrar:
a) La función de densidad de la variable.
b) La probabilidad de que si se pesa un bloque seleccionado al azar pese cuando menos
62 toneladas.
43) Si se lanzan dos dados legales, encontrar el valor esperado.
44) Un casino le permite a un jugador que lance un dado legal y que reciba tantos pesos como
puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad k de pesos
cada vez que juegue. Calcular cuanto debe valer k para que el jugador ni gane ni pierda.
45) Consideremos una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 centavos y el premio es de
100 pesos. Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería.
46) Sea la función de distribución acumulada:
F(X)=
Calcular:
a)
La media
b)
La variancia
C)La desviación estándar
47) Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de $5.000000 ó un
segundo premio de 2000000 con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a
pagar por la papeleta?
48) Sea la variable aleatoria continua
el diámetro de un agujero taladrado en una placa de
metal. El diámetro requerido es 12.5 milímetros, pero muchas perturbaciones aleatorias en el
proceso dan como resultado diáme-tros más grandes. La recopilación de datos indica que la
distribución de
puede modelarse con la función de densidad de
probabilidad
¿Cuál es su varianza?
¿Cuál es el valor esperado de la
?,
49) La siguiente tabla muestra la fdp para la variable X: número de personas por día que solicitan
un tratamiento innecesario en el servicio de urgencias de un pequeño hospital.
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
0,01
0,1
0,3
0,4
0,1
?
A. Construir F(x)
B. . Encontrar p(X<2)
C. Encontrar p(X>3)
D. Calcular la media y la varianza
50) Tiramos una moneda 3 veces. Representamos cara por c y cruz por z. Hallar fdp (función de
densidad de probabilidad )
51) Se define ahora una función sobre X: el premio: si sale 1 ó 2 se gana 100 ptas, si sale 3 se
gana 500 y si sale 4, 5 ó 6 no se gana nada. ¿Cuál es el valor medio de esta función y hallae su
desviación?
52) Se desarrolla un compuesto para aliviar las migrañas. El fabricante afirma que es efectivo en
un 90% de los casos. Se prueba sobre 4 pacientes. Sea X el número de pacientes que obtiene
alivio.
a. Encontrar la fdp para X, suponiendo que la afirmación del fabricante sea correcta.
b. Encontrar p(X£1)
c. Si el compuesto no alivia a ninguno de los pacientes ¿es esa una razón para poner en duda la
eficacia afirmada por el fabricante? Razonar sobre la base de la probabilidad implicada.
d. Calcular la media. ¿Qué significa en este ejemplo?
53) Sea X el tiempo de supervivencia en años después de un diagnóstico de leucemia aguda.
La fdp para X es f(x) = -x/2 + 1, para 0 < x < 2.
a. Comprobar que es una fdp.
b. Hallar p(X>1)
c. Hallar p(X=1)
d. Hallar p(X  1)
54) Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo,
y marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban
tres automóviles de esta marca y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren
de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.
55)Según estadísticas, la probabilidad de que un pozo petrolero que se perfore en cierta región
pueda ser beneficiado es de 0.30. Se perforan tres pozos en esa región, encuentre el número
esperado de pozos que pueden ser beneficiados y su desviación estándar.
56) Para la siguiente función,
cuando 0<x <3 ,
f(x) = 0 para cualquier otro valor
a)
b)
Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad.
Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine
su media y desviación estándar.
c)
Determine la probabilidad de que 1<x < 2.
57) Supon que tienes una urna con 3 bolas negras, 2 bolas rojas y 1 bola blanca. Si sacas la
bola negra se te pagan 6 pesos, si sacas la bola roja te pagan 12 pesos si sacas la bola
blanca se te pagan 54 pesos. ¿cual es la recompensa promedio del juego?
58) Un embarque de ocho notebook similares para una tienda contiene tres que están
defectuosos. Si una Escuela hace una compra al azar de dos de estos notebook. Calcular la
distribución de probabilidad para el número de defectuosos.
59) Supongamos que el error en la temperatura de reacción, en grados Celsius, para un
experimento de laboratorio controlado es una v.a.c. X que tiene la función de densidad de
probabilidad
 x2

1  x  2
f ( x)   3
 0 paracualqu ierotrocaso

a) Verificar la condición 2 .
b) Calcular P(0 < X <1).
60) La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es:
xi
0
1
2
3
4
5
P=(X=xi)=pi
0.01
a
b
c
0.1
0.09
Calcule a, b, c si la media de X es 2.45 y P(2≤x≤3)=0.6
SOLUCIONES
http://www.vitutor.com/pro/3/a_e.html
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/cprob2.html
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001091/html/un4/cont_401_41.html
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_225_67.html
http://www.emathematics.net/estadistica/aleatoria/index.php?tipo=densidad
http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII/tema2.pdf
http://www.dcb.unam.mx/profesores/irene/Notas/Tema_3-1.pdf
http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribuciones_discretas.html
http://ocwus.us.es/estadistica-e-investigacion-operativa/estadistica/temas/apartado3.pdf
http://www3.uji.es/~mateu/t4-alumnos.pdf
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_226_68.html
http://148.204.211.134/polilibros../portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad%203/3.6.
htm
http://148.204.211.134/polilibros../portal/Polilibros/P_terminados/Probabilidad/doc/Unidad%202/2.5.
htm
http://www.hrc.es/bioest/estadis_prosul.html
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Distribuciones%20de%20Probab
ilidad.htm
http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2011/2do/clase5.pdf