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GUÍA PARA EL MAE STRO
Matemáticas 1
SECUNDARIA PRIMER GRADO
Matemáticas 1
Guía para el maestro
SECUNDARIA PRIMER GRADO
Primera edición: noviembre de 2014
Segunda edición: diciembre de 2016
Matemáticas 1
Guía para el maestro
Texto: Milosh Santiago Trnka Rodríguez, Carlos Alberto Aguilar Ramírez y
Roberto Carlos Flores Martínez
Subdirección editorial: Tania Carreño King
Gerencia de secundaria: Fabián Cabral
Coordinación de secundaria: Mónica Noble
Diseño de interiores y portada:
Gustavo Hernández
Edición, diagramación y pruebas: Letra Cardinal
Supervisión editorial: Blanca Luz Torres
Supervisión de diseño: Mónica López
Coordinación de imagen: Teresa Leyva
Supervisión de imagen: Sergio López
Coordinación de operaciones de diseño:
Gabriela Rodríguez Cruz
Subdirección de logística y producción:
Carlos Olvera
Coordinación de producción: Ulyses Calvillo
Todos los derechos reservados.
D. R. © 2016, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Castillo ® es una marca registrada
Insurgentes Sur 1886, Col. Florida,
Del. Álvaro Obregón,
C.P. 01030, México, D.F.
Tel.: (55) 5128-1350
Fax: (55) 5128-1350 ext. 2899
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Registro núm. 3304
Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por
cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso
fotocopia, o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.
Presentación
La práctica docente exige diferentes recursos para lograr una educación de calidad. Conscientes
de ello, en Ediciones Castillo queremos contribuir desde nuestras posibilidades a que su trabajo
sea más sencillo.
Como una muestra de ese compromiso, hemos renovado la guía para el maestro de nuestros
títulos de la serie Explora: se trata una herramienta que facilitará su trabajo diario en el aula porque
incluye sugerencias y respuestas, página a página, para el libro del alumno.
Además de brindar las recomendaciones para instrumentar el trabajo en el aula, esta nueva
guía Explora incluye:
• El solucionario correspondiente a las evaluaciones Ponte a prueba ENLACE y Ponte a prueba
PISA que contiene el libro del alumno
• Avance programático bimestral
La nueva guía que ponemos a su alcance tiene como objetivo acompañarlo en cada etapa del
proceso de trabajo con las secuencias didácticas, señalando elementos de utilidad: conceptos,
habilidades, actitudes, propósitos de las actividades, así como cada momento de las secuencias
(Inicio a partir de lo que sé, Resuelvo y aprendo y Consolido mis aprendizajes).
Los que participamos en la elaboración de esta nueva guía sabemos que con su experiencia y
creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus
alumnos desarrollen las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las
competencias para la vida.
Los editores
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Índice
Estructura de la guía
El trabajo con secuencias didácticas
Evaluación
Recursos digitales para el docente
Avance programático
Bloque 1
S1. Dos maneras de escribir el mismo número
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S2. Fracciones, decimales y la recta numérica
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S3. Fracciones más, fracciones menos
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S4. ¿Cuál sigue?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S5. Fórmulas y figuras
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
4
8
9
10
11
18
18
18
23
24
24
25
28
29
29
30
32
33
33
33
37
38
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S6. Con regla, escuadra y compás
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S7. Rectas y puntos notables del triángulo
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S8. El que parte y reparte
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S9. Juguemos un poco
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
38
39
42
43
43
43
48
49
49
50
56
57
57
57
60
62
62
63
66
Habilidades digitales
Ponte a prueba PISA
Ponte a prueba ENLACE
Ahora sé
67
70
72
73
Bloque 2
S10. ¿Divide o no?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S11. Divisores y múltiplos que se comparten
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S12. Cuando las fracciones y los decimales se combinan
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S13. Fracción de una fracción
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S14. A la misma distancia
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S15. Marcos de madera de lados iguales
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
76
76
77
79
81
81
81
85
86
86
87
88
90
90
91
93
94
94
95
99
100
100
101
105
S16. Si una cambia, ¿la otra también?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
106
106
107
110
Habilidades digitales
Ponte a prueba PISA
Ponte a prueba ENLACE
Ahora sé
111
114
116
117
Bloque 3
S17. Los decimales de cada día
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S18. Entre decimales te verás
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S19. El número desconocido
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S20. ¿Cómo lo construyo?
120
120
121
124
125
125
126
129
130
131
131
134
135
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S21. Áreas y perímetros de polígonos regulares
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S22. Ampliar o reducir
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S23. La anticipación de resultados
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S24. Lectura de la información
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
135
136
140
141
141
141
145
146
146
147
150
151
151
151
156
157
157
157
162
Habilidades digitales
Ponte a prueba PISA
Ponte a prueba ENLACE
Ahora sé
163
166
168
169
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Bloque 4
S25. Hacia adelante o hacia atrás
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S26. Pistas para trazar circunferencias
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S27. Longitud de la circunferencia y el área del círculo
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S28. Donde hay tres, hay cuatro
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S29. ¿De qué tamaño era?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S30. ¿De cuántas formas...?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
172
172
173
176
177
177
178
181
182
182
182
186
188
188
188
192
193
193
194
197
198
198
198
Consolido mis aprendizajes
S31. Información en gráficas
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
203
204
204
205
208
Habilidades digitales
Ponte a prueba PISA
Ponte a prueba ENLACE
Ahora sé
209
212
214
215
Bloque 5
S32. Enteros más, enteros menos
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S33. Notación científica: lo grande y lo pequeño
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S34. ¿Cuánto mide el lado?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
218
218
219
221
223
223
223
227
228
228
229
233
S35. ¿Cuál es la regla?
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S36. Problemas de área y perímetro del círculo
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
S37. Cambia aquí y cambia allá
Inicio a partir de lo que sé
Resuelvo y aprendo
Consolido mis aprendizajes
234
234
235
239
240
240
241
245
246
246
247
250
Habilidades digitales
Ponte a prueba PISA
Ponte a prueba ENLACE
Ahora sé
251
253
255
256
Guía rápida de GeoGebra
Bibliografía
257
259
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Estructura de la guía
Avance programático
Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo
en el aula atendiendo los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él
se indican los contenidos a desarrollar (por temas o secuencias didácticas),
además de las semanas y horas sugeridas para abordarlos.
Avance programático
Bloque 1
Semanas
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
1
1y2
2y3
3y4
5y6
6y7
Forma,
espacio y
medida
4y5
Manejo de la
información
7y8
8y9
9 y 10
Tema
Secuencia
1. Dos maneras de
escribir el mismo
Números y sistemas de número
numeración
2. Fracciones,
decimales y la recta
numérica
Problemas aditivos
Páginas
18-23
Representación de números fraccionarios y decimales en la
recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando
las convenciones de esta representación.
24-28
29-32
3. Fracciones más,
fracciones menos
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más
de una operación de suma y resta de fracciones.
4. ¿Cuál sigue?
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de
una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común
de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con
progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
33-37
5. Fórmulas y figuras
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al
considerar las literales como números generales con los que es
posible operar.
38-42
Patrones y ecuaciones
Figuras y cuerpos
Contenido
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su
escritura decimal y viceversa.
6. Con regla, escuadra Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego
y compás
de geometría.
43-48
7. Rectas y puntos
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas,
notables del triángulo mediatrices y bisectrices en un triángulo.
49-56
Proporcionalidad y
funciones
8. El que parte
y reparte
Resolución de problemas de reparto proporcional.
57-61
Nociones de
probabilidad
9. Juguemos un poco
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro
de los resultados. Elección de estrategias en función del
análisis de resultados posibles.
62-66
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
67-73
11
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Bloque 3
13
14
14 y 15
15 y 16
16 y 17
Contenido
Páginas
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5.
Distinción entre números primos y compuestos.
76-80
11. Divisores y
múltiplos que se
comparten
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo
común divisor y el mínimo común múltiplo.
81-85
Problemas aditivos
Patrones y ecuaciones
12. Cuando las
fracciones y los
decimales se
combinan
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan
números fraccionarios y decimales en distintos contextos,
empleando los algoritmos convencionales.
86-89
Problemas
multiplicativos
13. Fracción de una
fracción
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y
división con números fraccionarios en distintos contextos,
utilizando los algoritmos usuales.
90-93
Figuras y cuerpos
14. A la misma
distancia
Resolución de problemas geométricos que impliquen el
uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la
bisectriz de un ángulo.
94-99
Medida
15. Marcos de madera
de lados iguales
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de
polígonos regulares, con apoyo de la construcción y
transformación de figuras.
100-105
Números y sistemas de
numeración
Proporcionalidad y
funciones
16. Si una cambia, ¿la
otra también?
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad
directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con
factores constantes fraccionarios.
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
12
Semanas
17 y 18
18 y 19
19 y 20
20 y 21
21 y 22
22
23
106-110
24
111-117
24 y 25
Eje
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
Secuencia
10. ¿Divide o no?
Forma, espacio y medida
12 y 13
Manejo
de la información
11 y 12
Tema
Manejo de la información
Eje
10 y 11
Forma, espacio
y medida
Semanas
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Bloque 2
Tema
Problemas
multiplicativos
Secuencia
Contenido
Páginas
Resolución de problemas que impliquen
17. Los decimales de
la multiplicación de números decimales
cada día
en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
120-124
18. Entre decimales
te verás
Resolución de problemas que impliquen la división de números
decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo
convencional.
Patrones y ecuaciones
19. El número
desconocido
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y
resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b;
ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con
a, b y c, números naturales, decimales o fraccionarios.
130-134
Figuras y cuerpos
20. ¿Comó lo
construyo?
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas
informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo
central). Análisis de la relación entre los elementos de la
circunferencia y el polígono inscrito en ella.
135-140
Medida
21. Áreas y
perímetros
de polígonos
regulares
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y
el área de polígonos regulares.
141-145
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación
sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en
situaciones dadas.
146-150
Proporcionalidad y
funciones
Nociones de
probabilidad
22. Ampliar o
reducir
23. La anticipación
de resultados
Análisis y
24. Lectura de la
representación de datos
información
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su
verificación al realizar el experimento y su registro en una
tabla de frecuencias.
Lectura y comunicación de información mediante el uso de
tablas de frecuencia absoluta y relativa.
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
125-129
151-156
157-162
163-169
13
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
4
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Bloque 1
• Conoce y utiliza las convenciones
• Resolver problemas de manera autónoma.
• Comunicar información matemática.
• Validar procedimientos y resultados.
• Manejar técnicas eficientemente.
Inicio de bloque
Al inicio de cada
bloque encontrará
los aprendizajes
esperados, las
competencias que
se favorecen y un
resumen de los
conocimientos que se
estudiaron.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación
de los estudios de la escuela primaria, en el primero y el segundo contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y
decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas que emplean números fraccionarios. Por otra parte,
el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una
regularidad matemática que exige un nivel mayor de abstracción para
el estudiante. La simbolización comienza con el contenido en el que las
literales corresponden a números generales.
Aprendizajes esperados
• Convierte números fraccionarios
a decimales y viceversa.
Competencias que se favorecen
para representar números fraccionarios
y decimales en la recta numérica.
• Representa sucesiones de números
o de figuras a partir de una regla dada
y viceversa.
Conceptos principales
S1S1Fracción
Fraccióndecimal,
decimal,fracción
fracciónirreducible,
irreducible, número
número decimal periódico.
periódico,
S2truncamiento,
Recta numérica,
redondeo.
escala, fracciones intercaladas.
S2S3Recta
Sumanumérica,
y resta de fracciones.
unidad como referencia de medida, densidad
S4numérica.
Sucesiones, elemento de una sucesión, progresión aritmética,
S3 Suma
progresión
y restageométrica.
de fracciones.
S4S5Sucesiones,
Literales, operaciones
elemento decon
unaliterales,
sucesión,expresión
consecutivo
algebraica,
en una suceárea,
sión,
perímetro.
progresión aritmética, progresión geométrica.
S5S6Fórmulas
Triángulos,
de cuadriláteros.
perímetros y áreas de figuras geométricas, literal.
S6S7Triángulos,
Alturas y medianas
cuadriláteros,
de unregla,
triángulo,
compás,
mediatrices
transportador,
y bisectrices
escuadra.en
S7 Alturas
un triángulo;
y medianas
ortocentro,
de un baricentro,
triángulo, mediatrices
circuncentroyebisectrices
incentro. en
S8unProporción,
triángulo; ortocentro,
reparto proporcional.
baricentro, circuncentro e incentro.
S8S9Proporción,
Juegos de reparto
azar, procesos
proporcional.
aleatorios.
S9 Juegos de azar, procesos aleatorios.
Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados
al trazado de las figuras más elementales y al de las líneas y puntos
notables del triángulo, construcciones que, por sí mismas, son importantes dentro de la geometría pero que, además, resultan prácticas e
indispensables para abordar construcciones más complejas, como se
verá en los siguientes bloques.
Manejo de la información. En este bloque los contenidos son introductorios a los temas de este eje: por una parte, la proporcionalidad
se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de
probabilidad comienzan con la identificación y práctica de juegos sencillos de azar.
Los juegos de azar son juegos
en los que ganar o perder no
dependen de la habilidad del
jugador.
16
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SECUENCIA
S34
Resolución de problemas que
impliquen el cálculo de la raíz
cuadrada (diferentes métodos)
y la potencia de exponente natural
de números naturales y decimales.
Antecedentes
• Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Ideas erróneas
1. Es posible que el estudiante no sepa exactamente cuál es el significado de exponente y piense vagamente que afecta la base. Puede suponer que es lo mismo elevar un número a una potencia que
multiplicar la base por la potencia.
2. Puede también pensar que es verdadera la expresión m m 2m.
Inicio a partir de lo que sé
Página 228
34
BLOQUE 5
Inicio a partir de lo que sé
(Continúa de la página 228)
2. Respondan las preguntas a partir de la figura 34.3.
Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema.
Resuelvo y aprendo
Julián colocará losetas en pisos cuadrados con las dimensiones que se muestran en la figura 34.1.
Potenciación
Fig. 34.1
1.
Puntos en la base
Fig. 34.3
C
B
A
a) ¿Cuántos cubos pequeños hay en cada arista?
2
3
.
b) ¿Cuántos cubos pequeños caben en el cubo grande?
7.5 m
9m
10.4 m
Piso A =
Piso B =
Piso C =
4
.
c) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar este último
.
resultado?
a) ¿Cuál es el área que debe cubrir en cada uno de los pisos?
3. Cierto producto se distribuye en cajas como las de la figura 34.4.
La potenciación es una
operación en la que se
multiplica un mismo
número dos o más
veces. Por ejemplo,
3 3 3 3 = 34. Los
elementos de una
potenciación son:
b) Si cada loseta mide 30 30 cm, ¿cuántas debe comprar para cada piso?
Piso A =
Piso B =
Paquete
con 6 piezas.
Piso C =
Resuelvo y aprendo
Fig. 34.4
Exponente
Potenciación
34 = 81
Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas
a) 56.25 m2, 81 m2, 108.16 m2.
b) 625, 900, 1 202.
a) ¿Cuántas piezas en total contiene la caja grande?
.
Base
b) ¿Cómo obtuvieron el resultado?
1. Completen la tabla de acuerdo con la figura 34.2.
.
c) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el resultado?
Sugerencia didáctica. Pida a los estudiantes que analicen las cantidades que están comparando: longitudes, áreas, volúmenes, etcétera.
Así observarán qué cantidad de una (loseta) cabe en cierta cantidad de
otra (piso). Al tener la medida de las áreas de los pisos se darán cuenta
de que necesitan la de las áreas de las losetas. Conviene que mencione
que para que sea posible compararlas se deben presentar en las mismas
unidades: cm2, m2, etcétera.
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17
¿Cuánto mide el lado?
Sugerencias
didácticas
En cada etapa de la
secuencia hallará
algunas sugerencias
didácticas.
17
17
16
.
Puntos en la base
2
3
4
5
6
b) ¿Cómo obtuvieron el resultado?
totales de la figura con 4 puntos en la base?
.
b) ¿Y para una figura con 16 puntos en la base?
c) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el resultado?
.
.
.
228
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228
9
a) 4 4
b) 16 16
Página 229
2. a) 4
b) 64
c) 4 4 4
Sugerencia didáctica. En este ejercicio se retoma lo que se planteó
al principio: ¿cuánto (o qué cantidad) de un objeto de un tipo cabe en
otro objeto del mismo tipo (cantidad)? En la situación inicial se comparan metros cuadrados con metros cuadrados, y en este caso cubos
con cubos.
3. a) 1 296
b) R. M. Multiplicando 6 por sí mismo cuatro veces.
c) 6 6 6 6
4. a) 63
b) Multiplicando 2 por sí mismo cinco veces, más 2 por sí mismo
cuatro veces, más 2 por sí mismo tres veces, más 2 por sí mismo dos veces, más 2 más 1.
c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 63
a) Si el mensaje fue repetido 5 veces, ¿cuántos alumnos hay en el grupo?
.
Puntos totales
a) ¿De qué manera puede expresarse la operación para hallar el número de puntos
4
16
25
36
Potencia
donde el exponente
indica el número de
veces que la base se
toma como factor. La
expresión se lee "tres
elevado a la cuarta
potencia".
4. Rocío comentó a dos compañeros que el próximo jueves habrá un examen. Cada
compañero le avisó a otros dos y así sucesivamente hasta que todos se enteraron.
Fig. 34.2
Puntos totales
5
6
229
229
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Solucionario
Se han incluido las
respuestas a las
actividades del
libro del alumno.
Encontrará la leyenda
R. L. (respuesta libre)
cuando sea el caso, o
bien, si se trata
de respuesta
modelo aparecen
las iniciales R. M.
5
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Habilidades digitales
Hacia el final del
bloque se presentan
sugerencias
didácticas y las
respuestas de esta
sección.
BLOQUE 3
BLOQUE 3
Habilidades digitales
Habilidades digitales
Página 165
Página 163
Construcción de un pentágono a partir de círculos
A (fig. 3.H.7)?
Sugerencia didáctica. Indique que, siguiendo el procedimiento para
trazar un pentágono, exploren cómo podrían construir un hexágono a
partir de círculos y si es posible hacerlo con otros polígonos regulares.
Traza una recta AB y una recta perpendicular a ella en el
punto. Después, dibuja dos circunferencias con radio AB;
una con centro en A y otra con centro en B (fig. 3.H.1).
Respuestas
b) ¿Qué polígono se forma uniendo los puntos A, B, J, I, K y
b) Un pentágono regular.
a) 540°
b) Para seguir teniendo un pentágono regular, los otros lados
deben cambiar con la misma modificación.
c) Los ángulos siguen teniendo la misma medida.
.
Respuestas
• El punto E en la imagen.
• Perpendicular a AB.
Fig. 3.H.7
Fig. 3.H.1
Traza la recta que pasa por las intersecciones C y D.
Marca la intersección E (fig. 3.H.2).
Oculta todos los objetos que no forman parte del polígono
y obtén las medidas de sus lados y sus ángulos internos
(fig. 3.H.8).
Contesta: ¿Cuál es el punto medio entre A y B?
Contesta:
. ¿Qué tipo de recta es la CD?
a) ¿Cuánto da la suma de sus ángulos internos?
.
.
b) Si modificas un lado, ¿qué ocurre con los otros
lados?
Fig. 3.H.2
.
Fig. 3.H.8
c) ¿Y qué ocurre con los ángulos internos?
.
Marca la intersección F y traza un círculo de radio EF
con centro en E. Marca la intersección H (fig. 3.H.3).
Fig. 3.H.3
165
163
163
Ponte a prueba PISA
Incluye las respuestas
a la sección Ponte a
Prueba PISA.
165
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BLOQUE 2
Ponte a prueba PISA
Lee la situación y el texto 1 y responde las preguntas correspondientes.
Respuestas
1.
Número de
envases
Número de
envases
Sabor
1 200
Piña
700
Mango
400
Fresa
Número de envases
100
por caja
Sabor
1 200
Piña
700
Mango
400
Fresa
Número de envases
8
por caja
2. a) Coincidirán de nuevo a los 24 m.
b) Coincidirán de nuevo a los 7 200 s, es decir, a las 2 h.
3. a) Se pueden hacer 21 bolsas.
b) R. M.
La maestra Lourdes de Español le propuso a su grupo realizar un proyecto de investigación. El tema que
entredetodos
fueque
el sexismo
el sabores
español diferentes,
y definierondebe
estoselegir
subtemas:
1. Sexismo,
2. Sexismo
y lengua
1.eligieron
Una fábrica
yogur,
produceen
tres
entre dos
opciones
de producción
de y
3. una
El español,
Se propusieron
si nuestra
es o no sexista.
misma ¿sexista?
presentación
de envase, descubrir
de modo que
cumplalengua
las siguientes
condiciones de empaque: se debe
ocupar el mínimo número de cajas posible; cada caja debe contener envases de un solo sabor, y todas las
cajas deben contener la misma cantidad de envases, sin que sobre ninguno. Para cada opción, indica la
cantidad
Definicióndedeenvases
sexismoque
lingüístico
habría en cada caja y marca con una la opción en la que será posible acomodar
la mayor cantidad de envases por caja.
Un hablante incurre en sexismo lingüístico cuando emite un mensaje que, debido a su forma (es decir, debido a
las palabras escogidasNúmero
o al modo de enhebrarlas) y no a su fondo, resulta
Númerodiscriminatorio por razón de sexo. Por
Sabor
Sabor
envases
el contrario, cuando ladediscriminación
se debe al fondo del mensajedeyenvases
no a su forma, se incurre en sexismo social.
1200la realidad, sexista
Piña o no, puede describirse 1224
Una misma situación de
con un mensajePiña
sexista o no. Sexismo social
y sexismo lingüístico están
entre sí pero no deben identificarse.
700relacionados
Mango
512
Mango
Ejemplos: Quien diga que
son menos inteligentes que los
400 Las mujeresFresa
128hombres incurrirá
Fresa en sexismo social pero
no en sexismo lingüístico;
inteligentes por igual, no incurre en
Númeroendecambio,
envasesla frase Los varones y las hembras
Número son
de envases
sexismo social pero por
sí en
sexismo lingüístico, por emplear la voz hembras
caja
por caja en vez de mujeres. La frase A la
manifestación acudieron muchos funcionarios y también muchas mujeres describe una situación no sexista con
2.una
Al frase
completar
unaenvuelta
enlauna
pista
la distancia
recorrida
es depor
1500
m. varones
En esa pista
corredordescribe
sexista;
cambio,
frase
El consejo
estaba
compuesto
once
y treselmujeres
una
A da una
situación
sexista
una fraseBno
ensexista.
8 min y un ciclista completa una vuelta en 150 s. Los tres parten del mismo
vuelta en
6 min,con
el corredor
punto en el mismo sentido y al mismo tiempo. Responde lo siguiente y justifica tus respuestas.
Álvaro García Meserguer, “El español, una lengua no sexista”, http://ddd.uab.cat/pub/elies/elies_a2002v16/
Garcia.html
a) ¿Cuándo será la siguiente vez que coincidan los corredores A y B en el mismo punto?
.
b) ¿Cuándo volverán a coincidir después del inicio los corredores y el ciclista?
Rollo
de ate
Gloria
Cocadas
42
126
105
Alegrías Muéganos
115
Fruta
cristalizada
84
Página 115
4. Un escultor quiere poner, como parte de su obra, una escalera como se muestra en el bosquejo siguiente.
Ponte a prueba PISA
Página 114
.
3. Jessica y Fabián harán una fiesta y regalarán bolsas surtidas de dulces tradicionales mexicanos. Las cantidades
que compraron se muestran en la siguiente tabla.
210
Rollo de ate
Glorias
Cocadas
Alegrías
Muéganos
Fruta cristalizada
70
200
160
110
85
215
Respuestas
4. a) No podrá formarlos. La altura de la obra es de 2 3 m
...
...
cada escalón debe ser de 1 m, pero 13
3
2 5 m
5
sólo puede poner 13 escalones.
2
4 5 m
1
a) El escultor decide que el alto de cada escalón debe ser de 5 m y requiere 14 escalones según su obra. ¿Podrá
formarlos? ¿Por qué?
.
1
b) El escultor decide que quiere más escalones, así que reduce la altura de los mismos a 10 m. Si no cambia la altura,
¿cuántos escalones podrá formar el escultor?
.
5
1
5
5
13 m y
5
13, entonces
b) 26 escalones
5. a) El pozo de agua, el corral, la casa y el poste de luz forman un
cuadrado, por lo que la bisectriz y la diagonal coinciden.
b) Las bisectrices y mediatrices de un cuadrado intersecan en un
punto. Además, el segmento de recta formado por los árboles
frutales y la bodega, y el formado por el pozo de agua y el poste de luz, miden lo mismo y son paralelos, entonces las mediatrices de ambos coinciden.
5. Observa el croquis de abajo, el cual representa la distribución que hay en una finca. A partir de la información que
muestra, justifica por qué las siguientes afirmaciones son correctas.
a) Al trazar un segmento de recta que sea bisectriz del ángulo formado por el pozo de agua, el corral y la casa,
coincidirá con el poste de luz.
.
b) Al trazar la mediatriz del segmento de recta formado al unir los árboles frutales y la bodega, ésta coincide con el
cruce de las bisectrices del cuadrado formado por el corral, la casa, el poste de luz y el pozo de agua.
.
a) En cada bolsa, Jessica pone 2 rollos de ate, 6 glorias y 5 cocadas. Luego, Fabián, pone 5 alegrías, 4 muéga-
Corral
20 m
Pozo de
agua
Árboles
frutales
Poste
de luz
Bodega
nos y 10 frutas cristalizadas. ¿Cuántas bolsas se pueden hacer con las cantidades mencionadas?
.
b) Completa la tabla que sigue con las cantidades que deben comprar para hacer las bolsas con las cantidades
20 m
del inciso a) sin que sobre algún dulce.
Rollo de ate
Glorias
Cocadas
Alegrías
Muéganos
Fruta cristalizada
Casa
30 m
115
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6
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114
115
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BLOQUE 5
Ponte a prueba ENLACE
1. La solución a la operación 7
a) 8.125
b) 8.75
c) 9.25
d) 9
5
8
1.75 es:
Ahora sé
En esta sección se
proponen algunas
sugerencias para
trabajar esta
autoevaluación.
AHORA SÉ
Ponte a prueba ENLACE
Ahora sé
Página 255
Página 256
Respuestas
Sugerencia didáctica. En esta última evaluación pida a los alumnos
que revisen los comentarios y sugerencias hechos en los bloques anteriores para observar el avance que tuvieron durante el año escolar.
Respecto de los contenidos de difícil comprensión, haga un repaso de
sumas y restas con números enteros, problemas de proporcionalidad
y cálculo de áreas y perímetros de figuras, incluido el círculo.
También es importante pedir a los alumnos que evalúen el trabajo
docente en el aula, ya que la responsabilidad del proceso enseñanza-aprendizaje es compartida.
1. a.
2. a.
3. a.
4. a.
5. d.
2. ¿Cuál es el perímetro y el área de una circunferencia cuyo radio mide 1.5 cm?
a) P = 3 cm, A = 2.25 cm2
b) P = 1.5 cm, A = 2.25 cm2
c) P = 3 cm, A = 1.5 cm2
d) P = 1.5 cm, A = 1.5 cm2
Ahora sé
Autoevaluación
Marca con una la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y
responde la pregunta.
¿Lo logré?
Aprendizaje esperado
Sí
No
¿Cómo puedo
mejorar?
Resuelvo problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
Uso la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades
muy grandes o muy pequeñas.
Resuelvo problemas que implican el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y
la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
Obtengo la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión
aritmética.
Uso la fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de
problemas.
Resuelvo problemas de proporcionalidad múltiple.
1
3. El siguiente cuadrado tiene un área de 36 cm2 y el vértice a del triángulo azul se encuentra a 3 de la medida del
lado correspondiente del cuadrado. La base y la altura, en cm, del triángulo verde son, respectivamente:
a) 6 y 4
b) 2 y 6
c) 6 y 2
d) 4 y 6
Coevaluación
La siguiente tabla es para evaluar a cada uno de tus compañeros de equipo. Anota su nombre y responde sí o
no a los indicadores propuestos. Es muy importante que seas objetivo, pues tus comentarios deben servir para
que tu compañero mejore su desempeño.
a
Nombre de mi compañero
4. La regla que define la sucesión numérica 7, 12, 17, 22,… es:
a) 5n 2
b) 5n 2
c) 4n 3
d) 4n 3
Indicador
No
Tú le recomiendas…
Con tu maestro
Revisen con su maestro, las tablas.
Después, en grupo y con el apoyo de su maestro elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su
desempeño en equipo.
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255
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GUÍA RÁPIDA DE GEOGEBRA
GUÍA RÁPIDA DE GEOGEBRA
GeoGebra es un software libre de Matemáticas que te permite trazar una gran variedad
de figuras geométricas, al tiempo que estudias sus propiedades, pues los trazos se pueden modificar de manera dinámica. Descárgalo sin costo en www.geogebra.org/cms/
Exploración de GeoGebra
Idioma. Abre la ventana de GeoGebra; si los menús se encuentran en inglés, selecciona
la siguiente secuencia de la barra de menús: Options, Language, R-Z y Spanish.
Una ventana de GeoGebra se ve de la siguiente forma:
Barra de herramientas
Vista
algebraica
Guía rápida de GeoGebra
Página 261
Página 260
Sugerencia didáctica. Para conocer y familiarizarse con el software
también pida que revisen el menú principal. Ahí encontrarán las opciones que tienen al trabajar con los archivos, como crear uno nuevo,
guardar, imprimir. Además hay otras herramientas como el teclado virtual o tamaño de letra. Haga notar que ahí también se muestran los
comandos de teclado con los que pueden realizarse funciones como copiar, pegar o deshacer, entre otras, que son de gran utilidad al trabajar.
Sugerencia didáctica. Antes de realizar actividades con el software de
geometría dinámica permita a los estudiantes que exploren algunas de las
funciones. Pida que observen cómo cambia el área de trabajo al elegir
alguna de las opciones del botón “Apariencias” que está en el costado derecho. Pida que que abran la lista de funciones que hay en cada
botón y observen qué efecto realiza cada una. Además de explorar los
botones de herramientas, solicite que hagan cambios en la “Vista gráfica”, por ejemplo, quitar y poner ejes o cambiar la escala de proporción
entre ellos, etcétera.
Este botón sirve para colocar un punto en cualquier lugar de la vista gráfica. Al
dar clic en el triángulo pequeño invertido encontrarás herramientas para construir puntos libres, puntos de intersección y puntos medios.
En éste se localizan todas las herramientas que te permiten construir rectas,
segmentos de recta, semirrectas y vectores. En particular, al presionar este botón
se puede trazar una recta.
Este botón sirve para trazar rectas perpendiculares a otra, o a un segmento, o
a una semirrecta. También cuenta con un menú que contiene rectas paralelas,
perpendiculares, mediatrices, bisectrices y otros tipos de rectas.
En éste se encuentran las herramientas que sirven para hacer polígonos regulares e irregulares.
Por su parte, de este botón se despliega un menú que contiene las herramientas
para construir circunferencias, semicircunferencias, arcos y sectores circulares.
Vista
gráfica
En cambio, con este botón puedes construir una elipse a partir de tres puntos.
Además, en su menú hay herramientas para construir otros tipos de curvas.
Este botón muestra las herramientas que permiten medir longitudes, ángulos,
áreas.
Este botón sirve para reflejar un objeto en una recta. Con el menú que tiene se
pueden trasladar las figuras, rotarlas o reflejarlas.
Vista Gráfica. Esta vista será tu zona de trabajo. Aquí es donde se construyen figuras
geométricas, se colocan puntos, se hacen rectas y segmentos de recta, se trazan ángulos, etcétera.
Este botón tiene como función insertar texto. Algunas de las herramientas que
encontrarás son: “Insertar imágenes” o “Lápiz”.
Vista Algebraica. En esta sección se encuentra la representación algebraica de todos los
elementos de la vista gráfica.
Con este botón se puede insertar un deslizador en la vista gráfica. Y con las
herramientas del menú que contiene podrás agregar botones, campos de texto y
agregar o quitar texto.
Barra de herramientas. A continuación se muestran los botones de algunas herramientas de GeoGebra, cada una tiene un triángulo pequeño invertido: si das clic en
alguno, aparecerán otras herramientas.
Con este botón puedes mover la hoja de trabajo. Además de que aquí se encuentran las herramientas para alejar o acercar las figuras.
Guía rápida de
GeoGebra
Incluye algunas
sugerencias
didácticas para
comenzar a explorar
el software de
geometría dinámica.
Otros botones que se encuentran en la barra de herramientas y que suelen ser muy
útiles son:
Las funciones de los botones que aparecen en la barra de herramientas son:
Deshacer y rehacer
acciones.
Con este botón se pueden seleccionar y mover elementos dentro de la zona de
trabajo. Al dar clic en el triángulo pequeño invertido encontrarás las herramientas que permiten mover elementos, rotarlos o registrar valores en una hoja de
cálculo.
257
260
Sí
Se integró el equipo y mantuvo una actitud participativa
Asistió a todas las reuniones acordadas por el equipo.
Mostró entusiasmo en clases y reuniones del equipo.
Cumplió en tiempo y forma con las tareas asignadas.
Aportó ideas originales y creativas para la realización de las actividades.
Comunico en forma clara y cordial al equipo sus ideas respetando las
opiniones de sus compañeros y estableciendo sus propios puntos de vista.
5. Un comerciante que vende chocolates compra 20 cajas de 100 unidades en $1500. ¿Cuánto paga por 5 chocolates
y cuántos recibe por $3?
a) Por 5 chocolates paga $3.50 y por $3 recibe 3 chocolates.
b) Por 5 chocolates paga $3.75 y por $3 recibe 3 chocolates.
c) Por 5 chocolates paga $3.50 y por $3 recibe 4 chocolates.
d) Por 5 chocolates paga $3.75 y por $3 recibe 4 chocolates.
Guía rápida de GeoGebra
Ponte a prueba
ENLACE
Contiene las
respuestas a los
reactivos de esta
evaluación.
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Propiedades.
Ayuda para conocer el
funcionamiento de las
herramientas.
Explora las herramientas de GeoGebra. Practica tus conocimientos de geometría con
este programa.
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El trabajo con secuencias didácticas
U
na secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados –a partir de
un nivel de complejidad progresivo– en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro
de un aprendizaje.
Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es
movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares relacionados con dicho aprendizaje.
En esta fase es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure
que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad,
y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática.
Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar
estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen los libros.
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha
el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere
que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conocimientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos
empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas
en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen
de sus conocimientos y el proceso de construcción de nuevos conocimientos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática
y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de
síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o en algún organizador gráfico elaborado
por ellos; estas actividades atienden el logro del aprendizaje esperado.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo
de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la
aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes y evalúe el progreso de
sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los
contenidos abordados.
8
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Evaluación
La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una
oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo
cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para
los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han
incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación,
evaluación tipo ENLACE y evaluación tipo PISA.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección
vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el aprendizaje esperado.
Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los
alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan
y aquellas en las que deben mejorar.
Las pruebas tipo ENLACE (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares)
están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento
de evaluación oficial.
En las pruebas tipo PISA (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de
los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis de problemas que,
además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas.
9
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Recursos digitales para el docente
L
a propuesta de Ediciones Castillo tiene en cuenta que los docentes requieren una diversidad de recursos para la enseñanza y, por esto, presenta una oferta variada y flexible en distintos soportes. Así, para apoyarlo en sus tareas de
planeación y evaluación, le sugerimos el uso de los siguientes Recursos digitales para el docente:
• Planificador editable por libro. Es la versión digital del “Avance programático” incluida en la guía del maestro. Su
formato permite personalizar los datos de la escuela, el grupo y la asignatura. Funciona en cualquier sistema operativo y
puede guardarse en su equipo e imprimirse. Adicional a la articulación entre el contenido de los libros, la dosificación y el
currículo de secundaria, se incluyen sugerencias didácticas y recomendaciones de libros, películas y páginas de internet.
Al presentar estos elementos de manera vinculada, se facilita la labor del docente, puesto que se ven el contenido, el
aprendizaje esperado, el tiempo aconsejado, las páginas del libro, las sugerencias didácticas y las recomendaciones de
otros recursos, por bloque.
• Generador de exámenes. Genera exámenes bimestrales y finales para cada asignatura, lo que brinda otros medios para
evaluar a los alumnos y los familiariza con dicha evaluación. De manera sencilla, el docente puede generar exámenes
seleccionando los reactivos que considere adecuados para el grupo. En éstos se incluye un espacio para que los alumnos
registren su nombre, grupo y la fecha. Pueden imprimirse en dos versiones: para el alumno y para el maestro, en la que
se marca la respuesta correcta de cada reactivo.
Además, los Recursos digitales para el docente incluyen el primer bloque del libro del alumno en formato digital para
que el profesor revise su estructura y conozca la propuesta didáctica; la Guía para el maestro puede descargarse e imprimirse
para trabajar en clase las sugerencias incluidas, y recomendaciones de ligas vinculadas con los contenidos de cada bloque.
Visite el Centro de Recursos Digitales para docentes; donde encontrará las
herramientas anteriores y otras más: www.edicionescastillo.com/CRD_secundaria.html
10
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Avance programático
Bloque 1
2y3
3y4
4y5
5y6
6y7
7y8
8y9
9 y 10
Sentido numérico y pensamiento algebraico
1y2
Forma,
espacio y
medida
1
Eje
Manejo de la
información
Semanas
Tema
Secuencia
1. Dos maneras de
escribir el mismo
Números y sistemas de número
numeración
2. Fracciones,
decimales y la recta
numérica
Problemas aditivos
Contenido
Páginas
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su
escritura decimal y viceversa.
18-23
Representación de números fraccionarios y decimales en la
recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando
las convenciones de esta representación.
24-28
3. Fracciones más,
fracciones menos
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más
de una operación de suma y resta de fracciones.
29-32
4. ¿Cuál sigue?
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de
una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común
de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con
progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
33-37
5. Fórmulas y figuras
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al
considerar las literales como números generales con los que es
posible operar.
38-42
Patrones y ecuaciones
6. Con regla, escuadra Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego
y compás
de geometría.
43-48
7. Rectas y puntos
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas,
notables del triángulo mediatrices y bisectrices en un triángulo.
49-56
Proporcionalidad y
funciones
8. El que parte
y reparte
Resolución de problemas de reparto proporcional.
57-61
Nociones de
probabilidad
9. Juguemos un poco
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro
de los resultados. Elección de estrategias en función del
análisis de resultados posibles.
62-66
Figuras y cuerpos
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
67-73
11
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Eje
10 y 11
12 y 13
13
14
14 y 15
15 y 16
16 y 17
Manejo
de la información
11 y 12
Forma, espacio
y medida
Semanas
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Bloque 2
Tema
Secuencia
Contenido
Páginas
10. ¿Divide o no?
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5.
Distinción entre números primos y compuestos.
76-80
11. Divisores y
múltiplos que se
comparten
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo
común divisor y el mínimo común múltiplo.
81-85
Problemas aditivos
Patrones y ecuaciones
12. Cuando las
fracciones y los
decimales se
combinan
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan
números fraccionarios y decimales en distintos contextos,
empleando los algoritmos convencionales.
86-89
Problemas
multiplicativos
13. Fracción de una
fracción
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y
división con números fraccionarios en distintos contextos,
utilizando los algoritmos usuales.
90-93
Figuras y cuerpos
14. A la misma
distancia
Resolución de problemas geométricos que impliquen el
uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la
bisectriz de un ángulo.
94-99
Medida
15. Marcos de madera
de lados iguales
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de
polígonos regulares, con apoyo de la construcción y
transformación de figuras.
100-105
Proporcionalidad y
funciones
16. Si una cambia, ¿la
otra también?
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad
directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con
factores constantes fraccionarios.
106-110
Números y sistemas de
numeración
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
12
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111-117
Bloque 3
19 y 20
20 y 21
21 y 22
22
23
24
24 y 25
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
18 y 19
Forma, espacio y medida
17 y 18
Eje
Manejo de la información
Semanas
Tema
Problemas
multiplicativos
Secuencia
Contenido
Páginas
Resolución de problemas que impliquen
17. Los decimales de
la multiplicación de números decimales
cada día
en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
120-124
18. Entre decimales
te verás
Resolución de problemas que impliquen la división de números
decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo
convencional.
125-129
Patrones y ecuaciones
19. El número
desconocido
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y
resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b;
ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con
a, b y c, números naturales, decimales o fraccionarios.
130-134
Figuras y cuerpos
20. ¿Comó lo
construyo?
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas
informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo
central). Análisis de la relación entre los elementos de la
circunferencia y el polígono inscrito en ella.
135-140
Medida
21. Áreas y
perímetros
de polígonos
regulares
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y
el área de polígonos regulares.
141-145
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación
sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en
situaciones dadas.
146-150
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su
verificación al realizar el experimento y su registro en una
tabla de frecuencias.
151-156
Lectura y comunicación de información mediante el uso de
tablas de frecuencia absoluta y relativa.
157-162
Proporcionalidad y
funciones
Nociones de
probabilidad
22. Ampliar o
reducir
23. La anticipación
de resultados
Análisis y
24. Lectura de la
representación de datos
información
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA , Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
163-169
13
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Eje
25 y 26
26 y 27
27 y 28
Forma, espacio y
medida
Semanas
Sentido numérico
y sistemas de
numeración
Bloque 4
29 y 30
30 y 31
31
32
Manejo de la información
28 y 29
Tema
Secuencia
Números y sistemas de 25. Hacia adelante o
numeración
hacia atrás
Contenido
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la
utilización de números enteros, fraccionarios o decimales
positivos y negativos.
Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio,
una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan
condiciones dadas.
Páginas
172-176
Figuras y cuerpos
26. Pistas para trazar
circunferencias
Medida
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la
27. Longitud de la
circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente).
circunferencia y el
Explicitación del número (pi) como la razón entre la longitud
área del círculo
de la circunferencia y el diámetro.
182-187
28. Donde hay tres,
hay cuatro
Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o
fraccionarios.
188-192
29. ¿De qué tamaño
era?
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de
proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
193-197
30. ¿De cuántas
formas...?
Resolución de problemas de conteo mediante diversos
procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los
resultados.
198-203
31. Información en
gráficas
Lectura de información representada en gráficas de barras
y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras
fuentes. Comunicación de información proveniente de
estudios sencillos, eligiendo la epresentación gráfica más
adecuada.
204-208
Proporcionalidad y
funciones
Nociones de
probabilidad
Análisis y
representación de
datos
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
14
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177-181
209-215
Semanas
Eje
32 y 33
Sentido numérico y pensamiento
algebraico
Bloque 5
33 y 34
34 y 35
Problemas aditivos
Problemas
multiplicativos
32. Enteros más, enteros
menos
Contenido
Páginas
Resolución de problemas que implican el uso de sumas y
restas de números enteros.
33. Notación científica: lo Uso de la notación científica para realizar cálculos en los
grande y lo pequeño que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
218-222
223-227
228-233
Patrones
y ecuaciones
35. ¿Cuál es la regla?
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de
una sucesión con progresión aritmética.
234-239
36. Problemas de área y
perímetro del círculo
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del
círculo en la resolución de problemas.
240-245
37. Cambia aquí
y cambia allá
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
246-250
Forma, espacio
y medida
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz
cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente
natural de números naturales y decimales.
36 y 37
Medida
37 y 38
Proporcionalidad y
funciones
38
Secuencia
34. ¿Cuánto mide el lado?
Manejo
de la información
35 y 36
Tema
Habilidades digitales, Ponte a prueba PISA, Ponte a prueba ENLACE, Ahora sé.
251-256
15
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Bloque 1
Competencias que se favorecen
•
•
•
•
Resolver problemas de manera autónoma.
Comunicar información matemática.
Validar procedimientos y resultados.
Manejar técnicas eficientemente.
Aprendizajes esperados
• Convierte números fraccionarios
a decimales y viceversa.
• Conoce y utiliza las convenciones
para representar números fraccionarios
y decimales en la recta numérica.
• Representa sucesiones de números
o de figuras a partir de una regla dada
y viceversa.
Conceptos principales
S1S1Fracción
periódico,
Fraccióndecimal,
decimal,fracción
fracciónirreducible,
irreducible, número
número decimal periódico.
redondeo.
S2truncamiento,
Recta numérica,
escala, fracciones intercaladas.
S2S3Recta
unidad como referencia de medida, densidad
Sumanumérica,
y resta de fracciones.
S4numérica.
Sucesiones, elemento de una sucesión, progresión aritmética,
S3 Suma
y restageométrica.
de fracciones.
progresión
S4S5Sucesiones,
elemento decon
unaliterales,
sucesión,expresión
consecutivo
en una suceLiterales, operaciones
algebraica,
área,
sión,
progresión aritmética, progresión geométrica.
perímetro.
S5S6Fórmulas
de cuadriláteros.
perímetros y áreas de figuras geométricas, literal.
Triángulos,
S6S7Triángulos,
cuadriláteros,
compás,
transportador,
escuadra.en
Alturas y medianas
de unregla,
triángulo,
mediatrices
y bisectrices
S7 Alturas
y medianas
de un baricentro,
triángulo, mediatrices
un triángulo;
ortocentro,
circuncentroyebisectrices
incentro. en
triángulo; ortocentro,
baricentro, circuncentro e incentro.
S8unProporción,
reparto proporcional.
S8S9Proporción,
proporcional.
Juegos de reparto
azar, procesos
aleatorios.
S9 Juegos de azar, procesos aleatorios.
Los juegos de azar son juegos
en los que ganar o perder no
dependen de la habilidad del
jugador.
16
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16
Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación
de los estudios de la escuela primaria, en el primero y el segundo contenido se estudian nuevos aspectos de los números fraccionarios y
decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas que emplean números fraccionarios. Por otra parte,
el contenido referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una
regularidad matemática que exige un nivel mayor de abstracción para
el estudiante. La simbolización comienza con el contenido en el que las
literales corresponden a números generales.
Forma, espacio y medida. En este eje los contenidos están dedicados
al trazado de las figuras más elementales y al de las líneas y puntos
notables del triángulo, construcciones que, por sí mismas, son importantes dentro de la geometría pero que, además, resultan prácticas e
indispensables para abordar construcciones más complejas, como se
verá en los siguientes bloques.
Manejo de la información. En este bloque los contenidos son introductorios a los temas de este eje: por una parte, la proporcionalidad
se aborda con el reparto proporcional, mientras que las nociones de
probabilidad comienzan con la identificación y práctica de juegos sencillos de azar.
17
17
17
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S1 Conversión de fracciones
decimales y no decimales a su
escritura decimal y viceversa.
Antecedentes
• Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales mediante la
notación decimal.
Ideas erróneas
1. Algunos alumnos podrían pensar equivocadamente que cualquier
fracción puede expresarse como una fracción decimal equivalente
y de esa manera hacer la conversión a su escritura decimal.
Inicio a partir de lo que sé
Página 18
Primera báscula:
85
kg
100
Segunda báscula:
6 kg
10
a) 0.5 kg
Inicio a partir de lo que sé
Organícense en parejas para subrayar la fracción que corresponde al peso que se muestra en cada
báscula de la figura 1.1.
•
85
kg
10
•
85
kg
100
•
6
10 kg
6
• 100 kg
•
85
kg
1000
6
• 1000 kg
Fig. 1.1
1
a) ¿Qué cantidad aparecería en la pantalla si se pesara 2 kg de tortilla?
.
Compartan sus resultados con otras parejas.
Resuelvo y aprendo
De fracción decimal a notación decimal y viceversa
1. En equipos resuelvan los siguientes incisos.
a) En la figura 1.2 se muestra la cantidad promedio de lluvia que cayó durante un día
en diferentes regiones de un estado. Conviertan cada fracción decimal a notación
decimal (pueden auxiliarse de una calculadora).
Resuelvo y aprendo
De fracción decimal a notación decimal y viceversa
1. a) 13 = 0.13 L
100
111 = 1.11 L
100
1
Dos maneras de
escribir el mismo número
SECUENCIA
13 = 1.3 L
10
9 = 0.09 L
100
65 = 0.65 L
100
• El denominador indica cuántas veces se mueve el punto decimal hacia la izquierda. Si éste es 10, el punto se mueve un
lugar hacia la izquierda. Si es 100, dos lugares, etcétera.
Educación
ambiental para la
sustentabilidad
La cantidad de lluvia
que cae en una región
se mide como la altura
que tendría el agua
precipitada sobre 1 m2.
Aprovechar el agua
de lluvia en el jardín,
inodoro y lavado de
ropa puede reducir
hasta 50 % el uso del
agua potable en un
hogar. Fuente: http://
www.edutics.mx/49Y
(8/11/13).
18
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18
13
100 L
13
10 L
65
100 L
111
100 L
9
100 L
Fig. 1.2
t ¿Qué relación hay entre cada denominador de las fracciones y las correspondientes cifras decimales que obtuvieron?
.
BLOQUE 1
Una fracción decimal
es aquella que su
denominador es 10,
100, 1000, etcétera.
b) Expresen cada medida de la figura 1.3 como fracción decimal (simplifíquenla
cuando sea posible).
3.29 m =
m
15.9 m =
0.06 m =
m
m
0.053 m =
m
Integración
2. a) Para convertir una fracción decimal a un número decimal se escribe el numerador y se recorre el punto a la izquierda tantas
veces como ceros haya en el denominador.
b) Para convertir un número decimal a una fracción se toma como
numerador el número decimal y como denominador un 1
seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el
número.
.
Integración
2. En grupo, con ayuda del docente, completen los siguientes procedimientos.
a) Para convertir una fracción decimal a un número decimal, se escribe el
y se
a la izquierda tantas veces como ceros haya en el denominador.
b) Para convertir un número decimal a una fracción, se toma como
el número
3. a) • 7 = 0.7
10
un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga
el número.
3. En equipos resuelvan los siguientes incisos.
t
b) • 4 = 8 = 0.8 • 3 = 75 = 0.75 • 7 = 35 = 0.35
20
5
4
100
100
10
=
t ¿Qué tipo de fracciones obtuvieron?
.
b) Completen las fracciones equivalentes y obtengan los respectivos números decimales.
t
• 101 = 0.101
1 000
Sugerencia didáctica. Indique que las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Si se les
expresa como número decimal son mayores que 0 y menores que 1.
a) Realicen las multiplicaciones indicadas y conviertan las fracciones resultantes a notación decimal.
t 4 =
=
5
10
• 73 = 0.73
100
• Se obtuvieron fracciones decimales.
Validen la actividad 1 a partir de los procedimientos que acaban de completar.
7 =
=
2!5
73
=
=
t
2!2!5!5
101
=
t
2!2!2!5!5!5
0.06 = 6 = 3
100
50
53
0.053 =
1 000
100
Fig. 1.3
decimal y como
b) 3.29 = 329
100
159
15.9 =
10
• Los numeradores se obtienen al multiplicar el número decimal por un múltiplo de 10 de tal modo que no tenga una parte
decimal. El denominador será el múltiplo de 10 que se utilizó.
Por ejemplo: 3.29 × 100 ζ 329, por tanto, 3.29 = 329 ;
100
0.06 × 100 = 6, de ahí que 0.06 = 6 .
t ¿Cómo obtuvieron los numeradores de las fracciones decimales?
recorre el
Página 19
3 = 75 =
4
t
7 =
=
20
100
Dos fracciones son
equivalentes si
representan la misma
cantidad, pero se
escriben distinto.
19
19
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SECUENCIA 1
Página 20
c) Simplifiquen las siguientes fracciones hasta donde sea posible.
t 14 =
35
t 12 =
90
t 12 =
21
Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades
para simplificar algunas de las fracciones, indíqueles que inicialmente
dividan entre valores pequeños y que repitan el procedimiento hasta obtener una fracción irreducible.
c) •
•
•
•
14
7
=2
5
35
7
12
2×3
= 2
15
90
2×3
12
3
=4
7
21
3
9
2 1
.
,
y
20
5 8
6
2×3
•
48
2×3
14
2
•
=
12
2
18
2
=
•
40
2
t
t
6 =
48
14 =
12
18 =
40
t ¿En cuáles de las fracciones que obtuvieron los denominadores pueden expre-
= 1
sarse como una multiplicación de factores 2 y/o 5 solamente?
8
.
t ¿Cuáles de las fracciones que obtuvieron pueden expresarse como fracciones
decimales?
7
6
.
Integración
4. En grupo, con ayuda del docente, completen el siguiente enunciado.
9
20
Una fracción
irreducible es
aquella que no puede
simplificarse.
Para que una fracción no decimal irreducible sea equivalente a una fracción decimal, es necesario
que su denominador pueda expresarse como la multiplicación de factores
5. En equipos obtengan en notación decimal las longitudes de cada tubo realizando las
divisiones hasta que el residuo sea 0 (fig. 1.4).
8 =
5
a)
2 = 4 , 1 = 125 , 9 = 45 .
1 000 20
100
5
10 8
0
Integración
4. 2 o 5.
0.35
b) 7 = 0.35 m 20 7.00
20
− 60
1 00
− 1 00
0
1m
7 =
20
b)
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m
5 8
Sugerencia didáctica. Comente con sus alumnos la idea errónea 1.
20
20
únicamente.
Validen la actividad 3 a partir del enunciado que acaban de completar.
• Las fracciones de la respuesta anterior, es decir,
1.6
5. a) 8 = 1.6 m 5 8.0
5
−5
3
− 30
0
t
2m
m
20 7
0
1m
Fig. 1.4 [Continúa]
20
BLOQUE 1
3 =
8
c)
m
Página 21
8 3
c) 3 = 0.375 m
8
0
1m
Fig. 1.4 [Concluye]
t ¿Cuál de las fracciones dadas puede simplificarse?
.
t ¿Cuál de las fracciones dadas puede expresarse como fracción decimal?
• Ninguna de las fracciones se puede simplificar.
• Todas las fracciones se pueden expresar como fracción decimal.
• Todas.
.
t ¿En cuáles de las fracciones dadas los denominadores pueden expresarse como
una multiplicación de factores 2 y/o 5 únicamente?
0. 3 7 5
8 3. 0 0 0
−24
60
−56
40
−4 0
0
.
Integración
Integración
6. 2 o 5.
6. En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y completen el enunciado.
Un número decimal que tiene una cantidad limitada de cifras decimales se llama
número decimal exacto.
7. a) 1 = 0.333 m
3
b) 5 = 0.833 m
6
Una fracción irreducible puede convertirse en un número decimal exacto si su denominador
puede expresarse como la multiplicación de factores
únicamente.
Validen la actividad 5 a partir del enunciado que acaban de completar.
7. En equipos obtengan en notación decimal los diámetros de cada rueda realizando
las divisiones hasta el número decimal indicado (fig. 1.5).
a) Hasta milésimos
b) Hasta milésimos
3 1
6 5
Las tres primeras
cifras a la derecha
del punto decimal
corresponden a los
décimos, centésimos
y milésimos:
3.257
Milésimos
Centésimos
Décimos
1
3 m=
5
6 m=
Fig. 1.5 [continúa]
21
21
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SECUENCIA 1
Página 22
c) 3 = 0.272727 m
11
c) Hasta seis cifras decimales
d) 17 = 1.416666 m
d) Hasta seis cifras decimales
12
12 17
11 3
1
• Que los números de la parte decimal se repiten: en la fracción 3
se repite el número 3 y en la fracción 113 se repite la pareja de
números 27.
• Que los primeros números de la parte decimal no se repiten
5
pero los que siguen sí, por ejemplo, en la fracción 6 el número 8 aparece una vez en la parte decimal y después se repite
el número 3, y en la fracción 17 la pareja de números 41 apa12
rece una sola vez y luego se repite el número 6.
3
11 m =
17
12 m =
Fig. 1.5 [Concluye]
t ¿Qué característica tienen en común las partes decimales de los números decimales correspondientes a 1 y 3 ?
Integración
8. a) punto
b) repiten, repiten.
3
11
.
t ¿Qué característica tienen en común las partes decimales de los números decimales correspondientes a 5 y 17 ?
6
12
.
Integración
8. En grupo, con ayuda del docente, analicen el siguiente texto y completen las definiciones.
Los números decimales cuya parte decimal se repite siguiendo un patrón, llamado
periodo, se denominan números decimales periódicos. El periodo se representa con
un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:
2
= 0.6
3
15
= 1.36
11
31
= 2.583
12
a) Se dice que un número decimal es periódico puro (por ejemplo: 0.376) cuando hay una o más
cifras que se repiten inmediatamente después del
Te invito a…
visitar la página http://
www.edutics.mx/4LX
en la que podrás
reforzar los temas
trabajados en esta
secuencia (30/06/13).
22
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22
.
b) Se dice que un número decimal es periódico mixto (por ejemplo: 0.4713) cuando hay una o
más cifras después del punto decimal que no se
cifras que sí se
, seguidas de una o más
.
Validen la actividad 7 a partir de las definiciones que acaban de completar.
BLOQUE 1
Consolido mis aprendizajes
Consolido mis aprendizajes
De manera individual haz lo que se te pide en la siguiente actividad.
1. Escribe en la pantalla de cada báscula de la figura 1.6 los respectivos pesos en notación decimal.
Página 23
Sugerencia didactica. La actividad 1 es una variante de la inicial, pero
más compleja. Se espera que los alumnos hagan las conversiones utilizando los métodos estudiados. La actividad 3 no se resuelve a partir
de una mera aplicación de los procedimientos aprendidos, pues en
ella, para obtener el perímetro, los alumnos deberán utilizar sus nuevos conocimientos como una herramienta adicional.
Fig. 1.6
2. Calculen el perímetro de los polígonos de la figura 1.7 (expresen los resultados con números
decimales y con fracciones).
2.83 m
7
1
3 10 m
2 3 m
9.36 m
1
1.78 m
Fig. 1.7
5 5 m
3. El señor González necesita comprar cuatro brocas con las siguientes medidas:
0.4375 pulgada
0.375 pulgada
0.0625 pulgada
0.125 pulgada
Al llegar a la ferretería le muestran una plantilla con las medidas disponibles (fig. 1.8).
1
61 = 2.44 kg
17 = 0.85 kg
25
20
2. Polígono azul: 2 1 + 2 1 + 9.36 + 9.36 = 23.38666 m =
3
3
7
1
Polígono verde: 3
+5
+ 2.83 + 1.78 = 13.51 m =
10
5
3. a) 0.4375 = 4 375 = 7
10 000
16
375
3
0.375 =
=
1 000
8
625
0.0625 =
= 1
10 000
16
1
125
0.125 =
=
8
1 000
1. 9 = 1.125 kg
8
Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente.
broca. Pieza metálica
para hacer orificios
cuando se coloca
en una herramienta
mecánica, como un
taladro.
1
1 754 m
75
1 351 m
100
Medidas fraccionarias desde 16 hasta 2 de pulgada
1
16
13
32
27
64
25
64
3
8
5
64
3
32
7
16
23
64
7
64
1
8
29
64
11
32
9
64
5
32
15
32
21
64
11
64
31
64
5
16
3
16
19
64
13
64
1
2
9
32
7
32
15
64
pulgada. Unidad de
longitud que equivale
a 2.54 cm.
17
64
1
4
Fig. 1.8
a) ¿Cuáles fracciones corresponden a las medidas de las brocas que necesita el señor
González?
.
Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.
23
23
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S2 Representación de números
fraccionarios y decimales en la
recta numérica a partir de
distintas informaciones, analizando
las convenciones de esta
representación.
Antecedentes
• Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera.
• Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o
decimales dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los
racionales, en contraste con los números naturales.
Ideas erróneas
1. Es frecuente que los alumnos piensen que 1 es un número mayor
8
que 41 porque 8 es mayor que 4.
2. Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6
porque 57 o 7 son mayores que 6.
3. Es probable que algunos alumnos piensen que una vez definida la
posición de dos números se puede determinar la de un tercero de
manera arbitraria.
2
Fracciones, decimales
y la recta numérica
SECUENCIA
Inicio a partir de lo que sé
Formen parejas para marcar en la línea de la jarra medidora de la figura 2.1 los
1 1
3
5
números 2 , 4 , 0.5, 2 y 4 .
a) ¿Cuáles cantidades coincidieron al marcarlas?
.
7
b) ¿Entre cuáles marcas habría que colocar la de 4 ?
Compartan sus resultados con otras parejas.
1
.
Fig. 2.1
Resuelvo y aprendo
Representación de números en la recta numérica
1. En equipos realicen lo que se les solicita.
a) ¿En cuál de las siguientes rectas hay más elementos para ubicar la fracción de la
figura 2.2?
3
2
0
1
0
jarra medidora.
Utensilio de cocina
empleado en la
medida de líquidos o
ingredientes en polvo.
2 tazas
2
Fig. 2.2
b) ¿Qué ventajas encuentran en la recta que eligieron respecto a la otra?
.
Inicio a partir de lo que sé
Página 24
24
Integración
2. En grupo, con ayuda del docente, ordenen los siguientes pasos para dibujar una recta numérica.
Sugerencia didáctica. Analice con los alumnos la situación inicial y
pregunte cómo pueden colocar cada uno de los números dados. Para
ello se puede dividir la unidad (en este caso 1 taza) en partes iguales,
tantas como indique el denominador, y después colocar el valor correspondiente en el numerador.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
) Se representan otros números tomando como escala la distancia entre el 0 y el 1.
) Se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el 0.
) Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al 1.
Validen la actividad 1 a partir del procedimiento que acaban de obtener.
24
BLOQUE 1
(Continúa de la página 24)
Fracciones en la recta numérica
Formen equipos para resolver las siguientes actividades.
2 tazas
3. En la siguiente recta numérica el segmento que va del 3 al 5 está dividido en partes
iguales. Anoten las fracciones correspondientes a los puntos señalados.
3
5
4
5
a) 1 = 0.5
2
3
2
1
Integración
0.5 = 1
4. En grupo, con ayuda del docente, utilicen las palabras numerador o denominador para completar
el procedimiento.
1o Para ubicar fracciones, se divide cada entero en tantas partes como indica el
2o Se consideran las partes que indica el
1
4
.
.
Validen la actividad 3 a partir del procedimiento que acaban de obtener.
5. La dirección de una escuela organizó la competencia de atletismo “Mente sana en
cuerpo sano”. En la competencia de salto de longitud Carlos saltó 15 m y Pedro 7 m.
4
2
Marca en la recta el punto donde cayó cada uno a partir de lo que saltaron las dos
competidoras mostradas en la figura 2.3.
1
1
3 4 m
4 4 m
Fig. 2.3
a) ¿Quién saltó más lejos: Carlos o Pedro?
.
b) ¿En cuántas partes iguales dividieron el segmento que va de 3 1 a 4 1 para ubi4
Educación
para la salud
Los beneficios del
deporte a la salud
física y mental
son innumerables:
aumenta la circulación
sanguínea, mejora el
aprovechamiento del
oxígeno que le llega al
organismo, contribuye
a la pérdida del
sobrepeso, aumenta la
sensación de bienestar,
disminuye el estrés…
Fuente: http://www.
edutics.mx/49G
(8/11/13).
Sugerencia didáctica. Si se presentan las ideas erróneas 1 o 2, discútanlas en grupo.
b) Entre 3 y 2 tazas.
2
Resuelvo y aprendo
Representación de números en la recta númerica
1. a) Respuesta libre (R. L.). En cualquiera de las dos rectas hay suficientes elementos para ubicar la fracción de la figura 2.2.
b) R. L.
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos expongan ante el
grupo las ventajas que encontraron en la recta que eligieron para que
los demás las contrasten con las suyas.
6. Elijan en cada una de las siguientes rectas un punto distinto para el 0 y luego ubiquen las fracciones 2 y 5 .
3
0
4
.
car el salto de Carlos?
2
3
Integración
2. El orden correcto, de arriba hacia abajo, es 3, 1, 2.
1
1
25
25
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
SECUENCIA 2
Página 25
a) Comparen sus resultados con los de otro equipo. ¿Marcaron las fracciones en
. ¿Por qué ocurrió esto?
los mismos puntos?
Fracciones en la recta númerica
3. De izquierda a derecha: 3 1 , 4 1 , 4 5 .
2 6 6
.
7. Representen en la siguiente recta numérica las fracciones 7 y 5 . Comparen sus
3
2
resultados con otros compañeros.
Integración
4. 1° denominador. 2° numerador.
A
5.
Pedro
Carlos
D
1
7
15
3
4
2
4
a) Carlos.
b) Respuesta modelo (R. M.). En dos partes iguales.
6. R. L.
a) Expliquen el procedimiento que emplearon para ubicar la fracción 7 .
41
4
3
.
8. Por medio de fracciones equivalentes ordenen de menor a mayor las fracciones
9
5
Sugerencia didáctica. Si se presenta la idea errónea 3, comente
con los alumnos que una vez que se establece la unidad de medida
(distancia del 0 al 1), queda determinada la separación entre cada par
consecutivo de números naturales.
3
6
.
2
a) Ubiquen en la recta numérica las fracciones dadas.
0
1
2
.
fracciones equivalentes?
a) No necesariamente, pues existen muchas otras soluciones que
también son correctas.
7. R. L.
a) R. M. Un procedimiento consiste en ubicar el 0 y el 3 en la recta,
después dividir ese segmento en 9 partes iguales, y luego
contar 7 divisiones para ubicar la fracción.
8. Las fracciones equivalentes son 9 = 54 , 8 = 80 , 7 = 35 y
30 3
5
8
9
5
7
75
5
2 = 30 , por lo tanto, 6 < 5 < 2 < 3 .
7
6
a)
1
9
5
30
6
30
5 8
2 3
2
3
b) ¿En la recta numérica se conservó o cambió el orden que obtuvieron con las
Página 26
0
, 8, 7 y 5.
Comparen sus respuestas y procedimientos con otro equipo.
9. Marquen en la recta B una fracción que sea mayor que 1 pero menor que
3
2
. Luego, marquen en la recta C dos fracciones mayores que 1 pero que sean
3
3
menores que 2 .
3
Te invito a…
visitar la página
electrónica http://
www.edutics.mx/Zio.
Elige Matemáticas 1
y ve a las preguntas
3 y 4, las cuales te
ayudarán a reforzar
lo trabajado en esta
secuencia. Además,
podrás trabajar con
actividades interactivas
(30/06/13).
Recta A
Recta B
2
6
1
3
2
3
4
6
Recta C
a) ¿Hasta cuántas fracciones se pueden intercalar entre las fracciones 1 y 2 ?
3
3
Justifiquen su respuesta.
3
b) El orden fue el mismo que con las fracciones equivalentes.
.
26
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26
BLOQUE 1
(Continúa de la página 26)
3
9. Por ejemplo, en la recta B se puede colocar la fracción 6 . En la
4
recta C los recuadros morados corresponden a las fracciones 12
5
6
8
y 12 , de ahí que, por ejemplo, las fracciones
y
sean
12
12
4
8
mayores que 12 y menores que 12 .
a) Una infinidad de fracciones, pues se puede repetir el proceso de
las rectas A, B y C tantas veces como se desee.
Integración
10. En grupo, con ayuda del docente, completen el siguiente párrafo.
Para encontrar una fracción entre dos fracciones de valores distintos, hay que obtener
fracciones equivalentes a las fracciones conocidas, pero con denominador
luego elegir alguna cuyo numerador sea
y
que el de la fracción menor, pero
que el de la fracción mayor.
Validen las actividades 8 y 9 a partir del texto que acaban de completar.
Página 27
Números decimales en la recta numérica
Integración
10. mayor, mayor, menor.
11. Ubiquen en los tubos de vidrio, en notación decimal, las fracciones que se dan.
a)
b)
c)
18
10 cl
4
10 cl
2 cl
1 cl
d)
68
100 cl
1 cl
11. a) 4 cl b) 18 cl
10
10
616
1000 cl
0.7 cl
0.62 cl
1 cl
0.62 cl
0 cl
Fig. 2.4
0.61 cl
0.6 cl
e) ¿Cuál es el menor número decimal que marcaron?
número decimal que marcaron?
0.68
0.616
0.4 cl
0 cl
1 cl
1 cl
d) 616
68
cl
100
1 000 cl
0.7cl
0.62 cl
0.7 cl
0.6 cl
0.7 cl
0.6 cl
0 cl
2 cl
1.8 cl
c)
1 cl
0 cl
0.62 cl
0.61 cl
0.6 cl
0.61 cl
e) El menor es 616 = 0.616 y el mayor es 18 = 1.8.
10
1 000
0.61 cl
12.
. ¿Cuál es el mayor
.
12. Nicolás participó en una carrera. Cuando había recorrido 3.7 km, Ulises y Marco
habían recorrido la distancia indicada en la recta. Ubiquen la posición de Nicolás en
ese momento.
2.9 km
Marco
2.9 km
Marco
3.7 km
Nicolás
4.1 km
Ulises
4.1 km
Ulises
Fig. 2.5
27
27
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SECUENCIA 2
Página 28
13. Ubiquen los números 1.44 y 2.13 en cada una de las siguientes rectas.
13.
2.13
1
2
1.44
1.44
1
2
1
3
2.13
1
3
a) Expliquen por qué se ven en diferente posición los respectivos números que colo-
a) Porque la unidad de medida no es la misma en las dos rectas.
caron en las rectas.
Consolido mis aprendizajes
Consolido mis aprendizajes
1.
De manera individual haz lo que se te pide en la siguiente actividad.
6
6
3
2
3
1. Marca 5 de taza en la jarra medidora de la figura 2.6.
1.33 m
1.21 m
2.
2
3
Luis
1.57 m
Fig. 2.6
Fig. 2.7
Organizados en equipos de tres integrantes resuelvan lo siguiente.
1.33 m
1.21 m
2. Luis mide 1.57 m. Ubiquen en la figura 2.7 su estatura de acuerdo con la de sus hermanas.
3. Una pelota es lanzada desde el 0 (fig. 2.8). Ésta avanza en cada rebote la mitad de lo que avanzó
en el anterior. Marquen en la recta la fracción que corresponde al cuarto rebote.
3.
1
16
0
1
2
0
1
Cuarto
rebote
Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.
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1
2
Fig. 2.8
28
1
Fracciones más,
fracciones menos
SECUENCIA
3
S3 Resolución y planteamiento de
Inicio a partir de lo que sé
problemas que impliquen
más de una operación de suma
y resta de fracciones.
Formen parejas para resolver el siguiente problema.
Un carpintero apilará las tablas que se muestran en la figura 3.1.
7
12 pulgada
5
6 pulgada
Antecedentes
2
3 pulgada
• Fracciones equivalentes.
• Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios.
• Resolución de problemas de suma o resta de fracciones con denominadores diferentes.
• Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios.
Fig. 3.1
a) ¿Qué altura tendrá la pila de tablas?
.
b) ¿Qué fracciones con denominador igual utilizaron para calcular la altura de la pila?
.
c) Si se apilara una cuarta tabla con un grosor de 7 pulgadas, ¿qué altura tendría la pila?
24
Ideas erróneas
.
1. En una suma o resta de fracciones algunos alumnos pueden sumar o restar, por una parte, los valores del numerador, y por otra
los del denominador para obtener los valores de cada elemento, lo
cual es un procedimiento incorrecto.
Compartan y comenten sus resultados con otras parejas.
Resuelvo y aprendo
Problemas de fracciones
Formen equipos para resolver los problemas siguientes.
Inicio a partir de lo que sé
1. En la figura 3.2 se muestra un terreno en el que se siembran flores de cuatro colores.
2 2
5 m
Sugerencia didáctica. Para solucionar el problema es necesario hacer
varias sumas, por lo que se recomienda verificar que en cada caso se
efectúe correctamente la conversión necesaria para obtener el mismo
denominador y poder así sumar las fracciones. Es posible que algún
alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador.
En caso de que aparezca la idea errónea 1 será conveniente analizarla.
3 2
10 m
7 2
10 m
Fig. 3.2
apilar. Colocar un
objeto sobre otro.
a) ¿Qué área ocupan conjuntamente las flores de color rojo y las de color rosa?
25
pulgadas
12
7 10
8
b)
,
y
12 12
12
c) 57 = 19 pulgadas
24
8
a)
.
b) ¿Qué área ocupan conjuntamente las flores rojas, blancas y rosas?
.
c) Si el área del terreno es de 2 m2, ¿qué área ocupan las flores amarillas?
.
d) Expliquen el procedimiento que emplearon para responder la pregunta anterior.
.
29
29
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SECUENCIA 3
(Continúa de la página 29)
La carpa, la trucha y
la tilapia son especies
de peces comestibles
que pueden
reproducirse en
ambientes controlados
por los humanos.
Resuelvo y aprendo
Problemas de fracciones
2
2
b) 7 = 1.4 m
c) 2 − 7 = 3 = 0.6 m
5
5
5
d) Se toma el área total del terreno y se le restan las demás áreas.
1. a) 1 m
2. En un estanque se cultivan tres tipos de peces de acuerdo con la distribución que se
muestra en la figura 3.3.
1
Trucha: 3
2
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que para facilitar
los cálculos se puede utilizar el resultado del inciso b.
Página 30
2. a) R. M. La mitad.
1
Carpa: 5
Tilapia
Educación económica
y financiera
La producción y
cultivo de peces es
una alternativa para el
sector pesquero, pues
ayuda a disminuir la
explotación de recursos
marinos, además de
generar nuevas fuentes
de empleo. Fuente:
http://www.edutics.
mx/49N (8/11/13).
Fig. 3.3
a) Aproximadamente, ¿qué fracción del estanque está destinada a la tilapia?
.
c) ¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular la fracción del estanque destinada a la carpa y a la trucha?
.
d) ¿Qué fracción del estanque está asignada a la tilapia?
Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden obtener fracciones cercanas a la última, lo cual no es incorrecto, pues se le pide una aproximación.
b) 1 + 1 = 8
c) 1 =
15
5
3
3
7
d)
. R. L.
15
1
3. a) 1 + 1 = 2 , 1 +
= 2 ,
16
8
8
8 16
16
Tabla de figuras musicales
Sonido
Silencio
1
4
1
8
1
16
1
+ 1 = 2 .
32
32
32
3. A partir de la tabla de figuras musicales completa las siguientes fracciones.
a)
=
=
8
,
=
=
16
,
=
=
2 .
b) Coloquen en la siguiente línea musical líneas divisorias de modo que agrupen
figuras que al sumar sus valores den 4 .
4
1
32
b)
1
64
Porque, de izquierda a derecha, se tiene:
1
2
1
4
4 + 8 + 2 = 4
Comparen y comenten sus resultados y procedimientos con otro equipo.
Educación artística
Con la educación
artística se desarrollan
habilidades,
actitudes, hábitos y
comportamientos
benéficos. Es un
medio de interacción,
comunicación
y expresión de
sentimientos y
emociones, lo que
propicia la formación
integral de los
individuos.
30
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. ¿Coincide
.
1
2
5 y 1 = 3 .
15
5
15
2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 4 + 1 + 2 = 8 = 4,
8
4
8
4
16
8
8
2
8
8
1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 2 +
8
16
16
4
16
16
8
16
32
1
1
4
4
2
1
1
16
=
= 4,
+
+
+
+
+
+
16
16
16
4
16
16
16
16
16
1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 2 = 4 .
4
8
2
4
4
4
4
con su aproximación?
Valor
1
.
b) ¿Qué fracción del estanque está asignada conjuntamente a la carpa y a la trucha?
30
4. Determinen si es posible llenar la jarra de la figura 3.4 con las dos botellas de agua.
Argumenten su respuesta en su cuaderno.
65
100 L
39
50 L
1
1 2 L
Fig. 3.4
BLOQUE 1
(Continúa de la página 30)
4. No es posible llenar la jarra de agua con esas dos botellas:
5. En la figura 3.5 se muestran los cambios que ha tenido un tinaco en
su contenido durante tres días.
a) ¿Qué fracción del tinaco quedó ocupada el miércoles?
.
4
1
Fracción llenada 2
Fracción usada
2
el lunes
5
1
usada
3 Fracción
el martes
en miércoles
Página 31
24 − 20 30 = 31
1
1
2
+
5. a) 3 − − + = 45 −
60 60 60 60
3 2
5
60
4
b) Se toma la fracción al principio de la semana ( 3 ) y se le restan
4
las fracciones que se utilizaron el lunes ( 2 ) y el martes ( 1 ).
5
3
Por último, se suma la fracción que se llenó el miércoles.
Fig. 3.5
.
6. Karla va al mercado y compra la cantidad de fruta que se muestra en la figura 3.6.
4
7 kg
6
1 11 kg
1
1 8 kg
5
6 kg
Fig. 3.6
6. a) Las uvas pesan un poco menos de 1 kg y las manzanas un poco
más de 1 kg, de ahí que juntas pesen aproximadamente 2 kg.
b) Aproximadamente 2 kg. Las fresas pesan un poco más de 0.5 kg y
los mangos un poco más de 1.5 kg, de ahí que juntos pesen aproximadamente 2 kg.
c) Aproximadamente 4 kg.
a) Las uvas y las manzanas juntas tienen un peso aproximado de 2 kg. Justifiquen
esta afirmación sin realizar la suma de los pesos.
.
b) Den un peso aproximado, en kilogramos, de las fresas y los mangos juntos. Justifiquen su respuesta.
.
c) Aproximadamente, ¿cuánto pesan en total las frutas?
d) ¿Cuál es el peso total exacto de las frutas?
peso aproximado que obtuvieron.
Te invito a…
visitar la página http://
www.edutics.mx/4L8
en la que podrás
los reforzar el tema
trabajado en esta
secuencia (30/06/13).
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen la calculadora para responder el siguiente inciso.
d) 7 531 = 4.075 kg
1 848
.
. Comparen este peso con el
2
7. a) 8 3 km
b) 4 km
9
7. Luis ha recorrido las distancias mostradas en la figura 3.7.
a) ¿Cuántos kilómetros ha recorrido durante los tres días?
b) ¿Cuánto le falta para recorrer 9 1 km?
Martes
1
3 2 km
.
.
9
Lunes
65 + 39 = 65 + 78 = 143 < 150
100 100
100 50
100 100
Fracción al inicio
de la semana 3
b) Expliquen su procedimiento.
Miércoles
1
2 3 km
5
2 6 km
Fig. 3.7
31
31
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SECUENCIA 3
Página 32
Integración
8. En grupo, con ayuda del docente, redacten como mínimo cinco recomendaciones para resolver
problemas de suma y resta de fracciones.
Integración
8. Por ejemplo:
• Obtener un valor estimado del resultado.
• Determinar qué fracciones se suman.
• Determinar qué fracciones se restan.
• Realizar las operaciones con un método experto.
• Sumar o restar la parte entera por un lado y la parte fraccionaria por otro.
.
Consolido mis aprendizajes
3
1 4 pulgada
De manera individual contesta la pregunta de la siguiente actividad.
7
6 pulgada
1. En la figura 3.8 se muestran dos tablas que son fijadas con un clavo
a una pared. ¿Cuántas pulgadas penetró el clavo en la pared?
Consolido mis aprendizajes
.
5
pulgadas
12
155 2
2. a) 84 m
1.
Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente.
10
3 pulgada
2. Ramón ha pintado fracciones de una pared en diferentes momentos del día según se muestra en la figura 3.9.
155
3
126
b) No, porque 2 = 84 < 84 .
4
9 + 65 3 + 59 1 = 1817 = 259.57 < 260,
3. a) Como 78 + 55 10
5
2
7
7
1
a) Si la pared tiene una superficie de 8 4 m2, ¿cuánto le falta
por pintar?
el elevador sí puede cargar a las cuatro personas juntas.
4. R. L.
.
13 2
6 m
18 2
7 m
3
b) Si la pintura que le queda alcanza para pintar 2 m2, ¿podrá
pintar toda la pared? Justifiquen su respuesta.
Fig. 3.8
5 2
3 m
Fig. 3.9
Sugerencia didáctica. Verifique que los alumnos diseñen problemas en
los que utilicen todas las fracciones que se presentaron en cada inciso.
.
3. En la figura 3.10 se muestra un elevador cuya carga
78 47 kg
máxima es de 260 kg.
a) Determinen si el ascensor podrá cargar a las cuatro personas juntas. Justifiquen su respuesta.
55 109 kg
.
65
3
5
kg
59
1
2
kg
Fig. 3.10
4. Para cada una de las siguientes operaciones escriban en sus cuadernos un problema que se
resuelva con ellas.
5 185 57
a) 19 + 19 + 19
3 3 4
b) 8 + 4 — 6
7 1 5
c) 1 12 — 3 — 4
Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.
32
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32
¿Cuál sigue?
SECUENCIA
4
S4 Construcción de sucesiones de
Inicio a partir de lo que sé
números o de figuras a partir de
una regla dada en lenguaje común.
Formulación en lenguaje común de
expresiones generales que definen
las reglas de sucesiones con
progresión aritmética o geométrica,
de números y de figuras.
En parejas respondan las preguntas correspondientes a la figura 4.1.
4a generación: Tatarabuelos
3a generación: Bisabuelos
2a generación: Abuelos
1a generación: Padres
Tú
Antecedentes
• Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones de números o figuras que tengan progresión aritmética o geométrica, así
como sucesiones especiales.
• Construcción de sucesiones a partir de la regularidad.
• Resolución de problemas que implican identificar la regularidad de
sucesiones con progresión aritmética, geométrica o especial.
Fig. 4.1
ascendencia.
Antepasados de una
persona.
a) ¿Cuántos bisabuelos te corresponden en tu ascendencia?
b) ¿Cuántos tatarabuelos te corresponden en tu ascendencia?
.
.
Compartan y comenten sus resultados con otras parejas.
Resuelvo y aprendo
Regla general de una sucesión
Una sucesión
numérica es una lista
ordenada de números
que cumplen una
regla dada y que cada
uno de ellos se llama
término.
Entrada
1. Escriban a la izquierda de la figura 4.2 los
cinco primeros términos de la sucesión
numérica según la regla dada.
a) 8
b) 16
Regla: El número
de la posición se
multiplica por 4 y al
resultado se le
suma 5.
.
a) ¿Cuál es el 9º término de la sucesión?
Inicio a partir de lo que sé
Posición
Formen equipos para resolver lo siguiente.
Salida
Fig. 4.2
Resuelvo y aprendo
. ¿Cómo lo obtuvieron?
.
b) ¿Para obtener el término 17 de la sucesión es necesario calcular los términos
anteriores? Justifiquen su respuesta.
Regla general de una sucesión
1. 9, 13, 17, 21 y 25.
a) 41
Se multiplica 9 por 4 y al resultado se le suma 5.
b) No, pues basta con aplicar la regla: (17 × 4) + 5 = 68 + 5 = 73.
.
33
33
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SECUENCIA 4
Página 34
2. 1o
2o
7o
11o
15o
26o
2. Escriban al lado izquierdo de la figura
4.3 los términos indicados.
1
4
49
121
225
676
1o
2o
7o
11o
15o
26 o
Posición
Entrada
Regla: El número
de la posición se
multiplica por
sí mismo.
Salida
Fig. 4.3
3. Escriban los primeros 5 términos de la sucesión cuyo primer número es 2 y cualquier otro número se obtiene multiplicando el anterior por 3.
3. 2, 6, 18, 54, 162.
R. M. Sí, pues la regla dada no está expresada a partir de la posición del número.
.
¿Para obtener el 7º término es necesario calcular los términos anteriores? Justifiquen su respuesta.
Sugerencia didáctica. Tal vez los alumnos respondan que es necesario conocer los términos anteriores, lo cual hasta cierto punto es
correcto ya que aún no han estudiado las potencias de un número. Si
lo considera conveniente, puede indicarles que la regla de la sucesión
es 2 × 3 n–1 , donde n es la posición del elemento que se quiere conocer
y, así el 7o término es 2 × 3 6 = 1 458.
.
Comparen y comenten sus resultados con otro equipo.
4. A partir de la figura 4.4 formen una sucesión de 5 figuras de modo que cada nuevo
término tenga 4 cuadrados más que el anterior, dos a los lados y los otros arriba y
abajo.
4. La figura dada junto con las cuatro siguientes forman la sucesión
pedida:
Fig. 4.4
a) Cuenten los cuadrados que hay en cada figura y con los números que obtengan
formen una sucesión numérica:
a) 5, 9, 13, 17, 21.
Integración
5. Una regla general de una sucesión es una ley que permite obtener
los términos de una sucesión.
6. 3.4, 4.6, 5.8, 7, 8.2, 9.4, 10.6, 11.8.
Integración
5. En grupo, con ayuda del docente, expliquen qué es una regla general de una sucesión y qué
ventaja se tiene al conocerla.
Una progresión
aritmética es una
sucesión en la que
cualquier término,
excepto el primero,
se obtiene sumando
o restando una
cantidad fija (llamada
diferencia) al término
anterior.
34
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.
34
.
6. Escriban los primeros 8 términos de la progresión aritmética en la que el número de
la posición se multiplica por 1.2 y al resultado se le suma 2.2.
.
BLOQUE 1
a) Obtengan la diferencia entre cada pareja de términos consecutivos.
b) ¿Cuál es el término 23?
.
.
7. Respondan las preguntas para cada regla dada.
a) Regla: Al 58 se le resta 4 veces la posición del número.
t ¿Cuáles son los seis primeros términos?
.
t ¿Qué tipo de progresión se forma?
.
Una progresión
geométrica es una
sucesión en la que
cualquier término,
excepto el primero se
obtiene multiplicando
por una cantidad fija
(llamada razón) al
término anterior.
t ¿La progresión es ascendente o descendente? Justifiquen su respuesta.
.
t ¿Cuál es la diferencia o razón?
.
b) Regla: El primer término es 3 y cualquier otro se obtiene multiplicando el término anterior por 4.
t ¿Cuáles son los seis primeros términos?
.
t ¿Qué tipo de progresión se forma?
.
t ¿La progresión es ascendente o descendente? Justifiquen su respuesta.
Una sucesión es
ascendente si
cualquier término,
excepto el primero, es
mayor que el anterior.
Una sucesión es
descendente si
cualquier término,
excepto el primero, es
menor que el anterior.
.
¿Cuál es la diferencia o razón?
.
Elijan un equipo para que exponga sus resultados ante el grupo.
a) La diferencia es 1.2.
b) 29.8
7. a) • 54, 50, 46, 42, 38, 34.
• Es una progresión aritmética.
• Es descendente porque cada término, a excepción del primero, es menor que el anterior.
• La diferencia es 4.
b) • 3, 12, 48, 192, 768, 3 072.
• Se forma una progresión geométrica.
• Es una progresión ascendente porque cada término, a excepción del primero, es mayor que el anterior.
La razón es 4.
Obtención de una regla general de una sucesión
8. a) • Ascendente
• Descendente
• Ascendente
• Ascendente
• Ascendente
b) • La diferencia es 4.
• La diferencia es 6.
Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos respondan que la
diferencia es 6, lo cual es aceptable pues aún no han estudiado números negativos.
Obtención de una regla general de una sucesión
8. Contesten en sus cuadernos las siguientes preguntas para las sucesiones que se dan.
a) ¿La sucesión es ascendente o descendente?
b) ¿Cuál es la diferencia o razón?
c) ¿Es una progresión aritmética o geométrica?
d) ¿Cuáles son los términos 6º, 7º y 8º?
e) Expresen verbalmente una regla general.
t 7, 11, 15, 19, 23,…
t 45, 39, 33, 27, 21,…
t 4, 8, 16, 32, 64,…
Página 35
• La razón es 2.
2
• La diferencia es .
6
• La razón es 3.
c) • Progresión aritmética
• Progresión aritmética
• Progresión geométrica
• Progresión aritmética
• Progresión geométrica
1 5 7 3 11
,
,
,
,
,…
2 6 6 2 6
t 2.1, 6.3, 18.9, 56.7, 170.1,…
t
Cada equipo elija una de las sucesiones anteriores y exponga en el pizarrón sus respectivas respuestas.
35
35
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SECUENCIA 4
(Continúa de la página 35)
d) • 27, 31, 35.
• 5, 9, 3.
• 128, 256, 512.
5 , 17 .
• 13
,
•
510.3,
1
530.9,
4
592.7.
6 2 6
e) • El primer término es 7 y cualquier otro se obtiene sumándole
4 al término anterior.
• El primer término es 45 y cualquier otro se obtiene restándole 6 al término anterior.
• El primer término es 4 y cualquier otro se obtiene multiplicando por 2 al término anterior.
1
• El primer término es 2 y cualquier otro se obtiene sumándole 62 al término anterior.
• El primer término es 2.1 y cualquier otro se obtiene multiplicando por 3 al término anterior.
9. Escriban debajo de cada figura el número de puntos que la forman.
Fig. 4.5
a) ¿Qué tipo de progresión se formó con los números que escribieron?
.
b) Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de puntos de cualquier figura.
.
c) ¿Cuántos puntos tendrá la 9ª figura?
.
10. A partir de la siguiente sucesión de figuras completen la tabla.
Página 36
9. De izquierda a derecha: 6 , 11, 16, 21.
a) Una progresión aritmética.
b) El primer término es 6 y cualquier otro se obtiene sumándole 5
al término anterior.
c) 46
10.
Posición
1a
2a
3a
4a
5a
6a
Número
2
7
12
17
22
27
Diferencia
5
5
5
5
5
5
Fig. 4.6
Posición de la figura
1a
2a
3a
4a
5a
6a
Número de fichas de dominó
Diferencia o razón del número de fichas
entre dos figuras consecutivas
a) Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de fichas
de cualquier figura de la sucesión.
.
11. A partir de la siguiente sucesión de figuras completen la tabla.
a) La primera figura tiene 2 fichas y las siguientes tienen 5 más
con respecto a la anterior.
11.
Fig. 4.7
Posición
1a
2a
3a
4a
5a
6a
Número
1
3
9
27
81
243
Razón
3
3
3
3
3
3
Posición de la figura
1º
2º
3º
4º
5º
6º
Número de triángulos rojos
Diferencia o razón del número de triángulos
rojos entre dos figuras consecutivas
a) Expresen de manera verbal una regla que permita determinar el número de trián-
a) La primera figura tiene un triángulo rojo y las siguientes tienen
el triple con respecto a la anterior.
gulos rojos de cualquier figura de la sucesión.
.
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36
BLOQUE 1
Consolido mis aprendizajes
Consolido mis aprendizajes
1. De manera individual retoma la actividad inicial y determina el número de ascendentes familiares
para las generaciones 9 y 13.
Página 37
.
1. Generación 9: 512
Generación 13: 8 192
2. Regla 1: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32.
Regla 2: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32.
a) Las sucesiones son iguales.
Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente.
2. Obtengan los primeros 10 términos de las sucesiones determinadas por las siguientes reglas:
Regla 1. El primer término de la sucesión es 5 y cualquier otro se obtiene sumando 3 al término
anterior.
.
Regla 2. El número de la posición se multiplica por 3 y al resultado se le suma 2.
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que el resultado anterior indica que una misma sucesión se puede obtener con distintas
reglas de formación.
.
a) ¿Cómo son entre sí las sucesiones que obtuvieron en sus dos respuestas anteriores?
.
3. Escriban debajo de cada figura el número de cuadrados verdes que la forman.
a) ¿Qué tipo de progresión se obtuvo?
b) ¿Cuál es la razón o diferencia?
3. 3, 8, 13, 18.
a) Es una progresión aritmética.
b) 5
c) El primer término es 3 y cualquier otro se obtiene sumándole 5
al término anterior.
4. 1, 5, 25, 125.
a) Es una progresión geométrica.
b) El primer término es 1 y cualquier otro se obtiene multiplicando por 5
al término anterior.
c) 15 625
.
.
Fig. 4.8
c) Expresen verbalmente una regla que permita conocer el número de cuadrados verdes que
tiene cualquier figura de la sucesión.
.
4. Escriban debajo de cada figura el número de pentágonos rojos que la forman.
a) ¿Qué tipo de progresión se obtuvo?
.
Fig. 4.9
b) Expresen verbalmente una regla que permita conocer el número de pentágonos rojos que
tiene cualquier figura de la sucesión.
.
c) ¿Cuántos pentágonos rojos tendrá la 7ª figura?
.
37
37
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SECUENCIA
Fórmulas y figuras
S5 Explicación del significado de
5
fórmulas geométricas,
al considerar las literales como
números generales
con los que es posible operar.
Antecedentes
• Construcción de las fórmulas para calcular el área de triángulos
y cuadriláteros.
• Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el
área de un rectángulo.
• Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos.
Ideas erróneas
1. Es posible que algunos alumnos piensen que en determinadas fórmulas sólo se pueden utilizar ciertas literales. Esto es falso, pues
algunas de ellas se usan por convención o por costumbre.
Inicio a partir de lo que sé
Formen parejas para contestar las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo se calcula el perímetro del marco de la figura 5.1?
.
l
78 cm
Fig. 5.1
Fig. 5.2
l
78 cm
b) Si el marco fuera de 72 cm de lado, ¿cómo se obtendría el perímetro?
.
c) ¿Cómo se obtendría el perímetro si los lados midieran 57 cm?
.
d) ¿Cómo se representa el perímetro del marco de la figura 5.2?
.
Resuelvo y aprendo
Perímetros
Resuelvan en equipos las siguientes actividades.
Inicio a partir de lo que sé
1. En la figura 5.3 se muestra una cancha de basquetbol. ¿Cuál
Página 38
es su perímetro?
a) Se suman las medidas de todos los lados del marco:
78 + 78 + 78 + 78.
b) De la misma manera: 72 + 72 + 72 + 72.
c) De la misma manera: 57 + 57 + 57 + 57.
d) l + l + l + l .
a) Expresen verbalmente cómo se calcula el perímetro de
un rectángulo.
.
b) Escriban debajo de cada cancha las operaciones necesarias para calcular su perímetro.
Sugerencia didáctica. No se espera que los alumnos obtenga la expresión 4l, pero sí que obtengan la suma l + l + l + l.
15 m
38
38
y
P=
105 m
Fig. 5.4
P=
Fig. 5.3
x
68 m
Fig. 5.5
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28 m
.
BLOQUE 1
Resuelvo y aprendo
c) Tachen las expresiones que no corresponden al perímetro de un rectángulo.
t 2x + 2y
t 2(x + y)
t 2x – 2y
t x+y+x+y
Perímetros
Analicen y comenten el siguiente texto.
Te invito a…
visitar la página
electrónica http://
www.edutics.mx/Zio.
Elige Matemáticas 1
y ve a las preguntas
7 y 8, las cuales te
ayudarán a reforzar
lo trabajado en esta
secuencia. Además,
podrás observar un
video y trabajar con
actividades interactivas
(30/06/13).
Una expresión algebraica es aquella que representa cantidades mediante la
combinación de números, letras y signos. Con ellas podemos traducir expresiones
del lenguaje habitual al lenguaje matemático.
2. Calculen el perímetro de los triángulos de la figura 5.6.
9m
7 cm
3 cm
11 dm
9m
11 dm
8 cm
9m
P=
P=
4 dm
Fig. 5.6
P=
a) ¿Cómo se obtiene el perímetro de cualquier triángulo?
.
b) Para cada triángulo de la figura 5.7, obtengan una expresión algebraica que represente su perímetro.
Fig. 5.7
d
a
1. 86 m
a) 2 veces el largo más 2 veces el ancho.
b) Fig. 5.4: 105 + 105 + 68 + 68
Fig. 5.5: y + y + x + x
Página 39
c) 2x − 2y
2. Triángulo morado: 3 + 7 + 8 = 18 cm
Triángulo rojo: 11 + 11 + 4 = 26 dm
Triángulo verde: 9 + 9 + 9 = 27 m
a) Se suman las medidas de los tres lados.
b) Triángulo rojo: a + b + c unidades.
Triángulo azul: d + d + r
Triángulo naranja: m + m + m
3. Cometa de la izquierda: 72 + 72 + 35 + 35
Cometa de la derecha: a + a + b + b
a) La medida de sus lados, a la del lado más largo, y b la del lado
más corto.
d
m
c
m
r
P=
b
m
P=
P=
3. Escriban debajo de cada una de
las cometas de la figura 5.8 operaciones que permitan calcular
su perímetro.
35
c
m
bc
m
m
ac
72
c
b en la cometa de la derecha?
m
a) ¿Qué representan las letras a y
Fig. 5.8
.
39
39
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SECUENCIA 5
Página 40
4. Para cada papalote de la figura 5.9, escriban dos expresiones algebraicas diferentes
con las que puedan calcularse los respectivos perímetros.
4. Hexágono regular: a + a + a + a + a + a = 6 × a = 6a
Octágono regular: b + b + b + b + b + b + b + b = 8 × b = 8b
b
a
Integración
5.
Figura
a
Fórmula
del perímetro
Expresión verbal de
la fórmula
P = 2a + 2b
El perímetro del
rectángulo es igual a
la suma del doble del
ancho y el doble del
largo.
b
P = 4l
l
P=
P=
P=
P=
El perímetro del
rombo es igual a
cuatro veces la
longitud de uno de
sus lados.
Integración
5. En grupo, con ayuda del docente, analicen el siguiente texto y luego completen la tabla.
Las expresiones 3 a, 3a y 3(a) son formas diferentes de representar tres veces a.
Figura
c
d
b
P=a+b+c+d
a
P = 5l
l
Fig. 5.9
Comparen sus respuestas con otro equipo.
El perímetro de un
cuadrilátero es igual
a la suma de las
longitudes de
los lados.
Fórmula del perímetro
Expresión verbal del la fórmula
a
b
l
El perímetro de un
pentágono regular es
igual a cinco veces la
longitud de uno de
sus lados.
c
d
b
a
l
Validen las actividades 1 a 4 con las expresiones que acaban de obtener.
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BLOQUE 1
Página 41
Áreas
Resuelvan en equipos las siguientes actividades.
6. Expresen verbalmente la manera de obtener el área de las puertas de la figura 5.10.
Fig. 5.10
Sugerencia didáctica. En las actividades de esta sección se solicita
a los alumnos que expresen en forma algebraica y en forma verbal el
procedimiento o fórmula para hacer cálculos de áreas y perímetros,
de esta manera se pretende que el alumno identifique las literales
con números generales. También se propicia el uso de literales arbitrarias para representar cantidades. Los diferentes procedimientos
para encontrar una misma respuesta dan lugar al manejo de expresiones algebraicas equivalentes.
Como aprendiste en
grados anteriores, la
fórmula para el área
de un rectángulo es
A = b h, la cual
proporciona la
cantidad de unidades
cuadradas que hay
en él.
h
270 cm
a
b
Áreas
185 cm
Como aprendiste en
grados anteriores, la
fórmula para el área
de un romboide puede
deducirse a partir de
un rectángulo.
b
.
.
A=b h
Escriban una expresión algebraica para el área de la puerta de la derecha.
.
7. Escriban las operaciones necesarias para calcular el área de cada banderín (fig. 5.11).
31 cm
m
x
65 cm
A=
A=
A=
Integración
Integración
8. c) Números.
b
Fig. 5.11
Comparen sus respuestas con otro equipo.
h
Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que las letras que
representan números se llaman literales. Comente la idea errónea 1 y
aclare que una literal puede ser la letra que se desee, pero algunas se
utilizan más frecuentemente que otras por costumbre. Por ejemplo,
se utiliza la letra h para referirse a la altura de un rectángulo, y b para
su base.
n
y
6. Puerta café: se debe multiplicar 185 cm por 270 cm.
Puerta blanca: se debe multiplicar a por b.
A = ab.
31 × 65
7. Banderín de México: 2 cm2
xy
Banderín de Brasil: 2 unidades cuadradas
mn
Banderín de Argentina: 2 unidades cuadradas
Como aprendiste en
grados anteriores, la
fórmula para el área
del triángulo puede
obtenerse de otra
figura cuya área sea
conocida.
b h
A= 2
8. En grupo, con ayuda del docente, elijan la opción correcta.
¿Qué representan las letras en las fórmulas?
a) Sonidos
b) Operaciones
c) Números
h
b
41
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SECUENCIA 5
Consolido mis aprendizajes
Consolido mis aprendizajes
1. De manera individual escribe la fórmula para calcular el área de un cuadrado cualquiera y
explícala con el lenguaje habitual.
Página 42
1. Si el lado del cuadrado mide l, la formula es A = l × l.
Multiplicar la medida de uno de sus lados por ella misma.
2.
.
Formen equipos de tres integrantes para resolver lo siguiente.
2. Marquen con las figuras cuyo perímetro pueda calcularse con 2a + 2b, y con
perímetro pueda calcularse con 4a.
Como aprendiste en
grados anteriores, la
fórmula para el área
del trapecio puede
obtenerse de otra
figura cuya área sea
conocida.
A=
(B + b) h
2
Fig. 5.12
h
3. La fórmula a) corresponde con el área del trapecio, la b) con la del
rombo, y la c) con el romboide.
p
c) A = p × q
b) A = B × b
2
q
B
3. Relacionen las columnas escribiendo en cada recuadro la letra que le corresponde según la
fórmula.
b
B
a) A =
(M + m) r
2
b) A = B 2 b
m
r
M
las que su
a) A = (M + m) × r
2
b
Como aprendiste en
grados anteriores, la
fórmula para el área
del rombo puede
obtenerse de otra
figura cuya área sea
conocida.
c) A = p q
Fig. 5.13
D d
A= 2
4. a) Romboide: el área del romboide se calcula multiplicando la base
por la altura.
b) Trapecio: el área del trapecio se calcula multiplicando la suma
de la base mayor y la base menor por la altura, y el resultado se
divide entre 2.
c) Rombo: el área del rombo se calcula multiplicando la diagonal
mayor por la diagonal menor, y el resultado se divide entre 2.
4. Escriban en lenguaje coloquial el significado de cada una de las fórmulas anteriores.
d
a) Romboide:
.
D
b) Trapecio:
.
c) Rombo:
.
Comparen los procedimientos y las respuestas con otros equipos.
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42
Con regla,
escuadra y compás
SECUENCIA
6
S6 Trazo de triángulos y
Inicio a partir de lo que sé
En una hoja blanca tracen con la escuadra y el cartabón un rectángulo de 12 cm de base y 7 cm de
altura.
Comparen sus procedimientos con otras parejas.
Antecedentes
Resuelvo y aprendo
Trazo de triángulos
Formen equipos para resolver lo siguiente.
1. Con su juego de geometría tracen sobre la figura 6.1 un triángulo ABC de modo que
el lado AB mida 9 cm; el ángulo con vértice en A, 52° y el lado AC, 6 cm.
• Clasificación de triángulos con base en la medida de sus lados y
ángulos. Identificación de cuadriláteros que se forman al unir dos
triángulos.
• Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría).
• Problemas que implican el uso de las características y propiedades
de triángulos y cuadriláteros.
Inicio a partir de lo que sé
Página 43
A
Con la escuadra y
el cartabón puedes
trazar rectas paralelas
y perpendiculares.
cuadriláteros mediante el uso
del juego de geometría.
Formen parejas para resolver la siguiente actividad.
Fig. 6.1
a) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice B?
.
b) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice C?
.
c) Considerando la medida de los ángulos, el triángulo que trazaron es
.
2. Midan los lados y ángulos de los triángulos de la figura 6.2 (escriban sobre cada
triángulo las medidas que obtengan).
Fig. 6.2 [Continúa]
R. M. Para trazar el rectángulo primero se traza un segmento de 12 cm,
después, desde uno de sus extremos se traza un segmento perpendicular.
El segmento anterior se prolonga hasta medir 7 cm. Se traza otro segmento
perpendicular al que mide 7 cm y en la misma dirección que el segmento
inicial; este último se prolonga hasta medir 12 cm y, del punto donde termina, se traza un último segmento que forme el rectángulo.
Resuelvo y aprendo
Trazo de triángulos
1.
a) Aproximadamente 41.7°.
b) Aproximadamente 86.3°.
c) Acutángulo
C
Notación
Los grados se
simbolizan con un
círculo pequeño (°) que
se coloca junto al valor
del ángulo.
6 cm
9 cm
43
B
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SECUENCIA 6
(Continúa de la página 43)
Fig. 6.2 [Concluye]
Sugerencia didáctica. Las respuestas pueden variar hasta por un grado pues el transportador no permite determinar décimas de grados.
2.
Isósceles acutángulo
Medidas aproximadas
Isósceles rectángulo
Medidas aproximadas
47°
45°
6 cm
7 cm
6 cm
66.5°
a) Con su juego de geometría tracen estos triángulos en una hoja blanca.
b) Comprueben que los triángulos que trazaron son iguales a los originales colocando la hoja blanca sobre los triángulos del libro.
c) Anoten sobre cada triángulo el tipo de triángulo que es según la medida de sus
lados.
d) Anoten en cada triángulo el tipo de triángulo que es según la medida de sus ángulos.
5 cm
3. Escriban debajo de las figuras 6.3 a 6.6 en qué consiste cada paso. Efectúen los trazos en sus cuadernos.
90°
66.5°
45°
5 cm
Página 44
Isósceles acutángulo
Medidas aproximadas
Escaleno rectángulo
Medidas aproximadas
Fig. 6.4
Fig. 6.3
67°
4.3 cm
5.7 cm
67°
46°
57°
1°
6.8 cm
2°
3.7 cm
90°
5.7 cm
.
33°
.
5.7 cm
a) R. L.
Sugerencia didáctica. Guíe a los alumnos en el procedimiento: primero se traza un lado del triángulo (de preferencia el horizontal); después, desde sus extremos se trazan los otros lados con los ángulos
indicados y se prolongan hasta obtener la longitud requerida.
b), c) y d) R. L.
44
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Fig. 6.6
Fig. 6.5
3°
44
4°
.
.
a) Considerando la longitud de los lados, el triángulo trazado es
.
BLOQUE 1
(Continúa de la página 44)
3. 1o Se traza un segmento con la ayuda de una regla.
2o Se apoya el compás en un extremo del segmento, con una abertura
igual a la longitud del segmento, y se traza un arco de circunferencia.
3o Se repite el paso 2o, pero ahora desde el otro extremo.
4o Se unen los extremos del segmento con el punto de intersección de los arcos.
a) equilátero.
4. Mediante un procedimiento similar al de la actividad anterior, tracen en una hoja
blanca un triángulo cuyos lados sean iguales a los siguientes segmentos.
Comprueben con la regla graduada que los lados del triángulo que trazaron miden lo
mismo que los segmentos originales.
a) Considerando la longitud de los lados, el triángulo es
.
Página 45
4.
5. Ordenen las siguientes imágenes de manera que obtengan un procedimiento para
copiar un ángulo.
a) Es un triángulo escaleno.
5.
1
2
3
4
5
6
Figuras 6.7 a 6.12
Comprueben con el transportador el procedimiento que obtuvieron.
45
45
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
SECUENCIA 6
Página 46
6. Utilicen el procedimiento de la actividad anterior para trazar sobre el segmento AB
un triángulo ABC con ángulos iguales a los ángulos dados.
C
6.
Fig. 6.13
A
B
a) 40°, aproximadamente.
b) 80°, aproximadamente.
c) Es un triángulo acutángulo.
A
7. a) Se pueden trazar tantos triángulos como se desee. Primero se
traza el segmento de 14 cm y desde uno de sus extremos se traza
otro segmento que forme un ángulo de 68°. A continuación se
une el extremo del último segmento con el otro extremo del segmento de 14 cm, pero el segundo que se trazó puede tener la
medida que sea, entonces pueden trazarse tantos triángulos
como uno desee.
b) Se pueden trazar tantos triángulos como se desee. El tercer lado
debe ser menor que 15.2 cm y mayor que 9.7 cm, entonces puede
tener infinidad de medidas, por ejemplo, 9.8 cm, 9.9 cm o 9.85 cm.
c) No, no es posible. Al tratar de unir las tiras no se unen dos de
sus extremos.
d) Sí, sí es posible unir todos los extremos de las tiras de papel.
46
B
a) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice B?
.
b) ¿Cuánto mide el ángulo en el vértice C?
.
c) Considerando la medida de los ángulos, el triángulo que trazaron es
.
Comprueben que los ángulos del triángulo que trazaron son iguales a los originales.
7. Respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas (justifiquen su respuesta).
a) ¿Cuántos triángulos pueden trazarse con un lado de 14 cm y un ángulo de 68°?
b) ¿Cuántos triángulos distintos pueden trazarse si se sabe que el lado mayor mide
15.2 cm y que el lado menor mide 9.7 cm?
c) Corten una tira de papel de 9 cm, una de 5 cm y otra de 3 cm. ¿Es posible formar
un triángulo con ellas?
d) Corten una tira de papel de 9 cm, una de 5 cm y otra de 7 cm. ¿Es posible formar
un triángulo con ellas?
Integración
8. ( ) Cuando se conocen las medidas de sus 3 ángulos.
( ) Cuando se conocen las medidas de dos ángulos y la longitud de
un lado.
( ) Cuando se conocen la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
( ) Cuando se conocen la medida de un lado y sus ángulos adyacentes.
( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es menor a
la medida del lado restante.
( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es mayor a
la medida del lado restante.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
B
A
Integración
8. En grupo, con ayuda del docente, marquen con las condiciones con las que se construye un
único triángulo, con las condiciones con las que se puede construir más de un triángulo y deja
vacío si no se puede construir ningún triángulo.
( ) Cuando se conocen las medidas de sus tres ángulos.
( ) Cuando se conocen las medidas de dos ángulos y la longitud de un lado.
( ) Cuando se conocen la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
( ) Cuando se conocen la medida de un lado y sus ángulos adyacentes.
( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es menor a la medida del lado restante.
( ) Cuando la suma de la medida de dos de sus lados es mayor a la medida del lado restante.
Validen las actividades 1 a 7 con las condiciones anteriores.
46
BLOQUE 1
Trazo de cuadriláteros
Página 47
Formen equipos para las siguientes actividades.
Trazo de cuadriláteros
9. (Medidas aproximadas)
9. Midan los lados y ángulos de los cuadriláteros de la figura 6.14 (anoten sobre cada
uno las medidas correspondientes).
Te invito a…
visitar la página http://
www.edutics.mx/4uL
en la que encontrarás
más información sobre
el trazo de triángulos
y cuadriláteros
(30/06/13).
3.7 cm
73o
107o
107o
3.7 cm
7.3 cm
3.7 cm
73o
3.7 cm
67o
103o
4.2 cm
4.2 cm
103o
67o
7.3 cm
a) R. L.
Sugerencia didáctica. Si observa dificultad al trazar los cuadriláteros, comente con los alumnos que pueden comenzar por trazar uno de
los segmentos, desde cada uno de sus extremo trazar los segmentos
con los ángulos indicados y unir los otros extremos de los dos últimos segmentos que trazaron.
Fig. 6.14
a) Con su juego de geometría tracen en una hoja blanca estos cuadriláteros.
Comprueben que los cuadriláteros que trazaron son iguales a los originales sobreponiendo la hoja blanca al libro.
10. R. M.
• Se traza un segmento y un punto P sobre él.
• Con un compás y con centro en el punto P se traza un arco de
circunferencia de cualquier abertura que interseque al segmento de un lado del punto, y otro arco, de la misma abertura
que el anterior, que lo haga del otro lado del punto.
• Luego, con centro en uno de los puntos de intersección obtenidos, se traza otro arco de circunferencia que tenga una abertura mayor a la utilizada en el paso anterior y se traza otro arco
de circunferencia, con la misma abertura y con centro en el
otro punto de intersección.
• Los dos arcos anteriores se intersecan en dos puntos. Se traza la
recta que pasa por esos dos puntos, que es perpendicular al segmento inicial.
10. Con su transportador analicen la figura 6.15 y, a partir de ella, escriban en sus cuadernos un procedimiento para trazar rectas perpendiculares.
P
A
B
Fig. 6.16
Fig. 6.15
11. Utilicen el procedimiento que obtuvieron en la actividad anterior para trazar, sobre
el segmento AB de la figura 6.16, un cuadrado ABCD.
47
47
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SECUENCIA 6
(Continúa de la página 47)
11. El procedimiento anterior se
muestra en la siguiente figura.
Consolido mis aprendizajes
1. De manera individual traza con la escuadra y el cartabón, en una hoja blanca, los siguientes
cuadriláteros.
Fig. 6.17
Consolido mis aprendizajes
Página 48
1. R. L.
Compara tus procedimientos y trazos con los de otros compañeros.
Organizados en equipos de tres integrantes realicen las siguientes construcciones.
Sugerencia didáctica. Coménteles que primero deben medir los lados
y los ángulos de los cuadriláteros para después poder reproducirlos.
2. Solamente con la regla y compás tracen, en una hoja blanca, un triángulo ABC con los siguientes
elementos.
2. Procedimiento: sobre algún segmento, por ejemplo sobre AB, se copia el ángulo dado, de modo que el vértice A coincida. Luego, se
prolonga un lado del ángulo, el que no es AB, hasta que sea igual a
la medida del segmento AC. Por último se traza el lado BC.
3. a) Sólo se puede trazar un cuadrado con esas características.
b) Sólo se puede trazar un rectángulo con esas características.
c) Sólo se puede trazar un triángulo con esas características.
d) Se pueden trazar muchos trapecios con esas características,
entonces se puede agregar, por ejemplo, la condición de que la
altura mida 7 cm.
e) Se pueden trazar muchos triángulos escalenos con esas
características; se puede agregar, por ejemplo, la condición de
que el ángulo entre los segmentos dados mida 60°.
4. a) R. L.
b) R. L.
A
B
C
A
a) Cuadrado
27
Lado: 2 cm
b) Rectángulo
c) Triángulo equilátero
Largo: 9.5 cm
Lado: 9 cm
Ancho: 6 cm
d) Trapecio isósceles
e) Triángulo escaleno
Base mayor: 10.4 cm
Lado a: 9 cm
Base menor: 8 cm
Lado b: 7.5 cm
4. Asignen medidas a las figuras indicadas y tracen los cuadriláteros resultantes.
Sugerencia didáctica. Si el tiempo lo permite, pida a los alumnos
que intercambien las asignaciones anteriores con algún compañero
y trace los polígonos requeridos, de modo que cada alumno trace dos
trapecios y dos romboides.
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Fig. 6.18
3. Tracen en sus cuadernos las figuras con las medidas indicadas. En los casos donde pueda
construirse más de una figura, agreguen una condición para que la construcción sea única.
a) Trapecio isósceles de base mayor
48
A
Comparen sus triángulos con otros equipos.
base de
cm, lados no paralelos
b) Romboide con un par de lados paralelos de
mm y los ángulos agudos de
48
cm y ángulos de la
°.
mm, el otro par de lados paralelos de
°.
Rectas y puntos notables del triángulo
SECUENCIA
7
S7 Trazo y análisis de las
Inicio a partir de lo que sé
propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y
bisectrices en un triángulo.
Formen parejas, analicen lo siguiente, tracen lo que se pide y contesten las preguntas.
Una comunidad conformada por tres poblados necesita construir una escuela (fig. 7.1). Ubiquen un
punto para construir la escuela de tal manera que todos los estudiantes caminen la misma distancia
para llegar a ella.
Antecedentes
• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de
geometría.
C
Ideas erróneas
A
1. El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen
una altura, dado que las otras dos coinciden con los lados.
B
Fig. 7.1
Inicio a partir de lo que sé
a) ¿Cómo encontraron dicho punto?
.
Página 49
b) Los poblados forman el triángulo ABC. ¿La escuela queda dentro o fuera del triángulo? ¿Por qué?
.
C
Resuelvo y aprendo
Rectas que dividen en dos
En equipos resuelvan las siguientes actividades.
Fig. 7.3
Paso 1:
Fig. 7.2
A
B
1. Describan los pasos que se muestran en las
figuras 7.2 a 7.5 para trazar una recta que divida un ángulo dado en dos partes iguales.
.
49
a) Una manera de resolver el problema consiste en elegir puntos
sobre el mapa y medir la distancia. En el punto que esté
igualmente separado de las tres comunidades se debe construir
la escuela.
b) Queda fuera del triángulo ABC, porque el punto donde se debe
construir la escuela está fuera del triángulo que forman los
tres poblados.
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SECUENCIA 7
(Continúa de la página 49)
Resuelvo y aprendo
Rectas que dividen en dos
1. Paso 1: Con un compás y con centro en el vértice del ángulo se trazan dos arcos de circunferencia, de modo que uno interseque a un
lado del ángulo y el otro al otro lado del ángulo.
Fig. 7.4
Fig. 7.5
Paso 2:
Paso 3:
Página 50
.
Paso 2: Sin modificar la abertura del compás y con centro en uno
de los puntos de intersección anteriores se traza un arco de circunferencia en la parte interna del ángulo. Después se traza otro
arco de circunferencia, con la misma abertura, pero con centro en
el otro punto de intersección, de modo que interseque al arco de
circunferencia anterior.
Paso 3: Se traza una recta que pase por el vértice del ángulo y por
el punto de intersección de los arcos anteriores.
.
2. Reproduzcan en sus cuadernos los trazos de la figura 7.6 para obtener la recta perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio.
C
A
2. • Con un compás y con centro en el punto A se traza una
circunferencia.
• Sin modificar la abertura, se traza otra circunferencia pero con
centro en B.
• Si las circunferencias no se intersecan o se intersecan en un
solo punto, se elige una abertura mayor y se repiten los dos
pasos anteriores.
• La recta que pasa por los dos puntos de intersección de las
circunferencias es una recta perpendicular al segmento AB que
pasa por su punto medio.
Fig. 7.6
B
D
a) Describan en sus cuadernos el procedimiento.
Integración
3. En grupo, con ayuda del docente, analicen las siguientes definiciones.
Una bisectriz es una semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en
dos partes iguales.
Una mediatriz es una recta perpendicular a un segmento que se traza por su punto
medio.
a) ¿En cuál de las actividades anteriores se trazó una bisectriz?
.
b) ¿En cuál de las actividades anteriores se trazó una mediatriz?
.
Validen las actividades 1 y 2 con regla graduada y transportador.
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50
BLOQUE 1
(Continúa de la página 50)
Rectas y puntos notables del triángulo
4. Identifiquen las definiciones con las rectas que les corresponden en cada triángulo.
Integración
3. a) En la actividad 1.
b) En la actividad 2.
Rectas notables del triángulo
Mediana
Es el segmento que pasa
por un vértice y el punto
medio del lado opuesto
a dicho vértice.
Mediatriz
Es la recta que pasa por
el punto medio de un lado
y es perpendicular a éste.
Bisectriz
Es la recta que pasa por
un vértice y divide el
ángulo interno de dicho
vértice en dos partes
iguales.
Altura
Es la recta o segmento que
es perpendicular a un lado
o su prolongación y pasa
por el vértice opuesto
a dicho lado.
Página 51
Rectas y puntos notables del triángulo
4.
Altura
Mediatriz
Altura
Mediatriz
Fig. 7.7
Bisectriz
5.
5. En cada uno de los lados o vértices, según sea el caso, de los siguientes triángulos,
dibujen las rectas que se solicitan.
Mediatrices
Mediana
Mediatrices
Bisectriz
Mediana
Mediatrices
Mediatrices
Circuncentro
Circuncentro
Fig. 7.8
Fig. 7.9
51
51
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SECUENCIA 7
Página 52
Alturas
Alturas
Alturas
Alturas
Ortocentro
Ortocentro
Fig. 7.10
Fig. 7.11
Bisectrices
Medianas
Medianas
Bisectrices
Incentro
Baricentro
Sugerencia didáctica. Cada tipo de recta es única para cada lado o
ángulo. Así, los trazos de los alumnos deben ser iguales a los que se
indican en las figuras anteriores.
Fig. 7.12
a) Las tres rectas de cada tipo siempre se intersecan en un solo
punto.
b) Figura 7.8: Circuncentro Figura 7.9: Circuncentro
Figura 7.10: Ortocentro Figura 7.11: Ortocentro
Figura 7.12: Incentro
Figura 7.13: Baricentro
c) El circuncentro y el ortocentro.
Fig. 7.13
a) ¿Qué característica en común se observa que ocurre cuando se trazan las tres
rectas de cada tipo correspondientes a cada lado del triángulo?
.
b) Escriban en el recuadro de cada figura el nombre del punto correspondiente de
acuerdo con las siguientes definiciones.
Incentro: Punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo.
Circuncentro: Punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo.
Ortocentro: Punto donde se intersecan las alturas de un triángulo.
Baricentro: Punto donde se intersecan las medianas de un triángulo.
c) ¿Cuáles de estos puntos pueden localizarse fuera del triángulo?
.
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52
BLOQUE 1
Página 53
6. Tracen las mediatrices y determinen el circuncentro del triángulo de la figura 7.14.
6.
Fig. 7.14
a) Que la distancia del circuncentro a cada vértice es igual.
b) El centro de la circunferencia se localiza en el circuncentro.
a) Midan la distancia del circuncentro a cada vértice. ¿Qué resultado obtienen?
7.
.
b) Tracen una circunferencia que pase por vértices del triángulo. ¿Dónde se localiza
el centro de dicha circunferencia?
.
7. Tracen la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura 7.15.
La circunferencia
circunscrita a un
polígono es la que
pasa por todos sus
vértices.
a) Una vez que ya se haya trazado la circunferencia circunscrita
se eligen tres puntos sobre ella para formar un nuevo triángulo,
como el de la figura anterior.
Fig. 7.15
a) Dibujen un triángulo que tenga el mismo circuncentro que el triángulo anterior. Expliquen su procedimiento.
.
53
53
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SECUENCIA 7
Página 54
8. a) Aproximadamente 2.2 cm cada una.
b) Corresponde con el incentro del triángulo.
c) R. M. Se pueden trazar algunas de las rectas notables del
triángulo y ver para cuáles de ellas es el punto de intersección.
d) Su centro se localiza en el incentro.
8. Midan la longitud de los segmentos punteados en la figura 7.16 y respondan las
preguntas.
Te invito a…
visitar la página
http://www.edutics.
mx/4Lq en la que
encontrarás una
aplicación interactiva
con GeoGebra
relacionada con las
líneas y los puntos
principales del
triángulo (30/06/13).
Fig. 7.16
a) ¿Cuanto miden las líneas punteadas?
Integración
9.
b) ¿A qué punto notable del triángulo corresponde donde se intersecan las líneas
punteadas?
.
c) ¿Expliquen en sus cuadernos el procedimiento que emplearon para resolver la
pregunta del inciso anterior?
Características
Mediatrices Alturas Medianas Bisectrices
Son perpendiculares a los
lados o a las prolongaciones
de éstos.
Pasan por un vértice del
triángulo.
Cortan o tocan los lados del
triángulo en sus puntos medios.
Las tres rectas correspondientes
a cada lado del triángulo se
intersecan en un punto.
El punto donde se intersecan
puede estar dentro o fuera
del triángulo.
El punto de intersección es el
centro geométrico del triángulo.
Pueden no pasar dentro del
triángulo pero sí tocarlo en un
vértice.
El punto donde se intersecan
está a la misma distancia de
los tres lados del triángulo.
d) Tracen una circunferencia que toque cada lado del triángulo. ¿Dónde se localiza
su centro?
.
Integración
9. En grupo, con ayuda del docente, indiquen con
recta.
Característica
la propiedad que corresponde a cada tipo de
Mediatrices
Alturas
Son perpendiculares a los lados o a las
prolongaciones de éstos.
Pasan por un vértice del triángulo.
Cortan o tocan los lados del triángulo en sus
puntos medios.
Las tres rectas correspondientes a cada lado
del triángulo se intersecan en un punto.
El punto donde se intersecan puede estar
dentro o fuera del triángulo.
El punto de intersección es el centro
geométrico del triángulo.
Pueden no pasar dentro del triángulo pero sí
tocarlo en un vértice.
El punto donde se intersecan está a la misma
distancia de los tres lados del triángulo.
Validen las actividades 4 a 8 a partir de la tabla que acaban de completar.
54
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.
54
Medianas
Bisectrices
BLOQUE 1
Página 55
10. Dibujen las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas del triángulo equilátero (fig. 7.17).
10. a) Las medianas, las mediatrices, las bisectrices y las alturas de los correspondientes lados y ángulos de un
triángulo equilátero coinciden. Además, todas se intersecan en un solo
punto.
a) ¿Qué afirmación se puede hacer de las cuatro rectas notables en el triángulo rectángulo?
.
Fig. 7.17
11. En la siguiente figura las rectas amarillas son las mediatrices, las
verdes son las medianas, las azules las alturas y las cafés las bisectrices. La recta roja corresponde con una recta notable de cada tipo.
11. Dibujen las medianas, las mediatrices, las bisectrices y
las alturas del triángulo isósceles (fig.7.18).
a) Coinciden.
a) ¿Qué afirmación se puede hacer de las cuatro rectas
notables correspondientes al lado desigual de un triángulo isósceles?
.
Fig. 7.18
12. Dibujen las alturas y mediatrices del triángulo rectángulo (fig. 7.19).
12. Las mediatrices son las rectas rojas y las
alturas las verdes.
a) Que dos de las alturas de un triángulo rectángulo coinciden con dos
de sus lados y se intersecan en uno de
sus vértices.
Fig. 7.19
a) ¿Qué afirmación se puede hacer de las alturas en un
triángulo rectángulo?
.
Sugerencia didáctica. Insista en que las mediatrices de un triángulo
rectángulo coinciden en el punto medio del lado más largo del triángulo.
Integración
13. En grupo, con ayuda del docente, respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas.
a) ¿En qué tipo de triángulo el incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro se localizan sobre
la bisectriz del ángulo diferente: isósceles o escaleno?
b) ¿En qué tipo de triángulo el incentro, ortocentro, circuncentro y baricentro son el mismo
punto: isósceles o equilátero?
c) ¿En qué tipo de triángulo el ortocentro se localiza en uno de sus vértices: acutángulo o
rectángulo?
d) ¿En qué tipo de triángulo el circuncentro se localiza en el punto medio de su lado más largo:
rectángulo u obtusángulo?
Integración
13. a) En un triángulo isósceles.
b) En un triángulo equilátero.
c) En un triángulo rectángulo.
d) En un triángulo rectángulo.
Validen las actividades 10 a 12 a partir de las respuestas que acaban de obtener.
55
55
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SECUENCIA 7
Consolido mis aprendizajes
Consolido mis aprendizajes
1. De manera individual traza el circuncentro de los puntos A, B, y C de la figura 7.20.
Página 56
1.
C
C
A
A
B
B
2.
Fig. 7.20
D
Formen equipos de tres integrantes y resuelvan las siguientes actividades.
E
2. Localicen un punto en la figura 7.21 desde el cual se camine la misma distancia para llegar a
cualquiera de las tres avenidas.
a) Expliquen cómo localizaron el punto.
D
E
F
.
a) Para localizarlo se trazan dos bisectrices y se determina cuál es
el punto donde se intersecan.
3.
3. Tracen la mediana correspondiente al lado AB
de la figura 7.22 y calculen el área de cada uno
de los triángulos que se obtienen.
C
F
Fig. 7.21
a) ¿A qué resultados llegaron?
.
C
b) Repitan el cálculo en sus cuadernos con
dos triángulos diferentes. ¿Qué resultados
obtuvieron?
.
c) Anoten un enunciado que describa esta pro-
A
56
B
a) Las áreas de los dos triángulos son iguales.
b) Las áreas de los triángulos que se obtienen son iguales.
c) Al trazar la mediana de un triángulo se obtienen dos triángulos
que tienen la misma área.
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
piedad de la mediana.
Te invito a…
leer el libro La
matemática como una
de las bellas artes,
de Pablo Amstar
(Biblioteca Escolar).
56
B
Fig. 7.22
.
Comparen sus resultados con otros equipos.
A
El que parte y reparte
SECUENCIA
8
S8 Resolución de problemas de
Inicio a partir de lo que sé
reparto proporcional.
Formen parejas para resolver el siguiente problema.
El abuelo Juan repartirá $100 entre sus tres nietos de acuerdo con las fracciones mostradas en la
figura 8.1. Escriban en los recuadros la cantidad que recibirá cada uno.
1
2
Gustavo
1
4
1
4
César
Felipe
$
$
Antecedentes
• Resolución de problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante (suma término a término, cálculo de un valor intermedio, aplicación del factor constante).
• Identificación y aplicación del factor constante de proporcionalidad
(con números naturales).
• Problemas de valor faltante en los que la razón interna o externa es
un número natural.
Fig. 8.1
$
Ideas erróneas
Expliquen su procedimiento.
.
Resuelvo y aprendo
Reparto proporcional
1. Algunos alumnos pueden pensar que un reparto equitativo es un reparto justo, incluso si los índices de reparto son diferentes; otros,
en cambio, pueden pensar que un reparto proporcional siempre es
un reparto justo. Ambas posturas podrían, equivocadamente, no
tomar en cuenta el contexto en el que se realizará dicho reparto.
Formen equipos para las siguientes actividades.
1. Se van a repartir 30 juguetes entre 3 mamás de acuerdo con el número de hijos mostrados en la figura 8.2, de manera que a todos los niños les toque la misma cantidad.
Señora Teresa
Página 57
Señora Yolanda
Señora Laura
Inicio a partir de lo que sé
Gustavo $50, César $25 y Felipe $25.
Se puede calcular tomando en cuenta que la mitad de 100 es 50 y
que un cuarto es la mitad de la mitad.
Resuelvo y aprendo
Fig. 8.2
Reparto proporcional
a) ¿Cuántos niños hay en total?
1. a) Hay 10 niños en total.
b) Cada niño recibirá 3 juguetes.
c) Teresa recibirá 6 juguetes, Laura 9 y Yolanda 15.
.
b) ¿Cuántos juguetes recibirá cada niño?
c) ¿Cuántos juguetes recibirá cada mamá para sus hijos?
.
.
57
57
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SECUENCIA 8
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Sugerencia didáctica. En esta sección, la resolución de los problemas se inclina ligeramente por el uso de procedimientos informales
con el fin de que los alumnos desarrollen técnicas que les ayuden a
encontrar, de manera intuitiva y simple, los resultados de un reparto
proporcional.
PET (polyethylene
terephtalate)
tereftalato de
polietileno. Tipo de
plástico empleado
frecuentemente en la
fabricación de envases
de bebidas.
2. Frida, Raúl y Diego recolectaron botellas de PET para juntarlas y venderlas a una
planta recicladora. Las cantidades recolectadas se muestran en la figura 8.3.
Frida recolectó 9 kg.
Raúl recolectó 5 kg.
Diego recolectó 7 kg.
2. a) 9 + 5 + 7 = 21 kg
b) $4
c) $28
Sugerencia didáctica. Pregunte si la división anterior sería justa, aun
cuando cada uno aportó una cantidad distinta de botellas de PET. Después, discuta la idea errónea 1.
d) Frida recibiría $36; Raúl, $20 y Diego, $28.
3. a) $50
b) $200
Educación
ambiental para la
sustentabilidad
El gran consumo de
bolsas y envases
de PET constituye
un grave problema
ecológico. En
México, se consumen
aproximadamente
800 000 toneladas
al año, pero sólo se
recicla alrededor de
15 %. Fuente: http://
www.edutics.mx/49f
(8/11/13).
Fig. 8.3
a) ¿Cuántos kilogramos recolectaron en total?
.
b) Si por todas las botellas recibieron $84, ¿cuánto se les pagó por cada kilogramo
recolectado?
.
c) Si los tres decidieran repartirse los $84 de manera equitativa, ¿cuánto recibirían
cada uno?
.
d) Si los tres decidieran repartirse los $84 en proporción a los kilogramos que recolectó cada uno, ¿cuánto recibirían?
.
3. Cuatro amigos cooperaron para comprar un boleto de una rifa en la que resultaron
ganadores. En la figura 8.4 se muestran las cantidades que aportaron y el monto del
premio.
Julio aportó $20.
Joel aportó $8.
Diana aportó $10.
Alicia aportó $12.
Premio
$10 000
Fig. 8.4
a) ¿Cuál fue el costo del boleto?
.
b) ¿Qué cantidad del premio corresponde a cada peso invertido?
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.
BLOQUE 1
Página 59
c) Si decidieran repartirse el premio de acuerdo con lo que aportó cada quien, ¿cuánto recibirían?
c) Alicia recibiría $2 400, Julio $4 000, Joel $1 600 y Diana $2 000.
d) R. M. Primero se determina cuál es la ganancia por cada peso
aportado, en este caso $200. Después, esa cantidad se
multiplica por la cantidad que aportó cada quien.
.
d) En su cuaderno describan lo que hicieron para determinar lo que le corresponde
a cada persona.
Integración
Integración
4. a) R. M. Repartir una cantidad de manera equitativa es repartirla
en partes iguales entre el número de elementos a los que se les
repartirá. Repartir de manera proporcional significa que cada
quien (o cada cosa) recibirá la parte que le corresponde según
la cantidad que aportó.
b) R. M. La cantidad por repartir, el número de partes entre las que
se repartirá y la aportación que hizo cada parte.
c) R. M. Encontrar cuánto se reparte por cada unidad aportada y
después multiplicarlo por las unidades aportadas por cada quien.
5. a) No. Porque cada colonia tiene un número diferente de habitantes,
por lo que cada colonia requiere una cantidad diferente de agua.
b) 1 005 habitantes.
c) 60 L
d) La Curva: 14 700 L, El Mirador: 27 360 L y La Joya: 18 240 L.
e) Primero se obtuvo el número total de habitantes y se determinó
cuántos litros de agua le correspondían a cada quien. Después,
la cantidad anterior se multiplicó por el número de habitantes
de cada colonia:
Para La Curva: 60 × 245 = 14 700 L
Para El Mirador: 456 = 27 360 L
Para La Joya: 60 × 340 = 18 240 L
6. a) $600
b) $5 400 a César y $6 300 a Armando.
c) Aproximadamente $11.48.
4. En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y respondan en sus cuadernos
las preguntas.
El reparto proporcional es un procedimiento de cálculo que permite repartir una
cantidad en partes proporcionales a ciertos números conocidos.
a) ¿Cuál es la diferencia entre repartir una cantidad de manera equitativa y repartirla de manera
proporcional?
b) ¿Qué cantidades intervienen en un problema de reparto proporcional?
c) Escriban un procedimiento para resolver problemas en los que hay que repartir una cantidad
de manera proporcional.
Validen las actividades 1 a 3 con el procedimiento que acaban de obtener.
5. En algunas zonas del país el abasto de agua potable se realiza por medio de pipas.
Una comunidad está formada por tres colonias: La Curva, con 245 habitantes; El
Mirador, con 456 habitantes y La Joya, con 304 habitantes. Cada semana se envían
60 300 L de agua a esa comunidad.
a) ¿Se debe repartir el agua de manera que a las tres colonias les toque la misma
cantidad? ¿Por qué?
.
b) ¿Cuántos habitantes hay en esa comunidad?
.
c) ¿Cuántos litros de agua le corresponden a cada habitante?
.
d) ¿Cuánta agua le deben entregar a cada colonia según el número de habitantes?
.
e) En su cuaderno describan el procedimiento que emplearon para contestar la pregunta anterior.
6. César, de 42 años, y Armando de 39 años, trasladaron una carga de 13 1 t de varillas
2
del Edo. de México a Mérida, y cobraron $11 700. César manejó durante 9 h y reco1
rrió 425 km, y Armando manejó 10 h y recorrió los 594 km restantes.
2
a) ¿Cuánto dinero corresponde a una hora de manejo?
b) ¿Cuánto le toca a cada uno según las horas manejadas?
c) ¿Cuánto dinero corresponde a un kilómetro de manejo?
.
.
.
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SECUENCIA 8
Página 60
d) ¿Cuánto le toca a cada uno según los kilómetros manejados?
.
e) ¿Cuánto le correspondería a cada uno si lo repartieran de acuerdo con la edad?
d) $4 879.78 a César y $6 820.22 a Armando.
e) $6 066.67 a César y $5 633.33 a Armando.
f) R. M. Suponiendo que manejan a velocidades parecidas, el mejor
criterio para hacer el reparto sería considerando el número de
horas manejadas por cada uno: el número de kilómetros
recorridos puede depender, por ejemplo, de la calidad del
asfalto, entonces no sería justo tomar en cuenta ese criterio.
Por otro lado, la edad tampoco es un criterio justo porque no se
determina cuál de los dos trabajó más para el transporte de la
mercancía.
7. a) 0.075 L
b) En la lata azul debe colocar 0.525 L de solvente y en la verde
0.225 L.
c) R. M. Primero se calculó el número de litros de solvente
correspondiente a cada litro de pintura y luego ese valor se
multiplicó por el número de litros de pintura de cada color.
8. a) $1 050 a quien trabajó 3 días, $700 a quien trabajó 2 días y $350
a quien trabajó 1 día.
9. a) El empleado que lleva trabajando ahí 15 años recibirá $14 250;
el que lleva 13 años $12 350, y los dos que llevan 6 años $5 700
cada uno.
10. a) Aproximadamente $166 666.67 para cada quien.
.
f) ¿Cuál piensan que sea el mejor criterio para hacer el reparto? Justifiquen su respuesta.
.
7. Emilio tiene dos latas de pintura para pintar el exterior de una casa, una de 3 L de
pintura verde y otra de 7 L de pintura azul. Debe repartir proporcionalmente 3 de L
4
de solvente para rebajar las dos pinturas.
a) ¿Qué cantidad de solvente le corresponde a cada litro de pintura?
.
b) ¿Qué cantidad de solvente debe colocar en cada lata?
c) Describan el procedimiento que siguieron para resolver este problema.
.
8. Tres personas cobraron $2100 por un trabajo que realizaron juntas. Una persona
trabajó 3 días; otra, 2 y la tercera, 1.
a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada persona si el reparto se realizó de manera
proporcional?
.
Expliquen cómo obtuvieron su resultado.
.
9. Una pequeña empresa repartirá $38 000 entre sus cuatro empleados de acuerdo con
los años que hayan trabajado en ella. Un empleado ha trabajado ahí durante 15 años,
otro durante 13 años y los otros dos, durante 6 años.
Consolido mis aprendizajes
Página 61
a) ¿Cuánto recibirá cada uno?
1. Aproximadamente $41.94 para César, $32.26 para Gustavo y $25.8
para Felipe.
.
10. En un sorteo de la Lotería Nacional el premio mayor es de 30 millones de pesos en
3 series de 20 vigésimos, popularmente llamados "cachitos" que cuestan $150 cada
uno. María, Angélica y Mauricio cooperan para comprar un “cachito”. María aporta
$50, y Angélica y Mauricio aportan cada uno la mitad del resto.
a) Si ganan el premio mayor de ese sorteo, ¿cómo deben repartir el premio para
que a cada uno le toque según lo que invirtió?
.
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BLOQUE 1
2.
Consolido mis aprendizajes
1. De manera individual retoma, el problema inicial considerando que César tiene 13 años, Gustavo,
10 y Felipe 8, y que el reparto de los $100 se hará de manera proporcional a sus edades. ¿Cuánto
recibirá cada uno?
.
Organizados en equipos de tres integrantes resuelvan lo siguiente.
2. El fondo repartible de la cooperativa escolar es de $5934, los cuales se deben distribuir por
grupo. Anoten en la tabla lo que se debe entregar al profesor de cada grupo de modo que todos
los alumnos reciban la misma cantidad.
Número de alumnos
1º A
25
Te invito a…
1º B
24
2º A
24
2º B
23
3º A
20
3º B
22
visitar la página
electrónica http://www.
edutics.mx/48j en la
que podrás repasar
lo que has aprendido
en esta secuencia
(30/06/13 ).
Cantidad del fondo repartible
a) ¿Sería justo que a cada grupo le tocará la misma cantidad? Justifiquen su respuesta.
.
Colonia
Número de habitantes
8411
Lázaro Cárdenas
3512
Vicente Guerrero
11 195
Guadalupe Victoria
6993
3° A
20
860
3° B
Total
22
138
946
5 934
a) R. M. No, porque no hay la misma cantidad de alumnos en cada
salón y entonces algunos recibirían menos dinero.
3.
Colonia
Número
de habitantes
5 589
8 411
3 512
11 195
6 993
35 700
Número
de representantes
8
12
5
15
10
50
Número de representantes
5589
Benito Juárez
Cantidad del fondo repartible
1 075
1 032
1 032
989
Miguel Hidalgo
Benito Juárez
Lázaro Cárdenas
Vicente Guerrero
Guadalupe Victoria
Total
3. Para integrar la comisión de 50 representantes de una comunidad, se asignan lugares a las
colonias de acuerdo con su número de habitantes. Completen la tabla para saber cuántos
representantes de cada colonia debe haber en esa comisión.
Miguel Hidalgo
Número de alumnos
25
24
24
23
Sugerencia didáctica. Para la siguiente pregunta hay varias respuestas posibles por lo que es importante verificar los argumentos que
expongan los alumnos.
Grupo
Total
1° A
1° B
2° A
2° B
Grupo
Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos si tiene sentido hablar de, por ejemplo, 7.8 representantes y verifique que redondeen
correctamente los valores anteriores. Pídales que sumen los valores
ya redondeados que obtuvieron para verificar que son exactamente
50, que es el número de representantes asignados.
Total
4. Inventen un problema en el que se requiera realizar un reparto proporcional y pídanle a otro
equipo que lo resuelva.
4. R. L.
Sugerencia didáctica. Revise que los problemas que inventen los
alumnos sean correctos.
.
Compartan y comenten sus resultados y estrategias con otros equipos.
61
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SECUENCIA
Juguemos un poco
S9 Identificación y práctica de juegos
9
de azar sencillos y registro de los
resultados. Elección de estrategias
en función del análisis de
resultados posibles.
Antecedente
• Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura
decimal y viceversa.
Ideas erróneas
1. Es común que los alumnos piensen que si el resultado de un juego de
azar apareció más veces que otro, seguramente siempre será así.
2. Puede ser que algunos alumnos consideren que no es importante el
orden en el que aparecen los resultados de un juego de azar. Esto,
por supuesto, dependerá del contexto.
Inicio a partir de lo que sé
Formen equipos de tres compañeros y sigan las instrucciones para jugar.
En una hoja blanca dibujen un tablero similar al que se muestra en la figura 9.1.
Cada uno elija tres números diferentes de las casillas y coloque una ficha en cada casilla.
Por turnos, lancen dos dados usuales (fig. 9.2) y sumen los puntos obtenidos.
Avanza una casilla quien haya escogido previamente el número que se obtuvo al sumar los puntos.
Gana quien avance más casillas después de 30 lanzamientos, o quien llegue primero a la meta.
•
•
•
•
•
META
1
Inicio a partir de lo que sé
2
3
4
5
6
7
Fig. 9.1
8
9
a) ¿Qué número eligió quien ganó?
10
11
Fig. 9.2
12
.
¿Creen que en todos los equipos haya ganado quien eligió este número?
Página 62
.
¿Por qué?
Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, en lugar de trabajar
en equipos de tres integrantes, organice equipos de seis integrantes
de modo que se formen tres parejas.
.
b) Si repitieran el juego, ¿qué número escogerían?
. ¿Por qué?
.
62
a) R. L. Pero se espera que el número elegido haya sido el 7 o uno
cercano a ése, como el 6 o el 8.
R. L. En general sí; quien haya ganado eligió el 7 o alguno
cercano a ése.
R. M. Porque el 7 apareció en más resultados que los demás números.
b) R. L. Se espera que respondan que el número 7 porque ése
apareció más veces que los demás.
c) Ninguna, porque el número más pequeño de cada dado es el
número 1 entonces la suma es al menos 2.
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c) ¿Cuántas veces avanzó quien eligió la casilla con el número 1?
. ¿Por qué?
.
Resuelvo y aprendo
Los juegos que no dependen de la habilidad
Formen parejas para realizar las siguientes actividades.
1. Comenten cómo se realizan los siguientes juegos: “volados”, “gato”, ajedrez, perinola, ruleta. Mencionen las reglas de cada uno y cómo se determina al ganador.
62
BLOQUE 1
(Continúa de la página 62)
2. Practiquen los siguientes juegos y anoten en cada uno si ganar depende de la suerte
o de la habilidad de los jugadores.
a) Echar “volados”:
b) Jugar “gato”:
c) Lanzar un dado:
Resuelvo y aprendo
.
.
Los juegos que no dependen de la habilidad
.
1. R. M. “Volados”: en el juego hay dos participantes; uno elige una
de las caras de una moneda; al otro participante le corresponde la
otra cara de la moneda. Se lanza la moneda y al caer gana el participante que eligió la cara superior. “Gato”: en el juego hay dos participantes. Se juega sobre un tablero de 3 × 3 casillas. Un jugador
colocará en las casillas un círculo y el otro una cruz. Los turnos se
hacen alternadamente y gana quien consiga tres de sus figuras
iguales en línea vertical, horizontal o diagonal.
3. Lean las reglas del siguiente juego y hagan lo que se pide.
Juego A:
t Se lanza una moneda al aire.
t El jugador 1 gana si la moneda cae en águila.
t El jugador 2 gana si la moneda cae en sol.
a) Cada uno elija el número de un jugador.
b) Realicen el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que
vayan obteniendo.
c) ¿Quién ganó más veces?
.
Ajedrez: en el juego hay dos participantes, uno tiene 16 piezas negras
y el otro, 16 blancas, y se juega sobre un tablero de 64 casillas. Cada
tipo de pieza tiene una función distinta (hay, de cada color, 1 rey, 1
dama, 2 caballos, 2 alfiles, 2 torres y 8 peones) y el objetivo del juego
es acorralar al rey del adversario de modo que “quede eliminado”.
Gana quien lo consiga primero.
Perinola: en el juego hay dos o más participantes y cada uno tiene
una cantidad inicial de fichas (o semillas, monedas, etcétera). Después
se gira la perinola y cuando se detiene se considera el texto de su cara
superior y se realiza lo que indica, por el ejemplo “Pon 2” (el
participante que la giró pone dos fichas), “Toma todo”, “Todos ponen”.
Ruleta: en un tablero cada participante elige un número (o conjuntos
de números como mayor o igual a 1 y menor o igual a 10, por ejemplo).
Después se hace girar una rueda junto con una pequeña bola. Cuando
la ruleta se tiene, la bola se queda en algún número y ese número (o
conjunto de números) es el ganador.
d) Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta.
.
4. Ahora analicen las reglas del siguiente juego y realicen lo que se indica.
Juego B:
t Se lanzan dos monedas al aire.
t El jugador 1 gana si las dos monedas caen en caras iguales.
t El jugador 2 gana si las dos monedas caen en caras diferentes.
a) Cada uno elija el número de un jugador.
b) Realicen el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que vayan
obteniendo.
c) ¿Quién ganó más veces?
.
d) Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta.
.
5. Lean las reglas del siguiente juego y hagan lo que se indica.
Juego C:
t Se lanzan tres monedas al aire.
t El jugador 1 gana si las tres monedas caen en caras iguales.
t El jugador 2 gana si al caer las monedas una de las caras es diferente
a las otras.
Página 63
a) Cada uno elija el número de un jugador.
2. a) Depende de la suerte.
b) Depende la habilidad del jugador.
c) Depende de la suerte.
b) Hagan el juego 20 veces. Registren en sus cuadernos los resultados que obtengan.
c) ¿Quién ganó más veces?
.
d) Si jugaran de nuevo, ¿volvería a ganar la misma persona? Justifiquen su respuesta.
.
63
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SECUENCIA 9
(Continúa de la página 63)
3. a) y b) R. L.
c) R. M. El jugador 2.
d) R. M. No necesariamente porque es un juego que depende de la
suerte.
4. a) y b) R. L.
c) R. M. El jugador 1.
d) R. M. No necesariamente porque es un juego que depende de la
suerte.
5. a) y b) R. L.
c) R. L. Se espera que gane el jugador 2.
d) R. M. No necesariamente, pero lo más seguro es que gane el
jugador 2 porque el número de lanzamientos con los que puede
ganar es mayor que los que corresponden al jugador 1.
6. Registren los resultados de todo el grupo. Anoten la cantidad de veces que ganó cada
jugador en los diferentes juegos con las monedas.
Jugador
Juego
1
2
A
B
C
a) Si volvieran a jugar con las monedas, ¿qué número de jugador escogerían en cada
juego? ¿Por qué?
.
Integración
7. En grupo, con ayuda del docente, analicen la siguiente definición y respondan en sus cuadernos
la pregunta.
Existen algunos juegos en los que el resultado depende de la habilidad o la estrategia
de los participantes. A la vez, existen juegos en los que no puede predecirse con
certeza el resultado, por ejemplo, lanzar una moneda. A este tipo de juegos se les
llama de azar.
Página 64
6. R. L.
a) R. M. En los juegos A y B cualquiera de los jugadores porque
cualquiera de los dos puede ganar. En el juego C conviene elegir
al jugador 2 porque es más seguro que ése gane.
¿De qué manera ayuda el registro de los resultados para tratar de predecir el resultado en un
juego de azar?
.
Integración
7. R. M. Al registrar los resultados se puede identificar cuál o cuáles de ellos aparecen más veces y concluir cuáles conviene elegir
cuando se juegue de nuevo.
Análisis de resultados posibles
8. Contesten lo siguiente respecto del juego B.
a) ¿En qué caras puede caer la primera moneda que se lance?
Análisis de resultados posibles
.
b) Si la primera moneda cae en águila, ¿en qué caras puede caer la segunda?
8. a) Puede ser águila o sol.
b) Puede caer en águila o sol.
c) Águila y sol; sol y águila; sol y sol; águila y águila.
.
c) Escriban en sus cuadernos todos los posibles resultados al lanzar dos monedas.
9. Contesten las preguntas respecto del juego C.
a) ¿Quién ganó más veces? ¿Por qué piensan que ocurrió así?
.
b) Escriban en sus cuadernos todos los posibles resultados al lanzar tres monedas.
c) Según las combinaciones anteriores, ¿es posible que el jugador 1 gane más veces?
¿Por qué?
.
64
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64
BLOQUE 1
(Continúa de la página 64)
9. a) R. L. Pero se espera que el jugador 2 haya ganado más veces
porque hay más casos en los que al caer las monedas una de las
caras es diferente, que casos en los que las tres monedas cayeran en caras iguales.
b) Águila, águila y águila; águila, águila y sol; águila, sol y águila;
águila, sol y sol; sol, sol y sol; sol, sol y águila; sol, águila y sol;
sol, águila y águila.
c) R. M. Sí. Aunque sólo hay 2 casos de 8 en los que aparecen tres
caras iguales, se trata de un juego de azar entonces no se tiene
la certeza de que el jugador 1 no gane más veces.
Integración
10. En grupo, con ayuda del docente, analicen y respondan la siguiente pregunta.
¿De qué manera ayuda escribir todos los posibles resultados de un juego de azar para tratar
de predecir su resultado?
.
11. Jueguen a lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos en cada tirada, y contesten las preguntas.
a) ¿Qué números se pueden obtener como resultado de esas sumas?
.
b) ¿Con qué combinaciones se obtiene el 2 y el 3 como resultado de la suma?
.
c) Registren en la siguiente tabla todas las sumas posibles al lanzar dos dados.
2o dado
1er dado
1
2
3
4
5
Te invito a…
visitar la página
electrónica http://
www.edutics.mx/Zio.
Elige Matemáticas 1
y ve a las preguntas
11 y 12, las cuales te
ayudarán a reforzar
lo trabajado en esta
secuencia. Además,
podrás trabajar
con actividades
interactivas
(30/06/13).
Página 65
Integración
10. R. M. Al igual que cuando se registran los resultados obtenidos, registrar todos los posibles resultados de un juego de azar permite
identificar cuál o cuáles de ellos aparecen más veces y concluir
cuáles conviene elegir.
11. a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
b) El número 2 sólo cuando en cada dado cae el número 1. El número 3
cuando en uno de los dados cae el número 1 y en el otro el número 2.
c)
1er dado
6
1
2
3
4
5
6
d) ¿Cuántos resultados posibles hay?
.
e) ¿De cuántas maneras se puede obtener el 6?
.
f) ¿De cuántas maneras posibles se puede obtener el 12?
2° dado
1
.
Consolido mis aprendizajes
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
.
5
6
7
8
9
10
11
b) ¿Qué estrategias seguirías para ganar si jugaras una vez más? Argumenta tu respuesta.
6
7
8
9
10
11
12
1. De manera individual responde las siguientes preguntas correspondientes a la actividad inicial.
a) Si jugaras nuevamente, ¿escogerías el número 1?
. ¿Por qué?
.
d) Hay 36 resultados posibles.
e) De cinco maneras: 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 2 + 4, 1 + 5.
f) De una sola manera: 6 + 6.
Si en lugar de lanzar dos dados se lanzaran tres y se sumaran los puntos obtenidos:
c) ¿Cuáles serían el menor y el mayor de los resultados posibles?
. ¿Por qué?
.
65
65
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SECUENCIA 9
(Continúa de la página 65)
d) ¿Qué estrategia elegirías para ganar?
.
Consolido mis aprendizajes
Compara tus respuestas con otros compañeros para comprobar que son correctas.
Formen parejas para realizar la siguiente actividad.
1. a) R. M. No, porque no hay manera alguna de obtener el número 1
al sumar los puntos obtenidos cuando se lanzan dos dados.
b) R. M. Elegir los número 6, 7 y 8 porque hay más maneras de
obtener esos números que los demás.
c) El menor resultado posible es 3 y el mayor, 18. El menor número
de cada dado es el 1, entonces al sumar los puntos de tres
dados el menor que se puede obtener es el número 3. De
manera análoga el mayor número que se puede obtener es
la suma 6 + 6 + 6 = 18.
2. Analicen los pasos para hacer el siguiente juego.
• Corten tres papelitos azules y tres rojos y numérenlos como se muestra en la figura 9.3.
Dóblenlos para que no se vean los números y pónganlos en una bolsa.
1
Fig. 9.3
2
3
1
2
3
• Tomen al azar un papelito azul y uno rojo.
• Sumen los números obtenidos, esta suma será la puntuación en cada turno.
• Doblen los papelitos y colóquenlos de nuevo con los otros.
Si se realiza muchas veces este juego:
Página 66
a) ¿Qué número piensan que se obtenga más veces en la suma?
d) R. M. Escribir todos los resultados posibles y elegir los números
que tengan más maneras de obtenerse.
. ¿Por qué?
.
b) ¿Qué pueden hacer para comprobar su respuesta anterior.
2. a) R. M. El 4 porque hay más combinaciones que suman 4.
b) Para comprobar la respuesta anterior se pueden escribir todos
los resultados posibles del juego de azar y elegir el que tenga
más maneras de obtenerse.
c) R. L.
d) R. M. Sí.
e)
Papel rojo
Papel azul
1
.
c) Realicen 30 veces este juego y registren el resultado que obtengan en cada ocasión.
d) ¿Se cumplió su predicción?
1
3
2
3
1
2
3
4
3
4
5
3
4
5
6
f) Se puede visualizar cuál es el resultado que más puede ocurrir
en el juego.
3
f) ¿Cuál es la utilidad de esta tabla en este juego?
Te invito a…
leer el libro
Matemáticas y la vida
cotidiana, de José
Antonio de la Peña
(Biblioteca de Aula).
66
© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
2
1
2
2
.
e) Completen la siguiente tabla con los posibles resultados de este juego.
66
.
Compartan y comparen sus resultados con otras parejas.
BLOQUE 1
Habilidades digitales
Habilidades digitales
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Antes de iniciar la actividad te sugerimos explorar el programa que utilizarás con la guía rápida que
incluimos en la página 260 de este libro.
Sugerencia didáctica. Esta sección tiene como propósito introducir
a los estudiantes en el uso de las Tecnologías de la Información y de
la Comunicación (TIC), que forman parte de las nuevas prácticas de
aprendizaje, y con esto facilitarles su adaptación a situaciones educativas que se encuentran en permanente cambio.
Es deseable que motive a los alumnos a leer la actividad y explorar
la herramienta antes de desarrollar la actividad. Resuelva las dudas
en plenaria con el grupo.
Construcción de un cuadrado
Para comenzar a construir figuras da clic en “Geometría
Básica” marcada en azul en la ventana “Apariencias”,
la cual mostrará una ventana de dibujo (fig. 1.H.1). Para
ocultar la ventana “Apariencias” da clic en el ícono que
está a su derecha. Puedes agregar una cuadrícula usando
el botón marcado en la imagen.
Respuestas
• Perpendicular.
Fig. 1.H.1
Para crear un segmento de recta entre dos puntos,
elige el tercer botón de la barra de herramientas
(fig. 1.H.2). Aparecerá una lista como la que puedes
ver en la imagen, elige el elemento marcado en azul
y traza el segmento en la “Vista Gráfica”. Si cometes
un error, usa los botones de deshacer y rehacer
marcados en la imagen para corregir.
Fig. 1.H.2
Para insertar una recta perpendicular, da clic en el
cuarto botón de la barra de herramientas (fig. 1.H.3).
Después, da clic en cualquier punto del segmento AB
y luego en A para que la recta quede fija en ese punto.
Contesta: ¿Cómo son entre sí la recta recién construida
y el segmento AB ?
.
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Fig. 1.H.3
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© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
HABILIDADES DIGITALES
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Respuestas
• Iguales
• Iguales.
Traza un círculo con centro en A y radio AB dando clic
en el botón “Circunferencia dados su Centro y uno
de sus Puntos” (fig. 1.H.4). Repite el paso anterior
con centro en B y radio AB.
Fig. 1.H.4
Obtén la intersección del círculo con centro en A
y la línea vertical usando el botón “Intersección
de Dos Objetos” (fig. 1.H.5).
Contesta: Si la intersección está en el punto C, ¿cómo
son las longitudes de AC y AB ?
.
Fig. 1.H.5
Traza un círculo con centro en C y radio AC y marca
la intersección que hace con el círculo con centro en
B (fig. 1.H.6).
Contesta: Si la intersección está en el punto D, ¿cómo
son las longitudes de CD y AB ?
Fig. 1.H.6
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© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
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.
BLOQUE 1
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Respuestas
Los puntos A, C, D y B son los que importan en esta
construcción (fig. 1.H.7). Para ocultar el resto de los
objetos, da clic al ícono
y elige el menú “Objetos”.
• Un cuadrado. Esto es porque los cuatro lados de la figura miden
lo mismo y los ángulos internos son de 90°.
Fig. 1.H.7
En la figura 1.H.8 puedes apreciar la ventana Preferencias”
en la que aparecen, separados en categorías, los objetos
creados; los círculos, por ejemplo, pertenecen a la sección
“Cónica”. Selecciona los objetos y desmarca en el cuadro
“Muestra Objeto” para ocultarlos.
Fig. 1.H.8
Da clic en el botón “Polígono” y en cada uno de los
puntos A, C, D, B, en ese orden, y de nuevo en A para
cerrarlo (fig. 1.H.9).
Presiona el botón
, elige cualquier punto y muévelo.
Contesta: ¿Qué tipo de figura obtuviste?
.
Justifica tu respuesta.
.
Fig. 1.H.9
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© Todos los derechos reservados, Ediciones Castillo, S. A. de C. V.
Ponte a prueba PISA
Lee la situación y el texto 1 y responde las preguntas correspondientes.
Ponte a prueba PISA
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Sugerencia didáctica. El propósito de esta sección es evaluar los conocimientos adquiridos por los estudiantes durante el bloque.
Sugiera a los estudiantes que antes de responder cada pregunta, las lean con mucha atención y que en su cuaderno o en una hoja
realicen los cálculos necesarios para responder, siguiendo los procedimientos que requiera cada situación, antes de leer las opciones de
respuesta.
Una vez finalizada la evaluación, organice una revisión en grupo
de los resultados, con el fin de detectar las fallas más frecuentes y
para trabajar en conjunto en su corrección. Es importante revisar los
procedimientos de los estudiantes, porque en algunos casos, el procedimiento es el correcto, pero el error puede estar al hacer los cálculos
u operaciones correspondientes.
La maestra Lourdes de Español le propuso a su grupo realizar un proyecto de investigación. El tema que
eligieron entre todos fue el sexismo en el español y definieron estos subtemas: 1. Sexismo, 2. Sexismo y lengua y
5
1.3. Para
El español,
hacer unos
¿sexista?
bastidores,
Se propusieron
un carpintero
descubrir
utilizará
si nuestra
clavos lengua
que miden
es o 8node
sexista.
pulgada, de modo que al clavarlos
queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de
cada
Definición
clavo de
quesexismo
quedarálingüístico
dentro de la madera.
2. Indica
Un hablante
en la incurre
regla correspondiente
en sexismo lingüístico
la longitud
cuando
de emite
cada un
unomensaje
de los clavos
que, debido
cuyasa su
medidas
forma se
(es presentan
decir, debido
a a
lascontinuación.
palabras escogidas o al modo de enhebrarlas) y no a su fondo, resulta discriminatorio por razón de sexo. Por
el contrario, cuando la discriminación se debe al fondo del mensaje y no a su forma, se incurre en sexismo social.
Una misma situación de la realidad, sexista
Clavoo no, puede describirse
Longitud con un mensaje sexista o no. Sexismo social
y sexismo lingüístico están relacionados entre sí pero no 3deben identificarse.
de pulgada
M
4
Ejemplos: Quien diga que Las mujeres son menos inteligentes
que los hombres incurrirá en sexismo social pero
5
no en sexismo lingüístico; en cambio, la frase Los varones y de
laspulgada
hembras son inteligentes por igual, no incurre en
N
sexismo social pero sí en sexismo lingüístico, por emplear8 la voz hembras en vez de mujeres. La frase A la
1
manifestación acudieron muchos funcionarios
mujeres describe una situación no sexista con
de pulgada
O y también1 muchas
4
una frase sexista; en cambio, la frase El consejo estaba compuesto por once varones y tres mujeres describe una
X
1.2
cm
situación sexista con una frase no sexista.
Y
NM
3.8 cm
7.6 cm
Álvaro García Meserguer, “El español, unaZ lengua no sexista”,
http://ddd.uab.cat/pub/elies/elies_a2002v16/
Garcia.html
Respuestas
1. 0.525 pulgadas.
2.
.
Pulgadas
O
Pulgadas
x
y
Centímetros
z
Centímetros
3. En la siguiente figura se muestra una pila de latas.
a) ¿Cuántas latas habrá en una pila de 20 niveles?
b) ¿Y en una de 100 niveles?
3. a) Tendrá 210 latas.
b) Tendrá 5 050 latas.
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.
.
BLOQUE 1
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4. Encierra el único triángulo ABC que corresponde a la siguiente descripción.
Respuestas
El triángulo ABC es escaleno. D es un punto dentro del segmento CE. El segmento DE es menor que el EB. EB es
una mediana del triángulo ABC. El área del triángulo BCD es mayor que el área del triángulo BDE.
a)
b)
A
A
4. d.
5. a) 2.4 h
b) 6 h
D
E
C
D
c)
B
E
B
C
d)
A
A
E
D
D
B
C
e)
E
B
C
A
C
D
E
B
5. Un tinaco de 5000 L puede ser llenado por dos tomas de agua, la primera lo llena en 6 h y la segunda en 4 h.
a) Si el tinaco se encuentra vacío, ¿en cuánto tiempo se llenará utilizando las dos tomas de agua de manera
simultánea?
.
b) ¿En cuánto tiempo se llenará un tinaco vacío de 12 500 L utilizando las mismas tomas de agua de manera
simultánea?
.
71
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PONTE A PRUEBA ENLACE
Ponte a prueba ENLACE
Ponte a prueba ENLACE
Página 72
1. ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma posición que 0.3 en la recta
numérica?
Respuestas
1. c.
2. c.
3. a.
4. c.
5. c.
a)
b)
c)
d)
8
12
1
No existe tal fracción.
2. ¿Qué número le corresponde a b en la siguiente recta numérica?
0
a)
b)
c)
1
b
13
5
5
8
8
5
d) 1.3
3. Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio de 1.5 millones de pesos. Si el reparto
se hizo proporcionalmente y a una le tocó medio millón de pesos, ¿cuánto aportó dicha persona?
a)
b)
c)
d)
$20
$25
$30
$40
4. La intersección de las mediatrices de un triángulo se encuentra en el punto medio de uno de sus lados cuando el
triángulo es…
a)
b)
c)
d)
equilátero.
isósceles.
rectángulo.
escaleno.
5
5. Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz aforado de un litro mezcle 8 de L de la
solución A y 0.1 L de alcohol etílico. Complete la mezcla con agua destilada hasta 1 L”. ¿Cuántos litros se necesitan
de agua destilada?
a)
2
8
3
b) 9
c)
11
40
15
d) 8
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Ahora sé
Ahora sé
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Autoevaluación
Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos la importancia de las
evaluaciones, pues les permiten reflexionar sobre sus avances.
Sugiera que después de completar la autoevaluación identifiquen
cuál fue la secuencia en la que tuvieron mayor dificultad para resolver
las actividades y propicie que discutan estrategias para mejorar.
Marca con una la opción que demuestre tus alcances correspondientes a los aprendizajes esperados y
responde la pregunta.
¿Lo logré?
Aprendizaje esperado
Sí
No
¿Cómo puedo
mejorar?
Convierto fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Represento números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de
distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
Resuelvo y planteo problemas que implican más de una operación de suma y resta de
fracciones.
Construyo sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en
lenguaje común. Formulo en lenguaje común expresiones generales que definen las
reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de
figuras.
Explico el significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como
números generales con los que es posible operar.
Trazo triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
Trazo y analizo las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices
en un triángulo.
Resuelvo problemas de reparto proporcional.
Identifico y practico juegos de azar sencillos y registro los resultados. Elijo
estrategias en función del análisis de resultados posibles.
Coevaluación
La siguiente tabla es para evaluar a cada uno de tus compañeros de equipo. Anota su nombre y responde sí o no a
los indicadores propuestos. Es muy importante que seas objetivo, pues tus comentarios deben servir para que tu
compañero mejore su desempeño.
Nombre de mi compañero
Indicador
Sí
No
Tú le recomiendas…
Se integró el equipo y mantuvo una actitud participativa
Asistió a todas las reuniones acordadas por el equipo.
Mostró entusiasmo en clases y reuniones del equipo.
Cumplió en tiempo y forma con las tareas asignadas.
Aportó ideas originales y creativas para la realización de las actividades.
Comunico en forma clara y cordial al equipo sus ideas respetando las
opiniones de sus compañeros y estableciendo sus propios puntos de vista.
Con tu maestro
Revisen con su maestro, las tablas.
Después, en grupo y con el apoyo de su maestro elaboren una estrategia de trabajo para que mejoren su
desempeño en equipo.
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Libros del alumno
Código SEP: S00136
ISBN SEP: 978-607-463-937-7
ISBN: 978-607-463-938-4
Código SEP: S00149
ISBN SEP: 978-607-463-967-4
ISBN: 978-607-463-968-1
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