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D.R.
©
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012.
Principios de óptica y física moderna
ii
Mapa de
contenidos
Capítulo 1
Ecuaciones de
Maxwell y ondas
electromagnéticas
Capítulo 2
Fenómenos
ópticos y sus
características
principales
D.R.
©
Capítulo 4
Teoría especial
de la relatividad
Capítulo 6
Propiedades
ondulatorias de
la materia
Capítulo 5
Propiedades
corpusculares
de la radiación
Capítulo 3
Formación de
imágenes en
espejos y lentes
delgadas
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Capítulo 7
Modelos
atómicos y el
átomo de Bohr
Capítulo 8
Principios
de mecánica
cuántica
Principios de óptica y física moderna
Dragan Trifunovic / Photos.com
Introducción del eBook
D
esde la invención del transistor y el láser,
tanto la óptica como la electrónica han avanzado de manera acelerada. No podríamos
concebir al mundo actual sin las computadoras,
los reproductores de CD, los DVD, las celdas solares y los televisores con pantalla plana de cristal
líquido (LCD) y tecnología LED. Todo esto ha sido
posible gracias a los trabajos y esfuerzos tanto de
científicos como de ingenieros dedicados a estudiar
y entender la forma como se propaga la radiación
electromagnética, su interacción con la materia, el
comportamiento de los sistemas físicos a dimensiones comparables con las atómicas y, los fenómenos asociados a estas dimensiones nanoscópicas,
por mencionar algunos ejemplos.
D.R.
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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012.
Tanto la electrónica moderna como la óptica son
campos multidisciplinarios relacionados con la mecánica cuántica, la física del estado sólido, la física
de materiales y de superficies, por lo que el objetivo central de este libro es presentar un panorama
de las áreas de la física, el cual es necesario para
entender el funcionamiento básico de estos importantes avances tecnológicos.
Principios de óptica y física moderna
1
Capítulo 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
Organizador temático
Ecuaciones de
Maxwell en forma
diferencial
La ecuación de
onda sin fuentes
para E y B
Superposición
de las ondas
electromagnéticas
D.R.
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Ondas
electromagnéticas
y la velocidad de la
luz en el vacío
Espectro
electromagnético
Energía
almacenada
en las ondas
electromagnéticas
Principios de óptica y física moderna
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
tiempo a los rayos del sol en una playa? Para responder estas y otras preguntas, la propagación de ondas electromagnéticas y sus características
básicas se presentan en este capítulo a partir de las ecuaciones de Maxwell
y los campos electromagnéticos.
ACTIVIDad
¿
Te has preguntado cómo se propagan las señales vía satélite para
poder presenciar eventos artísticos y deportivos que se llevan a
cabo en diferentes partes del mundo?, ¿cómo funcionan los hornos
de microondas? O, acaso, ¿por qué es dañino exponerse durante mucho
Temas capítulo 1
2
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
Introducción
Ecuaciones de
Maxwell en forma
diferencial
conclusión
La ecuación de
onda sin fuentes
para E y B
Ondas electromagnéticas
y la velocidad de la luz en
el vacío
glosario
Espectro electromagnético
recursos
Superposición de las ondas
electromagnéticas
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Energía almacenada en las
ondas electromagnéticas
Principios de óptica y física moderna
GLOSARIO
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el
vacío
1.1.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas
(OEM)
1.1.2 Las ecuaciones de Maxwell
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recursos
CONCLUSIÓN
A mediados del siglo XIX, se tenía un gran conocimiento acerca de los fenómenos eléctricos y magnéticos en el
vacío, caracterizados por los campos E y B. Gracias a los
estudios de Coulomb, Gauss, Ampere, Henry y Faraday,
se había establecido un conjunto de ecuaciones que sintetizaban el conocimiento adquirido hasta esos tiempos: las
leyes de Gauss para el campo eléctrico, inducción de Faraday, Gauss para el campo magnético y Ampere para el
campo magnético, además de las leyes operacionales de
Coulomb y de Biot-Savart para calcular los campos eléctricos y magnéticos de distribuciones de carga y corriente
arbitrarias:
glosario
ACTIVIDAD
Hacia 1678, Christian Huygens propone una teoría alternativa, en la cual la luz tiene una naturaleza ondulatoria
y muestra que ésta puede describir de forma adecuada los
fenómenos ópticos de reflexión, refracción y superposición
de la luz; sin embargo, su trabajo no recibe la aprobación
del mundo científico de la época. Luego, en el siglo XIX,
los experimentos de Young, Fresnel y Foucault muestran
que, bajo ciertas condiciones, la luz se comporta como una
onda. Finalmente, con el surgimiento de la teoría electromagnética de Maxwell y Hertz, la naturaleza ondulatoria
de la luz queda plenamente demostrada y es aceptada de
manera general.
conclusión
RECURSOS
Durante mucho tiempo, el hombre se ha preguntado cuál
es la naturaleza de la luz. Desde las primeras eras hasta la
invención de lentes primitivas y espejos, el comportamiento de la luz siempre ha sido un misterio. Entre los primeros
intentos para entender estos fenómenos, Newton propuso
que la luz estaba compuesta de partículas emitidas por la
fuente luminosa que, al chocar con el ojo, estimulaban la
percepción visual. Esta descripción fue conocida como teoría corpuscular de la luz.
glosarioACTIVIDad
Onda electromagnética
Perturbación que no requiere un
medio de propagación y que viaja a
la velocidad de la luz en el vacío.
Temas capítulo 1
MAPA
3
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
Principios de óptica y física moderna
Ecs. (1.2.1-1.2.6)
GLOSARIO
Por otro lado, en ese tiempo se sabía que todas las ondas mecánicas satisfacían una ecuación de onda clásica y
una solución como las mostradas a continuación:
Ecuación de onda
Ecuación diferencial parcial que describe la evolución en el tiempo de una
onda, ya sea mecánica o electromagnética.
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recursos
Por lo tanto, para entender la naturaleza de la radiación electromagnética y mostrar que en realidad los
campos electromagnéticos se propagan como ondas,
debemos expresar a las ecuaciones de Maxwell en un
formato diferencial.
Visualiza aquí el proceso para
expresar a las ecuaciones de
Maxwell en un formato diferencial.
glosario
Gracias a los trabajos de Maxwell sobre los fenómenos
de inducción debidos a los campos eléctricos variables en
el tiempo, la ley de Ampere fue modificada para incluir el
término correspondiente a la corriente de desplazamiento. De hecho, a partir de esos estudios, se le denomina la
ley de Ampere-Maxwell. En resumen, a las primeras cuatro
ecuaciones de la serie anterior se les llama Ecuaciones de
Maxwell en forma integral (Cuadro 1.1).
La solución de esta ecuación diferencial (Ec. (1.1.8))
describe a una onda propagándose en el medio donde
se produce dicha perturbación mecánica. De hecho, la
velocidad de propagación de la onda depende de las
propiedades del medio.
conclusión
RECURSOS
ACTIVIDad
Ecs. (1.1.7-1.1.8)
Onda mecánica
Perturbación mecánica que necesariamente requiere un medio de propagación, por ejemplo, en sólidos o
fluidos.
Temas capítulo 1
4
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
Principios de óptica y física moderna
Así, se obtiene:
En particular, nos interesa la propagación de los campos
electromagnéticos en el vacío, por lo tanto, en el conjunto
anterior tomamos ρ =0 y J=0. De este modo, las ecuaciones de Maxwell resultan:
Ecs. (1.1.13-1.1.16)
En la siguiente liga, encontrarás una
serie de problemas resueltos sobre
ondas electromagnéticas y su propagación, mismas que te serán de utilidad para profundizar en varios de los
conceptos hasta aquí expuestos.
Problemas de Ondas Electromagnéticas
Códigos MATLAB de gradiente divergencia y rotacional
Visualiza las ecuaciones de onda y ondas electromagnéticas en la sección de Recursos.
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recursos
CONCLUSIÓN
A partir de estas ecuaciones y, tomando el rotacional
de la segunda ecuación en combinación con la primera,
obtenemos la ecuación de onda para E y B (ver el cuadro
1.3). Al comparar con la ecuación de onda clásica, notamos que las ondas electromagnéticas viajan con velocidad
c=1/(å0ì0)1/2=2.99x108m/s
, esto es, a la velocidad
de la luz en el vacío.
Ecuaciones de onda y ondas electromagnéticas
glosario
ACTIVIDAD
Aquí, E y B son los campos eléctricos y magnéticos,
ρ es la densidad volumétrica de carga, J es la densidad
es la
superficial de corriente,
es la perpermitividad del vacío y
meabilidad del vacío. La divergencia y el rotacional de un
campo vectorial son conceptos muy abstractos del cálculo
vectorial; sin embargo, su naturaleza geométrica se puede visualizar con ayuda de las animaciones que aparecen
en la liga de UPV en la sección de Recursos, así como
los códigos en MATLAB que te permiten insertar diferentes
campos vectoriales y obtener la representación gráfica de
su gradiente, divergencia y rotacional.
conclusión
RECURSOS
Divergencia de un campo vectorial
espacial en un punto a elegir
glosarioACTIVIDad
Ecs. (1.1.9-1.1.12)
RECURSOS
Temas capítulo 1
MAPA
5
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
Principios de óptica y física moderna
GLOSARIO
La solución de dicha ecuación de onda para E es una función periódica que oscila de forma perpendicular a la dirección
de propagación de la onda, dada por el vector de onda k:
Vector de onda (k)
Es el vector que indica la dirección de
propagación de la onda. Su magnitud
es igual a 2π/λ.
Temas capítulo 1
6
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
ACTIVIDad
Como es usual,
RECURSOS
Por otro lado, la solución para B puede establecerse
similarmente:
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recursos
Con lo cual es evidente que el campo magnético B es
perpendicular tanto al vector de onda como al campo eléctrico. Esto demuestra la transversalidad de las ondas electromagnéticas en el vacío (Cuadro 1.4).
Propagación de las ondas electromagnéticas
glosario
En la siguiente liga se presenta una
animación de la propagación de las
ondas electromagnéticas en el vacío
donde se pone de relieve la naturaleza transversal de las mismas.
conclusión
Sin embargo, las amplitudes vectoriales E0 y B0 no son
independientes entre sí, dado que deben satisfacer la Ley
de Faraday (ec. 1.1.13). Así, puede mostrarse que:
Principios de óptica y física moderna
RECURSOS
De este modo, se demuestra que la luz está formada por campos electromagnéticos y que se propagan a la velocidad
de la luz en el vacío. En general, la radiación electromagnética se propaga como onda. En la siguiente sección discutiremos algunas de sus características.
Códigos MATLAB para parámetros
de una onda EM
Problemas resueltos de las ecuaciones de Maxwell
1) En una región del espacio libre, se encuentra una densidad volumétrica de carga dada por
glosarioACTIVIDad
Te sugerimos correr los siguientes
códigos en MATLAB para modificar
los parámetros de una onda EM y
observar cómo se manifiestan estos
cambios en la apariencia de la onda.
Temas capítulo 1
MAPA
7
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
conclusión
RECURSOS
4) Una densidad superficial de corriente está dada
por
3) Para el mismo cascarón del problema anterior,
eje del cilindro al punto en coordenadas cilíndricas. Con esta información, calcular la corriente que
atraviesa un conductor cilíndrico de radios R y 2R.
1
R2=8mm, existe una densidad volumétrica de carga uniforme de 8 C/ m3. Si  =0 para r< R1, calcular la carga total dentro del cascarón esférico.
obtener el campo eléctrico a r=7mm del centro de
la distribución esférica.
, siendo  la distancia desde el
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recursos
CONCLUSIÓN
2) En un cascarón esférico de radios R =6mm,
glosario
ACTIVIDAD
a) Calcular la carga total encerrada en una superficie esférica de radio r=1mm, b) Por medio de la Ley
de Gauss, obtener el campo eléctrico a esa misma distancia medida desde el centro de la distribución de
carga.
Principios de óptica y física moderna
Solución:
La corriente eléctrica y la densidad superficial de corriente están rela. De este modo, debemos expresar
cionadas mediante
Problemas resueltos de ondas electromagnéticas
1) Sea
en el vacío.
Obtener:
a) dirección de propagación
c) frecuencia
b) longitud de onda
d) vector campo magnético
Por lo tanto, la corriente eléctrica se calcula por medio de la siguiente
integral:
Dado que
recursos
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, así
d)
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©
entonces
glosario
c) dado que
Así que esa contribución a la corriente eléctrica es nula.
D.R.
y la dirección de
propagación de la onda es en +x.
b) como
Como puede notarse, la corriente depende tanto de su dirección en la
que viaja como de la geometría del conductor por el cual circula. Esto se
manifiesta dado que para un conductor cilíndrico tenemos otro diferencial
, sin embargo:
de superficie dado por
entonces
conclusión
Solución:
ACTIVIDad
el diferencial de superficie dS (para la superficie lateral del cilindro) en
coordenadas cilíndricas:
Temas capítulo 1
8
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
Principios de óptica y física moderna
9
2) El campo eléctrico
3) Una onda plana se propaga en el vacío de modo tal que la amplitud del
está dado por:
.
Solución:
Solución:
.
a)
b)
conclusión
Como se había establecido antes,
ACTIVIDad
Obtener el campo magnético
campo eléctrico es de 240V/m y oscila en la dirección z. Además, sabemos
.
que la onda EM se propaga en la dirección +x y que
Con estos datos, calcular: a) la frecuencia de oscilación f, b) el periodo,
c) la longitud de onda, d) la magnitud del campo magnético y e) la dirección de oscilación de este campo.
Temas capítulo 1
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
Así
d)
e) Por la regla de la mano derecha, la dirección de oscilación de B es –j.
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recursos
Con lo que queda de manifiesto la transversalidad de los campos electromagnéticos con respecto a la dirección de propagación de la onda y la validez de la regla de la mano derecha, esto para determinar la dirección de
un vector conociendo las direcciones de los otros dos.
glosario
c)
Principios de óptica y física moderna
Temas capítulo 1
10
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío
CUADROS
ACTIVIDad
Cuadro 1.2 Las ecuaciones de Maxwell en
forma diferencial para los campos eléctricos
y magnéticos.
conclusión
Cuadro 1.1 Las ecuaciones de Maxwell en
forma integral para los campos eléctricos y
magnéticos.
glosario
Cuadro 1.4 Funciones de onda para los
campos eléctricos y magnéticos.
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recursos
Cuadro 1.3 Ecuaciones de onda para E y B
en el espacio vacío.
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1.2 Espectro electromagnético
Dado que la onda viaja en el vacío, su velocidad es la de la
luz (c = 3x108m/s) y, como es usual para cualquier onda,
y la
la velocidad de propagación c, la longitud de onda
frecuencia se relacionan mediante
recursos
CONCLUSIÓN
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Espectro electromagnético
Es una representación gráfica que
permite ordenar las distintas radiaciones electromagnéticas de acuerdo
con su longitud de onda o frecuencia.
glosario
ACTIVIDAD
La representación gráfica de las distintas radiaciones
electromagnéticas de acuerdo con su longitud de onda o
frecuencia recibe el nombre de espectro electromagnético. Este diagrama presenta la totalidad de las radiaciones
electromagnéticas, desde ondas con longitud de onda extremadamente muy corta (rayos , rayos X), corta (ultravioleta (UV)), de rango intermedio, (visible (VIS), infrarrojo
(IR), microondas) hasta muy grandes (ondas de radio).
D.R.
Longitud de onda (λ)
Es la distancia entre nodos o crestas
sucesivas en una onda.
conclusión
RECURSOS
De aquí, es evidente que frecuencia y longitud de onda
son inversamente proporcionales, a mayor frecuencia menor longitud de onda. Este hecho es fundamental para
comprender por qué algunas radiaciones electromagnéticas son más penetrantes que otras. Por ejemplo, un operario de un equipo de rayos X debe protegerse de la radiación usando capas de plomo, en tanto que para evitar que
la luz visible entre en una habitación, basta con cerrar las
persianas.
Por cierto, la única región del espectro electromagnético a la cual es sensible el ojo humano es el rango visible (f~1015Hz). La exposición prolongada a la radiación UV
(f~1016Hz), en cambio, tiene efectos potencialmente dañinos; por ejemplo, provocar cáncer en la piel. La radiación
IR (f~1013Hz) tiene múltiples aplicaciones, entre las que
podemos mencionar su uso en sensores para detectar la
presencia de seres vivos en condiciones de oscuridad extrema, así como sensores para abrir o cerrar las llaves de
agua; las microondas (f~1011Hz) se usan para cocinar alimentos o para comunicaciones por medio del radar; finalmente, las ondas de radio (f~107Hz) se utilizan ampliamente en la telefonía así como en la transmisión de señales de
audio.
glosarioACTIVIDad
1.2.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas
(OEM)
GLOSARIO
Temas capítulo 1
MAPA
11
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.2 Espectro electromagnético
Principios de óptica y física moderna
Los rayos X son ampliamente utilizados para llevar a cabo tanto estudios médicos (radiografías), como investigación para caracterizar materiales (difracción de rayos X) o para realizar rutinarias revisiones de seguridad en aeropuertos y puertos comerciales.
Temas capítulo 1
12
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.2 Espectro electromagnético
ACTIVIDad
conclusión
glosario
Cabe mencionar que, como lo veremos más adelante, la energía de la radiación electromagnética es directamente proporcional a la frecuencia de la radiación, así que otra forma de ordenar las distintas radiaciones es en base a su energía, tal y como se muestra en la escala inferior de la figura 1.1.
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recursos
Figura 1.1 El espectro electromagnético. Se muestra la comparación con diversos objetos para apreciar el tamaño relativo de las ondas electromagnéticas.
Principios de óptica y física moderna
Temas capítulo 1
13
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.2 Espectro electromagnético
Problemas resueltos
1) Dos radiaciones electromagnéticas (REM) se propagan en el va-
cío. ¿Cuál de ellas es más energética si
-8
12
1=10 m o f2=1x10 Hz?
Entonces la longitud de onda es del orden de: a) un sacapuntas escolar.
Puesto que f1>f2 y como la energía es directamente proporcional a la
frecuencia, concluimos que E1>E2.
2) Una REM propagándose en el vacío posee una frecuencia de
Para poder hacer una comparación, debemos convertir la frecuencia
en longitud de onda:
Dado que el espaciamiento promedio entre átomos es 10-10m, la REM
que puede ser de utilidad para estudiar la estructura cristalina debe
tener una longitud de onda similar. Revisando la figura 1.1, encontramos que la radiación electromagnética apropiada son los rayos X
(inciso d)). De hecho, la difracción de rayos X es una de las técnicas
más exitosas para estudiar la estructura de los sólidos cristalinos.
4) ¿Cuál REM podría utilizarse para detectar a los virus de la influen-
za?: a) UV, b) VIS, c) Ondas de radio, d) Rayos X.
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recursos
Con el mismo razonamiento empleado en la pregunta anterior y de
acuerdo con la figura 1.1, la radiación apropiada es la UV (inciso a)).
D.R.
glosario
1010Hz. Así, su longitud de onda es más comparable con el tamaño
de: a) un sacapuntas escolar, b) un auto, c) una bacteria, d) un campo
de fútbol.
un semiconductor. Puesto que el espaciamiento entre átomos es del
orden de 10-10m, entonces la REM apropiada para llevar a cabo este
estudio es: a) UV, b) VIS, c) Ondas de radio, d) Rayos X.
conclusión
3) En un laboratorio, se desea estudiar la estructura cristalina de
ACTIVIDad
Para saber cuál de las dos REM es más energética, debemos convertir la longitud de onda 1 en frecuencia. Por lo tanto, de acuerdo con
la velocidad de propagación de la onda en el vacío, obtenemos:
Dado que
Principios de óptica y física moderna
1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas
GLOSARIO
como resultado un par de fuerzas que hace girar a la superficie de metal.
glosario
ACTIVIDAD
Restando, se obtiene:
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recursos
CONCLUSIÓN
Ec. (1.3.2)
Pág. 1 de 3
D.R.
conclusión
RECURSOS
Como se hizo patente, el campo electromagnético se propaga como una onda transversal en el vacío a la velocidad
de la luz. Por otro lado, sabemos que las ondas mecánicas
transportan energía dado que, por ejemplo, las ondas sísmicas producen derrumbes en edificios y casas. Dependiendo de la amplitud de oscilación, los daños provocados
se incrementan de acuerdo con esa característica ondulatoria. Sin embargo, con respecto a la luz, mediante experimentos de absorción es como notamos que las ondas
electromagnéticas transportan energía; por ejemplo, considera una superficie metálica con una mitad negra y la
otra blanca libre de rotar con respecto a un eje vertical que
pasa por su parte media: la parte blanca refleja la radiación
incidente mientras que la parte oscura la absorbe, dando
glosarioACTIVIDad
Así, el objetivo de esta sección es calcular la energía
que portan los campos electromagnéticos que se propagan
en el vacío. Para tal efecto, tomemos el producto escalar
de
con la Ley de Faraday y el correspondiente producto escalar de E con la Ley de Ampere-Maxwell en el
espacio vacío (esto es, en ausencia de densidades superficiales de corriente):
Onda transversal
Es una onda en la cual la perturbación es perpendicular a la dirección
de propagación de la misma.
Temas capítulo 1
MAPA
14
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas
Principios de óptica y física moderna
Pero, usando una tabla de identidades vectoriales, podemos ver que:
Ec. (1.3.1)
Definiendo el vector de Poynting S y las densidades de energía del campo eléctrico y magnético uE, uB como
Temas capítulo 1
15
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas
Ec. (1.3.4)
ACTIVIDad
Entonces, el Teorema de Poynting puede expresarse como:
Así que, la ecuación (1.3.2) se transforma en:
Claramente, el segundo término de esta ecuación tiene unidades de W/
m , por lo que el vector de Poynting se expresa en W/m2 (esta cantidad
física se denomina la irradiancia). Ahora, ¿cuál es el significado físico del
teorema anterior? Para esclarecer un poco este punto, consideremos una
vez más el Teorema de la divergencia de Gauss:
3
Ec. (1.3.3)
glosario
O sea
Ec. (1.3.5)
conclusión
Ec. (1.3.2)
Ec. (1.3.6)
recursos
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Principios de óptica y física moderna
RECURSOS
y entrar en resonancia con las moléculas que conforman a
la materia orgánica, ellos realizan cambios en la composición química de la misma.
con
v
Calcular la densidad de energía en el campo eléctrico.
Solución:
recursos
CONCLUSIÓN
Finalmente, recordemos que la energía de la radiación
EM es sumamente importante para la vida en la Tierra, ya
que gran parte de los procesos biológicos son alimentados
por la energía proveniente del sol. De hecho, puesto que los
campos electromagnéticos portan energía, al interaccionar
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glosario
ACTIVIDAD
Analizando la ecuación anterior, notamos que la integral
de superficie representa el flujo de S a través de una superficie cerrada. Por lo tanto, si el flujo neto se dirige hacia
fuera, la ecuación (1.3.6) indica la tasa a la cual la energía
abandona la región de volumen V; en caso contrario, el
flujo neto es igual a la tasa a la cual la energía ingresa al
volumen V. En consecuencia, de acuerdo con esta interpretación, S describe el transporte de energía a través del
espacio mientras la onda se propaga.
1) Un campo eléctrico oscila en el vacío de acuerdo
conclusión
RECURSOS
Problemas resueltos sobre la energía almacenada en
los campos electromagnéticos
Teorema de Poynting
glosarioACTIVIDad
Como tema de investigación de este capítulo, debes
investigar cuáles son los principios básicos que permiten
operar al horno de microondas y cómo se logra preparar o
calentar alimentos dentro de él.
En esta liga observamos una animación que muestra la representación
gráfica del Teorema de Poynting.
Temas capítulo 1
MAPA
16
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas
Principios de óptica y física moderna
Temas capítulo 1
17
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.4 Superposición de ondas electromagnéticas
1.4 Superposición de ondas electromagnéticas
1.4.1 Interferencia constructiva y destructiva
ACTIVIDad
Dos piedras caen a cierta distancia en un estanque de agua en reposo, ¿has notado que se
forman ondulaciones en la superficie del agua y
que éstas viajan hasta encontrarse?, ¿qué pasa
entonces? o, cuando saltas en la superficie de
un brincolín, ¿por qué a veces logras subir muy
alto y en otras ocasiones no?
Sean dos campos eléctricos con las mismas características ondulatorias
(amplitud, frecuencia, longitud de onda) pero con fase diferente y moviéndose ambos hacia la derecha. Las ondas componentes pueden expresarse
como:
La onda resultante es la suma algebraica de E1 y E2
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recursos
Así, en principio es posible que durante el proceso de superposición la
onda resultante tenga, en el mejor de los casos, una amplitud igual al doble
de la amplitud de las ondas originales; o bien, una amplitud nula. Al primer caso se le denomina “interferencia” 100% “constructiva” y al segundo
“interferencia destructiva”. A continuación, analizaremos diversos casos de
interés donde se ponen de relieve las diversas técnicas matemáticas empleadas para obtener la resultante de una superposición de ondas.
1.4.2 Interferencia de ondas viajeras con fases diferentes
glosario
En muchas situaciones físicas de interés, es
necesario combinar varias ondas viajeras de
características conocidas para describir ondas
de naturaleza más compleja. A dicho proceso
se le conoce como “superposición de ondas”.
Por supuesto, la función de onda resultante es
igual a la suma algebraica de las funciones de
onda de las ondas originales.
conclusión
Figura 1.2 Ondulaciones en la superficie del agua
Principios de óptica y física moderna
GLOSARIO
Interferencia constructiva
Caso de superposición de ondas
donde las ondas que se superponen
están completamente en fase.
Dependiendo de la fase, podemos obtener los casos de
interferencia constructiva y destructiva. Como puede verse, la interferencia constructiva se logra si:
RECURSOS
En tanto que la interferencia destructiva está dada por:
Simulaciones – Superposición de
ondas
glosario
Obtenemos:
En esta liga encontrarás simulaciones para visualizar la superposición
de ondas con fase diferente y sus
principales características.
conclusión
Definiendo la amplitud de la onda resultante como:
ACTIVIDad
Definiendo la diferencia de fase, entonces lo anterior se
puede compactar:
Interferencia destructiva
Caso de superposición de ondas
donde las ondas que se superponen
están completamente fuera de fase.
Temas capítulo 1
18
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.4 Superposición de ondas electromagnéticas
recursos
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Principios de óptica y física moderna
1.4.3 Ondas estacionarias
RECURSOS
Y, definiendo la amplitud A(x)=2E0sinkx, llegamos a:
Esta es una onda estacionaria como en el caso de las
ondas mecánicas, en las cuerdas de una guitarra, fijas en
ambos extremos. De hecho, se puede hacer la caracterización usual de nodos (ceros de la función A(x)) y antinodos
(máximos de A(x)) como en la física de las ondas sonoras.
Así, podemos establecer que:
La posición de los antinodos puede obtenerse mediante
los máximos de la función A(x):
Antinodo si: De la misma manera, los nodos corresponden a puntos
mínimos de la función A(x):
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recursos
CONCLUSIÓN
Nodo si
glosario
ACTIVIDAD
Obtenemos:
conclusión
RECURSOS
Superponiendo estas dos ondas
glosarioACTIVIDad
Sean dos campos eléctricos propagándose en direcciones
opuestas
Códigos en MATLAB para visualizar
la superposición de ondas
Temas capítulo 1
MAPA
19
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
1.4 Superposición de ondas electromagnéticas
Principios de óptica y física moderna
Temas capítulo 1
20
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
Actividad integradora (Parte I)
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas.
ACTIVIDad
conclusión
glosario
recursos
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Temas capítulo 1
21
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
Actividad integradora (Parte II)
Instrucciones: Responde las siguientes preguntas.
ACTIVIDad
conclusión
glosario
recursos
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Principios de óptica y física moderna
Temas capítulo 1
22
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
Conclusión del capítulo 1
Capítulo 1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
ACTIVIDad
Sin duda, este ha sido un viaje teórico para describir al campo electromagnético, sin
embargo, en los próximos capítulos, presentaremos diversos aparatos en los que se aplican varios fenómenos ópticos como son la reflexión, refracción, interferencia y difracción.
Nos referimos, por supuesto, a los sistemas ópticos de lentes y espejos, tales como los
microscopios, el telescopio y las cámaras básicas.
conclusión
L
a luz y su naturaleza han cautivado al ser humano desde los primeros tiempos y en
este capítulo revisamos algunas de sus características principales cuando la luz se
propaga en el vacío. La transversalidad de las ondas electromagnéticas y su velocidad de propagación son algunas de las características más fundamentales que estudiamos en este capítulo.
glosario
Las ecuaciones principales que presentamos son:
recursos
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Principios de óptica y física moderna
Temas capítulo 1
ACTIVIDad
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
I
L
Ecuación de onda
Interferencia constructiva
Longitud de onda (λ)
Ecuación diferencial parcial que describe la evolución en el tiempo de una onda, ya sea mecánica o electromagnética.
Caso de superposición de ondas donde las ondas que se superponen están completamente en
fase.
Es la distancia entre nodos o crestas sucesivas
en una onda.
Espectro electromagnético
Interferencia destructiva
Es una representación gráfica que permite ordenar las distintas radiaciones electromagnéticas
de acuerdo con su longitud de onda o frecuencia.
Caso de superposición de ondas donde las ondas que se superponen están completamente
fuera de fase.
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O
Onda electromagnética
Perturbación que no requiere un medio de propagación y que viaja a la velocidad de la luz en
el vacío.
recursos
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glosario
E
conclusión
Glosario del capítulo 1
Principios de óptica y física moderna
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
Temas capítulo 1
Glosario del capítulo 1
Onda longitudinal
ACTIVIDad
Es una onda en la cual la perturbación es paralela a la dirección de propagación de la misma.
Onda mecánica
conclusión
Perturbación mecánica que necesariamente
requiere un medio de propagación, por ejemplo, en sólidos o fluidos.
Onda transversal
glosario
Es una onda en la cual la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de
la misma.
V
Vector de onda (k)
recursos
Es el vector que indica la dirección de propagación de la onda. Su magnitud es igual a
2π/λ.
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Principios de óptica y física moderna
Temas capítulo 1
ACTIVIDad
»» Visualiza aquí el proceso para expresar a las ecuaciones de Maxwell
en un formato diferencial.
»» Divergencia de un campo vectorial espacial en un punto a elegir
»» Códigos MATLAB de gradiente divergencia y rotacional
»» Ecuaciones de onda y ondas electromagnéticas
»» En esta liga observamos una animación que muestra la representación gráfica del Teorema de Poynting. Teorema de Poynting
»» En esta liga encontrarás simulaciones para visualizar la superposición
de ondas con fase diferente y sus principales características. Simulaciones – Superposición de ondas
»» Códigos en MATLAB para visualizar la superposición de ondas
recursos
»» En la siguiente liga se presenta una animación de la propagación de
las ondas electromagnéticas en el vacío donde se pone de relieve la
naturaleza transversal de las mismas. Propagación de las ondas electromagnéticas
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glosario
»» En la siguiente liga, encontrarás una serie de problemas resueltos
sobre ondas electromagnéticas y su propagación, mismas que te serán de utilidad para profundizar en varios de los conceptos hasta aquí
expuestos. Problemas de Ondas Electromagnéticas
»» Te sugerimos correr los siguientes códigos en MATLAB para modificar los parámetros de una onda EM y observar cómo se manifiestan
estos cambios en la apariencia de la onda. Códigos MATLAB para
parámetros de una onda EM
conclusión
Recursos del capítulo 1
Principios de óptica y física moderna
Índice
Introducción del eBook������������������������������������������������������������������������������������ iii
1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas�����������������������������2
1.1 Ondas electromagnéticas y la velocidad de la luz en el vacío�����3
1.1.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas (OEM)
����������������������������������������������������������������������������������������������������3
1.1.2 Las ecuaciones de Maxwell�����������������������������������������������3
1.2 Espectro electromagnético�������������������������������������������������������� 11
1.2.1 Naturaleza de la luz y las ondas electromagnéticas (OEM)
�������������������������������������������������������������������������������������������������� 11
1.3 Energía almacenada en las ondas electromagnéticas �������������14
1.4 Superposición de ondas electromagnéticas������������������������������17
1.4.1 Interferencia constructiva y destructiva���������������������������17
1.4.2 Interferencia de ondas viajeras con fases diferentes������17
1.4.3 Ondas estacionarias��������������������������������������������������������18
Actividad integradora (Parte I)����������������������������������������������������������������20
Actividad integradora (Parte II)���������������������������������������������������������������21
Conclusión del capítulo 1������������������������������������������������������������������������22
Glosario del capítulo 1������������������������������������������������������������������������������������23
Recursos del capítulo 1����������������������������������������������������������������������������������25
2. Fenómenos ópticos y sus características principales�������������������������27
2.1 Reflexión, refracción y reflexión total interna�����������������������������28
2.1.1 Reflexión��������������������������������������������������������������������������28
2.1.2 Refracción������������������������������������������������������������������������29
2.1.3 Reflexión total interna������������������������������������������������������31
2.2 Polarización de la luz�����������������������������������������������������������������35
2.2.1 Polarización���������������������������������������������������������������������35
2.2.2 Polarización lineal, circular y elíptica�������������������������������36
Actividad integradora (Parte I)����������������������������������������������������������������38
Actividad integradora (Parte II)���������������������������������������������������������������39
Actividad integradora (Parte II)���������������������������������������������������������������40
Conclusión del capítulo 2������������������������������������������������������������������������41
Glosario del capítulo 2������������������������������������������������������������������������������������42
Recursos del capítulo 2����������������������������������������������������������������������������������43
3. Formación de imágenes en espejos y lentes delgadas����������������������45
3.1 Espejos planos, cóncavos y convexos: ubicación, orientación y
tamaño de la imagen formada���������������������������������������������������������46
3.1.1 Espejos planos����������������������������������������������������������������46
3.1.2 Espejos esféricos�������������������������������������������������������������46
3.1.3 Formación de imágenes en espejos esféricos����������������47
3.1.4 Amplificación lateral (aumento)����������������������������������������48
3.1.5 Diagramas de rayos para los espejos�����������������������������49
3.1.6 Ejemplos resueltos de formación de imágenes en espejos
��������������������������������������������������������������������������������������������������49
3.1.7 Problemas propuestos�����������������������������������������������������52
3.2 Lentes delgadas: ubicación, orientación y tamaño de la imagen
formada��������������������������������������������������������������������������������������������54
3.2.1 Lentes y refracción����������������������������������������������������������54
3.2.2 Amplificación lateral���������������������������������������������������������55
3.2.3 Profundidad aparente de un objeto (incidencia normal en
superficie plana)�����������������������������������������������������������������������56
3.2.4 Formación de imágenes en lentes delgadas: la ecuación
del constructor de lentes�����������������������������������������������������������56
3.2.5 Clasificación de lentes delgadas�������������������������������������58
3.2.6 Amplificación lateral (aumento)����������������������������������������59
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Principios de óptica y física moderna
Índice
3.2.7 Ejemplos resueltos de superficies refractoras�����������������59
3.3 Sistemas de espejos y lentes delgadas: características de la
imagen formada�������������������������������������������������������������������������������61
3.3.1 Sistemas ópticos básicos������������������������������������������������61
3.3.2 Ejemplos resueltos����������������������������������������������������������61
3.4 Representación matricial de los elementos básicos de un sistema óptico�����������������������������������������������������������������������������������������63
3.4.1 Matrices asociadas a los elementos ópticos�������������������63
3.4.2 Formalismo matricial y características de la imagen formada.����������������������������������������������������������������������������������������65
3.5 Formalismo matricial y formación de imágenes en sistemas compuestos��������������������������������������������������������������������������������������������66
3.6 Problemas propuestos���������������������������������������������������������������68
Actividad integradora������������������������������������������������������������������������������70
Conclusión del capítulo 3������������������������������������������������������������������������71
Glosario del capítulo 3������������������������������������������������������������������������������������72
Recursos del capítulo 3����������������������������������������������������������������������������������73
4. Teoría especial de la relatividad����������������������������������������������������������75
4.1 Transformaciones de Lorentz����������������������������������������������������76
4.1.1 Antecedentes�������������������������������������������������������������������76
4.1.2 Transformaciones de Galileo y relatividad galileana�������76
4.1.3 Postulados de la Relatividad Especial�����������������������������77
4.1.4 Transformaciones de Lorentz������������������������������������������78
4.1.5 Transformaciones directa e inversa de Lorentz���������������80
4.2 Consecuencias de las transformaciones de Lorentz�����������������83
4.2.1 Contracción de la longitud�����������������������������������������������83
4.2.2 Problemas resueltos de contracción de la longitud���������84
4.2.3 Dilatación del tiempo y simultaneidad�����������������������������85
4.2.4 Problemas resueltos de dilatación del tiempo y transformaciones de Lorentz����������������������������������������������������������������86
4.2.6 Transformación de velocidades de Lorentz���������������������90
4.2.7 Problemas resueltos de la transformación de velocidades
de Lorentz���������������������������������������������������������������������������������91
4.3 Momento lineal relativista ���������������������������������������������������������93
4.4 Dinámica relativista: conservación del momento lineal y masa
relativista������������������������������������������������������������������������������������������94
4.4.1 Dinámica relativista: conservación de la masa-energía��94
4.4.2 Problemas resueltos de energía relativista����������������������95
4.4.3 Energía relativista y momento lineal��������������������������������95
4.4.4 Problemas resueltos de masa, energía y colisiones relativistas�����������������������������������������������������������������������������������������96
4.4.5 Fuerza y aceleración en Relatividad Especial�����������������96
4.4.6 Problemas resueltos de fuerza en Relatividad Especial��97
Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������101
Conclusión del capítulo 4����������������������������������������������������������������������102
Glosario del capítulo 4����������������������������������������������������������������������������������103
Recursos del capítulo 4��������������������������������������������������������������������������������104
5. Propiedades corpusculares de la radiación�������������������������������������106
5.1 Radiación de cuerpo negro������������������������������������������������������107
5.2 El efecto fotoeléctrico���������������������������������������������������������������109
5.2.1 Emisión electrónica y el experimento de Hertz��������������109
5.2.2 Conclusiones del experimento de Hertz-Lenard������������ 110
5.2.3 Energía cinética de los fotoelectrones emitidos������������ 111
5.2.4 Potencial de frenado������������������������������������������������������ 111
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Índice
5.2.5 Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico��������������������� 112
5.2.6 Problemas resueltos del efecto fotoeléctrico����������������� 113
5.3 Rayos X����������������������������������������������������������������������������������� 114
5.3.1 Generación de Rayos X y características de la emisión114
5.3.2 Difracción de Rayos X�������������������������������������������������� 116
5.4 Efecto Compton����������������������������������������������������������������������� 117
5.4.1 Problemas resueltos del Efecto Compton���������������������120
5.5 Creación y aniquilación de pares���������������������������������������������121
5.5.1 Creación de pares���������������������������������������������������������121
5.5.2 Aniquilación de pares�����������������������������������������������������122
Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������124
Conclusión del capítulo 5����������������������������������������������������������������������126
Glosario del capítulo 5����������������������������������������������������������������������������������127
Recursos del capítulo 5��������������������������������������������������������������������������������128
6. Propiedadesondulatorias de la materia���������������������������������������������130
6.1 Ondas de materia y la hipótesis de De Broglie������������������������131
6.1.1 Onda asociada al fotón��������������������������������������������������131
6.1.2 Longitud de onda asociada al electrón��������������������������131
6.2 Longitud de onda de De Broglie y paquetes de ondas �����������136
6.2.1 Paquetes de ondas��������������������������������������������������������136
6.2.2 Velocidad de fase y de grupo en paquetes de ondas����137
6.3 Proyecto de investigación. Aplicaciones de la naturaleza ondulatoria de la materia: el microscopio electrónico y la espectroscopía
por dispersión de neutrones����������������������������������������������������������141
6.4 Principio de indeterminación de Heisenberg���������������������������142
6.4.1 Principio de Indeterminación de Heisenberg y sus consecuencias����������������������������������������������������������������������������������142
6.4.2 Problemas resueltos������������������������������������������������������143
Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������145
Conclusión del capítulo 6����������������������������������������������������������������������146
Glosario del capítulo 6����������������������������������������������������������������������������������147
Recursos del capítulo 6��������������������������������������������������������������������������������148
7. Modelos atómicos y el átomo de Bohr����������������������������������������������150
7.1 Modelo de Thompson��������������������������������������������������������������151
7.2 Modelo de Rutherford��������������������������������������������������������������155
7.2.1 El experimento de Geiger-Marsden y el modelo de Rutherford������������������������������������������������������������������������������������������155
7.2.2 Modelo de Rutherford y sus características principales156
7.2.3 Problemas resueltos������������������������������������������������������158
7.3 Modelo de Bohr������������������������������������������������������������������������160
7.3.1 Postulados del modelo de Bohr�������������������������������������160
7.3.2 Órbitas estacionarias y niveles de energía de acuerdo al
modelo de Bohr����������������������������������������������������������������������161
Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������168
Conclusión del capítulo 7����������������������������������������������������������������������169
Glosario del capítulo 7����������������������������������������������������������������������������������170
Recursos del capítulo 7��������������������������������������������������������������������������������171
8. Principios de mecánica cuántica�������������������������������������������������������173
8.1 La función de onda y la Ecuación de Schrödinger (ES)����������174
8.2 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo����������������176
8.3 Soluciones de la ecuación de Schrödinger en presencia de potenciales constantes ���������������������������������������������������������������������181
8.4 La matriz de transferencia�������������������������������������������������������188
8.4.1 La matriz de transferencia y sus propiedades���������������188
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Principios de óptica y física moderna
Índice
8.4.2 La matriz de transferencia y los coeficientes de transmisión y reflexión en barreras de potencial��������������������������������190
8.5 La ecuación de Schrödinger en tres dimensiones�������������������201
8.5.1 La ecuación de Schrödinger en tres dimensiones: geometría cartesiana�������������������������������������������������������������������������201
Actividad integradora����������������������������������������������������������������������������206
Conclusión del capítulo 8����������������������������������������������������������������������207
Glosario del capítulo 8����������������������������������������������������������������������������������208
Recursos del capítulo 8��������������������������������������������������������������������������������209
Glosario general�������������������������������������������������������������������������������������������210
Ligas de interés��������������������������������������������������������������������������������������������214
Referencias��������������������������������������������������������������������������������������������������218
Índice������������������������������������������������������������������������������������������������������������220
Aviso legal����������������������������������������������������������������������������������������������������224
Pág. 4 de 4
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Principios de óptica y física moderna
Aviso legal
Escamilla Reyes, José Luis
Principios de óptica y física moderna / José Luis Escamilla Reyes.
227p.cm.
1. Óptica 2. Física 3. Física—Métodos de enseñanza
LC: QC363.4
Dewey: 535.076
eBook editado, diseñado, publicado y distribuido por el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.
Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio sin previo y expreso consentimiento por escrito del Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey.
D.R.© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México. 2012
Ave. Eugenio Garza Sada 2501 Sur Col. Tecnológico C.P. 64849 | Monterrey, Nuevo León | México.
ISBN en trámite
Primera edición
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Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México 2012.