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Facultad Ingeniería y
Tecnología Informática
Licenciatura en Sistemas de
Información
Ingeniería Informática
Probabilidad y
Estadística
Profesora:
Lic. Haydeé Castelletti
Lunes a viernes de 9 a 21 h.
Torre Universitaria, Zabala 1837, primer nivel inferior.
C1426DQG - CABA
Teléfono: 4788-5400, internos 5002 y 2122.
Email: [email protected]
www.ub.edu.ar
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Año 2014
Facultad de Tecnología en Informática
Ingeniería en Informática/Lic. en Sistemas
Universidad de Belgrano
Lic. Haydeé Castelletti
Magíster en docencia Universitaria
1
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
ASIGNATURA:
PLAN DE ESTUDIOS:
AÑO ACADEMICO:
CARRERA/S :
PROFESOR a CARGO:
Universitaria
CUATRIMESTRE:
Semana
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Probabilidad y Estadística
2010
2014
Ingeniería en Informática/Licenciatura en Sstemas
Lic Haydeé Castelletti-.Magister en docencia
Primer Cuatrimestre
Descripción de Actividad
Evaluación diágnóstica de conocimientor previos
Modelos determinísticos y estadísticos
P r o b a b i l i d a d
ProbabilidadTrabajo Práctico1
Probabilidad.Trabajo Práctico1
Probabilidad Trabajo Práctico 1
Esp unid disc y cont.Variables aleatorias Discretas y cont
Parámetros.Función de var aleatoria
E j e r c i t a c i ó n
Variable aleatoriaUnid y Bid.Func v.a.
Variable aleatoria discreta.Realizar la Práctica 3
Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta.Trabajo práctico 3
Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta.Trabajo Práctico 3
Distribuciones especiales de variable aleatoria discreta
Distribuciones especiales de variable aleatoria discreta
Distribuciones especiales de variables aleatorias discretas
Distribuciones especiales de variables aleatorias discretas.Trabajo Práctico 3
Variables aleatorias continuas
Variables aleatorias continuas
Distribuciones especiales de variables aleatorias continuas
Distribuciones especiales de variables aleatorias continuas.Trabajo Práctico 4
Ejercitación de variables aleatorias continuas. . Trabajo Práctico 4
Evaluación de Trabajos realizados por los alumnos
Re v is ió n p a ra e l p a rc ia l
E x a m e n
P a r c i a l
D e v o l u c i ó n d e l p a r c i a l .
Teorema central del límite
Teorema central del límite.Trabajo Práctico 5
2
Tipo
T
T
TP1
P3
P1
T
T
P1
T
P1
T
P1
T
P1
T
P1
T
P3
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P1
T
P1
P1
E
E
E
E
T
P1
Unidad/es
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1-2-3
1-2-3
4
4
4
4
Hs.Cát.
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1
1
2
1
2
2
2
2
2
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1
1
2
2
1
1
2
22
1
1
2
3
1
2
4
2
2
1
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Guía de Trabajos Prácticos
10
11
12
13
14
15
16
I n t e r v a l o s d e c o n f i a n z a
Intervalos de confianza.Trabajo Práctico 5
Intervalos de confianza.Trabajo Práctico 5
Intervalos de confianza.Trabajo Práctico 5
T e s t
d e
h i p ó t e s i s
T e st d e h ip ó t e s is, T ra b a jo P rá ct i co 6
T e st d e h ip ó t e s is. T ra b a jo P rá ct i co 6
Test de hipotesisTrabajo Práctico 6
T e st d e h ip ó t e s is. T ra b a jo P rá ct i co 6
Regresión.Parámetros.Inferencias
Regresión.Realizar la Práctica 7
Ejercicios en el LaboratorioPR 7
Correlación.Realizar la Práctica 7
Ejercicios en el Laboratorio
Evaluación de carpetas de Trabajos prácticos
Introducción an Análisis de la varianza
A n á l i s i s d e f a c t o r e s .
E j e r c i t a c i ó n P r á c t i c o 7
Ejercicios en laboratoriode Computaciónde los T Prácticos 6
Ejercitación en computadora de An de la var.Práctica 7
Evaluación de ejercicios realizados en el laboratorio deComputación
3
T
P1
P1
P1
T
P1
P1
P1
P1
T
P1
L
P1
L
E
T
T
P1
P3
P4
E
4
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
4-5-6
7
7
7
6
7
6-7
2
1
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
ANEXO A
A1 - Carga Horaria - Modalidad de Enseñanza
Modalidad
Teóricas
Act. Prácticas
Evaluaciones
Total
Horas cátedra
29
53
14
96
Horas reloj
21,75
39,75
10,5
72
A2 – Carga Horaria de Actividades Prácticas
Tipo Actividad
P1.- Formación experimental
P2.- Resolución de problemas
abiertos de ingeniería
P3.- Proyecto y diseño de sistemas
informáticos
P4.- Instrucción supervisada de
formación práctica
P5-Otros
Total
Horas cátedra
10
16
16
42
Tipo Actividad
1.- Formación Experimental
2.- Resolución de problemas abiertos a la Ingeniería
3.-Proyecto y diseño de Sistemas Informáticos
4.-Instrucción supervisada de información práctica
5-Otros
Total
A3 – Problemas abiertos de Ingeniería
4
Horas reloj
8
12
12
32
Horas cátedra
0
4
0
2
46
53
Horas reloj
0
3
0
1,5
34,5
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
Tipo Actividad
Problemas abiertos de Ingeniería
5
Horas cátedra
0
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
ASIGNATURA:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
PLAN DE ESTUDIOS:
2010
ANO ACADEMICO:
2014
AÑO
3º
CARRERA:
502-Ingeniería Informática Lic en Sistemas de
Información
PROFESOR a CARGO:
Lic Haydeé Castelletti ,Magister en Docencia
Universitaria
CUATRIMESTRE:
Primer cuatrimestre.
1. OBJETIVOS:
1. OBJETIVOS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Introducir al alumno en la comprensión de la necesidad y oportunidad de los
modelos estadísticos no sólo en la ciencia sino también en la tecnología y en las
distintas ramas del saber.
Adopte la terminología técnica y adquiera habilidad en el uso de este
vocabulario.
Comprender las posibilidades, ventajas y limitaciones de estos modelos, su
entendimiento como simple modelo de una realidad, como una matemática o
ciencia formal y no como la realidad misma.
Dar la base de conocimientos para asignaturas que necesitan de la misma como
modelos y Simulación y para un posterior desarrollo personal en el área.
Que el alumno utilice los conceptos aprendidos para el ordenamiento y posterior
tratamiento de los datos obtenidos en trabajos de investigación.
Que el alumno sepa como generar una secuencia de valores aleatorios que
respondan a un comportamiento probabilístico dado.
Que prediga comportamientos de un conjunto por estimación a partir del estudio
de un subconjunto.
Que el alumno ajuste modelos matemáticos teóricos a situaciones prácticas que
presentan cierta semejanza con la idealidad.
Que el alumno sepa simular por el computador los distintos casos.
Distinguir entre distintos modelos de distribución de variables aleatorias
clásicas.
Estudiar el comportamiento de dichas distribuciones en el límite.
6
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
•
•
•
•
conocer el concepto de estimador y sus propiedades, como así también métodos
para definir los estimadores.
Saber construir intervalos de confianza para los parámetros poblacionales.
Saber diseñar experimentos válidos.
Obtener conclusiones confiables a partir de los datos obtenidos.
Que sepa interpretar la relación entre variables y realizar inferencias estadísticas
a partir de dichas relaciones.
Que el alumno:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Comprenda la importancia de la estadística y de la probabilidad como
disciplinas científicas y de aplicación a las herramientas informáticas.
Adopte la terminología técnica y adquiera habilidad en el uso de este
vocabulario.
Utilice los conceptos aprendidos para el ordenamiento y posterior tratamiento de
los datos obtenidos en trabajos de investigación.
Conocer y manejar con facilidad los conceptos básicos de la Teoría de
Probabilidad.
Manejar el concepto de distribución de una variable aleatoria en forma general,
y los parámetros que caracterizan dicha distribución.
Saber como generar una secuencia de valores aleatorios que respondan a un
comportamiento probabilístico dado.
Prediga comportamientos de un conjunto por estimación a partir del estudio de
un subconjunto.
Ajuste modelos matemáticos teóricos a situaciones prácticas que presentan cierta
semejanza con la idealidad.
Saber simular por el computador los distintos casos.
Distinguir entre distintos modelos de distribución de variables aleatorias
clásicas.
Estudiar el comportamiento de dichas distribuciones en el límite.
conocer el concepto de estimador y sus propiedades, como así también métodos
para definir los estimadores.
Saber construir intervalos de confianza para los parámetros poblacionales.
Saber diseñar experimentos válidos.
Obtener conclusiones confiables a partir de los datos obtenidos.
2. Contenidos:
Primer Bloque: Análisis Descriptivo
Unidad Nº 1:
¿Qué es la Estadística? El papel de la Estadística en la ingeniería y en la ciencia. Las
computadoras y la estadística. Las unidades experimentales. El dato como resultado de
7
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
un experimento. Datos cualitativos y cuantitativos. Distintas escalas y reglas de
medición. Datos agrupados y no agrupados. Frecuencia absoluta simple y acumulada.
Frecuencia relativa simple y acumulada. Distribución de frecuencias. Intervalos de
clase. Marca de clase. Medidas que resumen información. Medidas de posición. La
media aritmética simple y ponderada. La mediana. La moda. Medidas de dispersión. El
rango. La varianza. El desvío estándar. La distancia intercuartil. Datos anómalos.
Cantidades absolutas y relativas. Indicadores. Los fractiles: deciles, cuartiles y centiles.
Cuadros y gráficos de tendencias. Gráficos de curvas. Gráficos de barra. Esquemas
circulares. Boxplots. Histogramas. Polígonos de Frecuencia. Ojivas.
Segundo Bloque: Análisis Probabilístico
Unidad Nº 2:
Nociones de probabilidad. Experimento aleatorio. Aleatoriedad. Espacio Muestral.
Espacios de equiprobabilidad. Sucesos excluyentes y no excluyentes, independientes y
dependientes. Postulado de Laplace. Reglas de probabilidad. Probabilidad simple.
Probabilidad conjunta, marginal y condicional. Tabla de decisión. Diagrama de Venn.
Teorema de Bayes.
Unidad Nº 3:
La variable aleatoria. Variables discretas y continuas, sus respectivas funciones y
parámetros. Modelos de distribuciones discretas. Ley de Bernoulli, de Pascal, Binomial,
Hipergeométrica y de Poisson. Media y varianza de las variables especiales.
Modelos de distribuciones continuas. Ley uniforme, exponencial y normal, gamma y
Weibull. Problemas y aplicaciones.
Tercer Bloque: Análisis Inferencial
Unidad Nº 4:
Definición de muestra aleatoria.
Parámetros. Estadísticos o estadígrafos. Estimador de un parámetro.
Error cuadrático medio (ECM). Sesgo (B) de un estimador. Estimador insesgado.
Demostrar que ECM( θˆ ) = V( θˆ ) + B².
La media muestral como estimador de la media de la variable. Cálculo de su
media y varianza.
La varianza muestral como estimador de la varianza de la variable. Cálculo de
su media.
La estimación de las diferencias de medias en el caso de independencia. Cálculo de la
media y la varianza de los respectivos estimadores.
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Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
Teorema central del límite. Versión referida a la suma de variables aleatorias
independientes e igualmente distribuidas. (Sin demostración).
La distribución de la media muestral. (Caso normal y cuando se aplica teorema
central del límite).
Deducción del intervalo de confianza para la media. (Caso σ conocido).
Error absoluto de estimación: tamaño de muestra.
La t de Student. Intervalo de confianza para la media. (Caso σ desconocido).
La χ2. Deducción del intervalo de confianza para la varianza.
Intervalo de confianza para la diferencia de medias. (Casos varianzas
conocidas y desconocidas pero iguales).
Unidad Nº 5:
Hipótesis nula y alternativa. Errores tipo I y II.
En todas las pruebas de hipótesis indicar el estadístico de prueba, su distribución y la
correspondiente zona de rechazo.
Concepto de diferencia significativa.
Prueba de hipótesis para la media (σ conocido). Deducir la fórmula para el tamaño de
muestra. Cálculo de la probabilidad de cometer error tipo II
Prueba de hipótesis para la media (σ desconocido).
Prueba de hipótesis para la varianza.
Prueba de hipótesis para la diferencia de medias (σ1, σ2 conocidos).
Prueba de hipótesis para la diferencia de medias (σ1 = σ2 desconocidos).
Unidad Nº 6:
Descripción del modelo de regresión lineal simple.
Criterio de los mínimos cuadrados.
Estimadores de los parámetros de la regresión (Remitirse a la bibliografía en caso de
que no se llegue a hacer la deducción en clase).
Sumas de cuadrados total, explicada y residual.
Cuadrado medio residual. Estimación de σ2.
Coeficiente de determinación. Interpretación de su valor.
Estimación puntual y por intervalo de la media de Y correspondiente a un valor
particular de X (sin demostración).
Predicción del valor de Y correspondiente a un valor particular de X. Intervalo de
predicción (sin demostración).
Prueba de hipótesis sobre la pendiente de la recta de regresión poblacional.
Descripción del modelo de correlación.
Estimación puntual del coeficiente de correlación. Probar -1 ≤ r ≤ 1.
Prueba de hipótesis acerca del coeficiente de correlación.
Unidad 7:
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Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
Introducción al análisis de la varianza. Diseños completamente aleatorizados. Diseños
con bloques aleatorizados. Análisis de la varianza con un factor de clasificación.
Supuestos teóricos. Fórmulas para el cálculo. Experimentos de dos factores.
Experimentos multifactoriales. Aplicaciones.
…………………………………………………………….
3. BIBLIOGRAFIA
3.1 BASICA

Devore Jai L., Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. Editorial
Thomson

Navidi William, Estadística para ingenieros y científicos,Editorial Mc Graw
Hill

*Walpole;Myers; Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. Editorial
Pearson .

Montgomery y Runger, Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería.
Editorial Mc Graw Gill.

Richard Johnson,Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Editorial Prentice
Hall.Quinta Edición.

Walpole y Myers; Probabilidad y Estadística;McGraw Hill
3.2 Adicional

Berenson, Mark-Levine, David."Estadística para administración y economía".
Ed. McGraw-Hill

De Groot, Morris. "Probabilidad y Estadística". Ed. Addison-Wesley
Iberoamericana.

Freund, John-Walpole, Ronald. "Estadística Matemática". Ed. Prentice-Hall
Hispanoamericana
10
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos

Levin,
Richard:
"Estadística
para
administradores".
Ed.
Prentice-Hall
Hispanoamericana

Roberto García, Inferencia Estadística y Diseño de experimentos. EUDEBA

Apuntes de Cátedra que figuran en la página virtual.
Sitios de Internet:

PROBABILIDAD/www.alipso.com/monografías probabilidad/=228k-En cachéPáginas similares.

(PDF)APUNTES DE PROBABILIDAD Y
ESTADÍSTICA/IND.TEM./www.csampablo.com.ar/apuntes-archivos.
*Se encuentra disponible en Biblioteca
3.3 Software necesario para desarrollar las clases. Excel
4. METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA
El curso se desarrollará a través de actividades de enseñanza y aprendizaje que
contemplan exposiciones teóricas, ejecución de trabajos prácticos individuales fuera del
horario de clase y en equipo en aula, actividades especiales.
Realizarán una guía de Trabajos Prácticos donde los alumnos serán los protagonistas y
centro de la escena. Realizarán las conclusiones correspondientes utilizando el
computador y simulando las variables aleatorias diversas.
Realizarán Análisis de Casos en determinadas Actividades dadas por el docente.
Entre los recursos a utilizar se contemplará biblioteca digital y consultas por Internet.
Los ejercicios de aplicación serán resueltos, algunos en horario de clase con asistencia
docente y otros a cargo del alumno fuera del horario habitual.
Los ejercicios de aplicación formarán parte de la carpeta de trabajos prácticos que será
de ejecución obligatoria e individual.
Harán uso de la cátedra virtual, tanto para las actividades solicitadas como para poder
investigar acerca de la teoría correspondiente.
5. CRITERIOS DE EVALUACION
Un examen parcial, de acuerdo con las normas establecidas por la Universidad, con sus
respectivos recuperatorios, en caso de ser necesario. Se agregarán trabajos realizados en
computadora y trabajos prácticos realizados por los alumnos que serán evaluados en
forma continua.
11
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
Se tomarán sucesivos parcialitos pudiendo así obtener una evaluación permanente. Las
sucesivas simulaciones realizadas con el computador serán presentadas en una carpeta
donde será evaluada, con sus respectivas conclusiones.
Se realizarán trabajos especiales que serán evaluados.
Por lo tanto, en la evaluación se tendrá en cuenta:
*El resultado del parcial
*El rendimiento en el aula
*La asistencia del alumno.
*Las evaluaciones permanentes de los Trabajos prácticos.
*El cumplimiento y la calidad de los trabajos prácticos realizados.
*Entrega de los Trabajos prácticos obligatorios, en una carpeta con el CD
correspondiente.
Para poder rendir el Examen final, los alumnos deberán tener aprobados:
*El Parcial Y
*Los Trabajos prácticos, que consisten en:
*Evaluaciones de Trabajos Prácticos. Se tomarán 3 evaluaciones ó más. La
última evaluación comprende los temas desde el parcial al final de la cursada. Sólo se
puede recuperar una evaluación. De todos modos se verá la asistencia del alumno a la
asignatura y su actuación en clase.
*Trabajos prácticos obligatorios de la guía. (Se pueden realizar en grupos de a
dos, se presentará en un CD , e impreso en una carpeta al final de la cursada)
Para conocimiento de los profesores se adjunta la resolución N.º 117/09 de
la presidencia de la Universidad de Belgrano donde se establece el régimen de
trabajos prácticos
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Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
ASIGNATURA:
PLAN DE ESTUDIOS:
ANO ACADEMICO:
CARRERA/S:
AÑO:
CUATRIMESTRE:
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
2010
2014
Ingeniería en Sistemas/Licenciatura en Sistemas
de Información
3er Año
1er cuatrimestre.
Probabilidad y Estadística
Trabajo práctico 1. Análisis Probabilístico
Probabilidad
OBJETIVO:
El alumno deberá:
•
•
•
Conocer y manejar con facilidad los conceptos básicos de la Teoría de
Probabilidad.
Ser capaz de obtener conclusiones a partir de los resultados de su práctica.
Saber sacar conclusiones de la aplicación del teorema de Bayes
PRÁCTICA 1
PROBABILIDAD
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Ejercicio 1:
Describa el espacio muestral para cada uno de los siguientes
experimentos aleatorios:
Se arroja una moneda equilibrada 4 veces.
Se ensambla una puerta de un automóvil con un gran número de puntos de
soldadura y se cuenta el número de soldaduras defectuosas.
Se fabrica un tubo de rayos catódicos y se somete a una prueba de duración hasta
que ocurre una falla. Se registra el tiempo de buen funcionamiento.
Se eligen tres items de un lote fabricado por cierta máquina y se determina si son o
no defectuosos.
En una planta química el volumen diario producido de cierto producto varía entre un
valor mínimo a y un máximo b. Se elige un día al azar y se observa la cantidad
producida.
Una paleta de 10 piezas fundidas contiene una pieza defectuosa y nueve en buen
estado. Se seleccionan cuatro al azar (sin reemplazo) y se inspeccionan.
13
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
g) Se prueban diodos de un lote uno a la vez y se marcan ya sea como defectuosos o
como no defectuosos. Esto continúa hasta encontrar dos artículos defectuosos o
cuando se han probado cuatro artículos.
h) Una caja contiene 10 bombitas de las cuales hay 3 con filamentos rotos. Estas se
prueban una por una hasta que se encuentra una defectuosa
Ejercicio 2: Para cada uno de los experimentos del ejercicio 1 describa dos sucesos
aleatorios y expréselos como subconjuntos del espacio muestral.Y describa los sucesos:
a) a lo sumo 1 defectuoso
b) b)al menos 1 defectuoso
Ejercicio 3: Un fabricante tiene cinco terminales de computadora aparentemente
idénticas, listas para ser enviadas a su destino, de las cuales dos son defectuosas. Si el
fabricante recibe un pedido de tres terminales, defina el espacio muestral para este
experimento.
Ejercicio 4: Dados los sucesos A, B y C, exprese en términos de operaciones entre
ellos a los sucesos siguientes y represéntelos con diagramas de Venn:
i)
Ocurre por lo menos uno de ellos.
ii)
Ocurre exactamente uno.
iii)
No ocurre C.
iv)
No ocurren ni B ni C.
v)
Ocurren a lo sumo dos de los sucesos.
vi)
Ocurren exactamente dos.
Ejercicio 5: Una instalación consiste de dos calderas y un motor. Sean los sucesos,
A: El motor funciona, B1: La caldera 1 funciona, B2: La caldera 2 funciona, C: La
instalación funciona. Si la instalación funciona cuando lo hacen el motor y por lo menos
una caldera, expresar los sucesos C y C’ en función de A, B1 y B2.
Ejercicio 6: En la oficina A hay 3 varones y 2 mujeres, en la oficina B, 4 varones y 3
mujeres. Se quiere formar un equipo de 2 personas, una de cada oficina. ¿Cuántas
posibilidades hay si:
a)se quiere que el equipo conste de un hombre y de una mujer
b)en el equipo debe haber por lo menos un hombre
c)en el equipo debe haber por lo menos una mujer
Ejercicio 7: De cuántas formas distintas puede fotografiarse una familia de 5 personas:
a) Puestas en hilera
b) si la madre y el padre se sientan juntos
c) el padre se sienta en el extremo derecho
d) el padre en el extremo derecho y la madre no se sienta junto a él
Ejercicio 8: En una rifa de 100 números Juan adquirió 40. Determine la probabilidad
de que saque sólo uno de los 3 premios.
14
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
Rta:0,4378
Ejercicio 9: Una prueba muy común para controlar la calidad de productos alimenticios
se obtiene presentando una muestra a cada uno de 3 catadores C1, C2 y C3.
Dados los siguientes sucesos:
A: Los 3 catadores encuentran satisfactorio el producto
B: Al menos dos catadores encuentran satisfactorio el producto
C: C2 encuentra satisfactorio el producto
a) Represente los sucesos mediante diagramas de Venn.
b) Si el producto se saca a la venta cuando C2 y otro catador lo encuentran satisfactorio
exprese dicho suceso en función de A, B y C y represéntelo.
Ejercicio 10: Sean A, B y C tres sucesos cuyas probabilidades son:
P(A) = 0,7
P(B) = 0,4
P (C)=.0,4
P(A∩B) = 0,3
P(A∩C) = 0,25
P(B∩C) = 0,15
P(A∩B∩C) = 0,1
Calcule:a) P(A∩B∩C’);b)
P(A’∩B∩C’);c)
f)P[(B∪C)’] y g) P[A’∩(B∪C)].
P[(A∪B∪C)’];d)
P(A∪B); e)
Ejercicio 11: El doctor Carrizo y una médica de ojos verdes conforman un grupo de 8
médicos disponibles para guardias. Determine la probabilidad de que el doctor Carrizo
salga elegido para integrar una guardia si:
a) La guardia es de 2 médicos que se eligen entre los 8.
b) La guardia es de 3 médicos elegidos entre los 8 y una de ellas es la médica rubia de
ojos verdes.
Rta:a) 0,25;b)0,107
Ejercicio 12: En una fábrica de tanques plásticos para bolígrafo se observa que el 89%
de la producción resulta apto para su uso, el 7% presenta defectos en su bolilla y, el 6%
presenta defectos en la unión del plástico y metal.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tanque tomado al azar presente ambos defectos?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que un tanque tomado al azar presente un sólo defecto?
Rta:a)0,02;b)0,09
Ejercicio 13-Un lote de 100 circuitos integrados contiene 20 defectuosos. Se eligen dos
al azar, sin reemplazo, del lote.
a)¿Cuál es la probabilidad de que el primero en ser seleccionado sea defectuoso?
b)¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso dado que el primero es
defectuoso?
c)¿Cómo cambia la respuesta del inciso b) si los circuitos se toman con reemplazo antes
de la siguiente elección?
Rta:0,2;b)0,188..;c)0,2
15
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
Ejercicio 14: Un recién graduado solicita empleo en la compañía X y en la compañía Z.
Se estima que la probabilidad del rechazo de por lo menos una de las solicitudes es 0.8.
¿Cuál es la probabilidad de ser empleado por lo menos por una de las compañías, si las
probabilidades de ser contratado por cada una de las compañías son 0.36 y 0.42
respectivamente?
Rta:0,58
Ejercicio 15: Un mecánico toma un perno y un buje para conformar un juego de perno
y buje con que completará un acople de piezas. Si tomó el buje de una caja con un 8%
de defectuosos y el perno de otra con el 5% de defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de
obtener un juego apto de perno y buje?
Rta:0,874
Ejercicio 16:De los tres elementos de una calculadora que funcionan
independientemente, dos fallaron y el otro funcionó correctamente. Halle la
probabilidad de que fallen el primero y el segundo elemento si las probabilidades de
falla son respectivamente: 0.2, 0.4 y 0.3
Rta:0,2978
Ejercicio 17: Dos alarmas conectadas a circuitos independientes actúan en una subusina de transformación ante un aumento sustancial de la temperatura, activando
rociadores de líquido. Cada uno de los dos sistemas tiene una probabilidad de fallar de
0.09 y 0.12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un caso de emergencia actúe por lo
menos una alarma?
Rta:0,9892
Ejercicio 18: En una ciudad se publican los periódicos A,B y C. Una encuesta reciente
de lectores indica lo siguiente: 20% lee A, 16% lee B, 14% lee C, 8% lee A y B, 5% lee
A y C, 2% lee A,B y C y 4% lee B y C. Para un adulto escogido al azar, halle la
probabilidad de que:
a) no lea ninguno de los periódicos
b) lea exactamente uno de los periódicos
c) lea al menos A y B, si se sabe que lee al menos uno del periódicos
Rta:a)0,65;b)
Ejercicio 19: El esquema representa un sub-circuito entre M y N. A, B, C son
interruptores que cierran desde un comando, en forma independiente con probabilidades
0.9, 0.9 y 0.8 respectivamente. Si se acciona el comando de cierre, ¿cuál es la
probabilidad de que pase corriente de M a N?.
A
C
M
B
16
N
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Guía de Trabajos Prácticos
Ejercicio 20: En una calle de una mano, hay 2 semáforos a 400 metros de distancia que
la corriente de vehículos salva en, aproximadamente, 30 segundos. En estas
condiciones, quienes la transitan, permanentemente han notado que encuentran ambas
luces en verde el 40% de las veces; que las encuentran en rojo el 13,5% de las veces;
que el 24% de las ocasiones cruzan la 1ra en verde y se detienen ante la 2da en rojo y, en
el resto de las oportunidades, se da la inversa. ¿Existe alguna coordinación entre los
semáforos o actúan independientemente?. Justifique su respuesta.
Ejercicio 21: Se diseña un dispositivo de frenado para evitar que un automóvil patine.
El sistema completo puede descomponerse en 3 subsistemas en serie que operan en
forma independiente: un sistema electrónico, un sistema hidráulico y un accionador
mecánico. En un frenado particular, las confiabilidades de estas unidades son 0.995,
0.993 y 0.994 respectivamente. ¿Cuál es la confiabilidad del sistema?
Rta: 0,9821
Ejercicio 22: Los registros indican que para las partes que salen de un taller de
reparación de componentes hidráulicas en una instalación de reparación de aviones, el
2% tendrá un defecto en el eje; el 1% tendrá un defecto en el buje y el 97.5% no tendrá
defectos: Para un artículo seleccionado al azar calcule la probabilidad de que:
a) El artículo tenga por lo menos un defecto.
b) El artículo tenga los dos defectos sabiendo que tiene por lo menos uno.
c) El artículo tenga defecto en el buje sabiendo que tiene defecto en el eje.
Rta:a)0,025;b)0,2;c)0,25
Ejercicio 23: El Banco Agosto utiliza un modelo computarizado para evaluar las
solicitudes de préstamos. Esta evaluación sirve como información al momento de
decidir el otorgamiento de los mismos. Históricamente, el 2% de todos los préstamos
que se otorgan presentan problemas por incumplimiento de pago . Si el 70% de todas
las solicitudes tienen buenas evaluaciones en el modelo computarizado y se les otorga el
préstamo, determinar:
a) la probabilidad de que una solicitud que recibe una buena evaluación y a la que
se le otorga el préstamo no presente problemas para el pago del mismo.
b) la probabilidad de que un préstamo tenga una buena evaluación y pague a
tiempo.
Ejercicio 24: Un conjunto electrónico consta de dos subsistemas A y B. A partir de una
serie de pruebas previas, se determinó que la probabilidad de que A falle es de 0.2, la de
que sólo falle B es de 0.15 y la de que fallen ambos es de 0.15.
Obtenga la probabilidad de que:
a) A falle sabiendo que B ha fallado
b) Sólo falle A
Rta:0,5;b)0,05
Ejercicio 25: Se conduce una investigación detallada de accidentes aéreos. La
probabilidad de que un accidente por falla estructural se identifique es 0.9 y la
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probabilidad de que un accidente que no se debe a una falla estructural se identifique en
forma incorrecta como un accidente producido por ese tipo de falla es 0.2. Si el 25%
de los accidentes aéreos se deben a fallas estructurales, determine la probabilidad de que
un accidente aéreo, identificado como falla estructural, se haya producido realmente
por una falla de ese tipo.
Rta: 0,6
Ejercicio 26: Dos máquinas automáticas, producen piezas idénticas que son colocadas
en un transportador común. El rendimiento de la primera máquina es el doble del
correspondiente a la segunda. La primera produce un promedio del 60% de las piezas
sin defectos y la segunda un 84%. Una pieza que se toma del transportador resulta sin
defectos. Encuentre la probabilidad de que esta pieza haya sido producida por la primera
máquina.
Rta:0,588
Ejercicio 27: Dos divisiones de producción de una fábrica se denominan M y N. La
probabilidad de que M tenga un margen de utilidad de por lo menos un 10% durante
este año es 0.3, de que N tenga igual margen de utilidad es de 0.2 y de que ambas
alcancen dicho margen es 0.05.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que N tenga un margen de utilidad del 10%, dado que M
ha alcanzado dicho margen?
b) Determine si el logro de la meta de utilidad de las dos divisiones es independiente.
Rta.a)0,1666..b)No son independientes
Ejercicio 28: Una cadena de negocios de video vende 3 marcas diferentes de DVD. De
las ventas de DVD el 50% son de la marca 1, el 30% son de la marca 2 y, el 20% son de
la marca 3. Cada fabricante ofrece un año de garantía en partes y mano de obra. Se sabe
que el 25% de las DVD de la marca 1 requieren trabajo de reparación en garantía, en
tanto que los porcentajes correspondientes a las marcas 2 y 3 son 20% y 10%
respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar, haya comprado
una DVD de la marca 1 que necesita reparación, mientras está en garantía?
b) Si un cliente regresa al negocio con una DVD que necesita trabajo dentro del
período de garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea una DVD de la marca 1?, ¿y
que sea una DVD de la marca 2?, ¿y que sea una DVD de la marca 3?
Rta:a)0,125,b)0,609;..
Ejercicio 29: El número de camiones, ómnibus y automóviles que pasan por una
determinada ruta donde se encuentra una estación de servicio están en la relación 3:2:5.
El 8% de los camiones, el 3% de los ómnibus y el 6% de los automóviles entran en la
estación de servicio a cargar nafta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo vehículo que venga por la ruta entre a
cargar nafta en la estación de servicio?
b) Si el último vehículo que entró cargó nafta, ¿qué probabilidad hay de que haya sido
un ómnibus?.
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Rta:0,06,b)0,1
Ejercicio 30: Para aprobar un examen, un alumno debe resolver un problema de 10
minutos. Se cuenta con 4 sobres cerrados, cada uno con un problema, de los cuales debe
seleccionar uno. Se sabe por otras experiencias que la probabilidad de resolver el
problema más difícil es de 0.1. Las otras probabilidades son 0.3, 0.5 y 0.8. Si el alumno
aprueba el examen. ¿ Cuál es la probabilidad de que haya seleccionado el problema más
difícil?
Rta:0,0588
Ejercicio 31: Las tres máquinas más antiguas producen un 6% de la producción de
tornillos y tienen un 4% de defectuosos; otras 5 máquinas producen un 8% cada una,
con un 3% de defectuosos. Por último, las 2 máquinas más modernas producen, cada
una, un 21% de la producción de tornillos, con un 2% de defectuosos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo cualquiera, tomado al azar, resulte
defectuoso?
b) ¿Con qué probabilidad lo pudo haber fabricado, cualquiera de las máquinas
modernas, si resultó defectuoso?
Rta:0,0276;b)0,3043
Ejercicio 32: Entre la central telefónica A y B hay una cantidad de canales tal que una
llamada tiene una probabilidad del 5% de encontrar congestión. En caso de encontrar
congestión, la llamada es derivada a una ruta alterna en la cual la probabilidad de
congestión es p. Si la llamada encuentra congestión en la ruta alterna se pierde. Calcule
p para que la probabilidad de pérdida de una llamada sea 0.01.
Rta:0,2
Nota.: Como evaluación serán obligatorios a presentar en las condiciones descriptas
anteriormente de ésta práctica los ejercicios:
14, 17, 24, 31.
TRABAJO PRÁCTICO 2. VARIABLE ALEATORIA
OBJETIVO:
El alumno deberá manejar el concepto de distribución de una variable
aleatoria en forma general, y los parámetros que caracterizan dicha
distribución.
•
Saber como generar una secuencia de valores aleatorias que correspondan
a un comportamiento probabilístico dado.
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•
•
•
•
Saber hacer modelos mediante simulaciones con el computador,
contrastando la validez de las conclusiones con los problemas reales
tratados.
Distinguir los distintos tipos de variables aleatorias.
Distinguir variables aleatorias unidimensionales y bidimensionales.
Saber calcular e interpretar el resultado de sus parámetros.
PRÁCTICA 2
VARIABLES ALEATORIAS
Ejercicio 1: Señale las variables aleatorias discretas:
a) X: altura del Riachuelo
b) Y: número de embragues defectuosos en una partida de 120 embragues
c) Z: estimación de la probabilidad de defectuoso para un embrague tomado al azar
d) P: puntaje que obtendrá el ganador de un certamen de ajedrez clasificado entre 10
competidores
e) Q: peso de un ladrillo común
f) R: grupo sanguíneo del mejor alumno del curso
g) T: cantidad de cheques rechazados por una agencia bancaria en una fecha dada
Rta:Y,R,T
Ejercicio 2: Se van a colocar cuatro microcircuitos integrados en una computadora.
Se escogen en forma aleatoria dos de los cuatro para revisarlos antes de armar la
computadora. Sea X el número de circuitos integrados defectuosos que se encuentran
entre los dos que se revisan. Determine la función de probabilidad de X si:
a) Dos de los cuatro microcircuitos integrados son defectuosos
b) Uno de los microcircuitos integrados es defectuoso
Rta.a)
X
0
1
2
P(x)
1/6
2/3
1/6
b)
X
0
1
P(x)
0,5
0,5
Ejercicio 3: Se extraen dos bolillas de una urna que contiene bolillas así numeradas:
1, 1, 2, 2, 5. Sea X = suma de los valores obtenidos
a) Halle el dominio e imagen de X
b) Halle y grafique la función de probabilidad de X
c) Halle y grafique la función de distribución de X
d) Calcule E(X) y V(X)
Rta: Dom(X) = {{1,1}, {1,2}, {1,5}, {2,2}, {2,5}} Im(X) = {2,3,4,6,7}
20
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x
P(X)
c)
F(X) =
2
1/10
0
1/10
1/2
3/5
4/5
1
3
2/5
si
si
si
si
si
si
4
1/10
6
1/5
7
1/5
x<2
2 ≤ x <3
3 ≤ x <4
4 ≤ x <6
6 ≤ x <7
x≥7
d) E(X) = 4.4 V(X) = 3.24
Ejercicio 4: Un capataz de una fábrica tiene tres hombres y tres mujeres trabajando
para él. Desea elegir dos trabajadores para una labor especial y decide seleccionarlos al
azar para no introducir algún sesgo en su selección. Sea Y el número de mujeres en su
selección.
a) Encuentre la función de probabilidad para Y
b) Halle E(Y) y V(Y)
Rta:a)
Y
P(Y)
0
1/5
1
3/5
2
1/5
b) E(Y) = 1; V(Y) = 2/5; D(Y)=0,632
Ejercicio 5: El gerente de producción en una fábrica ha construido la siguiente función
de probabilidad para la demanda diaria ( nº de veces utilizada) de una herramienta en
particular.
y
0
1
2
f(y) 0.1
0.5
0.4
Le cuesta a la fábrica $10 cada vez que se utiliza la herramienta. Encuentre la media y la
varianza del costo diario para el uso de la herramienta.
Rta. E(X) = 13; V(X) = 41;D(X)=6,4
Ejercicio 6: El departamento de ingeniería industrial de una compañía está realizando
un estudio sobre la labor de sus técnicos. Califica a sus técnicos en tres categorías: A, B
y C, según el tiempo que demoran en realizar una tarea. Si las probabilidades de
pertenecer a cada una de las categorías son respectivamente 0.1, 0.3 y 0.6
respectivamente y se supone que las calificaciones de los técnicos son independientes
entre sí, halle la media de
X: número de técnicos de la categoría A entre dos elegidos al azar.
Rta: E(X) = 0.2
Ejercicio7:Una máquina puede tener un cierto número de fallas por día, no superior a 3.
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La tabla da la función de probabilidad de la variable aleatoria
X : número de fallas diarias
X
f(X)
0
1
2
0.2
3
a) Complete la tabla sabiendo que P( X ≤ 1) = 0.5 y E(X) = 1.3
b) Halle la función de distribución de X
Rta: a)
X
P(X)
0
0.4
b)
0
si
0.4 si
F(X) = 0.5 si
0.8 si
1
si
1
0.1
2
0.3
3
0.2
x<0
0 ≤ x <1
1 ≤ x <2
2 ≤ x <3
x≥3
Ejercicio 8: Suponga que la demanda diaria de un artículo es una variable aleatoria X
cuyo recorrido es R(x) = { 1,2,3,4 } y su función de probabilidad
f(x) = c 2x/ x!
a) Halle el valor de la constante c
b) Calcule la demanda esperada
c) Calcule la desviación estándar de la demanda

Rta: a) c =1/6 b) 2. 1
c) 0.9938
Ejercicio 9: La función de distribución de una variable aleatoria X es:
F(X) =
0
X<3
1/3
3≤X<4
1/2 4 ≤ X < 5
2/3 5 ≤ X < 6
1
X≥6
a) Calcule P ( 3 < X ≤ 5)
b) Halle la función de probabilidad de X
Rta: a)1/3
b)
X
P(x)
3
1/3
4
1/6
5
1/6
6
1/3
Ejercicio 10: Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad es
f(x) = 0.5 - 0.05 x2 y su recorrido R(x) = {-3,-1,1,3 }
a) Calcule P( X< 0 )
22
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b) Verifique que P ( X < 0 ) = P ( X > 0 )
c) Halle y grafique la función de distribución de X
Rta:a)0.5
c)
F(X) =
0
si x< -3
0.05 si -3 ≤ x< -1
0.5
si -1 ≤ x< 1
0.95 si 1 ≤ x <3
1
si x ≥ 3
Ejercicio 11:Una variable aleatoria discreta tiene como función de probabilidad
= 0,.7.(0.3)x
x = 0,1,2,3,...............
p(x)
a) Verifique que p(x) es una función de probabilidad.
b) Halle:
i) P(x >3)
ii) P(4 ≤ x ≤6)
iii) P(x >3 / x >1)
Ejercicio 12:El tiempo de vida, en miles de horas, de una lámpara es una variable
aleatoria con densidad:
− 6 x 2 + 18 x − 12
f ( x) = 

0
si 1 ≤ x ≤ 2
para otro x
Halle la probabilidad de que una de tales lámparas, que está colocada en
tenga que cambiarse durante las primeras 1.200 horas de operación.
Rta:0,104
un equipo,
Ejercicio 13: La demanda diaria de combustible, en miles de litros, en una estación de
servicio es una variable aleatoria con función de densidad:
5
6 x

5
 5
f ( x ) = − x +
4
2

0


si 0 ≤ x ≤ 1,2
si 1,2 < x ≤ 2
para otro x
Al comenzar cada día se completan los tanques hasta alcanzar los 2.000 litros. Cada
litro vendido produce una utilidad de 20 centavos mientras que, cada litro no vendido
produce una pérdida de 1,5 centavos (debido a costos de almacenamiento). Halle la
utilidad diaria esperada.
23
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Rta:Ayuda:U=0,2x-(2000-x)0,015; E(X)=1,066..;E(U)=199,33
Ejercicio 14: Supóngase que el tiempo, en horas, necesario para reparar una pieza de un
equipo en un proceso de manufactura, es una variable aleatoria con media 5 y varianza
20. Si la pérdida de dinero, en pesos, es igual al cuadrado del número de horas necesario
para llevar a cabo la reparación, determine el valor esperado de las pérdidas por
reparación.
Rta: 45
Ejercicio 15: La cantidad de reactivo, medido en cientos de mililitros, en un proceso
químico, es una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad:
1-x/2 si x ε (0,2)
f(x) =
0
en otro caso
a) Grafique la función f
b) Halle la función de probabilidad acumulada
c) Halle la cantidad de reactivo para el cual la probabilidad de superar dicha cantidad
es 0.75
d) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres observaciones independientes de un procesos
químico exactamente una de ellas tenga una cantidad de reactivo superior a 130
mililitros?
Rta:b)
F(X) =
0
x – x2/4 si
1
si
si
x <0
0≤x≤2
x>2
c) 26.8 ml.
d) 0.283
Ejercicio 16: Un fabricante de aparatos de televisión a color ofrece un año de garantía
de restitución gratuita si el tubo de imagen falla. El fabricante estima el tiempo de falla
T,(medido en años) como una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de
probabilidad
f(t) =
1 e-t/4
4
0
t>0
en otro caso
a) ¿Qué porcentaje de aparatos tendrá que reparar?
b) Si la utilidad por la venta de un televisor es de $200 y la sustitución del tubo de
imagen cuesta $ 50, encuentre la utilidad esperada por aparato vendido.
Rta:a) 22.12%;b)188.94
24
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Ejercicio 17: La demanda de anticongelante, medida en cientos de litros, en una
temporada tiene la siguiente función de densidad:
f(x) = 1/3(4x + 1) si 0 < x < 1 ; 0 en otro caso
a) Calcule P( 1/3 < x < 5/3 / x < 1/2)
b) Halle E(3x –5) , E(x2 + 1)
c) Halle el valor de k tal que P( x < k) = 0.04
Rta:a)4/9,b)19/6; 13/9;c)0.1
Ejercicio 18: El costo de reparación de un equipo depende del tiempo que lleva
repararlo y de una serie de gastos. Cada vez que un equipo debe ser reparado hay un
gasto fijo de $100 y un gasto variable de $10t. Si el tiempo de reparación tiene una
función de densidad
f(t) = 1/4 - t/32 si 0 ≤ t < 8
; 0 en otro caso
Halle el valor medio y la varianza del costo de reparación.
Rta: E(c) = 126.67; V(c) = 355.56
Ejercicio 19:La función de distribución de una variable aleatoria w, que mide el
porcentaje de cierto aditivo en gasolina es
F(w)
0
w
2 w2 + 1
3
1
=
w<0
0 ≤ w < 0.5
0.5 ≤ w < 1
w ≥1
a) Grafique F(w)
b) Halle P( 1/3 < w < 2/3) usando la función de distribución
c) Halle la función de densidad
Rta: b)8/27
c)
1
f(w) =
4w
3
0
si
si
0 ≤ w < 0.5
0.5 ≤ w ≤ 1
en otro caso
Ejercicio 20: Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad:
x
0≤x≤1
2-x
1<x<2
0
en otro caso
Se definen los siguientes sucesos:
f(x) =
25
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A = { 0.5 < x < 1.5 }
B={x>1}
¿ Son A y B independientes?
Rta:Sí
Ejercicio 21:La fracción de tiempo X, que un robot industrial está en operación durante
una semana de 40 horas es una variable aleatoria cuya función de densidad de
probabilidad es:
2X
0 <X < 1
f(X) =
0
en cualquier otro punto
a) Calcule E(X) y V(X)
b) Para el robot que se estudia, la ganancia semanal está dada por
Y = 200X – 60, halle E(Y) y V(Y)
Rta. a)2/3,1/18,b)20/3;2222,22
Ejercicio 22:El tiempo por semana que una empresa de contadores usa la unidad central
de proceso (CPU) tiene como función de densidad de probabilidad ( medida en horas):
3/64(4-x)x2
0<x<4
f(X) =
0
en cualquier otro punto
a) Calcule el valor esperado y la varianza del tiempo por semana que se usa la CPU
b) El tiempo que se usa la CPU cuesta a la empresa $200 la hora. Calcule el valor
esperado del costo semanal por usar la CPU.
Rta: a)E(x)=2,4;V(x)=0,64;b)E(c)=480;V(c )=25600
Ejercicio 23: Una determinada operación, en un proceso de montaje, tiene un costo fijo
de $ 12 y otro, que varía en función del tiempo empleado, a razón de $ 0.20 por
segundo. Si el tiempo empleado es una variable aleatoria con media 98 segundos y
varianza 68 segundos2 , determine la media y la varianza del costo total de la operación.
Rta.E(X)=98;V(X)=68; C=12+0,2 x; E(C)=139,6;V(C)=2,72
Ejercicio 24: La probabilidad de que una inmobiliaria venda una propiedad con una
ganancia de $3000 es 3/20, la probabilidad de que venda y gane $1500 es 7/20, la de
que salga a mano es 7/20 y la de que pierda $1500 es 3/20. ¿Cuál es su ganancia
esperada?
Ejercicio 25:Función de variable aleatoria. Un proceso para refinar azúcar rinde hasta
1 tonelada de azúcar puro al día, pero la cantidad real producida ,Y, es una v.a. debido a
descomposturas de máquinas y otros problemas. Suponga que Y tiene función densidad
dada por.
26
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2y, 0 ≤ y ≤ 1
0, e.o.c
f(y)=
A la compañía se le paga a razón de $ 300 por tonelada de azúcar refinada, pero también
tiene un costo fijo general de $ 100 por día. Por tanto, la utilidad diaria, en cientos de
dólares, es U=3Y-1.
a)Encuentre la función densidad de probabilidad de U
b)Encuentre E(U) y V(U).
. Ejercicio 26: Sea Y una v.a. con función densidad de probabilidad dada por:
2(1-y)
0 ≤ y ≤1
f(y)= 0
e.o.c
a) Encuentre la función densidad de U=1-2Y
b)Encuentre E(U) y V(U).
Ejercicio 27: Considere que x es una v.a.c con distribución de probabilidad:
f(x) = x/12 si 1<x<5
0
en otro caso
a)Obtenga la función dist. acumulada de x
b)Calcule E(x) y V(x)
c) Si Y= 3X+2, encuentre E(y) y V(y).
Variables aleatorias bidimensionales
Ejercicio 28: Se selecciona al azar dos repuestos para una pluma de una caja que contiene 3
repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes. Si X es el número de repuestos azules seleccionados e Y el
de rojos, encuentre.
a)la función de probabilidad conjunta f(x,y) y, b)P(X,Y ∈ A
{
región: ( x, y )
Rta:
f(x,y)
0
1
2
Tot Col
x + y ≤ 1 }.
] , donde A es la
0
1
2
3/28
3/14
1/28
5/14
9/28
3/14
3/28
15/28
1/28
b)Rta:9/14.
27
Tot por
Renglón
15/28
3/7
1/28
1
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Ejercicio 29: Dada la siguiente distribución de probabilidad conjunta es:
P(x,y)
Y
0
0,25
0,15
X
1
2
a) Calcular la Px / y ( x)
b)Calcular Px ( x)
y
2
0,05
0,1
4
0,3
0,15
Py ( y )
Ejercicio 30:Una compañía de dulces distribuye cajas de chocolates con una mezcla de
cremas y nueces cubiertas, tanto en chocolate oscuro como claro. Para el caso de una
caja seleccionada aleatoriamente, sean X y Y, respectivamente, las proporciones de
chocolates oscuros y claros que son cremas y suponga que la función de densidad
conjunta es :
2 (2 x + 3 y )
5
f ( x, y ) =
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
0 en cualquier otro caso.
a)Verifique que es función densidad.
b)Encuentre la P[( X , Y ) ∈ A],donde A es la región {( x, y ) / 0 < x < 1 / 2;1 / 4 < y < 1 / 2
Rta: a)Sí;b)13/160
}
Nota: Como evaluación serán obligatorios a presentar en las condiciones descriptas
anteriormente de ésta práctica los ejercicios:
3-10-14-18-23-25
TRABAJO PRÁCTICO 3. VARIABLE ALEATORIA
OBJETIVO:
El alumno deberá distinguir entre los distintos tipos de distribuciones
especiales de variables aleatorias, así como los parámetros que caracterizan
dicha distribución.
•
Saber como generar una secuencia de valores aleatorias que correspondan
a un comportamiento probabilístico dado.
28
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•
•
Saber hacer modelos mediante simulaciones con el computador,
contrastando la validez de las conclusiones con los problemas reales
tratados.
Distinguir entre distintos modelos de distribución de variables aleatorias
clásicas.
DISTRIBUCIONES ESPECIALES
3.1-VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Ejercicio 1: Un examen de elección múltiple consta de 10 preguntas cada una de las
cuales posee 5 posibles respuestas, siendo sólo una la correcta. Suponga que un
estudiante rinde el examen contestando cada pregunta en forma independiente y al azar.
Si Z es el número de respuestas correctas
a)Halle la distribución de Z, la media y la varianza. Interprete dichos resultados.
b) Halle la probabilidad de que el alumno responda correctamente 7 preguntas.
c)Si para aprobar es necesario tener más de 5 respuestas correctas. Halle la probabilidad
de que un estudiante apruebe.
Rta: a)
Z
P(z)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
>8
0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264 0.0055 0.0008 0.0001 0.000
E(z)=2; V(Z)=1.6
b)0.0008
c)0.0064
Ejercicio 2: La probabilidad de que un tirador inexperto impacte en el blanco es 0.35.
Si dispara 10 veces, cuál es la probabilidad de acertar por lo menos dos tiros?
Rta:0,914
Ejercicio 3: Se dispone de un gran lote de artículos de los cuales se sospecha que el
10% es defectuoso. Se eligen 4 artículos al azar. Sea la v.a.
X= Número de artículos defectuosos encontrados.
a) Halle la distribución de X, su media y su varianza.
b) Un comprador potencial del artículo regresa las piezas defectuosas para su reparación
y el costo de reparación es:
C=2 X2 + 3X +10
Calcule el costo de reparación esperado.
Rta:12,24
Ejercicio 4: La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad en
la sangre es 0.4. Si se sabe que 10 personas han contraído esa enfermedad, ¿cuál es la
probabilidad de que:
a) por lo menos 7 sobrevivan?
29
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b) sobrevivan de 3 a 5?
c) sobrevivan exactamente 5?
d)¿cuántos, en promedio, sobrevivirán?
e)¿cuál es la varianza de la v.a. en cuestión?
Rta.a)0,0548;0,6665;c)0,2007,d)4;e)2,4
Ejercicio 5: De acuerdo con la teoría genética, cada hijo de un par de padres en
particular tiene: P(ojos azules)=0.5; P(ojos marrones)=0.2 y P(ojos verdes)=0.3. Si los
padres tienen 5 hijos, halle la probabilidad de que por lo menos tres tengan ojos verdes.
Rta:0,1631
Ejercicio 6: Las probabilidades de que un delegado que asiste a una convención llegue
por avión, autobús, automóvil o tren son respectivamente 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1. ¿Cuál es la
probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados al azar al menos 3 hayan llegado
por avión?
Rta:0,7682
Ejercicio 7: Se embarcan motores eléctricos pequeños en lotes de 50. Antes de aceptar
el cargamento, un inspector elige 5 motores y los prueba uno por uno. Si ninguno de
ellos es defectuoso, acepta el lote. Si encuentra que uno o más son defectuosos, se
inspecciona el cargamento completo. Supongamos que en realidad hay tres motores
defectuosos en el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que se requiera una inspección al
100%?
Rta:0,276
Ejercicio 8: Cincuenta representantes de cierto estado asisten a una convención política
nacional, de los cuales 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan
aleatoriamente 5 representantes; ¿Cuál es la probabilidad de que entre estos cinco, por
lo menos dos apoyen al candidato A?
Rta:0,924
Ejercicio 9: Un motor de automóvil de 8 cilindros tiene dos bujías falladas. Si se quitan
las cuatro bujías de un lado del motor, ¿Cuál es la probabilidad de que entre ellas se
encuentren las dos que tienen fallas?
Rta:0,21428
Ejercicio 10: Se sabe que el número de microorganismos por gramo de una cierta
muestra de suelo diluida en agua destilada, sigue una distribución de Poisson de
parámetro λ =0.8. Si una preparación con un gramo de esta dilución se vuelve turbia,
este gramo contiene al menos un microorganismo. Halle la probabilidad de que una
preparación que se ha vuelto turbia tenga:
a) Calcule la probabilidad de que la preparación se vuelva turbia.
b)un sólo microorganismo
c)menos de tres microorganismos.
d)más de dos microorganismos.
30
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Rta:a) 0,55;b)0,6536;c)0,915
Ejercicio 11: Se sabe que una fuente de líquidos contiene bacterias, con un promedio de
3 bacterias por mm3. El número de bacterias por unidad de volumen puede tomarse
como una v.a. Poisson. Diez tubos de 0.5mm3 se llenan con líquido. Calcule la
probabilidad de que:
a) todos los tubos queden contaminados, es decir, contengan al menos una bacteria
b) exactamente 7 tubos queden contaminados
Rta:a)0,08,b)0,2276
Ejercicio 12: Un fabricante de cables para electricidad asegura que su producto
presenta, en promedio, una falla de aislación cada cincuenta metros. Se desea comprar
una partida de rollos de 200 metros si en una muestra de 10 rollos seleccionados al azar
más de la mitad tienen a lo sumo dos fallas. ¿Cuál es la probabilidad de comprar la
partida?
Rta:Puede dejar expresada la respuesta
Ejercicio 13:Suponga que 220 errores de tipeo se distribuyen aleatoriamente a lo largo
de 200 páginas de un libro. Halle la probabilidad de que una página dada:
a)tenga un error
b)tenga dos o más errores.
Rta:a)0,366;b)0,301
Nota: Como evaluación serán obligatorios a presentar en las condiciones descriptas
anteriormente de ésta práctica los ejercicios:
1, 3 de variables aleatorias discretas.
1, 6, 12 de distribuciones especiales de variables aleatorias discretas.
EJERCICIOS DE SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CON EL
COMPUTADOR
1-Simular el resultado obtenido al arrojar un dado regular. Repetir 500 simulaciones la
experiencia y organizar la información en una distribución de frecuencias.
2- Simular el resultado X: suma de las caras obtenidas al arrojar dos dados regulares.
Construir la distribución de frecuencias relativas. Estimar la probabilidad de que la
suma dé 7 u 11.
3- La probabilidad de que un alumno lea el diario antes de asistir a clase es p= 0,25. Se
toman dos alumnos al azar y se les pregunta si esa mañana leyeron el diario antes de
asistir a clase. Simular la distribución de X: cantidad de alumnos que leen el diario
antes de asistir a clase. Estimar la probabilidad de que al menos un alumno lea el diario.
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4-La probabilidad de que una persona hable francés en un determinado grupo de
estudiantes es 0,2. Simular la distribución de X: cantidad de personas que hablan
francés en una muestra de n=6 personas que se eligen al azar. a)Realizar el histograma
correspondiente. b)Estime la probabilidad de que al menos dos hablen francés.
Uno de estos ejercicios debe figurar en la carpeta de Trabajos Prácticos.
3.2-VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
OBJETIVO:
El alumno deberá manejar el concepto de distribución de una variable
aleatoria en forma general, y los parámetros que caracterizan dicha
distribución.
•
Saber como generar una secuencia de valores aleatorias que correspondan
a un comportamiento probabilística dado.
•
Distinguir entre los distintos tipos de variables: continuas y discretas
•
Saber hacer modelos mediante simulaciones con el computador,
contrastando la validez de las conclusiones con los problemas reales
tratados.
•
Distinguir entre distintos modelos de distribución de variables aleatorias
clásicas.
3.2-VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Ejercicio 1:Sea Z una v.a. N(0,1), Halle:
(a) P[Z < 1]
(b) P[Z > 1]
(c) P[Z < -1.5]
(d) P[-1.5 < Z < 0.5]
(e) P[-1.37 < Z < 2.01]
(f) P[-0.73 < Z < 0]
(g) P[-1.79 < Z < -0.54]
(h) P[ |Z| < 0.5]
Rta.a)0,8413;b)0,1587;c)0,0668;d)0,6247,e)0,8925;f)0,2653,g)0,4222,h90,383
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Ejercicio 2: Sea X una v.a. N(10,2), Halle:
(a) P[8 < X < 12]
(b) P[9 < X ]
(c) P[X < 13]
Rta:a)0,6826;b)0,6915,c)0,9332
Ejercicio 3: Sea Z una v.a. N(0,1) Halle a tal que:
(a) P[Z < a] = 0.5
(b) P[Z < a] = 0.8749
(c) P[Z > a] = 0.117
(d) P[Z > a] = 0.617
Rta:a)a=0;b)a=1,15;c)a=1,19;d)a=-0,3
Ejercicio 4: Halle un número k tal que para una variable X∼ N(u,σ) se verifique que:
P [u – kσ < X < u + kσ] =
(a) 0.95
(b) 0.90
(c) 0.99
Rta:a)1,96;b)1,645,c)2,58
Ejercicio 5: Para armar un circuito se necesita entre otros componentes, resistencias de
119 más menos 1.2 ohms. En plaza se fabrican resistencias de valor nominal que sigue
una distribución N (120,2). Calcule la probabilidad de que un comprador encuentre sólo
una resistencia apta para armar el circuito, si compra 10.
Rta:0,03828
Ejercicio 6: Cierta máquina manufacturera requiere de un producto específico a granel.
La cantidad del producto utilizada en un día se puede representar por una distribución
exponencial con parámetro 4 (mediciones en toneladas)
a)Halle la probabilidad de que la fábrica vaya a utilizar más de 4 toneladas en un día
determinado
b)¿qué cantidad del producto a granel deberá ser almacenada para que la probabilidad
de agotar la existencia sea solamente de 0.05?
Rta:a)0,367;b)11,98
Ejercicio 7: Supongamos que las notas de un examen se distribuyen según una
N(76,15) y al tomarlo se comprueba que un 15% obtiene sobresaliente y un 10%,
insuficiente. Halle la nota mínima para aprobar y la mínima para obtener sobresaliente.
Rta:S=91,6;A=56,8
33
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Ejercicio 8:Para un tipo de cañón dado y un alcance fijo, la distancia que recorrerá un
proyectil lanzado por dicho cañón es una v.a. N (1.5 km, 0.1 km). Cual es la
probabilidad de que un proyectil recorra:
(a) Más de 1.72 km
(b) Menos de 1.35 km
(c) Entre 1.45 km y 1.62 km inclusive.
(d) Si se disparan 2 proyectiles al azar. Halle la probabilidad de que ambos alcancen
más de 1.6 Km
Rta:a)0,0139;b)0,0668;c)0,5764;d)0,0251
Ejercicio 9: Dada
2e −2 x x > 0
f ( x) = 
x≤0
 0
Calcule:
(a) la media
(b) la varianza
(c)P(X > 1)
(d) P(2 < X <3)
(e) Halle F(x)
Rta:a)1/2;b)1/4;c)0,1353,d)0,0158;e)1- e −2 x
Ejercicio 10: Una refinadora de azúcar tiene tres plantas, y todas reciben azúcar morena
a granel. La cantidad de azúcar que puede procesar la planta en un día se puede
representar mediante una v.a. con distribución exponencial con un promedio de 4
(mediciones en toneladas) para cada una de las tres plantas. Si las plantas trabajan en
forma independiente, Calcule la probabilidad de que sean exactamente dos de las tres
plantas las que procesen más de 4 toneladas en un día determinado.
Rta:0,26
Ejercicio 11: Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una
distribución exponencial con promedio de 3.2 minutos. Un cliente llega a la ventanilla a
las 4:00 p.m.
(a) Encuentre la probabilidad de que todavía esté allí a las 4:02 p.m.
(b) Calcule la probabilidad de que todavía esté allí a las 4:04, dado que todavía
estaba allí a las 4:02. Obtenga conclusiones.
Rta:a)0,53526;b) 0,53526
34
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Guía de Trabajos Prácticos
Ejercicio 12:Sea
1/5
si 0 ≤ x ≤ 5
0
e.o.c.
f(x)=
a)¿ Es una función de densidad?
b)¿Cuál es su valor medio?
c)¿Cuál es su desvío estándar?
d)Calcule:
(a) P(X > 3)
(b) P(2 < X < 4)
Rtaa)Sí;b)E(X)=2,5;c)D(X)=1,44;d) a)0,4;b)0,4
Ejercicio 13: Una sustancia radioactiva emite un promedio de 1800 partículas por hora.
Calcule la probabilidad de que:
(a) En un período de 2 segundos se emitan por lo menos 2 partículas.
(b) En un período de t segundos no se emita ninguna partícula.
Rta:a=0,2642;b) e − t / 2
Ejercicio 14: Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea entre los marcadores
A y B, encuentre la probabilidad de que la distancia con respecto a A sea más de tres
veces la distancia con respecto a B.
Rta.1/4
Ejercicio 15: Un fabricante de radios desea adquirir 100 resistencias de cierta marca.
Supone que algunas serán defectuosas, pero sólo admitirá el lote si posee menos de
cuatro defectuosas. Para verificar la calidad del lote, elige tres resistencias y las pruebas.
Sea X = número de resistencias defectuosas. Si se sabe que el lote de 100 resistencias
tiene 4 defectuosas.
Si decide rechazar el lote si entre las 3 resistencias elegidas hay más de una defectuosa;
¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote?
Rta:0,0036
Ejercicio 16: El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan el
cemento hacia una obra en construcción de una carretera, está distribuido
uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que la
duración del viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor
a 55 minutos?
Rta:1/3
Ejercicio 17: El tiempo de paro Y (en horas) de una máquina industrial determinada
tiene aproximadamente una distribución exponencial con media igual a 2. La pérdida,
35
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
en dólares, de la operación como resultado de ese tiempo de paro está dada por:
L = 30Y + 2Y2.
Halle el valor esperado de L
Rta:76
Ejercicio 18: Las ausencias por enfermedad de los empleados de una empresa en un
mes tienen una distribución aproximadamente N(200horas, 20 horas).
(a) Calcule la probabilidad de que el próximo mes el ausentismo total por
enfermedad sea menor que 150 horas.
(b) Para planear el programa del mes próximo ¿Cuánto tiempo debe suponer darse
al ausentismo por enfermedad, si aquella cantidad sólo se debe superar con una
probabilidad de tan sólo 10%?
Rta:0,0062,b)225,8
Ejercicio 19: El costo de un producto terminado se considera una variable aleatoria con
distribución normal, con media igual a $1000 y dispersión igual a $ 100.
a) Si se extrae al azar un producto terminado ¿cuál es la probabilidad de que su costo
sea inferior a $ 1200 ¿
b) Si se toma una muestra de 10 productos terminados, calcular la probabilidad de que:
i) menos de 8 de ellos tengan un costo inferior a $ 1200.
ii) por lo menos 7 tengan un costo inferior a $1200.
i) Hallar la cantidad esperada de productos terminados con un costo inferior a $
1200.
a)0,97725;b)i)0,0008,ii)1;iii)9,7725
Ejercicio 20:En una ciudad , el consumo diario de energía eléctrica, en millones de
Kwh es una v.a. X que tiene una distribución gamma con media 6 y varianza 12.
¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el consumo de energía eléctrica
no exceda de 12 millones de Kwh?
Rta:0,938
Ejercicio 21. El tiempo de reabastecimiento para cierto tipo de producto sigue una
distribución gamma con media 40 y varianza 400. Obtenga la probabilidad de que una
orden se reciba:.
a)en los 20 primeros días
b)los primeros 60 días después de haber sido realizada.
Rta:a)0,143,b)0,849
Ejercicio 22:El tiempo de fallas en horas de una flecha está modelada según una v.a.
Weibull, con β = 1 / 2 y δ = 500 horas. a)Calcule el tiempo promedio entre
fallas..b)Calcule la P(X>600)?
36
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Guía de Trabajos Prácticos
Rta:a)E(x)=10000hs;b)1-Fx(6000) ´ ó bien= e
más de 6000hs.
−(
6000
5000
)1 / 2 =0,31=> El 30,1 tienden a durar
Ejercicio 23 : Suponga que la duración de un disco magnético empaquetado expuesto a
gases corrosiva tiene una distribución Weibull con β = 0,5 y una vida media de 600
horas.
a)Calcule la probabilidad de que un disco empaquetado dure al menos 500 horas.
b) Calcule la probabilidad de que un disco empaquetado falle antes de 400 horas.
Nota.: Como evaluación serán obligatorios a presentar en las condiciones descriptas
anteriormente de ésta práctica los ejercicios:
1, 5, 8, 18 y 20 de distribuciones especiales de variables aleatorias continuas.
TRABAJO PRÁCTICO 4
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALOS
OBJETIVO:
El alumno deberá saber construir los distintos intervalos de confianza,
utilizando los conceptos del Teorema Central del límite.
•
Saber generar variables aleatorias con el computador
para llegar al
concepto de Teorema central del límite.
•
Saber como generar intervalos de confianza utilizando la simulación
mediante la simulación.
•
Saber interpretar los diversos intervalos de confianza.
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
ESTIMACIÓN PUNTUAL Y POR INTERVALO
Revisión de Estadística Descriptiva
Ejercicio 01. En un negocio de computadoras se llevó el registro durante una hora, de la
cantidad de pentdrive que compró cada cliente atendido.
1
2
3
1
4
2
5
1
1
4
2
5
37
1
2
4
1
1
3
2
1
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
a) Indique cuál es la variable en estudio.
b) Construya una distribución de frecuencias no agrupadas de la cantidad –de artículos
comprados.
c) Construya una distribución de frecuencias relativas no agrupadas de los mismos
datos
d) Construya una distribución de frecuencias relativas acumuladas de los mismos datos.
e) Trace un histograma de frecuencias relativas de estos datos.
f) ¿Qué cantidad de artículos compró en promedio cada cliente?
Rta: X = 2,3; s = 1,4179
Ejercicio 02. Las edades de 50 estudiantes que se presentaron a un concurso de
selección para un determinado trabajo fueron:
21
19
21
20
18
19
20
19
20
21
22
21
21
19
19
19
22
21
21
18
18
21
19
21
22
20
20
19
22
21
23
22
20
19
24
19
20
19
19
20
19
21
19
21
24
20
20
19
19
17
a. Construya una distribución de frecuencias no agrupadas de estas edades.
b. Construya una distribución de frecuencias relativas no agrupadas de los
mismos datos
c. Construya una distribución de frecuencias relativas acumuladas de los mismos
datos.
d. Trace un histograma de frecuencias relativas de estos datos.
Ejercicio 03. Los siguientes datos muestran la cantidad de días empleados en trabajos
de refacción y pintura de 20 clientes de una constructora:
18 15 17 20
22 23 33 12
27 15 18 13 22 21
14 19 28 14 18 16
a) Indique cuál es la variable en estudio.
b) Construya una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de 5 días de estos
datos.
c) Indique el ancho de clase, y los límites de clase.
d) Trace un histograma de frecuencias de estos datos.
e)Calcule las medidas de tendencia central y variabilidad y elabore un informe con los
resultados obtenidos.
Rta:e) X = 29,16 , me = 20 ; mo = 19 ;s=1,48;CV=7,38
Ejercicio 04. En una calle de la ciudad se midieron con radar las velocidades de 55
automóviles:
38
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
27
25
29
26
21
23
23
28
33
23
22
22
27
25
24
38
52
25
27
18
43
31
29
25
48
24
30
28
34
23
35
41
24
32
16
26
45
37
36
38
28
29
28
22
26
18
27
29
32
21
20
43
18
33
23
a. Clasifique estos datos en una distribución de frecuencias agrupada utilizando
las clases 15-20, 20-25, ..., 50-55.
b. Encuentre el ancho de clase.
c. Obtenga (1) la marca de clase, (2) el límite inferior de clase, y (3) la frontera
superior de clase, para la marca del intervalo 20-25.
d. Construya un histograma de las frecuencias de estos datos.
Ejercicio 05: En un experimento que medía el porcentaje de encogimiento al secar,
once especimenes de prueba de arcilla plástica produjeron los siguientes resultados:
19.3 15.8 20.7 18.4 14.9 17.3 21.3 16.1 18.6 20.5 16.9
Halle la media, la mediana y la desviación estándar de esta muestra de porcentajes.
Rta: X = 18,16 ; me = 17,3 ;No existe moda; s= 2,1472;CV=11,82
ESTIMACIÓN
PUNTUAL,
TEOREMA
INTERVALOS DE CONFIANZA
CENTRAL
DEL
LÍMITE,
Ejercicio 1: Se diseña un ascensor cuyo límite de carga es 2000 libras. Se indica que su
capacidad máxima es de 10 personas. Si el peso de las personas se distribuye según una
N(185 libras,22 libras), ¿cuál es la probabilidad de que un grupo de 10 personas exceda
el límite de carga del ascensor?
Rta:0,0158
Ejercicio 2: Las manzanas que se producen en un huerto tienen un peso que se
distribuye normalmente con una media de 200gr, y una varianza de 1600 gr2
Si las manzanas se envasan de a 30 en un cajón de peso constante 700 gr. ¿Cuál es la
probabilidad de que el cajón completo pese más de 7 kilos?
Rta:0,0853
Ejercicio3: Se admite que la duración en horas de las pilas para transistores, es una
variable con distribución normal, con media = 100 horas y dispersión 20 horas.
a) ¿Qué proporción de la producción se espera con duración comprendida entre 100 y
125 horas?
b) Si se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n=16. ¿Cuál es la proporción de
39
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
medias muestrales con valor entre 98 y 110 horas? Analice sus resultados, comente y
justifique teóricamente.
Rta:a)0,3944;b)0,6326
Ejercicio 4: El tiempo en minutos, requerido para reparar una máquina de empaque de
alimentos, tiene una distribución N(120, 24). Si se toma una muestra de 16 máquinas y
se reparan, ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de reparación sea mayor a
130 minutos?
Rta:0,0485
Ejercicio 5: Una población de fuentes de energía para una computadora personal tiene
un voltaje de salida que se distribuye normalmente con una media de 5 v. y una
desviación estándar de 0.1 v. Se selecciona una muestra aleatoria de 36 fuentes de
energía.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el voltaje medio sea inferior a 4.95 v?
b) ¿Cuál es el voltaje medio que no es superado con probabilidad 0.95?
Rta:a)0,0013;b)5,0275
Ejercicio 6: El porcentaje de carbohidratos contenido en una pieza de pan blanco es en
promedio 76 con un desvío estándar de 0.8. Se toma una muestra aleatoria de 64 piezas.
Halle la probabilidad de que el porcentaje medio se encuentre en el intervalo (75.8;
76.2)
Rta:0,9544
Ejercicio 7: Un fabricante de dispositivos semiconductores toma una muestra de 100
chips, y los prueba y clasifica como defectuosos o no defectuosos. Si se sabe que
habitualmente hay un 2% de defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra,
el porcentaje sea inferior al 1%?
Rta:0,2389
Ejercicio 8: Se desea estimar la media µ de una población. Se toma una muestra de
tamaño 5. Sean los siguientes estimadores:
X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5
5
X1 + X 5
µˆ 3 =
2
µˆ1 =
X1 + 2 X 2 + 3X 3 + 4 X 4 + 5 X 5
15
X1 + 2 X 2 + 3X 3 + 2 X 4 + X 5
µˆ 4 =
9
µˆ 2 =
Halle esperanza y varianza de todos los estimadores y decida a favor de uno de ellos
justificando la respuesta.
Rta: E ( µˆ1 ) = E ( µˆ 2 ) = E ( µˆ 3 ) = E ( µˆ 4 ) = µ ; V( µ̂1 ) = σ2/5; V( µ̂ 2 ) = 11σ2/45;
V( µ̂3 ) = σ2/2; V( µ̂ 4 ) = 19σ2/81
40
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
µ̂1 es el mejor
Ejercicio 9: Se tiene una muestra de tamaño 2n de una población, de E(x) = µ y V(x) =
σ2. Sean los estimadores de µ:
µˆ1 =
X 1 + X 2 + ... + X i + ... + X 2 n
2n
µˆ 2 =
X 2 + X 4 + ... + X 2i + ... + X 2 n
n
¿Cuál es el mejor estimador de µ? Justifique su elección.
Rta. µ̂1 es el mejor
Ejercicio 10: Se desea estimar el porcentaje de votantes a favor de un determinado
candidato. Se toman dos muestras independientes de tamaños 100 y 150
respectivamente. ¿Cuál de estos dos estimadores elegiría para estimar dicho porcentaje?
1
1 X
X 
Pˆ1 =
( X1 + X 2 )
Pˆ2 =  1 + 2 
250
2  100 150 
( siendo X1 el número de votantes a favor en la 1ª muestra y X2 el número de votantes a
favor en la 2ª muestra).
Rta: p1 es el mejor
Ejercicio 11:Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con
distribución aproximadamente normal y una desviación estándar de 40 horas. Si
una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas,
a) Encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacional de
todos los focos que produce esta empresa.
b) ¿Qué tan grande se requiere que sea una muestra si se desea tener una confianza del
96% de que la media muestral esté dentro de las 10 horas del promedio real?
c) Indique los límites correspondientes al 90% de confianza. Compare el resultado con
el del punto(a).
d) Complete: A medida que aumenta el nivel de confianza, el intervalo es
más.......................... y por lo tanto, ..............................la precisión de estimación.
Dado un nivel de confianza, a medida que.........................el tamaño de la muestra, se
reduce el error de la estimación y por lo tanto es más.............................
Rta: a) (765, 795);b) n ≅ 8 ;c)(768,792)
Ejercicio 12: Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de
líquido despachada se distribuye aproximadamente en forma normal con una desviación
estándar igual que 0.15 decilitros.
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a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los refrescos
que sirve esta máquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido
promedio de 2.25 decilitros.
b) ¿Qué tan grande se requiere que sea la muestra si se desea tener una confianza del
95% de que la media muestral estará dentro de 0.02 decilitros del promedio real?
Rta:a)(2,2;2,3);b) n ≈ 217
Ejercicio 13: Las alturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una
media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros.
a)Determine un intervalo de confianza de 98% para la altura promedio de todos los
estudiantes.
b)¿Qué se puede afirmar con un 98% de confianza acerca del posible tamaño del error si
se estima que la altura promedio de todos los estudiantes es 174.5 centímetros?
Rta a)(172,23;176,77),b) ε = 227,3
Ejercicio 14: Una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil indica que, en la
ciudad de Córdoba, un automóvil recorre un promedio de 23500 kilómetros por año con
un desviación estándar de 3900 kilómetros.
a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la cantidad promedio de
kilómetros que un automóvil recorre anualmente en Córdoba.
b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza del 99% respecto al posible tamaño del
error si se estima que la cantidad promedio de kilómetros recorridos por los
propietarios de vehículos en Córdoba es de 23500 kilómetros al año?
Rta:a) (22496;24504) b) 1004 km
Ejercicio 15:Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el
hacer tres perforaciones en una cierta pieza metálica. ¿Qué tan grande se requiere que
sea la muestra si se necesita una confianza del 95% de que su media muestral estará
dentro de 15 segundos del promedio real? Asuma que, por estudios previos se sabe que
σ = 40 segundos.
Rta: n = 28
Ejercicio 16:Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una
muestra de piezas cuyos diámetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y
1.03 centímetros.
Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de piezas de
esta máquina, si supone una distribución aproximadamente normal.
Rta :(0,97816;1,031849
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Ejercicio 17: Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un
contenido promedio de nicotina de 2.6 miligramos y una desviación estándar de 0.9
miligramos. Determine un intervalo del 99% de confianza para el contenido promedio
real de nicotina de esta marca de cigarros en particular, asumiendo que la distribución
de los contenidos de nicotina es aproximadamente normal.
Rta:(1,486;3,713)
Ejercicio 18: Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas,
de una marca de pintura látex:
3.4
5.2
2.5
3.0
4.8
4.8
2.9
3.6
2.8
3.3
5.6
3.7
2.8
4.4
4.0
Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población
normal,
Encuentre un intervalo de confianza del 99% para los tiempos promedio de secado.
Rta: (3,0399;4,5325)
Ejercicio 19:Se realiza un estudio para estimar el porcentaje de ciudadanos de un
pueblo que están a favor de que su agua se trate con flúor. ¿Qué tan grande debe ser una
muestra si se desea tener una confianza al menos de 95% de que la estimación estará
dentro del 1% del porcentaje real?
Ejercicio 20: Se realiza un estudio para estimar la proporción de residentes en una
ciudad y en sus suburbios que están a favor de la construcción de una planta de energía
nuclear. ¿Qué tan grande debe ser una muestra, si se requiere una confianza de al menos
95%, de que la estimación estará dentro del 0.04 de la proporción real de residentes que
están a favor de la construcción de la planta?
Ejercicio 21: Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarro y se
encuentra que 86 de ellos prefieren la marca X.
a) Encuentre el intervalo de confianza de 90% para la fracción de la población de
fumadores que prefieren la marca X.
b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 90% acerca de la posible magnitud del
error si se estima que la fracción de fumadores que prefieren la marca X es 0.172?
Rta:0,172;b)(0,142;0,1998);c) ε = 0,02784
Ejercicio 22: En una muestra aleatoria de 1000 casas en una determinada ciudad, se
encuentra que 228 de ellas tiene calefacción de petróleo. Encuentre el intervalo de
confianza de 99% para la proporción de hogares en esta ciudad que tiene este tipo de
calefacción.
Rta: (0,1938;0,2622)
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Ejercicio 23: La Asociación Americana de Agencias de Publicidad tiene un registro de
datos sobre minutos de anuncios por cada media hora de programas principales de TV.
En la tabla siguiente vemos una lista de datos representativos de una muestra de
programas preferentes en cadenas principales a las 8:30 P.M.
6.0
7.2
6.0
6.2
6.6
5.7
6.5
6.0
5.8
6.4
7.2
7.0
7.0
7.3
6.3
6.5
7.6
6.2
6.2
6.8
a) Determine un estimador puntual para el promedio de anuncios por cada media
hora de programa.
b) Suponiendo normalidad, determine un intervalo de confianza de 95% para la
cantidad promedio de minutos de anuncios en los principales espectáculos
televisivos a las 8:30 P.M.
Rta: a) X =6.525 b)(6.27;6.78)
Ejercicio 24: En la 47a Encuesta Anual de Pagos que se presenta en Business Week, se
ven los datos de salario anual y bonos para los directores ejecutivos (Business Week, 21
de abril de 1997). En una muestra preliminar se vio que la desviación estándar es de
$675 dólares, estando los datos en miles de dólares. ¿Cuántos directores ejecutivos
deben estar en la muestra, si deseamos estimar el salario o bono anual de la media de
población, con un margen de error de $100,000 dólares y una confiabilidad del 95%?
(Nota: El margen de error sería ε = 100, porque los datos están en miles de dólares.)
Ejercicio 25:Una encuesta de USA Today y CNN Gallup, entre 369 padres que trabajan,
determinó que 200 de ellos dijeron pasar muy poco tiempo con sus niños, debido a
compromisos en el trabajo (USA Today, 10 de abril de 1995)
a) ¿Cuál es el estimador puntual de la proporción poblacional de
padres que trabajan que creen pasar muy poco tiempo con sus
hijos debido a sus compromisos en el trabajo?
b) ¿Cuál es el margen de error, con 95% de confianza?
c) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción
poblacional de padres que trabajan y creen pasar muy poco tiempo
con sus hijos
Rta:a)p=0,542,e=0,05083;c)(0,4911;0,59289
Ejercicio 26: Un senador ha conseguido los servicios de un equipo de encuestadores
para determinar el porcentaje de la población que está a favor suyo. Este equipo
efectuará una encuesta de opinión a $1.5 la entrevista. ¿Cuánto le costará al senador la
encuesta, si insiste en que el error sea menor del 5% el 95% de las veces?
Rtas: $5775
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Ejercicio 27: En una encuesta de opinión, un candidato obtiene 228 votos de 400
encuestados.
a) ¿Cuál es el intervalo de confianza del 98% para estimar la verdadera proporción
de votantes a favor del candidato?
b) ¿A cuántos votantes hay que encuestar para tener una confianza de por lo menos
92% de que el error en la estimación de la proporción de votantes a favor del
candidato con la proporción muestral, sea inferior a 0,08?
Rta :a)0,512;0,628);b) n ≈ 118
Ejercicio 28: Una muestra de tamaño n1 = 25 que se toma de una población normal
con una desviación estándar σ1 = 5 tiene una media x 1 = 80. Una segunda muestra
aleatoria de tamaño n2 = 36, que se toma de una población normal diferente con una
desviación estándar σ2 = 3, tiene una media x 2 = 75. Halle un intervalo de confianza del
95% para µ1 - µ2.
Rta:( 2,8087;7,1913)
Ejercicio 29: Las duraciones de superficies de rodadura de dos marcas competidoras
de medida FR78-15 de llantas radiales son variables aleatorias normales con medias µ1
y µ2 y desviaciones estándares σ1 = 2200 y σ2 = 1900. Sendas muestras proporcionaron
la información siguiente: n1= 40, X1 = 36500, n2 = 40, X 2 = 33400. Halle el intervalo
de confianza del 95% para µ1 - µ2.
Ejercicio 30: Dos máquinas A y B llenan cajas de cereal. El peso en gramos del
contenido de cada caja es una variable aleatoria normal con varianza igual a 48,5 g2 si la
caja es llenada por la máquina A ó por la máquina B. Con el propósito de verificar la
diferencia entre el promedio de los pesos en el proceso de llenado por ambas máquinas
se seleccionaron al azar 5 cajas llenadas por A y 6 cajas llenadas por B, obteniendo los
siguientes pesos:
Máquina A: 506 508 499 503 504
Máquina B: 497 512 514 505 493 496
Halle el intervalo de confianza del 96% para la diferencia entre los pesos medios de los
contenidos de las cajas.
Ejercicio 31: Un técnico desea controlar la producción de piezas que provienen de dos
máquinas diferentes. A tal fin toma una muestra de ambas máquinas, midiendo los
diámetros de las piezas (en cm), y obtiene los siguientes resultados:
Maquina 1:
1.45 1.37 1.21 1.54 1.48 1.29 1.34
Máquina 2:
1.54 1.41 1.56 1.37 1.20 1.31 1.27 1.35
¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los diámetros medios?
Suponga que los diámetros se distribuyen normalmente con varianzas iguales.
Rta (-0,129,0,144)
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Ejercicio 32:
Las siguientes muestras aleatorias son mediciones de la capacidad
de producción de calor (en millones de calorías por tonelada) de especímenes de carbón
de dos minas:
Mina 1:
8.260
8.130
8.350
8.070
8.340
Mina 2:
7.950
7.890
7.900
8.140
7.920
7.840
¿Cuál es el intervalo de confianza del 98% para estimar la diferencia entre las
capacidades medias de producción de calor de especímenes de carbón de las dos minas?
a)Suponga que las varianzas son iguales.
b)Suponga que las varianzas son distintas
Ejercicio 33:
En una planta eléctrica manufacturera uno de los productos es un
fusible eléctrico, cuya característica más importante es el tiempo que transcurre antes
que se queme, cuando se lo sujeta a una carga especificada. Se llevó a cabo un programa
de pruebas y se obtuvieron los siguientes datos:
Día 1: 42
45
68
72
90
Día 2: 69
84
109 113 118 153
Calcule un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los tiempos promedio
de duración de los fusibles producidos en los dos distintos días. a) Suponga que esos
tiempos de duración son variables aleatorias normales independientes con igual
varianza.B)Idem si las varianzas son distintas. Obtenga conclusiones.
Rta :(15,92;72,47)
Ejercicio 34:
En una muestra de 400 piezas que son producidas por una
máquina, se encontraron 12 defectuosas, mientras que en una muestra de 500 piezas
producidas por otra máquina se encontraron 20 defectuosas. Halle el intervalo de
confianza del 97% para estimar la diferencia de proporciones de piezas defectuosas
provenientes de ambas máquinas. Obtenga conclusiones.
Rta (-0,017;0,037)
Ejercicio 35:
Dos marcas de refrigeradores A y B tienen una garantía de un
año. En una muestra aleatoria de 50 refrigeradores de la marca A, 12 se
descompusieron antes de terminar el período de garantía. Una muestra de 60
refrigeradores de la marca B arrojaron igual cantidad de desperfectos antes de finalizar
el período de garantía. Estime la diferencia real entre las proporciones de fallas durante
el período de garantía con un nivel de confianza de 0,98.
Nota. Obligatorios de Intervalos de confianza. 5,14,21,23,27,31
SIMULACIÓN DE LA VARIABLE ALEATORIA PROMEDIO
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Guía de Trabajos Prácticos
Simular la suma de 12 variables aleatorias uniformes (0,1) y verificar el teorema central del
límite construir el histograma correspondiente, utilizando el paquete de estadística
descriptiva de Excel interpretando los resultados
Este trabajo debe ser presentado en carpeta ó bien en forma digital.
TRABAJO PRÁCTICO 5
TESTS DE HIPÓTESIS
OBJETIVO:
El alumno deberá saber construir las distintas hipótesis.
•
Saber construir la zona de rechazo.
•
Distinguir entre el error de tipo I y de tipo II
•
Interpretar las conclusiones después de realizar un test de Hipótesis..
PRÁCTICA 5
TESTS DE HIPÓTESIS
Ejercicio 1: Para cada una de las siguientes aseveraciones, diga si es una legítima
hipótesis estadística y porqué:
a) H : µ > 100
b) H : x = 45
c) H : p ≤ 0.2
d) H : µ = 4
e) H : X ≥ 5
Rta:a),c),d)Sí. B) y e) no
Ejercicio 2: Supongamos que en las especificaciones de procedimientos de una planta
de energía nuclear se establece que la resistencia media de soldadura debe superar 100
lb/plg 2 .Suponga que usted es el director del equipo de inspección del ente regulador
estatal que debe determinar si la planta cumple con las especificaciones. Usted plantea
seleccionar una muestra al azar de soldaduras y realizar pruebas en cada soldadura de la
muestra.
47
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Guía de Trabajos Prácticos
a) ¿Cuáles son las hipótesis a testear?
b) Explique que significan en este contexto el error de tipo I y el de tipo II y
discuta cuales son las consecuencias de cometer cada tipo de error.
Ejercicio 3: Se toman muestras de agua de la que se utiliza para enfriamiento a medida
que se descarga de la planta eléctrica de un río. Se ha determinado que mientras la
temperatura media del agua descargada sea menor a 150º F, no habrá efectos negativos
en el ecosistema del río. Para investigar si la planta cumple con los reglamentos que
prohíben una temperatura media de descarga de por lo menos 150º F, el ente regulador
tomará muestras de agua en 50 horas seleccionadas al azar y registrará su temperatura.
a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa que debe plantear el ente regulador?
b) En el contexto de esta situación, describa los errores de tipo I y II y las
consecuencias de cometerlos.
Rta:Se rechaza H 0
Ejercicio 4: Una mezcla de ceniza pulverizada de combustible y cemento debe tener
una resistencia a la compresión de más de 1300 KN/m 2 . La mezcla no se utilizará a
menos que una evidencia experimental indique de manera concluyente que se ha
satisfecho la especificación de resistencia. Supongamos que la resistencia a la
compresión para especímenes de esta mezcla está distribuida normalmente con σ = 60 .
Denotemos por µ el verdadero promedio de resistencia a la compresión.
a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa adecuadas?
b) Denotemos por X el promedio de resistencia muestral compresiva para 20
especímenes seleccionados al azar. Si se plantea un test cuya región de rechazo
es X > 1331.26 , ¿Cuál es la máxima probabilidad de cometer error de tipo I
para esta región de rechazo?
c) ¿Cuál debería ser la región de rechazo para que el test tenga nivel 0.05?
Ejercicio 5: La calibración de una balanza debe verificarse al pesar 25 veces un
espécimen de prueba de 10 kg. Supongamos que los resultados de diferentes pesadas
son independientes entre sí y que el peso de cada intento está normalmente distribuido
con σ = 0.2 kg . Si µ es el verdadero peso promedio de lectura de la balanza,
a) ¿Cuáles son las hipótesis a testear?
b) ¿Cuáles son los valores de X que lo llevarían a rechazar Ho a un nivel de 0.05?
c) ¿Cómo se modificaría su región de rechazo si su muestra fuera de tamaño 10?
d) Mediante el uso de la parte c), ¿ qué concluye de los siguientes datos
muestrales? 9.981, 10.006, 9.857, 10.107, 9.888, 9.793, 9.728, 10.439, 10.214,
10.190 ¿cuál es el valor p de su conclusión?
Rta:d) No hay evidencias suficientes de que el peso difiere de 10Kg a nivel del
0,05.Valor de P=0,749
Ejercicio 6: Se ha propuesto un nuevo diseño para el sistema de frenos de un
automóvil. Se sabe que para el sistema actual, el verdadero promedio de distancia de
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Guía de Trabajos Prácticos
frenado, a 40 millas por hora, bajo condiciones especificadas, es de 120 pies. Se
propone que el nuevo diseño se ponga en práctica, sólo si los datos muestrales indican
fuertemente una reducción en el verdadero promedio de distancia de frenado para el
nuevo diseño.
a) Defina el parámetro de interés e indique las hipótesis pertinentes.
b) Suponga que la distancia de frenado para el nuevo sistema está normalmente
distribuida con una desviación estándar σ = 10 y desea plantear un test de nivel
0.01 basado en una muestra de tamaño 16, ¿cuál es la región de rechazo?
c) En una muestra de tamaño 16 se obtuvo un promedio muestral de 118 pies, ¿
encuentra suficiente evidencia de una reducción en la distancia promedio de
frenado a un nivel del 1%?
Ejercicio 7: Se desea comprobar el promedio de lectura de velocímetros de una marca
en particular, cuando la velocidad es de 55 millas por hora. El promedio muestral y
desviación estándar muestral resultantes de 40 velocímetros elegidos al azar fueron 53.8
y 1.3 respectivamente. Sea µ el verdadero promedio de lectura cuando la velocidad es
55 millas por hora. ¿Sugiere fuertemente la evidencia muestral que el promedio de
lectura de los velocímetros difiere de la velocidad real cuando esta es de 55 millas por
hora? Utilice un test de nivel 0.01.
Ejercicio 8: Se determinó la cantidad de desgaste de un eje, después de un recorrido fijo
de millas para 8 motores de combustión interna que tienen cobre y plomo como material
antifricción, resultando un promedio muestral de 3.72 y una desviación estándar
muestral de 1.25.
a) Si se supone que la distribución de desgaste del eje es normal, plantee un test de nivel
0.05 para probar H 0 : µ = 3.5, versus H 1 : µ > 3.5
b) ¿Cuál es su conclusión en este caso?
Rta: No hay evidencias suficientes para rechazar la H 0
Ejercicio 9: La ingestión recomendada de dieta diaria de zinc entre hombres mayores
de 50 años es de 15 mg/día. Para una muestra de 115 hombres entre 65 y 74 años de
edad se obtuvo un promedio muestral de 11.3 mg/día y una desviación estándar
muestral de 6.43. ¿ Indica esta información, a un nivel del 5% que el promedio diario de
ingestión de zinc, en la población de todos los hombres entre 65 y 74 años , cae debajo
de los recomendado?
Ejercicio 10: Se seleccionó una muestra de 12 detectores de radón de cierto tipo y cada
uno se expuso a 100 pCi/L. Las lecturas resultantes fueron las siguientes:
105.6, 90.9, 91.2, 96.9, 96.5, 91.3, 100.1, 105.0, 99.6, 107.7, 103.3, 92.4
¿Sugiere esta información que la lectura media de población bajo estas condiciones
difiere de 100? Establezca y pruebe las hipótesis pertinentes con α = 0.05 . Suponga
que los datos siguen una distribución normal.
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Ejercicio 11: Los registros de la Dirección Nacional de Vehículos de Motor indican
que de todos los vehículos que se sometieron a prueba de verificación durante el año
anterior, 70% pasaron al primer intento. Una prueba aleatoria de 200 automóviles
probados en una localidad en particular durante el año actual indica que 156 pasaron en
la prueba inicial. ¿Sugiere esto que la verdadera proporción de esta localidad, durante el
año actual, difiere de la proporción anterior a nivel nacional? Pruebe las hipótesis
pertinentes usando α = 0.05 . ¿Cuál es el valor p de su conclusión?
Rta: Sí, hay evidencias de que la proporción de esta localidad difiere de la del año anterior. El p
valor es 0.0136
Ejercicio 12: Una compañía telefónica está tratando de determinar si algunas líneas en
una gran comunidad deben instalarse subterráneas. Debido a que se hará un pequeño
cargo adicional en las cuentas telefónicas para pagar los costos extra de instalación, la
compañía ha determinado hacer un estudio entre los clientes y continuar si el estudio
indica fuertemente que más del 60% de todos los clientes están a favor de la instalación
subterránea. Si 118 de 160 clientes entrevistados están a favor de esta instalación a
pesar del cargo adicional , ¿qué debe hacer la compañía? Pruebe las hipótesis
pertinentes usando α = 0.05 .
Rta: A un nivel del 5% la compañía debe instalar las líneas subterráneas.
Ejercicio 13: En la venta de un determinado producto industrial en polvo es muy
importante la homogeneidad del proceso medida por la varianza de la concentración de
materia activa. Se está estudiando la incorporación de un nuevo tipo de mezclador que
mejoraría la homogeneidad. El departamento de estadística de la fábrica informa que
sería económicamente conveniente el cambio si la nueva varianza es inferior a 0.22 %2,
ya que se obtendría un aumento en el volumen de ventas y en el precio del producto. Se
realizaron 17 determinaciones de la concentración de materia activa incorporando el
nuevo tipo de mezclador que arrojaron una varianza de 0.10 %2. ¿Es aconsejable el
cambio a partir del resultado de una prueba de nivel de significación 0.05? Suponga
que la concentración de materia activa sigue una distribución normal
Ejercicio 14: Dos tornos automáticos producen ejes cuyos diámetros son variables
aleatorias normales con desvíos estándares de 2.8 y 2.3 mm respectivamente. Se quiere,
con un nivel de significación 0.05, ensayar la hipótesis de que las producciones de
ambos tornos tienen igual valor medio. Muestras de 20 y 25 piezas producidas
respectivamente por cada torno arrojaron las siguientes medias de sus diámetros: 17.32
mm y 16.41 mm. ¿Habrá que rechazar la hipótesis?
Ejercicio 15: Se estudia la tasa de combustión de dos propelentes sólidos utilizados en
los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. Se sabe que las tasas de
combustión de los dos propelentes son variables aleatorias normales con la misma
desviación estándar; esto es σ1 = σ2 = 3 cm/s. Se prueban dos muestras aleatorias de n1 =
20 y n2 = 20 especímenes. Las medias muestrales de la tasa de combustión son x 1 = 19
cm/s y x 2 = 24 cm/s. ¿Son estas medias significativamente diferentes al nivel del 1%?
Rta: Hay evidencias suficientes para concluir que las medias difieren
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Guía de Trabajos Prácticos
Ejercicio 16: Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de
componentes electrónicos. La tensión de ruptura de cada uno de estos dos tipos de
plástico se puede considerar como una variable aleatoria normal. Se sabe que σ1 = σ2 = 1
psi. De muestras aleatorias de tamaños n1 = 10 y n2 = 12, se tiene que x 1 = 165.5 y x 2 =
155.0. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura media
de este exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Sobre la base de la información
contenida en las muestras, ¿deberá la compañía utilizar el plástico 1?. Utilice α = 0.05
para llegar a una decisión.
Rta: No hay evidencias suficientes para rechazar H 0
Ejercicio 17: Un experimento para comparar la resistencia de cohesión a la tensión de
morteros modificados con morteros no modificados resultó en x1 = 18.12 (para el
mortero modificado) y x2 = 16.87 (para el mortero no modificado) en muestras de
tamaño n1 = 15 y n2 = 12 respectivamente. Se supone que las resistencias siguen una
distribución normal con σ 1 = 1.6 y σ 2 = 1.4 .
Pruebe a nivel 0.01 la hipótesis de que la resistencia media de los morteros modificados
es superior a la de los no modificados.
Rta: Se acepta H 0
Ejercicio 18: Una empresa alimenticia dispone de dos equipos para el llenado de
paquetes de cereal. El gerente y su supervisor quisieran saber si hay alguna diferencia
entre las cantidades promedio por caja de cereal llenada por el equipo A y el equipo B.
La información sobre sendas muestras se resume en la forma siguiente.
Media
Desvío
Tamaño de muestra
Equipo A
366.35 g
16.71 g
13
Equipo B
369.74 g
14.20 g
15
¿Qué conclusión podrá obtenerse haciendo una prueba al nivel de
significación 0.01? Suponga que las cantidades llenadas por ambas
máquinas siguen una distribución normal con igual varianza
Rta. Se acepta H 0
Ejercicio 19: Dos técnicos de control de calidad miden el acabado de la superficie de
una pieza metálica, obteniendo los resultados siguientes:
Técnico 1: 1.45 1.37 1.21 1.54 1.48 1.29 1.34
Técnico 2:
1.54 1.41 1.56 1.37 1.20 1.31 1.27 1.35
Determine si existe diferencia significativa entre las medias obtenidas con α= 0.05.
51
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Guía de Trabajos Prácticos
Suponga que las mediciones de los dos técnicos siguen distribuciones normales con
igual varianza.
Rta No hay evidencias para rechazar la hipótesis nula.
Ejercicio 20: El jefe de servicios de una empresa química está evaluando la posibilidad
de modernizar los sistemas de seguridad de las calderas. Le ofrecen un sistema
importado con una tecnología de punta pero, como adquirirlo significa una gran
inversión, decide someterlo a un período de prueba en una de las calderas y comparar los
tiempos de respuesta logrados con los del sistema en uso en las mismas condiciones de
prueba. Sólo justifica el cambio si el tiempo de respuesta se reduce en más de 0.1
segundos y le asigna 0.10 a la probabilidad de comprarlo en caso de que esto no suceda.
Los resultados de la experiencia fueron los siguientes:
Sistema viejo
2.99 2.84 3.01 2.70 2.86 3.20 3.17 2.65
Sistema nuevo 2.50 2.88 2.94 2.71 2.79 2.60 2.44 2.65
¿Qué decisión debería tomar el jefe de servicios?
Suponga que los tiempos de respuesta de ambos sistemas se distribuyen normalmente
con igual varianza.
Rta Se rechaza la hipótesis nula . El nuevo sistema reduce en un tiempo de 0,1 seg
Ejercicio 21: Un fabricante desea comparar la tensión promedio de su hilo con la de su
más cercano competidor. Las tensiones de 100 hilos para cada marca se observaron bajo
condiciones controladas. Las medias y desviaciones estándar de cada marca fueron las
siguientes:
Media
Desvío
Fabricante
110.8
10.2
Competidor
108.2
12.4
¿existe alguna razón para pensar que hay una diferencia entre las tensiones promedio de
ruptura de los dos hilos? Use un nivel de significación de 0.02
Rta: Se acepta la hipótesis nula.
Ejercicio 22: Se cree que el promedio verbal para el número de respuestas correctas
para un determinado tipo de prueba para las mujeres es mayor que el de los hombres por
más de 10 puntos. Las muestras aleatorias para ambos sexos arrojaron los siguientes
resultados:
Mujeres
Hombres
Media
480
460
Desvío
60
52
Tamaño
125
100
¿Apoyan los datos la creencia a un nivel de 0.05?
Nota.Obligatorios:8,10,15,18.
52
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
TRABAJO PRÁCTICO 6
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
OBJETIVO:
El alumno deberá reconocer el significado de la regresión..
•
Saber construir la recta de regresión lineal
•
Explicar el significado de la correlación.
•
Interpretar el resultado del error en la regresión.
•
Distinguir entre el error de tipo I y de tipo II
•
Interpretar las conclusiones después de realizar un test de Hipótesis..
PRÁCTICA 6
REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
Ejercicio 1: Se desea determinar la relación existente entre la cantidad real de un
componente químico en un líquido para revelar fotografías y la cantidad estimada por
un método de análisis químico. Se presume que existe una relación lineal. Se realizan a
tal efecto 8 análisis de la cantidad de sustancia química, obteniendo los siguientes
resultados:
Valor real:
1
1
2
2
3
3
4
4
Valor estimado:
1.0
1.4
2.2
2.1
3.3
3.2
4.1
4.4
Halle la recta de regresión muestral y dibújela sobre el diagrama de dispersión
Rta: y = 1.025 x + 0.15; r=0,9932; r 2 =0,984
Ejercicio 2: Un ingeniero está investigando el efecto de la temperatura de operación de
proceso en el rendimiento de un producto. El estudio da como resultado los siguientes
datos
Temperatura (º C)
Rendimiento (%)
100
45
110
51
120
54
130
61
140
66
150
70
a) Halle los coeficientes de la recta de regresión muestral
53
160
74
170
78
180 190
85 89
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
b) Estime el rendimiento promedio cuando la temperatura es de 140º
Rta: a) y = 0.483 x - 2.739
b)E(Y140) = 64.88; r= 0,998; r 2 =0,996
Ejercicio 3: Se hizo un estudio sobre la relación existente entre el cilindraje de un
motor de automóvil y el consumo de nafta por milla. Se obtuvieron los siguientes datos
Cilindraje
350
350
250
351
225
440
231
262
(Pulg cúbicas)
Millas por galón 18.90
17.00
20.00 18.25
20.07
11.20 22.12 21.47
a) Ajuste un modelo de regresión que relacione las millas recorridas con el
cilindraje del motor.
b) ¿Qué porcentaje de la variabilidad total en las millas recorridas explica el
modelo?
Rta:a) y = -0.04 x + 30.9867;b)80.77%
Ejercicio 4: La resistencia del papel utilizado en la manufactura de cajas de cartón (Y)
se relaciona con el porcentaje de la concentración de madera dura en la pulpa
original(X). En condiciones controladas, una planta piloto manufactura 8 muestras, cada
una de diferentes lotes de pulpa y se mide la resistencia a la tensión. Los datos son los
siguientes:
X
Y
1. 0
101.4
1.5
117.1
2.0
2.2
2.4
131.9 146.8
133.9 123.0
2.5
145.2
2.8
134.3
3.0
a) Ajuste un modelo de regresión a los datos
b) Estime la resistencia del papel para una concentración de 2.3
Rta: a) y = 17.4636 x + 91.2165;b) E(y2.3) = 131.38
Ejercicio 5: Una firma de servicios de electricidad debe prever constantemente la
demanda de electricidad semanal para administrar adecuadamente los inventarios de
petróleo utilizados. Se supone que la demanda de electricidad puede variar directamente
con la temperatura. Se analizaron 12 semanas del año pasado obteniendo los siguientes
resultados:
Predicción de temperatura media
Consumo de petróleo
hecha por el servicio meteorológico
(Grados F.)
(miles de litros)
81
83
86
93
83
92
89
99
93
101
105
79
78
102
111
76
54
Facultad de Tecnología Informática
Guía de Trabajos Prácticos
112
105
98
96
100
113
110
122
a)Halle la ecuación de regresión muestral
b)Estime el consumo promedio de petróleo, para una semana en la que la predicción del
servicio meteorológico para la temperatura media fue de 90º
55
e) Realice un pequeño informe con los datos y
resultados obtenidos.
Ejercicio 06: Los promedios finales para 10
estudiantes elegidos al azar que asisten a un curso de estadística para ingenieros y a otro
de investigación operativa se muestran a continuación.
Estadística 86
Operativa 80
75
81
69
75
75
81
90
92
94
95
83
80
86
81
71
76
65
72
a)
b)
c)
Estime el coeficiente de correlación lineal.
Pruebe la hipótesis H0: ρ = 0 al nivel del 5%.
Haga una predicción sobre el promedio en Investigación Operativa de un
estudiante que obtuvo un promedio de 85 en Estadística.
d)
Haga una predicción sobre el promedio en Estadística de un estudiante que
obtuvo un promedio 80 en Investigación Operativa.
Rta: y = 30,94 + 0,632 x ; b) Se rechaza H o .c)84,66;
Ejercicio 07: Un ingeniero investiga la distribución de latas de cerveza y las
operaciones del servicio de ruta para máquinas expendedoras. Se supone que el tiempo
requerido para cargar una máquina expendedora se relaciona con el número de latas
entregadas del producto. Se selecciona una muestra aleatoria de 9 entregas y se dispone
de los datos de tiempo de entrega en minutos Y y el número de latas entregadas X.
X 2
Y 9.95
8
24.4
11
10
31.75 35.00
8
25.02
4
16.86
2
14.38
a) Estime el coeficiente de correlación muestral.
b) Pruebe la hipótesis H0: ρ = 0 al nivel del 5%.
c) ¿Qué porcentaje de la variabilidad total del
explicado por la regresión sobre el número de latas?.
Rta:a)r=0,9598;b) Se rechaza H o ;c) r 2 = 0,9213 .;92,13%
2
9.60
9
24.35
tiempo de entrega es
Ejercicio 08: Se quiere conocer el grado de relación lineal existente entre el porcentaje
de carbono en las fundiciones y su dureza. Los ensayos y medidas efectuadas han dado
los siguientes resultados
Carbono 4.01
Dureza
176
3.65
219
3.68
213
4.33
141
3.76
209
3.81
206
3.79
206
3.61
229
3.40
237
4.12
183
a) Halle el coeficiente de correlación muestral.
b) Estudie la significación de dicho coeficiente al nivel del 1%.
Rta.a)r =-0,9739; b) Existe un 94,8% de variabilidad
Nota :Obligatorios. Elegir tres de estos ejercicios y hacerlos en Excel con sus
conclusiones y gráficos.
56
TRABAJO PRÁCTICO 7
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
OBJETIVO:
-Saber interpretar el efecto de experimentos de una ó más variables con un factor.
-Saber diseñar dichos experimentos.
PRÁCTICA 7
ANÁLISIS DE LA VARIANZA
1-Los valores codificados para una medida de elasticidad de un plástico preparado por
dos procesos diferentes se proporcionan en la tabla. Las muestras independientes, ambas
de tamaño 6, se tomaron de la producción de cada uno de los procesos. ¿Los datos
presentan suficiente evidencia para indicar una diferencia en elasticidad media en los
dos procesos?
A
6,1
7,1
7,8
6,9
7,6
8,2
B
9,1
8,2
8,6
6,9
7,5
7,9
Use el ANOVA para probar las hipótesis apropiadas. Pruebe en el nivel α = 0,05 de
significaciancia.
2- Cuatro grupos de estudiantes se someten a diferentes técnicas de enseñanza y se
examina al final de un período especificado. Como consecuencia de las deserciones de
los grupos experimentales (por enfermedad, transferencia, etc), el número de estudiantes
varío de un grupo a otro. ¿Los datos que se muestran en la tabla presentan suficiente
evidencia para indicar diferencia de éxito medio para las cuatro técnicas de enseñanza?
1
65
87
73
79
81
69
2
75
69
83
81
72
79
3
59
78
67
62
83
76
4
94
89
80
88
Otros ejercicios de Regresión y Correlación para hacer en Excel:
57
Ejercicio 1: Se piensa que el porcentaje de impurezas en gas oxígeno producido en un
proceso de destilación se relaciona con el porcentaje de hidrocarburo en el condensado
principal del procesador. Se dispone de los siguientes datos:
Pureza (%)
Hidrocarburo(%)
86.91 89.85 90.28 86.34 92.58 87.33 86.29 91.86
1.02 1.11 1.43 1.11 1.01 0.95 1.11 0.87
a)Ajuste un modelo de regresión lineal simple a los datos
b)Estime el coeficiente de correlación
Ejercicio 2: Los promedios finales para 10 estudiantes elegidos al azar que forman un
curso de estadística para ingenieros, y otro de investigación operativa se muestran a
continuación
Estadística 86
Operativa 80
75
81
69
75
75
81
90
92
94
95
83
80
86
81
71
76
65
72
a) Estime el coeficiente de correlación lineal
b) Haga una predicción sobre el promedio en Investigación Operativa de un estudiante
que obtuvo un promedio de 85 en Estadística.
c) Haga una predicción sobre el promedio en Estadística de un estudiante que obtuvo un
promedio 80 en Investigación Operativa.
Ejercicio 3: Un ingeniero investiga la distribución de latas de cerveza y las operaciones
del servicio de ruta para máquinas expendedoras. Se supone que el tiempo requerido
para cargar una máquina expendedora se relaciona con el número de latas entregadas
del producto. Se selecciona una muestra aleatoria de 9 entregas y se dispone de los datos
de tiempo de entrega en minutos (Y) y el número de latas entregadas (X)
X
Y
2
9.95
8
24.4
11
31.75
10
35.00
8
4
2
2
25.02 16.86 14.38 9.60
9
24.35
a) Estime el coeficiente de correlación muestral
b)¿Qué porcentaje de la variabilidad total del tiempo de entrega es
explicado por la regresión sobre el número de latas ?
Ejercicio 4: Diez aspirantes a un empleo realizaron una prueba de aptitudes y fueron
contratados. Después de un año, su desempeño y rendimiento en el trabajo, fueron
calificados
Prueba
7
6
5
4
5
8
7
8
9
6
Calif.
8
7
6
6
7
10
9
9
10
8
a) Halle la recta de regresión muestral. ¿Cómo interpreta los coeficientes de dicha
recta?
58
b) ¿Cuál es el grado de asociación lineal que hay entre estos dos conjuntos de
puntajes?
c)¿Qué calificación cabe esperar en promedio de un aspirante que obtiene 6 puntos en la
prueba?
Ejercicio 5: Los promedios finales para 10 estudiantes elegidos al azar que asisten a un
curso de estadística para ingenieros y a otro de investigación operativa se muestran a
continuación.
Estadística 86
Operativa 80
a)
b)
c)
d)
75
81
69
75
75
81
90
92
94
95
83
80
86
81
71
76
65
72
Estime el coeficiente de correlación lineal.
Pruebe la hipótesis H0: ρ = 0 al nivel del 5%.
Haga una predicción sobre el promedio en Investigación Operativa de un
estudiante que obtuvo un promedio de 85 en Estadística.
Haga una predicción sobre el promedio en Estadística de un estudiante que
obtuvo un promedio 80 en Investigación Operativa.
Ejercicio 6: Un ingeniero investiga la distribución de latas de cerveza y las operaciones
del servicio de ruta para máquinas expendedoras. Se supone que el tiempo requerido
para cargar una máquina expendedora se relaciona con el número de latas entregadas
del producto. Se selecciona una muestra aleatoria de 9 entregas y se dispone de los datos
de tiempo de entrega en minutos Y y el número de latas entregadas X.
X
Y
2
9,95
8
24,4
11
31,75
10
35
8
25,02
4
16,88
a) Estime el coeficiente de correlación muestral.
b) Pruebe la hipótesis H0: ρ = 0 al nivel del 5%.
c) ¿Qué porcentaje de la variabilidad total del
explicado por la regresión sobre el número de latas?.
2
14,86
2
9
14,38 24,35
tiempo de entrega es
Ejercicio 7: Se quiere conocer el grado de relación lineal existente entre el porcentaje
de carbono en las fundiciones y su dureza. Los ensayos y medidas efectuadas han dado
los siguientes resultados
Carbono 4.01
Dureza
176
3.65
219
3.68
213
4.33
141
3.76
209
3.81
206
3.79
206
3.61
229
a) Halle el coeficiente de correlación muestral.
b) Estudie la significación de dicho coeficiente al nivel del 1%.
59
3.40
237
4.12
183
TRABAJO PRÁCTICO 7
CASO A RESOLVER 1DEPARTAMENTO DE TRANSPORTE DE LOS ESTADOS UNIDOS
Como parte de un estudio sobre la seguridad en el transporte, el Departamento de
Transporte en ese país reunió datos sobre la cantidad de accidentes fatales por cada
1000 licencias de conducir y el porcentaje de conductores con licencia menores de 21
años, en una muestra de 42 ciudades. A continuación vemos esos datos recopilados
durante un período de un año. Estos datos están disponibles en Internet en el archivo
titulado Safety.
Porcentaje menor Accidentes fatales Porcentaje menor Accidentes fatales
de 21 años por 1000 licencias
de 21 años
por 1000 licencias
13
2.962
17
4.100
12
0.708
8
2.190
8
0.885
16
3.623
12
1.652
15
2.623
11
2.091
9
0.835
17
2.627
8
0.820
18
3.830
14
2.890
8
0.368
8
1.267
13
1.142
15
3.224
8
0.645
10
1.014
9
1.028
10
0.493
16
2.801
14
1.443
12
1.405
18
3.614
9
1.433
10
1.926
10
0.039
14
1.643
9
0.338
16
2.943
11
1.849
12
1.913
12
2.246
15
2.814
14
2.855
13
2.634
14
2.352
9
0.926
11
1.294
17
3.256
Informe gerencial
1.
Elabore resúmenes numéricos y gráficos para estos datos.
2.
Aplique el análisis de regresión para investigar la relación entre la cantidad de
accidentes fatales y el porcentaje de conductores menores de 21 años.
Comente sus resultados.
3 ¿Qué conclusión y/o recomendaciones puede sacar de su análisis?
Este trabajo debe ser presentado en carpeta ó bien en forma digital.
60
Facultad Ingeniería y
Tecnología Informática
Licenciatura en Sistemas de
Información
Ingeniería Informática
Probabilidad y
Estadística
Profesora:
Lic. Haydeé Castelletti
Lunes a viernes de 9 a 21 h.
Torre Universitaria, Zabala 1837, primer nivel inferior.
C1426DQG - CABA
Teléfono: 4788-5400, internos 5002 y 2122.
Email: [email protected]
www.ub.edu.ar