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MATERIAL DE APOYO PARA LA PREPARACIÓN EN EL
CONTENIDO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
APUNTES PARA UNA EXPERIENCIA
ELABORADO POR
M.Sc. ROGER RIVERÓN RIVAS
2010
1
Preliminares
La geometría analítica constituye uno de los contenidos del programa de
preparación de los estudiantes para el ingreso a la Educación Superior, su
redacción algebraica y su comprensión geométrica (o viceversa), es un tema
pendiente aún en nuestras aulas, le mostramos algunos ejemplos en este folleto
de cómo desde nuestra concepción se puede atenuar esta deficiencia.
Los ejercicios que se muestran no agotan todo el contenido del programa vigente,
se han elaborado con la intención de atenuar las dificultades detectadas en
nuestros alumnos y docentes.
Conceptos esenciales que se deben tener en cuenta en la solución de
ejercicios sobre el contenido de geometría analítica, ordenados
alfabéticamente:
1. Distancia de un punto a una recta..
2. Distancia entre dos puntos en el plano.
3. Ecuación cartesiana de una recta en el plano.
4. Pendiente de una recta en el plano determinada por dos puntos
5. Pendientes.
6. Punto de intersección de dos rectas.
7. Punto medio de un segmento.
Contenidos en el programa vigente para el ingreso a la Educación
Superior relacionados con la geometría analítica.
Distancia entre dos puntos en el plano. Pendiente de una recta en el plano
determinada por dos puntos y su relación con el ángulo de inclinación.
Condiciones de paralelismo o perpendicularidad de dos rectas en el plano en
función de sus pendientes. Fórmulas para determinar las coordenadas del punto
medio de un segmento. Ecuación cartesiana de una recta en el plano. Punto de
intersección de dos rectas. Distancia de un punto a una recta. En el plano.
Aplicaciones.
2
Una información básica y necesaria sobre algunos de los conceptos
anteriores:
PENDIENTE
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos Ax1 ; y 2  y Bx2 ; y 2  se
define como el cociente: m 
y 2  y1
x 2  x1
La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que ésta forma con el
eje horizontal:
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Si Ax; y 
y Bx1 ; y1  la distancia entre los puntos A y B se determina por la
fórmula d  A, B  
x  x1 2   y  y1 2
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ax  By  C  0
ECUACIÓN DE LA RECTA DE FORMA EXPLÍCITA
y
A
C
x
B
B
y  mx  n
CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
En dos rectas cualesquiera del plano m1  m2 las rectas son paralelas
En dos rectas cualesquiera del plano m1  m2 las rectas se cortan en un punto.
Si se cumple que m1  
1
las rectas son perpendiculares
m2
Dados los puntos Ax1 ; y 2 
y
Bx2 ; y 2  el punto medio del segmento que
 x  x 2 y1  y 2 
;
contiene a los puntos dados tiene por coordenadas M  1

2 
 2
3
SISTEMA DE EJERCICIOS
1. En un sistema de coordenadas se han representados los puntos A y B como se muestra a
continuación:
y
a) Completa los espacios en
blancos de manera que se
0
-1
B
x
obtenga una proposición
verdadera para cada caso.
A
COMPLETA
Las coordenadas de un punto C de manera
que el segmento
REALIZA UN ESBOZO DE TU RESPUESTA
BC sea paralelo al eje
“ OX ” son _________.
0 1
B
0 1
B
A
Las coordenadas de un punto D de manera
que el segmento
AD sea paralelo al eje
“ OY ” son _________.
A
4
Las coordenadas de un punto F de manera
que se cumpla
que el segmento OA ( O
origen de coordenadas) sea paralelo al
segmento FB son _________.
0 1
B
A
Las coordenadas de un punto G de manera
que el triángulo formado por los puntos A ,
O (origen
de
coordenadas)
y
G sea
rectángulo son __________
0 1
B
0 1
B
0 1
B
A
Las coordenadas de un punto E de manera
que
el
segmento
OE ( O
origen
de
coordenadas) sea perpendicular al segmento
AB son _________.
A
Las coordenadas de un punto E de manera
que
el
segmento
OE ( O
origen
de
coordenadas) sea perpendicular al segmento
AB y los puntos A , E y B estén alineados
son _________.
A
5
Las coordenadas de un punto R tal que la
longitud del segmento AR sea igual a la
longitud del segmento OB ( O origen de
coordenadas) son _________.
0 1
B
0 1
B
A
Las coordenadas del punto H de manera
que se cumpla que
AH sea altura del
triángulo formado por los puntos A , B y el
punto de coordenadas
 1;0
A
6
2. En
el
siguiente
sistema
de
coordenadas se ha representado el
y
triángulo equilátero ABC
A
a) Completa los espacios en blanco de
C
3
0
x
manera que cada proposición sea
verdadera y justifica tu respuesta.
B
RESPONDE
ARGUMENTA
Un punto D de manera que el segmento AD
sea paralelo al lado BC del ABC debe
estar situado en el _________ cuadrante
La longitud de la altura relativa al lado AB
del triángulo es de _________.
Las coordenadas de un punto M de manera
que el ABC sea igual al BCM
son
_________.
7
Las coordenadas de dos puntos P y Q de
manera que el ABC sea semejante al
PBQ
son
_________
y
_________
respectivamente.
Las coordenadas de un punto D de manera
que el cuadrilátero ABCD sea un rombo son
_________.
Si el punto X tiene como coordenadas 4;0 ,
el área del BCX es de _________.
El área del triángulo formado por los puntos
medios de los lados del
ABC es de
_________.
Si x es la mitad del segmento AC y h la
longitud de una de una de las alturas del
ABC pruebe que:
x
3  h 3  h
Las coordenadas de un punto D de
manera que el ABD sea rectángulo en B
son _________.
8
3. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado el ABC .
Escoja de las líneas dadas,
aquellas
proposiciones
verdaderas y argumenta cada
y
una de las escogidas.
3C
0 1
F
6
-3
A
a) _____ El segmento AB es paralelo al eje “ OX ”.
x
B
b) _____ F es punto medio del segmento BC .
c) _____ El ABC es semejante al OFC ( O origen de coordenadas).
d) _____ El segmento AB es una de las alturas del triángulo ABC .
e) _____ El ABC  450
f) _____ El segmento BC tiene una longitud de 12 unidades.
g) _____ El segmento AF es una de las alturas del triángulo ABC .
h) _____ El área del triángulo ABC es el doble del área del OFC ( O
origen de coordenadas).
i) _____ El segmento OF está contenido en una de las paralelas medias
del ABC .
j) _____ Los triángulos ABF y ACF tienen igual área.
k) _____ El ABF es semejante al ACF .
l) _____ El perímetro del ABC es igual a la mitad del perímetro del
OFC ( O origen de coordenadas).
m) _____ El cuadrilátero PABC es un rombo; si el punto P tiene como
coordenadas 6;3 .
n) _____ El área del cuadrilátero PABC se puede calcular por la fórmula
2
BC
A
.
2
9
4. Resuelve la siguiente tabla
Representa en el sistema de coordenadas
de la derecha
a) Un segmento tal que:
 uno de los vértices sea el
punto O0;0 ,
 y tenga una longitud de 5
0 1
unidades.
b) Un triángulo isósceles tal que:
 el lado base sea paralelo al
eje “ OY ”,
 que una de las alturas del
triángulo este contenida en
0 1
el eje de las abscisas,
 que tenga un área de 3
unidades cuadradas.
c) Un cuadrado tal que;
 el punto de intercepción de
las diagonales sea el origen
de coordenadas,
 que las diagonales estén
0
1
contenidas en las bisectrices
del
primer
y
segundo
cuadrante respectivamente,
 y su área sea de 4 unidades
cuadradas.
10
d) Un paralelogramo tal que:
 un lado sea el segmento
OP , siendo O0;0 y P2;3 ,
 y el lado consecutivo al OP
sea de 6 unidades.
1
0
e) Un rombo tal que:
 uno de sus lados sea el
segmento AB , determinado
por
los
A 3;0 y
puntos
B 2;3 .
0
1
f) Un trapecio que tenga:
 un lado en el segmento PQ (
con P 2;0 y Q0;2 ),
 un
vértice
R 2;3
en
el
punto
0
1
11
g) Un trapezoide simétrico que tenga:
 una
diagonal contenida en
la recta y  2 x  1
1
0
5. En la figura aparece representado en
un
sistema
rectángulo
de
coordenadas
ABCD ,
coordenadas)
punto
O
(origen
medio
un
de
y
del
segmento AB .
C5
a) Determine las coordenadas del
2,5
vértice A .
D
5
b) Calcula el perímetro del triángulo
OAD .
B
O 2,5
x
A
c) Pruebe que el triángulo OAD es
igual al triángulo OBC .
d) Calcula el área del triángulo
ODC .
e) Prueba que:
Área del ODC
1
Área del OAD  Área del OBC
¿Se
cumplirá
esta
relación
para
cualquier
rectángulo
dado?
Demuéstralo.
12
h) Determine las coordenadas de un punto H
de manera que el
cuadrilátero formado por los puntos D, O, C y H sea un cuadrado.
Justifique.
i) Calcule la amplitud del DCO .
j) Demuestre que el DOC es semejante al OBC y determine la razón
de semejanza.
k) Selecciona un punto P perteneciente al segmento, de manera que el
cuadrilátero OADP sea un cuadrado.
6. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado un ABC
equilátero
B
C
0 1
A
a) Determina las coordenadas del vértice B.
b) Calcule el área del ABC .
c) Pruebe que si P es el perímetro del ABC y h una de las alturas del
triángulo, se cumple que P  h 2 .
13
7. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado un
paralelogramo ABCD
D
C
0 1
A
B
a) Si el perímetro paralelogramo ABCD es de 14 unidades, determine las
coordenadas de los vértices C y B.
b) Determine las coordenadas del punto de intercepción de las
diagonales.
c) Calcule el área del paralelogramo ABCD .
8. De un triángulo isósceles ABC de base AC se conoce que
vértices
A y C
tienen por coordenadas los puntos 1;1
y
los
4;1
respectivamente.
a) Si se conoce que el vértice B tiene como ordenada el valor 5,
determine la abscisa.
b) Escribe las coordenadas donde se interceptan las rectas que contienen
a los lados AB y BC .
c) Clasifica el triángulo ABC según sus ángulos. Justifique su respuesta.
d) Calcule la longitud de la altura relativa al lado AC .
e) Calcule la amplitud del ABC .
14
f) Determine las coordenadas de un segmento PQ contenido en una de
las paralelas medias del ABC .
g) Si se prolongan a partir de A y C los segmentos AB y BC , determine
las coordenadas de los puntos
D y F , si estos son los puntos de
intercepción de los segmentos AB y BC con el eje “ OX ”.
h) Calcule la razón
Área del ABC
.
Área del BDF
i) Calcule el valor de K si K  sen 2 ACB  cos 2 ACB .
9. En un sistema de coordenadas se han representados los puntos A(0:2)
y C(0;-4) si se sabe que AC es la diagonal del cuadrado ABCD.
Escribe:
a) Las coordenadas de los vértices D y B.
b) Calcula el perímetro del cuadrado ABCD.
c) Calcula el área del triángulo ABD.
d) Determina las coordenadas del punto de intersección de las
diagonales.
10. Para restaurar un cuadro en forma de rombo, al cual se le ha
deteriorado una de sus esquinas, Miguel ha construido con los
vértices
A , B y C el sistema de coordenadas como se muestra la
figura. Si el conoce que el lado del rombo es de 1,5m , y que A , B y
C están sobre los ejes de coordenadas.
B
A
C
15
a) ¿Qué condiciones consideras debe cumplir el vértice D para que el
cuadro siga manteniendo su condición de rombo?.
11. En el sistema de coordenadas que se muestra se ha representado los
vértices A , B y C de un trapecio ABCD .
B
4
C
3
A
0
3
D
a) ¿Qué condiciones debe cumplir el vértice D para que ABCD sea un
trapecio rectángulo?.
b) Escriba las coordenadas del vértice A .
c) ¿Existirá otro punto en el plano F para el cual ABCF sea también un
trapecio rectángulo?. Justifique.
12. En el siguiente sistema de coordenadas se ha representado el
cuadrado ABCD, al cuál se le han doblado tres de sus esquinas, si se
sabe que el cuarto vértice coincide con el origen de coordenadas y
que el lado OA ( O origen de coordenadas) está contenido en el eje
“OY”.
a) Escriba que condiciones consideras debe cumplir el punto C cuando
se desdoble sobre el plano el cuadrado ABCD.
b) ¿Cuáles son las coordenadas de B si se sabe que el perímetro del
cuadrado es de 24,4cm ?.
16
c) Si a partir de los dobleces en los vértices A , B y
C , hacemos
coincidir a estos tres vértices con el origen de coordenadas, que figura
se obtiene. Calcule su área.
B
A
13. En
la
figura
C
aparece
representado
2
un
rectángulo:
a) Determine el conjunto
formado por todos los
puntos
x; y 
4
2
2
que son
vértices de los ángulos
rectos que se forman
en la figura dada.
b) Selecciona en la figura un triángulo isósceles y escribe las
coordenadas de sus vértices.
17
c) Selecciona un triángulo rectángulo y calcula la longitud de la
hipotenusa del mismo.
d) Auxiliándote de una tabla trigonométrica calcula el seno de uno de
los ángulos agudos del triángulo seleccionado.
14. Los segmentos AD y DC tienen como un extremo común D ¿Qué
condición debe cumplir el punto B , para que
ABCD sea un
paralelogramo?
a) Determine la longitud del segmento AB .
b) Qué relaciones puedes establecer entre los segmentos DA y BC .
c) Determina las coordenadas de un punto F (F pertenece al eje de las
abscisas), de manera que el triángulo con vértices en C, F y D sea
rectángulo en F.
d) ¿Será posible encontrar sobre el plano otro punto X para el cual el
triángulo CXD sea rectángulo?. Justifique.
A1
D
2
1
B
C
18
15.
t
s
B
D
Sobre las rectas s y t ambas paralelas entre si al eje “OX” se han situado
los puntos B 2;3 y
D2;2 ( B  s y D  t ).
a) Determina las coordenadas de dos puntos A y C ( A s y C  t )
de manera que el cuadrilátero ABCD sea un rectángulo.
b) Calcula la longitud de AC .

c) Determina 3 puntos A1 , C 1 y D1 A1  s y C 1 , D1  t

de manera
que el cuadrilátero A1 BC 1 D1 sea un cuadrado.
d) ¿Será el origen de coordenadas el punto donde se interceptan las
diagonales del rectángulo ABCD ?. Justifique.
e) ¿Existe alguna relación de igualdad o semejanza entre los
triángulos ABC y el A1 BC 1 ?, Justifique.
19
16. En
el
siguiente
sistema
de
x
coordenadas, se ha
representado
el
y
cuadrado ABCD, el
origen
de
coordenadas
punto
es
donde
B
A
el
O
se
interceptan
las
diagonales
del
D
cuadrado:
C
a) Diga el valor de la
pendiente
de
la
recta que pasa por
los puntos A y B.
b) Determina las coordenadas de los
vértices de dos triángulos
semejantes que se formen según los datos que ofrece el ejercicio.
c) Prueba que si F es el punto medio del segmento AD entonces los
segmentos CF y FB son perpendiculares.
20
17. Los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia de centro O, de
manera que: AB  BC  CA .
a) Clasifica el triángulo ABC según sus lados.
b) Calcula la longitud de una de las alturas del triángulo dado, si el
perímetro del triángulo es de 28 unidades.
A
O
B
C
18. Las diagonales AD y BC del cuadrado ABCD están contenidas en las
rectas: r1 : y   x y r2 : y  x .
a) Determina los vértices A, B, C y D si se conoce que el perímetro del
cuadrado es de 36 u.
b) Por el punto de intersección de las diagonales se traza una
circunferencia que contiene a los vértices del cuadrado. calcula la
longitud de la circunferencia.
c) Escriba la ecuación de la función cuadrática que pasa por los puntos
A y B y tiene vértice en el punto de intersección de las diagonales.
d) Escriba la ecuación de la función cuadrática que tiene como
coordenadas de su vértice el punto medio del segmento CD y pasa
por los puntos A y B.
e) Calcula el ángulo que forma la diagonal AC con el lado BC.
21
7. Sea el segmento AB en el plano de coordenadas, con A (0;3) y B
(4;y), si AB’09), si AB = 5,0 u, entonces el valor de y es:
___6 ; ___5 ; ___-3 ; ___-1
a) Sea el segmento MN en un plano de coordenadas con M (0; 6) y n (x ;
0 ) si MN = 10 u entonces el valor de x es:
___4; ___-6; ___8; ___10
8. En un ∆ABC, en un plano de coordenadas se conoce que A tiene
coordenadas (1; 2) y B (5; 2), el triángulo es isósceles de base AB, las
coordenadas del punto medio del lado AC son M (2; 4), entonces:
a) Las coordenadas del vértice C son:
___ (2,5; 6), ___(3; 4), ___ (2,5; 5), ___ (3; 6).
b) El área del triángulo es: ___16 u ; ___4,0 u²; ___8,0 u²; ___15 u².
9. Sea el ∆ABC isósceles de base BC, en un plano de coordenadas con,
A (-1; 1) y B (4; 1).
a) Las coordenadas del vértice C son:
___(4; 3), ___(3; 4), ___(-1; 3), ___(0; -5).
b) El área del ∆ABC es:
___15 u², ___6 u², ___7,5 u², ___12 u².
10. Sea el paralelogramo ABCD, en un plano de coordenadas con A (0; 1)
y D (5; 1) como se muestra en la figura.
Si ABCD es un rombo entonces :
a) Las coordenadas de B son (4; __) y las de C son (___:___)
b) El área del rombo ABCD es:______________
22
c) Las diagonales del rombo se cortan en el punto O de coordenadas
(___;___)
DIAGNÓSTICO
MARCA CON UNA X LA RESPUESTA CORRECTA
A) El punto de intersección entre la recta r, de ecuación r: 3x – 2y – 5 = 0 y el eje “y” es:
a) ___ (0;
5
)
3
b) ___ (–
5
; 0)
2
c) ___ (
5
; 0)
3
d) ___ (0; –
5
)
2
r1 y r2 de ecuaciones r1 : (   2) x  y  1  0 y r2 : y   2 x  2 .
r
r
Para que las rectas 1 y 2 no tengan puntos comunes en el plano, los valores que
puede tomar  son:
B) Sean las rectas
a) ___ 2 ó 1
b) ___ 2 ó -1
c) ___ -1 ó -2
d) ___ -2 ó 1
C) Si r1 y r2 son rectas paralelas, P1 un punto de r1 y, P2 un punto de r2, entonces la
distancia entre r1 y r2 es necesariamente:
a) ____ igual a la distancia de P1 y P2
b) ____ menor o igual a
la distancia de P1 y P2
c) ____ mayor que la distancia de P1 y P2
d) ____ mayor o igual
que la distancia de P1
y P2
COMPLETA LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES DE MANERA QUE SEAN
VERDADERAS.
A) Sean A y B dos puntos del plano . Si d ( A, B)  2 2 u , A(0;3) y B( x;1) es
un punto que pertenece al primer cuadrante, entonces las coordenadas de B
son: ___________
B) Sea r una recta que pasa por los puntos (0; –1) y (2; 1) y t, una recta que
interseca a la recta r en el punto (2; 1). Si r  t en el punto (2; 1), entonces la
abscisa del punto de intersección de la recta t con el eje de las X es:
______________
C) El triángulo formado por los vértices A (2; 6), B (5; – 9) y C (– 2; 0)
según sus lados se clasifica en: ____________.
D) Dados los puntos A (-3; 5), B (5;-1) y C (-5;-6), la ecuación de la recta
que pasa por el vértice C y es perpendicular a la recta AB es:
_____________
23
E) Las rectas r1: 3 x  4 y  10
r2: 2 x  y  5 se interceptan en El punto de
coordenadas ____________
F) Se dan las rectas r1 , r2 y r3 cuyas ecuaciones son:
r1 y - kx + 3 = 0;
r2 : 2x - y = 8
r3: 4y = 3x - 2
a) El valor de k para que las rectas se corten perpendicularmente es:
24