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1. Introducción a la Estadística
2. Descripción de los conjuntos de
datos
3. Uso de la Estadística para sintetizar
conjuntos de datos
4. Probabilidad
5. Variables aleatorias discretas
6. Variables aleatorias normales
Una variable aleatoria es
una función que asigna
un número real a cada
elemento del espacio
muestral de un
experimento.
Se dice que una variable
aleatoria es discreta si sus
posibles valores forman una
sucesión de puntos
separados de la recta real.
Una variable aleatoria
continua puede tomar
cualquier valor
comprendido dentro de
un cierto intervalo de los
números reales.
Toda variable aleatoria
continua X tiene una
curva de densidad de
probabilidad f(x)
asociada a ella.
Toda variable aleatoria continua X tiene una
curva de probabilidad asociada a ella.
Se puede utilizar esta curva,
formalmente conocida como la
función de densidad de
probabilidad de la variable, para
obtener las probabilidades
referidas a X.
Considere dos puntos cualesquiera
a y b, siendo a menor que b.
La probabilidad que X tome un
valor comprendido entre a y b es
igual al área bajo la curva dentro
de este intervalo.
P a  X  b 
 área bajo la curva entre a y b
Pa  X  b  área bajo la curva entre a y b
Pa  X  b  área bajo la curva entre a y b
Puesto que X debe tomar algún valor,
el área total bajo la curva de densidad
de probabilidad debe ser igual a l.
Pa  X  b  Pa  X  b
La probabilidad de que una variable
aleatoria continua caiga dentro de un
intervalo es la misma independientemente
que se incluyan o no los extremos del
intervalo.
Dado que la probabilidad es siempre
mayor o igual que cero, la curva de
densidad de probabilidad de una
variable aleatoria continua X
nunca está por debajo del eje X.
Dado que la probabilidad que
se obtenga un resultado es 1,
el área total entre la curva y
el eje X es siempre igual a l.
Una variable aleatoria se dice que es
uniforme en el intervalo ( a, b)
si el conjunto de sus valores posibles
coincide con este intervalo
y la gráfica de su función de densidad
es una recta horizontal sobre el intervalo.
Dado que la probabilidad total debe
ser igual a 1, el área del rectángulo
debe ser igual a 1. Entonces,
 b  a   Altura  1
y, por tanto,
1
Altura 
ba
 0
 1

f  x  
b  a
 0
a
xa
a xb
bx
b
El tipo más importante de
variables aleatorias es la
variable aleatoria normal.
La función de densidad de probabilidad
de una variable aleatoria normal X
está determinada por dos parámetros:
el valor esperado y la desviación típica.
Sean   E[ X ] y  = SD(X ).
La densidad de probabilidad normal
tiene una forma acampanada que es
simétrica respecto del valor  .
Su variabilidad viene medida por  .
Sean   E[ X ] y  = SD(X ).
La densidad de probabilidad
normal es:
f  x 
1
2
  x    / 2 2
2
e
A una variable aleatoria normal con
media 0 y varianza 1 se le denomina
variable aleatoria normal estándar
y su curva de densidad se conoce
como curva de densidad normal
estándar.
La densidad de probabilidad
de la variable aleatoria normal
estándar es:
f  x 
1
2
e
 x2 / 2
La densidad de probabilidad de la variable
aleatoria normal estándar es: f  x  
1
2
e
 x2 / 2
Usaremos la letra Z para representar
a la variable aleatoria normal estándar.
Una variable aleatoria normal con
media  y desviación típica  estará:
Entre    y  +
con una probabilidad aproximada de 0.68
Entre   2 y  +2
con una probabilidad aproximada de 0.95
Entre   3 y  +3
con una probabilidad aproximada de 0.997
Sea Z una variable aleatoria estándar.
Esto es, Z es una variable aleatoria normal
con media 0 y desviación típica l.
La probabilidad que Z esté entre dos
valores a y b es igual al área bajo la
curva normal estándar entre a y b.
Se han computado las áreas bajo
esta curva y se han publicado las
tablas que nos permiten encontrar
las probabilidades de intervalos.
PZ  x
Para cada valor no negativo de x,
la tabla especifica la probabilidad
de que Z sea menor que x.
Es decir, la tabla nos da
PZ  x
P Z  x  1  P Z  x
P{Z   x}  1  P{Z  x}
P a  Z  b  P Z  b  P Z  a
P{a  Z  a}  2 P{Z  a}  1
Sea X una variable aleatoria normal
con media  y desviación típica  .
Se pueden determinar las probabilidades
relativas de X si se utiliza que la
variable aleatoria Z definida por
Z
X 

sigue una distribución normal estándar.
Z
X 

sigue una distribución normal estándar.
Es decir, si se estandariza una
variable aleatoria normal,
restándole su media y
dividiéndola por su desviación típica,
la variable resultante se convierte
en una distribución normal estándar.
Z
X 

sigue una distribución normal estándar.
El valor de la variable estandarizada
nos indica cuánto difiere la variable
original de su media en unidades
de desviación típica.
Para calcular P { X  a}
usamos la igualdad
a

P  X  a  P  Z 

 

donde Z representa una
variable aleatoria normal estándar.
6.1 Introducción
6.2 Variables aleatorias continuas
6.3 Variables aleatorias normales
6.4 Probabilidades asociadas a la variable
aleatoria normal estándar
6.5 Búsqueda de las probabilidades de la
normal: conversión a la normal estándar
6.6 Propiedad aditiva de las variables
aleatorias normales
6.7 Percentiles de las variables aleatorias
normales
X 
El hecho que Z 
sea una variable

aleatoria normal estándar se desprende de
la propiedad que si a una variable aleatoria
normal se le suma una constante, o se
multiplica por una constante, la variable
aleatoria resultante continúa siendo normal.
Como consecuencia, si X es una
variable aleatoria normal con media 
y desviación típica  , la variable
X 
Z
será también normal.

Resulta sencillo comprobar que
X 
Z
tiene media 0

y varianza l.
Sea X una variable aleatoria con valor esperado E[ X ].
Si c es una constante, las magnitudes cX y X  c también son
variables aleatorias y se podrán calcular sus valores esperados.
E[cX ]  cE[ X ]
E[ X  c]  E[ X ]  c
Resulta sencillo comprobar que Z 
X 

tiene media 0 y varianza l.
X  1
E Z   E 
=
E
X


=



   
1
1
  E  X   E      E  X     


1
      0

Si X es una variable aleatoria
con un valor esperado E  X  ,
la varianza de X , denotada por
Var( X ), se define como
Var(X )
E  X  E  X   


2
Var(X )


E  X  E  X 


2
Var  X   E  X   E  X 
2
2
Para cualquier variable aleatoria X
y cualquier constante c, se tiene
Var(cX )  c Var( X )
2
Var( X  c)  Var( X )
Resulta sencillo comprobar que Z 
X 

tiene media 0 y varianza l.
2

2
 X   1 
2
E  Z   E 
  = 2 E  X     =
    
1
 2 E  X 2  2 X  X 2  





1

2
1

2
1

2


E  X 2   2 E   X   E   2  


E  X   2  E  X   

E  X 2    2
2

2


1

2


E  X 2   2 2   2 
Resulta sencillo comprobar que Z 
Var  X   E  X 2   E 2  X 
X 

tiene media 0 y varianza l.
E  Z   E  Z  
1
2
2
 2 E  X     0 

2
2


1

2

 1
2
La suma de variables aleatorias
normales e independientes es
igualmente una variable aleatoria
normal.
Si las variables aleatorias X e Y
son normales e independientes,
con parámetros respectivos  x ,  x y  y ,  y ,
X  Y será también normal.
Su valor medio es
E[ X  Y ]  E[ X ]  E[Y ] =  x + y
y su varianza es
Var(X  Y ) = Var(X ) + Var(Y) =  x   y
6.1 Introducción
6.2 Variables aleatorias continuas
6.3 Variables aleatorias normales
6.4 Probabilidades asociadas a la variable
aleatoria normal estándar
6.5 Búsqueda de las probabilidades de la
normal: conversión a la normal estándar
6.6 Propiedad aditiva de las variables
aleatorias normales
6.7 Percentiles de las variables aleatorias
normales
Para cualquier valor  ,
comprendido entre 0 y l,
definamos z como aquel
valor para el que
P Z  z    
Definamos z como aquel valor para
el que P Z  z     con    0,1 .
La probabilidad que una
variable aleatoria normal estándar
sea mayor que z es igual a  .
La probabilidad que una variable aleatoria
normal estándar sea mayor que z es igual a  .
Definamos z como aquel valor para
el que P Z  z     con    0,1 .
Se puede determinar el valor
de z mediante la tabla.
Definamos z como aquel valor para
el que P Z  z     con    0,1 .
Por ejemplo, supongamos que se pretende encontrar z0.025 .
Puesto que
P Z  z0.025   1  P Z  z0.025   0.975
se debe buscar en el cuerpo de la tabla el valor 0.975
para, después, buscar el x que corresponde a dicho valor.
Definamos z como aquel valor para
el que P Z  z     con    0,1 .
Puesto que el valor 0.975 corresponde
a la fila con la entrada 1.9 y a la
columna con la entrada 0.06,
se ve que
z0.025 = 1.96
PZ  1.96  0.025
Esto es, un 2.5% de las veces
que se observe una
variable aleatoria normal estándar
se obtendrán valores mayores
que 1.96.
PZ  1.96  0.025
Puesto que el 97.5% de las veces que se
observe una variable aleatoria normal
estándar se obtendrán valores inferiores
a 1.96, se dice que 1.96 es el percentil
de orden 97.5% de la distribución
normal estándar.
En general, dado que el 100 1   
por ciento de las veces que se
observa una normal estándar el valor
observado es inferior a z , se dice que z
es el percentil de orden 100(1   )
por ciento de la distribución normal
estándar.
Para cualquier valor  , entre 0 y l,
definamos z como aquel valor para
el que P Z  z     .
Entonces el valor z se denomina
percentil de orden 100 1    %
de la distribución normal estándar.
Supongamos ahora que se quiere encontrar z0.05 .
Si se busca en el cuerpo de la tabla el valor 0.95
no se puede encontrar exactamente.
De hecho, se ve que
P{Z  1.64}  0.9495
y
P {Z  1.65}  0.9505
P{Z  1.64}  0.9495 y
P {Z  1.65}  0.9505
Por consiguiente, parece que z0.05 coincide,
más o menos, con el punto medio de 1.64 y
1.65; así pues, lo aproximaremos por 1.645.
De hecho, resulta que esta respuesta es la
correcta con tres cifras decimales y, por tanto,
z0.05  1.645
Los valores z0.10 , z0.05 , z0.025 , z0.01 y z0.005 ,
tienen una particular importancia
en la Estadística.
Sus valores son los siguientes:
z0.10  1.282
z0.05  1.645
z0.025  1.960
z0.01  2.326
z0.005  2.576
Se pueden obtener los percentiles
de cualquier variable aleatoria
normal si se convierte en un una
variable aleatoria normal estándar.
Por ejemplo, supongamos que se quiere
encontrar el valor de x para el que
P{ X  x}  0.95
donde X representa una normal de
media 40 y de desviación típica 5.
Encontrar x para el que P{X  x}  0.95, siendo X normal  40,5
Si se escribe la desigualdad X  x en
términos de la variable estandarizada
Z  ( X  40) / 5, se ve que
 X  40 x  40 
0.95  P  X  x  P 


5 
 5
x  40 

 P Z 

5 

Encontrar x para el que P{ X  x}  0.95, siendo X normal  40,5 
x  40 

0.95  P  Z 

5 

Ahora bien,
P Z  z0.05   0.95
por consiguiente, se sigue que
x  40
 z0.05  1.645
5
Encontrar x para el que P{ X  x}  0.95, siendo X normal  40,5 
x  40 

0.95  P  Z 

5 


x  40
 z0.05  1.645
5
De donde,
el valor pedido de x es
x  5(1.645)  40  48.225
Encontrar el valor de x para el que
P{ X  x}  0.95
donde X representa una normal de
media 40 y de desviación típica 5.
El valor pedido de x es
x  48.225
P  X     z   
cuando X es una
variable aleatoria normal
con media  y desviación típica  .
P X     z   
La cantidad de radiación que un individuo puede
absorber antes de que le sobrevenga la muerte
varía de un individuo a otro.
Sin embargo, sobre la población al completo esta
cantidad se distribuye normalmente con media
500 roentgens y desviación típica 150 roentgens.
¿Por encima de qué dosis de radiación solamente
sobreviviría el 5% de la población?
La cantidad de radiación que un individuo puede absorber antes que
le sobrevenga la muerte varía de un individuo a otro. Sin embargo,
sobre la población al completo esta cantidad se distribuye normalmente
con media 500 roentgens y desviación típica 150 roentgens. ¿Por encima
de qué dosis de radiación solamente sobreviviría el 5% de la población?
a) La variable aleatoria R es la cantidad
de radiación que mata a una persona.
b) Es una variable aleatoria continua,
que toma valores en el intervalo  0,  
c) Su distribución de probabilidad es normal
con media 500 y desviación típica 150.
N  500,150 
Lo que queremos es que el área roja sea
de un 5% del área total debajo de la curva
La cantidad de radiación que un individuo puede absorber antes que
le sobrevenga la muerte varía de un individuo a otro. Sin embargo,
sobre la población al completo esta cantidad se distribuye normalmente
con media 500 roentgens y desviación típica 150 roentgens. ¿Por encima
de qué dosis de radiación solamente sobreviviría el 5% de la población?
Queremos determinar el número  0.05 tal que
P  R   0.05   0.05
Esto es equivalente a pedir que
P  R   0.05   0.95
La cantidad de radiación que un individuo puede absorber antes que
le sobrevenga la muerte varía de un individuo a otro. Sin embargo,
sobre la población al completo esta cantidad se distribuye normalmente
con media 500 roentgens y desviación típica 150 roentgens. ¿Por encima
de qué dosis de radiación solamente sobreviviría el 5% de la población?
En las tablas buscamos para que
valor z0.05 la variablea aleatoria
estándar satisface
P  Z  z0.05   0.95
1.645
En las tablas buscamos para que valor
z0.05 la variablea aleatoria estándar satisface
P  Z  z0.05   0.95
Para hacerlo con Excel, se pone
en cualquier casilla la fórmula
=NORMINV(0.95,0,1)
y se obtiene
1.645
La cantidad de radiación que un individuo puede absorber antes que
le sobrevenga la muerte varía de un individuo a otro. Sin embargo,
sobre la población al completo esta cantidad se distribuye normalmente
con media 500 roentgens y desviación típica 150 roentgens. ¿Por encima
de qué dosis de radiación solamente sobreviviría el 5% de la población?
Como z0.05 =1.645 tenemos
 0.05  500
150
Por tanto,
 1.645
 0.05  746.75
Ahora sí,
está área
es del 5%
746.75
La cantidad de radiación que un individuo puede absorber antes que
le sobrevenga la muerte varía de un individuo a otro. Sin embargo,
sobre la población al completo esta cantidad se distribuye normalmente
con media 500 roentgens y desviación típica 150 roentgens. ¿Por encima
de qué dosis de radiación solamente sobreviviría el 5% de la población?
Si la radiación es
746 roentgens
sólo sobrevivirá el
5% de la población.
El nivel de glucosa en la sangre (por 100
mililitros de sangre) de los diabéticos se
distribuye normalmente con media 106
miligramos y desviación típica 8 miligramos.
¿Por debajo de qué valor se debe encontrar
el nivel de glucosa de un diabético para que
forme parte del 20% de los niveles más bajos?
20%
z   z´
20%
z
20%
z´
80%
20%
z´
Tenemos entonces que
P  Z  z   0.20
y
P  Z  z´  0.80
Buscamos ahora en las tablas
para encontrar z´.
0.845
En Excel, para encontrar qué valor
tiene z´, escribimos en cualquier
celda
=NORMINV(0.8,0,1)
y nos responde, en la misma celda,
0.8416
P  Z  z   0.20 y P  Z  z´  0.80
Encontramos en las tablas z´ 0.8416,
así que z  0.8416, y por lo tanto
  106
 0.8416
8
ó despejando
  99.27
El nivel de glucosa en la sangre (por 100 mililitros de sangre)
de los diabéticos se distribuye normalmente con media 106
miligramos y desviación típica 8 miligramos. ¿Por debajo de
qué valor se debe encontrar el nivel de glucosa de un
diabético para que forme parte del 20% de los niveles más bajos?
Para que alguien esté en el
20% más bajo de glucosa en
la sangre, debe tener
99.27 miligramos por cada
100 mililitros de sangre.
Suponga que en la detección de una señal digital
el ruido de fondo tiene una distribución normal
con una media de 0 voltios y una desviación
típica de 0.45 voltios. El sistema supone que
un 1 digital (un bit) ha sido transmitido cuando
el voltaje excede 0.9 voltios. ¿Cuál es la
probabilidad de detectar un 1 digital (un bit)
cuando ninguno ha sido enviado?
Suponga que en la detección de una señal digital el ruido de fondo tiene una
distribución normal con una media de 0 voltios y una desviación típica de
0.45 voltios. El sistema supone que un 1 digital (un bit) ha sido transmitido
cuando el voltaje excede 0.9 voltios. ¿Cuál es la probabilidad de detectar
un 1 digital (un bit) cuando ninguno ha sido enviado?
 La variable aleatoria es V , el voltaje del ruido.
 Lo que queremos calcular es
P V  0.9 voltios 
 La distribución del ruido es normal con
media 0 y desviación típica 0.45
P V  0.9 voltios 
Suponga que en la detección de una señal digital el ruido de fondo tiene una
distribución normal con una media de 0 voltios y una desviación típica de
0.45 voltios. El sistema supone que un 1 digital (un bit) ha sido transmitido
cuando el voltaje excede 0.9 voltios. ¿Cuál es la probabilidad de detectar
un 1 digital (un bit) cuando ninguno ha sido enviado?
V  0 0.9  0
V  0.9  V  0  0.9  0 

2
0.45
0.45

V 0


P V  0.9   P  Z 
 2
0.45


PZ  x  1  PZ  x
Suponga que en la detección de una señal digital el ruido de fondo tiene una
distribución normal con una media de 0 voltios y una desviación típica de
0.45 voltios. El sistema supone que un 1 digital (un bit) ha sido transmitido
cuando el voltaje excede 0.9 voltios. ¿Cuál es la probabilidad de detectar
un 1 digital (un bit) cuando ninguno ha sido enviado?
V  0 0.9  0
V  0.9  V  0  0.9  0 

2
0.45
0.45

V 0
V 0




P V  0.9   P  Z 
 2  1 P Z 
 2
0.45
0.45




Suponga que en la detección de una señal digital el ruido de fondo tiene una
distribución normal con una media de 0 voltios y una desviación típica de
0.45 voltios. El sistema supone que un 1 digital (un bit) ha sido transmitido
cuando el voltaje excede 0.9 voltios. ¿Cuál es la probabilidad de detectar
un 1 digital (un bit) cuando ninguno ha sido enviado?
V  0 0.9  0
V  0.9  V  0  0.9  0 

2
0.45
0.45

V 0
V 0




P V  0.9   P  Z 
 2  1 P Z 
 2
0.45
0.45




 1  0.9772  0.0228
Suponga que en la detección de una señal digital el ruido de fondo tiene una
distribución normal con una media de 0 voltios y una desviación típica de
0.45 voltios. El sistema supone que un 1 digital (un bit) ha sido transmitido
cuando el voltaje excede 0.9 voltios. ¿Cuál es la probabilidad de detectar
un 1 digital (un bit) cuando ninguno ha sido enviado?
La probabilidad de detección falsa es
entonces 0.0228.
Es decir, más del 2.3% de los bits
detectados serán falsos.
El diámetro de una cierta pieza de los discos
duros de las computadoras tiene una
distribución normal con media 0.2508 pulgadas
y una desviación típica de 0.0005 pulgadas.
Las especificaciones de las pieza son
0.2500  0.0015 pulgadas.
¿Que porcentaje de las piezas se ajustan a las
especificaciones?
 La variable aleatoria es D,
el diámetro de la pieza.
 Lo que queremos calcular es
P  0.2485  D  0.2515 
 La distribución del diámetro es normal
con media 0.2508 y desviación típica 0.0005
P  0.2485  D  0.2515  
0.2515  0.2508 
 0.2485  0.2508
 P
Z

0.0005
0.0005


P  4.6  Z  1.4   P  Z  1.4   P  Z  4.6  
 P  Z  1.4   P  Z  4.6  
 P  Z  1.4   1  P  Z  4.6   
 P  Z  1.4   P  Z  4.6   1  0.9192  1  1 
 0.9192
El diámetro de una cierta pieza de los discos
duros de las computadoras tiene una
distribución normal con media 0.2508 pulgadas
y una desviación típica de 0.0005 pulgadas.
Las especificaciones de las pieza son
0.2500  0.0015 pulgadas.
¿Que porcentaje de las piezas se ajustan a las
especificaciones?
Aproximadamente el 92% de las piezas
se ajustan a las especificaciones.
Aproximadamente el 92% de las piezas
se ajustan a las especificaciones.
La mayoría de las piezas que no cumplen
con las especificaciones, es debido a que
son demasido grandes, ya que la media
está muy cerca del límite superior de la
especificación. Si el fabricante recentra
su proceso en 0.2500 el 99.73% de las
piezas cumpliría.