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Guía para el maestro
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Dirección editorial: Adriana Beltrán Fernández • Subdirección editorial: Tania Carreño
King • Gerencia de secundaria: Aurora Saavedra Solá • Gerencia de diseño: Renato
Aranda • Cordinación editorial: Jannet Vázquez • Edición: Milosh Trnka Rodríguez,
Alberto Lara y Karina Islas Ríos • Asistencia editorial: Erika López Galbraith • Supervisión
de diseño: Gabriela Rodríguez Cruz • Coordinación de diseño: Carina J. Haro Vázquez
• Diseño de interiores: Gustavo Hernández • Adaptación de diseño de portada: Renato
Aranda • Diagramación: Rocío Mince • Supervisión de imagen: Tere Leyva • Investigación
iconográfica: Édgar Estrella Juárez • Ilustración: Raúl Tena • Fotografía: Archivo digital
• Digitalización y retoque: Juan Ortega Corona • Gerencia de producción: Alma Orozco •
Coordinación de producción: Alma Ramírez
Colaboración: Erick Rodríguez Castro
Primera edición: mayo de 2012
Matemáticas 1
Guía para el maestro
D.R. © 2012, del texto: Ediciones Castillo, S.A. de C.V.
Todos los derechos reservados
D.R. © 2012, Ediciones Castillo, S.A. de C.V.
Castillo ® es una marca registrada
Insurgentes Sur 1886, Col. Florida
Deleg. Álvaro Obregón,
C.P. 01030, México, D.F.
Tel.: (55) 5128–1350
Fax: (55) 5128–1350 ext. 2899
Ediciones Castillo forma parte del Grupo Macmillan
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www.edicionescastillo.com
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Lada sin costo: 01 800 536 1777
Miembro de la Cámara Nacional
de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 3304
Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta
obra en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia,
o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
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Bloque 3presentación
/ secuencia 1
3
Al maestro:
La práctica docente exige cada día más y diferentes recursos para enfrentarla y lograr
una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta
Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los Programas de
estudio 2011:
• Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural y
social de los alumnos.
• Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos.
• Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las
competencias específicas de la asignatura.
El trabajo con secuencias didácticas, entendido como una estrategia de enseñanza
y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento, representa, en
cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma tradicional de
enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el proceso de
trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos, habilidades y
actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen
los estudiantes.
En cada una de las etapas, inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de su
intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas
a cada una de las actividades que conforman la secuencia.
Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional
por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar
una evaluación diferente a sus alumnos.
Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque donde
se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que se favorecerán.
Se incluyen recomendaciones de otros recursos como el uso del CD Recursos digitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de
apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros,
museos, entre otros.
Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y
así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.
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Bloque
3 / secuencia
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Estructura
de la Guía
El trabajo con secuencias
didácticas
Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases:
inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.
Al inicio de cada lección del libro del alumno se presenta una situación problemática
y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el
interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares.
En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos
de la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad que
será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que
indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática.
Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades que
constituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspectos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profunda
de los mismos.
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,
lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el
docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedimientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuar
con eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro
ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise
con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de otros nuevos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los
alumnos a la situación problemática.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema
de actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, será
necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus
alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su
realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
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Bloque 3 / secuencia
Estructura
de la Guía1
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La evaluación
La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades
matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser
reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del
alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada
lección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Después deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de
este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá
detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.
Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posibles
para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de
los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.
En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de
análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la
movilización de las habilidades y competencias adquiridas.
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BLOQUE
3 / SECUENCIA
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ESTRUCTURA
DE LA GUÍA
El trabajo con secuencias
didácticas
Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases:
inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.
Al inicio de cada lección del libro del alumno se presenta una situación problemática
y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el
interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares.
En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos
de la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad que
será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que
indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática.
Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades que
constituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspectos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profunda
de los mismos.
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,
lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el
docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedimientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuar
con eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro
ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise
con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de otros nuevos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los
alumnos a la situación problemática.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema
de actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, será
necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus
alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su
realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
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ESTRUCTURA
DE LA GUÍA1
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La evaluación
La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades
matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser
reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del
alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo ENLACE y evaluación tipo PISA.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada
lección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Después deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de
este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá
detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.
Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posibles
para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de
los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.
En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de
análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la
movilización de las habilidades y competencias adquiridas.
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Bloque 1
C
Forma, espacio y medida
Contenidos
Sentido numérico y pensamiento algebraico
•Trazodetriángulosycuadriláterosmedianteelusodel
juegodegeometría.
Aprendizajes esperados
•Conversióndefraccionesdecimalesynodecimalesasu
escrituradecimalyviceversa.
Manejo de la información
• Resolver problemas de manera autónoma.
• Comunicar información matemática.
• Validar procedimientos y resultados.
• Manejar técnicas eficientemente.
•Trazoyanálisisdelaspropiedadesdelasalturas,medianas,mediatricesybisectricesenuntriángulo.
•Resoluciónyplanteamientodeproblemasqueimpliquen
másdeunaoperacióndesumayrestadefracciones.
•Identificaciónyprácticadejuegosdeazarsencillosy
registrodelosresultados.Eleccióndeestrategiasen
funcióndelanálisisderesultadosposibles.
Competencias que se favorecen
•Representacióndenúmerosfraccionariosydecimales
enlarectanuméricaapartirdedistintasinformaciones,
analizandolasconvencionesdeestarepresentación.
•Construccióndesucesionesdenúmerosodefigurasa
partirdeunaregladadaenlenguajecomún.Formulaciónenlenguajecomúndeexpresionesgeneralesque
definenlasreglasdesucesionesconprogresiónaritméticaogeométrica,denúmerosydefiguras.
•Explicacióndelsignificadodefórmulasgeométricas,al
consideraralasliteralescomonúmerosgeneralescon
losqueesposibleoperar.
Contenidos del bloque
• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.
• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla
dada y viceversa.
•Resolucióndeproblemasderepartoproporcional.
Conalgunascintasmétricasdecosturasepuedenmedir
decimalesdecentímetrosyalgunasfraccionesdepulgada.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación de
los estudios de la escuela primaria, en el primer contenido se estudian
nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas de
planteamiento de números fraccionarios. Por otra parte, el contenido
referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una regularidad matemática que exige al estudiante un nivel mayor de abstracción. Con
respecto a la simbolización, comienza con el contenido en el que las
literales corresponden a números generales.
Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados
al trazo de las figuras más elementales y de las líneas y puntos notables
del triángulo, construcciones que por sí mismas son importantes en la
geometría y que, además, resultan indispensables para abordar construcciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques.
Manejo de la información. En este bloque los contenidos introducen
un par de temas de este eje: la proporcionalidad se aborda con el
reparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad comienzan con la identificación y la práctica de juegos de azar sencillos.
21
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Bloque 3 / secuencia
Bloque 1
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Avance programático
Aprendizajes esperados:
• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.
• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
Semanas
Eje
Tema
2y3
Sentido numérico y pensamiento algebraico
1y2
Números y sistemas
de numeración
Lección
Contenido
1. Fracciones y
decimales
Conversión de fracciones decimales y no
decimales a su escritura decimal y viceversa.
Representación de números fraccionarios
2. Representaciones en y decimales en la recta numérica a partir
la recta
de distintas informaciones, analizando las
convenciones de esta representación.
Páginas
22 a 27
28 a 33
Resolución y planteamiento de problemas que
impliquen más de una operación de suma y
resta de fracciones.
34 a 37
4. Sucesiones
Construcción de sucesiones de números o de
figuras a partir de una regla dada en lenguaje
común. Formulación en lenguaje común de
expresiones generales que definen las reglas
de sucesiones con progresión aritmética o
geométrica, de números y de figuras.
38 a 44
5
5. De letras y figuras
Explicación del significado de fórmulas
geométricas, al considerar las literales como
números generales con los que es posible
operar.
45 a 50
6
6. Figuras de tres y
cuatro lados
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el
uso del juego de geometría.
51 a 58
7. Las líneas del
triángulo
Trazo y análisis de las propiedades de las
alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en
un triángulo.
59 a 68
8. Reparto
proporcional
Resolución de problemas de reparto
proporcional.
69 a 72
9. Juegos de azar
Identificación y práctica de juegos de azar
sencillos y registro de los resultados. Elección
de estrategias en función del análisis de
resultados posibles.
73 a 77
6y7
7y8
8y9
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Manejo de la
información
4
Forma, espacio
y medida
3. Suma y resta de
fracciones
3y4
Problemas aditivos
Patrones y ecuaciones
Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y
funciones
Nociones de
probabilidad
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Bloque 1 / LECCIÓN 1
L1
Fracciones y decimales
Conversión de fracciones a decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
viceversa
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Al terminar esta secuencia, se espera que los alumnos
conviertan números fraccionarios a decimales y viceversa.
Conceptos principales: fracción decimal, fracción
irreducible, número decimal periódico, truncamiento,
redondeo.
Materiales: calculadora.
Antecedentes
• Valor posicional de las cifras de un número decimal
• Fracciones equivalentes
• División entre números naturales con cociente decimal
• Comparación de números naturales, fraccionarios y
decimales
• Reglas prácticas para multiplicar rápidamente por 10,
100, 1 000,…
• Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones
no decimales mediante la notación decimal
• Operaciones sencillas con números decimales
Ideas erróneas
1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 por el hecho de que 8 es mayor que 4.
4
2.Algunos alumnos pueden pensar que 0.57 es mayor
que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6.
3.Para encontrar una fracción equivalente a una dada,
los alumnos pueden creer que sumando el mismo
número tanto al numerador como al denominador
se obtienen fracciones equivalentes; por ejemplo,
+ 2.
que una fracción equivalente a 47 es 47 +
2
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Situación inicial (pág. 22)
Se busca que el alumno intente comparar un número decimal con uno fraccionario, para que note
que dicha comparación requiere que la fracción se
exprese como número decimal o viceversa.
Explora y construye (págs. 22-27)
Las actividades planteadas en esta sección tienen la intención de que el alumno obtenga procedimientos para convertir números decimales a
fracciones y viceversa. Comenzará por expresar
números decimales como fracciones decimales
y después, empleando equivalencia de fracciones, deducirá un procedimiento para convertir
números decimales a fracciones irreducibles.
Después, aprenderá a convertir fracciones a números decimales mediante la división. Primero
obtendrá números decimales finitos y después
estudiará fracciones como 23 , así como los decimales periódicos. Para terminar, analizará la conversión de decimales periódicos puros y mixtos,
donde se utilizan procedimientos como el redondeo y el truncamiento de cifras decimales.
Regresa y revisa (pág. 27)
Se espera que el alumno resuelva la situación inicial convirtiendo la fracción a número decimal y el
número decimal a fracción, y después sea capaz
de analizar qué conversión le es más útil en la resolución del problema.
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Bloque 1 / LECCIÓN 1
Solucionario y sugerencias didácticas
Bloque
Lección
1
1
1. Fracciones y decimales
d) ¿Yalmultiplicar13.25por10?
e) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar13.25paraobtener1325?
f) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar21.349paraobtener21349?
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Situación inicial
g) ¿Porquénúmerodebendividir21349paraobtener21.349?
Situación inicial
h) Expresenlaoperacióndelincisoanteriorcomounafracción.
Décimos y fracciones de litro
i) ¿Quéfraccióncondenominador100tieneelmismovalorque13.25?
1
Alejandropintóunmurodesucasa,paralocualpreparóunlitrodepinturacon 3 j) ¿Quéfraccióncondenominador10tieneelmismovalorque0.1?
delitrodepinturaamarillayelrestodepinturablanca.Parapintarotromuroconel
mismotono,adquirióenlatienda0.3delitrodelamismapinturaamarillaycompletó
ellitroconpinturablanca.Loscoloresdelosmurosnoquedaroniguales.Explicacuál
fueelerrordeAlejandro.
Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus
múltiplos 100, 1 000, 10 000,...
Lo que ya sabes
Para obtener fracciones equivalentes
se pueden dividir
(o multiplicar)
el numerador y el
denominador de
una fracción por
el mismo número
entero. Explica por
qué 8 es equiva40 1
1
lente a 5 , y 5 es
3
equivalente a 15 .
Entonces, ¿cómo
son 8 y 3 entre
40 15
sí? ¿Por qué?
2 Engrupo,escribanvariosnúmerosdecimalesenelpizarrónyparacadaunoden
unafraccióndecimalquetengaelmismovalor.
Analiza
1. En parejas, respondan lo siguiente.
1
3 Hazlasiguientesuma:0.6+0.07+0.001.
a) ¿Qué representa 3 de una unidad?
b)¿Qué representa 0.3 de una unidad?
a) ¿Quénúmeroobtienes?
c) ¿De qué manera pueden concluir que las cantidades de pintura amarilla de las dos
b) Escribeelnúmeroanteriorcomosumadetresfraccionesdecimalescuyo
numeradorconstedeunasolacifra.
mezclas no son iguales?
c) Escribeelresultadodelasumaanteriorcomounafraccióncondenominador
2. En grupo, discutan qué muro tiene un tono de color amarillo más fuerte y por qué.
1000.
Explora y construye
4 Escribeentucuadernocómoconvertirunnúmerodecimalaunafraccióndecimalydiscutetupropuestaengrupo.
Explora y construye
De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes
5 Hazlosiguiente.
a) Escribeunafraccióndecimalquevalgalomismoque0.5
Enelsistemadecimal,elvalordeundígitoenunnúmerodependedesuposición
enéste;esdecir,elsistemadecimalesposicional.
1 Enparejas,respondanlosiguiente.
5
b) Encuentraunafracciónequivalentea 10 condenominador2.
5
c) Encuentraotrafracciónquetengaelmismovalorque 10 ycuyodenominador
seadistintode2.
a) Elvalordeldígito2esdiferenteenelnúmero0.2queenelnúmero2.¿En
d) Escribealmenostresfraccionesquetenganelmismovalorqueelnúmero
quéconsisteestadiferencia?
0.5ycuyodenominadornosea10,100,1000,…
e) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionescuyodenominador
nosea10,100,1000,…
b) ¿Ycuálesladiferenciadelvalordeestedígitoenlosnúmeros0.2y0.02?
• 12.76= •3.4= •5.78= •2.15=
f) ¿Esposibleexpresarelnúmero2.1comounafraccióncuyodenominadorno
Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su
izquierda.
c) ¿Quéobtienenalmultiplicar0.1por10?
22
sea10,100,1000,…?¿Porqué?
22
g.
pá
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23
g.
pá
23
24/02/12 13:37
Situación inicial
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24/02/12 13:37
b)En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en 0.02 representa dos
centésimas partes de la unidad.
c)1
Página 22
Décimos y fracciones de litro / Analiza
1. a)La tercera parte de la unidad.
b)Tres décimas partes de la unidad.
c)Mostrando que 31 es distinto de 0.3.
2.El muro con el tono amarillo más fuerte tiene mayor
cantidad de pintura amarilla en la mezcla.
Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos cómo creen que pueden comparar un número
decimal con una fracción. En este ejercicio, si se presentan, se pueden discutir las ideas erróneas 1 y 2.
Página 23
d)132.5
f) 1 000
e) 100
g) 1 000
349 h) 21
1 000
i)
1 325 100
j)
1
10
Página 22
2.Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos de cuántas maneras se pueden encontrar fracciones equivalentes, y después, si se presenta, discutir la
idea errónea 3.
3. a) 0.671
b)Si la pregunta se limita a fracciones con una sola
6 + 7 + 1 .
cifra en el denominador, sería 10
1 000
100
De decimales a fracciones decimales y sus equivalentes
c) 1671
000
1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas
partes de la unidad, y en el número 2 representa
dos unidades. Además, 0.2 es la décima parte de 2.
4.El alumno debe deducir que si el número decimal
tiene 1, 2, 3,… cifras decimales, entonces el denominador de la fracción será 10, 100, 1 000,…
Explora y construye
Planeación
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 13
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Bloque 1 / LECCIÓN 1
Bloque
Lección
1
1
• ¿Cuáleselresiduodeladivisión?
Se simplificaunafraccióncuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número distinto de 1 que no sea decimal. Si no es posible hacerlo, se dice que la fracción
es irreducible.
• ¿Podránllegaraobtenercerocomoresiduo,esdecir,terminardedividir?
¿Porqué?
g) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionesirreducibles.
• 0.45= •3.6= •0.1= •2.25=
6 Enparejas,escribanensucuadernounprocedimientoparaconvertirnúmeros
decimalesafraccionescuyodenominadornosea10,100,1000,etc.,enlos
casosqueseaposible.
Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su
equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero.
Este tipo de números se llaman númerosdecimalesfinitos.
2
7 Engrupo,escribanalgunosnúmerosdecimalesenelpizarrónyconviértanlos
ensuequivalenteenfracciones.Comentencuántasfraccionesconelmismo
valorpodríanencontrarparacadanúmerodecimal.
5
Por otro lado, en la actividad 5, al intentar convertir las fracciones 3 y 42 en su equivalente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividiendo. A este tipo de números se les llama númerosdecimalesperiódicos.
2
Si se divide 2 entre 3 para obtener el número equivalente a la fracción 3 se obtiene
0.666…, donde el dígito 6 se repite infinitamente. Lo mismo sucede para la fracción 5 ,
42
ya que ésta vale lo mismo que el número 0.11904761…, en el que la agrupación de cifras
190476 se repite una infinidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden
2
5
representar de la siguiente manera: 3 = 0.666… = 0.6 y 42 = 0.11904761… = 0.1190476,
donde los dígitos que se encuentran bajo la raya se repiten una infinidad de veces.
De fracción a decimales
1 Enparejas,ysinusarlacalculadora,respondanlosiguiente.
2 ensuequia) Dividan2entre10hastaqueobtenganresiduoceroyescriban 10
valenteennúmerodecimal.
Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos:
76 enformadecimal.
b) Escriban 136
y 100
10
•Númerosdecimalesperiódicospuros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un
mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0.6.
2 Validensusrespuestasanterioresconlacalculadora.
3 Engrupo,discutanunprocedimientoparaconvertirunafraccióndecimalensu
equivalenteennúmerodecimalyescríbanloensucuaderno.
•Númerosdecimalesperiódicosmixtos: aquellos en los que después del punto decimal aparecen cifras que no se repiten infinitamente y, después, una misma cifra o
un mismo grupo de cifras que sí se repiten infinitamente. Un ejemplo es el número
0.1190476.
4 Enparejas,realicenlosiguiente.
a) Sinusarlacalculadora,dividan2entre5hastaqueobtenganresiduocero
2
Busca en...
yescriban 5 ensuequivalenteennúmerodecimal.
la primera de las siguientes páginas la
fracción equivalente a una expresión
decimal y, en la
segunda, el decimal
equivalente a una
fracción:
6 Encuentrenelnúmerodecimalequivalentedecadaunalassiguientesfracciones.
b) Escribanlassiguientesfraccionesensuequivalenteennúmerodecimal.
1
3
1
3
4
a) 4 =
• 4 = • 4 = • 8 = • 5 =
7 = b) 1 =
a) 30
7
terminardedividir?¿Porqué?
5
• ¿Quéobservan?
8 Engrupo,conayudadeunacalculadoraobtengantresfraccionesdemodoque
unadeellastengacomoequivalenteunnúmerodecimalfinito,otraunnúmero
decimalperiódicopuroylaterceraunnúmerodecimalperiódicomixto.
24
g.
á
p
24
SFUMA1SB_B1.indd 24
24/02/12 13:37
b) 21
c)Cualquier fracción equivalente a
d)Fracciones equivalentes a
1
2,
1
2.
Ejemplo:
como:
17 5
•
289 50
•
2
4.
3 4 6
6 , 8 , 12.
43
20
f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador
como el denominador de 21 por un número dife10
rente de 10, 100, 1 000,… para obtener una frac42 .
ción equivalente, por ejemplo 20
Página 24
g) Fracciones irreducibles. Ejemplos:
•
18 5
•
1 10
•
9
4
6.Un método es convertir el número decimal a una fracción decimal y, si es posible, simplificarla. De lo contario se puede multiplicar tanto el numerador como
el denominador por un número diferente de 10, 100,
1 000,… para obtener una fracción equivalente.
7. No hay un límite para el número de fracciones equivalentes, ya que hay una cantidad infinita de números
(1, 2, 3,…) que pueden multiplicar al numerador y al
denominador de una fracción dada.
25
g.
á
p
24/02/12 13:37
3.a)0.4
b)• 0.25
• 0.75
• 0.125
• 0.8
4.a) No, porque en cada paso de la división se obtiene
el mismo residuo, que es 2, y al ser éste distinto de
cero el procedimiento no termina.
b)• Después de la primera cifra decimal, que es 1, se
repiten las cifras 190476.
Página 25
•8
• No, porque se repiten los residuos cada seis pasos.
6.a)0.75
b) 2.14
c) 0.09 d) 0.6
7. a)Periódico puro.
b)Periódico mixto.
c)Finito.
8.Por ejemplo, decimal finito:
puro:
1
9
9
8,
decimal periódico
y decimal periódico mixto:
9 .
105
Página 26
De decimales periódicos a fracciones
1. a) El 8 y el 2.
b)Porque ese método sólo funciona para números
decimales finitos.
207 .
250
207 070 707 .
simplificada: 250
000 000
; fracción simplificada:
c) 1828
000
De fracción a decimales
283 ; fracción
d)1828
000 000
1. a)0.2
b)13.6; 0.76
2.Un método es recorrer el punto decimal del numerador hacia la izquierda tantas cifras como ceros tenga
el denominador.
207 070 707
2.a) 250
000 000
SFUMA1TG_B1.indd 14
• Fracción decimal
• Escritura decimal
de un número
• Fracción irreducible
SFUMA1SB_B1.indd 25
e)Fracciones no decimales. Ejemplos:
•
Toma nota
Localiza los siguientes conceptos
en el glosario (págs.
272-276) y anota
con tus propias palabras una explicación y un ejemplo
de cada uno:
25
5
5.a) 10
9
20
51 =
c) 12
b) Considerenlafracción 42 .Dividan5entre42,sinusarlacalculadora,hasta
obtener13cifrasdespuésdelpuntodecimal.
•
2
d) 3 =
7 Indiquensielnúmerodecimalequivalentedecadaunadelassiguientesfraccionesesfinito,periódicopurooperiódicomixto.Luego,sinusarlacalculadora,
verifiquensurespuesta.
2
a) Analicenlafracción 3 dividiendo2entre3sinusarcalculadora.¿Pueden
www.edutics.mx/
ZoK
319 25
1
c)11=
c) Verifiquensusrespuestasalosincisosanterioresconlacalculadora.
5 Respondanlosiguiente.
www.edutics.mx/
Zoz
•
212
b) 99 =
b)Sí será más cercano. Ningún redondeo será exactamente igual porque para cada aproximación se
puede obtener una aproximación mejor.
3.a)0.2666
07/05/12 17:02
15
Bloque 1 / LECCIÓN 1
Bloque
Lección
1
1
De decimales periódicos a fracciones
b) Ahoratrunquenelmismonúmerohasta6cifrasyescribanacontinuación,
paralostruncamientoshasta4y6cifrasdelnúmero0.26,suequivalenteen
1 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.82yrespondanloquesepide.
fracción.
a) ¿Cuálessonlosdígitosqueserepiten?
c) ¿Elcocientedealgunadelasfraccionesanterioresesigualalnúmero0.26?
b) ¿Porquénosepuedeconvertiresenúmerodecimalensuequivalenteen
¿Porqué?
fracciónconelmétodoqueaprendieronenlasección“Dedecimalesafrac-
d) ¿Hayunacantidaddecifrasdecimaleshastalaquesepuedatruncarelnúmero
cionesdecimalesysusequivalentes”?
0.26demodoquelafracciónequivalentealnúmeroresultantetengaelmismo
valorque0.26?¿Ysienlugardetruncarseredondea?Justifiquensurespuesta.
Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número
decimal periódico. Se puede aproximar ese número redondeándolo o truncándolo. El signo
de aproximación es “≈”.
Para redondear un número a cierta cantidad de cifras, se considera el dígito que le sigue a la
última cifra. De ahí hay tres casos:
• Si ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42
• Si el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43
• Si el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que:
i) Si ese dígito es par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52
ii) Si ese dígito es impar, se le suma un 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54
4 Engrupo,haganloqueseindica.
a) Expresenlossiguientesnúmerosdecimalesperiódicosensuequivalenteen
fracción.Loscocientesdelasfraccionesdebentenerporlomenos4cifras
despuésdelpuntodecimal.
• 24.15=
•0.456=
• 4.7=
•0.11432=
b) Discutancuálessonlasdificultadesparaconvertirunnúmerodecimalperiódicoensuequivalenteenfracciónycomentenelerrorquesegeneraal
haceraproximaciones.
c) Redondeen0.82a3cifrasdespuésdelpuntodecimalyescribanacontinuaciónesenúmeroensuequivalenteenfracción.
d) Ahoraredondéenloa6y9cifrasdespuésdelpuntodecimalyexpresenlos
Reflexiona
númerosobtenidosensusrespectivosequivalentesenfracción.
1. Responde lo siguiente en tu cuaderno.
a) ¿Cuáles son las fracciones decimales que no pueden simplificarse?
15
b)El número 1.5 tiene el mismo valor que la fracción 10 . Escribe la fracción que vale lo
mismo que 1.5 cuyo denominador es: 100, 1 000 y 10 000.
c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 45.375 y cuyos
denominadores sean múltiplos de 10.
2 Engrupo,respondanlosiguiente.
a) Comparenloscocientesdelasfraccionesdelosincisoscyddelejercicio
anterior,señalencuálseaproximamásalnúmero0.82yexpliquenporqué.
b) ¿Creenquesielredondeosehaceconmáscifrasdespuésdelpuntoelresultadoserámáscercanoalnúmero0.82?¿Yenalgúnmomentoseráexactamente
Regresa y revisa
igualaesenúmero?Justifiquensusrespuestas.
Regresa y revisa
1 Leenuevamentelasituacióninicialyrespondeentucuaderno.
1
a) Expresa 3 ensuequivalenteennúmerodecimal,redondeadoa4cifrasdecimales,ycompáraloconelnúmero0.3.
1
b) Convierteelnúmero0.3ensuequivalenteenfracciónycompáralocon 3 .
c) ¿ConquéconversiónteparecemássencilloconcluirquelacantidaddepinturaqueusóAlejandroparapintarcadamuronoeslamisma?¿Porqué?
3 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.26yrespondanlosiguiente.
a) Escribanelnúmero0.26con4cifrasdespuésdelpuntodecimal.
A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta 4 cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad
de cifras que se desee. A diferencia del redondeo, no se toma en cuenta si el último dígito es
mayor, menor o igual a 5.
1
2 Engrupo,discutanquepasaríasiexpresaran 3 ensuequivalenteennúmero
decimal,redondeadoaunacifradecimal,ylocomparanconelnúmero0.3.
26
g.
á
p
26
SFUMA1SB_B1.indd 26
27
24/02/12 13:37
SFUMA1SB_B1.indd 27
Página 27
b)Fracciones simplificadas:
•
•
48 303 2 000
47 777 10 000
•
•
22 833
50 000
1 143 243
10 000 000
24/02/12 13:37
fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles
académicos posteriores.
1 313 ; 131 313 .
5 000 500 000
c)No, porque al hacer las divisiones correspondientes se obtienen números decimales finitos.
d)No, porque al truncarlo el resultado es un número
menor. Tampoco se puede truncar si se redondea,
ya que el resultado es un número mayor o menor.
4.a)Fracciones simplificadas:
27
g.
á
p
Reflexiona
1. a A
quellas que en el numerador tengan un número que
no se pueda dividir entre 2 o 5. Esto se debe a que los
divisores de 10 son 2 y 5, y los denominadores de las
fracciones decimales son de la forma 10, 100, 1 000,…
150 ;
b) 100
b)El redondeo y el truncamiento son procedimientos para obtener aproximaciones. Para obtener una
fracción cuyo valor sea el mismo que un número
decimal finito, sería necesario considerar todas las
cifras que están después del punto decimal.
1 500 ; 15 000
1 000 10 000
375 , 453 750 , 4 537 500 .
c)Ejemplos: 45
1 000
10 000
100 000
Regresa y revisa
Página 27
1. a)0.3333, el cual es mayor que 0.3.
Sugerencia didáctica. Se debe discutir con el alumno que el error de la aproximación que se obtiene
al redondear o truncar puede hacerse tan pequeño
como se quiera. Esto se logra considerando una
cantidad mayor de dígitos al efectuar alguno de los
procedimientos. Es importante comentar que hay
procedimientos para obtener de manera exacta la
3 , el cual es menor que 1 .
b) 10
3
c)La respuesta dependerá de cada alumno.
2.Da el mismo resultado. Es la aproximación menos
exacta al ser la menor en cuanto a número de dígitos
considerados.
Planeación
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 15
07/05/12 17:02
16
Bloque 1 / LECCIÓN 2
L2
1
Representaciones en la recta
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones,
analizando las convenciones de esta representación.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos
conozcan y utilicen las convenciones para representar
números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
Situación inicial (págs. 28-29)
En esta sección se busca que el alumno utilice sus
conocimientos previos para ubicar en la recta números decimales (con distintas cantidades de cifras
decimales) y fracciones, y comparar sus valores.
Conceptos principales: recta numérica, unidad
como referencia de medida, densidad numérica.
Explora y construye (págs. 29-32)
Antecedentes
• Valor posicional de las cifras de un número decimal
• Fracciones equivalentes
• Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica
• Identificación de una fracción o un decimal entre dos
fracciones o decimales. Acercamiento a la propiedad
de densidad de los racionales, en contraste con los
números naturales
La intención de esta parte de la secuencia es
que los alumnos aprendan a ubicar un número
decimal o fraccionario en la recta si se conoce
la posición de al menos otro par de números: se
destaca que al definir la posición del cero y la unidad queda determinada la de cualquier otro número natural, decimal o fraccionario. Finalmente,
concluirán que siempre es posible encontrar un
número entre cualesquiera otros dos.
Ideas erróneas
1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 porque 8 es mayor que 4.
4
2.Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6.
3.Es probable que algunos piensen que, una vez definida la posición de dos números, la de un tercero se
puede determinar de manera arbitraria.
4.Los alumnos pueden pensar, si no reflexionan sobre
ello, que entre ciertos decimales o fracciones no hay
más números: por ejemplo, entre 1 y 2 o entre
10
10
0.25 y 0.26.
SFUMA1TG_B1.indd 16
Regresa y revisa (págs. 32-33)
El alumno deberá representar mediante ampliaciones de una recta numérica números con una
mayor cantidad de cifras decimales respecto a los
de la situación inicial.
07/05/12 17:02
17
Bloque 1 / LECCIÓN 2
Solucionario y sugerencias didácticas
Bloque
Lección
1
2
2. Representaciones en la recta
c) ¿De qué modo usaron la información del primer kilómetro (fig. 1.2.1) para saber
cómo ubicar los puntos solicitados del kilómetro representado en la fig. 1.2.2?
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
Situación inicial
d)Para localizar a la corredora que va en segundo lugar, ¿en cuántas partes tuvieron
Situación inicial
que dividir el segmento entre los kilómetros 5 y 6?
La carrera
Corredora
Distancia
(km)
Nancy
5.25
Diana
5.1
Karina
5.7
Lucía
5.01
Renata
5.65
Alicia
5.33
e) ¿A qué otras corredoras pueden localizar dividiendo el segmento como en el inciso
Posición
Enunacarrerademaratón,lasseiscorredorasque
llevabanladelanterahabíanrecorridoenlosprimeros20minutoslasdistanciasquesemuestranenel
cuadro1.2.1.
anterior?
f) ¿Qué necesitaron hacer para localizar al resto de las corredoras?
g)De las seis corredoras, ¿cuáles ya pasaron por el puesto de hidratación que se en-
1
Alolargodeltrayecto,cada 5 dekilómetrohabíauna
cámaradeseguimientodelacarrera,ycada 1 kmun
2
puestodehidratación.
cuentra entre los kilómetros 5 y 6?
2. Completen el cuadro 1.2.2, de modo que expresen en fracciones con denominador
100 las distancias que han alcanzado las corredoras.
Cuadro 1.2.1.
1 Respondelassiguientespreguntas.
Distancia (km)
a) ¿EntreDianayLucía,quiénvaganado?
Corredora
b) ¿YentreKarinayRenataquiénllevaladelantera?
Con decimales o
fracción
Con fracción de
denominador 100
Nancy
2 Completalaterceracolumnadelcuadro1.2.1.
Diana
Karina
3 Ubicaenlasiguienterectalospuestosdehidrataciónylascámarasqueseencuentrenentreloskilómetros0y1.
Lucía
Renata
Alicia
Fig. 1.2.1.
0 km
3. En grupo, a partir de las conversiones anteriores, propongan un procedimiento
para verificar si ubicaron correctamente las posiciones de las corredoras en la figura
1.2.2 y aplíquenlo.
4 Ubicaenlasiguienterectalospuestosdehidrataciónylascámarasquese
encuentrenentreloskilómetros5y6.Después,ubicalasposicionesdelas
corredoras.
Fig. 1.2.2.
5 km
Cuadro 1.2.2.
1 km
Explora y construye
6 km
Explora y construye
El cero y la unidad en la recta
5 Verificaquelasposicionesqueanotasteenelcuadro1.2.1correspondanalo
marcadoenlafigura1.2.2.
1
1 Enlasiguienterecta,marcalospuntosdondeselocalizan 2 y2.
Analiza
1. En parejas, respondan lo siguiente.
0
a) ¿En cuántas partes tuvieron que dividir la distancia que hay entre los kilómetros 0 y 1
2 Ubicael0enunaposicióndiferentealaquetieneenlarectadelafigura1.2.3,
yubicaelnúmero1demodoqueladistanciaentreésteyel0seadiferenteala
quehayentreellosenlafigura1.2.3.
para saber dónde están los puestos de hidratación?
b)¿Y en cuántas hubo que dividirla para localizar las cámaras?
28
28
g.
pá
SFUMA1SB_B1.indd 28
Fig. 1.2.4.
24/02/12 13:37
SFUMA1SB_B1.indd 29
Analiza
Página 28
1. a)En 2.
La carrera
Página 29
1. Sugerencia didáctica. Si se presentan, las ideas erróneas 1 y 2 se pueden discutir.
b) Karina.
a) Diana.
2.
Posición
2.
b) En 5.
Distancia (km)
Con decimales o
fracción
Con fracción de
denominador 100
21
4
525
100
51
10
510
100
57
10
570
100
501
100
501
100
113
20
565
100
533
100
533
100
Planeación
Fecha Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 17
24/02/12 13:37
c)Se puede repetir el procedimiento, ya que son segmentos de igual longitud y con extremos enteros.
d)Basta con 20 pasos.
e)A Nancy, a Diana y a Karina.
f)Por ejemplo, para localizar a las demás corredoras
hay que dividirlo en 100 partes iguales.
g)Renata y Karina, corredoras que van en 2° y 1er lugar, respectivamente.
4
5
1
6
2
3
3.Las cámaras van en las siguientes posiciones: 0.2, 0.4,
0.6 y 0.8 km; el puesto de hidratación debe estar a
la mitad del segmento que va de 0 a 1 km. Pida que
observen que, aunque no se pidió ubicarla, también
hay una cámara en el kilómetro 1.
4.Las cámaras van en las siguientes posiciones: 5.2, 5.4,
5.6 y 5.8 km; el puesto de hidratación debe estar a
la mitad del segmento que va de los 5 a los 6 km.
Aunque no se pidió ubicarlas, también hay cámaras
en los kilómetros 5 y 6.
29
g.
pá
29
Situación inicial
Material Fig. 1.2.3.
1
07/05/12 17:03
18
Bloque 1 / LECCIÓN 2
Solucionario y sugerencias didácticas
Bloque
Lección
1
2
Entre dos números
1
3 ¿Dequédependelaposiciónquetienenel 2 yel2enlafigura1.2.3yenla
figura1.2.4?
1 Enparejas,haganyrespondanlosiguiente.
a) Ubiquenlasfracciones 2 y 5 enlarecta.
3
4 Ubicalosnúmeros 8 y 5 enlasrectasdelasfiguras1.2.3y1.2.4.Enparejas,
3
4
comentenquédiferenciasobservanentrelasposicionesdeestosnúmerosde
unarectaaotra.
7
Fig. 1.2.9.
0
1
b) ¿Quéfraccionescondenominador21sonequivalentesalasanteriores?
5 Conbaseenlasrectasanteriores,discutanengrupodequédependelaposición
c) Observenlosnumeradoresdelasfraccionesanterioresyverifiquenquehayan
decualquiernúmeroenlarectayescribansusconclusiones.
ubicadocorrectamente 2 y 5 enlafigura1.2.9.Expliquencómolohicieron.
3
7
Fracciones y decimales en la recta
d) Considerenlasfraccionesqueobtuvieronenelincisobyexpliquenporquéen
1
1 Enlalecciónanteriorvisteque 10 =0.1.Launidaddelasiguienterectaestá
divididaen10partesiguales.Señalasusvaloresennúmerosdecimales.
esecasonoesposibleencontrarunafracciónentreellascondenominador21.
0
Fig. 1.2.5.
e) ¿Quéfraccionescondenominador42sonequivalentesalasiniciales,esdecir,
1
a 2 y 5 ?
2 Explicacómoubicaríasenlarectaanteriorelnúmero0.25ymárcaloenella.
3
7
f) Considerenlasfraccionesqueobtuvieronenelincisoanterioryobtengan
unaintermediaaellascondenominador42.
3 Enlasiguienterectaubicael0.11.
Fig. 1.2.6.
0
2 Engrupo,discutansisiempreesposibleencontrarotrafracciónentrecualquier
pardefraccionesyporqué.
0.1
3 Señalaenlarectanuméricaelnúmero0.218.
0.2
4 Explicaentucuadernoquéharíasparaubicarel0.112enlarectaanterior.
0.21
0.22
4 Señalaunnúmeroenlarectaanteriorqueestéentreel0.21yel0.218.
5 Engrupo,verifiquensusrespuestasdelosejercicios1a4usandofracciones
decimales.
Fig. 1.2.10.
5 ¿Siempreesposibleencontrarotronúmeroentrecualquierpardenúmeros
6 Enparejas,ubiquenencadarectalosnúmerosqueseindican.
decimales?¿Porqué?
1
a) 2 y3.2.
Fig. 1.2.7.
0
Reflexiona
4
5
b) 3 ,1.4,2y3.
1. En equipos de tres, respondan lo siguiente.
a) Además de usar la recta numérica, ¿de qué otra manera pueden comparar fraccio-
Fig. 1.2.8.
0
4
nes o números decimales? 7 Revisensusrespuestasdelejercicioanteriorengrupoydiscutanquépasos
realizaronparalocalizarcadapunto.
30
SFUMA1SB_B1.indd 30
31
g.
pá
30
g.
pá
31
06/03/12 11:19
3.Un método es dividir el segmento de recta en 100
partes iguales.
Sugerencia didáctica. Se puede preguntar al alumno por qué algunas veces es más práctico ubicar un
número decimal a partir de su equivalente en fracción. Por ejemplo, para localizar el número 5.25 se
tiene que dividir el segmento entre 5 y 6 en 100 partes
iguales, pero, si se toma en cuenta su equivalente en
fracción (21) y se expresa como fracción propia (5 1 ),
4
4
sólo hay que dividir el mismo segmento en cuatro
partes iguales. Una manera de obtener mayor precisión en la localización de números de varias cifras
decimales es aumentar la escala de la recta.
Explora y construye
Página 30
SFUMA1SB_B1.indd 31
24/02/12 13:37
Sugerencia didáctica. Se pueden plantear otras situaciones en las que la posición de dos números esté definida, y pedirle al alumno que localice otras cantidades.
Fracciones y decimales en la recta
1. De izquierda a derecha: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7,
0.8 y 0.9.
2.Dividiendo a la mitad el segmento entre 0.2 y 0.3; el
número 0.25 es el punto medio.
4.Se puede dividir el segmento entre 0.11 y 0.12 en 10
partes iguales y marcar la segunda división.
5. Sugerencia didáctica. Se le pueden plantear al alumno otras situaciones en las que, para ubicar números
decimales en la recta, sea más fácil considerar sus
equivalentes en fracciones.
7. Por ejemplo, se pudo iniciar dividiendo el segmento en
cuatro partes iguales para obtener la unidad y después
hacer más divisiones, como en los ejercicios anteriores.
El cero y la unidad en la recta
3. Depende de la medida de la unidad, es decir, de la
distancia entre el 0 y el 1 y de la posición del 0.
Sugerencia didáctica. Se puede discutir, si es que
se presenta, la idea errónea 3, preguntándole a los
alumnos cuál es el error si, una vez definida la posición de dos números, la ubicación de un tercero se
determina de manera aleatoria.
4.Que el lugar en el que se ubican es diferente en ambas rectas, pues depende de la unidad establecida.
5.La posición de cualquier número en la recta depende
tanto de la posición del 0 como de la distancia entre
el 0 y el 1.
SFUMA1TG_B1.indd 18
Página 31
1. b)
14
21
y
15
21
, respectivamente.
c)Se puede dividir el segmento de 0 a 1 en 21 partes
y situar las dos fracciones donde correspondan;
éstas deben coincidir con las fracciones originales
( 2 y 5 ).
3
7
d)Porque los numeradores son 14 y 15, y no hay ningún número entero entre ellos.
e)
28
42
y
30
,
42
respectivamente.
f)
29
42
2.Sugerencia didáctica. En caso de aparecer, se puede
discutir la idea errónea 4. Si el alumno no responde
07/05/12 17:03
19
Bloque 1 / LECCIÓN 2
Bloque
Lección
1
2
2 Deacuerdoconlarectanuméricadelafigura1.2.11,¿cuálessonlospuntosen
losqueseencuentranFernanda,ElisayDiana,representadasconlasletrasF,E
yDrespectivamente?
b)En su cuaderno, intenten ubicar el número 2.3 en la recta.
2. En grupo, respondan las siguientes preguntas.
a) ¿Cuándo convendría usar la recta para comparar números? • F.
•E.
•D.
3 Enequiposdecuatro,comparensusrespuestasydiscútanlassihaydiferencias.
b)¿Cuál es la dificultad para ubicar el número 2.3 en la recta? 4 Engrupo, comentensielmétodousadoesprácticoparalocalizarelnúmero
21.7428647ydiscutancuándoesútilelcambiodeescalaenlarectanumérica.
Escribansusconclusionesacontinuación.
Regresa y revisa
Regresa y revisa
Enlacarreradelproblemainicial,a1horay20mindelcomienzolastrescorredoras
punterashanrecorridolassiguientesdistancias.
Cuadro 1.2.3.
Corredora
Distancia
(km)
Ana
21.748
Karina
21.746
Patricia
21.745
Resuelve y practica
Toma nota
1. Explica por qué en la recta el número 0.25 se encuentra en el mismo
7
punto que 28 .
1 Ubicaenlarectalaposicióndecadacorredora.Paraello,usalasrectasnuméricasdelafigura1.2.11,lascualesrepresentan:
•
•
•
2. Inventa una situación problemática cuya solución se obtenga al comparar 3 y 0.92 en la recta y pídele a un compañero que la resuelva.
Localiza recta numérica en el glosario (págs. 272-276)
y anota con tus
propias palabras
una explicación
y un ejemplo del
término.
15
Ladistanciaentreelkilómetro21yel22.
Laampliacióncorrespondientealadistanciadelos21.7kmalos21.8km.
Laampliacióndeladistanciadelos21.74kmalos21.75km.
(LasletrasF,EyDlasutilizarásmásadelante.)
3. Encuentra tres números entre cada una de las siguientes parejas.
8
a) 0.5 y 4 . 21
1
6
b) 4 y 9 . 22
c) 0.12 y 0.76. 5
6
d) 11 y 11 . 4. A partir de la ubicación de los números 0.5 y 0.7 en la recta de la figura
1.2.12, determina la posición de las siguientes letras.
21.7
F
21.8
•W.
•X.
• Y.
• Z.
W
X
0.5
0.7
Y
Z Fig. 1.2.12.
5. En tu cuaderno, traza una recta numérica y las ampliaciones necesarias
para localizar los números 5.65, 7.13 y 10.87.
Fig. 1.2.11.
32
21.74
E
D
21.75
33
g.
á
p
32
g.
á
p
SFUMA1SB_B1.indd 32
33
24/02/12 13:37
cómo puede encontrar una fracción entre cualquier
par de fracciones, se le puede pedir que encuentre
más entre 28 y 30 . Para esto, pregunte por las frac42
42
ciones equivalentes con denominador mayor a 42
de esas dos fracciones.
5.Sí; por ejemplo, se puede sumar los dos números y
dividir el total entre 2 para encontrar otro que se encuentre a la mitad de ellos.
SFUMA1SB_B1.indd 33
Sugerencia didáctica. Como en la lección anterior, es
importante comentar que hay procedimientos para
obtener de manera exacta la fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles académicos posteriores.
Regresa y revisa
Página 33
Reflexiona
1. a)Un método es el sugerido en el ejercicio 1 de la página 31. Para comparar los numeradores hay que modificar las fracciones de modo que tengan el mismo
denominador. En el caso de los decimales, se pueden
comparar dígito a dígito, de izquierda a derecha, hasta
encontrar cuál es mayor.
Página 32
2.a)Cuando el número sea un decimal finito, o cuando ubicarlo no requiera una división de la recta en
muchas partes.
b)No sirve dividir el segmento comprendido entre los
números 2 y 3 en una cantidad finita de partes. Al
pasar 2.3 a su forma de fracción sólo se obtiene una
aproximación, pues hay que redondearlo o truncarlo.
2.• 21.73
• 21.741
• 21.743
4.Se necesita un cambio de la escala cada vez que se
considere un dígito más a la derecha del punto; por
lo tanto, implica muchas rectas a escala.
Resuelva y practica
1. 0.25 es equivalente a
2.R. L.
3.a)Ejemplos: 3 , 1, 5 ,
c) Ejemplos: 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6.
d) Ejemplos: 51 ,
52
,…, 58 , 59 .
110 110
110 110
4.• 0
• 0.8
• 0.3
•1
Planeación
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 19
7
.
28
6 7
, .
4
4 4 4
10 11 12
,
,…, 22 , 23 .
b) Ejemplos: ,
36 36 36
36 36
Fecha Material 24/02/12 13:37
07/05/12 17:03
20
Bloque 1 / LECCIÓN 3
L3
Suma y resta de fracciones
Resolución y planteamiento de problemas que
impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 1 del bloque 5: resolver problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y
negativos.
Situación inicial (pág. 34)
En primaria, los alumnos aprendieron a efectuar
sumas y restas sencillas de números fraccionarios,
por lo que con esta situación inicial se busca que
se den cuenta de que, para hallar la solución a ciertos problemas, a veces es necesario hacer más de
una conversión para obtener el mismo denominador y así poder efectuar la operación.
Conceptos principales: suma y resta de fracciones.
Materiales: calculadora.
Antecedentes
• Fracciones equivalentes
• Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios
• Resolución de problemas de suma o resta de fracciones con denominadores diferentes
• Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios
Ideas erróneas
1. En una suma o resta de fracciones, algunos alumnos
pueden sumar o restar por una parte los valores del
numerador y por otra los del denominador para obtener los valores de cada elemento.
2. Algunos alumnos pueden pensar que si dos fracciones son iguales, la parte del total que representan es
igual aunque los totales sean diferentes; por ejemplo,
que 31 de 10 sea igual a 31 de 20.
SFUMA1TG_B1.indd 20
Explora y construye (págs. 34-37)
La intención de las actividades de esta sección es
que el alumno logre plantear ciertos problemas
y realice las conversiones necesarias para hacer
las sumas y restas que conduzcan a la solución.
Algunas veces, antes de hacer el planteamiento, se le pedirá hacer estimaciones mentales. El
alumno también inventará algunos problemas
que impliquen sumas y restas de números fraccionarios. Con todo lo anterior se busca que haga
una correcta interpretación del significado de las
fracciones en los problemas.
Regresa y revisa (pág. 37)
En esta sección se busca que el alumno sepa interpretar que el valor que representa una fracción
depende del valor del total.
07/05/12 17:03
21
Bloque 1 / LECCIÓN 3
Solucionario y sugerencias didácticas
Bloque
Lección
1
3
3. Suma y resta de fracciones
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
Situación inicial
todasdelmismotamaño.Cincopersonascomieron,cadauna,unarebanada
depasteldefresayotradedurazno,ycuatropersonassólocomieronuna
rebanadadepasteldefresacadauna.
Usandosólofraccionesrespondanlosiguienteensucuaderno.
• ¿Quépartedelpasteldedospisosrepresentantodaslasrebanadasde
pasteldefresaquesobraron?
• ¿Quépartedelpasteldedospisosrepresentantodaslasrebanadasde
pasteldeduraznoquesobraron?
• Escribanunasumadefraccionesquepermitadeterminarquépartedel
pastelsobró.Después,realicenlasuma.
• Apartirdelnúmerototalderebanadasqueseconsumieron,escribanuna
restadefraccionesquepermitadeterminarquépartedelpastelsobró,
yverifiquenquehayanobtenidoelmismoresultadodelpuntoanterior.
Situación inicial
Consumo de agua
EncasadeRosarioalmacenanelaguaenuntinaco,elcualsellenaaliniciodecada
díaydespuésnovuelvearecibiragua.Ellíquidoseusadiariamentedeestamanera:
lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartapartedesucapacidaden
lavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina.¿Quépartedeltinaco
quedaalfinaldecadadía?
c) Jorgelepidióprestadaasutíosucamionetaparaentregarmercancía.
Cuandoempezóausarelvehículo,eltanquetenía 43 desucapacidadde
gasolina.Luegodeunrecorrido,Jorgenotóquehabíagastado 61 delaca3 de
pacidadtotaldeltanque.Siduranteelrestodeldíaseconsumieron 10
lacapacidadtotaldeltanque:
Analiza
1. En parejas, respondan lo siguiente.
a) Si un día no se lava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría?
• Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquegastó
b)Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría?
Jorgeesedía.
2. Resuelvan el problema inicial y justifiquen su respuesta.
• Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquequedó
despuésdelrecorrido.
Explora y construye
Explora y construye
d) Enunabalanzadedosplatossecolocaunobjetodepesodesconocidoenelderechoyunacargaformadaporvariaspesascon
untotalde5kgenelplatoizquierdo.Perolabalanzanoqueda
equilibrada;paralograrlo,selequitanalplatoizquierdodospesas
de 31 kgyunade 81 kgyseleagregandospesasde 21 kgyunade
1 kg.¿Cuántoskilogramospesalacargadelplatoderecho?
4
Acopio, reparto, carga, equilibrio…
1 Enparejas, resuelvanlossiguientesproblemas.
a) Enunaescuelaserealizaunarecoleccióndeperiódicosviejosparavenderlos
ydonarloqueseobtengaalaCruzRoja.Elprimerdía,unequipodecuatro
6 kg, 1 kgy 2 kg.
alumnosllevólassiguientescantidadesdepapel: 37 kg 10
2
3
•
Para encontrar más problemas
de fracciones, consulta Claude
Irwin Palmer et al. (2003). Matemáticas prácticas. Barcelona.
Reverté.
Cadaunoestimementalmentelasumadelascantidadesanterioresy,
apartirdeello,digacuántofaltaparacompletarunnúmeroenterode
1
4
1
8
kilogramos.
•
Busca en...
el siguiente libro información
sobre la resolución de problemas con fracciones en el antiguo Egipto: Miguel Ángel Pérez
García (2009). Una historia de las
matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes.
Madrid. Visión Libros.
1
3
Haganloscálculosnecesariosparaobtenereltotaldelperiódicojuntado
1
3
1
2
?
1
2
ycuántofaltaparaformarpaquetesde1kgdepapelcadauno.Expresen
Fig. 1.3.1.
surespuestacomofracción.
•
2 Engrupo,haganlosiguiente.
a) Redactendosproblemascuyaresoluciónimpliqueoperacionesde
sumayrestadefracciones.Antesdehacerloscálculosrespectivosestimenmentalmentelosresultadosydespuésresuelvanlos
problemas.
b) Discutancuáleslautilidaddeestimarresultadosmentalmente.
c) Analicenquéotroproblemaoproblemasdelejercicioanteriorpodríanhaberseresueltomedianteestimaciónyexpliquenporqué.
Expliquencómodeterminaroncuáleslacantidadquefaltaparaformar
unnúmeroenterodepaquetes.
•
Usenlacalculadoraparacomprobarsusresultados.
b) Enungrupodeprimerodesecundariatresalumnasfestejaronsucumpleaños.Para,ellosuscompañeroscompraronunpasteldedospisosdelmismo
tamaño:unodefresayotrodedurazno.Secortaron10rebanadasporpiso,
34
g.
pá
34
SFUMA1SB_B1.indd 34
Consumo de agua / Analiza
3
8
b)
SFUMA1SB_B1.indd 35
1
4
2.Queda una octava parte del total de la capacidad del
tinaco pues 1 – 21 – 41 – 81 = 81 .
Sugerencia didáctica. El problema implica tres restas; es necesario verificar que en cada caso se haga
correctamente la conversión necesaria para obtener
el mismo denominador, y así restar las fracciones. Es
posible que algún alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador. Si la idea
errónea 1 aparece, se puede discutir.
Explora y construye
Página 34
Acopio, reparto, carga, equilibrio…
1. a)• Es muy probable que respondan que es difícil hacerlo mentalmente.
Página 35
3 20
5 = 1
• 20
4
1
5 = 6 = 3 • 20 + 20
20
10
14 = 6 = 3
• 1 – 20
20
10
1
3
7 14
c) • 6 + 10 = 30 = 15
7 = 17
• 43 – 15
60
1
1
d) 5 – 3 – 3 – 81 + 21 + 21 + 41 =
b)•
Planeación
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 21
11 kg
5 24
2.a)R. L.
b)Sirve cuando no se requiere una respuesta exacta para resolver un aspecto de una situación; por
ejemplo, para saber si una cantidad fue menor o
mayor a otra especificada.
Fecha Material 24/02/12 13:37
41 kg. Faltan 169 para hacer paque • Se juntaron 2 210
210
tes de 1 kg.
• A una unidad, en este caso 1 kg, se le resta la
cantidad fraccionaria del total recolectado.
Página 34
1. a)
35
24/02/12 13:37
Situación inicial
35
g.
pá
07/05/12 17:03
22
Bloque 1 / LECCIÓN 3
Bloque
Lección
1
3
d) Comentenloquehicieronpararesolverlosproblemas.Identifiquencuándo
usaronrestasdefraccionesycuándosumasdefracciones,yporquéfueasí.
5 Cadaquienplanteeunproblemaconlaoperaciónqueeligió.
6 Expliquenelplanteamientoasuscompañerosdeequipo.
3 Enequiposdetres,resuelvanelsiguienteproblema.
Alejandrahizounlibrerodemaderaylesobróunatabla.SuamigoIsaíaslepidió
laquintapartedelatablaparaterminardeconstruirunamesa;Terequisodos
quintaspartesdelatablaparaunarepisayRodolfo,unaquintapartedelatabla
parahacerunjoyeroparasuesposa.
7 Elijanjuntosunodelosproblemas,resuélvanloyexplíquenloalgrupo.
Reflexiona
b) ¿QuépartedelatablalequedabaantesdedarlelaquintaparteaRodolfo?
1. José leyó que hay un límite de dobleces de una hoja de papel sobre sí misma. Toma
cualquier hoja de papel y dóblala sobre sí misma el mayor número de veces que
puedas y después responde lo siguiente.
c) ¿Quépartedelatablalequedó?
a) ¿Qué fracción de la hoja de papel representa el tercer doblez?
a) ¿QuépartedelatablaentotalregalóAlejandra?
4 Engrupo,considerenquelalongituddelatabladeAlejandraerade3metrosy
respondanlosiguienteensucuaderno.
a) ComoIsaíasrecibió 51 detabla,entonceslalongituddesupedazoesde
3 metros.Expresenconfraccionesdemetrolaslongitudesdelospedazos
5
deTereyRodolfo.
b) ExpliquencómoobtendríanlalongituddelpedazoquelequedóaAlejandra
enfraccionesdemetro.
b)¿Y el cuarto doblez?
c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces de la hoja,
¿el resultado será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta.
d)Verifica tu respuesta al inciso anterior efectuando la suma de las fracciones.
Invención de problemas
Regresa y revisa
1 En equiposyconbaseenlasimágenessiguientes,respondanlaspreguntas.
Regresa y revisa
1 Enparejas,leanlasituacióninicialyelsiguienteplanteamiento.Después,respondan.
I
Fig. 1.3.2.
II
EltinacodelacasadeRosariotieneunacapacidadde1200L.Losvecinostienenuntinacode2000Ldecapacidadquetambiénsellenaaliniciodeldíay
despuésnovuelvearecibiragua;ellosempleanelaguadeltinacocadadíadela
siguienteforma:lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartaparte
desucapacidadenlavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina.
a) Observenlafigura1.3.3,lacualrepresentaalosdostinacos,ydibujenqué
partedelacapacidaddecadaunodelostinacosseocupóparaelbaño,cuál
paralavarropaycuálparalacocina.
III
a) ¿Quéfraccióndelcírculorepresentasuáreasombreada?
• I. • II. • III. b) ¿Quéfraccióndecadacírculonoestásombreada?
• I. • II. • III. b) ¿Quéfraccióndelacapacidaddeltinacode
2 Cadaintegrantedelequipoelijauncírculodelafigura1.3.2,planteeunproblema
apartirdeélyexpliquesuplanteamientoasuscompañeros.
quédifierenelconsumodeaguadelafamilia
b) 87 – 37 + 71 c) 87 – 41 + 23 d) 45 – 35 – 81 e) 57 – 61 – 23 f) 25 + 57 + 51 Nivel de
1 200 L
deRosarioyeldelosvecinos
4 Enequiposdetres,cadaunoelijaunadelassiguientesoperaciones.
a) 4 21 + 31 – 45 Nivel de
2 000 L
losvecinosquedaalfinaldeldía?
2 Engrupo,respondanenquéseparecenyen
3 Elijanunodelosproblemasqueplantearonenelejercicio2,resuélvanloyexplíquenloalgrupo.
Vecinos
Rosario
36
g.
á
p
36
SFUMA1SB_B1.indd 36
Página 36
4
5
6
a) 5
4.
metros y
b)
3
5
2
5
c)
1
5
metros, respectivamente.
b)Ejemplo: le queda 51 de la tabla, lo mismo que le
dio a Isaías, así que es la misma longitud, es decir,
3 metros.
5
Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al alumno qué sucedería si la longitud de la tabla fuera, por
ejemplo, de 4, 5, o 6 metros. Si surge la idea errónea
2, discútanla.
Invención de problemas
a) • I. 21 • II. 41 • III.
b) • I. 21 • II. 43 • III.
1
8
7
8
2.Por ejemplo, para el círculo I: Juan compró una gelatina circular para celebrar su cumpleaños en la escuela.
Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿qué
parte de la gelatina sobró?
3.Solución del problema anterior: sobró la mitad.
37
g.
á
p
37
24/02/12 13:37
c)Depende de cada alumno, aunque en general es
necesario escribir los cálculos para esos problemas.
3.a)
Fig. 1.3.3.
SFUMA1SB_B1.indd 37
24/02/12 13:37
Página 37
5.Por ejemplo, Roberto tiene que llenar un contenedor
de 5 litros de agua. Primero agregó 4 21 litros, después
1
4
3 de litro. Si retiró 5 de litro de lo que había en el
contenedor, ¿cuántos litros hacen falta para llenarlo
por completo?
29 de litro.
7. Respuesta del ejemplo anterior: le faltan 30
Reflexiona
1
8 1
b) 16
1. a)
c)Menor, pues siempre falta la mitad del valor representado en cada doblez para completar la unidad.
1
15
d) 21 + 41 + 81 + 16
= 16
Regresa y revisa
Página 37
1. b) 81
2.Se parecen en que las fracciones de consumo del volumen total de los tinacos son las mismas en ambos
casos. Difieren porque los tinacos no tienen la misma
capacidad.
Sugerencia didáctica. Si aparece aquí la idea errónea 2, se puede discutir.
SFUMA1TG_B1.indd 22
07/05/12 17:03
Bloque 1 / LECCIÓN 4
L4
Sucesiones
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación
en lenguaje común de expresiones generales que definen
las reglas de sucesiones con progresión aritmética o
geométrica, de números y de figuras.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos
representen sucesiones de números o de figuras a partir
de una regla dada, y viceversa.
Conceptos principales: sucesiones, elemento de una
sucesión, consecutivo en una sucesión, progresión aritmética, progresión geométrica.
Materiales: para cada equipo de cuatro, aproximadamente medio kilogramo de frijoles o algún otro tipo de
semilla; calculadora.
Antecedentes
• Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones de números o figuras que tengan progresión
aritmética o geométrica, así como sucesiones especiales
• Construcción de sucesiones a partir de la regularidad
• Resolución de problemas que implican identificar la
regularidad de sucesiones con progresión aritmética,
geométrica o especial
Ideas erróneas
1. Algunos alumnos pueden confundir las sucesiones
con progresión geométrica con las sucesiones especiales, por ejemplo, la sucesión 1, 4, 9, 16, 25,…, que
se forma al elevar al cuadrado los números naturales,
tiene un cociente diferente entre cada par de términos sucesivos.
SFUMA1TG_B1.indd 23
23
Situación inicial (pág. 38)
Se propone una actividad en la que los alumnos
usarán como ejemplo una sucesión sencilla de
figuras para hacer sus propias sucesiones con
semillas. Mediante preguntas se analizará la sucesión dada para tener una aproximación de la
regularidad con la que está formada.
Explora y construye (págs. 39-44)
A lo largo de varias actividades, el alumno repasará las similitudes y diferencias entre las sucesiones, de figuras y de números, con progresión
aritmética y progresión geométrica. Se le pedirá
que analice cómo se relacionan los términos de
una sucesión y que obtenga, a partir de esa relación y en lenguaje común, la regla que define la
sucesión. También construirá sucesiones a partir
de una regla dada en lenguaje común.
Regresa y revisa (pág. 44)
El objetivo de esta actividad, en la que se presenta
una sucesión de figuras que no tiene progresión
aritmética ni geométrica, es que el alumno determine la regla que define la sucesión, y sea capaz
de encontrar un término específico.
07/05/12 17:03
24
Bloque 1 / LECCIÓN 4
Solucionario y sugerencias didácticas
Bloque
Lección
1
4
4. Sucesiones
Explora y construye
Sucesiones de figuras
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión
aritmética o geométrica, de números y de figuras.
Situación inicial
Explora y construye
1 Dibujaloselementosquefaltanencadaunadelassiguientessucesiones.
Situación inicial
Con semillas
II
I
Enequiposdecuatro,realicenlosiguiente.
1 Llevenaclaseaproximadamentemediokilogramodefrijolesodealgúnotro
tipodesemilla.
2 Observenelsiguienteejemplodeunasucesióncuyoselementossonfiguras.
III
Fig. 1.4.2.
2 Utilizalassemillasparareproducirlassucesionesyconstruyelasfigurascorrespondientesaloslugares5ºy6ºdecadasucesión.
Fig. 1.4.1.
3 Enparejas,respondanIosiguientesobrelasucesiónI.
3 Divídanseendosparejasycadaunapropongacómoconstruirunanuevasucesióncuyoselementosseanfiguras.
a) ¿Cómoseconstruyeelsegundoelementodelasucesión?
4 Construyanlasprimerascuatrofigurasdelasucesiónqueplanteólaotrapareja.
b) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles
5 Asegúrensedequelasconstruccionesquerealicelaotraparejaseancorrectas.
Sinoloson,repítanleslaexplicaciónparaquelasrehagan.
quetienelafiladesubase?
c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles
quesenecesitanparasuconstrucción?
Analiza
a) ¿Qué entiendes por sucesión?
d) ¿Cómoyconcuántosfrijolesconstruistelasextafiguradelasucesión?
b)Describe el primer elemento de la sucesión de la figura 1.4.1.
4 Engrupo,expliquencómoconstruirunafiguradelasucesiónIapartirdela
figuraquelaantecede.
c) ¿Cómo se construye el segundo elemento de la figura 1.4.1?
5 Enparejas,respondanlosiguientesobrelasucesiónII.
a) ¿Cómoseconstruyeelcuartoelementodelasucesión?
d)¿Cuántas semillas más tiene el segundo elemento respecto al primero?
e) ¿Cuántas semillas más tiene el tercer elemento respecto al segundo?
b) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles
f) Señala la regularidad que hay en el aumento del número de semillas en esa sucesión.
quetienelafiladesubase?
c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafiguraysunúmerodefilas
38
SFUMA1SB_B1.indd 38
38
g.
pá
24/02/12 13:37
Situación inicial
Página 38
Con semillas
3 a 5.Sugerencia didáctica. Hay que verificar que las
construcciones hechas por los alumnos sigan una
regla. De no ser así, se les puede orientar con preguntas que guíen el análisis de la diferencia o el
cociente entre cada par de términos consecutivos
de la sucesión.
Analiza
1. a) Una posible respuesta es: una sucesión es una colección de números o figuras que se forma a partir de
una regla dada.
b)Un frijol solo (o semilla).
c)Se agregan dos frijoles más (o semillas) a la derecha del frijol inicial, formados en línea vertical.
d)2
e)2 f) En cada paso se agregan 2 frijoles.
Explora y construye
Página 39
Sucesiones de figuras
3.a)Se coloca una columna de 2 frijoles a la izquierda
del frijol inicial.
b)El número de frijoles que hay en la base y el lugar
que ocupa son iguales.
c)Es la suma de los números desde 1 hasta el lugar
que ocupa la figura.
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horizontales?
39
g.
pá
39
SFUMA1SB_B1.indd 39
24/02/12 13:37
d)Con 21 frijoles. Se coloca un frijol, después se
agrega una columna de 2 a la izquierda del primero; luego una de 3 a la izquierda de los anteriores,
y así sucesivamente hasta agregar una columna de
6 frijoles.
4.Se puede emplear el procedimiento anterior.
5.a) Se colocan 8 frijoles en dos columnas juntas, de 4
frijoles cada una.
b)La fila de la base siempre tiene dos frijoles, así que
no hay relación.
c)El número de filas de frijoles y el lugar que ocupa
son iguales.
Página 40
d)El número de frijoles necesarios es el doble del lugar que ocupa la figura.
e)Con 12 frijoles. Se colocan dos frijoles en una fila,
después se agregan arriba filas de 2 frijoles, y así
sucesivamente hasta obtener 6 filas.
6.Se puede emplear el procedimiento anterior.
7. a) 5
b)3
c)En el primer lugar es igual. En el segundo es igual
al lugar que ocupa más 1. En el tercero es igual al
lugar que ocupa más 2, y así sucesivamente.
d)El número de frijoles necesarios es el lugar que
ocupa la figura multiplicado por sí mismo.
e)Con 25 frijoles. Se coloca un frijol, después una
fila de tres frijoles debajo, dejando el frijol inicial
en el centro; después se coloca otra fila debajo,
dejando la fila de 3 frijoles en el centro, y así sucesivamente.
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25
Bloque 1 / LECCIÓN 4
Lección
Bloque
1
4
d) ¿Quérelaciónhayentreelnúmerodefrijolesquesenecesitanparaconstruir
f) Elnúmero248seencuentraenellugar124delasucesión.¿Quénúmerose
unafiguradeestasucesiónyellugarqueocupa?
encuentraenellugar125?Justifiquensurespuesta.
e) ¿Cómoyconcuántosfrijolesseconstruyelasextafiguradelasucesión?
En una sucesión, el elemento que le sigue a otro es el consecutivo de ese elemento.
g) ¿Quédiferenciahayentredoselementosconsecutivoscualesquieradela
6 Engrupo,expliquencómoconstruircualquierfiguradelasucesiónII.
sucesión?
7 Enparejas,respondanlosiguientesobrelasucesiónIII.
2 Engrupo,discutancuáleslareglaparaformarlasucesiónanterior.
a) ¿Cuántosfrijolestienelafiladelabasedelafiguraqueseencuentraenel
tercerlugardelasucesión?
A las colecciones de números o figuras que están ordenados a partir de una regla se les
llama sucesiones.
b) ¿Cuántasfilashorizontalestieneesafigura?
c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles
3 Comparaladefiniciónanteriordesucesiónconlaquedisteenelincisoadela
secciónAnaliza.
quetieneenlafiladesubase?
d) ¿Quérelaciónhayentreunafigurayelnúmerodefrijolesquesenecesitan
4 Enparejas,analicenlasiguientesucesión:6,10,14,18,22,…,yrespondanlas
preguntas.
parasuconstrucción?
a) ¿Quénúmeroestáenellugar10delasucesión?
e) ¿Cómoyconcuántosfrijolesseconstruyelaquintafiguradelasucesión?
Busca en...
www.edutics.mx/
ZoH
actividades y
ejercicios acerca
de sucesiones.
b) ¿Quénúmeroestáenellugar20delasucesión?
c) ¿Perteneceelnúmero37alasucesiónanterior?Argumentensurespuesta.
8 En grupo,expliquencómoconstruirunafiguradelasucesiónIIIapartirdela
figuraquelaantecede.
d) ¿Quérelaciónhayentreunnúmerodelasucesiónyellugarqueocupaenla
9 Anotaencuáldelastressucesionesladiferenciaentrelacantidaddefrijolesdedos
misma?
e) ¿Quédiferenciahayentreunelementoysuconsecutivoenlasucesión?
figurasconsecutivasessiemprelamisma.
10 Enparejas,diseñenunasucesióndefrijolesenlacuallacantidaddesemillas
aumentesiemprelomismodefiguraafiguraydibújenlaensucuaderno.
f) ¿Cómopuedenobtenerelnúmeroqueseencuentraeneldécimolugara
11 Engrupo,comparensussucesionesyexpliquensuconstrucción.
partirdelnúmeroqueseencuentraenelnovenolugar?
Sucesiones con progresión aritmética
5 Engrupo,haganlosiguiente.
a) Discutancuáleslareglaparaformarlasucesióndelejercicioanterior.
b) Proponganotrastressucesionesdondeladiferenciaentredoselementos
consecutivossealamismaqueenlasucesióndelejercicioanterior,ydiscutan
cuántassucesionesconesacaracterísticapodríanconstruir.
1 Enparejas,analicenlasiguientesucesióndenúmeros:2,4,6,8,10,12,…,yrespondanlaspreguntas.
a) ¿Cuáleselprimerelementodelasucesión?
b) ¿Quénúmerohayeneltercerlugardelasucesión?
A las sucesiones que tienen una diferencia constante entre sus elementos consecutivos se les llama sucesionesconprogresiónaritmética. Por ejemplo, 4, 7, 10, 13, 16,…
es una sucesión de esta clase, pues cada uno de sus elementos se obtiene al sumar 3
unidades al anterior.
c) ¿Quénúmeroestáenladécimaposicióndelasucesión?
d) ¿Quénúmeroestáenellugar50delasucesión?
e) ¿Quérelaciónhayentreunnúmerodelasucesiónyellugarqueocupa?
40
40
g.
á
p
SFUMA1SB_B1.indd 40
41
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8.Se puede emplear el procedimiento anterior.
9.En la sucesión II.
10.Una sucesión con esas características es la que se
da con la siguiente regla: primer paso, colocar un
frijol; segundo paso, agregar una columna de 2 frijoles a la derecha del frijol inicial; tercer paso, agregar
una columna de 2 frijoles a la figura del paso dos, y
así sucesivamente.
Sucesiones con progresión aritmética
1. a)2
b) 6
c)20
d) 100
e)El número de la sucesión es el doble del lugar que
ocupa.
Página 41
f) 250, ya que es el doble de 125, es decir, del lugar
que ocupa.
g)2
2. La sucesión se puede generar sumándole 2 al término anterior, o multiplicando por 2 la posición que
ocupa el número.
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Página 42
6.a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
b)No. Todos los números acaban en 5 o en 0.
c)90
d)Un procedimiento es multiplicar 79 × 5.
Planeación
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 25
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3. Sugerencia didáctica. Es importante verificar que los
alumnos comprendan que las sucesiones tienen una
regla que define cómo obtener un término a partir de
otro.
4.a) 42
b)82
c)No. Todos los números de la sucesión son pares.
d)El número es igual al lugar que ocupa en la sucesión multiplicado por 4 más 2.
e)El consecutivo es igual al anterior más 4.
f) Se le suma 4 al noveno término.
5.a)Se empieza por el número 6. Luego se le suma 4 a
cada paso.
b)Algunos ejemplos son:
1, 5, 9, 13, 17,…
2, 6, 10, 14, 18,…
11, 15, 19, 23,…
Fecha Material 41
g.
á
p
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26
Bloque 1 / LECCIÓN 4
Bloque
Bloque
1
1
6 Ahoraescribanlosprimeroscincotérminosdedossucesionesgeométricasdis-
Usa tu calculadora
tintascuyoprimertérminosea6.
Oprime en una calculadora básica la secuencia de teclas
.
El número que apareció es el primer elemento de una sucesión cuyos elementos suce…
sivos se obtienen al oprimir las teclas
¿Qué sucesiones se obtienen con las siguientes secuencias de teclas?
…
…
= = = …
Escribe una secuencia de teclas para obtener tu propia sucesión y compártela con un
compañero.
7 Engrupo,escribanenelpizarrónalmenoscincosucesionesgeométricas.Un
compañeropuededecireltérminoinicialyotro,ladiferenciaentrelostérminos
consecutivos.
Situación inicial
Reflexiona
1. ¿ Tiene la sucesión 2, 4, 16, 256,… una progresión aritmética, una geométrica o
ninguna de las dos? Justifica tu respuesta.
6 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) ¿Cuálessonlosprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlosnúGlosario
múltiplo de un
número.
Aquel que se obtiene al multiplicar
ese número por un
número natural (1,
2, 3, 4,…).
Regresa y revisa
merosquesonmúltiplosde5?
b) ¿Esel19unnúmerodeesasucesión?Justificaturespuesta.
1 Analizalasucesiónyrespondelaspreguntas.
c) ¿Quénúmeroseencuentraenellugar18delasucesión?
d) Escribanensucuadernounprocedimientoparadeterminarquénúmeroocu-
Fig. 1.4.3.
paellugar79delasucesión.
a) Describecómoseconstruyeestasucesión.
Toma nota
Localiza elemento
de una sucesión
en el glosario
(págs. 272-276)
y anota con tus
propias palabras
su explicación
y un ejemplo.
Puedes auxiliarte
investigando en
un libro.
7 Enparejas,escribanlosiguiente.
a) Losprimeros10elementosdelasucesión4,6,8,…,lacualestáformadapor
losnúmerosimparesmástresunidades.
b) Losprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlosnúmerospares
múltiplosdelnúmero5.
c) Ademásdel5,¿dequéotrosnúmerossonmúltiplosloselementosdeesta
sucesión?
b) Escribelosprimeros10elementosdeunasucesiónformadaporlacantidad
defrijolesqueutilizasenlaconstruccióndecadafigura.
c) ¿Tieneprogresiónaritméticalasucesiónqueescribiste?
Explora y construye
d) ¿Tieneprogresióngeométrica?
e) ¿Cómodeterminascadaelementodelasucesión?
8 Engrupo,escribanlosprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlos
f) ¿Quénúmeroseencuentraenellugar15delasucesióndenúmerosque
múltiplosimparesde5,más3unidades.
escribiste?
g) Describeelprocedimientoqueutilizasteparaencontrarelnúmero.
Sucesiones con progresión geométrica
1 Enparejas,analicenlassiguientessucesionesnuméricas,comparensuscomportamientosyrespondanlaspreguntas.
• 2,4,6,8,10,…•2,4,8,16,32,…
a) ¿Cuálocuálesdeestassucesionestienenprogresiónaritmética?Argumenten
surespuesta.
42
SFUMA1SB_B1.indd 42
Resuelve y practica
1. Determina si las sucesiones 3, 6, 9,... y 6, 18, 54,... tienen una progresión aritmética o
una geométrica y describe sus diferencias en tu cuaderno.
2. Construye los primeros quince elementos de la sucesión formada por los múltiplos
42
g.
á
p
24/02/12 13:37
pares de 3. 44
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7. a)4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
b)10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
c)Son múltiplos tanto de 2 como de 10.
8.8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
Reflexiona
Sucesiones con progresión geométrica
Regresa y revisa
1. a)La primera, ya que la diferencia entre sus elementos consecutivos siempre es 2.
Página 44
Página 43
b)En la primera la diferencia entre números consecutivos es constante, y en la segunda no.
2.a)Multiplicando el primero por 2.
b)Multiplicando el segundo por 2.
c)Multiplicando el tercero por 2.
d)Todos los cocientes son 2.
3.Multiplicando el elemento anterior por el cociente
entre dos términos consecutivos.
4.a)Tienen progresión geométrica.
b)El cociente entre sus términos consecutivos es 3.
c)Difieren término a término.
5.Por ejemplo: 5. 5, 15, 45, 135, 405,…
44
g.
á
p
24/02/12 13:37
1. No. Es una progresión especial, pues no cumple con
las definiciones de los otros dos tipos de sucesiones.
1. a)Una manera es formar cuadrados con un número
de semillas por lado igual al lugar que ocupen en
la sucesión.
b)1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
c) No.
d)No.
Sugerencia didáctica. Puede ser que aquí surja la
idea errónea 1. De ser así se puede comentar y analizar que la diferencia o el cociente entre dos términos consecutivos no es constante.
e)Por ejemplo, multiplicar el lugar que ocupa en la
sucesión por sí mismo.
f) 225
g)Por ejemplo, multiplicar 15 por 15.
Resuelve y practica
Página 44
6.Por ejemplo: 6, 12, 24, 48, 96; 6, 60, 600, 6 000,
60 000.
7. Por ejemplo:
a)2, 4, 8, 16, 32,…
b)3, 12, 48, 192,…
c)4, 40, 400, 4 000,…
d)5, 25, 125, 625,…
e)10, 110, 1 210, 13 310,…
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1. La primera tiene progresión aritmética, la segunda,
geométrica.
2.6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90
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Bloque 1 / LECCIÓN 5
L5
27
De letras y figuras
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al
considerar las literales como números generales con los que
es posible operar.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 3 del bloque 3: resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de
las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c
son números naturales o decimales.
Conceptos principales: fórmulas de perímetros y
áreas de figuras geométricas, literal.
Antecedentes
• Construcción de las fórmulas para calcular el área de
triángulos y cuadriláteros
• Resolución de problemas que impliquen calcular el
perímetro y el área de un rectángulo
• Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos
Ideas erróneas
1. Es posible que algunos alumnos crean que en una
fórmula sólo se pueden utilizar ciertas literales. En
esta lección se mostrará que se puede utilizar cualquier literal para representar una dimensión; puede
explicarse a los alumnos que algunas se usan por
convención o costumbre.
Situación inicial (pág. 45)
La intención de esta actividad es que el alumno
reflexione acerca de cómo obtener una expresión
general con literales para calcular el perímetro de
cualquier rectángulo.
Explora y construye (págs. 45-50)
Con las actividades de esta sección se busca que
el alumno comprenda que se pueden plantear expresiones generales que representen el perímetro
y el área de figuras geométricas (fórmulas) usando
literales, las cuales pueden representar cualquier
medida. El alumno describirá cómo calcular el
perímetro de figuras a partir de un rectángulo que
construirá. Después, analizará de qué manera se
puede expresar el perímetro y el área de triángulos,
cuadrados y rectángulos cuando se desconocen
sus medidas. Finalmente, estudiará que las fórmulas dependen de las características de las figuras y
no de sus medidas.
Regresa y revisa (pág. 50)
La intención de las actividades es que usando literales el alumno exprese el perímetro de las figuras
que reprodujo en la actividad 2 (págs. 45-46) y sea
capaz de calcular el perímetro de las figuras que
hicieron otros compañeros. También se busca
que, a partir de una figura dada, pueda conocer el
perímetro y el área para diferentes valores expresados con literales.
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28
Bloque 1 / LECCIÓN 5
Solucionario y sugerencias didácticas
Lección
5
Bloque
1
5. De letras y figuras
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales
con los que es posible operar.
Situación inicial
III
67 cm
La cenefa
IV
Fig. 1.5.2.b.
Elviraquieredecorarconcenefadoradaelcontornodelmarcoquesemuestraenlafigura1.5.1.
V
53 cm
1 Respondelosiguiente.
a) ¿Cuántosmetrosdecenefanecesitaparael
evisa
Glosario
perímetro.
1. Contorno de una
figura geométrica.
2. Medida de ese
contorno.
marco?
b) Sitieneotromarcode120cmpor60cm,
¿cuántosmetrosdecenefanecesitaparade-
a) ¿Podríascalcularelperímetrodelasfigurasquetrazarontuscompañeros
siguiendoelprocedimientoquepropones?Justificaturespuesta.
Fig. 1.5.1.
corarlo?
3 Escribeentucuadernounprocedimientoparadeterminarelperímetrodecada
unadelasfigurasquetrazaste,sinmedirsusladosyconsiderandosólolasdimensionesdelrectánguloinicial.
Analiza
Expresiones generales
a) ¿Habrá una expresión general que sirva para determinar los metros de cenefa nece-
1 Respondelosiguiente.
a) SupónquelosladosnoparalelosdeunrectángulomidenLyA.Dibujaa
continuacióndosrectángulosdiferentesymarcaconesasletrascadauno
desuslados.
sarios para decorar el contorno de cualquier marco?
b)Si es así, ¿cuál es?
Explora y construye
A partir de un rectángulo
1 Trazaentucuadernounrectánguloquetengadelargoeldoblequedeancho,
compáraloconeldetuscompañerosycontesta.
a) ¿Cuántomidenellargoyelanchodeturectángulo?
b) ¿Trazarontuscompañerosunrectánguloigualaltuyo?
2 Usaelrectánguloquetrazasteparareproducirentucuadernolasconstruccionesdelasfiguras1.5.2.ay1.5.2.b.
b) ¿Cuálesseríansusperímetros?
La expresión 2a significa “la suma de a más a” o “el producto de 2 por a”.
La expresión ab significa “el producto de a por b”.
c) ¿Turespuestaalincisobesequivalentealaexpresión2L+2A?¿Porqué?
I
II
Fig. 1.5.2.a.
45
g.
pá
45
SFUMA1SB_B1.indd 45
24/02/12 13:37
Situación inicial
b) 3.6 m
Analiza
b)Sumar la longitud de todos sus lados.
Explora y construye
Página 45
A partir de rectángulos
1. b)Lo más probable es que se tracen diferentes rectángulos.
Página 46
3. Por ejemplo, para obtener el perímetro de la figura I se
puede sumar 4 veces la medida del largo, 4 veces la mitad del largo (2 veces la medida inicial) y 6 veces la del
ancho, es decir, 6 largos + 6 anchos. Otra opción es hacerlo sólo en función del largo (un ancho mide medio
largo): 4 largos más 4 mitades de largo (2 largos) más 6
anchos (3 largos), es decir, 9 largos. Se puede obtener
el perímetro también en función de los anchos.
a)Sí, porque los procedimientos no dependen de las
medidas de los rectángulos sino sólo de la relación
establecida entre el largo y el ancho.
1. b)L + L + A + A
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Página 47
La cenefa
Expresiones generales
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46
g.
pá
c)Sí, pues L + L = 2L y A + A = 2A, así que L + L + A
+ A = 2L + 2A.
Página 45
1. a)2.4 m
46
d)Sí, pues sólo se necesitan las medidas de los lados
y el cálculo es el mismo.
e)Cualquier valor.
3.a)Multiplicando la longitud de su largo por la de su
ancho.
b)L × A o LA
5.a)• 2k + 2m
• km
b)Por ejemplo, ab, xy, lt.
6.a) Iguales. b) a × a = a2
c)Sustituyendo la letra a por 5, es decir, 52.
d)El área sería 32.
e) El área sería 5002.
7. Se sustituye a por el valor de la longitud del lado del
cuadrado, y se hace la multiplicación.
Página 48
8.a) Una base y la altura correspondiente.
Sugerencia didáctica. Se puede recordar al alumno
que un triángulo tiene tres bases y tres alturas que
se relacionan por parejas. Generalmente se toma
como base el lado horizontal del triángulo.
b)Por ejemplo, c puede representar la base y f, la altura.
c)Por ejemplo: cf
.
2
9.a)Por ejemplo: e puede representar la base y g, la altura.
2×5
2
b)Por ejemplo, eg
2 = 2 =5u .
2×5
= 5 u2.
c)Por ejemplo, cf
2 = 2
07/05/12 17:04
29
Bloque 1 / LECCIÓN 5
Bloque
Lección
1
5
8 Respondelosiguiente.
a) ¿Quéelementosdeuntriángulonecesitasconocerparacalcularsuárea?
b) Escogedelasiguientelistaunaliteralpararepresentarcadaunodeloselementosqueanotasteenelincisoanterior:c, d,e,f,g,w,y,z.
2
c) Escribeconlasliteraleselegidasunaexpresiónquetepermitacalcularelárea
2
decualquiertriángulo.
,
2
2
2
,,,,,,
9 Reúneteconuncompañeroyhazlosiguiente.
Fig. 1.5.3.b.
a) Pídelequeteexpliqueconcuálesletrasrepresentóloselementosdeltriángulo.
b) Respondanlosiguienteacercadelprimerelementodelassucesiones.
b) Ocupalaexpresiónqueescribióparacalculareláreadeuntriángulocuya
• ¿Quépolígonoes?
basemide2unidadesycuyaalturamide5unidades.
• ¿Cómodeterminaronsuperímetro?
c) Calculalamismaáreaperoconlaexpresiónquetúescribiste.
• ¿Cuálseríaelperímetrodelaprimerafiguradelassucesionessisuslados
10 Engrupo,comentensielvalordeláreadeuntriánguloseveafectadaporlas
literalesqueseocupanenlafórmulayescribansusconclusionesacontinuación.
midierankunidadesdelongitud?
c) Respondanlosiguienteacercadelsegundoelementodelassucesiones.
• ¿Quépolígonoes?
• ¿Cómodeterminaronsuperímetro?
• ¿Cuáleseláreadeestospolígonos?
Perímetros y sucesiones
• ¿Cuálseríaelperímetrodelasegundafiguradelassucesionessisuslados
1 Enparejas, resuelvanlasiguientesecuencia.
a) Escribanlosprimeros7elementosdelassucesionesformadasporlosperímetrosdecadaunodelospolígonosregularesdelasfiguras1.5.3.ay1.5.3.b.
• ¿Cuálseríasuárea?
midierankunidadesdelongitud?
d) Respondanlosiguienteacercadeltercerelementodelassucesiones.
• ¿Quépolígonoes?
Busca en...
la siguiente página
una aplicación
que te permitirá
conocer el área de
algunas figuras de
forma interactiva:
www.edutics.mx/
ZoV
• ¿Cómodeterminaronsuperímetro?
• ¿Cuálseríaelperímetrodelatercerafiguradelassucesionessiloslados
1
1
,
1
1
decadapolígonomidierankunidadesdelongitud?
,,,,,,
e) Escribanlosprimerosdiezelementosdelasucesióncorrespondientealos
perímetrosdelospolígonosregularescuyosladosmidenkunidades.
1
2
1
2
,
1
2
1
2
2 Apartirdesurespuestaanterior,expliquenengrupo cómosepuedenobtener
lassucesionesdelejercicio1.
,,,,,,
48
g.
á
p
Fig. 1.5.3.a.
48
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49
24/02/12 13:37
10.Una conclusión sería: el área no depende de las literales escogidas.
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Reflexiona
a)4t + 2w
•
3,
2
2,
5,
2
3,
7,
2
4,
c) 2t × 3w
Regresa y revisa
Página 50
• 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
b)• Un triángulo equilátero.
• Una manera es sumar la medida de sus lados.
También se puede multiplicar la longitud de uno
de sus lados por tres.
• 3k
c)• Un cuadrado.
• Una manera es sumar la medida de sus lados.
También se puede multiplicar la longitud de uno
de sus lados por cuatro.
• 1, 41 y 4, respectivamente.
• 4k
• k2
d) • Un pentágono regular.
• Una manera es sumar las medidas de sus lados.
También se puede multiplicar la longitud de uno
de sus lados por cinco. • 5k
e)3k, 4k, 5k, 6k, 7k, 8k, 9k, 10k, 11k, 12k
2.Multiplicando el número de lados por la longitud de
uno.
1. a)
PI
PII
PIII
PIV
PV
6a + 6b
4a + 6b
2a + 12b
7a + 12b
12a + 2b
b) Sí. Basta sustituir la a por la medida de los largos, y
la b por la medida de los anchos de los rectángulos.
Resuelve y practica
1.
Perímetro
(cm)
Área
(cm2)
P=a+b+c
12
6.92
A = bh
2
41
30
168.8
972
Fórmulas
2. 2a + 2b o a + a + b + b
Planeación
Fecha Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 29
b) 2t + 6w
9
2
Página 49
Material 24/02/12 13:37
Página 50
Perímetros y sucesiones
1. a)• 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
49
g.
á
p
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Bloque 1 / LECCIÓN 6
L6
Figuras de tres y cuatro
lados
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye al aprendizaje que se espera
que alcance el alumno en la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de
las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
Conceptos principales: triángulos, cuadriláteros, regla, compás, transportador, escuadra.
Materiales: juego de geometría.
Antecedentes
• Clasificación de triángulos con base en la medida de
sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros
que se forman al unir dos triángulos
• Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría)
• Problemas que implican el uso de las características y
propiedades de triángulos y cuadriláteros
Situación inicial (pág. 51)
La intención de esta actividad es que el alumno
analice la utilidad de un compás para trazar ciertas figuras geométricas, en este caso, un triángulo
equilátero.
Explora y construye (págs. 52-58)
A lo largo de esta sección habrá diversas actividades con las que el alumno construirá triángulos y cuadriláteros: en algunos casos hará trazos
y en otros, aproximaciones, de acuerdo con los
instrumentos del juego de geometría con los que
cuente. Podrá analizar algunas similitudes y diferencias entre triángulos equiláteros, isósceles y
escalenos, así como entre cuadrados, rectángulos, deltoides, rombos, romboides y trapecios.
Regresa y revisa (pág. 58)
En esta sección el alumno podrá concluir qué figuras geométricas se pueden trazar con su juego
de geometría.
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Bloque 1 / LECCIÓN 6
Solucionario y sugerencias didácticas
Bloque
Lección
6
1
6. Figuras de tres y cuatro lados
Explora y construye
Trazo de triángulos
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
Situación inicial
Enestaseccióndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelas
herramientassolicitadasencadacaso.
Una tarea con un juego de geometría incompleto
Carlostienelatareadetrazarensucuaderno,consujuegodegeometría,untriángulo
equiláteroapartirdeunsegmento de recta queseráunodeloslados.Sinembargo,
sólocuentaconuncompásyunareglasingraduar.¿Cómolotrazaríastúconestas
herramientas?
evisa
1 Respondelosiguiente.
a) ¿Cuántosvérticestieneuntriángulo?
Triángulos equiláteros
Glosario
1 Enparejas,tracenensucuaderno,conreglagraduada,untriánguloequilátero
cuyosladosmidan4cmcadauno.
segmento de recta.
Porción de recta
que queda delimitada por dos de sus
puntos, llamados
extremos del segmento.
2 Comentenengrupolasdificultadesparahacerelejercicioanterior.
3 Enparejas,respondanlosiguiente.
b) ¿Cuántosvérticeshayenunladodeuntriángulo?
a) ¿Paraquésirveeltransportador?
2 Carlosencontróenunlibroelsiguienteprocedimientoparatrazareltriángulo.
Llevaacabolospasosycontestalaspreguntas.
b) ¿Cuántomidenlosángulosdeltriángulodelasituacióninicial?
4 Tracenensucuadernountriánguloequiláterocuyosladosmidan5cmutilizandotransportadoryreglagraduada.
▶ Trazaentucuadernounsegmentoderecta,queserálabasedeuntriángulo
equilátero.Señalaconrojodóndeestaríanlosvérticesdeeselado.
▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenunodelosextremosdelsegmentoycon
unradioquemidalomismoqueelsegmento.
5 Describanensucuadernoelprocedimientoqueutilizaron.
6 Eljuegodegeometríaincluyedosescuadrascomolasdelafigura1.6.1.Midan
coneltransportadorlosángulosdecadaunadeellasyanotensusvaloresen
lamisma.
a) ¿Porquéelotrovérticedeltriángulodebeestarenalgúnpuntodelacircunferenciaquetrazaste?
▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenelotroextremodelsegmentoderecta
yconunradioquemidalomismoqueelsegmento.
b) ¿Dóndeseencuentraelotrovérticedeltriángulo?
Fig. 1.6.1.
▶ Trazaeltriánguloydespuésverificaconunareglagraduadaqueseaequilátero.
7 Enparejas,tracenensucuaderno,conescuadrasyreglagraduada,untriángulo
equiláterode5cm.
Analiza
8 Engrupo,discutanlasventajasdecadaunodelossiguientesprocedimientos
paratrazaruntriánguloequilátero.Después,respondanlaspreguntas.
• Concompásyreglasingraduar.
• Contransportadoryreglagraduada.
• Conescuadrasyreglagraduada.
1. En grupo, discutan lo siguiente.
a) Su respuesta al inciso b del ejercicio 2.
b)¿Por qué con el procedimiento del ejercicio 2 se pueden construir dos triángulos
a) ¿Midenlomismolosángulosdecualquiertriánguloequilátero?
equiláteros diferentes?
b) ¿Cómovalidaríanlarespuestaanterior?
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Situación inicial
Página 51
Una tarea con un juego de geometría incompleto
1. a) 3
b) 2
2.a) Porque la distancia de ese otro vértice al vértice del
triángulo usado como centro de la circunferencia
trazada debe ser uno de sus radios.
b)En la intersección de las dos circunferencias.
Analiza
2.b) Porque hay dos puntos de intersección entre las
circunferencias trazadas.
Explora y construye
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Trazo de triángulos
Triángulos equiláteros
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52
g.
pá
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3.a)Para medir ángulos.
b)60 grados (60°).
5.Se puede trazar un segmento de recta de 5 cm y luego, desde uno de sus extremos, otro de 5 cm a 60°
del primero con ayuda del transportador. Por último,
se traza el tercer lado uniendo los extremos libres de
los otros dos lados.
6.La primera escuadra de la figura 1.6.1 tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°; la segunda escuadra tiene un
ángulo de 30°, uno de 60° y otro de 90°.
7. Se puede utilizar el método de la actividad 5, pero en
vez de transportador se usa la escuadra que tiene un
ángulo de 60°.
8.Sugerencia didáctica. El trazo con regla y compás
es el más preciso. Los otros métodos están sujetos a
errores de medición.
a)Sí, 60°.
b)Una posible respuesta es: hacer algunos triángulos
equiláteros de diferentes tamaños y verificar que
sus ángulos midan lo mismo.
2.El trazo del tercer lado depende del trazo del segundo, es decir, se hacen por “prueba y error”.
Planeación
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 31
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Bloque 1 / LECCIÓN 6
Bloque
Lección
6
onstruye
1
Triángulos isósceles
Triángulos escalenos
1 Anotacómosonentresílosángulosdeuntriánguloisósceles.
1 Construyeentucuaderno,conreglagraduadaycompás,untriángulocuyos
ladosmidan5cm,6cmy8cm.
2 Explicatuconstruccióndelejercicioanterioratrescompañerosycomparensus
2 Trazaentucuaderno,conreglagraduadayescuadras,untriánguloisóscelescuyo
ladodiferentemida6cmycuyosángulosigualesseande45°.
construcciones.¿Quéobservan?
3 Revisatutrazoconuncompañeroyescribanlasmedidasdelosladosigualesy
3 Trazaentucuaderno,conescuadraytransportador,untriángulocuyosángulos
midan15°,25°y140°ycompáraloconlostrazadospordoscompañeros.
elángulodiferentedeltriángulotrazado.
4 Engrupo,discutanporquéentodoslostriángulostrazadosdeberíanobtenerse
lasmismasmedidas.
4 Discutanengrupocuántostriángulossepuedenobtenerenlosejercicios1y3,
respectivamente.
5 Enequiposdetres,trazaránensucuaderno,conreglagraduadaytransportador,
trestriángulosisósceles.Paraello,observenelcuadro1.6.1ysiganlospasos.
5 Engrupo,analicencuántostriángulossepuedentrazarapartirdelassiguientes
características.
a) Unángulode30°yotrode70°,quecompartenunladode4cm.
b) Unladode4cmyotrode7.5cmqueformenunángulode37°.
Triángulo
Medida
I
II
III
Ángulo diferente
de cada triángulo
55°
55°
55°
Lados iguales
de cada triángulo
4 cm
5.5 cm
9 cm
Llamatriadaaunconjuntodetresnúmerosquecorrespondanalaslongitudes
detressegmentos;porejemplo,latriada(1,2,3)serefiereasegmentosque
miden1cm,2cmy3cm.
Ángulos iguales
de cada triángulo
6 Enparejas,tracenensucuaderno,coneljuegodegeometría,eltriángulocorrespondienteacadaunadelassiguientestriadas:(5,3,3),(6,3,7)y(4,6,5).
Lado diferente
de cada triángulo
7 Engrupo,expliquenporquélassiguientesafirmacionessonverdaderas.
• Conunatriadadelaforma(a, a, a)noesposibleconstruiruntriánguloescaleno.
• Esposibleconstruiruntriángulorectánguloconunatriadadelaforma
(a, a, b).
Cuadro 1.6.1.Medidasdetrestriángulosisósceles.
▶ Tracenlostrestriángulosapartirdelasmedidasanteriores.
▶ Midanlosángulosyladosdelostriángulosresultantesycompletenlosespacios
blancosdelcuadroanterior.
Trazo de cuadriláteros
6 Proponganotralongitudparalosladosigualesdeuntriánguloisóscelesconla
mismamedidadelángulodiferentedelcuadroanteriorytraceneltriángulo.
Enestaseccióntambiéndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelasherramientassolicitadasencadacaso.
7 Expliquenquérelaciónhayentrelosángulosdeloscuatrotriángulos.
Cuadrados
1 Enparejas,respondanlosiguiente.
8 Comparenelejercicioanteriorconeldeotroequipoyobservencómosonlos
ladosylosángulosdelostriángulosqueellostrazaron.
a) SielladodelcuadradoAmide3cmyeldelcuadradoBmide5cm,¿entonces
losángulosdelcuadradoAmidenmenosgradosquelosdelcuadradoB?¿Por
9 Engrupo,discutanlosiguiente.
a) Dadounángulo,¿cuántostriángulosisóscelespuedentrazarsesiconsideran
queeseánguloseencuentraentrelosladosiguales?Expliquen.
b) Dadoelánguloqueseencuentraentrelosladosigualesdeuntriánguloisósceles,
¿cambiarálamedidadelosotrosdosángulossicambialalongituddeesos
lados?
qué?
2 Planteenunprocedimientoparatrazaruncuadradode4cmconunareglagraduadayescuadras,yllévenloacabo.
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Página 53
Triángulos isósceles
1. En un triángulo isósceles hay dos ángulos que son
iguales.
2.Se puede trazar un segmento de 6 cm y, con ayuda
de la escuadra que tiene un ángulo de 45°, trazar un
segmento desde cada vértice del segmento inicial
hacia el mismo punto y a 45°.
3.El ángulo diferente mide 90° y los lados iguales, 4.2 cm.
4.El lado y los ángulos dados determinan el vértice
opuesto del triángulo y, con ello, la medida de los
otros lados y el ángulo que se forma entre ambos.
5.
Medida
I
II
III
Ángulos iguales
de cada triángulo
62.5°
62.5°
62.5°
Lado diferente
de cada triángulo
3.7 cm
5 cm
8.3 cm
7. Los ángulos de los cuatro triángulos miden uno a
uno lo mismo.
9.a)Una infinidad de triángulos.
b) No, siempre mide lo mismo.
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Triángulos escalenos
1. Una construcción correcta sería: trazar un segmento
de 5 cm. Con ayuda del compás, trazar una circunferencia de 6 cm de radio y centro en uno de los extremos del segmento. Luego trazar una circunferencia
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3 Discutansusprocedimientosengrupo.
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de 8 cm de radio y centro en el otro extremo del
segmento. Uno de los dos puntos de intersección de
las circunferencias será el tercer vértice del triángulo.
2.Que todos los triángulos tienen las mismas medidas.
4.En el ejercicio 1 se puede obtener un solo triángulo.
En el ejercicio 3 no hay límite, pues se puede cambiar
la medida de uno de los lados del triángulo y la medida de los otros lados también cambia.
5.a)Sólo se puede trazar uno.
b)Sólo se puede trazar uno.
6.Basta repetir la construcción desarrollada en el ejercicio 1, con las medidas señaladas.
7. • Con la triada (a, a, a) sólo se puede construir triángulos equiláteros.
• Los segmentos que miden a unidades tienen que
ser perpendiculares; esta medida determina la medida de b.
Sugerencia didáctica. Mencione un ejemplo de lo
anterior: si dos lados miden 2 unidades, el otro lado
queda determinado por la perpendicularidad de
ellos, y mide aproximadamente 2.83 unidades; su
triada es (2, 2, 2.83). Aunque sí existe un triángulo
formado por la triada (2, 2, 1), no corresponde a un
triángulo rectángulo.
Trazo de cuadriláteros
Cuadrados
1. No. Porque los cuatro ángulos de un cuadrado miden 90°.
2.Una posible construcción sería: trazar un segmento
de 4 cm con la regla; con la escuadra, trazar dos segmentos perpendiculares de 4 cm que tengan como
extremos los del segmento inicial y que vayan hacia
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Bloque 1 / LECCIÓN 6
Bloque
Lección
6
4 ACarlosledejaronotratarea:trazaruncuadradousandosólouncompásyuna
reglasingraduar.Paraello,partiódeunsegmentoderectaalquellamóAB,que
seríaunodelosladosdelcuadrado(enlafigura1.6.2,correspondealsegmento
azul).Leelospasosquesiguióparaobtenerun lado adyacentealprimeroy
analízalosenlafigura.
▶ ProlongarconrojoelsegmentoABporambosextremos,conlongitudesalmenosigualesaladedichosegmento.
▶ Trazarunacircunferencia(decolorverde)concentroenAyconunradioque
midamenosqueAB.
▶ LlamarCyDalospuntosdondelacircunferenciacortaalsegmento ABysu
prolongación.
▶ TrazardoscircunferenciasderadioCD:unaconcentroenCyotraconcentroenD.
▶ Trazarunarectasobrelospuntosdondesecortanlasdoscircunferenciasde
igualtamaño.
▶ TrazarotracircunferenciaconcentroenAyradioAB.
▶ Marcarelpuntodeinterseccióndelacircunferenciaconlaúltimarectatrazada
yllamarloE.
1
Rectángulos
1 Respondelosiguiente.
a) ¿Cómoserelacionanentresílasmedidasdelosladosdeunrectángulo?
Glosario
lados adyacentes.
Aquellos que comparten un vértice.
b) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosdeunrectángulo?
2 Supónquecuentasconuntransportadoryunareglagraduadayquierestrazar
unrectángulo.
a) ¿Quépropiedaddelosrectángulosjustificaelusodeltransportador?
b) ¿Cómotrazaríasconestosinstrumentosunrectángulocuyosladosmidan5
y7cm?Propónunprocedimientoyverifícaloentucuaderno.
E
D
A C
Deltoides y rombos
1 Realizaelprocedimientosiguienteyrespondelaspreguntas.
▶ TrazaunsegmentoABde5cmenelcentrodeunapáginadetucuaderno.
▶ SobreelsegmentoABtrazadoscircunferencias,unaconcentroenAyotracon
centroen B,cuyosradioscumplanlosiguiente.
• Quemidanlomismo.
• QuesulongitudseamayorquelamitaddeladelsegmentoAB,demodoque
lascircunferenciasseintersequenendospuntos.
▶ Marcaelpuntodeinterseccióndelascircunferenciasqueseencuentraporarriba
delsegmentoAB;llámalo C.
▶ Trazaotrasdoscircunferenciascuyosradiosmidanlomismo,concentroen
cadaunodelosextremosdelsegmentoAB;lalongituddelosradiosdebeser
mayorqueladelosradiosdelasotrascircunferencias.
▶ Marcaelpuntodeinterseccióndeambascircunferenciasqueseencuentrapor
debajodelsegmentoAByllámaloD.
▶ TrazaconrojolossegmentosAC,CB,BDyDA.
B
Fig. 1.6.2.
5 Respondelosiguiente.
a) ¿CómoeselánguloentreelsegmentoABylaúltimarectatrazada?
b) ¿Cómosonambasrectasentresí?
c) ¿PasalaúltimarectatrazadaporelpuntoA?
d) ¿PorquéelsegmentoAEmidelomismoqueelsegmentoAB?
Busca en...
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Zoj
actividades y ejercicios acerca de
la construcción de
triángulos.
a) ¿Quéformatieneelcuadriláteroqueconstruiste?Describesusladosyángulos.
b) ¿Cómosonlosladosyángulosdeunrombo?
e) ¿Quépartedelaúltimarectatrazadacorrespondealnuevoladodelcuadrado?
2 Lafiguraquetrazasteenelejercicio1sellamadeltoide.Básateenelprocedimientoquepermitetrazarundeltoideparaescribirentucuadernolospasos
conlosqueseconstruyeunrombo.
3 Después,engrupo,revisenesteprocedimiento.
6 ConbaseenelprocedimientodeCarlos,trazaentucuadernouncuadradode
6cmdelado.
7 Verificaquesecumplanlaspropiedadesdeestafigurageométricarespectoala
longituddesuslados,asícomoladimensióndesusángulos.Sinoesasí,revisa
laactividadconalgúncompañerocuyostrazossílascumplan.
8 Revisenengrupolasdudasrespectoalaconstrucciónanterior.
4 Leelosiguienteyresponde:“enuncuadrilátero,unadiagonaleslarectaqueva
deunvérticealotroquenoseencuentraenunladoadyacente”.
¿Cuántasdiagonalestieneunrombo?
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el mismo lado (se puede usar la regla como apoyo de
la escuadra, de modo que la primera quede justo junto al segmento inicial), y trazar el lado restante para
obtener un cuadrado.
Página 55
5.a) Es un ángulo recto.
b)Perpendiculares. c) Sí.
d)Coinciden en el extremo A y los otros puntos están en la circunferencia de radio AB.
e)El segmento AE.
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1. a) Los lados opuestos miden lo mismo, pero los lados
adyacentes tienen distinta longitud.
b)Miden 90°.
2.a) La medida de sus ángulos.
b)Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm; con la regla y el transportador trazar
segmentos perpendiculares de 7 cm que tengan
como extremos los del segmento inicial y que vayan hacia el mismo lado, y trazar el lado restante.
Deltoide y rombo
1. a) Tiene dos pares de lados iguales. Tiene un par de
ángulos opuestos iguales y los otros dos son diferentes.
b)Los lados de un rombo son todos iguales y sus
ángulos opuestos miden lo mismo.
2.Una posible construcción, a partir del procedimiento
del ejercicio 1, es usar sólo uno de los pares de circunferencias cuyo radio es el mismo y unir sus puntos de intersección con los extremos del segmento.
4.Un rombo tiene dos diagonales.
5 a) 3.54 cm
b) 90°
c) Las diagonales del cuadrilátero resultante son las
rectas que se trazaron al principio.
6.Se trata de un cuadrado.
7. Basta repetir el procedimiento del ejercicio 5 pero
con rectas de distinta longitud.
Planeación
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Rectángulos
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Bloque 1 / LECCIÓN 6
Bloque
Lección
6
1
5 Trazaentucuadernodosrectasperpendicularesde5cmqueseintersequenensu
puntomedioyúnelasporsusextremos.
5 Engrupo,discutancómotrazaríanunromboideparaquedosdesusángulos
seande75°y105°ydosdesusladosmidan4cmy7cm.
a) ¿Cuántomidenlosladosdelcuadriláteroresultante?
Trapecios
b) ¿Cuántomidensusángulos?
Situación inicial
1 Enequiposdetres,haganlosiguiente.
a) Tracentrestriángulosisóscelescondosladosde7cmyunode6cmusando
compásyreglagraduada.
b) Concadaunodelostriángulosanteriorestracenuntrapecioisóscelescuya
basemayorseade6cm.Elprimertrapeciodebetenerunaalturade2cm;
elsegundo,unade3cm,yelúltimo,unade4cm.Usenescuadrasyregla
graduada.
c) Obtenganlabasemenordelostres.
c) ¿Cuálessonlasdiagonalesentutrazo?
6 Enparejas,revisenlostrazosdelejercicioanteriorydigandequécuadrilátero
setrata.
7 Engrupo,modifiquenelprocedimientoanteriorparaobtenerunrombo.
2 Engrupo,verifiquenqueobtuvieronlaslongitudescorrectasdelasbasesmenores;delocontrario,revisenenquépartedelprocedimientoseequivocaron.
8 Hazlosiguiente.
▶ Marcalospuntosmediosdelosladosdelcuadradoydelrectángulosiguientes.
▶ Unelospuntosmarcadosconlospuntosdelosladosadyacentes.
▶ Midelosladosylosángulosdeloscuadriláterosresultantes.
Reflexiona
1. Discutan en grupo si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y
justifiquen cada respuesta.
a) Con dos segmentos de recta se puede trazar un único triángulo.
b)Se puede construir un único triángulo si se conoce la longitud de su base y su altura.
Fig. 1.6.3.
Regresa y revisa
9 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelcuadrado?
1 Enequipos,analicenlostrazosquehicieronenlalección.Elaborenuncartelcon
unatabladedoscolumnas:enlaprimeradibujenuninstrumentodeljuegode
geometríayenlasegundaredactensusaplicacioneseneltrazodetriángulosy
cuadriláteros.Incluyantodaslasherramientasconquetrabajaron.
b) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelrectángulo?
10 Engrupo,discutancuálessonlasdiferenciasysimilitudesentreuncuadrado
yunromborespectoasuslados,ángulosydiagonales.
Resuelve y practica
Romboides
1. Traza los siguientes cuadriláteros en tu cuaderno, mide sus lados y ángulos, e identifica de qué figura se trata en cada caso.
▶ Sus diagonales miden 5 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
medio.
▶ Sus diagonales miden 5 cm,no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
medio.
▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
medio.
▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su
punto medio.
2. Una diagonal siempre divide a un cuadrilátero en dos triángulos. Si los triángulos en
que un cuadrilátero quedó dividido por su diagonal son equiláteros, ¿de qué tipo de
cuadrilátero estamos hablando? ¿Hay varias posibles respuestas a esta pregunta?
1 Pruebaesteprocedimientoparatrazarrectasparalelasusandodosescuadras:
▶ Manténfijaunadelasescuadras.
▶ Colocalaotraescuadrademaneraqueunodesusladossedeslicesobreunode
losladosdelaescuadrafija,comosemuestraenlafigura1.6.4.
▶ Trazaunarectaconalgunodelosladosdelaescuadramóvilquenoestáen
contactoconlaescuadrafija.
▶ Arrastralaescuadramóvilytrazaotrasrectasparalelasalaprimera.
2 Entucuaderno,describelosladosyángulosdeunromboide.
3 Engrupo,discutanunprocedimientoparatrazar,conreglagraduadaydos
escuadras,unromboidecuyosladosigualesmidan4cmy7cm,respectivamente.
4 Enparejas,tracenensucuadernoelromboideymidansusángulosinternos.
Fig. 1.6.4.
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9.a)Un cuadrado.
b)Un rombo.
10.En el cuadrado y en el rombo todos los lados miden lo mismo. Todos los ángulos de un cuadrado
miden 90°, mientras que en un rombo los ángulos
opuestos miden lo mismo, pero su medida es distinta
respecto al otro par. Las diagonales de un cuadrado
miden lo mismo, mientras que las de un rombo son
distintas. En ambos cuadriláteros las diagonales
son perpendiculares.
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Trapecios
1. c)Las bases menores son aproximadamente: 4.1 cm,
3.2 cm y 2.2 cm, respectivamente.
Reflexiona
1. a)Es falsa. Con distintos ángulos entre los dos segmentos se obtienen distintos triángulos.
b)Es falsa. Se puede desplazar la colocación del tercer vértice de modo que se obtengan triángulos
distintos.
Romboides
2.Los lados opuestos miden lo mismo y los ángulos
opuestos también, pero en ambos casos su medida
es distinta respecto al otro par.
3.Un procedimiento correcto sería: trazar un segmento de 4 cm, con el procedimiento descrito en 1 trazar
desde cada extremo del segmento de 4 cm un segmento de 7 cm, que sean paralelos, y trazar el lado
restante.
Página 58
5.Una construcción correcta sería: trazar un segmento
de 4 cm; con ayuda del transportador, desde uno de
sus extremos trazar una segmento de 7 cm a 75°;
trazar otro segmento de 7 cm a 105° desde el otro
extremo del primer segmento, y trazar el segmento
restante.
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Regresa y revisa
Página 58
Resuelve y practica
1. a)Un cuadrado.
b)Un rectángulo.
c)Un rombo.
d)Un romboide.
2.El cuadrilátero sería un rombo en el que una de las
diagonales mide lo mismo que sus lados. No hay ninguna otra respuesta posible.
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Bloque 1 / LECCIÓN 7
L7
Las líneas del triángulo
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas,
mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Prepararse para
la secuencia
Situación inicial (pág. 59)
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de
las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y
bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
Conceptos principales: alturas y medianas de un triángulo, mediatrices y bisectrices en un triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.
Materiales: juego de geometría.
Antecedentes
• Clasificación de triángulos con base en la medida de
sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros
que se forman al unir dos triángulos
• Problemas que implican el uso de las características y
propiedades de triángulos y cuadriláteros
• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del
juego de geometría
Ideas erróneas
1. El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen una altura, pues las otras dos coinciden con los lados.
Con esta actividad se busca que el alumno reflexione y explore cómo localizar un punto que
equidiste de otros tres.
Explora y construye (págs. 60-67)
A lo largo de las actividades que se presentan en
esta sección el alumno estudiará, mediante su
construcción, las rectas notorias del triángulo: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices; conocerá sus propiedades y aprenderá el nombre de
los puntos en los que se intersecan. Hará trazos
libres de triángulos rectángulos, obtusángulos y
equiláteros para compararlos entre sí y con los
de sus compañeros, con el fin de generalizar sus
propiedades.
Regresa y revisa (pág. 67-68)
En esta sección el alumno, además de resolver la
situación inicial, trazará ciertas rectas notorias para
consolidar los conocimientos adquiridos a lo largo
de la secuencia.
Planeación
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 35
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Bloque 1 / LECCIÓN 7
Solucionario y sugerencias didácticas
Lección
7
Bloque
1
7. Las líneas del triángulo
Explora y construye
Alturas de un triángulo
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Situación inicial
1 Escribeenseguidaunadefinicióndelaalturadeuntriángulo.
Distancia equitativa en un servicio
Sedeseaconstruirunhospitalenlazonacosteraquesemuestraenlaimagen,el
cualdebeestaralamismadistanciadelostrespobladosseñaladosconlasletrasA,
ByC.¿Dóndedebesituarseelhospital?
2 Engrupo,recuerdenquépropiedadestienenlostriángulosrectángulos,acutángulosyobtusángulos.Enelpizarrón,dibujenalgunosejemplosdecadauno.
A
evisa
3 Hazlossiguientestrazosyrespondelaspreguntas.
▶ Enelsiguienteespaciotrazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyuno
equilátero,demaneraqueencadaunolabaseseadecolorrojo,elladoizquierdo,verde,yelladoderecho,azul.
B
C
Fig. 1.7.1.
Analiza
a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que forman los tres poblados?
▶ Trazaconrojolaalturadelostriángulosanteriorescorrespondientealabase
roja.Sinoesposiblehacerloenellibroparaalgunodelostriángulos,cálcaloen
unahojademodoquepuedashacerloenella.
b)¿Qué tipo de triángulo es?
c) ¿Cómo encontrarías el punto donde debe ubicarse el hospital?
a) ¿Quéhicisteparatrazarlasalturas?
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g.
pá
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Situación inicial
Página 59
Distancia equitativa de un servicio / Analiza
a)El ángulo ABC = 104°,
BCA = 34° y CAB = 42°.
b)Es un triángulo escaleno.
c)Una respuesta es trazar el triángulo que forman los
tres poblados y la mediatriz de dos (o tres) de sus
lados.
Sugerencia didáctica. La mayoría de los alumnos
desconocen lo que es la mediatriz de un segmento.
Se les puede preguntar dónde estaría el hospital si
sólo hubiera dos poblados.
Explora y construye
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1. Una respuesta es: la altura de un triángulo es el segmento que va de un vértice al lado opuesto y lo corta
perpendicularmente.
2.El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; en el
acutángulo todos los ángulos son agudos, y el obtusángulo tiene un ángulo obtuso.
Sugerencia didáctica. De ser necesario se le puede
recordar al alumno que un ángulo agudo mide menos de 90° y uno obtuso, más de 90°.
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3. Sugerencia didáctica. Aquí se puede abordar la idea
errónea 1 si ésta se presenta.
a)Hay que trazar, desde un vértice, un segmento
perpendicular al lado opuesto. Si se trata de un
triángulo obtusángulo, cuando sea necesario hay
que prolongar el segmento que es la base del
triángulo.
Página 61
b)Tiene 3, una por cada lado.
c)En el caso de los triángulos obtusángulos.
4.En los triángulos rectángulos dos alturas son lados
del triángulo y la tercera está dentro; en los triángulos
acutángulos las tres alturas están dentro del triángulo, y en los triángulos obtusángulos dos alturas están
fuera del triángulo y una dentro.
7.
Página 60
Alturas de un triángulo
60
g.
pá
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Triángulo
Ubicación del ortocentro
respecto al triángulo
Equilátero
Dentro
Rectángulo
El ortocentro es el vértice de los
lados que forman el ángulo recto
Obtusángulo
Fuera
9.Una respuesta es que la ubicación del ortocentro depende de los ángulos del triángulo y no de las medidas de los lados.
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37
Bloque 1 / LECCIÓN 7
Bloque
Lección
7
1
▶ Marcaelpuntoenquelarectanegracortaotrodelosladosdecadatriánguloy
llámaloP.
b) ¿Cuántasalturastieneuntriángulo?
onstruye
▶ Giratulibroyacomódalodemaneraqueelsegmentoazulseaahoralabasede
cadatriánguloytrazaconazullaalturacorrespondiente.
▶ Repiteelprocedimientoanteriorsuponiendoahoraqueelladoverdeeslabase
encadatriánguloytrazaconverdelaaltura.
c) ¿Enquécasosalgunaalturaestáfueradeltriángulo?
4 Enparejas,comparenlostriángulosylasalturasquetrazaron.Analicenqué
relaciónhayentrelaclasificacióndeltriánguloylaubicacióndelasalturas.
5 Reúnanseconotra pareja yverifiquenquesusconclusionesdelejercicioanterior
tambiénsecumplanenlostriángulosqueellostrazaron.
6 Enlostriángulosquetrazaron,prolonguenlasalturashastaqueseintersequen.
El punto en que se intersecan las alturas de un triángulo se llama ortocentro.
7 Completenelsiguientecuadro.
2 Respondelosiguiente.
a) ¿Enquécasoscoincidieronlalíneapunteadaylarectanegra?
Ubicación del ortocentro
respecto al triángulo
Triángulo
Equilátero
Rectángulo
b) Completaelsiguientecuadro.
Obtusángulo
Cuadro 1.7.1.
Triángulo
8 Enequiposdecincointegrantes,verifiquenquelasconclusionesdelcuadro
anteriorsecumplanparatodoslostriángulostrazados.
Rectángulo
9 Engrupo,comentenporquésecumplenlosresultadosdelcuadrosinimportar
eltamañodelostriángulos.
Obtusángulo
Equilátero
Mediatrices en un triángulo
Cuadro 1.7.2.
Segmento
Longitud del
segmento (cm)
AP
BP
DP
EP
GP
HP
c) Encadatriángulo,¿cómosonentresílaslongitudesdelossegmentostraza-
1 Hazlostrazosqueseindicanacontinuaciónenelrecuadrodelapáginasiguiente.
▶ Trazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyunoequilátero.Labasedetodos
debeserroja,elladoizquierdo,verde,yelladoderecho,azul.
▶ Marcalosvérticesquecorrespondenalladorojodelasiguientemanera:AyB
eneltriángulorectángulo,DyEenelobtusángulo,yGyHenelequilátero.
▶ Trazaconunalínearojapunteadalaalturaquecorrespondealabasedeesecolor.
▶ Contujuegodegeometría,determinaelpuntomediodelladorojoencada
triángulo.
▶ Trazaconnegrounarectaparalelaalalíneapunteadaquepaseporelpunto
medioqueencontraste.
dosdesdeelpuntoPacadaextremodelladorojo?
d) Ahora,encadatriángulotomaunpuntodiferenteaPsobrelarectanegra,
llámaloQymidelalongituddelossegmentosformadosdesdeQhastacada
unodelosextremosdelabase.¿Quéobservas?
e) Verificasipasalomismoparacualquierotropuntosobrelarectanegra.
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2.a)En el triángulo equilátero.
b)Los datos dependen de los trazos del alumno.
c)Son iguales.
d)Que los segmentos desde Q a cada extremo miden lo mismo.
e)Sí pasa lo mismo, pues es la mediatriz.
9.En el triángulo equilátero coinciden; en los demás no.
11. Una respuesta posible es: en el triángulo rectángulo
isósceles una altura y una mediatriz coinciden; el
ortocentro y el circuncentro están sobre el triángulo pero el ortocentro está en el vértice de los lados
que forman el ángulo recto, y el circuncentro está
en el lado opuesto. Si es un triángulo obtusángulo,
ambos puntos notorios están fuera del triángulo.
12. Son iguales.
Página 63
Página 64
3.Una posible respuesta es que cualquier punto sobre
la recta negra equidista de los extremos del segmento rojo.
4.La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio.
6.
13.No es posible trazar otra, pues sólo ese punto equidista de los tres vértices del triángulo.
Mediatrices en un triángulo
Triángulo
Ubicación del ortocentro respecto al
triángulo
Equilátero
Dentro
Rectángulo
Sobre el lado opuesto al vértice de los
lados que forman el ángulo recto
Obtusángulo
Fuera
Medianas de un triángulo
1. a) En dos triángulos.
b)Es la mitad del área del triángulo original trazado
por el alumno.
Página 65
c)Son iguales.
3.Con esa recta, el área de un triángulo se divide en
dos partes iguales.
Planeación
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 37
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38
Bloque 1 / LECCIÓN 7
Lección
7
Bloque
1
▶ Trazaunacircunferenciacuyocentroseaelcircuncentroycuyoradioseala
distanciadelcentroacualquiervértice.
3 Enparejas,comparensustriángulosylostrazosquehicieronenellos.Analicen
siobtuvieronlosmismosresultadosenlosincisosanterioresyescribansusobservaciones.
A la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo se le llama circunferencia circunscrita del triángulo.
Larectanegraquetrazaroneslamediatrizdelsegmentorojo.
13 Engrupo,comentensiesposibletrazarotracircunferenciacircunscritaencada
triángulo.
4 Investigaenundiccionarioladefinicióndemediatrizyescríbelaenelrecuadro.
Medianas de un triángulo
1 Hazlossiguientestrazosyrespondelaspreguntas.
▶ Enelsiguienteespacio,trazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyuno
equilátero,demaneraqueencadaunolabaseseadecolorrojo;elladoizquierdo,verde;yelladoderecho,azul,yrealizalosiguiente.
5 Repiteelprocedimientodelejercicio1paratrazarlasmediatricesdeloslados
azulyverdedecadatriángulo;despuésdetrazarlas,prolongalasrectashasta
queseintersequen.
El punto en que se intersecan las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.
6 Completaelcuadro.
Triángulo
Ubicación del circuncentro
respecto al triángulo
Equilátero
Rectángulo
Obtusángulo
Cuadro 1.7.3.
7 Enequiposdecincointegrantes,verifiquenquelasconclusionesdelcuadro
anteriorsecumplanparatodoslostriángulostrazados.
8 Enpareja,tracenensuscuadernosuntriángulorectángulo,unequiláteroyun
obtusángulodiferentesalosquetrazaronenelejercicio1.Obtenganelortocentroycircuncentrodecadauno.
9 Engrupo,establezcanenquétriánguloscoincidenestospuntosyescríbanlosa
continuación.
10 Enparejas,tracenensucuadernountriángulorectánguloqueseaisósceles.Marquensustresalturasysustresmediatrices.Prolónguelashastaqueseintersequen.
▶ Encadatriángulo,trazacontulápizunsegmentoderectaquevayadelpunto
mediodelladorojoalvérticeopuesto.
11 Analicenyredactenlasdiferenciasentrelasinterseccionesdelasalturasylasde
lasmediatricesdeuntriángulorectánguloqueseaisóscelesyotroquenolosea.
Después,verifiquensusconclusionesconelrestodelgrupo.
a) ¿Enquéfigurasquedadivididocadatriángulo?
12 Encadatriánguloquetrazasteenlapágina62,hazloqueseindica.
▶ Midelasdistanciasdelcircuncentroacadavértice.
a) ¿Quérelaciónhayentreestasdistancias?
b) Calculaeláreadecadaunadeellas.
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4.a)Sí se intersecan.
b)En ninguno, siempre queda dentro.
6.a)2
b)Sí, pasa lo mismo para las otras dos medianas.
8.a)El segmento más grande mide 12 unidades, y el
otro, 6.
b) Lo divide en dos partes: una mide 23 de lo que
mide la mediana y la otra, 31 .
10. El baricentro es el punto de equilibrio de un triángulo, pues lo divide en tres áreas iguales.
Página 66
Bisectrices en un triángulo
2.a)Sí se intersecan.
b)El incentro es el punto en donde se intersecan las
bisectrices.
c)Se ubica siempre dentro del triángulo.
3.a)Son iguales.
b)En uno solo.
Página 67
4.No es posible trazar otra pues sólo ese punto equidista de los tres lados del triángulo.
Reflexiona
1. a)Sólo en el triángulo equilátero los puntos notables
coinciden.
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64
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b)En un triángulo equilátero cualquiera de las rectas
notables coinciden. En uno isósceles sucede en
uno de los tres lados.
Regresa y revisa
Página 67
1. Una respuesta posible es: trazar un triángulo que tenga por vértices los tres poblados y hallar su circuncentro, punto que equidista de cada vértice.
2.No es posible, pues el circuncentro se encuentra en
el agua.
3.a)Es un triángulo rectángulo.
c)Son dos triángulos rectángulos, pues la altura corta a AB en un ángulo recto.
d)El ortocentro es el punto D.
Página 68
Resuelve y practica
1. a)Se trata de un triángulo equilátero, por lo que todas las rectas notorias del triángulo coinciden.
b)Son medianas porque van del punto medio de los
lados al vértice opuesto. Una de ellas (la recta vertical) también puede ser mediatriz, bisectriz y altura,
pues es un triángulo isósceles.
c)Son bisectrices, ya que el punto en el que se intersecan equidista de los lados.
d)Son medianas porque van del punto medio de los
lados al vértice opuesto.
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Bloque 1 / LECCIÓN 7
39
Bloque
Lección
7
1
A la circunferencia que toca en un solo punto a cada uno de los tres lados de un triángulo se le llama circunferencia inscrita del triángulo.
Resuelve y practica
1. Justifica en tu cuaderno qué tipo de rectas están trazadas en cada caso. Sólo puedes
utilizar regla graduada.
4 Engrupo,comentensiesposibletrazarotracircunferenciainscritaencada
triángulo.
Situación inicial
Reflexiona
1. Dibuja en tu cuaderno lo siguiente.
a) Un triángulo en el que todos los puntos notables estudiados en la lección coincidan
en uno solo.
b) Un triángulo en el que todas las rectas notables estudiadas en la lección coincidan
en una sola.
2. Compartan en grupo sus respuestas a lo anterior y obtengan una conclusión.
a)
Regresa y revisa
b)
1 Entucuaderno,explicacómoresolveríaselproblemadelasituacióninicial.
2 Engrupo,comentensiesposibleconstruirelhospitalalamismadistanciade
lostrespoblados.
3 Enequiposdetres,realicenlassiguientesactividades.
a) DeterminencómoseclasificaeltriánguloABCenrelaciónconlamedidade
susángulos.
b) Tracenlastresalturasdeltriánguloyseñalensuortocentro.
c) LlamenDalpuntodondelaalturaquepasaporelvérticeCcortaalsegmento
AB.ElsegmentoderectaCDdividealtriánguloendostriángulos.Sinmedir
losángulosdelostriángulosACDyDCB,determinencómoseclasificansegúnlamedidadesusángulos.Justifiquensurespuestaensucuaderno.
d) Localicen,sintrazarlasalturasdeestostriángulos,elortocentrodelostriángulosACDyDCB.
e) Verifiquensurespuestatrazandolasalturasdeambostriángulos.
C
A
c)
Fig. 1.7.3.
Explora y construye
d)
2. Traza con tu juego de geometría de rojo las alturas, de azul la mediatrices, de verde
las medianas y de negro las bisectrices en un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 10
cm y 14 cm.
Toma nota
Localiza los siguientes conceptos
en el glosario (págs.
272-276) y anota
con tus propias palabras una explicación y un ejemplo
de cada uno:
• Alturas de un
triángulo
• Medianas de un
triángulo
• Mediatrices en un
triángulo
• Bisectrices en un
triángulo
B
Fig. 1.7.2.
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2.Sugerencia didáctica. Las rectas azules (mediatrices)
deben prolongarse hacia abajo para encontrar el circuncentro, y las rectas rojas (alturas) deben prolongarse hacia arriba para encontrar el ortocentro.
10 cm
6 cm
14 cm
Planeación
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 39
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40
Bloque 1 / LECCIÓN 8
L8
Reparto proporcional
Resolución de problemas de reparto proporcional.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 6 del bloque 5: resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo
“valor faltante”, en los que la razón interna o externa es
un número fraccionario.
Conceptos principales: proporción, reparto proporcional.
Materiales: calculadora.
Antecedentes
• Resolución de problemas de proporcionalidad del
tipo valor faltante (suma término a término, cálculo
de un valor intermedio, aplicación del factor constante)
• Identificación y aplicación del factor constante de
proporcionalidad (con números naturales)
• Problemas de valor faltante en los que la razón interna
o externa es un número natural
Ideas erróneas
1. Los alumnos pueden pensar que una repartición en
partes iguales es una manera justa de hacer un reparto aun cuando no todas las aportaciones hayan sido
iguales.
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Situación inicial (pág. 69)
En la actividad de inicio se busca que el alumno
analice que en ciertas situaciones una repartición
en partes iguales no es justa, y así tenga que buscar
sus propios métodos para obtener una repartición
que sí lo sea.
Explora y construye (págs. 69-72)
En el desarrollo de la secuencia, el alumno tendrá que resolver diversas situaciones en las que
usará reparto proporcional. Analizará qué criterios
hacen justa una repartición, y cuáles no. Escribirá como fracción la proporción que cada parte
aportó respecto al total, y la usará para resolver
esos problemas.
Regresa y revisa (pág. 72)
En esta sección el alumno analizará si los criterios
para una repartición justa son también válidos en
una situación en la que no hay ganancias sino pérdidas.
07/05/12 17:06
41
Bloque 1 / LECCIÓN 8
Solucionario y sugerencias didácticas
Lección
Bloque
8
1
8. Reparto proporcional
a) Silacantidaddedinerodestinadaalavigilanciaesde$5000porsemana,
¿cuántoledebendepagaracadaunodeellosporsutrabajodelasemana
pasada?¿Porqué?
Resolución de problemas de reparto proporcional.
Situación inicial
Tienda de buceo
3 Rosa,JavieryHerminiohicieron100tamalesoaxaqueños.Paracomprarlos
ingredientesaportaronlascantidadesde$80,$120y$200,respectivamente,
yserepartieroneltrabajodemaneraequitativa.Enparejas,analicencómose
debenrepartirlostamales,respondiendolaspreguntas.
Tresamigos:Alfonso,TereyRocío,seasociaronparaponerunatiendadebuceo
yparaelloaportarondiferentescantidadesdedinero.Alfonsopuso$40000;Tere,
$60000,yRocío,$100000.Sialfinaldelprimerañotuvierongananciasde$60000,
¿cómodebenrepartirseesedinerodeacuerdoconloqueaportócadauno?
a) ¿Consideranquesedebenrepartirlostamalesencantidadesiguales?¿Porqué?
Analiza
b) Rosa,JavieryHerminiotienen33,32y35añosdeedad,respectivamente.
1. En parejas, respondan las siguientes preguntas en su cuaderno.
a) Si los amigos se repartieran las ganancias en partes iguales, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno?
b)¿Consideran que las ganancias deben repartirse en partes iguales entre los tres? ¿Por
qué?
c) ¿Qué parte del total del dinero para iniciar el negocio aportó cada uno de los socios?
d)De acuerdo con su respuesta anterior, ¿qué parte de las ganancias le corresponde a
cada uno de los socios? Expliquen su respuesta.
¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehacedemanera
proporcionalasusedades?
c) ¿Piensanqueesjustorepartirlostamalessegúnsusedades?¿Porqué?
d) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcionalmentealaportemonetarioparalacompradelosingredientes?
e) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcio-
Explora y construye
nalmentealaportedetrabajoparahacerlostamales?
Repartición justa
Esprobablequehayasparticipadoenunrepartoequitativo.Enlaprimariaseresuelvenproblemasdondeladistribuciónesasí,peropregúntatesiesoesjustoen
todosloscasos.
4 Engrupo,verifiquensusprocedimientosyanalicensilosdistintoscriteriosseñaladosenelproblema,comoeltrabajohechoporcadapersona,laedaddecada
unooelaporteeconómicoparacomprarlosingredientes,sonigualmenteválidos.
1 Consideraelproblemadelasituacióninicialyrespondelosiguiente.
a) Silasgananciashubieransidode$50000,¿cómoserepartirían?
Dinero y chocolates
b) Silasaportacionesinicialeshubieransido:$100000deAlfonso,$120000
1 Enparejas,resuelvanlossiguientesproblemas.
a) Cadaunodeloscincointegrantesdeunafamiliaahorróduranteunañopara
pagarunviajealaplaya.Aportaronlassiguientescantidades.
deTerey$100000deRocío,ylasgananciasalfinaldelprimerañohubieran
sidode$60000,¿cómodeberíarepartirseesedinerodemodoproporcional
Integrante
aloqueaportócadauno?
2 UnaunidadhabitacionalcontratóaDavidyDanielcomovigilantesparatrabajar
delunesaviernes.Davidloharáde6ama6pmyDaniel,de6pma6am.La
semanapasada,DavidtrabajódosturnosqueletocabanaDaniel.
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g.
pá
Cuadro 1.8.1.
69
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24/02/12 13:37
Situación inicial
Tienda de buceo / Analiza
1. a)$20 000
b)Se espera que el alumno responda que no, porque
aportaron cantidades diferentes.
1
5
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3 , y Rocío, 1 .
parte del total; Tere, 10
2
d)A Alfonso le correspondería 51 parte, es decir,
3 partes, o sea, $18 000, y, a
$12 000; a Tere, 10
Rocío, la mitad, que equivale a $30 000.
Sugerencia didáctica. Aquí se puede tratar, si se presenta, la idea errónea 1 para determinar por qué en este
caso no es justo hacer una repartición en partes iguales.
Explora y construye
Página 69
Repartición justa
1. a)Las proporciones se conservarían. A Alfonso le
4 000
Concepción
4 500
Sergio
5 500
Devolución
70
g.
pá
24/02/12 13:37
2.a)De los diez turnos que trabajaron entre los dos,
David trabajó siete y Daniel tres; por lo tanto, a Da7 partes ($3 500) y a Daniel,
vid le corresponden 10
3 partes ($1 500).
10
3.a)Se espera que el alumno responda que no, pues
las aportaciones no fueron equitativas.
b)La suma de sus edades es igual a la cantidad de
tamales que prepararon; entonces, a Rosa le tocan
33; a Javier, 32, y a Herminio, 35.
c)Se espera que el alumno responda que no, pues la
edad no es un criterio justo para hacer la repartición.
d)A Rosa le tocarían 20; a Javier le tocarían 30 y a
Herminio, 50.
e)Se repartieron el trabajo de manera equitativa, así
que a cada uno le tocaría la misma cantidad, es
decir, 100 tamales entre 3.
Planeación
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 41
4 000
Página 70
Fecha Material 3 500
Silvia
corresponderían $10 000; a Tere, $15 000, y a Rocío, $25 000.
b)A Alfonso y a Rocío les corresponderían $18 750 a
cada uno, mientras que a Tere le tocarían $22 500.
Página 69
c)Alfonso puso
70
Ahorro ($)
María
Rogelio
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42
Bloque 1 / LECCIÓN 8
Lección
8
• Enlaprimeraceldadelaterceracolumnadelcuadroanterior,escriban
“Cantidadaportadarespectoaltotalreunido”ycompletenelrestodela
columnaconlasfraccionescorrespondientes.
• Sialregresardelviajelessobraron$2000,¿cómosedebenrepartirese
dinero?
• Anotenenlacuartacolumnacuántoletocaríaacadaquienyverifiquen
susresultadosconelrestodelgrupo.
Bloque
1
Toma nota
Reflexiona
Localiza reparto
proporcional en
el glosario (págs.
272-276) y anota
con tus propias palabras una explicación y un ejemplo
del término.
1. En el problema de los tamales oaxaqueños (ejercicio 2 de la página 70), si Rosa y Herminio hubieran aportado cada quien 200 pesos para los ingredientes y Javier no hubiera dado dinero pero hubiera hecho todos los tamales él solo, ¿cómo repartirías los
100 tamales? ¿Qué dificultad plantea esa repartición?
b) Jorge,RocíoySamuelcompraronunacajadechocolatescon60piezas.Rocíoaportólamitaddelcostototal;Jorge,laterceraparte,ySamuel,elresto.
Siserepartieranlaspiezasdemaneraproporcionalasuaportación:
Regresa y revisa
1 Enequiposdetres,leannuevamentelasituacióninicialyanalicenelsiguiente
planteamiento.Respondanlaspreguntasensucuaderno.
• ¿Cuántoschocolatesletocaríanacadauno?
Despuésdelprimeraño,lostresamigosqueríanhacercrecersunegocioeinvitaron
aJulietayEstheraasociarseconellosparaasítenermáscapital.Lasdosaceptaron
ycadaunaaportó$25000.Loscincoamigostrabajaronporigualpero,alfinalizar
elaño,nohubogananciassinopérdidas.Ademásdeperdereldinerodelainversión,
teníanquepagar$100000entretodos.
• Expliquenensucuadernoelprocedimientoqueusaronparaobtenerla
respuestaanterior.
c) JuanyCarlos,doscompañerosdetrabajo,compraronunboletodeunsorteo
yganaron$20000.Elrepartodelpremiosehizodemaneraproporcionalde
acuerdoconloqueaportaronyaJuanletocaron$7500.
a) Proponganunamanerapararepartirelpagoentrelossociosyexpliquenpor
quélodecidieronasí.
b) Silosamigoshubierandecididorepartirelpagopendientedemaneraproporcionalalacantidadquecadaquieninvirtió,¿cuáldeloscincohabríatenido
quepagarmás?¿Cuántohubierapagadocadauno?
• ¿QuépartedelcostodelboletoaportóJuan?
• ¿YquéparteaportóCarlos?
• Sielboletocostó$600,¿cuántodineroaportócadaunodeellos?
2 Engrupo,discutansusrespuestasanterioresyexpliquenenquésituacioneses
aplicableelrepartoproporcional.
• Expliquenensucuadernoquéhicieronparadeterminarelresultadode
laspreguntasanteriores.
d) Elgobiernofederalasigna$800000alañoalmunicipiodeSantiagoHuauclilla,Oaxaca,elcualestáconformadoporcuatropueblos:SantiagoHuauclilla
(239habitantes),SanBartoloméZotula(66habitantes),SanJuanTlalixtlahuaca(52habitantes),SantiagoIxtlahuaca(103habitantes).Ladistribucióndel
dinerosehacedemaneraproporcionalalnúmerodehabitantesdecada
pueblo.Respondanlassiguientespreguntas.
• ¿Quépartedeltotaldeldineroasignadolecorrespondeacadaunode
Busca en...
Observa y relaciona
el siguiente enlace actividades
y ejercicios sobre
reparto proporcional:
Participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (ptue)
Por ley, las empresas deben repartir parte de sus ganancias anuales a sus trabajadores.
Una compañía repartirá este año $90 000. Para calcular cuántas utilidades le corresponden a cada una de las 15 personas que laboran en ella, se usaron dos criterios:
• Reparto proporcional a los días trabajados. La mitad de la utilidades disponibles
($45 000) se repartió considerando los días laborados en el año, que se acumularon entre los 15 trabajadores (3 761 días); es decir, cada uno recibirá $11.96 por
día trabajado individualmente, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre
3 761.
• Reparto proporcional al salario recibido. La otra mitad se repartió considerando
el total de los salarios pagados por la compañía en el año ($523 100); es decir,
cada empleado recibirá 0.086 de su salario individual recibido ese año, número
que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 523 100.
a) ¿Qué criterio favorece más a los empleados?
b)Consulta la Ley Federal del Trabajo (artículo 117 en adelante) para conocer más sobre
la ptue (www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/).
www.edutics.
mx/Zoy
loscuatropueblos?
• ¿Quécantidaddedineroletocaacadapueblo?
2 Engrupo,respondanlaspreguntasdelincisoddelejercicioanteriorperoahora
considerenunaasignacióndeunmillóndepesos.
Fuentes: “SantiagoHuauclilla”,enEnciclopedia de los Municipios de México.Enwww.e-local.gob.mx/
work/templates/enciclo/oaxaca/municipios/20463a.htm
Consultadael14dediciembrede2011.
“SantiagoHuauclilla”.Enwww.nuestro-mexico.com/Oaxaca/Santiago-Huauclilla
Consultadael14dediciembrede2011.
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Dinero y chocolates
1.
Integrante
Ahorro ($)
María
3 500
Silvia
4 000
Rogelio
4 000
Concepción
Sergio
Devolución
7
43
8
43
8
43
$372.09
4 500
9
43
$418.60
5 500
11
43
$511.62
$325.58
$372.09
Página 71
a)El dinero que sobró debería ser repartido de manera proporcional a lo que aportaron.
b)• A Rocío le tocarían 30 piezas; a Jorge, 20, y a
Samuel, 10.
• Un procedimiento consiste en multiplicar la fracción del costo total que aportó cada uno por la
cantidad de piezas que tiene la caja de chocolates.
c) • Juan aportó 83 del costo del boleto.
• Carlos aportó
5
8
del costo del boleto.
• Juan aportó $225 y Carlos, $375.
•S
e puede dividir el total de dinero que ganaron
($20 000) entre la cantidad que ganó Juan ($7 500)
para obtener la fracción del total que aportó él.
Luego se calcula la fracción que aportó Carlos,
haciendo la resta de la unidad menos la parte
que aportó Juan. Finalmente, se multiplican esas
fracciones por el costo del boleto ($600).
d) • Al pueblo de Santiago Huauclilla le corres239
ponden 460
del total; a San Bartolomé Zotula,
66
52
460 ; a San Juan Tlalixtlahuaca, 460 , y a Santiago
103
Ixtlahuaca, 460 .
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Situación inicial
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Explora y construye
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á
p
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• A Santiago Huauclilla le tocan $415 652.17; a San
Bartolomé Zotula, $114 782.6; a San Juan Tlalixtlahuaca, $90 434.78, y a Santiago Ixtlahuaca,
$179 130.43.
2.A Santiago Huauclilla, $519 565.22; a San Bartolomé Zotula, $143 478.26; a San Juan Tlalixtlahuaca,
$113 043.47, y a Santiago Ixtlahuaca, $223 913.04.
Página 72
Reflexiona
1. Una posible respuesta es que los tamales se podrían
distribuir en partes iguales si se sustituyera la aportación económica por el trabajo. Nuevamente habría
que repartir 100 entre 3.
Regresa y revisa
Página 72
1. a) Una manera es repartir las pérdidas de manera
proporcional, de acuerdo con lo que cada quien
invirtió.
b) Julieta y Esther tendrían que pagar $10 000 cada una;
Alfonso, $16 000; Tere, $24 000, y Rocío, $40 000.
Observa y relaciona
a) El primer criterio favorece a todos por igual, mientras que el segundo favorece más a los que tienen
un sueldo mayor.
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Bloque 1 / LECCIÓN 9
L9
43
Juegos de azar
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y
registro de los resultados. Elección de estrategias en función
del análisis de resultados posibles.
Prepararse para
la secuencia
Aprendizaje esperado
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 8 del bloque 1 de
Matemáticas de 2° de secundaria: comparar cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
Conceptos principales: juegos de azar, procesos
aleatorios.
Materiales: bolsa de plástico, canicas (cuatro blancas,
cuatro verdes y cuatro negras por pareja), monedas y
un dominó por pareja.
Ideas erróneas
1. Hay situaciones en las que se toma en cuenta el orden de una combinación y otras en las que no. Generalmente depende del contexto o se especifica en
las indicaciones de la actividad. Por ejemplo: los números 1 y 2, como pares de números son diferentes,
es decir, (1, 2) ≠ (2, 1), pero si fueran fichas de dominó
representarían la misma pieza.
Situación inicial (pág. 73)
En esta actividad, el alumno deberá notar que en
algunos juegos de azar se tiene mayor posibilidad
de obtener algunos resultados que otros.
Explora y construye (págs. 73-76)
Esta sección tiene la intención de que el alumno
analice y distinga las situaciones en las que un resultado está completamente condicionado a un
proceso aleatorio de las situaciones en las que no
es así.
Primero identificará los juegos de azar. Luego,
mediante una serie de actividades, podrá analizar
en cuáles hay un resultado favorito y en cuáles
no. Finalmente, podrá concluir cuáles son las estrategias para elegir un número con más posibilidades de ser ganador.
Regresa y revisa (págs. 76-77)
Se busca que el alumno elija entre varios resultados
el que sea favorito o, cuando sea el caso, concluya
que todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir, basándose en la cantidad que hay
de cada uno.
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Bloque 1 / LECCIÓN 9
Solucionario y sugerencias didácticas
Lección
9
Bloque
1
1 Escribeentucuaderno:
a) Dosjuegosenlosqueintervenganprocesosaleatorios.
b) Dossituacionesenlasqueelresultadodeunjuegodependamásdelashabilidadesdelosparticipantesquedelosprocesosaleatorios.
9. Juegos de azar
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en
función del análisis de resultados posibles.
2 Engrupo,leanlosjuegosylassituacionesdedoscompañerosycomenten
cómointervienenlosprocesosaleatoriosenellos.
Situación inicial
Un juego de números
evisa
1 Enequiposdecincopersonas,haganlosiguienteyrespondanloquesepide.
3 Enequiposdetrespersonas,analicenlasiguientesituaciónyrespondanlas
preguntas.
Jugador
Turno
A
B
C
D
E
Enungrupodeprimerodesecundariaseelegirándosrepresentantesparaelcomitédeproteccióncivildelaescuela.LoscandidatospropuestosfueronCatalina,
Natalia,José,PabloyLaura.Laeleccióndelosrepresentantesseharámediante
sorteo:enunabolsacadacandidatometeráunpapeldeunmismotamañoydobladoalamitad,consunombre.Sinverdentrodelabolsa,otroalumnosacarádos
papelesyconelloseobtendráelnombredelosrepresentanteselegidos.¿Creen
queelparPablo-Joséganeelsorteo?¿Porqué?
1
Corten31pedazosdepapeldelmismotamañoyescriban
unnúmeroenellosdelasiguientemanera:en20,anotenel
número1;encinco,elnúmero2;enotroscinco,elnúmero
3,yenuno,elnúmero4.
2
3
4
5
6
Doblenlospapelesendosymétanlosenunabolsadeplástico.Tomenunpapelporturnoyanotenelnúmeroescritoen
élenelcuadrodeladerecha.Devuélvanloalabolsadoblado
denuevoendos.Despuésdesacar70veceslospapeles(14
porjugador),sumenlospuntosobtenidosparasaberquién
eselganador.
2 Respondanlosiguiente.
a) ¿Quénúmeroapareciómásveces?
7
a) ¿Quéotrosparessepuedenformar?
8
9
10
b) ¿LosparesJosé-LaurayLaura-Josésondiferentes?¿Porqué?
11
12
13
c) Sisesimulaelsorteovariasveces,¿creenquesepuedasaberquiénesserán
14
Total:
losrepresentantes?¿Porqué?
Cuadro 1.9.1.
b) ¿Cuálapareciómenos?
c) ¿Porquéalgunosnúmerosaparecenmásqueotros?
4 Simulenelsorteovariasvecesdelasiguientemanera.
Endiferentespapeles,escribanelnombredelosinteresadosenparticiparenel
comité.Doblenloscincopapeles,revuélvanlosytomendos.Escribanenelcuadro
1.9.2elparelegido.Devuelvanlospapelesalabolsayrevuélvanlos.Repitaneste
procedimiento14veces.UtilicenlasletrasC,N,J,PyLpararepresentarenelcuadro,respectivamente,losnombresdeCatalina,Natalia,José,PabloyLaura.
Analiza
1. En grupo, respondan lo siguiente.
a) Si se juega de nuevo, ¿el resultado será el mismo? ¿Por qué?
b)¿Es posible que en el juego el número 3 aparezca más veces que el 1? ¿Por qué?
Turno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Resultado
Explora y construye
Cuadro 1.9.2.
5 Usenlainformacióndelatablapararesponderlosiguiente.
Procesos aleatorios
Cuandosetiraunvolado,haydosresultadosposibles;cuandoselanzaundado
deseiscaras,hayseisresultadosposibles;sisejuegaalalotería,hayunnúmero
determinadoderesultadosposibles.Pero,aunquesepuedanconocertodoslos
resultadosposiblesdeestosjuegos,nosesabecuálseobtendrácadavez.Estoes
loquesucedeenlosprocesosaleatorios.Enunjuegodeazarintervienenprocesos
aleatorios.
a) ¿Quéresultadodelossiguientesaparecemásveces:hombre-mujer,mujermujeruhombre-hombre?
b) ¿Creenquesiserepitieracienveceselprocedimientolarespuestaalinciso
anteriorseríalamisma?¿Porqué?
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Situación inicial
Página 73
Un juego de números
2.a)El resultado no tiene que ser el mismo para todos,
pero el número que puede aparecer más veces es
el 1.
b)El número que puede aparecer menos es el 4.
c)Porque hay más papeles con esos números.
Analiza
1. a)El resultado puede no ser el mismo porque se pueden extraer otros papeles.
b)Sí es posible, aunque es muy poco probable que
suceda, pues hay menos papeles con el número 3
que con el número 1.
Explora y construye
Página 74
1. a)Por ejemplo, tirar un dado o sacar una carta de
una baraja.
b)Por ejemplo, lanzar dardos a un tablero o encestar
un balón.
Sugerencia didáctica. Se puede explicar la similitud
entre el juego de dardos y el juego de sacar papelitos
de la bolsa de plástico. En ambos se obtienen números, pero en el juego de dardos el participante más
hábil acertará a los valores más altos, mientras que en
el juego de los papeles no importa la habilidad.
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3.Es posible que el par Pablo-José gane; otras posibilidades son cualquier otro de los pares mencionados
en el siguiente inciso.
a)Catalina-Natalia, Catalina-José, Catalina-Pablo, Catalina-Laura, Natalia-José, Natalia-Pablo, NataliaLaura, José-Laura y Pablo-Laura.
b)No. Son el mismo par porque están integrados por
las mismas personas.
Sugerencia didáctica. Si aquí se presenta la idea
errónea 1, se puede discutir para explicar que lo que
se tiene en cuenta es la pareja elegida y no el orden
en el que se toma el papel con el nombre.
c)Una respuesta es que no se puede saber, ya que
cada vez que se simule el sorteo pueden ser representantes distintos.
5.a)La respuesta más probable es hombre-mujer, aunque puede ser cualquier par.
b)Una respuesta es: sí, pues hay más combinaciones
hombre-mujer que las otras dos combinaciones.
Página 75
6 a)Hombre-mujer.
Sugerencia didáctica. Si hay tiempo, se puede preguntar a los alumnos cuál resultado de esa actividad
se puede repetir más veces cuando hay, por ejemplo:
• dos mujeres y tres hombres,
• dos mujeres y dos hombres,
• tres mujeres y un hombre, y
• cuatro mujeres y un hombre.
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Bloque 1 / LECCIÓN 9
Bloque
Lección
9
1
6 Engrupo,discutanyrespondanlosiguiente.
a) ¿Cuáldelossiguientesresultadoscreenqueseobtendríamássiserepitiera
elsorteomilveces:hombre-mujer,mujer-mujeruhombre-hombre?
b) ¿Esrelevanteparaelresultadoqueelnúmerodemujeresquequierenintegrar
elcomitéseamayorqueeldehombres?¿Porqué?
5 Comparensusresultadosconlosdelosdemásequiposdelgrupoydiscutanlo
siguiente.
a) Sisetrataradeadivinarquécolorsaldrámáseneljuegodelascanicas,¿por
cuálapostarías?
b) ¿Hayalgunaestrategiaparaganareneljuegoanterior?¿Porqué?
Más juegos de azar
1 Enparejas,tomenunamonedaycadaunoláncelaalaire25veces.Anotenlo
quesaleencadalanzamientoenelcuadro1.9.3.PuedenutilizarlaletraApara
representarelresultadoquesea“águila”ySparaelquesea“sol”.Ganaráquien
obtengamásveces“águila”.
6 Repitanlosejercicios4y5,peroahorausencuatrocanicasblancas,tresverdes
yunanegra.Registrensusresultadosyrespuestasensucuaderno.
Turno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
¿Sólo azar?
Total
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
A
S
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mx/ZoF
Jugador 1
Jugador 2
un simulador
de un lanzamonedas.
Cuadro 1.9.3.
2 Enlapenúltimacolumna,dondeapareceA,anotenelnúmerototaldeveces
quesalió“águila”comoresultadodelvoladoy,enlaúltimacolumna,elnúmero
devecesquesalió“sol”.
Parajugardominó,lasfichasserepartendemaneraaleatoria.
1 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) Siessuturnoenunapartidadedominó,¿quédebenconsiderarparatiraruna
ficha?
b) ¿Sabríanconexactitudquéfichavanatirarenelsiguienteturno?¿Porqué?
a) ¿Lahabilidaddecadajugadorintervinoenelresultadodeljuego?
c) ¿Ganarunapartidadedominódependedelahabilidaddelosjugadores?
b) ¿Algúnresultadosaliómásveces?
2 Engrupo,comentenalgunosjuegosdondeganardependetantodelazarcomo
delahabilidaddecadajugador.
c) ¿Porquéconsideranquesucedióeso?
Reflexiona
3 Engrupo,verifiquensusrespuestasydiscutanlosiguiente:sirepitieraneljuego,
¿saldríanáguilasysolesencantidadessimilares?
1. José y Santiago estaban discutiendo de futbol. José decía que el resultado del juego
se define sólo por la habilidad de los jugadores, pero Santiago decía que además
depende del azar. ¿Tú qué opinas?
4 Enparejas,haganlosiguienteydespuésrespondanlaspreguntas.
Coloquenenunabolsaquenoseatransparentecanicasdeigual
tamañodelossiguientescoloresyenlascantidadesindicadas:
blanco(cuatro),verde(cuatro)ynegro(una).
Enelcuadro1.9.4,anotensusnombresenlasprimerasdosceldasvacías.Porturno,cadaquiensacaráunacanica,anotarásu
colorenlatablaylaregresaráalacaja.Ganaquienobtengamás
canicasdelmismocolor.
a) ¿Quiénganóyconquécolor?
b) ¿Quiénperdióycuálfueelcolorquemásobtuvo?
Jugador
Turno
1
Regresa y revisa
2
3
1 Respondelosiguienteentucuaderno.
a) Eneljuegodelascanicas(ejercicio4delapágina75),sisetrataradeadivinar
elcolorquesaldrámáseneljuego,¿cuálnodebeselegir?¿Porqué?
b) ¿Considerasquesiunresultadotienemásposibilidadesdesalir,elegirloteda
ventajasparaganar?¿Porqué?
4
5
6
7
8
2 Engrupo,discutansielúnicofactorparaganarunjuegoeselegirelresultado
quetieneelmayornúmerodeposibilidadesdesalir.
9
10
Cuadro 1.9.4.
75
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p
76
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b) Sí es relevante, pues define el número de posibles
combinaciones.
Más juegos de azar
2.a)No.
b)Sí. Algún resultado tiene que salir más veces.
c)Porque hay un número impar de lanzamientos.
Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al
alumno qué jugador iba ganando después del segundo turno. Es muy probable que alguna pareja
de jugadores esté empatada después del segundo
turno, y pueden hacer un análisis acerca de por qué
hay situaciones en las que conviene un número impar de lanzamientos para evitar el empate. Incluso se
puede mencionar el conocido “dos de tres”.
3.No necesariamente; alguno de los dos puede salir
más veces.
4.a) y b) Los resultados varían de pareja a pareja, pero
los colores que aparecerán más veces serán el blanco y el verde.
Página 76
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b)No hay una estrategia para ganar, aunque elegir la
canica negra es la peor opción.
6.a)Por la canica blanca.
b)Una estrategia es elegir la canica blanca, aunque
no hay certeza de que se ganará.
¿Sólo azar?
a)Una posible respuesta es: primero hay que considerar cuáles fichas se pueden tirar en ese turno;
luego, analizando las demás fichas que se tienen,
decidir cuál da alguna ventaja.
b)No se puede saber cuál ficha tirar en el siguiente
turno, pues depende de lo que tiren los demás,
aunque en ciertas situaciones sí es posible saberlo.
c)No depende exclusivamente de la habilidad de
cada jugador, pero sí es un factor importante.
2.Por ejemplo, el póquer y el backgammon.
Reflexiona
1. El futbol es un deporte en el que la habilidad de los
jugadores es primordial para obtener un resultado
positivo. Sin embargo, eso no significa que un equipo
con jugadores más hábiles siempre ganará: el resultado depende también de otros factores.
5.a)Por la blanca o la verde.
Planeación
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 45
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46
Bloque 1 / LECCIÓN 9
Lección
9
Resuelve y practica
1. En parejas, hagan lo siguiente y respondan las preguntas.
Coloquen las fichas de un juego completo de dominó boca abajo y revuélvanlas. Saquen
una ficha y registren en su cuaderno la suma de todos sus puntos, regrésenla boca abajo
con las otras fichas y vuelvan a revolver todas. Repitan este procedimiento 50 veces.
a) A partir de los resultados, ¿cuál suma consideran que tiene más posibilidades de
salir: 6 u 8?
b)Si les pidieran adivinar la suma de los puntos de una ficha de dominó elegida al azar
de entre el total de las fichas, ¿cuál propondrían? ¿Por qué?
2. En equipos de tres, hagan lo siguiente.
Cada quien elija uno de estos pares de números: 1 y 2; 3 y 4; 5 y 6. De acuerdo con ello, anoten su nombre en las celdas de inicio de columna del cuadro que aparece más adelante.
Lancen un dado sobre una superficie plana. Anoten una G en la celda ganadora del
primer turno. Hagan lo mismo hasta el último turno. Gana el jugador que acumule
más turnos ganadores.
Nombre del jugador (puntos elegidos)
Turno
(1 o 2)
(3 o 4)
Nombre del jugador (puntos elegidos)
Turno
13
2
14
3
15
4
5
6
(1 o 2)
(3 o 4)
(5 o 6)
16
17
18
7
19
8
20
9
21
10
y revisa
(5 o 6)
1
22
11
23
12
24
Cuadro 1.9.5.
Ahora respondan las preguntas.
a) ¿Qué pares de números resultaron ganadores?
b)¿Consideran que en este juego interviene la habilidad del jugador?
3. Comparen en grupo los resultados de todos los equipos y contesten lo siguiente.
a) ¿Coinciden los pares ganadores de todos los equipos? ¿Por qué?
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g.
pá
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Regresa y revisa
Página 76
1. a) El negro, porque sólo hay una canica de ese color,
mientras que hay cuatro canicas de cada uno de
los otros colores; es decir, la canica negra saldrá
menos veces.
b)Sí, porque hay más posibilidades de obtener ese
resultado.
2.No es el único factor, pues no hay una certeza de
que el resultado elegido será el ganador, aunque sí es
una buena estrategia.
Página 77
Resuelve y practica
Sugerencia didáctica. Algunos alumnos escribirán
que 8 es la suma que tiene más posibilidades, pues así
sucedió en su experimento. Es importante comparar
varias respuestas y analizar que hay más combinaciones que permiten obtener el número 6 que combinaciones que permiten obtener el 8.
b)El número 6, pues se obtiene con más sumas que
los demás números: con las fichas (0, 6), (1, 5), (2, 4)
y (3, 3).
2.a)Depende de cada equipo, pues no hay números
favoritos.
b) No, pues es un juego de azar y todos los números
tienen la misma posibilidad de salir.
3.a) Lo más seguro es que no, pues es un experimento
aleatorio con la misma posibilidad para todos los
resultados.
1. a) La respuesta que se espera es 6.
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Bloque 1 / Evaluaciones
47
Autoevaluación
1 Lee cada uno de los siguientes enunciados.
2 Señala si es falso (F) o verdadero (V).
3 Explica cómo verificarías tu respuesta.
Enunciado
F
1
V
ü
a) 5 es igual a 0.26.
20
5
= 100 = 0.20 ≠ 0.26.
12
3
b) Si un número a es menor que 5 y otro
ü
3
número b es mayor que , entonces, en
5
la recta numérica, a está a la izquierda de b.
7
c) Si en un rectángulo el perímetro es de 3 cm
y uno de los lados mide 3 cm, entonces el otro
4
5
cm.
lado mide
12
d) La sucesión 7, 9, 11,… es de progresión
geométrica.
ü
Calcular el perímetro con los datos que se indican:
(L + L + A + A =) 3 + 3 + 5 + 5 = 9 + 9 + 5 + 5 = 28
4
4
12
12
g) En un triángulo con un ángulo obtuso, el
ortocentro siempre se ubica fuera de él.
h) Cecilia trabajó tres días de 8 am a 1 pm, y
12
12
12
12
9
ü
Usar la fórmula para calcular el área de un triángulo
( b x h ) y multiplicar por 2 la altura.
ü
Los extremos del segmento son los vértices del
triángulo; para encontrar el tercer vértice se trazan dos
circunferencias, cada una con centro en un extremo
del segmento, con un radio igual a la medida de éste;
esas circunferencias se intersecan en dos puntos, y
cualquiera de ellos es el tercer vértice del triángulo
equilátero.
ü
Se trazan varios triángulos obtusángulos y sus
ortocentros.
2
ü
Hay que repartir una cantidad de dinero entre las dos
personas, pero Cecilia trabajó 15 horas en total y Juan,
20, por lo que les corresponden cantidades de dinero
diferentes.
ü
Al lanzar un dado todos los resultados tienen la
misma posibilidad de salir, por lo que no hay forma de
predecir el resultado del tiro número 11, es decir, no
hay ninguna estrategia.
i) Si se va a lanzar 11 veces un dado, una
4 En la página 85 podrás revisar cuáles enunciados son falsos y cuáles verdaderos.
Revisa en tu libro los temas de las respuestas erróneas; de ser necesario, replantea tus propuestas de verificación y aplícalas.
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12
= 7 , por lo tanto, el enunciado es cierto.
7
Los cocientes 9
y 11 son distintos, por lo tanto, no es
una sucesión con progresión geométrica.
ü
f) Dado un segmento, es posible construir un
triángulo equilátero sólo usando compás y regla
no graduada.
estrategia para adivinar el número que caerá
en el volado número 11 consiste en elegir el
número que caiga más veces en los primeros
10 tiros.
Como en la recta numérica el número a se localiza a
3
3
la izquierda de 5 (pues a es menor que 5 ), y como
el número b se localiza a la derecha de 3 (pues b es
5
3
mayor que 5 ), entonces a está a la izquierda de b.
3
e) Si un triángulo de base m y altura z aumenta
su altura al doble, entonces el área del triángulo
resultante es m por z.
Juan, dos días de 8 am a 6 pm, por lo cual a
ambos deben pagarles la misma cantidad de
dinero.
Propuesta de verificación
83
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48
Bloque 1 / Evaluaciones
Evaluación
ENLACE
1 ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma
posición que 0.3 en la recta numérica?
a)
b)
c)
d)
8
12
1
No existe tal fracción.
2 Observa la siguiente recta numérica.
0
1
b
¿Qué número corresponde a la posición b?
13
a) 5
5
b) 8
8
c) 5
d) 1.3
3 Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio de
1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le tocó
medio millón de pesos, ¿cuánto aportó dicha persona?
a)
b)
c)
d)
$20
$25
$30
$40
4 La intersección de las mediatrices de un triángulo se encuentra en el punto
medio de uno de sus lados cuando el triángulo es…
a)
b)
c)
d)
equilátero.
isósceles.
rectángulo.
escaleno.
5 Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz aforado
5
de un litro mezcle 8 de litro de la solución A y 0.1 litros de alcohol etílico. Complete la mezcla con agua destilada hasta 1 litro”. ¿Cuántos litros se necesitan de
agua destilada?
2
a) 8
3
b) 9
11
c) 40
15
d) 8
84
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Bloque 1 / Evaluaciones
49
Evaluación
PISA
5
1 Para hacer unos bastidores, un carpintero utilizará clavos que miden 8 de pulgada, de modo que al clavarlos queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para
colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de cada clavo que
quedará dentro de la madera.
La parte del clavo que queda dentro de la madera es
5
8
–
1
10
=
21
40
de pulgada.
2 Indica en la regla correspondiente la longitud de cada uno de los clavos cuyas
medidas se presentan a continuación.
NM
O
Clavo
Longitud
M
3
de pulgada
4
N
5
de pulgada
8
O
1
1
pulgadas
4
X
1.2 cm
Y
3.8 cm
Z
7.6 cm
Pulgadas
Centímetros
X
Y
Z
3 En un centro comercial se apilan latas de duraznos del siguiente modo.
a) ¿Cuántas latas habrá apiladas en un arreglo con 20 niveles?
b) ¿Y en uno de 100 niveles?
210 latas.
5 050 latas.
Respuestas de la autoevaluación de la página 83. Enunciados falsos: a, d, h, i; enunciados verdaderos: b, c, e, f, g.
85
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165
B1 Evaluación
Nombre del alumno Grupo Fecha Subraya la respuesta correcta.
1. Cecilia compró un terreno. Ocupó una tercera parte para hacer un balneario, puso una sexta parte en renta y ocupará una octava parte para
sembrar. ¿Qué parte del terreno quedará disponible?
1
a) 17
9
b) 24
15
c) 24
d) 17
3
2.¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo cuyos lados
miden L y 2L?
a) 3 × L
b)2L × L
c)4L + 2L
d)L × L + 2L × 2L
3.Saúl y José compraron un boleto de lotería con el que ganaron $900.
Saúl puso 23 del costo del boleto y José lo demás. Si se distribuyeron la
ganancia de manera proporcional, ¿cuánto dinero le tocó a José?
a) $300
b)$900
c)$600
d)$0
4.De las siguientes opciones, ¿cuál es un juego de azar?
a) Volados.
b)Ajedrez.
c)Dardos.
d)Rayuela.
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166
Bloque 1
5.En un triángulo, las alturas son:
a) las rectas que pasan por un vértice y dividen en dos partes iguales su
lado opuesto.
b)las rectas que dividen un ángulo interior en dos partes iguales.
c)los segmentos que van de un vértice a su lado opuesto y lo cortan perpendicularmente.
d)los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice
opuesto.
6.Cuando se comparan dos números racionales con el mismo denominador, la manera más sencilla de saber cuál es más grande consiste en:
a) multiplicar por el denominador común y simplificarlas.
b)observar qué numerador es mayor.
c)identificar el más cercano al cero en la recta numérica.
d)reducirlas a su mínima expresión y compararlas.
7. Un paquete de cuatro donas se repartió en partes iguales entre cinco
personas. ¿Qué fracción le tocó a cada quién?
a) 0.8
b)0.45
c)
d)
5
4
1
5
8.¿Cuál de los siguientes números se encuentra entre 0.001 y 0.002?
a) 0.0010
b)0.0110
c)0.0012
d)0.0120
9.¿Cuál enunciado describe adecuadamente el sentido de la expresión
3n + 2?
a) La tercera posición se multiplica por n y al resultado se le suman dos
unidades.
b)Tres veces la suma de la posición n más 2.
c)Se suma 3 más 2 y el resultado se multiplica por la posición n.
d)Se multiplica 3 por el número n y al resultado se le suma 2.
12 ?
10.¿Cuál de las fracciones es equivalente irreducible de 42
24
a) 84
6
b) 21
c)
d)
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2
7
3
8
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evaluación
175
Respuestas a las evaluaciones
BLOQUE 1
BLOQUE 2
BLOQUE 3
1
A B C D
1
A B C D
1
A B C D
2
A B C D
2
A B C D
2
A B C D
3
A B C D
3
A B C D
3
A B C D
4
A B C D
4
A B C D
4
A B C D
5
A B C D
5
A B C D
5
A B C D
6
A B C D
6
A B C D
6
A B C D
7
A B C D
7
A B C D
7
A B C D
8
A B C D
8
A B C D
8
A B C D
9
A B C D
9
A B C D
9
A B C D
10 A B C D
10 A B C D
BLOQUE 4
BLOQUE 5
1
A B C D
1
A B C D
2
A B C D
2
A B C D
3
A B C D
3
A B C D
4
A B C D
4
A B C D
5
A B C D
5
A B C D
6
A B C D
6
A B C D
7
A B C D
7
A B C D
8
A B C D
8
A B C D
9
A B C D
9
A B C D
10 A B C D
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10 A B C D
10 A B C D
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