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Tema 1: Circuitos Magnéticos
Dr. José Manuel Aller Castro
Universidad Politécnica Salesiana
Cuenca, Marzo 2017
Introducción I
I
Una máquina eléctrica es un dispositivo que puede convertir
energía mecánica en energía eléctrica o energía eléctrica en
energía mecánica. Cuando este dispositivo se utiliza para
convertir energía mecánica en energía eléctrica se denomina
generador, y cuando convierte energía eléctrica en energía
mecánica se llama motor.
I
Puesto que puede convertir energía eléctrica en mecánica o
viceversa, una máquina eléctrica se puede utilizar como
generador o como motor.
I
Casi todos los motores y generadores útiles convierten la
energía de una a otra forma a través de la acción de campos
magnéticos.
Introducción II
I
El transformador es un dispositivo eléctrico estrechamente
relacionado con las máquinas eléctricas.
I
Convierte energía eléctrica de corriente alterna (AC) a un nivel
de voltaje a energía eléctrica a otro nivel de voltaje.
I
Los transformadores operan sobre los mismos principios que los
generadores y los motores, es decir, utilizan la acción de un
campo magnético para realizar el cambio de nivel de tensión
I
Discusión: ¿Por qué son tan comunes los motores y los
generadores eléctricos?
El campo magnético I
I
I
Los campos magnéticos son el mecanismo fundamental para
convertir la energía de una forma a otra en motores,
generadores y transformadores.
Existen cuatro principios básicos que describen cómo se
utilizan los campos magnéticos en estos aparatos:
El campo magnético II
I
I
I
I
Un conductor que porta corriente produce un campo
magnético a su alrededor. Ley de Ampere ∇ × H = J
Un campo magnético variable en el tiempo induce un voltaje
en una bobina de alambre si pasa a través de ella (este
principio es la base del funcionamiento del transformador). Ley
⇒ e = dλ
de Faraday ∇ × E = − ∂B
∂t
dt
Un conductor que porta corriente en presencia de un campo
magnético experimenta una fuerza inducida sobre él (ésta es la
base del funcionamiento del motor). Ley de Lorenzt
F = i · dl × B
Un conductor eléctrico que se mueva en presencia de un
campo magnético tendrá un voltaje inducido en él (ésta es la
base del funcionamiento del generador) Ley de Faraday e = dλ
dt
Producción de un campo magnético I
I
La ley básica que gobierna la producción de un campo
magnético por medio de una corriente es la ley de Ampere:
∇×H =J
ˆ
ˆ
∇ × H · dS =
J · dS = Ineta
S
I
S
Aplicando el teorema de Stokes:
˛
H · dl = Ineta = Ni
C
Producción de un campo magnético II
I
Para un circuito magnético como el que se muestra en la
siguiente figura:
H · ln = N · i ⇒ H =
Ni
ln
Producción de un campo magnético III
B = µH = µ0 µr H
B = µ0 µ r
ˆ
Ni
ln
B · dS = µ0 µr
Φ=
A
NA i
ln
Circuitos magnéticos I
I
En la ecuación Φ = µ0 µr A Nlni se observa que la corriente en
una bobina de alambre conductor enrollado alrededor de un
núcleo produce un flujo magnético en éste.
I
Esto en cierta forma es análogo al voltaje que produce un flujo
de corriente en el circuito eléctrico.
Circuitos magnéticos II
F = ΦR
P=
1
R
Circuitos magnéticos III
Φ = BA = µ
ANi
= Ni
ln
R=
I
µA
ln
=F
µA
ln
ln
µA
En un circuito magnético las reluctancias obedecen las mismas
reglas que las resistencias en un circuito eléctrico.
Circuitos magnéticos IV
I
La reluctancia equivalente de un número de reluctancias en
serie es la suma de las reluctancias individuales:
Req = R1 + R2 + R3 + · · ·
I
De la misma forma, las reluctancias en paralelo se combinan
de acuerdo con la ecuación
1
1
1
1
=
+
+
+ ···
Req
R1 R2 R3
Circuitos magnéticos V
I
I
Los cálculos de flujo en el núcleo, que se obtienen utilizando
los conceptos del circuito magnético, siempre son
aproximaciones (en el mejor de los casos su aproximación está
a ± 5% del valor real).
Existe un buen número de razones para que ocurra esta
inexactitud inherente:
Circuitos magnéticos VI
I
I
El concepto de circuito magnético supone que el flujo está
confinado dentro del núcleo, lo cual no es cierto. La
permeabilidad de un núcleo ferromagnético es de 2000 a 6000
veces la del aire, pero una pequeña fracción del flujo escapa
del núcleo al aire circundante que es de baja permeabilidad.
Este flujo que sale del núcleo se denomina flujo disperso y es
de gran importancia en el diseño de las máquinas eléctricas.
En el cálculo de la reluctancia se supone cierta longitud media
y una sección transversal del núcleo. Esta suposición no es
muy adecuada, especialmente en los ángulos de los núcleos.
Circuitos magnéticos VII
I
I
En los materiales ferromagnéticos la permeabilidad varía con la
cantidad de flujo que existe desde antes en el material. Este
efecto no lineal, que se describe con detalle más adelante,
añade otra fuente de error al análisis del circuito magnético,
puesto que las reluctancias que se utilizan para calcular el
circuito magnético dependen de la permeabilidad del material.
En el supuesto de que en el recorrido del flujo en el núcleo
existan entrehierros, la sección transversal efectiva del
entrehierro será mayor que la del núcleo en cada lado del
entrehierro.
Circuitos magnéticos VIII
I
La sección extra efectiva se debe al “efecto marginal” del
campo magnético en el entrehierro
Ejemplo 1 I
I
En la figura siguiente se observa un núcleo ferromagnético.
Tres lados de este núcleo tienen una anchura uniforme,
mientras que el cuarto es un poco más delgado. La
profundidad del núcleo visto es de 10 cm (hacia dentro de la
página), mientras que las demás dimensiones se muestran en
la figura. Hay una bobina de 200 vueltas enrollada sobre el
lado izquierdo del núcleo. Si la permeabilidad relativa µr es de
2500, ¿Qué cantidad de flujo producirá una corriente de 1 A en
la bobina?
Ejemplo 1 II
Ejemplo 2 I
I
La figura siguiente muestra un núcleo ferromagnético cuya
longitud media es de 40 cm. Hay un pequeño entrehierro de
0.05 cm en la estructura del núcleo. El área de la sección
transversal del núcleo es de 12 cm2 , la permeabilidad relativa
del núcleo es de 4000 y la bobina de alambre en el núcleo tiene
400 vueltas. Suponga que el efecto marginal en el entrehierro
incrementa 5% la sección transversal efectiva del entrehierro.
Dada esta información, encuentre:
I
I
La reluctancia total del camino del fl ujo (hierro más
entrehierro) y
La corriente requerida para producir una densidad de flujo de
0.5 T en el entrehierro.
Ejemplo 2 II
Ejemplo 3 I
I
La figura siguiente muestra un rotor y un estator sencillos de
un motor de CC. La longitud media del recorrido del flujo en el
estator es de 50 cm, y el área de su sección transversal es de
12 cm2 . La longitud media correspondiente al rotor es de 5 cm
y el área de su sección transversal también es de 12 cm2 . Cada
entrehierro entre el rotor y el estator tiene un ancho de
0.05 cm y el área de su sección transversal (incluyendo el
efecto marginal) es de 14 cm2 . El hierro del núcleo tiene una
permeabilidad relativa de 2000, y hay 200 vueltas alrededor del
núcleo. Si la corriente en el alambre se ajusta a 1 A, ¿Cuál será
la densidad de flujo resultante en el entrehierro?
Ejemplo 3 II
Materiales ferromagnéticos I
I
La permeabilidad magnética se define como:
B = µH
I
Este valor puede llegar a ser 6000 veces la permeabilidad del
vacío
I
Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética
en un material ferromagnético se aplica una corriente directa
al núcleo que se muestra en la figura, comenzando con cero e
incrementándola lentamente hasta la máxima corriente posible.
Materiales ferromagnéticos II
I
Cuando se reliza el gráfico del flujo producido en el núcleo
contra la fuerza magnetomotriz que lo produce, se obtiene una
gráfica similar a la siguiente, la cual se denomina curva de
saturación o curva de magnetización. a:
Materiales ferromagnéticos III
Al
comienzo, un pequeño incremento de la fuerza magnetomotriz
produce un gran aumento del flujo resultante.
I
Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la
fuerza magnetomotriz, los aumentos de flujo serán cada vez
más pequeños.
I
Finalmente, el incremento de la fuerza magnetomotriz casi no
produce cambios en el flujo.
Materiales ferromagnéticos IV
I
La región de esta figura en la cual la curva se aplana se llama
región de saturación, y se dice que el núcleo está saturado.
I
La región en la cual el núcleo cambia con rapidez se llama
región no saturada de la curva, y el núcleo no está saturado.
I
La región de transición entre las regiones no saturada y
saturada se denomina a veces rodilla de la curva.
Materiales ferromagnéticos V
I
El flujo producido en el núcleo varía linealmente con la fuerza
magnetomotriz aplicada en la región no saturada y se
aproxima a un valor constante, independiente de la fuerza
magnetomotriz en la región saturada.
I
En la figura siguiente se puede ver con más detalle la curva de
magnetización de una típica pieza de acero, y cuya intensidad
del campo magnético está dada en una escala logarítmica.
I
La región de saturación de la curva puede detallarse en la
gráfica sólo cuando la intensidad del campo magnético se
expresa con logaritmos.
Materiales ferromagnéticos VI
Materiales ferromagnéticos VII
I
La ventaja de utilizar núcleos de material ferromagnético en
máquinas eléctricas y transformadores radica en que al
aplicarles cierta fuerza magnetomotriz se obtiene un flujo
mayor que el obtenido en el aire.
Materiales ferromagnéticos VIII
I
Sin embargo, si el flujo resultante debe ser proporcional o
aproximadamente proporcional a la fuerza magnetomotriz
aplicada, el núcleo debe ser operado dentro de la región no
saturada de la curva de magnetización.
I
Puesto que los generadores y motores reales dependen del flujo
magnético para producir el voltaje y el par, se diseñan para
producir el máximo flujo posible.
I
Como resultado, la mayoría de las máquinas reales operan
cerca del punto de rodilla de la curva de magnetización, y en
sus núcleos el flujo no está linealmente relacionado con la
fuerza magnetomotriz que lo produce.
Ejemplo 4 I
I
Encuentre la permeabilidad relativa del material
ferromagnético típico, cuya curva de magnetización se muestra
en la figura anterior, cuando a) H = 50, b) H = 100, c)
H = 500 y d) H = 1000 A•vueltas/m.
Ejemplo 4 II
Ejemplo 5
I
Un núcleo magnético cuadrado tiene una longitud media de
55 cm y un área de sección transversal de 150 cm2 . Una
bobina de 200 vueltas de alambre está enrollada en una de las
columnas del núcleo, el cual está hecho de un material cuya
curva de magnetización se muestra en las dos figuras
anteriores.
I
I
I
¿Cuánta corriente se requiere para producir un flujo de
0.012 Wb en el núcleo?
¿Cuál es la permeabilidad relativa del núcleo para esa
corriente?
¿Cuál es su reluctancia?
Pérdidas en materiales ferromagnéticos I
I
En vez de aplicar una corriente continua a los devanados
dispuestos sobre el núcleo, se aplica una corriente alterna para
observar qué ocurre.
I
Dicha corriente se muestra en la siguiente.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos II
I
Suponniendo que el flujo inicial en el núcleo es cero, cuando se
incrementa la corriente por primera vez, el flujo en el núcleo
sigue la trayectoria ab.
I
Ésta es básicamente la curva de saturación que se muestra en
la figura anterior.
I
Sin embargo, cuando la corriente decrece, el flujo representado
en la curva sigue una trayectoria diferente de la seguida
cuando la corriente iba en aumento.
I
Cuando la corriente decrece, el flujo en el núcleo sigue la
trayectoria bcd y, más tarde, cuando la corriente se incrementa
de nuevo, el flujo sigue la trayectoria deb.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos III
I
La cantidad de flujo presente en el núcleo depende no sólo de
la cantidad de corriente aplicada a los devanados del núcleo,
sino también de la historia previa del flujo presente en el
núcleo.
I
Esta dependencia de la historia previa del flujo y el seguir una
trayectoria diferente en la curva se denomina histéresis.
I
La trayectoria bcdeb descrita en la figura representa la
variación de la corriente aplicada, se denomina curva o lazo de
histéresis.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos IV
I
Para entender el comportamiento de los materiales
ferromagnéticos es necesario conocer algo acerca de su
estructura.
I
Los átomos del hierro y los de los materiales similares (cobalto,
níquel y algunas de sus aleaciones) tienden a tener sus campos
magnéticos fuertemente alineados entre sí.
I
Dentro del metal hay unas pequeñas regiones llamadas
dominios, en las que todos los átomos se alinean con sus
campos magnéticos apuntando en una misma dirección, de
modo que el dominio actúa dentro del material como un
pequeño imán permanente.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos V
I
Una pieza de hierro no manifiesta polaridad magnética definida
porque los dominios se encuentran dispuestos al azar en la
estructura del material.
I
La figura siguiente representa un ejemplo de la estructura de
los dominios en un trozo de hierro.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos VI
I
Cuando se aplica un campo magnético externo a este trozo de
hierro, los dominios orientados en la dirección del campo
exterior crecen a expensas de los dominios orientados en otras
direcciones, debido a que los átomos adyacentes cambian
físicamente su orientación con el campo magnético aplicado.
I
Los átomos adicionales, alineados con el campo, incrementan
el flujo magnético en el hierro, lo cual causa el alineamiento de
más átomos que incrementan la intensidad del campo
magnético.
I
Este efecto de retroalimentación positiva es la causa de que el
hierro adquiera una permeabilidad mayor que el aire.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos VII
I
A medida que el campo magnético externo se fortalece,
dominios completos alineados en otras direcciones se orientan
como una unidad para alinearse con el campo.
I
Por último, cuando casi todos los átomos y dominios en el
hierro se han alineado con el campo externo, el incremento de
la fuerza magnetomotriz puede ocasionar tan sólo un aumento
de flujo igual al que ocurriría en el espacio libre (es decir,
cuando todos los dominios se encuentran alineados, ya no
habrá más retroalimentación para reforzar el campo).
Pérdidas en materiales ferromagnéticos VIII
I
En este momento, el hierro estará saturado con el flujo. La
histéresis se produce porque cuando el campo magnético
exterior se suprime, los dominios no se ubican de nuevo al
azar. ¿Por qué los dominios permanecen alineados? Porque los
átomos requieren energía para recuperar su posición anterior.
I
La energía para el alineamiento original la proveyó el campo
magnético exterior; cuando el campo magnético exterior se
suprime, no hay una fuente que ayude a que los dominios
regresen a sus posiciones.
I
El trozo de hierro es ahora un imán permanente.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos IX
I
Una vez que los dominios se alinean, algunos de ellos
permanecerán en esa posición hasta que se les aplique una
fuente de energía externa para cambiar su orientación.
I
Otros ejemplos de fuentes externas de energía que pueden
cambiar los límites entre los dominios o su alineamiento son la
fuerza magnetomotriz aplicada en otras direcciones, un choque
mecánico fuerte y el calor.
I
Cualquiera de estos eventos puede suministrar energía a los
dominios para cambiar su alineación (por esta razón, un imán
permanente puede perder su magnetismo si se le deja caer, se
le golpea o se le calienta).
I
Como se ha visto, para cambiar la posición de los dominios se
requiere de energía, esto origina cierto tipo de pérdidas de
energía en todas las máquinas y transformadores.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos X
I
Las pérdidas por histéresis en el núcleo del hierro corresponden
a la energía que se necesita para reorientar los dominios
durante cada ciclo de corriente alterna aplicada al núcleo.
I
Se puede demostrar que el área comprendida dentro de la
curva de histéresis, la cual se forma al aplicar corriente alterna,
es directamente proporcional a la energía perdida en un ciclo
dado de corriente alterna.
I
Cuanto menores sean las variaciones de la fuerza
magnetomotriz aplicada al núcleo, el área de la curva será
menor y serán más pequeñas las pérdidas resultantes.
Pérdidas en materiales ferromagnéticos XI
I
Este hecho se muestra en la siguiente figura
Pérdidas en materiales ferromagnéticos XII
I
En este momento deben mencionarse otro tipo de pérdidas,
causadas también por la variación del flujo en el núcleo: las
pérdidas por corrientes parásitas, las cuales se explicarán
posteriormente, una vez que se haya presentado la ley de
Faraday.
I
Las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas ocasionan
calentamiento en los núcleos y se deben tener en cuenta en el
diseño de cualquier máquina o transformador.
I
Puesto que estas pérdidas ocurren dentro del metal del núcleo,
se agrupan bajo el nombre de pérdidas en el núcleo.
La ley de Faraday I
I
La ley de Faraday establece que si un flujo atraviesa una espira
de alambre conductor, se inducirá en ésta un voltaje
directamente proporcional a la tasa de cambio del flujo con
respecto al tiempo.
eind = −
dφ
dλ
= −N
dt
dt
I
El signo menos en la ecuación es una expresión de la ley de
Lenz, la cual establece que la dirección del voltaje inducido en
la bobina es tal que si los extremos de ésta estuvieran en
cortocircuito, se produciría en ella una corriente que generaría
un flujo opuesto al flujo inicial.
I
Puesto que el voltaje inducido se opone al cambio que lo
produce, se incluye un signo menos en la ecuación anterior.
La ley de Faraday II
I
Para comprender con claridad este concepto, observe la
siguiente figura
La ley de Faraday III
I
Si el flujo que se muestra en la figura se incrementa, el voltaje
que se forma en la bobina tenderá a crear un flujo que se
opone a este incremento.
I
Una corriente que fluya como se muestra en la figura producirá
ese flujo opuesto al incremento, y por ello el voltaje formado
en la bobina debe tener la polaridad adecuada para dirigir esta
corriente hacia el circuito externo.
I
Puesto que la polaridad del voltaje puede deducirse del análisis
físico, el signo menos de las ecuaciones se omite
frecuentemente
La ley de Faraday IV
I
Para incluir el efecto de la dispersión de flujo se plantea el
siguiente análisis para una espira
ei =
eind =
N
X
i=1
ei =
dφi
dt
N
X
dφi
N
X
i=1
i=1
d
=
dt
dt
donde
λ=
N
X
i=1
φi
!
φi
=
dλ
dt
La ley de Faraday V
I
Para un circuito magnético compuesto de material magnético
de permeabilidad constante o que incluya un entrehierro
dominante, la relación entre le flujo φ y la corriente i será
lineal y se puede definir el concepto de inductancia como:
L=
N2
λ
= N 2 Ptot =
[H]
i
Rtot
La ley de Faraday VI
I
En la figura siguiente se muestra un circuito magnético con
dos bobinas
La ley de Faraday VII
I
La fmm total será
F = N1 i1 + N2 i2
φ = (N1 i1 + N2 i2 )
λ1 = N1 φ =
N12
µ0 Afe
g
µ0 Afe
g
i1 + N1 N2
µ0 Afe
g
i2
λ1 = L11 i1 + L12 i2
2 µ0 Afe
2 µ0 Afe
λ 2 = N 2 φ = N 1 N2 N 1
i1 + N2
i2
g
g
λ2 = L21 i1 + L22 i2
Inductancias mutuas
La ley de Faraday VIII
L21 = L12 =
N1 N2 N12
µ0 Afe
g
Inductancias propias
2 µ0 Afe
2 µ0 Afe
; L2 = N2
L1 = N1
g
g
La ley de Faraday IX
I
Para determinar la energía se procede de la siguiente forma:
e=
dλ
d
di
dL
=
(Li) = L + i
dt
dt
dt
dt
dλ
di
dL
= Li + i 2
dt
dt
dt
ˆ t2
ˆ λ2
λ
1
i dλ =
4W =
dλ =
λ22 − λ21
2L
t1
λ1 L
p = ie = i
I
La energía total para un determinado valor de enlace de flujo λ
es:
1 2 1 2
W =
λ = Li
2L
2
La ley de Faraday X
I
En el caso del núcleo con dos bobinas:
dW = i1 dλ1 + i2 dλ2
ˆ
W =
i1
i2
=
λ1
λ2
L11
L21
(λ1 ,λ2 )
i1 dλ1 +
(0,0)
como
ˆ
(λ1 ,0)
i2 dλ2
(λ1 ,0)
L11 L12
=
L21 L22
−1 L12
λ1
=
L22
λ2
i1
i2
⇒
Γ11 Γ12
Γ21 Γ22
λ1
λ2
La ley de Faraday XI
ˆ
ˆ
(λ1 ,0)
W =
(λ1 ,λ2 )
(Γ11 λ1 ) dλ1 +
(0,0)
(Γ21 λ1 + Γ22 λ2 ) dλ2
(λ1 ,0)
1
1
W = Γ11 λ21 + Γ12 λ1 λ2 + Γ22 λ22 =
2
2
Γ11 Γ12
1
λ1
λ1 λ2
=
Γ21 Γ22
λ2
2
W =
1
1
1 t
[λ] [Γ ] [λ] = [[L] [i]]t [Γ ] [[L] [i]] = [i]t [L] [i]
2
2
2
La ley de Faraday XII
I
La ley de Faraday es la propiedad fundamental de los campos
magnéticos que intervienen en la operación de los
transformadores.
I
El efecto de la ley de Lenz se emplea para predecir la polaridad
de los voltajes inducidos en los devanados del transformador.
I
La ley de Faraday también explica las pérdidas debidas a las
corrientes parásitas ya mencionadas.
La ley de Faraday XIII
I
Un flujo variable en el tiempo induce voltaje dentro de un
núcleo ferromagnético de la misma forma que lo haría en un
alambre conductor enrollado alrededor del mismo núcleo.
I
Estos voltajes causan flujos de corrientes que circulan en el
núcleo, similares a los remolinos que se observan desde la orilla
de un río; por esta razón reciben también el nombre de
corrientes de remolino.
I
Estas corrientes parásitas disipan energía, puesto que fluyen en
un medio resistivo (el hierro del núcleo).
La ley de Faraday XIV
I
La energía disipada se convierte en calor en el núcleo.
I
La cantidad de energía que se pierde debido a corrientes
parásitas depende del tamaño de los remolinos de corriente y
de la resistividad del material en el que fluye la corriente.
I
Cuanto mayor sea el tamaño del remolino, mayor será el
voltaje inducido resultante (debido al mayor flujo magnético
dentro del remolino).
La ley de Faraday XV
I
Cuanto mayor sea el voltaje inducido, mayor será el flujo de
corriente que resulta y, por lo tanto, mayores serán las
pérdidas de I 2 R.
I
Por otro lado, cuanto mayor sea la resistividad del material que
contiene las corrientes, más bajo será el flujo de corriente de
un voltaje inducido dado en el remolino.
I
Estos hechos ofrecen dos procedimientos posibles para reducir
las pérdidas por corrientes parásitas en un transformador o en
una máquina eléctrica.
La ley de Faraday XVI
I
Si un núcleo ferromagnético que puede estar sujeto a flujos
magnéticos alternos se divide en muchas pequeñas fajas o
laminaciones, entonces el tamaño máximo de un remolino de
corriente se reducirá, lo cual da como resultado un voltaje
inducido reducido, una corriente más baja y menores pérdidas.
I
Esta reducción es aproximadamente proporcional a la anchura
de estas laminaciones, de modo que las laminaciones más
pequeñas son mejores.
I
El núcleo se construye con muchas de estas laminaciones en
paralelo. Se usa una resina aislante entre las fajas, de modo
que las trayectorias de corriente de las corrientes parásitas se
limitan a áreas muy pequeñas porque las capas aislantes son
extremadamente delgadas.
La ley de Faraday XVII
I
Esto reduce las pérdidas por corrientes parásitas con muy poco
efecto sobre las propiedades magnéticas del núcleo.
I
El segundo procedimiento para reducir las pérdidas por
corrientes parásitas consiste en aumentar la resistividad del
material del núcleo.
I
Esto se consigue a menudo agregando algo de silicio al acero
del núcleo.
La ley de Faraday XVIII
I
Si la resistencia del núcleo es mayor, las corrientes parásitas
serán menores para un flujo magnético dado, así como las
pérdidas de I 2 R resultantes.
I
Se pueden usar ya sea laminaciones o materiales de alta
resistividad para controlar las corrientes parásitas.
I
En muchos casos, se combinan ambos métodos. Esta
combinación puede reducir las pérdidas por corrientes parásitas
hasta un punto en que son mucho más pequeñas que las
pérdidas por histéresis en el núcleo.
Ejemplo 6
I
La figura muestra una bobina enrollada alrededor de un núcleo
de hierro. Si el flujo en el núcleo está dado por la ecuación
φ = 0.05 sen 377t Wb
Si hay 100 espiras en el núcleo, ¿Cuánto voltaje se producirá
en los terminales de la bobina? ¿Cuál será la polaridad del
voltaje durante el tiempo en el que el flujo se incremente en la
dirección que se muestra en la figura? Suponga que todo el
flujo magnético permanece dentro del núcleo (esto es, el flujo
disperso es cero).
Excitación AC I
I
En los sistemas de potencia AC, tanto la tensión como el flujo
son aproximadamente sinusoidales en el tiempo.
I
Supongamos un circuito magnético sin entrehierro, con un
trayecto de valor lfe y sección transversal Afe a lo largo de
toda la trayectoria del núcleo
φ = φmax sen ωt = Afe Bmax sen ωt
e = ωNφmax cos ωt
Emax = ωNφmax = 2πfNAfe Bmax
I
En valores efectivos
√
2π
Erms = √ f N Afe Bmax = 2πf N Ac Bmax = 4.44NfAfe Bmax
2
Excitación AC II
I
Para producir flujo magnético en un núcleo se requiere una
corriente en el devanado de excitación, denominada corriente
de excitación o corriente de magnmetización im
I
El gráfico de la corriente de magnetización como función del
tiempo se puede determinar directamente de la característica
de magnetización como se muestra en la siguiente figura:
Excitación AC III
φ = Bfe Afe
Hfe lfe
N
lfe Hfe rms
=
N
im =
Im rms
Erms Im rms =
I
√
2πfBmax Hrms (Afe lfe )
El término Afe lfe es el volumen del núcleo, y su masa es
ρfe Afe lfe . Entonces:
√
2πf
Erms Im rms
=
Bmax Hrms
Pa =
masa
ρfe
Excitación AC IV
I
En este indicador normalizado, los voltamperes de excitación
son una propiedad del material ferromagnético y dependen
exclusivamente de Bmax debido a que Hrms es también función
de Bmax . En la siguiente figura se muestra este resultado para
un núcleo de acero eléctrico con grano orientado denominado
M-5
Excitación AC V
I
La corriente de excitación suple la fmm requerida para
producir el flujo en el núcleo y la potencia de entrada asociada
con la energía en el campo magnético del núcleo.
I
El resto aparece como potencia reactiva asociada con la
energía almacenada en el campo magnético. Esta energía es
cíclicamente extraida y devuelta a la fuentedel sistema de
excitación
Existen dos mecanismos de pérdidas asociados a los flujos
variables en el tiempo en los materiales magnéticos
I
Excitación AC VI
I
I
Calentamiento óhmico I 2 R, asociado con las corrientes
inducidas en el núcleo (corrientes parásitas). Estas corrientes
producen campos que se oponen a la variacioón del flujo. Este
efecto se incrementa con la frecuencia. Para reducir este
efecto el material se lamina y se utilizan aleaciones de baja
conductividad
Histéresis
˛
˛
˛ Hfe lfe
(Afe NdBfe ) = Afe lfe
Hfe dBfe
W =
im dλ =
N
˛
W
w=
=
Hfe dBfe
volumen
Esta es la energía requerida para movilizar los dipolos
magnéticos del material. Esta energía es proporcional al área
de la curva B − H y se disipa en calor en cada ciclo realizado y
por tanto depende directamente de la frecuencia. En general
estas pérdidas dependen del materila, de la metalurgia
utilizada, así como de la densidad de flujo y la frecuencia.
Excitación AC VII
I
En la figura siguiente se muestran estas pérdidas para el
material ferromagnetico M − 5
Excitación AC VIII
I
Prácticamente todos los transformadores y algunas partes de
máquinas eléctricas utilizan láminas de acero que tienen una
dirección más favorable, donde las pérdidas son menores y la
permeabilidad es más alta. Este material se denomina de
grano orientado. Esto se logra debido a la estructura atómica
de un cristal de la aleación hierro-silicio. Este es un cubo
centrado con un átomo en cada esquina del cubo y uno en su
centro. En cada dirección, este cubo tiene diferentes
permeabilidades y con el proceso de laminación se obtiene una
dirección de máxima permeabilidad
I
Los aceros de grano no orientado se utilizan en aplicaciones
donde el flujo no tiene una trayectoria orientada con la
dirección de laminación. En este caso la permeabilidad es
menor y las pérdidas mayores.
Ejemplo 7 I
I
El núcleo magnético de la figura siguiente se construyó con
laminaciones de acero de grano orientado M − 5. La bobina se
excita con una tensión de 60 Hz para producir una densidad de
flujo en el acero de:
B = 1.5 sen 377t
El acero ocupa el 94% de la sección del núcleo. La densidad
del acero es 7.65 g /cm. Encuentre
I
I
I
I
La tensión aplicada
La corriente pico
La corriente de excitación rms
Las pérdidas en el núcleo
Ejemplo 7 II
Ejercicios sugeridos I
1. En la figura se muestra un núcleo ferromagnético. La
profundidad del núcleo es de 5 cm. Las demás dimensiones del
núcleo se pueden ver en la figura. Encuentre el valor de la
corriente producida por un flujo de 0.005 Wb. Con esta
corriente, ¿Cuál es la densidad de flujo en la parte superior del
núcleo? ¿Cuál es la densidad de flujo en la parte derecha del
núcleo? Suponga que la permeabilidad relativa del núcleo es
de 800.
Ejercicios sugeridos II
Ejercicios sugeridos III
2. La figura muestra un núcleo ferromagnético cuya
permeabilidad relativa es de 1500. Las demás dimensiones se
pueden ver en el diagrama. La profundidad del núcleo es de
5 cm. Los entrehierros de las partes izquierda y derecha del
núcleo tienen 0.050 y 0.070 cm, respectivamente. Debido a los
efectos marginales, el área efectiva de los entrehierros se
incrementa 5% respecto del área física. Si hay una bobina de
300 vueltas enrollada en la columna central del núcleo y por
ella pasa una corriente de 1.0 A, ¿Cuál es el flujo en las
columnas izquierda, central y derecha del núcleo? ¿Cuál es la
densidad de flujo en cada entrehierro?
Ejercicios sugeridos IV
Ejercicios sugeridos V
3. En la figura se muestra un núcleo de dos columnas. La bobina
dispuesta en la parte izquierda (N1 ) tiene 600 vueltas y la
bobina de la parte derecha (N2 ) tiene 200 vueltas. Las bobinas
están enrolladas en las direcciones que se muestran en la
figura. Si tomamos en cuenta las dimensiones que se aprecian
en la figura, ¿Qué flujo producirán las corrientes i1 = 0.5 A e
i2 = 1.00 A? Suponga que µr = 1200 y es constante.
Ejercicios sugeridos VI
Ejercicios sugeridos VII
4. La figura muestra un núcleo con tres columnas. Su
profundidad es de 5 cm, y hay una bobina de 100 vueltas en la
columna del extremo izquierdo. Suponga que la permeabilidad
relativa del núcleo es 2000 y es constante. ¿Cuánto flujo
existirá en cada una de las tres columnas del núcleo? ¿Cuál es
la densidad del flujo en cada una de ellas? Considere un
incremento de 5% por efecto marginal en el área efectiva de
cada entrehierro..
Ejercicios sugeridos VIII
5. El núcleo que se muestra en la figura es de acero, con una
curva de magnetización que se muestra en la figura. Repita el
problema 3, pero esta vez no suponga que el valor de µr es
constante. ¿Cuánto flujo producen en el núcleo las corrientes
especificadas? ¿Cuál es la permeabilidad relativa de este
núcleo en estas condiciones? La permeabilidad relativa de
1200 supuesta en el problema 3, ¿Es una buena suposición
para estas condiciones? ¿Es una buena suposición en general?
Ejercicios sugeridos IX
Ejercicios sugeridos X
Ejercicios sugeridos XI
6. En la figura se muestra un núcleo con tres columnas. Su
profundidad es de 5 cm y tiene 400 vueltas en la columna
central. Las demás dimensiones se aprecian en la figura. El
núcleo es de acero con una curva de magnetización como la
que también se ve en la figura. Responda las siguientes
preguntas:
6.1 ¿Qué corriente se requiere para producir una densidad de flujo
de 0.5T en la columna central del núcleo?
6.2 ¿Qué corriente se requiere para producir una densidad de flujo
de 1.0T en la columna central del núcleo?
6.3 ¿Es el doble de la corriente requerida en el inciso a)?
6.4 ¿Cuáles son las reluctancias de las columnas central y derecha
del núcleo en las condiciones del inciso a)?
6.5 ¿Cuáles son las reluctancias de las columnas central y derecha
del núcleo en las condiciones del inciso b)?
Ejercicios sugeridos XII
6.6 ¿Qué conclusión puede obtenerse acerca de las reluctancias en
los núcleos reales magnéticos?
Ejercicios sugeridos XIII
Ejercicios sugeridos XIV
7. En la figura se muestra un núcleo magnético de dos columnas
con entrehierro. La profundidad del núcleo es de 5 cm, la
longitud del entrehierro es de 0.05 cm y la bobina tiene 1000
vueltas. La curva de magnetización del material del núcleo se
puede ver también en la figura. Suponga un incremento de 5%
del área efectiva en el entrehierro debido al efecto marginal.
¿Cuánta corriente se requiere para producir en el entrehierro
una densidad de flujo de 0.5 T ? ¿Cuáles son las densidades de
flujo en los cuatro lados del núcleo para esa corriente en la
bobina? ¿Cuál es el flujo total presente en el entrehierro?
Ejercicios sugeridos XV
Ejercicios sugeridos XVI
Ejercicios sugeridos XVII
8. El núcleo de un transformador, cuya trayectoria media efectiva
es de 6 pulgadas, tiene una bobina de 200 vueltas enrollada
alrededor de una de sus columnas. El área de su sección
transversal es de 0.25 pulg 2 , y su curva de magnetización se
muestra en la figura. Si en la bobina fluye una corriente de
0.3 A, ¿Cuál será el flujo total en el núcleo? ¿Cuál es la
densidad de flujo?
Ejercicios sugeridos XVIII
9. El núcleo que se muestra en la figura tiene el flujo φ que se
puede apreciar en la figura. Dibuje el voltaje de los terminales
de la bobina.
Ejercicios sugeridos XIX
Ejercicios sugeridos XX
10. La figura siguiente muestra el núcleo de un motor de CC
sencillo. La curva de magnetización del metal de este núcleo
está dada por las figuras adjuntas. Suponga que el área de la
sección transversal de cada entrehierro es de 18 cm2 y que el
ancho de cada entrehierro es de 0.05 cm. El diámetro efectivo
del núcleo del rotor es de 5 cm.
10.1 Se desea construir una máquina con la mayor densidad de flujo
posible, pero evitando la excesiva saturación en el núcleo.
¿Cuál sería un máximo razonable de densidad de flujo para
este núcleo?
10.2 ¿Cuál sería el fl ujo total en el núcleo para la densidad de flujo
del punto anterior?
Ejercicios sugeridos XXI
10.3 La máxima corriente de campo posible de esta máquina es de
1 A. Seleccione un número razonable de vueltas de alambre
para proveer la densidad de flujo requerida sin exceder la
máxima corriente disponible.
Ejercicios sugeridos XXII
Ejercicios sugeridos XXIII
Ejercicios sugeridos XXIV
11. Un circuito magnético con entrehierro tal como el que se
muestra en la siguiente figura tiene las siguientes
características:
I
I
I
I
Afe = 1.8 × 10−3 m2
lfe = 0.6 m
g = 2.3 × 10−3 m
N = 83 vueltas
µ = µ0
1+ p
3499
!
7.8
1 + 0.047Bm
11.1 Utilizando MATLAB o algún programa similar, realice el
gráfico de la curva de magnetización para este material
(Bm − Hm ) en el rango 0 ≤ Bm ≤ 2.2 T
11.2 Encuentre la corriente requerida para alcanzar una densidad de
flujo de 2.2 T en el núcleo
Ejercicios sugeridos XXV
11.3 Utilizando algún programa similar a MATLAB, realice un
gráfico de los enlaces de flujo en función de las corrientes en la
bobina, desde la corriente cero hasta la encontrada en el punto
anterior de este problema
Ejercicios sugeridos XXVI
12. El circuito magnético de la figura tiene tres bobinas. Las
bobinas A y B tienen N vueltas y se encuentran en las ramas
inferiores del núcleo
12.1 Encuentre las inductancias propias de cada devanado
12.2 Encuentre las inductancias mutuas entre pares de bobinas
12.3 Encuentre la tensión inducida en el devanado 1 por una
corriente variable en el tiempo iA (t) e iB (t) que circulan por
las bobinas A y B respectivamente. Demuestre que esta
tensión se puede utilizar para medir el desbalance entre dos
corrientes sinusoidales de la misma frecuencia
Ejercicios sugeridos XXVII
Ejercicios sugeridos XXVIII
13. La siguiente tabla incluye datos para la mitad superior de un
lazo de histéresis simétrico de un material magnético a la
frecuencia de 60 Hz
B (T )
0
0.2
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
H (A.vuelta/m)
48
52
58
73
85
103
135
193
B (T )
0.95
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
0.2
0
H (A.vuelta/m)
80
42
2
-18
-29
-40
-45
-48
13.1 Realice un gráfico con estos datos utilizando programas del
tipo MATLAB o Excel
13.2 Determine el área encerrada en el ciclo de histéresis en Jules
13.3 Calcule las pérdidas en el hierro en W /kg suponiendo que la
densidad del material es 7.65 g /cm3
Ejercicios sugeridos XXIX
14. Las bobinas del circuito magnético que se muestra en la
siguiente figura están conectadas en serie de manera que
ambas incrementan el flujo de la columna central. Las bobinas
tienen igual número de vueltas N1 = N2 = 100. Las
dimensiones son:
I
I
I
I
Area de las secciones transversales de A y B= 7 cm2
Area de la sección transversal de C = 14 cm2
lA = 17 cm, lb = 17 cm, lc = 5.5 cm, entrehierro = 0.4 cm
El material es acero laminado de grano orientado M − 5, en
chapas de 0.012 pulgadas con un factor de apilamiento del 94%
14.1 ¿Cuántos amperes se requieren para producir una densidad de
cflujo de 1.2 T en el entrehierro?
14.2 En estas condiciones, ¿Cuánta energía se almacena el el campo
magnético del entrehierro?
Ejercicios sugeridos XXX
14.3 Determine las inductancias propias y mutuas